1. Abril – Álgebra - 5to

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

Sub – Área: Álgebra 5º Secundaria

EXPONENTES Y RADICALES

b.b.b.b.......b = bn ; n N

“n” veces

exponente natural

Exponente nuloa° = 1; a 0

Exponente negativo

n >0

a 0

Exponente fraccionario

Multiplicación de bases iguales

am . an = am + n

Potencia de un producto(ab)n = anbn

Raíz de raíz

División de bases iguales Raíz de un producto

Raíz de raíz

Consecuencia Potencia de potencia

Además

Nota:

Potencia de exponente

definimos

tenemos

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Reducir:

a) 1 b) a c) b

d) e)

3. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Reducir:

a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e) 243

5. Calcule:

a) b) c) 9

d) 3 e)

6. Si: xx = b + 1 simplificar:

a)0 b) x c) xb

d) 2x e) N.A.

7. Reducir:

Mx xx x xx

xx

2 3 2 3

6 1

a)5/6 b) 6/5 c) 2d) 5 e) 3

8. Simplifique:

a) 77 b) 75 c) 712

d) 7 e) 1


A C T I V I D A D E N A U L A

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

3


1. Efectuar:

a) b) c) 1

d) e)

2. Reducir:

a) b) c) 1

d) 2 e) 4

3. Al reducir:

se obtiene:

a) 0.25 b) 0.75 c) 0.5d) 2.5 e) 2

4. Reducir:

a) 4 b) 8 c) 15d) 20 e) 25

5. Calcular:

a) 27 b) 28 c) 29d) 31 e) 33

6. Calcular:

a) b) c)

d) 16 e)

7. Efectuar:

a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2,5 e) 3,5

8. Calcular:

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25


EXPONENTES Y RADICALES

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1. Reducir:


b.b.b.b.......b = bn ; n N

“n” veces

exponente natural

Exponente nuloa° = 1; a 0

Exponente negativo

n >0

a 0

Exponente fraccionario

Multiplicación de bases iguales

am . an = am + n

Potencia de un producto(ab)n = anbn

Raíz de raíz

División de bases iguales Raíz de un producto

Raíz de raíz

Consecuencia Potencia de potencia

Además

Nota:

Potencia de exponente

definimos

tenemos


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a) abc b) a2b2c2 c) anbncn

d) an+bn e) anbncn – n

2. Simplificar:

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 8

3. Simplificar; x > 0

a) x6 b) x8 c) x12

d) x21 e) x25

4. Simplificar:

a) 5 b) 6 c)

d) 3 e) 15

5. Simplificar: x > 0

a) 0 b) 1 c) 2d) x e) 4

6. Reducir:

a) 5 b) 7 c) 9d) 12 e) 18

7. Indicar el exponente final de “x”, si: x > 0, en:

a) 7n b) c)

d) e)

8. Reducir:

a) b) 11 c) 10

d) 7 e) -11

1. Expresar como una potencia de 2.

a) 216 b) 217 c) 2117

d) 28 e) 1024

2. Reducir:



6


a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

3. Simplificar:

a) b) 3 c) –3

d) - e)

4. Reducir:

a) 3 b) 9 c) 10d) 8 e) 6

5. Simplificar:

a) 2 b) 4 c) 16d) 512 e) 256

6. Reducir:

a) 5 b) 25 c) 625d) 1024 e) 125

7. Simplificar:

; x 0

a) 1 b) x c) x2

d) x3 e) x3 +1

8. Simplificar:

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) xn

Un POLINOMIO es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

Ejemplo.- Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3 b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras,


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mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)

BINOMIO

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 binomios.

TRINOMIO

Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: -2x3 + 3x2 + 5 Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

POLINOMIO DE UNA VARIABLE

Un polinomio de una variable x es una expresión algebraica de la forma:

Donde:x: es la variable cuyo mayor exponente es n (n )

: son los coeficientes y pertenecen a R.

Ejemplos:P(x)= 7x4 – 2x3 + 8x2 + 7x – 5Q(x)= 5x3 –8x2 + 3

POLINOMIO DE DOS O MÁS VARIABLES

Un polinomio de dos o más variables es una expresión algebraica cuyos términos constan de más de una variable.

Notación Polinómica

P(x,y)= ax2 + bx + cy2

Donde: x e y son las variables a, b y c son las constantes

Ejemplos:

P(x,y)= x4 y3 – 3x y2 + 2x2 y + 6

Q(m,n)= 8m3 – 3m2n + 2mn2 – 6n3


¡Al triunfo por el fracaso! Pues cada

experiencia descubre un error a evitar.

¡Al triunfo por el fracaso! Pues cada

experiencia descubre un error a evitar.

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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el valor que toma el polinomio cuando a sus variables se les asigna valores particulares.

Ejemplo:

Si: P(x) = 2x + 5; hallar P(7)

Resolución :P(7) = 2(7) + 5

P(7) = 19

CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO

Consiste en reemplazar una nueva variable por otra, de tal manera que se obtenga un nuevo polinomio en función de la nueva variable.

Ejemplo : Sea P(x) = 3x - 1

Hallar P(x+2)

Resolución :Se cambia (x) por (x +2) y se obtiene:

P(x+2) = 3(x+2) –1

P(x+2) = 3x + 5

1. Si:

x 1 F(x) =

Calcular: F[F(x)]

a) x b) x2 c)

d) –x e) 8x

2. Si: P(x) = x2 – 1Hallar:

S = P[P(x)] – x2 P(x)

a) –x b) –x2 c) –x3

d) –x4 e) –x8

3. Si se cumple: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ……. +

Además: 0 < x < 1Calcular: P(1-x)

a) x b) –x c)



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d) e)

4. Si: F(x) = x3 – 5x + m G(x) = x + 3

Hallar “m” si:

F[G(F(12))] = – 1

Indicar la suma de valores de “m”

a) 1 b) –1 c) –3d) 4 e) N.A.

5. Si: P(x) = ax2 + bAdemás: P[P(x)] = 8x4 + 24x2 + cHallar :

I = a + b + c

a) 12 b) 28 c) 30d) 40 e) 26

6. Dado los polinomios P y Q, tal que: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + ……. + x10

Q(x) = 1 – x + x2 – x3 + ……. + x10

Halle la suma de:

a) 2006 b) -2006 c) 2005d) -2005 e) 2004

7. Si:

Hallar: F(1)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

8. Si: P[P[P(x)]] = 8x + 35

Además: P[F(x+2)] = 2x2 – 12x + 25

Calcular: F(7) = ??

a) 10 b) 20 c) 25d) 33 e) 37

1. Si P(x) = 2x + 3Q(x) = 3x – 1

Calcular: P(Q(1)) + Q(P(1))

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

2. Si: P(x) = x + 1Halle el valor de:

H = P(x + 5) – P(x – 2)

a) 7 b) 6 c) 5 + xd) x – 3 e) 4

3. Si el polinomio es mónico: P(x) = (a – 5)x2 + ax – a + 1Indique el valor de: E = P(3) + P(2) + P(-2)

a) 21 b) 20 c) 15d) 6 e) –4



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4. Sea el polinomio: P(x) = (x–1)6 + (x+1)5 + (x + 2)4 + 2(x-2)3+3Calcular: coef. (P) – 20 T.I. (R)

a) 8 b) 10 c) 6d) 14 e) 16

5. Calcular el primer coeficiente del polinomio: F(x) = (2a + 1)x7 + x5 – 4x4 + ax2 – 19x +3

si se sabe que la suma de los coeficientes es igual a su término independiente.

a) 12 b) 15 c) 7d) 18 e) 6

6. Si: P(x – 1) = x2 + 4Hallar: P(x)

a) x2 + 2x + 5 b) x2 – 2x + 5c) x2 + 2x – 5 d) x2 – 2x – 5e) x2 + 5

7. Halle “n” si en el siguiente polinomio: P(x) = (2x – 1)3 + 4x + 2n

se cumple: coef. (P) + T.I. (P) = 12

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

8. Se define: x N

x; si x es par

si x es impar

El valor de:

será:

a) 1/3 b) 2/7 c) 6/5d) 3/7 e) 1/12

Teoría de Grados

GRADO


F(x)

Esfuérzate por ser cada día mejor.

Esfuérzate por ser cada día mejor.

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Característica de toda expresión algebraica que puede ser de dos clases: relativo, cuando se

refiere a una sola variable y absoluto, cuando se refiere a todas sus variables.

GRADOS DE UN MONOMIO

a) Grado Relativo

Respecto a una variable es el exponente de dicha variable.

b) Grado Absoluto

Esta dado por la suma de los grados relativos de las variables.

Ejemplo:

Sea: M=(x,y) = 5x6y8

GRADOS EN UN POLINOMIO

a) Grado Relativo

Respecto a una variable, esta dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.

b) Grado Absoluto

Se calcula mediante el termino de mayor grado absoluto.

Ejemplo:

G.R.(x) = 10

G.R.(y) = 12

G.R.(P) = 18 (el mayor grado)


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POLINOMIOS ESPECIALES

1. Polinomio Homogéneo

Es aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto.

Ejemplo:

P x y x y x y x yG A G A G A

( ; ) . .. . . . . .

2 65 4

9

6 3

9

2 7

9

P(x;y) es homogéneo de grado: 9

2. Polinomio Ordenado

Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable

están: aumentando o disminuyendo, a partir del primer término.

Ejemplo:

P(x) = x8 + x5 - 2x4 + 5x - 2

Es un polinomio ordenado en forma descendente (los exponentes de "x" disminuyendo a partir del

primer término)

3. Polinomio completo

Un polinomio será completo con respecto a una variable; si dicha variable posee todos los

exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive.

Ejemplo:

P(x) = 2x³ + x² + x4 - 2x + 6xº

P(x) es completo

Propiedad:

En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al

grado aumentado en la unidad.

Es decir, si, P(x) es completo;

Entonces: # de términos de P(x) = Grado + 1

Ejemplo:

P(x) = x16 + x15 + x14 + ....... + x2 + x + 1

G.A. (P(x)) = 16

Entonces: # de términos de P(x) = 16+1=17


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4. Polinomios Idénticos ():

Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a

sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son

iguales.

Es decir, si:

Se cumple que:

a mb nc p

5. Polinomio Idénticamente nulo:

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio identicamente

nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.

Es decir si:

ax² + bx + c 0

Se cumple que:

abc

000

1. Hallar “n” si la expresión es de 1º grado. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7



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2. Señalar el valor de “n” para el cual la expresión:

Es de 2do grado.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

3. Sea el polinomio: Q(x, y) = 3x3a+5+2x2a+1+ya+2+xa-1y4-2a + xa-2y2a-4

Hallar el grado absoluto que puede tomar dicho polinomio.

a) 9 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

4. Calcular el número de términos del siguiente polinomio completo y ordenado:

P(x) = m (xm)6 x5n + p + n(xm)4 x6n + 4p + ...... + p(xm)5 x4n + 5p + (xm)6 x5n + …..

a) 81 b) 82 c) 83d) 84 e) 86

5. Si el polinomio es idénticamente nulo. P(x) = (a2 – ab + b2) x3 + (b2 – 3abc + c2)x2 + (a2 – 5ac + c2)x + abc – 2

Halle: x = a2 (b +c)4 + b2(c + a)4 + c2(a + b)4

a) 230 b) 231 c) 332d) 234 e) 240

6. Si se verifica: P(x) = Q(x) P(x) = 2a(x2 +1) (x2 + 2) + 3ab (x2 +2)(x2+3) +c(x2 + 3) (x2 + 1) Q(x) = 4x2 + x2 – 12Hallar:

F = 4abc

a) 1 b) 60 c) 61d) 63 e) 62

7. Dado el polinomio completo y ordenado:

cuyo número de términos es (n+1). Determine “p”. Si : p R+

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

8. Si a, b y c pertenecen al conjunto de los naturales y el desarrollo de: P(x) = a (xa + 1)b (cx +2)c, es un polinomio completo de 85 términos, cuyo término independiente es 72 y su coeficiente principal es 243, entonces el valor de (a+b+c) es:

a) 19 b) 21 c) 23d) 24 e) 81

1. Si el grado de la expresión

es 729

Hallar “n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9



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2. Sea el polinomio P(x, y) Donde:

P(x, y) = 2x2a –6 y5 – 3xa +2ya-4 + x3y2a-7 –xa-5 ya-9

Calcule el grado absoluto mínimo que puede tomar P(x, y)

a) 12 b) 13 c) 15d) 16 e) 17

3. En el siguiente polinomio: P(x, y) = 7xa+3 yb-2 z6-a + 5xa+2 yb-3 za+b

En donde: GR(x) – GR(y) = 3 GA(P) = 13Calcular: (a + b)

a) 5 b) 6 c) 7d) 11 e) 12

4. Hallar (ab) sabiendo que: P(x, y) = xa-2b ya+b – 15xby2b-a +2xa-by8

Es homogéneo.

a) 60 b) 10 c) 16d) –16 e) No existe dicho polinomio

5. Si: P(x) = xa+b + 2xb+c + 3xc+d + 4xd+4

Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular: (abcd)

a) –12 b) 12 c) –6d) 6 e) –3

6. En la siguiente adición de monomios:

Calcular: (a + b + c)

a) 3 b) 5 c) 6d) 9 e) 14

7. Dado el monomio: M(x, y) = (a + b)x2a-2 y3b

Donde: Coef.(M) = G.R. (x) G.A. (M) = 27Hallar “ab”

a) 5 b) 7 c) 12d) 35 e) 42

8. En el siguiente polinomio: P(x, y) = xayb-1 + xa+1 yb – xa-2 yb+2 + xa+3 yb+1

En donde: G.R. (x) = 10 G.A. (P) = 13 G.R.(y) = ?

a) –8 b) 4 c) 5d) 6 e) 7


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