Embed Size (px)
Citation preview
3
PREDGOVORTRE˘EM IZDANJU
Ova knjiga predstavlja dopunjeno i proireno izdanje udbenika TehniŁkamehanika I Statika koji je tampan 1995. godine i udbenika Statika koji jetampan 1998. godine.
Knjiga je namijenjena studentima tehniŁkih fakulteta, a pisana je po programuovog predmeta na mainskim fakultetima univerziteta Bosne i Hercegovine.Pored izlaganja materija analitiŁkom i grafiŁkom metodom, koritena je vek-torska metoda, koja nesumnjivo ima Łitav niz prednosti.
Imajuæi u vidu da relativno mali broj zakona i teorema TehniŁke mehanikeima iroku primjenu u svim oblastima tehnike, a posebno u proizvodnommainstvu, mnogo prostora u udbeniku dato je primjerima i metodamarjeavanja zadataka. U svakom poglavlju rijeen je odreðeni broj zadataka saneophodnim teorijskim komentarom u cilju da se pomogne studentima u nji-hovom samostalnom radu na prihvatanju i primjeni zakona i teorema ovenauŁne discipline.
ZnaŁaj TehniŁke mehanike u obrazovanju visokokolskih kadrova mainskestruke za njihov buduæi rad od ogromnog je znaŁaja. Proizvodnja sve vie traistruŁnjaka sa solidnom osnovom fundamentalnih teorijskih znanja.
Iskreno se zahvaljujem prof. dr. Milanu Jurkoviæu, prof. dr. Duanu Miæe-viæu, te prof. dr. Franku Rotimu na vrlo korisnim savjetima u izradi ovogudbenika. Zahvalan sam i asistentu Samiru Vojiæu na kompjuterskoj isprav-ci teksta. Autor se nada da æe pomenute ciljeve ovaj udbenik postiæi uvelikoj mjeri.
Unaprijed se zahvaljujem studentima, kolegama i Łitaocima koji æe svojimprimjedbama i savjetima pomoæi da se otklone pogreke i manjkavosti uudbeniku, jer sam svjestan da ih unatoŁ uzastopnoj provjeri nismo mogliotkloniti.
Bihaæ, 20. januar 2004. godine
Autor
Prof. dr. Isak Karabegoviæ, dipl. ing.
4
Popis va`nijih oznaka
SIMBOL JEDINICA NAZIV
A m2 povrinaA→,B→,C→, - vektoriA, B, C, - integracione konstanteA Nm rada, b, c, d, m du`ineC - kulmanova linijad m pre~nikF, F→, N sila, vektor sileFG , F→G N sila te`a, vektor sile te`e
Fµ , Fn N sila trenja i normalna sila
Fq N sila kontinuiranog
optereenjaFr, F→r, N rezultanta, vektor
rezultanteFR, F→R N glavni vektor sistema
silaF[ N sila u tapu
FS N sila u u`etu
Fa, Fz N aksijalna i trasverzalna komponenta sile
Fx, Fy, Fz N skalarne komponente sile
G N te`inag m/s2 ubrzanje zemljine te`eI m du`inaM, M
→Nm moment, vektor
momentaMf Nm moment savijanjaMs Nm moment stabilnostiMpr Nm moment prevrtanjaMµ Nm moment trenjaMx, My, Mz Nm komponente momentam kg masa
5
q, q→ N/m kontinuirano optereenjer, R m polupre~nikS - te`ite, srediteS1, S2 N sile u tapovima
s m putv, v→ m/s brzina, vektor brzineV m3 zapreminax, y, z - koordinateα, β, γ, θ, - ugloviδs, δz, m virtualni pomak
µ - koeficijent trenja(kineti~ki)
µ0 - koeficijent trenja (stati~ki)
µK - koeficijent kotrljanja
ϑs - koeficijent stabilnosti
∇ - Hamiltonov operator
6
1.1. [TA JE MEHANIKA
Mehanika kao grana prirodnih nauka temelji se na opa`anjima, iskustvima, pokusimai na teoriji. Naziv mehanika (koja je to ime dobila po Galileju) dolazi od gr~ke rije~i mehane, to ima zna~enje stroja ili sprave. Mehanika, koju ~esto nazivamo i klasi~namehanika, kao nauka se javlja jo u starih Grka, me|utim svoje savremene temelje popri-ma u radovima Isaca Newtona.
Mehanika je nauka o opim zakonima mehani~kog kretanja i ravnote`e materijal-nih tijela. Krug problema koje izu~ava mehanika stalno se iri, obuhvatajui sve novei nove oblasti nauke i tehnike.To je dovelo do toga da su mnogi dijelovi teorijskemehanike, zbog specifi~nog objekta posmatranja i primjene matemati~kih metoda,postali potpuno samostalne nau~ne discipline (mehanika fluida, teorija elasti~nosti,otpornost materijala, teorija regulisanja, teorija mehanizama i maina, nebeskamehanika i dr.). Sada se pod teorijskom mehanikom obi~no podrazumijeva srazmjer-no mali dio: mehanika materijalne ta~ke, mehanika apsolutno krutih tijela i mahanikasistema materijalnih tijela. Treba imati u vidu da klasi~na mehanika samo pribli`nota~no opisuje prirodu, jer je zasnovana na postulatima koji sasvim ta~no ne opisujugeometriju tijela i karakter mehani~kog uzajamnog dejstva tijela. To je postaloo~igledno poslije Einstein-ove specijalne teorije relativnosti, na kojoj se zasniva rela-tivisti~ka mehanika. Saglasno teoriji relativnosti ne postoji apsolutno vrijeme nitiapsolutni prostor. Postankom relativisti~ke mehanike nije negirana klasi~na mehanika.Klasi~na mehanika je poseban slu~aj relativisti~ke mehanike, koja ne gubi svoju vrijed-nost, jer njeni zaklju~ci pri brzinama kretanja dovoljno malim su u odnosu na brzinusvjetlosti, sa velikom ta~nou zadovoljavaju potrebe mnogih grana savremenetehnike.
Savremena mehanika je samostalna nauka koja se ~esto naziva i mehanikom konti-nuuma, gdje se pojave kretanja materije prete`no prou~avaju teorijskim putem slu`eise samo matemati~kim sredstvima. Osnovna podjela mehanike je:
Mehanika
Kinematika Dinamika
Statika Kinetika
7
Tehni~ka mehanika je kao zasebna disciplina mehanike, prakti~no se koristi u rjea-vanju in`enjerskih problema. Tehni~ka mehanika kao dio mehanike mo`e se podijeliti na:
Mehanika je temelj i brojnim drugim in`enjerskim znanjima i disciplinama postajuitako njihov sastavni dio. U mainstvu mehanika je temeljni predmet. Kinematika prou~avakretanje tijela sa ~isto geometrijske ta~ke gledita, tj. ne uzima u obzir sile koje djelujuizme|u tijela. U dinamici se kretanje tijela izu~avaju u vezi sa silama koje djeluju izme|umaterijalnih tijela. U ovoj knjizi prou~avamo zakone slaganja sila i uslove ravnote`e mate-rijalnih tijela na koja djeluju sile. Pretpostavit emo da su tijela apsolutno kruta, to zna~ida tijela bez obzira na veli~inu djelujuih sila nee biti deformirana. Stvarne konstrukcijenisu nikada apsolutno krute, jer se pod optereenjem deformiraju, ali te deformacije obi~nosu male da prete`no ne uti~u niti na uvjete ravnote`e, niti na kretanje tijela koja pro-u~avamo, pa ih zbog tog razloga mo`emo izostaviti. Pod ravnote`om podrazumjevamostanje mirovanja tijela u odnosu na druga tijela. Ako tijelo u odnosu na koje posmatramoravnote`u drugih tijela mo`e se smatrati da je nepokretno, tad se ravnote`a uvjetno nazivaapsolutna, u suprotnom slu~aju je relativna ravnote`a. U ovoj knjizi (STATICI), prou~avatemo samo apsolutnu ravnote`u. Da bi kruto tijelo pod djejstvom nekog sistema sila bilou ravnote i, potrebno je da te sile zadovolje odreene uvjete koji se nazivaju uvjetiravnote`e datog sistema sila. Odre|ivanje tih uvjeta je osnovni zadatak statike. Da biodredili uvjete ravnote`e, potrebno je prethodno prou~iti kako se sla`u sile koje djeluju najedno tijelo, kako se dati sistem sila mo`e zamijeniti s drugim sistemom sila i svesti naprostiji oblik. Zaklju~ujemo da sadr`aj statike krutog tijela ~ine dva osnovna zadatka:
a) svo|enje sistema sila, odnosno, kako dati sistem sila zamijenit drugim, najprostijimsistemom i njemu ekvivalentnim sistemom sila,
b) zadatak o ravnote`i, odnosno, koje uvjete mora zadovoljiti sistem sila koji djelujena jedno tijelo da bi on bio uravnote`en sistemu sila.
Kod rjeavanje prvog osnovnog zadatka statike, moraju biti poznate sve sile kojedjeluju na kruto tijelo. Drugi dio zadataka stsike ~esto se odnosi na slu~ajeve kadaravnote`a nesumnjivo postoji. Ovdje uslovi ravnote`e daju me|usobnu zavisnost sila kojedjeluju na tijelo.
1.2. SILA
Osnovni pojam u mehanici, a posebno u statici, jeste pojam sile. Sila se definiekao koli~inska mjera mehani~kog uzajamnog djejstva materijalnih tijela. Uzajamnadejstva materijalnih tijela su veoma razli~ita po svojoj prirodi: u jednom slu~aju ona
Statika Kinetika
Kruto tijelo Statika krutih tijela
Kinetika krutih tijela
Elastino Otpornost
Te~no Hidrostatika Hidrodinamika
Gasovito Aerostatika Gasodinamika
8
nastaje kao rezultat neposrednog dodira tijela (pritisak jednog elementa maine nadrugi dio), a u drugim slu~ajevima uzajamna dejstva nastaju bez neposrednog dodira(uzajamna privla~enja tijela).
Dejstvo sile na tijelo odre|uje se: napadnom ta~kom, napadnom linijom, brojnom vrijed-nou (intenzitetom) i smjerom sile. Ovo nam ukazuje na to da je sila vektorska veli~ina.
Napadna ta~ka sile i njen pravac odre|uju pravu liniju djelovanja sile. Silumo`emo predstaviti vektorom kao orjentisanu du` AB, pri ~emu je ta~ka A po~etak(napadna ta~ka), ta~ka B, kraj sile. Veli~ina du`i AB je intenzitet sile prikazan u raz-mjeri, a smjer je prikazan strelicom na kraju B sile. (slika 1.1.)
Slika 1.1. Vektor sile
Za odre|ivanje intenziteta sile potrebno je utvrditi na~in upore|ivanja neke sile sa si-lom koju smo izabrali za jedinicu. Osnovna jedinica sile u me|unarodnom sistemu SIjeste Newton, o ~emu e biti vie govora u narednom poglavlju o jedinicama. Sile kojedjeluju na kruto tijelo dijele se na spoljanje i unutranje.
Spoljanje sile su one koje djeluju na tijelo od strane drugih materijalnih tijela.Unutranje sile su one sile kojima djelii jednog istog materijalnog tijela djeluju jednina druge.
Spoljanje sile mogu biti aktivne i pasivne (reakcije, sile veze). Sile koje djeluju natijelo od strane drugih tijela, koje ograni~avaju kretanje datog tijela, zovu se reakcije.Tijelo koje nije vezano za drugo tijelo i mo`e slobodno da pre|e u bilo koji polo`aj uprostoru, naziva se slobodno tijelo. Tijelo ~ije je kretanje u prostoru sprije~eno bilokojim drugim tijelom zove se vezano (neslobodno) tijelo.
1.3. SISTEM SILA
Skup sila koje djeluju na jedno kruto tijelo zove se sistem sila. Ukiliko napadne li-nije sila le`e u jednoj ravni, za takav sistem sila ka`emo da je ravanski. Ako su napadnelinije sila raspore|ene u prostoru, takav skup sila zovemo prostorni sistem sila.
Ako se napadne linije sila sijeku u ravni u jednoj ta~ki, takav skup sila nazivamosu~eljeni sistem sila; a ako su napadne linije paralelne (iste le`e u jednoj ravni), tadaskup sila nazivamo sistem paralelnih sila; i ako su napadne linije sila proizvoljno ras-pore|ene u jednoj ravni, radi se o proizvoljnom ravnom sistemu sila (vidi slike 1.2.,1.3. i 1.4.).
9
Slika 1.2. Sistem su~eljnih sila
Slika 1.3. Sistem paralelnih sila
Slika 1.4. Proizvoljan ravan sistem sila
Sistem sila koje djeluju na kruto tijelo mo`e se sastaviti od koncentrisanih sila (kojedjeluju u jednoj ta~ki tijela) i kontinualno raspore|enih (koje djeluju na sve ta~ke zapreminetijela ili pak dijela njegove povrine ili linije). Pritisak kugle na horizontalnu ravan pred-stavlja koncentrisanu silu, pritisak cilindri~nog valjka na horizontalnu ravan predstavlja sile ras-pore|ene du prave linije. Djelovanje sile te`e predstavlja sistem sila raspore|enih na sve ta~kezapremine tijela, dok pritisak pare u kotlu predstavlja sistem sila raspore|enih po povrini.
1.4. FIZIKALNE VELI^INE
Najopse`niji mjerni instrumenti ugra|eni su u ljudskom tijelu. Najvei broj informa-cija o svijetu pru`aju nam o~i i ui koje registriraju i primaju zvukove. Tu su jo iosjetljivost na dodir, toplinu, hladnou, ravnote`u, miris i okus. To su pomagala koja namneposredno donose informacije, i nazivamo ih osjetilima i ~ulima.
F1
F2
F3
F4
Fn
→→
→
→
→
ravan π
10
^ovjek sve pojave promatra, osjea i do`ivljava subjektivno. Nauka se nemo`etemeljiti na subjektivnim ljudskim osjeajima, nego na objektivnim ~injenicama, naobjektivnom iskustvu, a objektivne ~injenice se utvr|uju i objektivno iskustvo se sti`esamo mjerenjem.
Razmotrimo jednu najosnovniju fizikalnu pojavu, kao to je vrijeme.Vrijeme seprote`e u prolost, prije naeg ro|enja, a nastavit e se i poslije nae smrti, stalno namizmi~e i neda se zaustaviti, kao da ima svoj put. A kako vrijeme nastaje, veliko je i tekopitanje na koje neemo ni pokuati odgovoriti. Kada u~imo, le`imo, tr~imo svjesni smoda vrijeme prolazi. Mjerilo za vrijeme ugra|eno je u nama, to su otkucaji srca, otprilikesvake sekunde po jedan. Postoje i druga mjerila za vrijeme koja svi poznajemo.
Mjerljiva svojstva objekata kao nihovih nosilaca nazivaju se veli~inama, tj.fizikalne veli~ine su prirodna svojstva objekta koja se mogu kvantitativno iskazati.Fizikalne veli~ine su, naprimjer: masa cigle, temperatura tijela, du`ina tapa, snagamaine itd. Ali cigla, tijelo, tap, maina nisu fizikalne veli~ine, ve njihovi objekti, nji-hovi nosioci. Zna~i, fizikalne veli~ine nisu sami prirodni objekti,ve mjerljiva svojst-va, atribut i ~ovjekove vizije o samim prirodnim pojavama.
Svaka fizikalna veli~ina ima dvije vrijednosti: kvalitetnu, kojom se pokuavaopisati njena kvaliteta, njeno postojanje, kojom se iskazuje njena kvalitativna vrijed-nost ili koli~ina. Razni prirodni objekti, odosno fizikalna tijela, uvijek su nosiocijednog te istog mjerljivog svojstva. Npr. masa je svojstvo svih prirodnih objekata, svihfizi~kih tijela, svih ~estica i drugih. Me|utim, njihova kvantitativna vrijednost mase jerazli~ita za svaki prirodni objekt, za svako fizi~ko tijelo pojedina~no. Jedan te istiobjekat nosilac je vie razli~itih mjernih svojstava, iako sam objekt nije fizikalnaveli~ina.Tako, na primjer, mjerljiva svojstva bakrenog tapa su: du`ina, volumen,masa, temperatura, toplotni kapacitet, toplotna vodljivost, unutarnja energija i drugo -odnosno to su sve fizikalne veli~ine objekta - bakrenog tapa. To vrijedi i za ostaleobjekte, tj. svaki objekat je nosilac vie razli~itih mjerljivih svojstava.
Veli~ine kojim se vrijednosti mogu izraziti pozitivnim ili negativnim brojevima nazi-vaju se skalarnim veli~inama (masa, temperatura, vrijeme, energija, rad i td.). Veli~ine kodkojih se vrijednosti odre|uju dimenzijama i smijerom u prostoru nazivaju se vektorskimveli~inama (sila, momenat, ubrzanje itd.). Osim toga, ima i veli~ina vieg reda, tj. ten-zorskih veli~ina.
Podjela fizikalnih veli~ina mogua je na vie na~ina, prema razli~itim svojstvima ikriterijima. Fizikalne veli~ine mogu se svrstati u skupove prema svojim dimenzijama.Prema standardu ISO ta se podjela obavlja prema mjernim jedinicama.
Prema na~inu definisanja fizikalne veli~ine se dijele na:- osnovne veli~ine i- izvedene veli~ine.Osnovne veli~ine se ne definiraju jedna~inama, ve se definiraju opisom postupaka
mjerenja i dogovorno se odabiru i proglaavaju na me|unarodnim sastancima i konferen-cijama, nakon odre|enog iskustva i saznanja o tim fizikalnim veli~inama. Za podru~je
11
mehanike dovoljne su tri osnovne veli~ine: du`ina, vrijeme i masa. Na slici 1.5 prikazanje fizikalni sistem prema W. Westphalu, u kojem su za pojedina podru~ja nauke navedeosnovne fizikalne veli~ine pomou kojih se mogu obraditi pojedina podru~ja nauke.
Naziv osnovne veli~ine dolazi od toga to se iz njih izvode i definiraju sve ostalefizikalne veli~ine. Broj osnovnih, odnosno nezavisnih veli~ina, nije stalan, on se s vreme-nom i razvojem nauke mijenjao. Prema dosadanjim odlukama Generalne skuptine zamjere i utege CGPM ima sedam osnovnih i nezavisnih veli~ina, a to su:
- du`ina l,- masa m,- vrijeme t,- elektri~na struja I,- termodinami~ka temperatura T,- svjetlosna ja~ina I i- mno`ina ili koli~ina materije n.
Slika 1.5 Fizikalni sistem
Mjerenje fizikalnih veli~ina je upore|ivanje neke fizikalne veli~ine s dogovorenoizabranom veli~inom odre|ene vrijednosti. Ta dogovorena izabrana vrijednost nazivase mjerna jedinica ili krae jedinica.
GEOMETRIJAdu`ina (1, L)
du`ina (1), vrijeme (t)
du`ina (1), vrijeme (t), masa (m)
du`ina (1), vrijeme (t), masa (m)
du`ina (1), vrijeme (t), masa (m)du`ina (1), vrijeme (t), masa (m)
du`ina (1), vrijeme (t), masa (m)
KINEMATIKA
MEHANIKA
ATOMISTIKA I HEMIJA
koli~ina materije (n)
koli~ina materije (n)
TERMODINAMIKA
termodinami~ka temparatura
ELEKTRICITET
elektri~na struja (I)
FIZIKALNA MATERIJA
temperatura (T), elektri~na struja (I)
12
Pored veli~ina koje mo`emo mjeriti direktno ima i veli~ina koje je jednostavnijemjeriti posredno. To se izvodi posredno mjerenjem onih veli~ina kojima su one defin-isane i njihovim izra~unavanjem pomou fizikalnih zakona koji ih povezuju.
Mjerenje je skup pokusnih radnji kojima se iskazuje kvantitativna vrijednostfizikalnih veli~ina, a mjerna jedinica, polazna je ili referentna fizikalna veli~ina. Sekun-da je mjerna jedinica za mjerenje vremena. Mjerenje vremena zasniva se na jednos-tavnom principu brojanja, a brojanje je dio matematike. Takvo brojanje sekundi, sati,dana, itd.. kojim se mjeri vrijeme, naziva se mjerni broj ili broj~ani iznos. Prema tomebroj~ani iznos neke veli~ine je broj kojim treba pomno`iti mjernu jedinicu da se dobijekvantitativna vrijednost fizikalne veli~ine. Mo`emo to izraziti na slijedei na~in:
vrijednost veli~ine = broj~ani iznos x mjerna jedinica.Da bi se ovi pojmovi mogli prikazati u matemati~kom obliku, upotrebljavaje se
velika i mala slova latinice i gr~ka slova. To se za neku veli~inu X mo`e pisati da jex = x[ x],
ili rije~ima: veli~ina = broj~ani iznos x jedinica.Gornja jedna~ina predstavlja osnovnu jedna~inu o veli~inama , tj. osnovnu jedna~inu.
Ta jedna~ina se mo`e iskazati i u slijedeem obliku:
x = x[x]
ili rije~ima : broj~ani iznos = veli~ina /jedinica.
Tabela 1.1. Osnovne mjerne jedinice Me|unarodnog sistema (SI)
Definisanje osnovnih jedinica Me|unarodnog sistema (SI):Metar je du ina puta koji svjetlost pre|e u vakuumu za vrijeme jednog 299792458-og
dijela sekunde.Kilogram je masa me|unarodne pramjere kilograma.Sekunda je trajanje 9192631770 perioda zra~enja koje odgovara prijelazu izme|u
dvaju hiprfinih razina osnovnog stanja cezija 133.Amper je ja~ina stalne elektri~ne struje koja, kad se odr`ava u dvjema ravnim upored-
nim veli~inama, neograni~ene du ine i zanemarljivo malena kru`nog popre~nog presjekato se nalaze u vakuumu me|usobno razmaknuti jedan metar, proizvodi me|u timvodi~ima silu od 2-10 newtona po metru njihove du ine.
Redni broj
1
2
3
4
5
6
7
Fizikalna veli~ina Osnovna jedinica SI
Naziv NazivZnak Znak
du`ina
masa
vrijeme
elektri~na struja
termodinami~ka temparatura
koli~ina materije
svjetlosna ja~ina
l, L)(
m
t
I
Iv
T
n
metar
kilogram
sekunda
amper
kelvin
mol
candela
m
kg
s
A
K
mol
cd
13
Kelvin je termodinami~ka temperatura koja je jednaka 1/273,16 termodinami~ketemperature trojne ta~ke vode.
Mol je koli~ina materije koji sadr`i toliko elementarnih jedinki koliko ima atomau 0.0012 kilograma ugljika 12.
Candela (kandela) je svjetlosna ja~ina u odre|enom smjeru koji odailje monokro-matsko zra~enje frekvencije 540 10 herca ikojemu je energetska ja~ina u tom smjeru 1/683wata po steradijanu.
11. generalna konferencija za mjere i utege (CGPM) definirala je 1960 godinejedinicu ugla (ravninskog ugla), radijan (znak: rad) i jedinicu ugla (prostornog ugla)steradijan (znak: sr) kao dopunske mjerne jedinice (Unites de mesure supplementares)Me|unarodnog sistema (SI) zato to te dvije jedinice nisu svrstane u osnovne, a ni uizvedene jedinice.
Tabela 1.2. Dopunske mjerne jedinice Me|unarodnog sistema (SI)
Definicije dopunskih mjernih jedinica Me|unarodnog sistema (SI):Radijan je ugao izme|u dva polumjera koji na kru`nici isijecaju luk du`ine jednake
polumjeru (1 rad = 1).Steradijan je ugao stoca s vrhom u sreditu kugle, koji na plohi kugle ome|uje
povrinu jednaku povrini kvadrata odre|enog polumjerom kugle (1 sr = 1).Kod nas jedinica ugla radijan (znak: rad) i jedinica ugla steradijan (znak: sr) svrsta-
vane su u dopunske jedinice (Slu`beni list, broj 9, od 17. februara 1984).11. generalna konferencija za mjere i utege (CGPM) prihvatila je godine 1960. nazive
i znakove za odre|eni broj izvedenih mjernih jedinica (Unites de mesure derivees)Me|unarodnog sistema (SI), s time da on nije kona~an, tako da se nove jedinice kasnijepo potrebi mogu dodavati. Kako je to bio veoma malen broj prema mnotvu izvedenihmjernih jedinica koje se danas upotrebljavaju, posebno ih ne navodimo.
1.5 KOORDINATNI SISTEMI
Polo`aj posmatranog tijela kojeg analiziramo u zadacima u proizvoljno izabranomprostoru, relativno se odre|uje prema usvojenom kordinantnom sistemu. Naj~ee emokoristiti pravougli desni Dekartov ili Kartezijski koordinantni sistem. Izbor ovog koordi-nantnog sistema uslovljen konvencijom ili dogovorom o izboru predznaka pomaka i rota-cija, koji su ~esto predmetom prou~avanja u zadacima mehanike. U klasi~noj mehanici jeprima-ran inercijski koordinantni sistem ili astronomski referentni sistem koji jezamiljen od osi pravouglog sistema, koji nema niti translacijskih niti rotacijskih pomaka.Zakoni mehanike vrijede u takvom sistemu ako su brzine kretanja tijela zanemarljive sobzirom na brzinu svjetlosti. Veli~ine koje dobijemo prema takvom sistemu nazivaju se apso-
Redni broj
1
2
Fizikalna veli~ina Dopunska jedinica SI
Naziv NazivZnak Znak
ugao (ravninski ugao)
ugao (prostorni ugao)
rad
sr
rad = m/m = 1
sr = m /m = 1
α, β, γ
Ω 2
radijan
steradijan
Me|ujedini~na jed.
14
lutnim veli~inama, a koordinantni sistem smatramo nepomi~nim u prostoru. Ukoliko takavkoordinantni sistem prostoru pri~vrstimo na povrinu Zemlje, tada se u mnogim zadacimamo`e takav sistem smatrati nepomi~nim jer je odstupanje od fundamentalnih jedna~inaneuva ivo.
1.6. KRUTO TIJELO
Pod krutim tijelom podrazumjevamo skupinu ~estica to su me|usobno povezanetakvim vezama koje se pod djelovanjem bilo kako velikih sila ne deformiraju. Takvoe kruto tijelo, bez obzira na veli~ine sila to na njega djeluju, ostati uvijek nede-formirano. Iako ovakvog tijela nema u prirodi, ta nam predpostavka omoguujerijeenje brojnih problema statike, bez obzira na dimenzije takvog tijela.
15
16
2.1. VEKTOR I SKALAR
O vektorima se prvi put govori u djelima holandskog fizi~ara Simona Stevina1600. godine (godina 1585). On je u mehaniku odnosno statiku prvi put uveo vektor.Sila je bila konkretni obrazac vektorske veli~ine. Razvojem mehanike fizi~ari sudolazili do otkria i zaklju~aka, koji su u sebi sadr`avali odnose izme|u vektorskihveli~ina. Fizi~ari i mate-mati~ari su pronali mnogo va`nih odnosa me|u vektorima ine govorei o vektorima.
Prvobitne operacije sa vektorima predstavljao je elementarni geometrijski metod,pomou kojeg je vektor uziman kao cjelina i predstava jedne fizi~ke veli~ine.
Iz elementarne fizike je poznato da se neke fizi~ke veli~ine mogu prikazivati jed-nim jedinim brojem. Vrijeme, temperatura, masa, zapremina, gustina, rad, razli~ite sufizi~ke veli~ine, ali se svaka od njih mo`e uspjeno prikazivati kvantitativno brojemodgovarajuih jedinica.
Odgovarajui brojevi odre|enih jedinica ne zahtjevaju nove dopunske komponenteza karakterisanje veli~ine koju pokazauju. Oni se mogu smatrati kao da su na nekojskali. Dovoljna je njihova vrijednost.
Takve fizi~ke veli~ine koje se mogu prikazivati jednim brojem nazivaju se skalarneveli~ine ili skalari. broj koji takvu veli~inu kvantitativno prikazuje naziva se brojna vrijed-nost skalarne veli~ine.
Skalarne veli~ine se ozna~avaju obi~nim slovima, kao na primjer t (vrijeme), m(masa), V (zapremina) itd. U fizici vrlo va`ne i veli~ine koje se ne mogu uspjenoprikazati jednim brojem. Kao primjer uzimamo putanje jednog tijela pod uticajem dru-gog tijela. Jedna od mjera za takvo uzajamno dejstvo je sila. Na neko tijelo mo`e djelo-vati vea ili manja sila (vea ili slabija). To prvo svojstvo sile naziva se intenzitet ilija~ina sile. Ali odmah se postavlja pitanje u kojem pravcu djeluje ta sila, pa je pravacdruga karakteristika takve fizi~ke veli~ine. No, pravac ima dva smjera, pa je za daljekarakterisanje takve veli~ine potreban i smjer.
Odmah se uo~ava da su takve veli~ine orijentisane i nazivaju se vektorske veli~ineili vektori.
Prema tome, karakteristike vektora su:1. Intenzitet (ja~ina),2. Pravac, i3. Smjer.
17
Intenzitet vektora nije nita drugo nego apsolutna vrijednost vektora, pa se tako inaziva. Za vektorske veli~ine va`i sli~no kao iza skalarne veli~ine, da imaju razli~itasvojstva prema svojoj prirodi, pa se ne mo`e rei da ih navedena tri svojstva vektorapotpuno karakteriu. Ali za kvalitativno fizi~ko prikazivanje ispostavlja se da su ta trielementa vektora vrlo efikasna, pa je utoliko vea i njegova va`nost kao i vektorauope.
Vektor se predstavlja usmjerenom (orijentisanom) du`i. (slika 2.1) Vektor imapo~etnu ta~ku ili po~etak i krajnju ta~ku ili kraj (zavretak). Smjer vektora ozna~avase strelicom na kraju du`i.
Na slici 2.1. prikazan je vektor A→ gdje jeO po~etna ta~ka ili po~etak vektora, a ta~ka Pkrajnja ta~ka ili kraj vektora. Brojnu vrijed-nost ili modul vektora ozna~avaemo istimslovom kao i vektor, ali bez strelice ili Α.Intenzitet vektora je skalarna veli~ina koja nemo`e biti negativna.
Dva vektora su me|usobno jednaka akosu jednaki njihovi intenziteti, ako su istogpravca i istog smjera, tj. ako su im jednake sve
Slika 2.1 Vektor A→
tri karakteristike koje su navedene za vektor uope. Dakle, dva vektora iste veli~ine i istog pravca, a makar i razli~itog smjera, opetnisu jednaki vektori.
Dva me|usobno jednaka vektora ne moraju biti prikazani jednom istom orijenti-sanom du`i. To su prema definiciji dva jednaka me|usobno paralelna vektora, od kojihse jedan ili drugi paralelnim pomjeranjem mo`e prenijeti u polo`aj drugog vektora sakojim e se potpuno poklopiti. Prema tome, tako definirani vektor ne mijenja se kada sepomjera u prostoru paralelno sa svojim prvobitnim polo`ajem(vidi sliku 2.2).
Slika 2.2 Dva jednaka vektora A→
i B→
A→ = OP→
= B→ = O1P→
1 (2.1.)A→ = B→
OP O1P1
18
Po~etak vektora posmatran kao napadna ta~ka vektora mo`e biti proizvoljno uzet,a mo`e biti odre|en u izvjesnom domenu ili u prostoru, ako se o njemu radi. Vektoremo`emo podijeliti:
a) Slobodni vektori kod kojih se napadna ta~ka mo`e izabrati proizvoljno u prostoru,pri ~emu treba da modul, pravac i smjer vektora ostanu nepromjenjeni.Slobodni vek-tor se mo`e pomicati paralelno samom sebi prema potrebi, a da se pri tom ne izmjeni.
b) Klizni ili linijski vektori, kod kojih se po~etna ta~ka vektora mo`e pomjerati(slika 2.3) po pravoj liniji, koja se poklapa sa pravcem vektora.Dejstvo je isto, a vektorse mo`e uzeti proizvoljno ili na primjer kao OP
→, ili O1P
→1 itd.
Slika 2.3. Klizni ili linijski vektor
c) Vezani vektori, kod kojih je odre|en po~etak tj. napadna ta~ka, pa se vektor nemo`e pomjerati, jer je u raznim ta~kama razli~it.
2.2. PROIZVOD VEKTORA I SKALARA
Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta vee apsolutne vrijed-nosti koliko taj skalar ima jedinica.Istog je smjera ako je skalar pozitivan, a suprotnog jesmjera ako je skalar negativan.
Zna~i da je prozvod vektora A→ i skalara k novi vektor B→ koji ima isti pravac kao ivektor A→ i isti smjer kako je k > 0 a suprotan smjer ako je k < 0.
A→. k = k . A→ = B→. (2.2.)
Ukoliko je k = 1, onda je B→ = A→, a to zna~i da su jednaki vektori paralelni (mogu sepoklopiti kada se dovedu jedan na drugi) i istog smjera. Ako je k = -1, onda je B→ = -A→.Za takva dva vektora ka`emo da su me|usobno suprotni, a to zna~i da su paralelni, isteapsolutne vrijednosti, ali suprotnog smjera. (slika 2.4.) Uopte se nazivaju i antiparalelni.
Slika 2.4. Antiparalelni vektori
0
01
A B = A→ → →
P
P1
19
Shodno svojstvu skalara, za proizvod vektora i skalara va`i relacija:
k . A→ = A→. k (2.3.)k(m . A→) = (km) . A→ = m(kA→)
(k + m)A→= kA→+ mA→.
Poglavlje vektorske analize dosta e se koristi u ud`benicima Kinematike i Dinamike paemo ovdje detaljnije objasniti neke pojmove koje nam nisu potrebne u Statici.
2.3 JEDINI^NI VEKTOR ILI ORT VEKTORA
Vektor kod koga je apsolutna vrijednost jednaka jedinici naziva se jedini~ni vektor.Svaki vektor se mo`e prikazati kao proizvod svog intenziteta i jedini~nog vektora kojije orijentiran kao taj dati vektor. Jedini~ni vektor koji ima isti pravac i smjer kao dativektor naziva se jedini~ni vektor ili ort datog vektora. Jedini~ni vektor se obi~noozna~ava isto kao njegov vektor, ali sa indeksom nula. Na slici 2.5. prikazan je vektorA→ apsolutne vrijednosti od A jedinica. Naravno ort A→0 sadr`i se u vektoru A→ ba A
puta.
A→= A . A→0 (2.4.)
A→0 = 1
Slika 2.5. Jedini~ni vektor
2. 4. VEKTOR POLO@AJA (RADIJUS - VEKTOR)
Osim navedenih i sli~nih fizi~kih vektorskih veli~ina tako|e se i polo`aj neke ta~keili tijela odre|uje pomou vektora. Polo`aj se odre|uje i prikazuje u odnosu na nekousporedno tijelo ili u odnosu na kordinantni sistem . Usvojeno je da se polo`aj ta~ke uprostoru odre|uje vektorom polo`aja ili radijus - vektorom.
Taj vektor obi~no se obilje`ava sa r→. Vektor polo`aja neke ta~ke zavrava u tojta~ki, odnosno on je orijentiran na toj ta~ki. Vektor polo`aja obi~no po~inje od nekeusvojene fiksne poredne ta~ke ili koordinantnog po~etka. Ort vektora polo`aja ozna-~ava se sa r→0.
Jasno je da vrijedi relacija:
r→ = r . r→0 = r→ . r→0 . (2.5.)
0A0→
A - jedinica
P
20
2.5. SABIRANJE VEKTORA
Kako vektori nisu obi~ni brojevi, jasno je da i njihov zbir i razlika zavise i od nji-hovog pravca i smjera. Predpostavimo da su nam data dva vektora A→ i B→. (slika 2.6.)
Slika 2.6. Vektori A→ i B→
Zbir dva vektora dobiva se kad se na vrh vektora A→ postavi po~etak vektora B→ kojise prenese paralelno samom sebi. Zbir A→ + B→ je tako|er vektor C→ koji po~inje napo~etku vektora A→a zavrava se na zavretku tako preneenog vektora B→.
Slika 2.7. Zbir vektora A→ + B→ je ista B→ + A→
Slika 2.8. Razlika vektora A→ B→
Ukoliko je dato vie vektora, tada se suma dobiva na potpuno isti na~in kao dvavektora.
Navedeni postupci pokazuju da za sabiranje vektora va`i pravilo poligona koje jeo~igledno i za proizvoljan broj vektora.
B B
B
→ →
→→ →
→
A B
A
C = A + BC = B +A
→ → →
→
→
→
→
→ → →
A
A
B
B
A B→ →
21
Za zbir vektora va`e slijedea svojstva:
1. A→ + B→ = B→ + A→ komutativnost, (2.6.)2. (A→+ B→)+C→=A→+ (B→+C→) asocijativnost, (2.7.)
3. (A→+ B→+ C→) = kA→+ kB→+ kC→distributivnost. (2.8.)
Slika 2.9. Suma tri vektora A→
+ B→
+D→
Projekcija vektora A→ na osu p je du`ina odsje~ka te ose P1Q1 ortogonalne projek-
cije ta~aka P i Q na p. (slika 2.10)
prA→= prPQ→
= (A→)p = ± P1Q→
1
Slika 2.10 Projekcija vektora na osu
Kona~ni ugaoni obrti nisu vektori. Pogotovo ne sve veli~ine i pravci. Tako na pri-mjer rotacija jednog krutog tijela prikazana je na slikama 2.11. - 2.16. Ne mogu sezbrajati dvije `eljene rotacije, izuzev kod beskrajno malih rotacionih uglova. To selako mo`e pokazati ako npr. izvodimo dvije okomite rotacije za ugao rotacije od 90°.Predpostavimo da rotiramo jednu knjigu. Nakon prve rotacije dolazimo do polo`ajakao na slici 2.12., a nakon daljeg okretanja u polo`aj slike 2.13. Ako knjigu rotiramou drugom smjeru iz ovog izlaznog polo`aja kao na sl. 2.11., dobivamo krajnji polo`aj,slika 2.16. Vidimo da prostorni polo`aj sada nije isti kao kod slike 2.13. O~igledno adi-cija nije komutativna. Nije mogue izvrti vektorijalno zbrajanje.Tu nedostaje znatnosvojstvo vektora.
Slika 2.11. Prvobitni polo`aj knjige Slika 2.14. Prvobitan polo`aj knjige
π
π
2
2
..
P
P1
A
Q
Q1
→
p
A + B + C→ → →
→
→
→
A
B
C
22
Slika 2.12. Polo`aj poslije jedne Slika 2.15. Polo`aj poslije jednerotacije za π/2 oko ose 1 rotacije za π/2 oko ose 2
Slika 2.13. Polo`aj knjige nakon Slika 2.16. Polo`aj krajnji nakonrotacije za π/2 oko ose 2 rotacije za π/2 oko ose 1
2.6. KOMPONENTE JEDNOG VEKTORA
U ogromnoj veini problema vektori se isklju~ivo prikazuju pomou koordinata uodre|enom koordinatnom sistemu. Naj~ee se koristi pravougli Descartes-ov koordi-natni sistem. U matematici i fizici upotrebljavaju se dva Descartes-ova koordinatna sis-tema: lijevi i desni sistem. Desni koordinatni sistem je onaj kod kog rotacija ose x ka osiy najkraim petem za posmatra~a uz z s desna ulijevo. u smjeru suprotno kazaljci na satu(slika 2.17.)
U tretiranju vektora pomou koordinatnihsistema vrlo je korisno uzeti u obzir jedini~nevektore osa. Na osnovu poglavlja 1.3. jasno jeda su to vektori respektivno du` x, y, i z ose,kod kojih je du`ina jednaka jedinici. Obi~no seozna~avaju sa i
→, j
→i k
→. (slika 2.18.) Zajed-
ni~ki se nazivaju koordinatni ortovi.
Slika 2.17. Desni koordinatni sistem
0x y
z
π
π
2
2
23
Pretpostavimo da nam je dat vektor A→ = OP→ u
koordinnatnom sistemu. Dati vektor mo`emorazlo`iti na tri vektora du` koordinatnih osa, pa je:
OP→
= A→ = Axi→ + Ay j
→ + Azk→
, (2.9.)
vektori Axi→, Ay j→, Azk
→ nazivaju se komponente
vektora A→ = OP→
.
Slika 2.18. Jedini~ni vektori
Projekcije vektora A→ na osama su alge-barske veli~ine Ax, Ay, Az.To su koordinate
vektora A→. Zna~i A→ mo`emo napisati uobliku zbira njegovih komponenata. (slika2.19.)
A→ = Axi→ + Ay j→ + Azk
→, (2.10.)
Intenzitet vektora A→ je
(2.11.)
Relacija me|u uglovima je:cos2αx + cos2αy + cos2αz = 1, (2.12.)
Slika 2.19. Komponente vektora
odnosno:
(2.13.)
Na isti se na~in prikazuje i vektor polo`aja r→. Njegove projekcije su koordinate pos-matrane ta~ke.
rx = x, ry = y, rz = z(2.14.)r→ = xz
→ + y j→ + z k
→,
odnosno intenzitet
(2.15.)= 2 2 2xr y z+ + .
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
=
=
=
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
x
x
x
y
y
y
z
z
z
x
y
z
+
+
+
+
+
+
cos
cos
cos
α
α
α
A A A AA→
= = 2 2 2x y z+ + .0
P Ax,( AzAy, )
x
z
y
Ay j
Azk
Ax i →
→
→
→
→
→
→
ij
kαx
αz
αy
A
0
x
y
z
k
j
i
→
→
→
24
2.7. SKALARNI PROIZVOD DVAJU VEKTORA
Skalarni proizvod dvaju vektora je proizvod apsolutne vrijednosti (intenziteta) jednogvektora i projekcije drugog vektora na njemu ili skalarni proizvod dvaju vektora je proizvodnjihovih apsolutnih vrijednosti (intenziteta) i kosinusa uglova me|u tim vektorima.Tajproizvod je skalarna veli~ina, pa se zato naziva skalarni.Mo`emo napisati relaciju:
A→° B→ = ABcos ∠ (A→, B→) = AB cos θ
0 ≤ 0 ≤ ∏ . (2.16.)
Ako ugao θ le`i izme|u π2 i 3π2 tada je A→° B→ negativno. Kada je A→ = B→ slijedida je cos ∠(A→, B→) = 1 tada je
A→° B→ = A2 = A→2 (2.17.)
Slika 2.20. Prikaz vektorskog proizvoda B(Acos θ) = A→. B→
A(Bcos θ) = A→. B→
Ako je θ = π2 tada je A→. B→ = 0.
Poto vrijedi relacijacos ∠( A→, B→) = cos ∠(B→, A→),
to jeA→ ° B→ = B→ ° A→, (2.18.)
to jest veli~ina skalarnog proizvoda dvaju vektora ne mijenja se promjenom reda fakto-ra, a to zna~i da za skalarni proizvod vrijedi komutativni zakon.
Prema pravilu o projekcijama dobiva se kao skalarni proizvod jednog vektora sazbirom drugih vektora slijedea relacija:
A→ ° ( B→ + C→) = A→ ° B→ + A→ ° C, (2.19.)a to zna~i da za skalarni proizvod vektora va`i distributivni zakon.
Ako je konstanta onda vrijedi
k( A→ ° B→) = k A→ ° B→ = A→° (k B→) = ( A→° B→)k. (2.20.)Skalarni proizvod nekog vektora sa jedini~nim vektorom jednak je projekciji tog vek-
tora na osu jedini~nog vektora.A→0 ° B→ = B . cosθ, (2.21.)
θ θ θ
A A
A
B
B B
→ →→
→
→ →
Acosθ
Bcosθ
25
gdje je A0 = 1, θ ∠(A→0, B→).
Skalarni proizvod dva kordinantna orta kod pravouglog koordinantnog sistema dobi-va se prema predhodnom:
i→° j→ = j→° z→ = j→° k→ = k→° i→ = i→° k→ = 0
i→ ° i→= j→° j→= k→° k→ = i→2 = j→2 = k→2 = 1. (2.22.)Dakle, skalarni proizvod dva razli~ita koordinantna orta jednog sistema jednak je
nuli, a skalarni proizvod jednog orta sa samim sobom jednak je jedinici.Ako izrazimo vektore u funkciji njihovih projekcija na koordinantnim osama skalarni
proizvod jeA→ ° B→ = ( Axi + Ay j + Azk) . (Bxi
→+ By j→+ Bzk
→)
A→ ° B→ = AxBx + AyBy + AzBz. (2.23.)
2.8 VEKTORSKI PROIZVOD DVAJU VEKTORA
Vektorski proizvodi dvaju vektora A→ i B→ je vektor C→, kod kojeg je intenzitet jed-nak povrini paralelograma, ~ije su strane dati vektori i koji je normalan na toj povrini,a takvog smjera da za posmatra~a, koji stoji uz vektor C→ rotacija najkraim putem odA→ do B→ bude pozitivna (suprotno smjeru kretanja kazaljke na satu). Vektori A→, B→ i C→
tim redom ~ine desni koordinantni sistem. (slika 2.22)
Apsolutna vrijednost vektorskog proizvoda je
C = C = A × B = A . B . sinθ. (2.24.)
Slika 2.21. Vektorski proizvod C→
= A→
× B→
Slika 2.22. Rotacija vektora A→
ka vektoru B→
najkraim putem
C = B×A→ → →
→
→
A
B
θ
26
Navedena definicija pokazuje da se promjenom redoslijeda istih vektora A→ i B→ u vek-torskom proizvodu dobiva kao vektorski proizvod upravo vektorski proizvod upravo vek-tor - C→, (slika 2.23.) to jest vektor sa obrnutim smjerom, odnosno suprotni vektor.
Dakle, promjenom reda faktora vektor-ski proizvod mijenja znak, a veli~ina ostajeista.
A→× B→ = -B→× A→. (2.25.)
To zna~i da za vektorski proizvod ne va`ikomutativni zakon, nego mjesto njega va`iantikomutativni ili alternativni zakon.
Slika 2.23. Vektorski proizvod A→× B
→
Za vektorski proizvod vrijedi distributivni zakon.
A→× (B→+ C→) = A→× B→+ A→× C→
(B→+ C→) × A→ = B→× A→+ C→× A→(2.26.)
Pri mno`enju vektorskog proizvoda skalarom vijedi asocijativni zakon:
k(A→× B→) = (kA→) × B→= kA→ × B→. (2.27.)Vektorski proizvod mo`e biti jednak nuli ako je jedan od faktora jednak nuli , ili kada
je ugao me|u vektorima jednak nuli, tj kada su vektori paralelni (kolinearni). Prema tomeuvijet paralelnosti dvaju vektora je:
A→× B→= 0. (2.28.)Kao posljedica tog zaklju~ka slijedi da je vektorski proizvod nekog vektora sa samim
sobom jednak nuli.A→× A→= 0. (2.29.)
Ove relacije, dakle, pokazuju istovremeno i uvjet kolinearnosti vektora. Prema tomeuvjet kolinearnosti je:
A→× B→= 0. (2.30.)Prema definiciji vektorskog proizvoda i prema slici 2.18 gdje je dat osnovni triedar
(koordinantna baza) sa jedini~nim vektorima i→, j→, k→ koji su me|usobno normalni, o~i-gledno proizilazi:
i→× j→= k→
j→× k→ = i→
k→ × i→= j→,
(2.30.)
a prema alternativnom zakonuj→× i→= - k→
k→ × j→= - i→
i→× k→ = - j→.
(2.31.)
θ
A
B
C=A×B
→
→
→ → →
27
Koristei jedna~inu (2.29) zaklju~ujemo da i za ortove va`i ista relacija
i→× i→= j→× j→= k→ × k→ = 0. (2.32.)Da bi smo vektorski proizvod dvaju vektora prikazali u analiti~kom obliku, pred-
postavimo da imamo dva vektora
A→ = Axi→ + Ay j
→ + Azk→
B→ = Bxi→ + By j→ + Bzb
→.
Tada se vektorski proizvod mo`e predstaviti determinantom
(2.33.)
Razvijenjem determinante dobijemo da je:
A→× B→ = ( Ay Bz Az By)i→ + (Az Bx Ax Bz)j→ + (Ax By Ay Bx)k
→. (2.34.)
Ako su nam data dva vektora A→ i B→, (slika 2.24.) mo`e se vektor B→ razlo`iti nadvije komponente: unutranju B→u = OP
→na pravcu vektora A→ i spoljanju B→s = PQ
→nor-
malnu na vektor A→.
Skalarni proizvod vektora A→ i B→
jednak je proizvodu intenziteta (veli-~ine) vektora A→ i intenziteta (veli~ine)vektorskog proizvoda ili spoljanjegproizvoda vektora A→ i B→ jednaka jeproizvodu intenziteta vektora A→ i in-tenziteta spoljanje komponente vektoraB→. Ovdje se radi o veli~ini, tj apsolutnoj(brojnoj) vrijednosti odgovarajuih pro-izvoda, a orijentacija vektorskog proizvo- Slika 2.24. Razlaganje vektora B→na komponente
da dobiva se prema poznatom pravilu.
2.9. VEKTORSKO - SKALARNI (MJE[OVITI) PROIZVOD
Prema definiciji ovaj proizvod se mo`e napisati (A→× B→) ° C→. Vektorsko - skalarniproizvod je skalar. Predpostavimo da imamo tri vektora koji imaju zajedni~ki po~etak ida nisu komplanarni. Nadalje pretpostavimo da vektori A→, B→, C→, imaju me|usobnipolo`aj kao ose desnog koordinantnog sistema.
Vektorski proizvod A→× B→ brojno je jednak povrini paralelograma strana A i B, apredstavljen je vektorom S→, koji je normalan na ravan vektora A→ i B→. Zatim je
S→ ° C→ = S . C . cosθ = S . h = V, (2.35.)
0
0
α
B
Bu
Bs
P A
→→
→ →
=A A A Ax
x
y
y
z
z
i j k× B
B B B
→→ → →
→
28
a to je zapremina paralelopipeda, kod kojega su stranice A, B, C. Ugao θ je otar podpredpostavkom da A→, B→, C→imaju redoslijed osa desnog sistema. Poto θ mo`e biti itupi ugao, onda u opem slu~aju imamo da je
(A→× B→) ° C→ = ±V, (2.36.)ili vektorsko - skalarni proizvod triju vektora brojno je jednak zapremini paralelopipeda,~ije su ivice dati vektori, sa pozitivnim zrakom ako je redoslijed vektora isti kao kod osausvojenog sistema, a sa negativnim znakom ako je redoslijed obrnut.
Slika. 2.25. Prikaz vktorsko skalarnog proizvoda
Zapremina se mo`e dobiti i kao
(A→× B→) ° C→ = (B→× C→) ° A→ = (C→× A→) ° B→, (2.37.) to zna~i da se cikli~nom permutacijom triju vektora ne mijenja njihov vektorsko -skalarni proizvod.
Svakom drugom permutacijom mijenja se znak proizvoda kao naprimjer:
(A→× B→) . C→ = (B→× A→) . C→, (2.38.) Vektorsko-skalarni proizvod triju ne mijenja se kada se me|usobno zamijene znaci
vektorskog i skalarnog mno`enja, ali pod uslovom da se ne mijenja redoslijed faktora
(A→× B→) ° C→ = A→° (B→× C→)
(A→× B→) ° C→ = A→ ° (B→× C→). (2.39.)
Odnosno vrijedi da je:
A→× B→° C→ = B→× C→° A→ = C→× A→° B→ =
= C→° A→ × B→ = A→° B→× C→ = B→ ° C→× A→. (2.40.)Na osnovu ovoga mjeoviti proizvod mo`e se ozna~iti i kao:
[A→B→C→] ili (A→B→C→).Ako su vektori me|usobno komplanarni, onda je zapremina (koju treba da obrazuje)
paralelopipepeta jednaka nuli;A→° (B→× C→) = 0, (2.41.)
to je ujedno i uslov komplanarnosti.Vektorsko - skalarni (mjeoviti) proizvod koordinantnih ortova
i→° (j→× k→) = i→° i→ = 1. (2.42.)
29
Predpostavimo da su nam vektori A→, B→, C→ izra`eni preko projekcija
A→ = Axi→+ Ay j→+ Azk
→,
B→ = Bxi→+ By j→ + Bzk
→,
C→ = Cxi→+ Cy j→ + Czk
→,
tada je mjeoviti proizvod vektora
[A→B→C→] = (A→B→C→) = A→ ° (B→× C→) = (2.43.)
Razvijanjem u determinantu imamo da je
A→° (B→× C→) =(Axi→+ Ay j→ + Azk
→)[(ByCz BzCy)i→ +
+ (BzCx BxCz)j→ + (BxCy ByCx) k
→]. (2.44.)
Za jedini~ne vektore vrijedi
[i→ j→ k→] = (i→ j→ k→) = (i→× j→) ° k→ = = 1. (2.45.)
2.10 DIFERENCIRANJE VEKTORA
Osnovna pravila diferenciranja skalara vrijede i za vektore. Neka je vektor A→ pro-mjenjiv koji zavisi od skalarnog argumenta u A→(u).
Izvod vektora A→ po argumentu u uz uslov kontivualnosti i limesa je
(2.46.)
Ako izrazimo vektor A→preko projekcija A→(u) = A→x (u) i→ + Ay(u) j→+ Az(u) k→ tada
e izvod vektora A→glasiti:
(2.47.)
Naprimjer, za drugi izvod vektora A→po argumentu u imat emo:
(2.48.)
Predpostavimo da da nam je poznata skalarna funkcija Φ(u) i dvije vektorskefunkcije A→(u) i B→(u) tada e vrijediti relacije
.2
2
2
2
2
2
2
2 →→→→
++= kdu
Adj
du
Adi
du
Ad
du
Ad zyx
.→→→
→
++= kdudA
jdu
dAi
dudA
duAd zyx
11
1
000 0
00
A A Ax
x
x
y
y
y
z
z
z
BC
BC
BC
30
(2.49.)
(2.50.)
(2.51.)
2.11. INTEGRIRANJE VEKTORA
Neodre|eni integral vektora B→ naziva se funkcija A→, koja ispunjava uslov
(2.52.)
odnosno funkcija ~iji je proizvod po skalaru u jednak zadatom vektoru B→. Prema tome
(2.53.)
gdje je konstantni vektor C→uzet to se diferenciranjem (2.53.) dobiva (2.52.) bez obzi-ra na vrijednost vektorske konstante C→. Ako je vektor A→ dat u obliku
A→
(u) = Ax(u) i→ + Ay(u) j→ + Az(u) k→
tada je
(2.54)
Odre|eni integral funkcije A→(u) uzet u granicama od neke vrijednosti α do vrijed-nosti β naziva se razlika vrijednosti prvobitnih funkcija uzetih za granice α i β, to jest
(2.55.)
2.12. GRADIJENT, DIVERGENCIJA I ROTOR
Poto navedeni podnaslov nije predmet razmatranja gradiva Statike nego Kinematikei Dinamike dat emo samo neke osnovne definicije a ~italac se upuuje na literaturu sadetaljnim upoznavanjem ove materije [21].
Da bismo objasnili gradijent, divergenciju i rotor definirajmo skalarno i vektorsko polje.Prostor u kojem svakoj ta~ki odgovara neki skalar naziva se skalarno polje.Prostor u kojem je za svaku ta~ku vezan neki vektor, kao predstava fizi~ke realnosti
naziva se vektorsko polje.
→→→→→→−=+=
∫=∫ ).()()()()( αββ
α
β
α
β
αBBcuBduuB
dud
duuA
.)()()()( duuAkduuAjduuAiduuA zyx ∫+∫+∫=∫→→→→
,→→→
+∫= CduBA
→→
= Bdu
Ad
→→→
→→→×+×=
× B
duAd
duBd
ABAdud
→→→
→→→⋅+⋅=
⋅ B
duAd
duBd
ABAdud
→→
→ Φ+Φ=Φ Adu
d
du
AdA
du
d )(
31
I uope,ograni~en ili neograni~en prostor, u kojemu je pri prou~avanju nekefizi~ke pojave za svaku ta~ku vezan neki skalar ili vektor naziva se fizi~ko polje.
Ako je polo`aj ta~ke odre|en koordinatama (x, y, z)(ili vektorom polo`ajar→= xi→ yj→+ zk→), onda je skalarno ili vektorsko polje dato kada se zna doti~ni skalarili vektor u funkciji od koordinata polo`aja pojedinih ta~aka (ili vektora polo`aja).
Ozna~imo skalarnu funkcijuΦ = Φ(x, y, z), (2.56.)
a vektorsku funkcijuA→=A→(x, y, z). (2.57.)
Polje Φ(x, y, z) ili A→= A→(x, y, z), koje se nemijenja u toku vremena,te ne za-visi od vremena t, naziva se stacionarno ili konstantno polje, a polje Φ(x, y, z) ili
A→=A→(x, y, z) koje se mijenja u toku vremena, tj. koje zavisi od vremena naziva se nesta-cionarno ili varijabilno polje. Funkcije Φ(x, y, z) i A→=A→(x, y, z, t) su jednozna~ne, konti-nualne i mogu se diferencirati.
Vektor koji u posmatranoj ta~ki skalarnog polja ima smjer najbr`eg rastaskalara Φ, a veli~inu jednaku porastu skalara Φ u tom istom pravcu, po beskona~nomaloj du`ini, naziva se gradijent skalara Φ.
(2.58.)
Dakle, veli~ine komponenata vektora grad Φ su parcijalni izvodi skalara Φ po kor-dinatama vektora polo`aja ta~ke P(xyz) u kojoj se gradijent ra~una.
Iz jedna~ina (2.58) vidimo da se radi o diferenciranju veli~ine Φ po odgo-varajuim promjenjivim, to zna~i mo`emo izdvojiti skalar iza zagrade.
(2.59.)
Izraz u zagradi naziva se Hamiltonov operaror nabla i ozna~ava se simbolom ∇.
(2.60.)
Divergenciju mo`emo predstaviti pomou Hamiltonovog operatora ∇. (2.60.)
(2.61.)
div A→ = ∇ . A→. (2.62.)
Jedna~ina (2.62) pokazuje da je divergencija vektora A→jednaka skalarnomproizvodu operatora nabla i vektora A→.
)()(→→→→→→→
++⋅∂∂+
∂∂+
∂∂= kAjAiAk
zj
yi
xAdiv zyx
zA
yA
xA
Adiv zyx∂
∂+∂
∂+
∂∂=
→
.z
ky
jx
i∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
→→→
.Φ
∂∂+
∂∂+
∂∂=Φ
→→→
zk
yj
xigrad
→→→
∂Φ∂+
∂Φ∂+
∂Φ∂=Φ k
zj
yi
xgrad
32
Rotor predstavlja vektorski proizvod dvaju vektora sa komponentama koje imaju ovevrijednosti
Prema tome,
(2. 63.)
rot A→
= ∇ × A→
. Prethodna jedna~ina pokazuje da je rotar vektora A→ jednak vektorskom proizvodu
operatora nabla i vektora A→
. Ovu jedna~inu mo`emo napisati u obliku:
(2.64.)
Na osnovu teorijee skalara i vektora iz [21] zaklju~ujemo da vrijede relacije
div rot = ∇. (∇ × A→) = 0, (2.65.)
rot grad Φ = ∇× (∇Φ) = 0. (2.66.)
2.13. LINIJSKI INTEGRAL VEKTORA
Neka je dato vektorsko polje sa karakteristi~nim vektorom A→i u polju kriva linijaC. U raznim ta~kama te krive, vektor A→ ima uopte razli~ite vrijednosti. Radijus vek-tora polo`aja ta~ke na krivoj liniji je r→ (t) = x (t) i→ + y (z) j→ + z (t) k.
→. Kada ta~ka
bude u ta~ki P1 vrijeme je t1 , a kad
do|e u polo`aj P2 vrijeme je t2.
Linijski integral vektora A→ du`krive linije P1P2 naziva se grani~na
vrijednost sume skalarnih proizvo-da A→ i elemenata ∆ r→, kada broj ntih proizvoda te`i beskona~nosti, aveli~ina elemenata te`i nuli.
(2.67.)∑ ∆=
∫=→→
→
→→n
lirdAii
n
aP
iP
rA .limα
z
x
y
P1
P2Pi Pi+1
A→
C
0
r t( )
dr
→
→
.→
∂
∂−∂
∂+ k
yA
xA xy
= = + +
A A A
A A AA
x
x xy yz zz
y
y
z
z z z
i
i
j
j
k→
→
→→
→→
rot A ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
( )
++×
∂∂+
∂∂+
∂∂=
→→→→→→→,kAjAiAk
zj
yi
xArot zyx
.,, zyx AAiAz
ky
jx ∂
∂+∂∂+
∂∂ →→
33
Slika 2.26. Prikaz krive linije u vektorskom polju
Jedna~inu (2.67) mo`emo napisati i u druga~ijemu obliku
(2.68.)
Linijski integral vektora po zatvorenoj krivoj liniji (konturi) naziva se cirkulacijavektora du` te konture i ozna~ava se sa:
(2.69.)
Ako vektor predstavlja neku silu, a kriva P1P2 predstavlja trajektoriju ta~ke, onda
je linijski integral takog vektora du` te trajektorije rad sile na putu koji napada, a ta~kapre|e.
(2.70.)∫ =⋅=⋅∫=Γ→→→→ 2
121
.P
PPPArdFrdF
.dzAdyAdxArdA zc
yx +∫ +∫=⋅=Γ→→
∫ ∫ ∫ ++=⋅=⋅→→→→a
i
P
P c czyx dzAdyAdxAdrAdrA .
34
Rijeeni zadaci iz poglavlja 2.
Zadatak 2.1.
Poznati su nam vektori A→, B→, C→. Potrebno je konstituirati sljedee vektore:
a) A→ B→+ 2C→
b)
Rjeenje:
Slika uz zadatak 2.1.
Zadatak 2.2.
Vektor je definiran po~etnom ta~kom P(x1, y1, z1) i krajnjom ta~kom Q(x2, y2, z2).
Izra~unati du`inu vektora.
Rjeenje:
Vektori polo`aja ta~ke P i Q su→→→→
++= kzjyixr 1111
A
A
BB
B
C
2C
3C
2A
→
→
→→
→
→
→
→
→ →
→
→→
→
→→
→
→ →→ → →
→
A BC A
BC
+ 2 = +( ) + 2
→
→
→→
2 +
() =
2
A
B
AB
3 + + (2
)
= 3 (2
)
C
AB
C
AB
[
]
12
12
BA2( ) 12
).2(21
3→→→
−− BAC
35
ili
PQ→
= r→2 r→2
PQ→
= (x2 i→+ y2 j→+ z2k→) +
+ (x1i→ y1 j
→+ z1k
→)
PQ→
= (x2x1) i→+ (y2 y1) j
→+ (z2z1)k. .
Slika uz zadatak 2.2.
Intenzitet vektora PQ→
je
Zadatak 2.3.
Date su koordinate ta~aka (0,0,0), (3,2,0), (4,6,0) i (1,3,0) koje ~ine jedan~etverokut. Koliki ugao ~ine dijagonale tog ~etverokuta?
Rjeenje:
OA→
= 3i→
+ 2j→
O~ito je OB
→= 4i
→+ 6j
→
OC = i→
+ 3j→
OC→
= OA→ OC→
= 2i→ j→.
Slika uz zadatak 2.3.
Skalarni proizvod
β =82°53′.
1240,0252
2cos ==β
( ) βcos1264264 222 ⋅−++=
−
+
→→→→jiji o
βcos⋅=→→→→
GAOBCAOBo
x
y
C(1,3,0)
B(4,6,0)
A(3,2,0)
0(0,0,0)
β
.)()()( 212
212
212 zzyyxxPQ ++−=
→→→=+ 2rPQr
→→→→++= kzjyixr 2222
x
z
y
0
)
)
z1
z2
y1,
y2,
x1,
x2,
P(
Q(
r1
r2
→
→
36
Zadatak 2.4.
Dokazati da je povrina paralelograma (A→× B→) ~ije su strane A→i B→.
Rjeenje:
Povrina paralelograma
P = h . B→P = Α→ . sin θ B→P = A→× B→ .
Slika uz zadatak 2.4.
Zadatak 2.5.
Ako su poznati vektori A→= i→
+ j→
, B→
= 2i→
3j→
+ k→
, C→
= 4j→
3k→
, potrebno jenai vrijednost:
a) (A→× B→) × C
→
b) A→× (B→× C
→).
Rjeenje:
a) Kako je A→ × B→ = onda je
b) Kako je slijedi da je
Iz rezultata vidimo da je
(A→× B→) × C→≠ A→× (B→× C
→).
.88865011
→→→
→→→
→→→+−==
×× kji
kji
CBA
→→→
→→→
→→++=
−−=× kji
kji
CB 865340
132
.4323340
511→→→
→→→
→→→++=
−−×
× kji
kji
CBA
→→→
→→→
−−=−
kji
kji
5132011
A
B
h
θ
→
→
37
Zadatak 2.6.
Dokazati
gdje su A→i B→ diferencijabilne funkcije od u.
Rjeenje:
Metoda 1°
Metoda 2° Izrazimo vektore A→i B→preko koordinata
A→= Ax i→+ Ay j
→+ Az k→
B = Bx i→+ By j→+ Bz k
→
.→
→→→
+= Bdu
Addu
BdA oo
+++ z
zy
yx
x BdudA
Bdu
dAB
dudA
+
++= z
zz
yy
xx B
dudB
Adu
dBA
dudB
A
)()( zzyyxx BABABAdud
BAdud ++=
→→o
.→
→→→
+= Bdu
Addu
bdA oo
∆
∆∆+
∆∆+
∆∆=
→→
→→→
→
→∆b
uA
BuA
uB
Au
ooolim0
duBABABA→→→→→→
→∆
∆∆+∆+∆= ooolim
0
u
BABBAA
BAud
u ∆
−
∆+
∆+
=
⋅
→→→→→→
→∆
→→oo
0lim
→→→
→→→+= B
duAd
duBd
ABAdud
ooo )(
38
Zadatak 2.7.
Data je skalarna funkcija Φ(x,y, z) = x2yz i vektor A→
= 3x2 y j→
+ y z2 j→ x z k→.
Kolika je vrijednost u ta~ki P (1, -2, -1)?
Rjeenje:
Za vrijednosti x = 1, y = -2 i z = -1 imamo da je
Zadatak 2.8.
Izra~unati za A→
= (3u2 1) i→+ (2u 3) j→+ (6u2 4u) k→
.
Rjeenje:
( ) ( ) ( )→→→→→
+=
−+−+−− kikji 86223111
( ) ( ) ( ) −
−+−+−→→→kji 8166428
∫2
2 23 3
u =1
→ → →= ( ) + ( 3 ) + (2 2 )u u i u u j u u k
∫ ∫A u du( ) = A u du( ) =2 2
2 2
u =1 u =1
(3 1) + (2 3) + (6 4 )u i u j u u k du =→ → → →
( )∫=
→2
1uduuA
.212122 →→→→
+−−=
Φ
∂∂∂
kjiAzy
.266 3224→→→
−+= kzxjyzxiyx
=
−+
∂∂=
Φ
∂∂∂ →→→→
kyzxjzyxiyxy
Azy
3222242
233
→→→−+= kyzxjzyxiyx 322224 233
=
−+
∂∂=
Φ
∂∂ →→→→
kyzxjzyxizyxz
Az
23322243
2 2 2 2 2 2 23 34→ → → → → → →
( ) = ( )(2 + ) = 3 + ΦA x yz x y i yz j xz k x y z i x y z j x yz k
Φ
∂∂∂ →
Azy
2
39
Zadatak 2.9.Izra~unati za Φ = x2yz3 i A→ = xz i→ y2 j→ + 2x2yk→ sljedee izraze:
a) ∇Φ, b)∇ ° A→, c) ∇ × A→, d) div(ΦA→), e) rot(ΦA→).
Rjeenje:
a)
= 2xyz3 i→
+ x2z3 j→
+ 3x2yz2 k→
.
b)
c)
d)
e) =+−∇=Φ×∇=Φ→→→→→kzyxjzyxiyzxAArot 32433243 2()()( o
.633 22432242 zyxzyxyzx +−=
=∂∂+−
∂∂+
∂∂= )2()()( 32433243 zyx
zzyx
yyzx
x
=++∇=Φ∇=Φ→→→→→
)2()()( 32433243 kzyxjzyxiyzxAAdiv oo
.)4(2 2→→
−+= jxyxix
=
∂∂−−∂
∂+
∂∂−∂
∂
−∂
∂−∂∂=
→→→kxz
yy
xjyx
xxy
ziy
zyx
y)()()2()()()2( 2222
=
−∂∂
∂∂
∂∂=
→→→
yxyxyzyx
kji
22 2
=
+−×
∂∂+
∂∂+
∂∂=×∇
→→→→→→→kyxjyixzk
zj
yi
xA 22 2
.2)2()()( 22 yzyxz
yy
xzx
−=∂∂+−
∂∂+
∂∂=
=
+−
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
→→→→→→→kyxjyixzk
zj
yi
xA 22 2oo
=∂Φ∂+
∂Φ∂+
∂Φ∂=Φ
∂∂+
∂∂+
∂∂=Φ∇
→→→→→→k
zj
yi
xk
zj
yi
x
40
Zadatak 2.10.
a) Doka`ite da je ∇ × = 0, ako je A→ = (2xy + z3) i→ + (x2 + 2y) j→ + (3xy2 2) k→.b) Prona|ite skalarnu funkciju Φ za koju je A→ = ∇Φ.
Rjeenje:
a)
.b) Metoda 1°
Integracijom prethodnih izraza dobijamo da je:Φ = x2y + xz3 + C1(y, z)
Φ = x2y + y2 + C2(x, z)
Φ = xz3 2z + C3(x, y).
Integracione konstante su:C1(y, z) = y2 2z, C2(x, y) = xz3 2z, C3 = x2y + y2,
tada je Φ = x2y + xz3 + y2 2z.
Metoda 2°
=
++⋅
∂Φ∂+
∂Φ∂+
∂Φ∂=
→→→→→→→→kdzjdyidxk
zj
yi
xrdAo
.23
2
2
2
2
3
−=∂Φ∂
+=∂Φ∂
+=∂Φ∂
xzz
yxy
zxyx
→→→→
∂Φ∂+
∂Φ∂+
∂Φ∂=Φ∇= k
zj
yi
xA
0
2322 223
=
−++∂
∂∂
∂∂
∂=×∇
→→→
→
xzyxzxyzyx
kji
A
.)2()84()34( 4333333323234→→→
+−−++= kzxzxyjyzxyzxizyxyzx
=
−∂
∂∂
∂∂
∂=
→→→
32233243 2 zyxzyxyzxzyx
kji
41
totalni diferencijal od Φ.U ovom izrazu je:
dΦ = A→ ° dr→ = (2xy + z3)dx + (x2 + 2y)dy + (3xz2 2)dz =
= [(2xy + z3)dx + x2dy + 3xz2dz] + 2ydy 2dz =
= d(x2y + xz3) + d(z2) + d(-2z).
Funkcija je Φ = x2y + xz3 + y2 2z.
Zadatak 2.11.
Dat je vektor A→ = (3x2 6yz) i→+ (2y + 3xz) j→+ (1 4xyz2) k→
.
Izra~unati ∫A→. dr→
izme|u ta~aka (0,0,0) i (1,1,1).
a) x = t, y = t2, z = t3,b) du` linije od (0,0,0) do (0,0,0) tada do (0,1,1) i (1,1,1),
c) du` linije od ta~ke (0,0,0) do (1,1,1).
Rjeenje:
∫c
A→° dr→
= ∫(3x2 6yz) i→+ (2y + 3xz) j→+ (1 4xyz2) k→ ° (dxi
→+ dy j
→= dz k
→) =
= ∫c
c
(3x2 6yz)dx + (2y + 3xz)dy + (1 4xyz2)dz.
a) 1° na~in: Kada je t = t, y = t2, z = t3 ta~ke (0,0,0) i (1,1,1) vrijeme t = 0 i t = 1.
∫c
A→° dr→
= ∫3t2 6(t2)(t3) dt + d(t3) + 1 4(t)(t2)(t3)d(t3) =
= ∫c
c
(3t2 6t5)dt + (4t3 + 6t5)dt + (3t2 12t11)dt = 2.
2° na~in:
A→
(3t2 6t5) i→
+ (2t3 + 3t4) j→
+ (1 4t9) k→
i
r→
= x i→
+ y j→
+ z k→
= t i→
+ t2 j→
+ t3 k→
dr→
= (i→
+ 2t j→
+ 3t2 k→
)dt.
∫c
A→
° dr→
= ∫1
0(3t2 6t5)dt + (4t3 + 6t5)dt + (3t2 12t11)dt = 2.
b) Du` prave izme|u (0,0,0) i (0,0,1) je x = 0, y = 0, dx = dy = 0, z je od 0 do 1.
∫1
z=0(3)2 6(0)(z)0 + 2(10) + 3(0)(z)0 + 1 4(0)(0)(z2)dz = ∫
1
z=0dz = 1.
Od (0,0,1) do (0,1,1) je x = 0, z = 1, dx = 0 i dz = 0, y je izme|u 0 i 1.
∫1
z=03x2 6(1)(1)dx + 2(1) + 3x(1)0 + 1 4(0)(y)(1)20 = ∫
1
z=02ydy = 1.
,Φ=∂Φ∂+
∂Φ∂+
∂Φ∂= ddz
zdy
ydx
x
42
Od (0,1,1) do (1,1,1) je y = 1, z = 1, dy = 0, dr = 0, x je izme|u 0 i 1.
∫1
z=03x2 6(1)(1)dx + 2(1) + 3x(1)0 + 1 4x(1)(1)20 = ∫
1
z=0(3x2 6)dx = -5.
c) Za ta~ke (0,0,0) i (1,1,1) je x = t, y = t, z = t, dx = dy = dz = dt.
∫cA→dr→ = ∫
c(3x2 6yz)dx + (2y + 3xz)dy + (1 4xyz2)dz =
= ∫1
t=0(3t4 6t2)dt + (2t + 3t2)dt + (1 4t4)dt =
= ∫1
t=0(2t + 1 4t4)dt = 65 .
43
![[XLS] · Web view1 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 5 1 1 1 1 34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 240 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 5 1 1 1 1 8 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5ad1d2817f8b9a05208bfb6d/xls-view1-1-1-2-3-1-1-2-2-1-1-1-1-1-1-2-1-1-1-1-1-1-2-1-1-1-1-2-2-3-5-1-1-1-1.jpg)
