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（付録） 「描像と表示（１）」 1. 電磁波の運動量（古典論） 2. 光量子仮説とド・ブロイ波 3. デイラックの記法 4. ハイゼンベルグの運動方程式 5. シュレーディンガー方程式 6. 演算子と実関数 7. リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式 8. 補足
暫定版 修正・加筆の可能性あり
８０５－1
付録（８０５～８０７）のアプローチ：描像と表示 お詫び • 自己流かつ説明が飛躍する場面があります。量子力学に関する網羅的な説明はしません。 • 描像（picture）、表示（representation）と書きます。 • 本付録ではシュレーディンガー描像とハイゼンベルグ描像を比較します。 • どの描像を利用しても物理現象そのものは同一ですが、描像により物理現象のメカニズムの記述、解釈が異なります。
参考文献：描像と表示 • 砂川重信「量子力学」ｐ42、岩波書店 • D. Marcuse（末松、伊賀、長嶋共訳）「量子エレクトロニクス その工学的基礎」p.107、丸善
８０５－2
ハイゼンベルグの運動方程式
Heisenberg equation of motion
波動関数：位置表示 position representation、position space
位置表示をシュレーディンガー表示と呼ぶこともあります。
波動関数：運動量表示
momentum representation
momentum space
シュレーディンガー描像（表示）
Schrödinger picture
• 状態ベクトルが時間発展 • 演算子は時間依存無、赤色で表記
ハイゼンベルグ描像（表示）
Heisenberg picture
• 状態ベクトルが時間不変 • 演算子は時間依存有、青色で表記
シュレーディンガー方程式
• 時間依存有の場合：time-dependent Schrödinger equation
• 時間依存無の場合：time-independent Schrödinger equation
密度行列の運動方程式
• リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式 （Liuville–von Neumann equation）
• 密度行列はシュレーディンガー描像（表示）で時間発展する唯一の演算子
キーワード群：key words
相互作用描像（表示）：interaction picture
• 状態ベクトル、演算子とも時間依存有
• 両者とも緑色で表記
付録805～ 806：シュレーディンガー描像とハイゼンベルグ描像のみ 付録807：相互作用描像との比較
( )ˆ ,F tψ
( ) ( )ˆ , 0F t ψ ψ≡
( ) ( )ˆ ,F t tψ
復習：電磁波（光）の運動量密度
微小領域に作用する内力・外力の両方を含む力の総和の内訳 • 右辺第一項：微小領域内の電荷に作用する内力・外力の両方を含むローレンツ力 • 右辺第二項：電場Ｅ、磁場Ｈが時間変化する微小領域に作用する力 • 時間変化する電場Ｅ、磁場Ｈ（即ち、振動電場Ｅ、振動磁場Ｈ）とは電磁波（光）にほかなら
ないから、第二項は微小領域に存在する電磁波（光）に作用する力
charge 2dV dV dVt c∂ × ∇ = + ∂
E Hσ f
微小領域：dV
定義：電磁波（光）の運動量密度 • 単位体積当たりの電磁波（光）
の運動量（背景：真空） • momentum density
2 2c c×
= =E H SG ポインティング・ベクトル
Poynting vector、参照：603
右辺第二項 力とは：運動量の単位時間変化
微小領域に作用する力：何が言いたいのかな？ • 微小領域に作用する力は「電荷に作用する内力・外力の両方を含むローレンツ力」と「電磁波（光）に作
用する力」の総和 • 電荷が存在しない状況ではローレンツ力は微小領域に作用しない。 • 微小領域内の電磁波（光）に作用する力は電磁波（光）運動量の時間変化を伴う。
• 質問１： 「微小領域内の電荷に作用する内力・外力の両方を含むローレンツ力」は「微小領域に作用する内力・外力の両方を含む全ての力」と考えてよい？
• 解答：微小領域内の電磁波（光）に作用する力を含める。
参照：605
８０５－3
( )
1
2 2 3
3 3 3
V A W W m Jm m m m s m
m 1 Js m m m
cN mc N s
− = × → = → = =
→ = =
SS E H
G
ポインティング・ベクトル：参照603 • 単位から推測すれば、ポインティング・ベクトルは単位面積（断面積）当たりの電磁波パワーに相当 • 単位時間内にどれだけのエネルギーが単位面積（断面積）を横切るかを示す物理量である。 • ポインティング・ベクトルの大きさを光速で割るとエネルギー密度になる。
Ｖ：体積、ｃ：光速
電磁波の運動量（古典論）
運動量密度：Ｇ
2 2pVV E cp
c c== → = = → =pS SG p G
電磁波（光波）の性質：エネルギーＥと運動量ｐ
Eenergy density E VV c c
= = → =S S
単位の確認
運動量：ｐ
８０５－4
光量子仮説とド・ブロイ波
光子とはエネルギー粒子： エネルギーは離散値
,& p
k kc
E E cp νν =
= == = → =p
kp k
粒子性：一光子のエネルギー 波動性：電磁波（光波）の性質 ｈ：プランク定数
光量子仮説が求める光の運動量と波数の関係
ド・ブロイ波：光子（エネルギー粒子）の世界に限らず、全ての粒子（物質）が波動性を持つ
( ) ( )2
, ,2
i tE E t aem
ωω ψ −= → = = → = k rp p k r
一例：自由電子（本物の粒子） 運動エネルギーは連続値
アインシュタインの光量子仮説：Einstein’s light-quantum hypothesis
重要：光量子仮説を「質量を持たない光子（エネルギー粒子）の世界」に限定しないで「質量を持つ本物の粒子（ここでは、自由電子）の世界」に適用することで世界中の粒子（物質）が波動性を持つことになります。
ｍ：電子質量
ｐ：自由電子の運動量 ド・ブロイ波：複素数の波動関数
電磁波（光波）：実数の波動関数
８０５－5
ν：角周波数
自由電子の波動性
偏微分：位置
( ) ( )22
2 2 22
2 22 2 22 2 2 2
2 2 2
,...i tx x x
iik ae k px
i x y z i
ωψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
−∂ = = − = ∂
∂ ∂ ∂ = + + = ∇ = − ∇ ∂ ∂ ∂
k r
p
偏微分：時間
( ) ( )2 2ˆˆ
2 2i ti i i ae E H
t m mωψ ω ωψ ψ ψ−∂
= − = = = → =∂
k r p p
位置表示：position representation • 位置演算子はそのまま、運動量演算子は∇で置き換え • 両演算子とも時間依存無のため、赤色（参照：805-2）
( )2
2, ,2
ˆ ˆ i i tt mψ ψ ψ ψ∂ −
→ → − ∇ ⇔ = ∇ ≡∂
r pr r
Ｈ：自由電子のハミルトニアン
８０５－6
交換関係
交換関係：commutator
[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ, , ˆi q or pqi q i p
p q p p q∂ ∂= ⇒ → → → →−
∂ ∂
位置表示 運動量表示
( )( )ˆ
ˆ
,q
qqi qqq q
p
q
q t
qq q i q i i
i q i q q q
ψ ψ
ψψψ ψ
∂ → ∂ →
≡
∂∂ ∂ ∂→ − = − + = ∂ ∂ ∂ ∂
確認：一次元（位置ｘ→ｑ成分のみ）
役割交換：位置ｑと運動量ｐ
( )( )ˆ
ˆ
,
q
p
p pi pp ppp
p t
pp p i i p i
i p i p p p
ψ ψ
ψ ψψ ψ
∂→−
∂→
≡
∂ ∂ ∂ ∂→ − − − = − = ∂ ∂ ∂ ∂
８０５－7
時間発展
シュレーディンガー方程式 ハイゼンベルグの運動方程式
状態ベクトル： state vector
状態ベクトルが時間依存有 状態ベクトルは時間固定（依存無）
演算子：operator
演算子は時間固定（依存無）
演算子が時間依存有
ハミルトニアン：Hamiltonian
時間依存無（赤色）、時間依存有（青色）、両者とも時間不変（参照：805-19）
密度行列：density operator シュレーディンガー描像唯一の時間依存有の演算子
リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式
( ) ( ) ( )ˆ
0 0 const.Hi t
t e ψψ ψ ψ−
= ≡ =
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ , ˆFd d ii t t t t
dt dtH F F
tHψ ψ ∂ = = + ∂
デイラックの記法（１）
描像：picture
( ) ( ) ( ) ( )( ), , conˆ st.ˆ ˆ ˆ ˆ ˆH t HH tq p tH qp= = = =
( ) ( )ˆ ˆ
0 =cons ˆˆˆ t. ˆH Hi t i t
F F t e FeF−
= =
( ) ( )ˆ ˆ , ˆH
d t i tdtρ
ρ = −
シュレーディンガー描像 ハイゼンベルグ描像
ブラ-ケット記法：bra-ket notation
８０５－8
デイラックの記法（２）
ハミルトニアン：Hamiltonian
シュレーディンガー方程式：Schrödinger equation
波動関数の時間発展：時間依存有 エネルギー固有状態：時間固定（依存無）
位置表示波動関数 ：position representation ： position space
位置表示演算子 添え字：ｑ
運動量表示波動関数 ：momentum representation ：momentum space
運動量表示演算子 添え字：ｐ
( ) ( ) ( ) ( )ˆ 0 0ˆdi t t EH Hdt
ψ ψ ψ ψ= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0q t t t qq q ψψ ψψ= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0p t t t pp p ψψ ψψ= =
( ), ,ˆ ˆ ˆF q p q qF F q dqi q
∂= = ∂
∫
( )ˆ ˆ, ,ˆF F p dpi
F qp
p p p ∂= = − ∂
∫
( )ˆ ˆ, p̂HH q=
表示：representation 限定：シュレーディンガー描像
８０５－9
デイラックの記法（３）
演算子 operator
位置演算子：position operator
運動量演算子：momentum operator
注意：シュレーディンガー描像でも固有状態ベクトルは時間変化無
固有値・固有状態ベクトル：連続値 固有値・固有状態ベクトル：連続値
直交性：orthgonality デルタ関数：delta function
デルタ関数：delta function
完全性（完備性）：completeness 恒等演算子：identity operator
恒等演算子：identity operator
限定：シュレーディンガー描像
ˆ ˆq q q pq pp p= =
( ) ( )'' ' 'q q pq q pp pδ δ= − = −
ˆ ˆq p
I dq Iq q p p dp= =∫ ∫注意：ハミルトニアンについて • 様々な演算子がありますが、スピン演算子以外の演算子は位置・運動量演算子に置換可能 • 本付録では、位置・運動量演算子で構成されるハミルトニアンに話題を限定 • 直交位相振幅演算子は位置・運動量演算子の別表記です。（参照：803） • 生成・消滅演算子は直交位相振幅演算子で書き換え可能です。数演算子も同様です。（参照：803） • 軌道角運動量演算子（orbital angular momentum operator）は位置・運動量演算子の外積 • もちろん、「電子の世界」と「光の世界」で位置・運動量演算子は別々ですが…
８０５－10
８０５－11
お約束：色の使い方
演算子の場合 • シュレーディンガー描像：時間依存無 密度行列：時間依存有 • ハイゼンベルグ描像：時間依存有 • ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像の演算子（時間依存無）はｔ＝０で一致 状態ベクトルの場合 • シュレーディンガー描像：時間依存有 • ハイゼンベルグ描像：時間依存無 • シュレーディンガー描像とハイゼンベルグ描像の状態ベクトル（時間依存無）はｔ＝０で一致 固有状態ベクトルの時刻は相手側と同時刻 例えば、位置表示波動関数なら であり、 である。 赤色：シュレーディンガー描像演算子、青色：ハイゼンベルグ描像演算子
F̂
( )F̂ t
( )ˆ tρ
( )tψ
ψ
( )ˆ ˆ 0F F=
( )0ψ ψ=
( ) ( ) ( ),q t t tqψ ψ=
( ) ( ) ( )0 0q qψ ψ=
正準量子化
正準量子化：canonical quantization
正準変数を演算子に置換 ( ) ( ) ( ) ( ),ˆ ˆp t t qp t tq→ →
正準交換関係：量子論における要請
演算子（ハット）：交換関係（commutation relation） • 位置演算子：the position operator • 運動量演算子：the momentum operator
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ,ˆ, ˆ ˆt t i t t ip q q p = − ⇔ =
ポアソンの括弧式：Poisson bracket
{ } { },, , 1A q B p
i i i i i
A B A BA B q pq p p q
= = ∂ ∂ ∂ ∂= − → = ∂ ∂ ∂ ∂ ∑
量子論における要請：ポアソンの括弧式と交換関係
{ } { } [ ]1, , ,ˆ ˆˆ ˆ,ˆ ˆ1 ,A B B AiA B q pi
q ip → = ⇒ = → =
粒子の位置ｑと運動量ｐ 簡単のため：粒子一個と考えて添字省略
参照：801
８０５－12
参照：801
ハイゼンベルグの運動方程式
関数Ａ：系内に複数個の粒子（調和振動子）を含む場合
{ }
,
,
idqdp H Hdt q dt pi i
i i i
A H
i i i i i
q pdA A A Adt q t p t t
dA A H A H A A dH HA Hdt q p p q t t dt t
∂ ∂=− =
∂ ∂
=
∂ ∂∂ ∂ ∂= + + → ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + = + → = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∑
∑
全微分（differentiation）と偏微分（partial differentiation）
( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, , ; , , ; ; ;q pA A q q p p t A t t t= =
量子論における要請：ポアソンの括弧式と交換関係（前頁） ハイゼンベルグの運動方程式：Heisenberg equation of motion
( ) ( )0ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 0ˆˆ, A H
HtdF F i d dt t
dt t dt tH
dtH H HF
∂== ∂∂ ∂ = + → = → = ∂ ∂
注意：ハミルトニアンＨが時間変数を陽に含まない場合、時間に関する偏微分は零になり、全微分も零になる。
時間依存有：位置と運動量は時間変数
時間変数を陽に含む場合
８０５－13
シュレーディンガー方程式（１）
( ) ( )ˆ ˆ ˆ,ˆd i tF t
tF F
dtH∂ = + ∂
シュレーディンガー描像とした場合の時間発展についての基礎方程式 言い換えると、状態ベクトルの時間発展を記述する方程式
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
† † † †
0 † †
ˆ 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
t U
F H F H
F
U U U U t U U t U U
U
F H F H
U U UF
t t
F ψ
ψ
ψ
ψ
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ
=
=
= = → = =
→
→
青色：ハイゼンベルグ描像 赤色：シュレーディンガー描像 黒色：橋渡しユニタリー 参照：805-22
注意：ハイゼンベルグ描像の演算子とシュレーディンガー描像の演算子の橋渡しをするユニタリー演算子は、同時に、状態ベクトルの時間発展を記述するユニタリー演算子（散乱演算子）でもある。 状態：
( ) ( ) ( )2 2 1 1ˆt U t t tψ ψ= −
Ｕ：ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像の橋渡しをするユニタリー演算子
状態：時刻零
シュレーディンガー方程式の導出 ハイゼンベルグの運動方程式からスタート！
シュレーディンガー方程式 Schrödinger equation
状態：時刻ｔ
参照：802
８０５－14
( ) ( )
( ) ( )
† † † †
†† †
† †
† † † †
† †
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
U U U U t U U t U U
d dU d dUU U U Udt dt dt dt
d i it t U U U Ud
F H F H
FF F
H F
H
t t ti U U
F H F H
F
F F FH
U U U UU Ut
i U
F F H
F
F
HFU UFHU
= = → = =
= + +
∂ ∂ = + = + ∂ ∂∂ = − + ∂
= −
ˆ
tF∂ + ∂
ハイゼンベルグの運動方程式
参照：802
シュレーディンガー方程式（2）
８０５－15
ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像
†† †
† †
†
† ††
†
ˆ†
†ˆ
†
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ e
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
H
H
i t
i t
d dU d dUU U U Udt dt dt dtd i U U U Udt t
dU Ut dt
dU
FF F
HF FH
F
F F
i dU iU U U U Udt dt
dU i dU iU U U U Ud
F
F HF H
t tF F
F
H Hd
−
= + +
∂ = − + ∂
∂=
∂
= → = → =
= − → = − → =
条件：ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像の橋渡しをするユニタリー演算子
条件１：参照802
条件２：参照802
参照：802
シュレーディンガー方程式（３）
８０５－16
ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像
( ) ( )
( ) ( )
ˆ ˆ 1ˆ ˆ
ˆ
0ˆ ˆ0dU i dUU Udt dt i
di
H H
Ht tdt
ψ ψ
ψ ψ
= − → =
→ =
シュレーディンガー方程式
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆd d ii t t t t
dt dtF F H FH
tψ ψ ∂ = ⇔ = + ∂
ハイゼンベルグの運動方程式
Ｕ：ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像の橋渡しをするユニタリー演算子
( ) ( )†ˆ
†
†
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆe e , e e ,
ˆ ˆ e
ˆ
ˆ ˆˆe
ˆ ˆH H H Hi t i i t i
i t iH H
F H
A
t U U t U U
d dU Ut dt d
F F H H H
A At
− −
−
= = = = =
∂= =
∂
参照：802
シュレーディンガー方程式（４）
８０５－17
注意：偏微分でなく全微分
ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, const. 0
0
,
ˆ
ˆ 0 const.ˆ
i t
i t i
H
t
t
H
i
H
tH Hi
di t t t edt
t t e e t t
t e
F
F e t
H H
F F
F
ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
ψ
−
−
−
= = → =
= =
→ = = = =
演算子と実関数（１）
シュレーディンガー描像からハイゼンベルグ描像演算子へ
一例：交換関係
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
ˆ
i t i t i t i t
i t i t
H H H H
H H Hi t i t i tH H H H Hi t i t i t
F
F F q p qp pq
t e e e e
e e e e e e e e t t t
F q p qp pq
F qp pq
q p p q p p q tq
− −
− − − −
= = − = −
= = −
= − = −
注意：実関数であり演算子ではないからハットは不要
８０５－18
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆconst.ˆ
ˆ, , consˆˆ .ˆ tˆ
i t i tH H
H
H
H H
H
t e e
H t H tq p q p t
−= = =
= = = =
自明と思われるかもしれませんが…
• 演算子Ｆが位置・運動量を変数とする実関数で表記される場合
• 位置・運動量演算子をシュレーディンガー描像からハイゼンベルグ描像に置換することで、
• ハイゼンベルグ描像演算子Ｆを得る。
シュレーディンガー描像 ハイゼンベルグ描像
時間依存無 時間依存有
実関数上で変数の置換をするだけ！
( ) ( ) ( )( ) ( )ˆˆˆ ˆˆ, ,ˆ qF pF t tq FF p t= ↔ =
ハミルトニアン：時間不変と時間依存の有無 • 全系エネルギーはシュレーディンガー描像やハイゼンベルグ描像に関係なく時間不変 • シュレーディンガー描像位置・運動量演算子は時間依存無であり、その積和で構成されるハミルトニアンも時間依存無、時間不
変である。時間依存無であれば時間不変である。 • ハイゼンベルグ描像のハミルトニアンは時間不変であるが… • ハイゼンベルグ描像位置・運動量演算子は時間依存有、その積和で構成されるハミルトニアンもまた時間依存有とする。 • 言葉のあやのようで申し訳ないが、ハイゼンベルグ描像ではハミルトニアンを「時間依存有・時間不変」で扱う。
演算子と実関数（２）
８０５－19 注意：時間依存有
簡単のため：一次元、ｑ＞０に限定
素電荷：elementary charge
陽子（原子核）位置を原点とした場合の電子の位置
( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ 1
1 1ˆ ˆ
1ˆ ˆˆ ˆ ˆˆHi t i H i H t i tHt
q q qV t t e e qVq eq e−
− −− − −
∝ = = → ∝
例題：演算子が分母にある場合
• ハイゼンベルグ描像からシュレーディンガー描像へ • 水素原子の位置エネルギー：Electric potential energy • クーロンポテンシャル：Coulomb potential
( ) ( )2 2
1
0 0
1 14 4
e eV V q qqπε πε
−= − → = − ∝rr
逆演算子：inverse operator
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ 1ˆ
ˆ ˆ ˆH H H Hi t i t i t i H H
q t i t i tqI qI e Ie eqe e e I−− − −= −
= → =
注意：Ｈは演算子であり行列的
演算子と実関数（３）
( ) 1 1 1 1ABC C B A− − − −=
８０５－20
( ) ( )( )
( )ˆ ˆd tdi t t i tdt
H Hdtψ
ψ ψ ψ= → − =
リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式
シュレーディンガー方程式
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ){ }( ) ( )
1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
,ˆ ˆ ˆ
n n nn
n nn n n n
n
n n n n n nn
t t P t
d t d td tP t t P
dt dt dt
t P t t P ti
H H
Hi t t
d t i tdt
H
H
ρ ψ ψ
ψ ψρψ ψ
ψ ψ ψ ψ
ρ ρ
ρρ
≡
= +
= −
= − −
= −
∑
∑
∑
密度行列：density operator
導出：リウヴィル＝フォン・ノイマン方程式
Liuville–von Neumann equation
密度行列の運動方程式
８０５－21
８０５－22
補足：橋渡しをするユニタリー演算子
Ｕ：ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像の橋渡しをするユニタリー演算子
( ) ( ) ( ) ( )( ) †
ˆ ˆ
ˆ
0 , ;ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
i t i tH H
U U Ht e t t e
tF U UF
ψ ψ− −
= = =
=
ややこしいかな： • この場合、ハミルトニアンＨはシュレーディンガー描像演算子 • ハミルトニアンは時間依存無、時間不変 • 橋渡しをするユニタリー演算子は時間依存有
ハミルトニアン：Hamiltonian 全系エネルギーはシュレーディンガー描像やハイゼンベルグ描像に関係なく時間不変（参照805-19）
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ; ;ˆH t
i t i tH
t t t e t tH UH t eU UU HH− −
= → = = → = =
ややこしいかな： • この場合、ハミルトニアンＨはハイゼンベルグ描像演算子 • 時間依存有、時間不変 • 橋渡しをするユニタリー演算子は時間依存有
黒色：シュレーディンガー描像でもハイゼンベルグ描像でも同一演算子
( )( )
( )ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, ,HH t
i t i tU U t e e tU HU H
− −== = = =
