1

2

3

4

5

6

7

8

9

Observação: A presença de pólos múltiplos da forma

ri

i

psKsy

Geram soluções do tipo .0,

!1

1

tertKty tp

r

ii

a) Como a exponencial tem crescimento mais rápido do que a função polinomial, se

0Re i continuamos tendo .0ty

b) Para 0Re ii p temos .0,!1

1

t

rtKty

r

i

E neste caso,

tty ,

Isto justifica definirmos estabilidade apenas para 0Re i

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13

Estabilidade

• O sistema

tutytyty 65)1

é assintoticamente estável?

2)

xy

uxx

1111

1101

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15

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Edward John RouthBorn: 20 Jan 1831 in Quebec, Canada• Died: 7 June 1907 in Cambridge, Cambridgeshire,

England In 1877 he was awarded the Adams Prize• for work on dynamic stability• Treatise on the stability of a given state• of motion, particularly steady motion. • He did this in a Christmas vacation.

Adolf HurwitzBorn: 26 March 1859 in Hildesheim, Hanover,

(now Germany) Died: 18 Nov 1919 in Zurich, Switzerland 1895

One of the most important figures in mathematics in the second half of the nineteenth century

16

• Critério de Routh-Hurwitz: fornece condições para se testar se um polinômio é ou não Hurwitz, sem o cálculo explícito das raízes.

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18

Preliminares

• Considere o seguinte polinômio com coeficientes reais:

• Se qualquer dos coeficientes é nulo ou negativo na presença de ao menos um coeficiente positivo, existe uma ou mais raízes imaginárias ou com parte real positiva o sistema não é estável.

• Esta é uma condição necessária, não suficiente.

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21

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Critério de Routh-Hurwitz• Para se concluir que um polinômio é Hurwitz, é

preciso completar a tabela de Routh e verificar que todos os coeficientes são positivos.

– O sinal dos números da tabela não é afetada se uma determinada linha é multiplicada por um número positivo.

• Aparecendo um zero, pode-se concluir que o polinômio não é Hurwitz.

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ExercícioPolinômio é Hurwitz?. Caso não seja, verificar o no. de

raízes com parte real positiva:

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Casos Especiais

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Casos especiais

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Estabilidade Relativa

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Análise de Sistemas de Controle via Critério de Routh

Determine os valores de para os quais o sistema realimentado é estável.

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Análise de Sistemas de Controle via Critério de Routh

Considere o sistema com realimentação unitária

21)( 2

ssssKsG

A FTMF é

KssssK

sRsC

21)(

2

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A equação característica é

0233 234 Kssss

Ks

Ks

Kss

Ks

0

1

2

3

4

079237

02331

Estabilidade: todos os coeficientes da primeira Coluna positivos

9140 K

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Lista de exercícios

• B.5.24, B.5.25, B.5.26, B.5.28, B.5.29