1. 2 1.Introduction 2.Résumé de la théorie -Aversion au risque -Méthode de larbitrage -Splines cubiques 3.Méthodologie : Simulations Monte Carlo 4.Résultats

1

2

1. Introduction2. Résumé de la théorie

- Aversion au risque- Méthode de l’arbitrage- Splines cubiques

3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo4. Résultats

- Général- Arrondissement- Nombre de points- Comparaison entre les approches paramétrique et non

paramétrique5. Extensions6. Conclusion

Plan de la présentation

3

Les préférences face au risque reviennent dans plusieurs discussions économiques et une bonne connaissance de ces préférences pourrait avoir des avantages :

- Meilleure compréhension des facteurs déterminant le choix d’un emploi, d’une éducation, d’un portfolio financier, ...;

- Prédiction du comportement des individus;

- Outil d’élaboration de politiques publiques;

- etc.

Toutefois, il n’existe pas encore de manière uniforme de mesurer ces préférences.

Pourtant, de nombreuses méthodes ont été développées au cours des dernières dizaines d’années.

1. Introduction

4

Méthodes s’appuyant sur un processus décisionnel courant.

Ex: choix d’assurances (Halek et Eisenhauer, 2001), composition du portfolio financier (Guiso et Paiella, 2002)

Méthodes expérimentales indépendantes.

Ex: méthode de l’arbitrage (Wakker et Deneffe, 1996), choix de loteries (Holt et Laury, 2002)

Puisque des procédés ou des contextes différents peuvent fournir des estimations différentes, l’utilité des mesures du risque a été remise en question (Isaac et James, 2000).

Approche habituelle : spécification paramétrique d’une fonction d’utilité. Cette approche est toutefois susceptible de générer des biais de spécification.

1. Introduction

5

Questions principales de la problématique : Est-il possible d’estimer les préférences face au risque de

manière entièrement non paramétrique?

Quel est l’impact de l’introduction d’une erreur sur les estimations des préférences face au risque?

Y a-t-il un nombre de points optimal à utiliser sur les courbes d’utilité?

L’approche non paramétrique permet-elle d’éviter les erreurs de spécification auxquelles sont soumises les approches paramétriques?

Démarche adoptée :Utilisation de splines cubiques et simulations informatiques de

type Monte Carlo.

1. Introduction

6

Les préférences d’un individu sont représentées par une fonction d’utilité U(x).

La courbure de la fonction nous renseigne sur l’attitude face au risque de l’individu :

- Concave : Aversion pour le risque- Convexe: Goût pour le risque- Linéaire: Neutralité envers le

risque

2. Résumé de la théorie : Aversion au risque

7

Mesures d’Arrow-Pratt :

Aversion absolue au risque :

Mesure la variation de l’utilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière absolue.

Ex: Fonction exponentielle : ARA(x) = r


8

Mesures d’Arrow-Pratt :

Aversion absolue au risque :

Mesure la variation de l’utilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière absolue.

Ex: Fonction exponentielle : ARA(x) = r

Aversion relative au risque :

Mesure la variation de l’utilité lorsque les quantités du bien x en jeu varient de manière proportionnelle.

Ex: Fonction puissance : RRA(x) = r


9

Wakker et Deneffe(1996) :Méthode expérimentale non paramétrique pour obtenir des

courbes d’utilité :

2. Résumé de la théorie : Méthode de l’arbitrage

10


Principe :

Trouver des valeurs créant des égalités de différence d’utilité.

S, R et x0 sont des quantités arbitraires du bien x dont on

mesure l’utilité et p est la probabilité que x0 ou x1 se réalise.

On cherche x1 qui satisfait [x0, S; p] ~ [x1, R; p].

Ensuite, on trouve x2 qui satisfait [x1, S; p] ~ [x2, R; p]

On obtient que : U(x1) – U(x0) = U(x2) – U(x1)

On continue le processus pour obtenir n+1 valeurs de xi.

On normalise U(x) entre 0 et 1, on pose u(xi) = i/n et on trace

la courbe d’utilité à l’aide des points (xi, u(xi)) trouvés.

11

Problème :

La méthode de l’arbitrage nous fournit une courbe d’utilité, mais pas de coefficient d’aversion au risque.

Deux solutions :

Postuler une forme fonctionnelle pour l’utilité.

Trouver une manière non paramétrique d’obtenir le coefficient.

Autres problèmes :

Tenir en compte la possibilité que les valeurs de xi soient

erronées.

Déterminer le nombre optimal de questions à poser.


12

On peut utiliser les splines cubiques pour estimer la fonction d’utilité et les coefficients d’aversion au risque de manière non paramétrique.

(Bissonnette, 2007) et (Bellemare, Bissonnette et Kröger, 2010) : Application aux anticipations rationnelles

2. Résumé de la théorie : Splines cubiques

13

On identifie les paramètres en posant des contraintes :

Égalité des dérivées premières aux points intérieurs;

Égalité des dérivées secondes aux points intérieurs;

Utilité normalisée entre 0 et 1.

Il manque deux équations à poser pour identifier pleinement les paramètres.

Splines naturelles;

Coefficients d’aversion au risque constants;

Autres.

Les calculs sont faits à l’aide du programme Splinesim (Oxmetrics) développé par Bellemare, Bissonnette et Kröger (2010).

2. Résumé de la théorie : Splines cubiques

14

3. Méthodologie : Simulations Monte Carlo

1) Pour un individu fictif donné, postuler… Fonction d’utilité : puissance ou exponentielle Une valeur pour le paramètre inconnu r :

puissance : [-1, 1] , exponentielle : [-0.002, 0.002] Une règle d’arrondissement :

fixe (0, 0.1, 0.5, 1, 5, 10) ou proportionnel :

Intervalle dans lequel se

trouve le montant xi à

arrondir

Niveau d’arrondissement pour la règle dite de 5%

(au multiple de…)

Niveau d’arrondissement pour la règle dite de 10% (au

multiple de…)

[100, 500[ 5 10[500, 1 000[ 25 50

[1 000, 5 000[ 50 100[5 000, 10 000[ 250 500

… … …

15


2) Choisir les loteries de référence pour la méthode de l’arbitrage :

[x0=100, 64; 0.5]~[x1, 12; 0.5]

[x0=1000, 640; 0.5]~[x1, 120; 0.5]

3) Appliquer la méthode de l’arbitrage pour obtenir n+1 points (xi,

u(xi))

4) Résoudre le système de contraintes pour identifier les paramètres des splines cubiques reliant ces points.

16


5) Utiliser les formules d’Arrow et Pratt pour estimer l’aversion au risque absolue ou relative de l’individu fictif postulé à chacun des points intérieurs de la courbe d’utilité.

17


En plus des estimations non paramétriques, on souhaite également obtenir des estimations paramétriques afin de comparer les performances des deux approches.

On procède encore par simulation en gardant le même environnement (mêmes fonctions d’utilité, intervalles pour les coefficients, règles d’arrondissement, etc.), mais on remplace les étapes 4 et 5 par les suivantes:

4) Spécifier une fonction d’utilité :Spécification correcte;Spécification incorrecte.

5) Estimer le coefficient d’aversion au risque constant à l’aide des moindres carrés non linéaires.

18

Pour un individu ayant une aversion au risque constante et une fonction d’utilité connue, la moyenne des estimations aux points intérieurs est généralement plus proche de la vraie valeur d’aversion au risque que les estimations ponctuelles.

Ex :

4. Résultats : Général

Aversion au risque relative

Données de la courbe d’utilitéEstimations de l’aversion

au risque relative

Point(i)

Valeur rapportée lors de la méthode de l’arbitrage

(xi)

Utilité normalisée entre 0 et 1

(u(xi))

Estimations ponctuelles

de l’aversion au risque

Moyenne des

estimations ponctuelles

0.50

0 100.00 0.00 0.00

0.54(0.17)

1 211.29 0.25 0.692 363.73 0.50 0.313 557.32 0.75 0.634 792.06 1.00 0.00

19

Pour un individu ayant une aversion au risque constante et une fonction d’utilité connue, la moyenne des estimations aux points intérieurs est généralement plus proche de la vraie valeur d’aversion au risque que les estimations ponctuelles.

Ex :

4. Résultats : Général


Données de la courbe d’utilitéEstimations de l’aversion

au risque relative

Point(i)

Valeur rapportée lors de la méthode de l’arbitrage

(xi)

Utilité normalisée entre 0 et 1

(u(xi))

Estimations ponctuelles

de l’aversion au risque

Moyenne des

estimations ponctuelles

0.50

0 100.00 0.00 0.00

0.54(0.17)

1 211.29 0.25 0.692 363.73 0.50 0.313 557.32 0.75 0.634 792.06 1.00 0.00

20

Le tableau ci-contre montre les écarts en pourcentage entre les estimations et les vraies valeurs d’aver-sion au risque pour certains cas.

4. Résultats : Arrondissement

Loteries utilisées ArrondissementFonction puissance

Fonction expo.

[x0 = 100, 64; 0.5] ~

[x1, 12; 0.5]

Aucun15.51

(13.75)14.18(0.14)

Fixe( au multiple

de…)

0.115.33

(13.91)14.40(2.77)

0.515.12

(14.43)20.70

(39.28)

117.52

(20.64)19.31

(18.17)

538.82

(44.70)60.74

(98.78)

1071.10

(90.69)77.65

(64.47)

Proportion-nel

5%39.17

(44.83)60.74

(98.78)

10%74.17

(88.95)77.65

(64.47)

21

Le tableau ci-contre montre les écarts en pourcentage entre les estimations et les vraies valeurs d’aver-sion au risque pour certains cas.


Loteries utilisées ArrondissementFonction puissance

Fonction expo.

[x0 = 100, 64; 0.5] ~

[x1, 12; 0.5]

Aucun15.51

(13.75)14.18(0.14)

Fixe( au multiple

de…)

0.115.33

(13.91)14.40(2.77)

0.515.12

(14.43)20.70

(39.28)

117.52

(20.64)19.31

(18.17)

538.82

(44.70)60.74

(98.78)

1071.10

(90.69)77.65

(64.47)

Proportion-nel

5%39.17

(44.83)60.74

(98.78)

10%74.17

(88.95)77.65

(64.47)

22

Un niveau d’arrondissement plus élevé implique généralement des erreurs d’estimation plus élevées. Ces erreurs peuvent être très importantes.

Pour un niveau d’arrondissement fixe donné, augmenter les montants en jeu fait diminuer les erreurs engendrées.

Si la fonction d’utilité est de type puissance, multiplier les montants en jeu et le niveau d’arrondissement par la même constante n’affecte pas les erreurs sur les estimations.

Ces résultats s’appliquent que l’on utilise les estimations ponctuelles ou la moyenne des estimations (que l’on connaisse la fonction d’utilité ou non).


23

4. Résultats : Nombre de points

Fonction utilisée

Nombre de points sur la courbe (n+1)

Niveau d'arrondissementFixe Proportionnel

10 5% 10%

Puissance

3128.67

(169.49)105.25(87.87)

128.60(169.54)

571.10

(90.69)39.17

(44.83)74.17

(88.95)

744.10

(57.13)40.85

(39.44)54.83

(62.79)

1036.43

(41.15)79.65

(276.0)59.82

(84.44)

Si l’arrondissement suit une règle fixe:

24


Fonction utilisée



10 5% 10%

Puissance

3128.67

(169.49)105.25(87.87)

128.60(169.54)

571.10

(90.69)39.17

(44.83)74.17

(88.95)

744.10

(57.13)40.85

(39.44)54.83

(62.79)

1036.43

(41.15)79.65

(276.0)59.82

(84.44)

Si l’arrondissement suit une règle fixe:

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Fonction utilisée



10 5% 10%

Puissance

3128.67

(169.49)105.25(87.87)

128.60(169.54)

571.10

(90.69)39.17

(44.83)74.17

(88.95)

744.10

(57.13)40.85

(39.44)54.83

(62.79)

1036.43

(41.15)79.65

(276.0)59.82

(84.44)

Si l’arrondissement suit une règle proportionnelle:

26

Fonction d’utilité connue : Si l’arrondissement est fixe, plus il y a de points sur la courbe

d’utilité, moins les erreurs sont élevées.

Si l’arrondissement est proportionnel aux montants en jeu, les erreurs sont les plus faibles s’il y a entre cinq et huit points sur la courbe d’utilité. Choisir sept point peut être un compromis minimisant les erreurs.

Une étude plus approfondie des attitudes d’arrondissement des individus est nécessaire avant de pouvoir déterminer un nombre de points optimal exact.

Fonction d’utilité inconnue : Si la fonction d’utilité est inconnue, il devient impossible de

déterminer un nombre optimal de points.


27

Sans erreur de spécification :

Ex :

L’approche paramétrique fournit des estimations plus proches des vraies valeurs d’aversion au risque dans tous les cas.

4. Résultats : Comparaison entre les approches paramétrique et non paramétrique

ArrondissementAucun Fixe (au multiple de…) Proportionnel

0.1 0.5 1 5 10 5% 10%

Splines11.83(23.1)

11.87(23.1)

13.48(26.3)

15.98(27.5)

37.50(39.4)

44.10(57.1)

40.85(39.4)

54.83(62.8)

Moindres carrés non linéaires

0.00(0.01)

0.37(0.68)

2.13(5.48)

4.52(14.1)

16.89(24.4)

42.61(60.4)

18.16(24.4)

45.63(59.8)

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Avec erreur de spécification :


Méthode utilisée

Arrondissement

AucunFixe (au multiple de…) Proportionnel

0.1 0.5 1 5 10 5% 10%

Splines- Fctn. réelle : Puissance

23.82 (43.31)

25.62 (44.07)

39.52 (69.0)

58.17 (75.6)

182.11 (215.7)

230.24 (377.2)

192.01 (212.9)

259.22 (388.5)

Moindres carrés non linéaires

- Fctn. réelle : Puissance- Fctn. spécifiée : Exponentielle

306.07 (767.5)

308.08 (767.1)

305.80 (764.6)

307.50 (768.4)

287.41 (666.7)

372.93 (1058)

287.39 (665.0)

381.45 (1070)

29

Lorsque la fonction d’utilité spécifiée n’est pas la bonne, nous engendrons des erreurs importantes. Dans ce contexte, les splines cubiques fournissent des estimations significativement plus précises que les moindres carrés non linéaires.

Bien que les splines engendrent des erreurs moindres, ces dernières restent quand même élevées.

Les études expérimentales tendent à montrer que l’aversion relative au risque est constante ou presque et que l’aversion absolue est décroissante. Ainsi, spécifier une fonction d’utilité de forme puissance engendrerait possiblement des erreurs moindres que celles que nous obtenons.


30

Identification ex post de la tendance suivie par l’aversion au risque :

5. Extensions

31

Notre but était de répondre à quatre questions:

Est-il possible d’estimer les préférences face au risque de manière entièrement non paramétrique?

Oui, les splines cubiques permettent d’estimer l’aversion au risque des individus sans poser d’hypothèses fortes concernant la fonction d’utilité.

6. Conclusion

32

Quel est l’impact de l’introduction d’une erreur sur les estimations des préférences face au risque?

Une erreur telle que l’arrondissement des réponses au cours de la méthode de l’arbitrage peut biaiser les estimations de manière importante. La magnitude du biais dépend du rapport entre le niveau d’arrondissement et les montants en jeu.

6. Conclusion

33

Y a-t-il un nombre de points optimal à obtenir sur les courbes d’utilité lors de l’application de la méthode de l’arbitrage?

Si la fonction d’utilité est connue et que l’aversion au risque est constante, une meilleure connaissance des attitudes d’arrondissement des individus est nécessaire avant de déterminer un nombre de points optimal. Utiliser sept points peut quand même être un bon compromis.

Si la fonction d’utilité est inconnue, il est impossible de déterminer un nombre optimal exact.

6. Conclusion

34

L’approche non paramétrique permet-elle d’éviter les erreurs de spécification auxquelles peut être soumise une approche paramétrique?

Oui, elle peut diminuer significativement les erreurs lors de l’estimation de l’aversion au risque. Les estimations obtenues peuvent quand même être éloignées des véritables valeurs.

6. Conclusion

35

L’estimation non paramétrique de l’aversion au risque est donc quelque chose d’envisageable. Des travaux supplémentaires doivent toutefois être menés afin de perfectionner la méthode.

Les pistes à suivre incluent :

Changer les contraintes d’identification des paramètres;

Tester la possibilité d’utiliser des splines de degrés supérieurs;

Identifier ex post la tendance suivie par l’aversion au risque;

etc.

6. Conclusion

36

Merci!

37

Concrètement…

Aversion au risque absolue

Ex : Fonction exponentielle : (r =

0.001)

U(5) = -0.995012

U(10) = -0.990050

U(15) = -0.985112

U(20) = -0.980199

Ex : Fonction puissance: (r = 0.5)

U(5) = 2.236

U(10) = 3.162

U(15) = 3.873

U(20) = 4.472

38

Concrètement…



0.001)

U(5) = -0.995012

U(10) = -0.990050

U(15) = -0.985112

U(20) = -0.980199


U(5) = 2.236

U(10) = 3.162

U(15) = 3.873

U(20) = 4.472

+0.499%

+0.499%

+0.499%

Aversion absolue au risque constante

39

Concrètement…



0.001)

U(5) = -0.995012

U(10) = -0.990050

U(15) = -0.985112

U(20) = -0.980199


U(5) = 2.236

U(10) = 3.162

U(15) = 3.873

U(20) = 4.472

+0.499%

+0.499%

+0.499%

+41.42%

+22.47%

+15.47%

Aversion absolue au risque constante

Aversion absolue au risque décroissante

40

Concrètement…



0.001)

U(5) = -0.995012

U(10) = -0.990050

U(15) = -0.985112

U(20) = -0.980199


U(5) = 2.236

U(10) = 3.162

U(15) = 3.873

U(20) = 4.472

+0.499%

+0.995%

+41.42%

+41.42%

Aversion relative au risque croissante

Aversion relative au risque constante

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