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N

Come si può rappresentare un numero Naturale su una retta?

Scelgo un punto come 0Sarà il punto iniziale della numerazione

0

Scelgo la direzione della numerazione crescenteCONVENZIONALMENTE freccia verso destra

Scelgo una unità di misuraSarà la distanza tra i numeri

Riproduco l’unità di misura e trovo la posizione del numero successivo

2 3 4 51 6 7 8

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Z

Come si può rappresentare un numero Relativo su una retta?

Scelgo un punto come 0Sarà il punto iniziale della numerazione

0

Scelgo la direzione della numerazione crescenteCONVENZIONALMENTE freccia verso destra

Scelgo una unità di misuraSarà la distanza tra i numeri

Riproduco l’unità di misura,verso DESTRA per i numeri positivi

verso SINISTRA per i numeri negativie trovo la posizione del numero successivo o precedente

-1 2-2 31-3 4-4

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Q

Come si può rappresentare un numero Razionale su una retta?

I numeri Razionalisono i numeri rappresentabili in forma di frazione.

Per semplificare la spiegazione distinguiamo i tre tipi di frazione

PROPRIEil risultato del rapporto è minore di 1

1/3 5/12 6/15

IMPROPRIEil risultato del rapporto è MAGGIORE di 1

7/3 115/12 16/15

APPARENTIil risultato del rapporto è un numero intero

3/3 36/12 150/15

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Q – Frazioni Apparenti

Come si può rappresentare una frazione Apparente su una retta?

Le frazioni Apparentisono numeri interi con segno e quindi si rappresentano come i

Numeri Relativi

Q

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Q – Frazioni Proprie

Come si può rappresentare una frazione Propria su una retta?

Scelgo un punto come 0Scelgo la direzione della numerazione crescente

Scelgo una unità di misura

0 1

Divido l’ unità di misura nel numero di parti indicate dal denominatore

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Prendo il numero di parti indicate dal numeratore

5/6

Q

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Q – Frazioni Proprie

Rappresentare una 3/5 sulla retta numerica?

Scelgo un punto come 0Scelgo la direzione della numerazione crescente

Scelgo una unità di misura

0 1

Divido l’ unità di misura nel numero di parti indicate daldenominatore : 5

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

Prendo il numero di parti indicate dalnumeratore : 3

3/5

Q

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Le frazioni Impropriepossono scritte come somma

tra unnumero intero

e unafrazione propria

Q – Frazioni Improprie

Come si può rappresentare una frazione Impropria su una retta?

7/3 = 6/3 + 1/3 = 2 + 1/3

10

2 1/3 1/3 1/3

7/3

1/3

Q

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Q – Frazioni Improprie

Rappresentare 11/4 sulla retta numerica?

Scelgo un punto come 0Scelgo la direzione della numerazione crescente

Scelgo una unità di misura

0 1

Utilizzo 2 unità di misura intere ela terza la divido nelle parti indicate dal denominatore : 4

Prendo le 2 unità intere eil numero delle parti indicate dal numeratore :

3

Scrivo la frazione come somma di un numero intero e una frazione propria

11/4 = 4 /4 + 4 /4 + 3/4 = 2 + 3/4

2

11/4

Q

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Q - Frazioni

Quando un numero è Razionale ?ossia quando un numero può essere scritto in forma di frazione ?

Numeri con un numero FINITO di cifre decimali:Numeri Decimali

7.325698

Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono:Numeri Periodici

2.347347347347… = 2.

Numeri con un numero INFINITO di cifre decimalima che si ripetono almeno in parte:

Numeri Periodici Misti

2.98347474747… = 2.983

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Q – Numeri Decimali

Come si può scrivere in forma di frazione un numero Decimale ?

Numeri con un numero FINITO di cifre decimali:Numeri Decimali

7.3256

Il numero può essere letto come:7 unità = 7/1 +3 decimi = 3/10 +2 centesimi = 2/100 +5 millesimi = 5/1000 +6 decimillesimi = 6/10000 =

= 7/1 + 3/10 + 2/100 + 5/1000 + 6/10000 = = (70000 + 3000 + 200 + 50 + 6) / 10000 = 73256 / 10000

REGOLA

Un Numero Decimale corrisponde a una frazione in cui:Numeratore = numero senza virgolaDenominatore = un 1 seguito

da tanti 0 quante sono le cifre decimali F

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Q – Numeri Periodici

Come si può scrivere in forma di frazione un numero Periodico ?

Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono:Numeri Periodici

2. indico con f la frazione corrispondente a 2. : f = 2.

cerco di togliere la parte decimale:

Moltiplico per 100 il numero perché ci sono due cifre decimali : 100f = 237.

Ora posso scrivere: 100f - f = 237. - 2. = 237 – 2 = 235 99 f = 235 f = 235 / 99

REGOLA

Un Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui:Numeratore = numero senza virgola – parte intera del numeroDenominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche

F

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Q – Numeri Periodici MistiCome si può scrivere in forma di frazione un numero Periodico Misto ?

Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono in parte :Numeri Periodici Misti

8.123indico con f la frazione corrispondente a 8.123 : f = 8.123

cerco di togliere la parte decimale:

Moltiplico per 100000 il numero perché ci sono cinque cifre decimali :100000f = 812347.

Moltiplico per 1000 il numero perché ci sono tre cifre decimali NON PERIODICHE:1000f = 8123.

Ora posso scrivere: 100000f - 1000 f = 812347. - 8123. =

812347 – 8123 = 804224 99000 f = 804224 f = 804224 / 99000

REGOLA

Un Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui:Numeratore = numero senza virgola – parte NON periodica del numeroDenominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche seguiti da

tanti 0 quante sono le cifre NON periodicheF

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Scrivere in forma di frazioni i seguenti numeri : 12.347 12. 12.3

12.347 Numero Decimale corrisponde a una frazione in cui:Numeratore = numero senza virgolaDenominatore = un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali

12.347 = 12347 / 1000

12. Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui:Numeratore = numero senza virgola – parte intera del numeroDenominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche

12. = (12347 – 12) / 999 = 12335 / 999

12.3 Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui:Numeratore = numero senza virgola – parte NON periodica del numeroDenominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche seguiti da

tanti 0 quante sono le cifre NON periodiche

12.3 = (12347 – 123) / 990 = 12224 / 990

F

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R

Mostriamo ora con due esempi come si può rappresentare un numero Reale,ossia un numero con infinite cifre decimali, su una retta

Come primo esempio prendiamo : = 1.4142136…

Scelgo un punto come 0Scelgo la direzione della numerazione crescente

Scelgo una unità di misura

0 1Costruisco un quadrato con lato l’ unità di misura

Traccio la diagonale del quadrato

Calcolo la lunghezza della diagonale

d = 12+12 =

Riproduco la diagonale sulla retta numerica

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R

Come secondo esempio prendiamo : = 2.236068…

Scelgo un punto come 0Scelgo la direzione della numerazione crescente

Scelgo una unità di misura

0 1

Costruisco un triangolo rettangolo conil cateto minore lungo come l’ unità di misura e il cateto maggiore lungo come 2 unità di misura

Traccio l’ ipotenusa del triangolo

Calcolo la lunghezza dell’ ipotenusa

i = 12+22 =

Riproduco l’ ipotenusa sulla retta numerica

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4

RMostriamo un metodo generale per rappresentare un numero Reale sulla retta

Scelgo un punto come 0Scelgo la direzione della numerazione crescente

Scelgo una unità di misura

Costruisco un quadrato con lato l’ unità di misuraTraccio la diagonale del quadrato : d = 12+12 =

Riproduco la diagonale sulla retta numerica

0 1

Ora Costruisco un triangolo rettangolo con cateto maggiore il segmento e cateto minore l’ unità di misura

Traccio l’ ipotenusa : i = 2+12 = 3Riproduco l’ ipotenusa sulla retta numerica

3

Ora Costruisco un triangolo rettangolo con cateto maggiore il segmento 2 e cateto minore l’ unità di misura

Traccio l’ ipotenusa : i = 2 2+12 = 5 e la riproduco sulla retta

5

Ora Costruisco un triangolo rettangolo con cateto maggiore il segmento 3 e cateto minore l’ unità di misura

Traccio l’ ipotenusa : i = 3 2+12 = 4 = 2 e la riproduco sulla retta

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N Z Q R

Abbiamo così mostrato un importante risultato:

è possibile associare ad ogni punto della rettaun numero Reale

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BElliSSSIMO !!

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