Embed Size (px)
Citation preview
OSNOVIGEOMETRIJE
I - 1Vojislav Petrović
2
1. OSNOVNI POJMOVI
− osnovni objektitačke : A, B, C, ... prave : a, b, c, ... ravni : α, β, γ, ...
− osnovne relacijeincidencija (pripadnost)raspored (poredak)podudarnost (kongruencija)
− osnovna tvrđenja aksiome
3
2. AKSIOME INCIDENCIJE
I1 Za svake dve tačke postoji bar jedna prava koja je incidentna sa svakom od njih.
I2 Za svake dve tačke postoji najviše jedna prava koja je incidentna sa svakom od njih.
I3 Za svaku pravu postoje bar dve tačke koje su s njom incidentne.
Postoje tri tačke koje nisu incidentne ni sa jednom pravom.
I4 Za svake tri tačke koje nisu incidentne sa istom pravom postoji bar jedna ravan koja je incidentna sa svakom od njih.
Svaka ravan je incidentna s bar jednom tačkom.
4
I5 Za svake tri tačke koje nisu incidentne sa istom pravom postoji najviše jedna ravan koja je incidentna sa svakom od njih.
I6 Ako su dve tačke neke prave incidentne s nekom ravni, tada su sve tačke te prave incidentne s tom ravni.
I7 Ako su dve ravni incidentne s nekom tačkom, tada postoji bar još jedna tačka s kojom su obe ravni incidentne.
I8 Postoje četiri tačke koje nisu incidentne s jednom ravni.
5
kolinearne tačke − incidentne sa istom pravom
komplanarne tačke − incidentne sa istom ravni
A∈s A∈α s ⊂ α
A, B, C, ... ∈s ⇔ s(A, B, C, ... )
A, B, C, ... ∈α ⇔ α(A, B, C, ... )
A B Cs
BA
C
α
6
s
TEOREMA 2.1. Za svaku tačku A i svaku pravu s, takvu da A∉s, postoji jedna i samo jedna ravan α, takva da A∈α i s ⊂ α.
Dokaz.
α
A
B C
I3 ⇒ ∃ B, C∈ sA, B, C − nekolinearneI4 ⇒ ∃ α(A, B, C)I6 ⇒ s ⊂ α
1o egzistencija
2o jedinstvenostpretp. ∃ α'(A, s) , α' ≠ α
α'(A, B, C) α(A, B, C) I5
α(A, s)
7
prave a i b se seku u tački O − a ∩ b = {O}
Oa
b
TEOREMA 2.2. Za svaku pravu postoji bar jedna prava koja je seče.
TEOREMA 2.3. Za svake dve prave a i b koje se seku postoji jedna i samo jedna ravan α, takva da a ⊂ α i b ⊂ α.
8
TEOREMA 2.4. Ako su četiri tačke nekomplanarne, tada su svake tri od njih nekolinearne.
prave a i b − mimoilazne ⇔ ∃α , a ⊂ α ∧ b ⊂ α
TEOREMA 2.6. Za svaku pravu a postoji prava b koja je s njom mimoilazna.
TEOREMA 2.5. Ako za različite ravni α i β postoji tačka A, takva da A∈α i A∈β, tada postoji prava s, takva da A∈s, s ⊂ α, s ⊂ β i pritom je α ∩ β = s.
9
TEOREMA 2.7. Svaka ravan sadrži tri nekolinearne tačke.Dokaz.
α
I4 ⇒ ∃ A∈αI8 ⇒ ∃ B∉αI1 ⇒ ∃ s(A, B)I3 ⇒ ∃ C∉sT 2.1 ⇒ ∃ β(C, s)
I8 ⇒ ∃ E∉β
A∈α ∩ β ⇒ ∃ D ≠ A , D∈α ∩ βI7
T 2.1 ⇒ ∃ γ(E, s)
A∈α ∩ γ ⇒ ∃ F ≠ A , F∈α ∩ γI7
α(A, D, F)
A, D, F − nekolinearnepretp. t(A, D, F)t ⊂ β ∧ t ⊂ γB∈β , B∈γ , B∉tT 2.1. ⇒ β ≡ γ
⇒ E∈β
(1)
(1)
Cβ
F
E
D
s
γB
A
10
3. AKSIOME RASPOREDA
tačka B je između tačaka A i C − A−B−C
II1 Ako je A−B−C, tada su A, B, C tri različite kolinearne tačke i pritom je C−B−A.
II2 Za svake dve tačke A i B postoji tačka C, takva da je A−B−C.
II3 Za svake tri kolinearne tačke A, B, C važi najviše jedna od relacija
A−B−C, B−C−A, C−A−B.
B Cs
A
11
BA
C
s
Z
sX
II2 (Pasch) Neka su A, B, C tri nekolinearne tačke i neka je s prava ravni ABC, takva da A, B, C ∉ s. Ako je prava s incidentna s tačkom X, takvom da je B−X−C, tada je ona incidentna s tačkom Y, takvom da je A−Y−C ili s tačkom Z, takvom da je A−Z−B.
Y
A−s−B ⇔ ∃ X∈s , A−X−B
12
s
TEOREMA 3.1. Za svake dve tačke A i B postoji tačka C, takva da je A−C−B.
Dokaz.
DI3 ⇒ ∃ D∉s
p (A, B) = s
II2 ⇒ ∃ E , A−D−E
II2 ⇒ ∃ F , E−B−F
A, B, E ; p (D, F) = t
1o A, B, E − nekolinearne
t
2o A, B, E∉ t3o A−t−E
II4 ⇒ A−t−B ∨ B−t−E
¬ (B−t−E)
⇒ A−t−BA−C−B
A B
E
F
C
13
TEOREMA 3.2. Za svake tri različite kolinearne tačke A, B, C važi tačno jedna od relacija
A−B−C, B−C−A, C−A−B.
Dokaz. p (A, B, C) = s
sCA B
I3 ⇒ ∃ D∉sII2 ⇒ ∃ E , B−D−E
pretp. ¬ (B−C−A) (1)¬ (C−A−B) (2)
B, C, E ; p (A, D)C−F−E
⇒ C−p (A, D)−EII4, (2)
A, B, E ; p (C, D)A, B, E ; p (C, D)A−G−E
⇒ A−p (C, D)−EII4, (1)
A, F, E ; p (C, D, G) ⇒ A−p (C, D, G)−FII4
A, C, F ; p (B, D, E)
⇒ A−p (B, D, E)−CII4
A−B−C
G
E
FD
A−D−F
14
⇒ X−Y−Z Y−Z−X Z−X−Y∨ ∨T 3.2.
TEOREMA 3.3. (Pasch) Neka su A, B, C tri nekolinearne tačke i neka je s prava ravni ABC, takva da A, B, C∉s. Ako je prava s incidentna s tačkom X, takvom da je B−X−C, tada je ona ili incidentna s tačkom Z, takvom da je A−Z−Bili s tačkom Y, takvom da je A−Y−C.
Dokaz.
s
II4 ⇒ A−s−B ∨ A−s−Cpretp. A−s−B ∧ A−s−C
A−Z−B ∧ A−Y−C
X, Y, Z∈s
A, Z, Y ; p (B, X, C) = t ⇒ A−t−Z ∨ A−t−YII4
A−Z−B A−Y−C
A
C
B
XY
Z
t
15
TEOREMA 3.4. Ako su A, B, C, O četiri kolinearne tačke, takve da je A−O−B i A−O−C, tada ¬(B−O−C).
Dokaz.
sA O B
D
C
p (A, B, C, O) = sI3 ⇒ ∃ D∉s
C−F−E
A, B, E ; p(O, D)
⇒ ¬ (A−p(O, D)−E)T 3.3
(2)
A, C, E ; p(O, D) ⇒ C−p(O, D)−ET 3.3, (2)
II2 ⇒ ∃ E , B−D−E
(3)
(1)
B, C, E ; p(O, D, F) ⇒ ¬ (B−p(O, D)−C)T 3.3, (1), (3)
⇒ ¬ (B−O−C)
E
F
16
TEOREMA 3.5. Ako su A, B, C, D četiri kolinearne tačke, tada važe tvrđenja:
(a) A−B−C ∧ B−C−D ⇒ A−B−D ∧ A−C−D;
(b) A−B−C ∧ A−C−D ⇒ A−B−D ∧ B−C−D.
A B C D
A B C D
(a)
(b)
17
TEOREMA 3.6. Ako su A, B, C, O četiri kolinearne tačke, takve da je ¬(A−O−B) i ¬(B−O−C), tada je ¬(A−O−C).
Dokaz. pretp. A−O−C
¬ (A−O−B) ⇒ B−A−O ∨ A−B−OT 3.2
(a) B−A−OB−A−O ∧ A−O−C ⇒ B−O−C
T 3.5(a) ¬ (B−O−C)
(a) A−B−OA−B−O ∧ A−O−C ⇒ B−O−C
T 3.5(b)
¬ (B−O−C)
18
3.1. Duž, poluprava, poluravan, poluprostor
Duž(AB) = {X | A−X−B}
[AB) = (AB) ∪ {A}(AB] = (AB) ∪ {B}
otvorena duž
poluotvorene duži
[AB] = (AB) ∪ {A, B} (zatvorena) duž
A BX
A BX
A BX
A BX
TEOREMA 3.7. Duž sadrži beskonačno mnogo tačaka.
Dokaz. [AB]
A−X1−B X1−X2−B X2−X3−B Xn−1−Xn−B. . . . . .
II1, T 3.5 ⇒ A−Xi −B ∧ Xi ≠ Xj , i ≠ j
A BX1 X2 X3 Xn−1 Xn. . .
19
Poluprava
sO A B
ηO (A, B) ⇔ ¬ (A−O−B)
A i B sa iste strane O
C
¬ ηO (A, C) ⇔ A−O−C
A, B O
A, C O
A i C sa raznih strana O
20
TEOREMA 3.8. ηO je relacija ekvivalencije na skupu s − {O}.
Dokaz. R (refleksivnost) S (simetričnost) T (tranzitivnost)
R : ηO (A, A) II1
S : ηO (A, B)
⇒ ¬ (B−O−A)II1
⇒ ηO (B, A) def.
T : ηO (A, B) ∧ ηO (B, C)
⇔ ¬ (A−O−B)def.
⇔ ¬ (A−O−B) ∧ ¬ (B−O−C)def.
⇒ ¬ (A−O−C)T 3.6.
⇔ ¬ (A−O−A)def.
⇒ ηO (A, C) def.
21
TEOREMA 3.9. ηO vrši particiju (razbijanje) skupas − {O} na tačno dve klase ekvivalencije.
Dokaz.
Os
B
CACB
Y A
A ∈ s − {O}CA = {X | ηO (A, X)}
XII2 ⇒ ∃ B , A−O−B
B ∉ CA CB = {Y | ηO (B, Y)}
CA ∪ CB = s − {O}
pretp. CA ∪ CB ≠ s − {O}
∃ M∈ s − {O} , M∉CA ∧ M∉CB
M∉CA
(1)
(3)
⇒ M−O−A(1)
M∉CB ⇒ M−O−B(3)
(2)
⇒ ¬ (A−O−B)T 3.4 (2)
22
AOs
B
CB CA
CA = pp (O, A) − otvorena poluprava s početkom O
pp (O, B) , pp [O, B)
pp [O, A) = pp (O, A) ∪ {O} − zatvorena poluprava s početkom O
pp [O, A) i pp [O, B) − komplementarne poluprave prave s
pp [O, A) = a pp [O, B) = a*
aa*
23
A
C
s
A i B sa iste strane s
ηs (A, B) ⇔ ¬ (A−s−B)
¬ ηs (A, C) ⇔ A−s−C
A, B s
A, C s
B
Poluravan
24
TEOREMA 3.10. ηs je relacija ekvivalencije na skupu α − s.
Dokaz. R : ηs (A, A) II1
S : ηs (A, B)
⇒ ¬ (B−s−A)II1
⇒ ηs (B, A) def.
⇔ ¬ (A−s−B)def.
⇔ ¬ (A−s−A)def.
T : ηs (A, B) ∧ ηs (B, C) ⇔ ¬ (A−s−B) ∧ ¬ (B−s−C)def.
(a) A, B, C − kolinearne A, B, C ∈ t
1o t ∩ s = ∅ ⇒ ¬ (A−s−C) ⇒ ηs (A, C) def.
2o t ∩ s ≠ ∅ − kao kod poluprave ... ⇒ ηs (A, C) (b) A, B, C − nekolinearne
II4 ⇒¬ (A−s−C) ⇒ ηs (A, C) def.
25
CB
CA
TEOREMA 3.11. ηs vrši particiju (razbijanje) skupa α − s na tačno dve klase ekvivalencije.
A
s
Dokaz. A ∈ α − sCA = {X | ηs (A, X)}
II2 ⇒ ∃ B , A−O−BB ∉ CA CB = {Y | ηO (B, Y)}
CA ∪ CB = α − spretp. CA ∪ CB ≠ α − s∃ M∈ α − s , M∉CA ∧ M∉CB
(1)O∈s
(a) A, B, M − kolinearnekao kod poluprave ... ⇒ ¬ (A−O−B) (1)
(b) A, B, M − nekolinearneII4 ⇒¬ (A−O−B) (1)
X
YB
O
26
A
B
s
CA
CB
CA = pr (s, A) − otvorena poluravan sa ivicom s, sadrži tačku A
pr [s, A) = pr (s, A) ∪ s − zatvorena poluravan sa ivicom s
pr (s, B) , pr [s, B)pr [s, A) i pr [s, B) − komplementarne poluravni ravni α
pr [s, A) = φ pr [s, B) = φ*
φ
φ*
27
α
A
C
A i B sa iste strane α
ηα (A, B) ⇔ ¬ (A−α−B)
¬ ηα (A, C) ⇔ A−α−C
A, B α
A, C α
B
Poluprostor
28
TEOREMA 3.12. ηα je relacija ekvivalencije na skupu P − α.
α
A
B
CA
CB
ppr [α, A) = ppr (α, A) ∪ αzatvoreni poluprostor sa ivicom α
CA = ppr (α, A) − otvoreni poluprostorsa ivicom α
ppr (α, B) , ppr [α, B)
ppr [α, A) i ppr [α, B) − komplementarni poluprostori
ppr [α, A) = W ppr [α, B) = W*
W
W*
TEOREMA 3.13. ηα vrši particiju (razbijanje) skupa P − α na tačno dve klase ekvivalencije.
29
3.2. Ugao, trougao
Ugao
Oa
ba, b − kraci
O − teme (vrh)
∠ aOb
∠ ab ∠ O
∠ AOB
abO
ravan (opružen) ugao
ugao = dve poluprave sa zajedničkim početkom
30
ββ*
α
α*a
b
int ∠aOb = α ∩ β
unutrašnjost ugla
ext ∠aOb = α* ∪ β*
spoljašnjost ugla
O
31
F − konveksna figura
1o ∅ − konveksna figura2o tačka − konveksna figura3o ∀A, B ∈ F ⇒ [AB] ⊂ F
TEOREMA 3.15. Ako su F1, ... , Fn (n ≥ 1) konveksne figure, tada je i F1∩ ... ∩ Fn konveksna figura..
Dokaz. F = F1 ∩ ... ∩ Fn
(a) F = ∅ ili F = {A} ⇒ F − konveksnadef.
(b) F = {A, B, ... }⇒ A, B ∈ Fii = 1, ... , n ⇒ [AB] ⊂ Fi ⇒ [A B] ⊂ F
TEOREMA 3.14. Prava, duž, poluprava, poluravan i poluprostor su konveksne figure.
32
TEOREMA 3.16. Unutrašnjost ugla koji nije opružen je konveksna, a spoljašnjost nije.
Dokaz.
β*
α*
β
αa
b
O
(a) int ∠aOb = α ∩ βT 3.14, T 3.15 ⇒ int ∠aOb − konveksna
(b) ext ∠aOb = α* ∪ β*
B
A
C
A∈a , B∈bII2 ⇒ ∃ C , A−B−C
II2 ⇒ ∃ D , B−A−DA∈β ⇒ C∈β*
B∈α ⇒ D∈α*
(1)(2)
(1) , (2) ⇒ C, D∈ext ∠aOb
T 3.5(a) ⇒ C−A−D , A∉ext ∠aOb
(3)(4)
D
33
Trougao
BA
C
∆ ABCA, B, C − temena (vrhovi)
c
b a
AB = cBC = aCA = b
α
γ
β ∠ BAC = α∠ CBA = β∠ ACB = γ
trougao = unija 3 nekolinearne tačke i 3 duži koje obrazuju svake dve od njih
stranice
(unutrašnji)uglovi
34
β
A
C
B
αα*
γ
γ*
β*
int ∆ ABC = α ∩ β ∩ γ
unutrašnjost trougla
ext ∠aOb = α* ∪ β* ∪ γ*
spoljašnjost trougla
TEOREMA 3.17. Unutrašnjost trougla je konveksna, a spoljašnjost nije.
35
s
TEOREMA 3.18. Ako prava s sadrži tačku M unutrašnju za Δ ABC, tada s ima dve i samo dve zajedničke tačke s trouglom.
A
C
B
s
M
A
C
B
M
36
Dokaz. (a) s sadrži teme trougla
s
M
D
A∈sII2 ⇒ ∃ D , B−A−D
D, B, C ; sT 3.3 ⇒ B−s−C ∨ D−s−C
¬ (D−s−C)
s = pp [A, M) ∪ pp [A, N)II2 ⇒ ∃ N , M−A−N
(1)
M∈β ⇒ pp [A, M) ⊂ βD∈β* ⇒ [C D] ⊂ β*
⇒ pp [A, M) ∩ [C D] = ∅ (2)
N∈γ* ⇒ pp [A, N) ⊂ γ*C∈γ ⇒ [C D] ⊂ γ
⇒ pp [A, N) ∩ [C D] = ∅ (3)
(2) , (3) ⇒ (1) ⇒ B−s−C ⇒ s ∩Δ ABC = {A, P}
B
C
A
P
ββ*
γ
γ*
N
37
s
(b) s ne sadrži nijedno teme trougla
BA
C(a) ⇒ p (A, M) ∩ [BC] = {X}
X
M ∈ int Δ ABC ⇒ A−M−X
A, B, X ; s
T 3.3 ⇒ A−s−B ∨ B−s−X
A, B, C ; s
T 3.3 ⇒ s ∩Δ ABC = {P, Q}
QP
M
38
b
aO
s
TEOREMA 3.19. Poluprava koja izlazi iz temena ugla i pripada njegovoj unutrašnjosti seče svaku duž čiji su krajevi na kracima ugla.
OSNOVIGEOMETRIJE
I - 2
Vojislav Petrović
2
4. AKSIOME PODUDARNOSTI
III1 Za svaku duž AB i svaku polupravu s sa početkom A', postoji tačka B'∈s, takva da je [AB] ≅ [A'B'].
"je podudarno" − ≅
III2 Ako je [A'B'] ≅ [AB] i [A"B"] ≅ [AB], tada je [A'B'] ≅ [A"B"].
A B A's
B'
III3 Neka su A, B, C i A', B' C' dve trojke kolinearnih tačaka, takvih da je A−B−C i A'−B'−C' . Ako je [AB] ≅ [A'B'] i [BC] ≅[B'C'], tada je [AC] ≅ [A'C'].
B' C'A'BA C
3
s
III4 Neka je ∠ aOb proizvoljan ugao, s proizvoljna prava, O' proizvoljna tačka prave s, a' jedna od polupravih prave s sa početkom O' i α jedna od poluravni sa ivicom s. Tada u poluravni α postoji jedna i samo jedna poluprava b' sa početkom O', takva da je ∠ aOb ≅ ∠ a'O'b'.
Podudarnost uglova je refleksivna relacija.
a
b
O a'
b'
O'
α
4
III5 Ako za ∆ ABC i ∆ A'B'C' važi
[AB] ≅ [A'B'] , [AC] ≅ [A'C'] , ∠ BAC ≅ ∠ B'A'C'
tada je ∠ ABC ≅ ∠ A'B'C'.
A B
C
A' B'
C'
α αβ β
γ γ
5
TEOREMA 4.1. Podudarnost duži je relacija ekvivalencije.Dokaz.
R : [AB] ≅ [A'B'] (III1)
[AB] ≅ [A'B'] ∧ [AB] ≅ [A'B'] ⇒ [AB] ≅ [AB]III2
S : [AB] ≅ [A'B'](R)
[A'B'] ≅ [A'B'] ∧ [AB] ≅ [A'B'] ⇒ [A'B'] ≅ [AB]III2
[AB] ≅ [A'B'] ∧ [A'B'] ≅ [A"B"]T : ⇒(S)
[AB] ≅ [A'B'] ∧ [A"B"] ≅ [A'B'] ⇒III2
[AB] ≅ [A"B"]
6
TEOREMA 4.2. Tačka B' iz III1 je jedinstvena.
Dokaz.
A B
C
[AB] ≅ [A'B']
pretp. ∃ B"∈ pp [A', B' ) , [AB] ≅ [A'B"]
C ∉ p (A', B', B")
Δ A'B'C , Δ A'B"C
III5 ⇒ ∠ A'CB' ≅ ∠ A'CB"
III4
A' B' B"
7
TEOREMA 4.3. Neka su A, B, C i A', B', C' dve trojke kolinearnih tačaka, takvih da je A−B−C i A'−B'−C' . Ako je [AB] ≅ [A'B'] i [AC] ≅ [A'C'], tada je [BC] ≅ [B'C'].
Dokaz.
B' C'A'
BA CC" ∈ pp [B', C') [BC] ≅ [B'C"]
(a) C" ≡ C'
(b) C" ≠ C'C"
A, B, CA', B', C"
⇒III3 [AC] ≅ [A'C"]
[AC] ≅ [A'C']
T 4.2
8
A' C'
TEOREMA 4.4. Neka su A, B, C kolinearne tačke, takveda je A−B−C i neka A' i C' tačke, takve da je [AC] ≅ [A'C']. Tada na pravoj A'C' postoji jedna i samo jedna tačka B', takva da je [AB] ≅ [A'B'] i [BC] ≅ [B'C']. Pritom je A'−B'−C'.
Dokaz.
BA C
1o B' ∈ pp [A', C' ) , [AB] ≅ [A'B'](a) A'−B'−C' T 4.3 ⇒ [BC] ≅ [B'C']
(b) B' ≡ C' ∨ A'−C'−B' T 4.2
2o B" ∈ pp* [A', C' ) , [AB] ≅ [A'B"][BC] ≅ [B"C']pretp. [BC] ≅ [B"C']A" , A"−B"−C' , [AB] ≅ [A'B"]III3 ⇒ [AC] ≅ [A"C']
[C'A'] ≅ [CA][C'A"] ≅ [CA]
T 4.2
B'B"A"
9
∆ ABC ≅ ∆ A'B'C'
⇔
[AB] ≅ [A'B'] , [BC] ≅ [B'C'] , [CA] ≅ [C'A']
∠ A ≅ ∠ A' , ∠ B ≅ ∠ B' , ∠ C ≅ ∠ C'
A B
C
A' B'
C'
α αβ β
γ γ
10
TEOREMA 4.5. Ako za ∆ ABC i ∆ A'B'C' važi[AB ≅ A'B'] , [AC] ≅ [A'C'] , ∠ BAC ≅ ∠ B'A'C' ,
tada je ∆ ABC ≅ ∆ A'B'C'. (SUS)
Dokaz.
A B
C
A' B'
C'
α αβ β
γ γC"
α"
III5 ⇒ ∠ B ≅ ∠ B' , ∠ C ≅ ∠ C'
C" ∈ pp [B', C' ) , [BC] ≅ [B'C"]
(a) C" ≡ C'(b) C" ≠ C'
Δ ABC , Δ A'B'C" ⇒ α ≅ α"III5
α ≅ α'α ≅ α" III4
TEOREMA 4.6. Ako za ∆ ABC i ∆ A'B'C' važi[AB] ≅ [A'B'] , ∠ BAC ≅ ∠ B'A'C' , ∠ ABC ≅ ∠ A'B'C',
tada je ∆ ABC ≅ ∆ A'B'C'. (USU)
11
TEOREMA 4.7. Dat je ∠ aOc i u njegovoj unutrašnjostipoluprava b sa početkom O. Ako je ∠ aOc ≅ ∠ a'O'c', tada u unutrašnjosti ∠ a'O'c' postoji jedna i samo jedna poluprava b' sa početkom O', takva da je ∠ aOb ≅ ∠ a'O'b' i ∠ bOc ≅ ∠ b'O'c'.
b
c
aO
b'
c'
a'O'
γ γ
α α
ββ
12
TEOREMA 4.8. Dati su ∠aOc i ∠a'O'c'. Neka je b poluprava u unutrašnjosti ∠aOc sa početkom O i neka je b' poluprava u unutrašnjosti ∠a'O'c' sa početkom O'. Tada važe sledeća tvrđenja:
(a) ako je ∠aOb ≅ ∠a'O'b' i ∠bOc ≅ ∠b'O'c',tada je ∠aOc ≅ ∠a'O'c' ;
(b) ako je ∠aOb ≅ ∠a'O'b' i ∠aOc ≅ ∠a'O'c',tada je ∠bOc ≅ ∠b'O'c'.
c
aO
γα
c'
a'O'
γα
c
aO
γα
c'
a'O'
γα
b b' b'b
(a) (b)
β β β β
13
BA
C'
C"
γ
γ
TEOREMA 4.9. Ako je u ∆ ABC [BC] ≅ [AC], tada je ∠ A ≅ ∠ B.
A
C
Bα α
jednakokrak trougao
TEOREMA 4.10. Neka su tačke C' i C" sa raznih strana prave AB. Ako je [AC'] ≅ [AC"] i [BC'] ≅ [BC"], tada je ∠ AC'B ≅ ∠ AC"B.
14
s1
α
TEOREMA 4.11. Ako za ∆ ABC i ∆ A'B'C' važi
[AB] ≅ [A'B'] , [BC] ≅ [B'C'] , [CA] ≅ [C'A']
tada je ∆ ABC ≅ ∆ A'B'C'.
Dokaz.
B
C
A
C'
B'A'
C1
C2
αα
s1 (A') ⊂ pr [A'B'; C')∠ BAC ≅ ∠ B'A's1
(a) s1 ≡ pp [A', C')(b) s1 ≠ pp [A', C')
C1∈ s1 , [AC] ≅ [A'C1]
Δ ABC ≅ Δ A'B'C1 (SUS)⇒ [BC] ≅ [B'C1]
C2 ∈ pr* [A'B'; C') ∠ B'A'C1 ≅ ∠ B'A'C2
[A'C1] ≅ [A'C2]
15
A'
C'
B'
C1
C2
αα
γ γ
γ
α
Δ A'B'C1 ≅Δ A'B'C2 (SUS)⇒ [B'C1] ≅ [B'C2]
p (A', B') ; C2, C'
T 4.10 ⇒ ∠ A'C2B' ≅ ∠ A'C'B' (1)
p (A', B') ; C2, C1
T 4.10 ⇒ ∠ A'C2B' ≅ ∠ A'C1B' (2)
Δ A'B'C2 ≅Δ A'B'C' ((1), SUS)
⇒ ∠ C2 A'B' ≅ ∠ C'A'B' (3)
Δ A'B'C2 ≅Δ A'B'C1 ((2), SUS)
⇒ ∠ C2 A'B' ≅ ∠ C1A'B' (4) (3) , (4) III4
16
b'
a'O'
TEOREMA 4.12. Podudarnost uglova je relacija ekvivalencije.
Dokaz. R :
S : ⇒ ∠ a'O'b' ≅ ∠ aOb!?
O
b
aA'
B'A ∈ a , A ≠ OB ∈ b , B ≠ OA' ∈ a' , [OA] ≅ [O'A']B' ∈ b' , [OB] ≅ [O'B']
Δ OAB ≅ Δ O'A'B' (SUS)⇒ [AB] ≅ [A'B']
Δ O'A'B' ≅Δ OAB (SSS, T 4.11) ⇒ ∠ a'O'b' ≅ ∠ aOb
T : kao S
A
B
III4
∠ aOb ≅ ∠ a'O'b'
17
[AB] < [CD]
4.1. Relacije < , > za duži i uglove
ρ − relacija strogog poretka
− irefleksivna IR ¬ (a ρ a) ∀a
− antisimetrična AS a ρ b ⇒ ¬ (b ρ a)
− tranzitivna T a ρ b ∧ b ρ c ⇒ a ρ c
A B DC
Duži
⇔ (∃ D1) (C−D1−D) ([AB] ≅ [CD1])def.
D1
18
C D
A B
TEOREMA 4.13. < je relacija strogog poretka na skupu svih duži.
Dokaz. IR : ¬ ( [AB] < [AB] ) ∀ [AB]
pretp. ∃ [AB] [AB] < [AB] B1
⇒ ∃ B1 A−B1−B [AB1] ≅ [AB]def.
T 4.2
AS :
pretp. [AB] < [CD] ∧ [CD] < [AB]
D1
B2
⇒ ∃ D1 C−D1−D [AB] ≅ [CD1]def.
∃ B1 A−B1−B [AB1] ≅ [CD]∧
∃ B2 A−B−B2 [BB2] ≅ [D1D]
III3 ⇒ [AB2] ≅ [CD]
[AB1] ≅ [CD][AB2] ≅ [CD]
T 4.2
A B
⇒ ¬ ( [CD] < [AB] )[AB] < [CD]B1
19
E F
C D
T : [AB] < [CD] ∧ [CD] < [EF]
A B
D1
F2 F1
[AB] < [CD] ⇒ ∃ D1 C−D1−D [AB] ≅ [CD1]
[CD] < [EF] ⇒ ∃ F1 E−F1−F [CD] ≅ [EF1]
C−D1−D[CD] ≅ [EF1]
⇒ ∃ F2 E−F2−F1 [CD1] ≅ [EF2]T 4.4
E−F2−F1
E−F1−F⇒ E−F2−F
T 3.5(b)
(1)
(2)
(3)
(1), (2), (3) ⇒def.
[AB] < [EF]
⇒ [AB] < [EF]
20
TEOREMA 4.14. (trihotomija) Za svake dve duži [AB] i [CD]važi jedna i samo jedna od relacija
[AB] ≅ [CD] , [AB] < [CD] , [CD] < [AB] .
Dokaz. D1 ∈ pp [C, D) [AB] ≅ [CD1]
(a) D1 ≡ D ⇒ [AB] ≅ [CD]
(b) C−D1−D ⇒ [AB] < [CD]
(c) C−D−D1
A B
C D
C−D−D1 ∧ [AB] ≅ [CD1] ⇒T 4.4
∃ B1 A−B1−B [CD] ≅ [AB1] ⇒ [CD] < [AB]
B1
D1
21
[AB] > [CD]
Uglovi
⇔ [CD] < [AB]def.
∠ aOb < ∠ cO'd ∠ aOb ≅ ∠ cO'd1⇔ ∃d1 d1 ⊂ int ∠ cO'd def.
d1
a
b
Oc
d
O'φφ
TEOREMA 4.15. > je relacija strogog poretka na skupu svih duži.
22
TEOREMA 4.16. < je relacija strogog poretka na skupu svih uglova.
TEOREMA 4.17. (trihotomija) Za svaka dva ugla α i β važi jedna i samo jedna od relacija
α ≅ β , α < β , β < α .
∠ aOb > ∠ cO'd ⇔ ∠ cO'd < ∠ aObdef.
TEOREMA 4.18. > je relacija strogog poretka na skupu svih uglova.
23
4.2. Naporedni, unakrsni i transverzalni uglovi
naporedni uglovi
∠ aOb
a*
b*
− jedan krak zajedničkidruga dva komplementarna
− ∠ a*Ob (∠ aOb* )
O
b
aα
α*
α*
24
TEOREMA 4.19. Naporedni uglovi podudarnih uglova su podudarni.
αa1
O1
b1
a*1
Dokaz.
B1
A1A*1
α aO
b
a*
B
AA*
∠ aOb ≅ ∠ a1O1b1
A ∈ a , B ∈ b , A* ∈ a*⇒ ∠ a*Ob ≅ ∠ a*O1b11
A1 ∈ a1 [O1A1] ≅ [OA]B1 ∈ b1 [O1B1] ≅ [OB]A* ∈ a* [O1A*] ≅ [OA*]1 11
ΔOAB ≅ ΔO1A1B1
⇒ [AB] ≅ [A1B1] , ∠OAB ≅ ∠ O1A1B1 θ
θ
⇒ ∠ A*OB ≅ ∠ A*O1B11
⇒ [A*B] ≅ [A*B1] 1
Δ A*AB ≅ Δ A*A1B11
Δ A*OB ≅ Δ A*O1B11
θ*
θ*
25
unakrsni uglovi
∠ aOb
a
b
Oa*
b*
TEOREMA 4.20. Unakrsni uglovi su podudarni.
− kraci jednog komplementarni kracima drugog
− ∠ a*Ob*
Dokaz. Iz T 4.19. ∠ a*Ob − zajednički naporedni
26
α
γ
βα*
spoljašnji ugao trougla
naporedan unutrašnjem uglu
α*, β*, γ*
BA
C
β*
γ*
α*
γ*
β*
27
α
TEOREMA 4.21. Spoljašnji ugao trougla veći je od unutrašnjeg nesusednog ugla.
α
Dokaz. pretp. α* > β ∨ α* > γ
α* > γ ⇒ α* ≅ γ ∨ α* < γT 4.17
(a) α* ≅ γ B−C−D , [CD] ≅ [AB]
D
A B
C
α*
α* ≅ γ ⇒ α ≅ ∠ DCAα*
Δ ABC ≅ Δ DCA (SUS)⇒ ∠ BCA ≅ ∠ CAD
γ ≅ ∠ CAD ≅ α*(a)
E
∠ CAD ≅ α*∠ CAE ≅ α*
(E−A−B)
III4
(b) α* < γ∠ ACB1 ≅ α* , A−B1−B
γ
B1
α*
Δ AB1C . . . kao (a)
28
β1
β3 β2
β4
α1
α3 α2
α4
transverzalni uglovi b
a
s
s − transverzalaunutrašnji − α2, α3, β1, β4
spoljašnji − α1, α4, β2, β3
saglasni − 1 spoljašnji i 1 unutrašnji sa iste strane snaizmenični − 2 spoljašnja ili 2 unutrašnja sa raznih strana ssuprotni − 2 spoljašnja ili 2 unutrašnja sa iste strane s
TEOREMA 4.22. Ako su dva saglasna ili dva naizmenična ugla podudarna ili ako je zbir dva suprotna ugla ravan ugao, tada se prave a i b ne seku.
29
4.3. Sredina duži, simetrala ugla,nejednakosti stranica i uglova trougla
S − sredina duži
A BS1. A−S−B2. [AS] ≅ [BS]
TEOREMA 4.23. Ako za ∆ ABC i ∆ A'B'C' važi
AB ≅ A'B', ∠ BAC ≅ ∠ B'A'C', ∠ ACB ≅ ∠ A'C'B',tada je ∆ ABC ≅ ∆ A'B'C'. (SUU)
A B
C
A' B'
C'
α α
γ γ
30
TEOREMA 4.24. Svaka duž ima jedinstvenu sredinu.
Dokaz.
A Bs
α
α*
C
θ
D
S
p (A, B) = s , α , α*
C ∈ α , ∠ BAC = θD ∈ α* ∠ ABD ≅ θ , [BD] ≅ [AC]
s ∩ [CD] = {S}C−S−D A−S−B
Δ ASC ≅Δ BSD (SUU)
⇒ [AS] ≅ [BS]
1o egzistencija
(1)
(2)
(1), (2) ⇒ S sredina [AB]
θ
31
A BS
2o jedinstvenost
pretp. ∃ S' − sredina [AB]S' ≠ S
A−S−S' ∨ A−S'−S
A−S−S' (4)
⇒ S−S'−BT 3.5(a)
(5)
S − sredina [AB] ⇒ [AS] ≅ [BS]
(3)
⇒ [BS] > [BS'](5)
⇒ [BS'] ≅ [AS'](3)
⇒ [AS'] > [AS](4)
⇒ [AS] > [AS]
T 4.15
S'
32
s
s − simetrala (bisektrisa) ugla
1. s(O) ⊂ int ∠ aOb
2. ∠ aOs ≅ ∠ bOs
a
b
O
φφ
33
s
TEOREMA 4.25. Svaki ugao ima jedinstvenu simetralu.
Dokaz. 1o egzistencija
a
b
O A
S
BA ∈ a , A ≠ OB ∈ b , [OB] ≅ [OA]S − sredina [AB] s = pp [O, S)
Δ OAS ≅Δ OBS (SSS)∠ AOS ≅ ∠ BOS ⇒ s − simetrala ∠ aOb
φφ
2o jedinstvenostpretp. ∃ s' − simetrala ∠ aOs , s' ≠ ss' ∩ [AB] = {S'} , S' ≠ S
Δ OAS' ≅ Δ OBS' (SUS)⇒ [AS'] ≅ [BS']
S' − sredina [AB]S − sredina [AB]S' ≠ S
T 4.24
s'sS
a
b
O A
B
φφ S'φ'
φ'
34
TEOREMA 4.26. Naspram podudarnih stranica trougla leže podudarni uglovi i obratno.
Dokaz.
BA
C(⇒)
Δ ABC[BC] ≅ [AC]
Δ ABC ≅ Δ BAC (SSS)[AB] ≅ [BA][BC] ≅ [AC][AC] ≅ [BC]
⇒ ∠ A ≅ ∠ Bα α
(⇐)
⇒ [BC] ≅ [AC]
Δ ABC ≅ Δ BAC (USU)
∠ A ≅ ∠ B
[AB] ≅ [BA]∠ A ≅ ∠ B∠ B ≅ ∠ A BA
C
α α
35
TEOREMA 4.27. Naspram veće stranice trougla leži veći ugao i obratno.Dokaz. Δ ABC(⇒) [BC] > [AC] ⇒ ∠ A > ∠ B
A
C
B
D
∃ D , C−D−B , [CD] ≅ [AC]
⇒ ∠ CAD ≅ ∠ CDA = φ∠ A = ∠ BAC > ∠ CAD (1)
(2)(3)
(1), (2), (3) ⇒ ∠ A > ∠ B
(⇐) ∠ A > ∠ B ⇒ [BC] > [AC]⇒ [BC] ≅ [AC] ∨ [BC] < [AC]
T 4.17
[BC] ≅ [AC] ⇒ ∠ A ≅ ∠ BT 4.26
[BC] < [AC] ⇒ ∠ A < ∠ BT 4.26
φφ
⇒ ∠ CDA > ∠ BT 4.21
∠ A > ∠ B
36
TEOREMA 4.28. Svaka stranica trougla manja je od zbira druge dve.
Dokaz. Δ ABC
A
C
B
D[AB] < [BC] + [AC]
∃ D , B−C−D , [CD] ≅ [AC]
[BD] = [BC] + [AC] (1)
⇒ ∠ ADC ≅ ∠ DAC = φT 4.26
φ
φ
∠ BAD > ∠ DAC
(2)
(3)
(2), (3) ⇒∠ BAD > ∠ ADC
Δ ABD ⇒ [AB] < [BD]T 4.27
⇒ [AB] < [BC] + [AC](1)
37
4.4. Prav ugao, normalne prave
a*
prav ugao
∠ aOb ≅ ∠ a*Ob
prav ugao − d
aO
b
− podudaran svom naporednom
38
TEOREMA 4.30. Ugao podudaran pravom uglu je prav.
TEOREMA 4.29. Prav ugao postoji.
a
b
O A
S
BDokaz. ∠ aOb − proizvoljanA ∈ a , A ≠ OB ∈ b , [OB] ≅ [OA]S − sredina [AB]Δ OAS ≅Δ OBS (SSS)
∠ OSA ≅ ∠ OSB ⇒ ∠ OSA = ddef.
Dokaz. ∠ ab = d ∧ ∠ cd ≅ ∠ ab ⇒ ∠ cd = d
∠ ab = d ⇒ ∠ ab ≅ ∠ a*bdef.
∠ cd ≅ ∠ ab ⇒ ∠ c*d ≅ ∠ a*bT 4.19 ⇒ ∠ cd ≅ ∠ c*d
⇒ ∠ cd = ddef.
39
TEOREMA 4.31. Svi pravi uglovi su podudarni.
a* aO
b
c* cO'
d
Dokaz. ∠ aOb = d ∧ ∠ cO'd = d ⇒ ∠ aOb = ∠ cO'd∠ aOb = d ⇒ ∠ aOb ≅ ∠ a*Ob
def.
∠ cO'd = d ⇒ ∠ cO'd ≅ ∠ c*O'ddef.
γ
∃ d' (O) ⊂ γ (d) , ∠ aOb ≅ ∠ cO'd'
(a) d' ≡ d
(b) d' ⊂ int ∠ cO'dd'
d ⊂ int ∠ c*O'd'∠ ab ≅ ∠ cd'
∠ cd' ≅ ∠ c*d'
(1)(2)
T 4.30⇒ ∠ cd' = d
> ∠ c*d(2)
≅ ∠ cd > ∠ cd'(1)
T 4.18
40
normalne (ortogonalne) prave
a
b
O
a ⊥ b ⇔ ∠ aOb = d a ∩ b = {O}
41
TEOREMA 4.32. Za svaku tačku A i svaku pravu s postoji jedna i samo jedna prava t, takva da A∈t i t ⊥ s.
Dokaz. 1o A ∈ s(a) egzistencija
sA s1s1*
ll' ml (A) − proizvoljna∠ ls1 = d(a1) ∠ ls1 ≅ ∠ ls1*
(a2) ∠ ls1 < ∠ ls1*
l' (A) ⊂ int ∠ ls1* ∠ l's1 ≅ ∠ ls*
∠ sm ≅ ∠ s1m*m(A) − simetrala ∠ ll'
= d(a3) ∠ ls1 > ∠ ls1* kao (a2)
t (m) ⊥ s
t
φ φθ θt (l) ⊥ s
42
t'
(b) jedinstvenostpretp. ∃ t' (A) ⊥ s , t' ≠ t
m'
ss1s1* A
t
m
∠ m's ≅ ∠ ms = d T 4.31III4
2o A ∉ s
ss1s1*
A
O
B
α
α*
A ∈ α O ∈ s B ∈ α*∠ AOs1 ≅ ∠ BOs1 , [OA] ≅ [OB]
(a) egzistencija
s ∩ [AB] = {S}S
Δ AOS ≅Δ BOS (SUS)
∠ ASO ≅ ∠ BSO = d ⇒ t (A, B) ⊥ s
t
φφ
43
(b) jedinstvenostpretp. ∃ t' (A) ⊥ s , t' ≠ t
s
A
S
tt'
S't' ∩ s = {S'} S' ≠ S
Δ ASS' T 4.21
oštar ugao − manji od svog naporednogtup ugao − veći od svog naporednog O
b
a* aαα*
O
b
a* aαα*
TEOREMA 4.33. Oštar ugao je manji od pravog ugla, a tup ugao je veći od pravog ugla.
44
TEOREMA 4.34. U svakom trouglu najviše jedan ugao je prav ili tup i najmanje dva ugla su oštra.
TEOREMA 4.35. U jednakokrakom trouglu uglovi na osnovici su oštri.
TEOREMA 4.36. U pravouglom (tupouglom) trouglu naspram pravog (tupog) ugla je najveća stranica trougla.
45
TEOREMA 4.37. (a) Normala povučena iz tačke kraka oštrog ugla na pravu kojoj pripada drugi krak, seče drugi krak.(b) Normala povučena iz tačke kraka tupog ugla na pravu kojoj pripada drugi krak, seče produžetak drugog kraka.
a*
b
aO
a
b
O M' M'
MM
46
4.5. Normalnost u prostoru
ab c
s ⊥ α 1. s ∩ α = {O}
s ⊥ a, b, c, ...2. ∀ a(O), b(O), c(O) ... ⊂ α
O
Prava i ravan
⇔
α
s
47
s
TEOREMA 4.38. Prava s je normalna na ravan α ako i samo ako je seče i normalna je na dve prave ravni α koje prolaze kroz tačku preseka.
a
b
cα
O
Dokaz.
AC
B
K
L
s ∩ α = {O}a (O), b (O) ⊂ α s ⊥ a , s ⊥ b
c (O) ⊂ α ⇒ s ⊥ c
A ∈ a , A ≠ Oc ∩ [AB] = {C}K ∈ s , K ≠ OL ∈ s − O sredina [KL]
⇒ [AK] ≅ [AL] (1)
⇒ [BK] ≅ [BL] (2)
Δ AOK ≅ Δ AOL (SUS)
Δ BOK ≅ Δ BOL (SUS)
B ∈ b , B ≠ O
(∗)
48
(1), (2) ⇒ Δ ABK ≅ Δ ABL (SSS)⇒ ∠ KAB ≅ ∠ LAB (3)
(1), (3) ⇒ Δ AKC ≅ Δ ALC (SUS)
⇒ [KC] ≅ [LC]
s
a
b
cα
O
AC
B
K
L
[AK] ≅ [AL] (1)[BK] ≅ [BL] (2)
(4)
(∗), (4) ⇒ Δ KOC ≅ Δ LOC (SSS)
⇒ ∠ KOC ≅ ∠ LOC = d
⇒ s ⊥ c
αα
49
s
TEOREMA 4.39. Za svaku tačku A i svaku pravu s postoji jedna i samo jedna ravan α, takva da A∈α i α ⊥ s.
Dokaz. 1o A ∈ s
ββ (s) , γ (s) , β ≠ γbb (A) ⊂ β , b ⊥ s c
c (A) ⊂ γ , c ⊥ s α
α (b, c)
T 4.38 ⇒ s ⊥ α
γA
(a) egzistencija (b) jedinstvenostpretp. ∃ α' (A) ⊥ s , α' ≠ α
α' ∩ β = b' (A)α' ∩ γ = c' (A)
α' ≠ α ⇒ b' ≠ b ∨ c' ≠ c
s ⊥ α' ⇒ s ⊥ b' (A)
b (A) ⊥ sb' ≠ b
b' (A) ⊥ s T 4.32
50
cbγβ
α
s
A
2o A ∉ s
O
(a) egzistencijaβ (s, A) , γ (s), γ ≠ β
b (A) ⊂ β , b ⊥ s , b ∩ s = {O}c (O) ⊂ γ , c ⊥ sα (b, c)
T 4.38 ⇒ s ⊥ α
(b) jedinstvenostpretp. ∃ α' (A) ⊥ s , α' ≠ αα' ∩ β = b' (A) b' (A) ⊥ sT 4.32 ⇒ b' ≡ b
⇒ b' ∩ s = {O}
α' ∩ γ = c' (O)T 4.32 ⇒ c' ≡ c
(1)
(2)
(3)
(2), (3) ⇒ α' ≡ α
(1)
51
ca
TEOREMA 4.40. Za svaku tačku A i svaku ravan α postoji jedna i samo jedna prava s, takva da A∈s i s ⊥ α.
Dokaz. 1o A ∈ α
a (A) ⊂ α
β (A) ⊥ a (T 4.39)
β ∩ α = t
s (A) ⊂ β , s ⊥ t
s ⊥ α
β
t
s
α A
(a) egzistencija
(b) jedinstvenostpretp. ∃ s' (A) ⊥ α, s' ≠ s
γ
γ (s, s') ∩ α = c (A)s (A) ⊥ cs' (A) ⊥ cs ≠ s'
T 4.32
s
α A
s'
52
b (B) ⊂ α , b ⊥ ab
c (B) ⊂ α , c ⊥ bc
a (A, B) , B ∈ α a
B
2o A ∉ α
β (a, c)s (A) ⊂ β , s ⊥ cs ⊥ α
∆ OBC ≅ ∆ BOA⇒ ∆ AOC ≅ ∆CBA⇒ ∠ AOC = ∠CBA = d (b ⊥ a)⇒ s ⊥ OC , s ⊥ c
⇒ s ⊥ α
C
C ∈ b , [BC] ≅ [AO]
s
Oα
A
(a) egzistencija
β
(b) jedinstvenostpretp. ∃ s' (A) ⊥ α, s' ≠ sγ (s, s') ∩ α = c (A)
s (A) ⊥ cs' (A) ⊥ cs ≠ s'
T 4.32
53
c
TEOREMA 4.41.(tri normale) Prava a je normalna na ravan α i seče je u tački A. Neka je b prava ravni α koja sadrži tačku A i neka je B tačka prave b, B ≠ A. Neka je c prava ravni α koja sadrži tačku B i normalna je na b. Tada je BX ⊥ c za svaku tačku X∈a.
b Bα
a
A
X
54
TEOREMA 4.42. (obratna o tri normale) Prava a je normalna na ravan α i seče je u tački A. Neka je B tačka ravni α, B ≠ A, i neka je X∈a. Neka je c prava ravni α koja sadrži tačku B i normalna je na XB. Tada je AB ⊥ c.
c
α
a
A
X
B
55
Dve ravni
⇔ ∃ a ⊂ α , a ⊥ αα ⊥ βα
β
a
TEOREMA 4.43. Ako je α ⊥ β, tada je i β ⊥ α.
Dokaz.a ⊥ s , a ∩ s = {S}b (S) ⊂ β , b ⊥ s
⇒ β ⊥ α
α ∩ β = s
α
β
s
b
aS
a ⊂ α , a ⊥ β
a ⊥ b⇒ b ⊥ α
56
TEOREMA 4.44. Neka je α ⊥ β, α ∩ β = s, a ⊂ α i a ⊥ s. Tada je a ⊥ β.
Dokaz.
α ⊥ β
a ∩ s = {A}
⇒ ∃ b⊂ β , b ⊥ αb ∩ s = {B} = B
b
aα
β
sA
1o A = Ba ⊥ s, a ⊥ b
2o A ≠ BX ∈ b , X ≠ BT 4.41 ⇒ a ⊥ AX
⇒ β ⊥ αT 4.43
a
α
β
s
A
b
B
a ⊥ s⇒ a ⊥ β
T 4.38
⇒ a ⊥ βT 4.38
X
57
TEOREMA 4.45. Ako je α ⊥ γ i β ⊥ γ i α ∩ β = s, tada je s ⊥ γ.
Dokaz.
s
α β
γ
s1 s2
a b
SS ∈ ss1(S) ⊂ α , s1 ⊥ a
s2(S) ⊂ β , s2 ⊥ b
T 4.44 ⇒ s1 ⊥ γ
T 4.44 ⇒ s2 ⊥ γ
α ∩ γ = a β ∩ γ = bPretp. s ⊥ γ.
s1(S) ⊥ γ , s2(S) ⊥ γ , s1 ≠ s2
(1)
⇒ s1 ≠ s(1)
s1 ≠ s2
⇒ s2 ≠ s(1)
T 4.40
58
TEOREMA 4.46. Ako prava s nije normalna na ravan α, tada postoji jedna i samo jedna ravan β, takva da s ⊂ β i β ⊥ α.
Dokaz.
α
st
βS ∈ s1o egzistencija
T 4.40 ⇒ ∃ t (S) ⊥ α
β (s, t) ⊥ α
2o jedinstvenost
S
pretp. ∃ β' (s) ⊥ α , β' ≠ β
T 4.45 ⇒ s ⊥ α s ⊥ α
⇒ t ≠ ss ⊥ α
59
TEOREMA 4.47. Dve prave normale na istu ravan su komplanarne.
Dokaz.
α
β b'a ⊥ α , a ∩ α = {A}b ⊥ α , b ⊥ α = {B}
pretp. a i b − nekomplanarne
β (a, B) ⇒ b ⊄ β
β ∩ α = s (A, B)
b' (B) ⊂ β , b' ⊥ s
s
b' ≠ bT 4.44 ⇒ b' ⊥ α
b (B) ⊥ αb' (B) ⊥ αb ≠ b'
a
A
b
B
T 4.40
OSNOVIGEOMETRIJE
I - 3
Vojislav Petrović
2
5. TRANSFORMACIJE PODUDARNOSTI
(podudarnost, izometrija)f : α → α − transformanicija podudarnosti
U RAVNI
1. f − bijekcija
2. f (A) = A' , f (B) = B' ⇒ [A'B'] ≅ [AB] ∀A, B ∈ α
1. Definicija
3
i − identičko preslikavanje
i (X ) = X ∀X ∈ α
g ⋅ f − kompozicija (proizvod) preslikavanja
g ⋅ f (X ) = g ( f (X ))
i ⋅ f = f ⋅ i = f ∀ f
f ⋅ f −1 = f −1 ⋅ f = i ∀ f
TEOREMA 5.1. Skup svih transformacija podudarnosti u ravni obrazuje grupu u odnosu na kompoziciju.
4
TEOREMA 5.2. Svaka podudarnost preslikava:
(a) kolinearne tačke na kolinearne tačke;pritom A−B−C ⇒ A'−B'−C';
(b) nekolinearne tačke na nekolinearne tačke;
(c) polupravu na polupravu;
(d) duž na podudarnu duž;
(e) ugao na podudaran ugao;
(f) trougao na podudaran trougao;
(g) poluravan na poluravan;
5
s = s'
X − fiksna tačka transformacije f
f (X) = X
s − fiksna prava transformacije f
f (s) = s ⇔ f (X) ∈ s ∀X ∈ s
X = X'
XX'
6
TEOREMA 5.3 Ako su A i B fiksne tačke podudarnosti f, tada su to i sve tačke prave AB.
Dokaz. f (A) = A , f (B) = B
X ∈ p (A, B)
(1)
⇒ X' ∈ p (A', B')T 5.2(a)
= p (A, B)(1)
(a) X−A−B
AX B
T 5.2(a) ⇒ X'−A'−B'
⇒ X'−A−B(1)
(2)
T 5.2(d) ⇒ [X'A] ≅ [XA] (3)
(2), (3) ⇒ X' = X
(b) A−X−B(c) A−B−X
kao (a)
= X'
7
TEOREMA 5.4. Ako podudarnost f ima tri fiksne tačke koje su nekolinearne, tada je f = i.
Dokaz. f (A) = A , f (B) = B , f (C) = C Δ ABC
A
C
B
(a) X ∈ p (B, C) ∪ p (C, A) ∪ p (A, B)
(b) X ∈ int Δ ABCT 3.18 ⇒ p (A, X) ∩ [BC] = {Y} T 5.3 ⇒ f (Y) = {Y} ⇒ f (X) = X
Y
(c) X ∈ ext Δ ABC ⇒ X ∈ α* ∪ β* ∪ γ*X ∈ α* ⇒ [AX] ∩ p (B, C) = {Y}
kao u (b) ⇒ f (X) = XA
C
B
XY
α*
⇒ f (X) = X , ∀X ∈ p (B, C) ∪ p (C, A) ∪ p (A, B)T 5.3
X
8
TEOREMA 5.5. Ako za podudarnosti f i g važi
f (A) = g (A), f (B) = g (B), f (C) = g (C),
gde su A, B, C tri nekolinearne tačke, tada je f = g, tj. f (X) = g (X) za svaku tačku X.
Dokaz. h = g −1 ⋅ f
h (A) = g −1 ⋅ f (A) = g −1 ( f (A)) = g −1 ( g (A)) = g −1 ⋅ g (A)
= i (A) = A
slično h (B) = B , h (C) = C
h (A) = A
T 5.4 ⇒ h = i ⇒ g −1 ⋅ f = i ⇒ f = g
9
2. Osna simetrija
s
osna simetrija − σs s − osa
σs(X) = X'
(a) X ∈ s ⇒ X' = X
(b) X ∉ s ⇒ 1o p (X, X') ⊥ s2o p (X, X') ∩ s = {X0}
X X0
σs : α → α
X0 − sredina [XX']
= X'
X
X'
TEOREMA 5.7. σs ⋅ σs = i , tj. σs = σs .−1
TEOREMA 5.6 Ako je σs(X) = X', tada je σs(X') = X.
10
s= B'= A' B
TEOREMA 5.8. Osna simetrija je podudarnost.
A
B B
A
B'
B B B
BB'
A'B' B'
B'
B'
A'
A'A
AA
A
A
TEOREMA 5.9. Tačka X je fiksna tačke osne simetrije σs ako i samo ako X∈s.
Dokaz. Iz definicije.
A'
O
11
t
s
TEOREMA 5.10. Prava t je fiksna prava osne simetrije σsako i samo ako je t = s ili t ⊥ s.
Dokaz. (⇐)
(a) t = s
(b) t ⊥ s
X
X'
X = X'
σs(X) = X , ∀ X ∈ s
σs(X) = X' ∈ t , ∀ X ∈ t
(⇒) pretp. ∃ t , σs(t) = t , t ≠ s ∧ t ⊥ st ≠ s ⇒ ∃ X ∈ t ∧ X ∉ s
t ⊥ s
T 5.9 ⇒ σs(X) = X' ≠ X
σs(t) = t ⇒ X' ∈ t
p (X, X') ⊥ sX, X' ∈ t
⇒ t ⊥ s
⇒ σs(s) = sdef.
⇒ σs(t) = tdef.
12
A B
ss − simetrala [AB]⇔
1. O ∈ s , O − sredina [AB]
2. s ⊥ p (A, B) O
TEOREMA 5.11. Za svaku duž postoji jedna i samo jedna simetrala.
TEOREMA 5.12. Tačka X pripada simetrali duži AB ako i samo ako je [XA] ≅ [XB].
TEOREMA 5.13. Prava s je simetrala duži AB ako i samo ako je σs(A) = B.
13
s − simetrala ∠ aOb (prava)⇔
s
a
b
O
s sadrži bisektrisu ∠ aOb
φφ
TEOREMA 5.15. Prava s je simetrala ∠ aOb ako i samo je σs(a) = b.
TEOREMA 5.14. Za svaki ugao postoji jedna i samo jedna simetrala.
14
= C'
TEOREMA 5.16. Ako podudarnost f ima fiksne tačke A i B, tada je f = i ili f = σs , gde je s prava AB.
Dokaz. T 5.3 ⇒ f (X) = X , ∀ X ∈ s
s
α
α*A B
T 5.2(g) ⇒ f : α → α ∨ f : α → α*
(a) f : α → α C ∈ α f (C) = C' ∈ αΔ ABC ≅ Δ ABC' (SSS)
⇒ C = C'
C
f (A) = Af (B) = Bf (C) = C
⇒ f = iT 5.4
∠ BAC ≅ ∠ BAC'[AC] ≅ [AC']
15
(b) f : α → α* ⇒ f : α* → α
s
α
α*
A B
C ∈ α f (C) = C' ∈ α*
Δ ABC ≅ Δ ABC' (SSS)∠ BAC ≅ ∠ BAC' = φ[AC] ≅ [AC'] φ
C
C'
φO
[CC'] ∩ s = {O}
(1)(2)
(3)
(1), (2), (3) ⇒ Δ AOC ≅ Δ AOC' (SUS)⇒ ∠ AOC ≅ ∠ AOC' = d, [OC] ≅ [OC']
X ∈ s ⇒ f (X) = XX ∉ s ⇒ f (X) = X'
p (X, X') ⊥ sp (X, X') ∩ s = {O} − sredina XX'
⇒ f = σs
def.
16
s' = f (s)
s
TEOREMA 5.17. Ako je f podudarnost, tada je
f ⋅ σs ⋅ f −1 = σf (s) .
Dokaz.
X
f
X' = f (X)f ⋅ σs ⋅ f −1 (X')
X ∈ s X' = f (X) ∈ f (s)
f : s → s' = f (s)
= f ⋅ σs(X)= f (X)= X'
f ⋅ σs ⋅ f −1 (X') = X'∀ X' ∈ f (s)
⇒T 5.16
f ⋅ σs ⋅ f −1 = σf (s)
i
f ⋅ σs ⋅ f −1 = i ⇒ f ⋅ σs = f ⇒ σs = i
⇒ f ⋅ σs ⋅ f −1 = σf (s)
17
TEOREMA 5.18. σb⋅ σa = σa⋅ σb ako i samo je a = b ili a ⊥ b.
Dokaz. (⇒)
σb ⋅ σa = σa ⋅ σb ⇔ σb ⋅ σa ⋅ σb = σa−1
⇔ σ = σaσb (a)
⇔ σb(a) = a
⇔ a = b ∨ a ⊥ b
(⇐) slično
18
TEOREMA 5.19. Svaka podudarnost u ravni može se predstaviti kao proizvod najviše tri osne simetrije.
Dokaz.
rq
A
BC
B'
A'
C1
B1
C2
p
f : A → A', B → B', C → C'
f − podudarnost, A, B, C − nekolinearne
p − sim. [AA']σp : A → A', B → B1, C → C1
q − sim. [B1B']σq : A' → A', B1 → B', C1 → C2
r − sim. [C2C']σr : A' → A', B' → B', C2 → C'σr ⋅ σq ⋅ σp : A → A', B → B', C → C'
f
C'
(1)
⇒ f = σr ⋅ σq ⋅ σp(1), T 5.5
19
3. Rotacija
rotacija − ρ = σb ⋅ σa a ∩ b = {O}
a
b
O
X1
X
X'
Y
Y1
Y'
O − centar (središte) rotacije
2 ∠ (a, b) − ugao rotacije
Z
Z1
Z'
20
TEOREMA 5.20. Proizvod dve osne simetrije nije osna simetrija.Dokaz. pretp. ∃ a, b, c σb ⋅ σa = σc
FT ( f ) = {X | f (X) = X} − skup fiksnih tačaka transformacije f
FT (σc) = c (2)
X ∈ FT (σb ⋅ σa )
FT (σb ⋅ σa ) = a ∩ b
⇒ σb ⋅ σa (X) = X
⇒ a ≠ b
⇒ σa (X) = σb (X) = X'
(1)
(a) X = X' ⇒ σa (X) = σb (X) = X⇒ X ∈ FT (σa ) ∧ X ∈ FT (σb )⇒ X ∈ a ∩ b
(b) X ≠ X' ⇒ a, b sim. [XX']
(1)(2), (a), (1) ⇒ FT (σb ⋅ σa ) ≠ FT (σc)
⇒ σb ⋅ σa ≠ σc σb ⋅ σa = σc
⇒ a = bT 5.11
21
POSLEDICA 5.1. Proizvod tri osne simetrije nije identička transformacija.
Dokaz.
O
a
c
b
pramenovi pravih
eliptičan pramen − PO
O − centar (središte)a, b, c, ... − ose
a cb
m
hiperboličan pramen − Pm
m − bazisna pravaa, b, c, ... − ose
Iz T 5.15.
22
a'a"
s
TEOREMA 5.21. Proizvod tri osne simetrije čije pripadaju istom pramenu pravih je osna simetrija.
Dokaz. (a) a, b, c ∈ PO
c
b
a
O
a1
a'1
a"1
a1 (O) − poluprava prave a
σc ⋅ σb(a) = σc(a') = a"
σc ⋅ σb(a1) = σc(a' )1 = a"1
⇒ σs(a") = a11s − simetrala ∠ a1Oa"1
(1)
(2)
(1), (2) ⇒ σs ⋅ σc ⋅ σb(a1) = a1
T 5.16 ⇒ σs ⋅ σc ⋅ σb =i
σa
P 5.1σs ⋅ σc ⋅ σb = σa
σc ⋅ σb = σs ⋅ σa
σc ⋅ σb ⋅ σa = σs
a', a" ∈ PO
23
a'(b) a, b, c ∈ Pm a b
m
c a"
A A' C A"B
a'1 a"1a1
a1 (A) − poluprava prave a
σc ⋅ σb(a) = σc(a') = a"
σc ⋅ σb(a1) = σc(a' )1 = a"1
a', a" ∈ Pm
⇒ σs(a") = a11s − simetrala [AA"] ⇒ σs ⋅ σc ⋅ σb(a1) = a1
. . . kao u (a) ⇒ σc ⋅ σb ⋅ σa = σs
s
24
TEOREMA 5.22. Rotacija σb⋅ σa , gde a, b ∈ PO , može sena beskonačno mnogo načina predstaviti u obliku σd ⋅ σc , gde c, d∈PO . Pritom se jedna od pravih c i d može birati proizvoljno.
Dokaz. (a) c ∈ PO − unapred data
σb ⋅ σa ⋅ σc = σdT 5.21
⇒ σb ⋅ σa = σd ⋅ σc
(b) d ∈ PO − unapred data
σd ⋅ σb ⋅ σa = σcT 5.21
⇒ σb ⋅ σa = σd ⋅ σc
25
TEOREMA 5.23. Neka su a, b, l1, ... , l2n prave eliptičnog pramena PO i neka je f = σl ⋅ ...⋅ σl . Ako je f (a) = c i f (b) = d, tada je σb⋅ σa = σd⋅ σc .
2n 1
Dokaz. f = σl ⋅ ... ⋅ σl2n 1= σt ⋅ σs
T 5.21s, t ∈ PO
σd ⋅ σc = σf (b) ⋅ σf (a) = f ⋅ σb ⋅ f −1 ⋅ f ⋅ σa ⋅ f −1T 5.17
= f ⋅ σb ⋅ σa ⋅ f −1
= σt ⋅ σs ⋅ σb ⋅ σa ⋅ σs ⋅ σt
= σb ⋅ σs ⋅ σs ⋅ σa
= σb ⋅ σa
= σb ⋅ σs ⋅ σt ⋅ σt ⋅ σs ⋅ σa
T 5.21
26
TEOREMA 5.24. Rotacija σb⋅ σa , gde a, b ∈ PO , a ≠ b, ima tačno jednu fiksnu tačku i to je O.
Dokaz. (a) σb ⋅ σa(O) = σb(O) = O⇒ O∈FT (σb ⋅ σa) (1)
(b) X ∈ F (σb ⋅ σa). . . kao u T 5.20 ⇒ X∈a ∩ b = {O} (2)
(1), (2) ⇒ FT (σb ⋅ σa) = {O}
27
TEOREMA 5.25. Rotacija σb⋅ σa , gde a, b ∈ PO , a ≠ b ia ⊥ b, nema fiksnih pravih.
Dokaz. pretp. ∃ s , σb ⋅ σa(s) = sσa(s) = σb(s) = s'
(a) s' = s σa(s) = σb(s) = s
σa(s) = s ⇒ s = a ∨ s ⊥ a
σb(s) = s ⇒ s = b ∨ s ⊥ b
1o s = a ⇒ s ≠ b (a ≠ b) ⇒ s ⊥ b ⇒ a ⊥ b a ⊥ b
2o s ⊥ a ⇒ s ≠ b (a ⊥ b) ⇒ s ⊥ b
s ⊥ aa ∩ b = {O}
28
b
a
(b) s' ≠ s
(b1) s' ∩ s = {M}
σa(s) = s' ⇒ M ∈ a ∧ a − sim. para unakrsnih uglova s'sσb(s) = s' ⇒ M ∈ b ∧ b − sim. para unakrsnih uglova s's
⇒ a = b ∨ a ⊥ b
(b2) s' ∩ s = ∅
σa(s) = σb(s) = s' ⇒ a = b
s
s'
M
s
s'
a = b
FP (σb ⋅ σa ) = ∅
29
TEOREMA 5.26. Ako je σb⋅ σa rotacija , gde a, b ∈ PO i σb⋅ σa(X) = X', gde je X ≠ O, tada je
∠ XOX' = 2 ∠ (a, b).
Dokaz.(a) X ∈ a
b
aO X = X1
φφ
X'σa (X) = X1
X1 = X
∠ XOX' = 2φ = 2 ∠ (a, b)
(b) X ∉ a
φ
a'
sb'
φ
b
aO
Xs − sim. ∠ aOa'
p (X, O) = a'f = σa' ⋅ σs
f (a) = a' , f (b) = b'∠ a'b' = ∠ ab = φ
T 5.23 ⇒ σb ⋅ σa = σb' ⋅ σa'
. . . kao (a)
30
4. Centralna simetrija
centralna simetrija − σS S − centar
σS = σb ⋅ σa , a ⊥ b , a ∩ b = {S}
a
b
SσS = σb ⋅ σa = σa ⋅ σb
TEOREMA 5.27. Centralna simetrija σS može se na beskonačno mnogo načina predstaviti u obliku σb⋅ σa , gde a, b ∈ PS i a ⊥ b. Pritom se jedna od pravih a i b može birati proizvoljno.
Dokaz. Kao za T 5.22 ili T 5.23.
31
a
a'
TEOREMA 5.28. Ako je σS (X) = X', X ≠ S, tada je S sredina duži XX'.
Dokaz.
p (S, X) = a'
σS = σb ⋅ σa , a ⊥ b , a ∩ b = {S}
(a) X ∈ a
σa(X) = X1 b
aSX' X = X1
X1 = XσS(X) = σb ⋅ σa(X) = σb(X) = X'
⇒ S − sredina [XX']
(b) X ∉ ab' (S) ⊥ a'
T 5.27 ⇒ σS = σb ⋅ σa = σb' ⋅ σa'
. . . kao u (a)
X
b
S
b'
X'
32
t'
s
TEOREMA 5.29. Jedina fiksna tačka rotacije σS je centar S.
Dokaz. Kao za T 5.24.
TEOREMA 5.30. t je fiksna prava rotacije σS ako i samo ako pripada pramenu PS , tj. ako S ∈ t.
Dokaz. (a) S ∈ t ⇒ σS (t) = tT 5.28
(b) S ∉ t
⇒ t ∈ FP (σS )
tS
A
A'
s (S) ⊥ t
(2)
s ∩ t = {A}(a) ⇒ σS (s) = s ⇒ σS (A) = A' ∈ s
A ∈ t ⇒ A' ∈ t't ⊥ s ⇒ t' ⊥ s' = s (3)(2), (3) ⇒ t' (A') ⊥ s
(1)
⇒ σS (t) ≠ t ⇒ t ∉ FP (σS )⇒ t' ∩ t = ∅(1)
33
5. Translacija
a b
m
translacija − τ = σb ⋅ σa a, b ∈ Pm
X X'X1
Y Y'
a ⊥ m , b ⊥ m
Y1
34
TEOREMA 5.31. Translacija σb⋅ σa , a, b ∈ Pm , može sa nabeskonačno mnogo načina predstaviti u obliku σd⋅ σc , gde c, d ∈ Pm . Pritom se jedna od pravih c i d može birati proizvoljno.
Dokaz. Kao dokaz T 5. 22 sledi iz T 5.21.
TEOREMA 5.32. Neka su a, b, l1, ... , l2n prave hiperboličnog pramena Pm i neka je f = σl ⋅ ...⋅ σl . Ako je f (a) = c i f (b) = d, tada je σb⋅ σa = σd⋅ σc .
2n 1
Dokaz. Kao za T 5. 23.
35
TEOREMA 5.33. Translacija τ = σb⋅ σa , a, b ∈ Pm , a ≠ b,nema fiksnih tačaka.
Dokaz. a ⊥ m , b ⊥ m , a ≠ b ⇒ a ∩ b = ∅
T 5.24 ⇒ FT (σb ⋅ σa ) ⊂ a ∩ b
(1)
(2)
(1), (2) FT (τ) = ∅ za τ ≠ i
TEOREMA 5.34. m je fiksna prava translacije τ = σb⋅ σa , gde a, b∈Pm , a ≠ b.
Dokaz. Iz definicije.
36
b'a'
TEOREMA 5.35. Neka je τ = σb⋅ σa translacija, gde a, b∈Pm,a ≠ b, i neka je a ∩ m = {A}, b ∩ m = {B}. Ako X ∈ m i τ (X) = X', tada je [XX'] ≅ 2[AB] .
Dokaz. σa(X) = X1
(a) X = A X1 = X = Aτ (X) = σb(A) = X'
[XX'] ≅ [AX'] ≅ 2[AB]X =X1 =
a b
mA B
(b) X ≠ A a' (X) ⊥ m X = A'
T 5.22, T 5.23 ⇒ ∃ b' ⊥ m , τ = σb' ⋅ σa'
b' ∩ m = {B'} ⇒ [A'B'] ≅ [AB]T 5.23
. . . kao u (a) [XX'] ≅ 2[A'B'] ≅ 2[AB]
m
a b
A X B B'
X'
= A'
37
TEOREMA 5.36. Svaka translacija se može predstaviti kao proizvod dve centralne simetrije i obratno, proizvod dve centralne simetrije je translacija.
Dokaz. (⇒) τ = σb ⋅ σ a , a ⊥ m , b ⊥ m a b
m
a ∩ m = {A} b ∩ m = {B}
τ = σb ⋅ σa = σb ⋅ σm ⋅ σm ⋅ σa
= σB ⋅ σA
(⇐) σB ⋅ σA = σb ⋅ σm ⋅ σm ⋅ σa
= σb ⋅ σa
= τ
A B
a b
mA B
38
6. TRANSFORMACIJE PODUDARNOSTI
U PROSTORU
1. Definicija
f : P → P − transformacija podudarnosti u prostoru(podudarnost, izometrija)
1. f − bijekcija
2. f (A) = A' , f (B) = B' ⇒ [A'B'] ≅ [AB] , ∀ A, B ∈ P
39
I − identičko preslikavanje
I (X) = X , ∀ X ∈ P
g ⋅ f − kompozicija (proizvod) preslikavanja
g ⋅ f (X) = g ( f (X))
I ⋅ f = f ⋅ I = f , ∀ f
f ⋅ f −1 = f −1 ⋅ f = I , ∀ f
TEOREMA 6.1. Skup svih transformacija podudarnosti u prostoru obrazuje grupu (nekomutativnu) u odnosu na kompoziciju.
40
TEOREMA 6.2. Svaka podudarnost u prostoru preslikava:
(a) kolinearne tačke na kolinearne tačke,pritom A−B−C ⇒ A'−B'−C' ;
(b) nekolinearne tačke na nekolinearne tačke;
(e) polupravu na polupravu;(f) duž na podudarnu duž;(g) ugao na podudaran ugao;(h) trougao na podudaran trougao;(i) poluravan na poluravan;(j) poluprostor na poluprostor;
(c) komplanarne na komplanarne tačke;(d) nekomplanarne na nekomplanarne tačke;
41
TEOREMA 6.3. Ako su A i B fiksne tačke podudarnosti u prostoru, tada su to sve tačke prave AB.
Dokaz. Kao za T 5.3.
AB
TEOREMA 6.4. Ako su nekolinearne tačke A, B, C fiksne tačke podudarnosti u prostoru, tada su to sve tačke ravni ABC.
Dokaz. Kao za T 5.4.
A
C
B
42
TEOREMA 6.5. Ako je f podudarnost u prostoru koja ima četiri nekomplanarne fiksne tačke, tada je f = I.
Dokaz. A, B, C, D − nekomplanarne
f (A) = A , f (B) = B , f (C) = C , f (D) = D
CX
A
D
B
(a) X∈r (A, B, C) ∪ r (A, B, D) ∪ r (A, C, D) ∪ r (B, C, D)
(b) X∈int ABCD
ABCD − tetraedar
T 6.4 ⇒ f (X) = X
p (A, X) ∩ r (B, C, D) = {Y}
T 6.4 ⇒ f (Y) = Y
T 6.3 ⇒ f (X) = X
Y
43
X
A
D
C
B
Y
(c) X∈ext ABCD
X∈WA ∪ WB ∪ WC ∪ WD* * * *
X∈WA* ⇒ p (A, X) ∩ r (B, C, D) = {Y}
T 6.4 ⇒ f (Y) = Y
T 6.3 ⇒ f (X) = X
WA*
(a), (b), (c) ⇒ f (X) = X , ∀ X∈P
⇒ f = I
WA
44
TEOREMA 6.6. Ako za podudarnosti u prostoru f i g važi: f (A) = g (A) , f (B) = g (B) , f (C) = g (C), f (D) = g (D), gde su A, B, C, D nekomplanarne tačke, tada je f = g, tj. f (X) = g (X) za ∀ X ∈ P.
Dokaz. h = g −1 ⋅ f
h (A) = g −1 ⋅ f (A) = g −1 ( f (A)) = g −1 ( g (A)) = g −1 ⋅ g (A))
= I (A)= A
h (A) = A
slično h (B) = B , h (C) = C , h (D) = D
T 6.5 ⇒ h = I ⇒ g −1 ⋅ f = I ⇒ f = g
45
2. Ravanska simetrija
ravanska simetrija − Σα α − ravan
X = X'
X'
X
X0
α
Σα : P → P
Σα(X) = X'
(a) X∈α ⇒ X' = X(b) X∉α ⇒ 1. p (X, X') ⊥ α
2. p (X, X') ∩ α = {X0}X0 − sredina [XX']
TEOREMA 6.8. Σα⋅ Σα = I, tj. Σα = Σα . −1
TEOREMA 6.7. Ako je Σα(X) = X', tada je Σα(X') = X.
46
TEOREMA 6.9. Ravanska simetrija je podudarnost.Dokaz. Kao za osnu simetriju T 5.8.
TEOREMA 6.10. X je fiksna tačka ravanske simetrije Σα ako i samo ako X∈ α.Dokaz. Iz definicije.
TEOREMA 6.11. s je fiksna prava ravanske simetrije Σα ako i samo ako s ⊂ α ili s ⊥ α.
Dokaz. (⇐) s ⊂ α ∨ s ⊥ α ⇒ Σα(s) = sdef.
(⇒) Σα(s) = s pretp. s ⊄ α ∧ s ⊥ α
s ⊄ α ⇒ ∃ X ∈ s ∧ X ∉ α ⇒ Σα(X) = X' ≠ X
Σα(s) = s ⇒ X' ∈ s ⇒ s = p (X, X') ⊥ α s ⊥ α
47
TEOREMA 6.12. β je fiksna ravan ravanske simetrije Σαako i samo ako je β ⊂ α ili β ⊥ α.
Dokaz. (⇐) β = α ∨ β ⊥ α
(a) β = αΣα(β) = Σα(α) = β
(b) β ⊥ α β ∩ α = s
X ∈ β t (X) ⊂ β ∧ t (X) ⊥ s
T 4.4 ⇒ t ⊥ α ⇒ Σα (t) = tT 6.11
⇒ Σα(X) = X' ∈ t ⇒ Σα(X) ∈ β , ∀ X ∈ β
X
X'
ts
α
β
= αdef.
⇒ Σα(β) = β
48
(⇒) Σα(β) = β
pretp. β ≠ α ∧ β ⊥ α
β ≠ α ⇒ ∃ X ∈ β ∧ X ∉ α ⇒ Σα(X) = X' ≠ X
Σα(β) = β ⇒ X' ∈ β
⇒ p(X, X') ⊥ α
⇒ p (X, X') ⊂ β
(1)
(2)
(1), (2) ⇒ β ⊥ α β ⊥ α
49
α − simetralna ravan [AB]⇔
1. O ∈ α , O − sredina [AB]
2. α ⊥ p (A, B)O B
α
A
TEOREMA 6.15. α je simetralna ravan duži AB ako i samo ako je Σα (A) = B.
TEOREMA 6.14. Tačka X pripada simetralnoj ravni duži AB ako i samo ako je [XA] ≅ [XB].
TEOREMA 6.13. Za svaku duž postoji jedna i samo jedna simetralna ravan.
50
TEOREMA 6.16. Svaka podudarnost u prostoru se može predstaviti kao proizvod najviše četiri ravanske simetrije.
Dokaz. f − podudarnost A, B, C, D − nekomplanarnef : A → A' , B → B' , C → C' , D → D'
A
DC
B
A'
D'
C'
B'α
α − sim. ravan [AA']Σα : A → A' , B → B1 , C → C1 , D → D1
β − sim. ravan [B1 B']Σβ : A' → A' , B1 → B' , C1 → C2 , D1 → D2
γ − sim. ravan [C2 C']Σγ : A' → A' , B' → B' , C2 → C' , D2 → D3
δ − sim. ravan [D3 D']Σδ : A' → A' , B' → B' , C' → C' , D3 → D'
f
51
f : A → A' , B → B' , C → C' , D → D'
Σδ ⋅ Σγ ⋅ Σβ ⋅ Σα : A → A' , B → B' , C → C' , D → D'
T 6.6 ⇒ f = Σδ ⋅ Σγ ⋅ Σβ ⋅ Σα
52
7. KRUŽNICA I LOPTA
1. Kružnica
k (O ; r) = {X ∈ α| [OX] ≅ r}
O
r
O − centar (središte)r − poluprečnik (radius)
int k (O ; r) − unutrašnjost
int k (O ; r) = {X | [OX] < r}
ext k (O ; r) − spoljašnjost
ext k (O ; r) = {X | [OX] > r}
k
int kext k
X
53
O = A B
TEOREMA 7.1. Unutrašnjost kružnice je konveksna figura, a spoljašnjost nije.
Dokaz. A, B ∈ int k (O; r)
X O
A B
X
OA B
X
O A BX
[OX] < r ⇒ X ∈ int k
O QA BP
A, B ∈ ext k (O; r)
54
k
s
TEOREMA 7.2. Osna simetrija σs preslikava kružnicu k (O; r)na samu sebe ako i samo ako O∈s.
Dokaz. (⇐) O∈s
O
X'
rX
r
σs (O) = O (1)X∈k (O; r) ⇒ [OX] ≅ r (2)
σs(X) = X' ⇒ [OX'] ≅ [OX] ≅ r(1), (2)
⇒ X∈k (O; r)
(⇒) O∉s
sn
r
X'
k
t
α
α*
pr [s, O) = αn (O) ⊥ s t (O) ⊥ n t ∩ s = ∅⇒ t ⊂ αX∈t ∩ k ⇒ σs(X) = X'∈α*s − sim. [XX'] ⇒ [OX'] > [OX] ≅ r
⇒ X'∉k ⇒ σs(k) ≠ k
⇒ σs(k) = k
XO
55
φ θ s
s
TEOREMA 7.3. Prava i kružnica mogu imati najviše dve zajedničke tačke.
Dokaz. pretp. ∃ s , k (O; r) , s ∩ k = {A, B, C, ... }
(a) O∈s
OB A⇒ C∈pp [O, A) ∨ C∈pp [O, B)
(b) O∉s
A C
O
B
r r r
rr
φ θ
[OA] ≅ [OB] ≅ [OC] ≅ rΔ ABO∠ OAB ≅ ∠ OBA = φ < d
Δ BCO∠ OBC ≅ ∠ OCB = θ < d
⇒ C = A ∨ C = BT III1
56
Dokaz.
TEOREMA 7.4. Ako prava s i kružnica k (O) imaju zajedničku tačku A i pritom je p (O, A) ⊥ s, tada s i k imaju još jednu i samo jednu zajedničku tačku.
t
= s'
k' =t (O) ⊥ s ⇒ t ≠ p (O, A)
T 7.2 ⇒ σt(k) = kT 5.10 ⇒ σt(s) = s
(2)(3)
(1), (2), (3) ⇒ σt(A) = B ≠ A
(1)
B∈s ∩ k
T 7.3 ⇒ s ∩ k = {A, B}
s
k
A
O
B
57
TEOREMA 7.5. Neka prava s i kružnica k (O; r) imaju zajedničku tačku A. Tada je s ∩ k = {A} ako i samo ako je p (O, A) ⊥ s.
Dokaz. (⇐) p (O, A) ⊥ sX∈s , X ≠ AΔ OAX ⇒ [OX] > [OA] ≅ r⇒ X∉k
(⇒) s ∩ k = {A}
T 7.4 ⇒ s ∩ k = {A, B}
(1)
(1)pretp. p (O, A) ⊥ s
s − tangenta k u A
s
k
O
A X
r
TEOREMA 7.6. U svakoj tački kružnice postoji jedna i samo jedna tangenta.
58
s
t2
t1
k
TEOREMA 7.7. Ako je A spoljašnja tačka kružnice k (O) i ako postoji tangenta iz A na k, tada postoji još jedna i samo jedna tangenta iz A na k.
Dokaz. t1(A) − tangenta na k (O)
s = p(A, O)1o egzistencija
σs : k ↔ k , t1 ↔ t2 , T1 ↔ T2
k ∩ t1 = {T1}
σs : k ∩ t1 ↔ k ∩ t2
⇒ k ∩ t2 = {T2} ⇒ t2 − tangenta k
t1 ≠ s (O∉t1 ) ⇒ t1 ≠ t2
T1
T2
A O
t1 ⊥ s (t1 ⊥ p(O, T1) ) ⇒ σs (t1) ≠ t1
59
t
2o jedinstvenost
Ot1
T1
t2T2
k
A
LEMA 2. Ako je t tangente kružnice k (O), tada k pripada poluravni sa ivicom t i koja sadrži centar O.
τ1 = pr [t1, O) , τ2 = pr [t2, O) τ1
τ2
pretp. ∃ t (A) − tangenta k , t ≠ t1, t2
L 2 ⇒ k ⊂ τ1 ∩ τ2
t ∩ k = {T} t = p (A, T)
T ≠ T1, T2 ⇒ pp [A, T) ⊂ int ∠ t1At2
⇒ pp [A, T) ∩ [T1T2] = {Z} Z∈int kZ∈t
L 1
Z
LEMA 1. Sve tačke tangente kružnice su spoljašnje, osim tačke dodira.
60
k
sc
sa
TEOREMA 7.8. Za svake tri nekolinearne tačke A, B, C postoji najviše jedna kružnica k, takva da A, B, C∈k.
Dokaz. A, B, C ∈ k (O; r) ⇒ [OA] ≅ [OB] ≅ [OC] ≅ r
{O} = sc ∩ sa
pretp. ∃ k1 (O1; r1) , A, B, C∈k1 , k1 ≠ k. . .
{O1} = sc ∩ sa
(1)
(2)
(1), (2) ⇒ O1 = O ⇒ k1 = k k1 ≠ k
[OB] ≅ [OC] ⇒ O∈sa − sim. [BC]T 5.12
[OA] ≅ [OB] ⇒ O∈sc − sim. [AB]T 5.12
Or
r
C
BA
r
61
TEOREMA 7.9. Dve različite kružnice mogu imati najviše dve zajedničke tačke.
Dokaz. pretp. ∃ k, k1 , k ∩ k1 = {A, B, C, ... } , k ≠ k1
T 7.3 ⇒ A, B, C nekolinearne ⇒ k = k1T 7.8
TEOREMA 7.11. Ako je k (O) ∩ k1(O1) = {A}, tada je svaka od kružnica, izuzev tačke A, u spoljašnjosti druge ili je jedna od njih u unutrašnjosti druge.
TEOREMA 7.10. Ako je k (O) ∩ k1(O1) = {A, B}, tada je prava OO1 simetrala duži AB.
62
O
2. Lopta (sfera)
L (O ; r) = {X ∈ P | [OX] ≅ r}
O − centar (središte)r − poluprečnik (radius)
int L (O ; r) − unutrašnjost
int L (O ; r) = {X ∈ P | [OX] < r}
ext L (O ; r) − spoljašnjost
ext L (O ; r) = {X ∈ P | [OX] > r}
X
r
L
63
TEOREMA 7.12. Unutrašnjost lopte je konveksna figura, a spoljašnjost nije.
Dokaz. Kao za kružnicu T 7.1.
TEOREMA 7.13. Ravanska simetrija Σα preslikava loptu L (O; r)na samu sebe ako i samo ako O ∈ α.
Dokaz. Kao za kružnicu T 7.2.
TEOREMA 7.14. Osna simetrija u prostoru Σs preslikava loptu L(O; r) na samu sebe ako i samo ako O ∈ s.
Dokaz. Σs = Σα ⋅ Σβ , α ⊥ β , α ∩ β = s. . . kao T 7.2
64
TEOREMA 7.15. Prava i lopta mogu imati najviše dve zajedničke tačke.Dokaz. Kao za kružnicu T 7.3.
TEOREMA 7.16. Ako prava s i lopta L (O) imaju zajedničku tačku A i pritom p (O, A) ⊥ s, tada s i L imaju još jednu i samo jednu zajedničku tačku.
Dokaz. Kao za kružnicu T 7.4.
TEOREMA 7.17. Neka prava s i lopta L (O) imaju zajedničku tačku A. Tada je s ∩ L = {A} ako i samo ako je p (O, A) ⊥ s.
Dokaz. Kao za kružnicu T 7.5.
65
k
TEOREMA 7.18. Ako ravan α i lopta L (O; r) imaju zajedničku tačku A i pritom p (O, A) ⊥ α, tada je α ∩ L = k (O'), pri čemu je p (O, O') ⊥ α.
Dokaz.
α A
O
ss (O) ⊥ α , s ∩ α = {O'}
(a) O∈α ⇒ α ∩ L = k (O; r)(b) O∉α
k (O'; [O'A]) α ∩ L = k
YO'k
α A
O
s
r
r
1o X∈kΔ OO'X ≅Δ OO'A (SUS)⇒ [OX] ≅ [OA] ≅ r ⇒ X∈L
2o Y ∉ k ⇒ Y ∈ ext k ∪ int kY ∈ ext k ⇒ [OY] > [OY'] ≅ r
⇒ Y ∉ LY ∈ int k . . . ⇒ [OY] < r ⇒ Y∉L
L
O'
XY'
r
66
TEOREMA 7.19. Ako ravan α i lopta L (O; r) imaju zajedničku tačku A i pritom je p (O, A) ⊥ α, tada je α ∩ L = {A}.
α
O
XA
LDokaz. ∀ X∈α , X ≠ AΔ OAX ⇒ [OX] > [OA] ≅ r
α − tangentna ravan lopte L u tački A
⇒ X∉L
TEOREMA 7.21. U svakoj tački lopte postoji jedna i samo jedna tangentna ravan.
TEOREMA 7.20. Ako ravan α i lopta L (O; r) imaju zajedničku tačku A, tada je α ∩ L = {A} ako i samo ako je p (O, A) ⊥ α.
67
s
k
LEMA 3. Neka su A, B, C tri nekolinearne tačke u prostoru. Ako postoji tačka X, takva da je [XA] ≅ [XB] ≅ [XC], tada za ΔABC postoji opisana kružnica. Tada takvih tačaka X ima beskonačno mnogo i sve leže na normali na ravan ABC u tački O, gde je O centar kružnice k (A, B, C).
Dokaz. (a) ∃ X , [XA] ≅ [XB] ≅ [XC]s (X) ⊥ α (A, B, C) , s ∩ α = {O}
X
OA
C
Bα
Δ XOA ≅ Δ XOB ≅ Δ XOC (SUS)
⇒ [OA] ≅ [OB] ≅ [OC] ≅ r
⇒ A, B, C∈k(O; r)
∀ Y∈s ⇒ [YA] ≅ [YB] ≅ [YC]
(b) pretp. ∃ X'∉s , [X'A] ≅ [X'B] ≅ [X'C]
s' (X') ⊥ α , s' ∩ α = {O'}
⇒ [O'A] ≅ [O'B] ≅ [O'C]
⇒ O' ≠ O
T 7.7
r
. . .
68
sA
TEOREMA 7.22. Za svake četiri nekomplanarne tačke A, B, C, D postoji najviše jedna lopta L, takva da A, B, C, D∈L.
Dokaz. A, B, C, D∈L(O; r)
[OA] ≅ [OB] ≅ [OC] ≅ [OD] ≅ rOA
OD
C
A
D
B
O
sD
[OB] ≅ [OC] ≅ [OD] ⇒ O∈sA
sA(OA) ⊥ r(B, C, D) OA − centar k(B, C, D)
[OA] ≅ [OB] ≅ [OC] ⇒ O∈sD
sD(OD) ⊥ r(A, B, C) OD − centar k(A, B, C)
(1)
(2)
(1), (2) ⇒ sA ∩ sD = {O}
pretp. A, B, C, D∈L' (O'; r')
. . . ⇒ sA ∩ sD = {O'}
(3)
⇒ O' = O ⇒ L' = L
69
TEOREMA 7.23. Ako lopte L (O; r) i L' (O'; r') imaju zajedničku tačku A, takvu da A ∉ p (O, O'), tada je L ∩ L' = k (S). Kružnica k leži u ravni α, gde je α ⊥ p (O, O') i S ∈ p (O, O').
A
O O'
r r'L
L'
k
α
s
A
O O'
r'r
Dokaz.
α (A) ⊥ s
p(O, O') = s
sα ∩ s = {S}
k (S; [SA]) ⊂ α
∀ X∈k ⇒ X∈L∀ X∈k ⇒ X∈L'
kao u T 7.17
⇒ k ⊂ L ∩ L'
k = L ∩ L'S
70
A
O O's
X∉k
(a) X∈α
r r'
S
k
X∈int k ∪ ext k
⇒ [OX] < r (kao u T 7.17)
⇒ X∉L⇒ X∉L ∩ L'
X∈ext k
. . . ⇒ X∉L ∩ L' X
αX∈int k
X∈α \ k ⇒ X∉L ∩ L'
X
71
(b) X∉αpretp. X∈L ∩ L'[OX] ≅ r ∧ [O'X] ≅ r'
Δ OO'X ≅Δ OO'A (SSS) A
O O's
r r'
S
k
α
X
Yr'
r
∠ XO'O ≅ ∠ AO'O = φφ
φΔ XO'S ≅ Δ AO'S (SUS)∠ XSO' ≅ ∠ ASO' = dp(S, X) ⊥ s (1)α ∩ r(X, O, O') = p(S, Y)s (O, O') ⊥ α ⇒ p (S, Y) ⊥ s (2)
(1), (2) T 4.32
⇒ L ∩ L' = k
OSNOVIGEOMETRIJE
I - 4
Vojislav Petrović
2
A B B4
8. AKSIOME NEPREKIDNOSTI
IV1 (Arhimed) Neka su AB i CD dve proizvoljne duži. Tada postoji prirodan broj n i tačke B1, B2, ... , Bn na polupravoj AB, takvi da je
[AB1] ≅ [B1B2] ≅ ... ≅ [Bn−1Bn] ≅ [CD]A−B1−B2− ... −Bn
i A−B−Bn .
B1 B2 B3
C D
n = 4
A B
C D
B1
n = 1
3
... ...A3 B3
IV2 (Kantor) Neka je A1B1, A2 B2, ... beskonačan sistem kolinearnih duži koje zadovoljavaju sledeće uslove:
(a) svaka sledeća duž je u unutrašnjosti prethodne,tj. [Ai+1Bi+1] ⊂ int [Ai Bi] , i = 1, 2, ... ;
(b) za svaku duž PQ postoji prirodan broj n, takav da je [An Bn] < [PQ].
Tada postoji tačka X, takva da je Ai−X−Bi za svako i.
A2 B2A1 B1X
4
TEOREMA 8.1. Tačka X iz Kantorove aksiome je jedinstvena.
Dokaz.
... B1B3 B2A1 A2 X... YA3
pretp. ∃Y , Ai−Y−Bi , i = 1, 2, ... Y ≠ X
[XY] ⊂ [Ai Bi] , i = 1, 2, ... ⇒ [XY] < [Ai Bi] , i = 1, 2, ...
[XY] = [PQ] IV2 (b)
5
TEOREMA 8.2. (Arhimed) Neka su ∠ aOb i ∠ cO'd dva proizvoljna ugla. Tada postoji prirodan broj n i poluprave b1, b2, ... , bn koje ishode iz temena O i leže u unutrašnjosti ∠ aOb, takve da je
b1 ⊂ int ∠ aOb2 , bi ⊂ int ∠ bi−1Obi+1 za i = 2, 3, ... , n−1
∠ aOb1 ≅ ∠ b1Ob2 ≅ ... ≅ ∠ bn−1Obn ≅ ∠ cO'd
i b ⊂ int ∠ aObn.
b1
b2
b3
b4
c
d
O'a
O
b
Oa
b
O'c
db1
n = 4 n = 1
6
x
a2
b2
a3
b3
TEOREMA 8.3. (Kantor) Neka je ∠ a1Ob1, ∠ a2Ob2, ...beskonačan sistem uglova koji zadovoljavaju sledeće uslove:
(a) svaki sledeći ugao je sadržan u unutrašnjosti prethodnog, ∠ ai+1Obi+1 ⊂ int ∠ aiObi , i = 1, 2, ...;
(b) za svaki ugao ∠ pq postoji prirodan broj n, takav da je ∠ aiObi < ∠ pq.
Tada postoji poluprava x koja ishodi iz temena O, takva da x ⊂ int ∠ aiObi za svako i.
a1
b1
O
7
TEOREMA 8.4. Poluprava x iz teoreme 8.3 je jedinstvena.
Dokaz. Sličan dokazu teoreme 8.1.
TEOREMA 8.5. Neka su AB i CD proizvoljne duži i neka je
[A1B1] = [AB] , 12
Tada postoji prirodan broj n, takav da je [An Bn] < [CD].
Dokaz.
[An Bn] = [AB]12n
pretp. [CD] < [An Bn] , ∀ n
[CD] < [AB] , ∀n12n ⇒ 2n [CD] < [AB] , ∀n
⇒ n [CD] < [AB] , ∀n IV1
[A2 B2] = [A1B1] ,12 [A3 B3] = [A2 B2] , ...
12
8
TEOREMA 8.6. Neka su ∠ab i ∠cd proizvoljni uglovi i neka je
∠a3b3 = ∠a2b2 ... .12∠a1b1 = ∠ab, ∠a2b2 = ∠a1b1,
12
12
Tada postoji prirodan broj n, takav da je ∠anbn < ∠cd.
Dokaz. Kao za teoremu 8.5.
9
sistem merenja duži
D − skup dužiR+ − skup pozitivnih realnih brojeva
m : D → R+
1. a ≅ b, a, b ∈ D ⇒ m(a) = m(b)
2. a = b + c, a, b, c∈D ⇒ m(a) = m(b) + m(c)
3. ∃ [PQ] ∈ D , m([PQ]) = 1
[PQ] − jedinična duž
m(a) − mera (dužina) duži a
10
sistem merenja uglova
U − skup uglova
R+ − skup pozitivnih realnih brojeva
m : U → R+
1. α ≅ β, α, β ∈ U ⇒ m(α) = m(β)
2. α = β + γ, α, β, γ∈U ⇒ m(α) = m(β) + m(γ)
3. ∃ ∠ pq∈U , m(∠pq) = 1
∠ pq − jedinični ugao
m(α) − mera (dužina) ugla α
11
brojna osa
R− R+0
merni sistemi uglova
90o π2
stepeni radijanski
[0o, 180o] [0, π]
12
DEDEKINDOVA AKSIOMA. Ako se skup realnih brojeva R podeli na podskupove X i Y za koje važi
(a) X ≠ ∅ , Y ≠ ∅ ;
(b) X ∪ Y = R , X ∩ Y = ∅ ;
(c) X < Y, tj. x < y za ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y,
tada važi tačno jedno od tvrđenja:
1o X ima najveći element, a Y nema najmanji;
2o X nema najveći element, a Y ima najmanji.
X Y1o
X Y2o
13
geometrijska verzija
Ako se tačke ose (orijentisane prave) s podele na podskupove X i Y za koje važi
(a) X ≠ ∅ , Y ≠ ∅ ;
(b) X ∪ Y = s , X ∩ Y = ∅ ;
(c) X < Y (X ispred Y), tj. x < y za ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y,
tada važi tačno jedno od tvrđenja:
1o X ima poslednju tačku, a Y nema prvu;2o X nema poslednju tačku, a Y ima prvu;
1o
X Ys
C2o
X Ys
C
C − presek
14
specijalni slučajevi
poluprava
1o
C − presek
X Ys
C
O
X Ys
C
O
2o
duž
1o
C − presek
X Ys
C
A
2o
B
X Ys
C
A B
15
BA
C D
TEOREMA 8.7. Arhimedova i Kantorova aksioma (zajedno) ekvivalentne su sa Dedekindovom.
Dokaz. (⇒)
IV1, IV2 ⇒ brojna osa ⇔ R
IV1, IV2 ⇒ DA (Dedekindova aksioma)
u R važi DA
(⇐) (a) DA ⇒ IV1.
B1 B2 . . . Bn
Pretpostavimo suprotno.
Bn < B , ∀n∃ [AB], [CD]
X = {L | ∃ i ∈ N, L < Bi}Y = s \ X
s = p (A, B) A < B
1o X ≠ ∅ A, B1, B2, ... ∈ XY ≠ ∅ B ∈ Y
2o X ∪ Y = s , X ∩ Y = ∅
3o X < Y
M − presek
s
16
M
B. . . BnB1 B2A
C D
M
. . . BnB1 B2A BBj
P
(1) M ∈ X
∃ j ∈ N M < Bj
Bj ∈ X (Bj < Bj+1) (M poslednja u X )
(2) M ∈ Y
Bk Bk+1P < M [PM] ≅ [CD]P ∈ X∃ k ∈ N P < Bk Bk < Bk+1 < M
[Bk Bk+1] ⊂ int [PM]
[Bk Bk+1] < [PM] ([Bk Bk+1] ≅ [CD] ≅ [PM] )
¬(1), ¬(2) DA
17
(a) DA ⇒ IV2. [A1 B1] ⊃ [A2 B2] ⊃ ...
B1B2A1 A2 ......s
X = {L ∈ s | ∃ i ∈ N, L < Ai}
Y = s \ X
Ai < Bi
B1, B2, ... ∈ Y1o X ≠ ∅ A1, A2, ... ∈ X
Y ≠ ∅
2o X ∪ Y = s , X ∩ Y = ∅
3o X < Y
M − presek
18
B1B2A1 A2 ......s
M
(1) M ∈ X
Aj
∃ j ∈ N M < Aj
Aj ∈ X (Aj < Aj+1) (M poslednja u X)
(2) M ∈ Y
B1B2A1 A2 ......s
M
Ai < M ∀i ∈ N M < Bi ∀i ∈ N
Ai < M < Bi ∀i ∈ N ⇒ M ∈ int AiBi
19
= A1 = B1
TEOREMA 8.8. Zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu nije veći od π.
Dokaz. Pretp. u (ABC) = α +β + γ > πu (ABC) = π + ε , ε > 0
α"α'
γ
α"D1 − sredina [BC]
[AD1] ≅ [C1D1]
α' + α" = α
∆ C1D1B ≅ ∆ AD1C (SUS)
u (ABC1) = α' + β + γ + α"
α1 = α' ≤ α2
C1
γ
β
C
A B
α
α' ≤ ∨ α" ≤α2
α2⇒
α' ≤ α2
∠ BC1D1 ≅ α" , ∠C1BD1 ≅ γ
= α + β + γ= u (ABC)
u (A1B1C1) = u (ABC)
D1
A = A1 , B = B1
20
α'1
α"1
B2D2 − sredina [B1C1]
u (A1B2C1) = u (A1B1C1) = π + ε
α1 ≤α2
u (A1B1C1) = α1 + β1 + γ1 = α + β + γ = π + ε
B1A1
C1
γ1
β1α1
β1α'1
α' ≤ ∨ α" ≤1 1α12
α12
∠ B2C1D2 ≅ β1 , ∠C1B2 D2 ≅ α'1
α" ≤1α12 [A1D2] ≅ [B2 D2]
∆ B2 D2C1 ≅ ∆ A1D2 B1
A1 = A2 , C1 = C2
u (A2B2C2) = α2 + β2 + γ2 = π + ε
α2 ≤α12
α2 = α" , β2 = α' , γ2 = β1 + γ11 1
= A2
= C2
D3 − sredina [B2C2] . . .
D2
α22≤
(1)
(1)D3
21
Bn
An
Cn
βn
αn
γn
αn ≤α2n
αn + βn + γn = π + ε
⇒ βn + γn > π ⇒ γn > π − βn
T 4.21
T 8.6 ⇒ ∃ n ∈ N ,
α1 ≤α2
Δ ABC
Δ A1B1C1
α2 ≤α22α2 + β2 + γ2 = π + ε
. . .
αn + βn + γn = π + ε
< εα2n
αn < ε
α + β + γ = π + ε
α1 + β1 + γ1 = π + ε
Δ A2 B2C2
Δ An BnCn
22
s
s
TEOREMA 8.9. Kružnica i prava koja sadrži unutrašnju tačku kružnice imaju dve i samo dve zajedničke tačke.
Dokaz.
O' B
O kr
k (O; r) , s (A)A ∈ int k ⇔ |OA| < r
(a) O ∈ sA
T (III1) ⇒ k ∩ s = {P, Q}P−O−Q , |OP| = |OQ| = r
(b) O ∉ sO' − norm. proj. O na s
A
B ∈ pp [O', A) , |O'B| = r
|OO'| ≤ |OA| < r ⇒ O' ∈ int k
|OB| > |O'B| = r ⇒ B ∈ ext k
PQ
Ok
23
s
O
O' B[O'B] = X ∪ YX = {M ∈ [O'B] | |OM| ≤ r}Y = {M ∈ [O'B] | |OM| > r}
X Y
1o X ≠ ∅ O' ∈ XY ≠ ∅ B ∈ Y
2o X ∪ Y = [O'B] X ∩ Y = ∅
3o O' < B ⇒ X < Ypretp. ∃ X ∈ X , Y ∈ Y , Y < X
BO'
O
sXY
O'−Y−X Δ OYX ⇒ |OY| < |OX|X ∈ X ⇒ |OX| ≤ r ⇒ |OY| < r ⇒ Y ∈ X 2o
C − presek
24
(b1) C ∈ Y C − prva u Y
|OC| > r ⇒ |OC| = r + ε , ε > 0
0 < h < min {ε, |O'C|}
X ∈ pp [C, O') , |CX| = h
O'−X−C ⇒ X < Ch BO'
O
sCX
Δ OCX
(1)
⇒ X ∈ X(1)
|OX| > |OC| − |CX|
(2)
= r + ε − h
> r(2)
|OX| > r ⇒ X ∈ Y X ∈ X
25
(b2) C ∈ X C − poslednja u X (3)
h BO'
O
sC Y
|OC| ≤ r |OC| = r
pretp. |OC| < r
|OC| = r − ε , 0 < ε ≤ r
0 < h < min {ε, |CB|} (4)
Δ OCY|OY| < |OC| + |CY|
= r − ε + h
< r(4)
Y ∈ pp [C, B) , |CY| = h
C−Y−B ⇒ C < Y ⇒ Y ∈ Y(3)
|OY| < r ⇒ Y ∈ X Y ∈ Y
26
|OC| = r ⇒ C ∈ s ∩ k
CO'
O
s
k
r
D
C ≠ O' ⇒ p (O, C) ⊥ s
T 7.4 ⇒ s ∩ k = {C, D}
27
Ok
k1
s
TEOREMA 8.10. Ako je tačka A u spoljašnjosti kružnice k, tada postoje dve i samo dve tangente kružnice k koje prolaze kroz tačku A.
Dokaz.
A
C1
C2
T1
T2
t1
t2
A ∈ ext k (O; r) |OA| > rpp [O, A) ∩ k = {B}k1 (O; |OA|)
r
B ∈ int k1 (1)s (B) ⊥ p (O, A)(1), T 8.9 ⇒ s ∩ k1 = {C1, C2}pp [O, C1) ∩ k = {T1}pp [O, C2) ∩ k = {T2}Δ OAT1 ≅ Δ OC1B (SUS)
∠ OT1 A ≅ ∠ OBC1
(2)
(2)
= 90o
t1 = p (A, T1) − tangenta k . . . t2 = p (A, T2) − tangenta k
B
28
k
TEOREMA 8.11. Neka je ∠ a1Ob1, ∠ a2Ob2, ... Kantorov sistem uglova i k kružnica s centrom O. Neka su A1, B1, A2, B2, ... redom presečne tačke kružnice k i krakova a1, b1, a2, b2, ... . Tada za svako ε > 0 postoji prirodan broj n, takav da je |An Bn| < ε.
Dokaz. b1
a1O
a2
b2
b3
a3
A3
A1
A2
B1B2
B3T 8.3 ⇒ ∃ x , x ⊂ int ∠ ai O bi
i = 1, 2, ... x
X
x ∩ k = {X}
29
t
x
k
OX
α
α*
B
A
B'
A'Ai
Bi
Bjε2
ε2
t (X ) − tangenta na k A, B ∈ t , |XA| = |XB| = ε2
pp [O, A) ∩ k = {A'} , pp [O, B) ∩ k = {B'}
∠ XA'A > 90o ⇒ |XA'| < |XA| = ε2
|XA'| < ε2 . . . |XB'| < ε
2
|A'B'| < |XA'| + |XB'| < + ε2
ε2 = ε
|A'B'| < ε (1)
∃ i ∈ N , Ai ∈ int ∠ XOA'
A1, A2, ... ∈ α , B1, B2, ... ∈ α*
(u protivnom ∠ asObs > ∠ XOA' , s = i, i +1, ... )
IV2∃ j ∈ N , Bj ∈ int ∠ XOB'i ≥ j
. . .
⇒ Ai , Bi ∈ int ∠ A'OB' ⇒ |Ai Bi| < |A'B'| < ε(1)
30
t
k
s3
TEOREMA 8.12. Kružnica k s centrom O seče krake a i b ugla aOb u tačkama A i B, redom. Neka su s1, s2, s3, ... redom simetrale uglova aOb, aOs1, aOs2, ... koje kružnicu k seku redom u tačkama S1, S2, S3, ... . Tada za svako ε > 0 postoji prirodan broj n, takav da je |A Sn| < ε.
Dokaz.b
aO
s1
s2
S1
S2
S3
A
B
...
Oa
k
A
CD
Sn ε
t (A) ⊥ aC ∈ t , |AC| = εpp [O, C) ∩ k = {D}
T 8.6 ⇒ ∃ n ∈ N∠ AOSn < ∠ AOD
|ASn| < |AD| < |AC| = ε
31
k'
O'O
k
TEOREMA 8.13. Neka kružnica k' (O'; r') sadrži tačku A koja pripada unutrašnjosti kružnice k (O; r) i tačku B koja pripada spoljašnjosti kružnice k. Tada kružnice k i k' imaju dve i samo dve zajedničke tačke.
Dokaz.
B
A
s1s2
A1 =
B2 =
(1) s1 − sim. ∠ AO'B(a) |OS1| = r
s1 ∩ k' = {S1}S1 ∈ k ∩ k'
(b) |OS1| > r A → A1 , S1 → B1
(c) |OS1| < r S1 → A1 , B → B1
(2) s2 − sim. ∠ A1O'B1s2 ∩ k' = {S2}
(a) |OS2| = r S2 ∈ k ∩ k'(b) |OS2| > r A1 → A2 , S2 → B2
(c) |OS2| < r S2 → A2 , B1 → B2. . .
S1
S2
B1 =
A2 =
32
(i) si − sim. ∠ Ai−1O'Bi−1 si ∩ k' = {Si}
(a) |OSi| = r Si ∈ k ∩ k'
(b) |OSi| > r Ai−1 → Ai , Si → Bi
(c) |OSi| < r Si → Ai , Bi−1 → Bi
. . .
1o ∃ n ∈ N , (a) Sn ∈ k ∩ k'
2o ∀ n ∈ N , (b) ∨ (c)
A1, A2, ... , An, ... ∈ int k ⇔ |OAi| < r , ∀ i ∈ N
B1, B2, ... , Bn, ... ∈ ext k ⇔ |OBi| > r , ∀ i ∈ N
(1)
(2)
33
∠ AO'B , ∠ A1O'B1 , ∠ A2O'B2 , ... − nije Kantorov!
k'
O'
B3
A
B
A2
A1 =
B2 = B1
A3 =
∠ AO'B i ∠ A1O'B1
O'A ≡ O'A1 ∨ O'B ≡ O'B1
⇒ ∠ A1O'B1 ⊄ int ∠ AO'B
∠ A2O'B2 ⊄ int ∠ A1O'B1
. . .
∠ AiO'Bi ⊄ int ∠ Ai−1O'Bi−1
. . .
slično
34
k'
O'
k1
O
k
LEMA 1. Niz ∠ AO'B , ∠ A1O'B1 , ∠ A2O'B2 , ... sadrži Kantorov podniz.
Dokaz leme. pretp. suprotno∃ i ∈ N , Si , Si+1 , ... ∈ int k ∨ ∃ j ∈ N , Sj , Sj+1 , ... ∈ ext k
(a) ∃ i ∈ N , Si , Si+1 , ... ∈ int k
Si = Ai , Si+1 = Ai+1 , ... ⇒ Bi = Bi+1 = ...
Bi
Tr1
pp [O, Bi ) ∩ k = {T} |Bi T| = r1
k1 (Bi ; r1)(3)
Bi
Ai+1
Ai
Ai+2
= Bi+1 = ...
T 8.12 ⇒ ∃ l ≥ i + 1 , |Bi Al | < r1
(1)
Alint k1 ⊂ ext k
⇒ Al ∈ int k1 ⇒ Al ∈ ext k(3)
35
k2
r2
k'
O'
(b) ∃ j ∈ N , Sj , Sj+1 , ... ∈ ext k
⇒ Sj = Bj , Sj+1 = Bj+1 , ... Aj = Aj+1 = ...
Bj+1
Bj+2
Bj
Aj = Aj+1 = ...
k
O
Bm
pp [O, Aj ) ∩ k = {S} |Aj S| = r2
k2 (Aj ; r2)
(4)
T 8.12 ⇒ ∃ m ≥ j + 1 , |Aj Bm | < r2
int k2 ⊂ int k
⇒ Bm ∈ int k2 ⇒ Bm ∈ int k(3)
(2)S
Aj
36
∠ AO'B , ∠ A O'B , ∠ A O'B , ... t1t1 t2t2− Kantorov
t1 ≥ 2 , t2 ≥ t1 + 2 , t3 ≥ t2 + 2 , ...
nastavak dokaza T 8.13
k'
O'
O A
B
t1A
t1B
X
xt2
B
t2A
T 8.3 ⇒ x (O) − poluprava x ⊂ int ∠ A O'Btiti
i = 1, 2, ...
x ∩ k' = {X}
|OX| = r
37
k'
O'
pretp. |OX| ≠ r
(a) |OX| > r
|OX| = r + ε , ε > 0
X
T 8.2 ⇒ ∃ ti ∈ N , |At Bt | < εi i
tiB
A
Bx
O
|At X| < |At Bt | < εi ii
(5)
|OAt | ≥ |OX| − |At X|i i
= r + ε − |At X|i
> r(5)
⇒ At ∈ ext ki
(1)
tiA
38
k'
O'
(b) |OX| < r
|OX| = r − ε , 0 < ε < r
T 8.2 ⇒ ∃ tj ∈ N , |At Bt | < εj j
|Bt X| < |At Bt | < εj jj
(6) tjB
A
Bx
O tjA
X
|OBt | ≤ |OX| + |Bt X|j j
= r − ε + |Bt X|j
< r(6)
⇒ Bt ∈ int kj
(2)
39
O
k
O'
k'
(a), (b) ⇒ |OX| = r
X
Y
⇒ X ∈ k ∩ k'
B
A
A ∈ int kB ∈ ext k
A, B ∈ k'⇒ X ∉ p (O, O')
T 7.11
p (O, O') = s
σs : k ↔ kk' ↔ k'
⇒ X ↔ Y , Y ∈ k ∩ k'
(6)
⇒ Y ≠ X(6)
T 7.9 ⇒ k ∩ k' = {X, Y}
s
40
TEOREMA 8.14. Lopta i prava koja sadrži unutrašnju tačku lopte imaju dve i samo dve zajedničke tačke.
Dokaz. Pomoću T 8.9.
TEOREMA 8.15. Lopta i ravan koja sadrži unutrašnju tačku lopte seku se po kružnici.
Dokaz. Pomoću T 8.9. i T 7.18.
41
O'
k'
TEOREMA 8.16. Neka lopta L'(O'; r') sadrži tačku A koja pripada unutrašnjosti lopte L(O; r) i tačku B koja pripada spoljašnjosti lopte L. Tada je L ∩ L' = k1(S), pri čemu je k1kružnica koja leži u ravni α, gde je α ⊥ p(O,O') i S∈p(O, O').
Dokaz. A, B ∈ L'(O'; r') ⇔ |O'A| = |O'B| = r'A ∈ int L(O; r) ⇔ |OA| < rB ∈ ext L(O; r) ⇔ |OB| > rβ = r(O, O', A)β ∩ L = k(O; r) , β ∩ L' = k'(O'; r')
A
O
k
X
Y
(a) B ∈ β B ∈ k'A ∈ k' ∩ int kB ∈ k' ∩ ext k
⇒ k ∩ k' = {X, Y}T 8.13
⇒ L ∩ L' = k1T 7.22
B
(1) ⇒ A ∈ k'
(1)
42
O
k
O'
k'
X
Y
A ∈ k' ∩ int k
p(O, O') ∩ k' = {P, Q}
O−O'−Q|OQ| = |OO'| + |O'Q|
= |OO'| + |O'B|
> |OB|> r
⇒ Q ∈ k' ∩ ext k
(b) B ∉ β
⇒ k ∩ k' = {X, Y}T 8.13
⇒ L ∩ L' = k1T 7.22
A
P Q
