09_a_analis_vektor.pdf

8/17/2019 09_a_analis_vektor.pdf

1/113

K K AATTAA PPEENNGGAANNTTAARR

Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi

Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang

sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu

menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu

mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian

dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.

Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu

mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses

belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih

baik.

Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan

dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa.

Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan

beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai

latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untukmembantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan

pemahaman yang lebih mendalam.

Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu

penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari

pemakai Buku Ajar ini untuk lebih menyempurnakan penyajian

selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-

benar bermanfaat.

Malang, Agustus 2003

Penyusun


2/113

DDAAFFTTAARR IISSII

K K AATTAA PPEENNGGAANNTTAARR ii

DDAAFFTTAARR IISSII iiii

BBAABB II :: VVEEK K TTOORR K K OONNSSTTAANN 11

1.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1

1.2 Aljabar Vektor 2

1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4

1.4 Perkalian Antar Vektor 10

1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20

BBAABB IIII :: FFUUNNGGSSII VVEEK K TTOORR 2288

2.1 Fungsi Vektor 28

2.2 Kurva Vektor 29

BBAABB IIIIII :: DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEK K TTOORR 3344

3.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34

3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35

3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38

3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41

BBAABB IIVV :: IINNTTEEGGRRAALL VVEEK K TTOORR 5566

4.1 Integral Garis 56

4.2 Teorema Green 69

4.3 Medan Gaya Konservatif 76

4.4 Integral Luasan 84

4.5 Teorema Divergensi Gauss 100

4.6 Teorema Stokes 106

DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAK K AA 111111


3/113

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que 1Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

BAB I

VVEEK K TTOORR K K OONNSSTTAANN

1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor

Beberapa besaran (quant i t ies ) dalam fisika mempunyai besar

(magn i t ude ) dan arah (direct ion ), sebagai contoh misalnya lintasan dan

kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu

benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain

sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan

vektor (vec t o r ). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar

(magn i t ude ) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan

skalar (scalar ). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakananalisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan

aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi

tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai

segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

v = ABABAB ==

A = titik pangkal (init ia l p o int )

B = titik ujung (terminal po int )

Panjang vektor v = v = B A : menyatakan b esa rnya vek tor atau

pan jangnya vek tor v

dan tanda panah dalam AB menyatakan a ra h vektor.

A

B

v

POKOK BAHASAN :! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor! Aljabar vektor! Vektor posisi dalam bidang dan ruang! Perkalian antar vektor! Penggunaan vektor dalam geometri


4/113



Ada 3 jenis vektor :

a. Vektor Bebas (f ree vec to r ) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya

dengan panjang dan arah tetap.

b. Vektor meluncur (slid ing v ec to r ) : vektor yang boleh digeser sepanjang

garis kerjanya, misalnya gaya yang

bekerja sepanjang garis lurus.

c. Vektor terikat (b ind ing vec to r ) : vektor yang terikat pada sistem koordinat

yang menunjukkan posisi tertentu.

Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya

orang bekerja dengan vektor bebas.

1.2. Aljabar Vektor

Vektor nol (nul l vec tor )

Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak

tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)

Kesamaan 2 vektor

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yangsama.

Kesejajaran 2 vektor

Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar,

arahnya bisa sama atau berlawanan.

Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.

Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran

genjang atau aturan segi banyak (poligon)

Misalnya:

a.

CBA =+

atau

A

B

AB

C

AC

B


5/113



b. ⇒ DCBAE +++=

c. 0EDCBA =++++

Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak

tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.

Penggandaan vektor dengan skalar

Jika m = besaran skalar

dan A = vektor yang panjangnya | A |

maka :

m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya

sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan

dengan arah vektor A jika m negatif

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari

vektor yang mengurangi

D

A

C

B

A

CB

D

E

E

A B

C

D


6/113



Jadi: )B(ABA −+=−

⇒

⇒ BAC −=

Jika A = B maka 0BA =−

Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor

Jika C,B,A adalah vektor dan m, n adalah skalar maka

1. BA + = AB+ (komutatif terhadap jumlahan)

2. )CB(A ++ = C)BA( ++ (asosiatif terhadap jumlahan)

3. Terdapat vektor 0 sehingga: AA00A =+=+ (ada elemen netral)

4. Terdapat vektor A− sehingga: 0)A(A =−+ (ada elemen invers)

5. (mn) A = )Am(n (asosiatif terhadap perkalian)

6. )BA(m + = BmAm + (distributif terhadap perkalian)

7. (m + n) A = AnAm + (distributif terhadap perkalian)

8. )A(1 = A (ada invers dalam perkalian)

2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang

Teorema Dasar Dalam Vektor :

Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai

kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan

vektor nol.

Atau:

C = BnAm + dengan m, n adalah skalar yang tunggal

A

B

A

B−B−

A


7/113



Bukti :

21 OPOPOPC +==

1OP paralel dengan A sehingga 1OP = Am

C = Am + Bn

2OP paralel dengan B sehingga 2OP = Bm

Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal

maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :

C = m 1 A + n1 B = C = m 2 A + n2 B

(m 1 - m2) A + (n 1 - n 2 ) B = 0

Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,

m1 - m2 = 0 → m 1 = m 2

n1 - n 2 = 0 → n 1 = n 2

Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3),

sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :

D = m 1 A + m2 B + m3 C

dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor nol dan tidak sebidang.

Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier ( d e p e n d e n t

l inear ) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0

Kejadian ini akan terjadi jika :

1. A dan B merupakan vektor nol atau

2. A dan B paralel (sejajar)

A

1P P

2PO

B

C


8/113



Contoh :

Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah

segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan

1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.

M titik tengah AC

N titik tengah CB

CBACAB +=

)CBAC(CBACCNMCMN21

21

21 +=+=+=

= AB21

sehingga AB//MN dan panjang MN = ½ panjang AB

Vektor satuan (unit vec tor )

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

A

A=a = vektor satuan dari A

dan A = aA

Vektor basis satuan

Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R 2 dan pilih 2 vektor satuan i

dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan

sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.

y

j

O i x

maka vektor i da n j disebut dengan vektor-vektor basis di R 2

Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z

dinyatakan dengan vektor k .

C

NM

A B


9/113



z

k

i j y

x

Vektor posisi

a. Vektor Posisi dalam R2

Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R 2 yaitu vektor satuan yang

masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan

berpangkal di titik 0 dalam R2.

Maka sembarang vektor r dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY

selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j .

y

r y j = y j P(X,Y)

r

j

O i r x i = x i x

Sehingga : r =r x i +r y j = x i +y j

r x i = x i ; r y j = y j disebut vektor-vektor komponen

r x = x → komponen vektor r pada sumbu X (proyeksi r ke sumbu X)

r y = y → komponen vektor r pada sumbu Y (proyeksi r ke sumbu

X)

Vektor r = x i +y j disebut vektor posisi titik P , karena komponen-

komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.

Panjang dari r = | r | =22

y x +


10/113



b. Vektor Posisi dalam R3:

Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang

masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z

positif dan berpangkal di titik 0.

.

z

P(x,y,z)

r

k

j y i O x

r = x i +y j + z k merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)

x = proyeksi OP ke sumbu X

y = proyeksi OP ke sumbu Y

z = proyeksi OP ke sumbu Z

Panjang dari r = | r | =222

z y x ++

Secara umum untuk sembarang vektor A = A x i + A y j + A z k dalam R3 ,

berlaku :

Panjang2

z

2

y

2

x AAAAA ++==

Vektor satuan2

z

2

y

2

x AAA

Aa

++=

z

k A z

i

jA y

y

x

iA x

α

β

γ


11/113



Dengan :

" A x, Ay; Az disebut b i la nga n a rah vektor A

" Sudut-sudut !;";# yang dibentuk vektor A terhadap sumbu x, y, z positif

disebut arah vek tor A

" Cosinus sudut-sudut tersebut disebut c o sinus a ra h.

dengan:

A

A

AAA

A#cos x

2

z

2

y

2

x

x =++

=

A

A

AAA

A"cos

y

2

z

2

y

2

x

y =++

= 1!cos"cos#cos 222 =++

A

A

AAA

A !cos z

2

z

2

y

2

x

z =++

=

Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak

1OP = x 1i + y1 j +z1k

2OP = x 2i + y2 j + z2k

2121 OPOPPP −= = (x 2i + y2 j z2k) – (x1i + y1 j z1k)

= (x 2 – x 1)i (y2 – y 1)j + (z2 – z 1)k

Sembarang vektor 21PP dalam sistem koordinat bisa dinyatakan

sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponen-

komponennya adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi

komponen vektor titik pangkalnya.

z

)z,y,(xP 1111

)z,y,(xP 2222

Oy

x


12/113



)z(z)y(y)x(xPP 12122

1221 −+−+−= = panjang vektor 21PP

SOAL-SOAL

1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari

vektor-vektor

1r = 2i + 4j – 5k

2r = i + 2j + 3k

2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :

A = 3i + 2j + k

B = i + 3j + 5k

C = 2i + j – 4k

akan membentuk sebuah segitiga

3. Ambil sembarang segi 4 ABCD

Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA

Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.

(Cukup dengan membuktikan bahwa PQ = RS atau QR = PS )

1.4. Perkalian Antar Vektor

a. Hasil Kali Skalar (Dot p rod uc t / Sc a la r Prod uc t )

Ditulis: $cosBABA =! ; θ = sudut antara vektor A dan B

" "

-

-

∠

∠

!!

BQ

C

R

DS

O

P


13/113



Proyeksi A pada B Proyeksi B pada A

• Sifat Hasil Kali Skalar :

1. ABBA !! =

2.22

A0cosAAA ==!

3. CABAC)(BA !!! +=+

4. CBCACB)(A !!! +=+

Dalam R 3 :

1k k j jii === !!! (krn //)

0ik k j ji === !!! (krn ⊥)

Karena :

10cosiiii ==!

090cos ji ji =°=!

Jika: A = A xi + Ay j + A zk

B = B xi + By j + B zk

k)B jBiB()k A jAiA(BA zyxzyx ++++= !!

zzyyxx BABABABA ++=!

• Sudut Antar 2 Vektor :

Karena $cosBABA =!

A

B

$cosA

$

$cosB

B

A

$

z

k

i j

y

x


14/113



cosθ =

BA

BA !==>

Contoh :

A = 3i + 6j + 9k

BA ! = 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21 B = -2i + 3j + k

143963A222 =++=

14132B

222

=++=

2

1

42

21

14.143

21

BA

BA $cos ==== !

• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

! Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––> BA ! atau A ⊥ B

Atau jika : A x B x + A y B y + A z B z = 0

! Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika :z

z

y

y

x

x

B

A

B

A

B

A

==

• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan

Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar

$.dcosFW =

= dF!

Contoh :

Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang

bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F

" = arc cos B A

B A !

$cosF

F

d

$

dd =


15/113



Jawab:

dFW !

=d = (2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k

W = (2i + 2j – 4k) ! (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha

b. Hasil Kali vektor (Cross Produ c t / Ve c tor Prod uc t

Ditulis: CBA =× hasilnya berupa vektor

Dengan $sinBABA =×

Arah dari BA× ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau

sekrup putar kanan.

Sifat hasil kali vektor:

" A × B ≠ B × A

A × B = –(B × A) anti komutatif

" (kA) × B = k(A × B) = A (kB)

" A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

Dalam R 3

$siniiii =×

dengan cara yang sama

i × i = j × j = k × k = 0

190sin ji ji =°=×

C

A

$

C

A

B

$B

B

A

BA×

AB×

z

k

i j

y

x


16/113



sehingga: i × j = k ; j × k = i; k × i = j

j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j

Jika : A = A x i + A y j + A z k

B = B x i + B y j + Bz k

BA× = (A x i + Ay j + Azk) × (B x i + By j + Bzk)

= (A yBz – A zBy) i – (A xBz – A zB x) j + (A xBy – A yB x) k

atau:

BA× =zyx

zyx

BBBAAA

k ji

dan

( )( ) ( )2BABBAA$sinBAB !!! −==× A

Contoh :

A = 2i – j + k

B = i – 3j + 4k

AA ! = 2 2 + 3 2 + 4 2 = 6

BB! = 2 + 3 + 4 = 9

k 5 j7i

)16(k )1 j(83)4(i

43-1

11-2

k ji

BA −−=+−+−−+−=

=×

7525491571BA 222 =++=++=×

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

" Menghitung Torsi/Momen

Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan

sebagai:


17/113



dFm = F

dengan

d = jarak (dalam arah ⊥)

antara titik Q ke garis gaya F

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik

sembarang pada garis gaya F

Maka d = $sinr ; θ = sudut antara r dengan F

dan

r F$sinr Fm ×==

Jika Mm = , maka

M = r F× = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q

Contoh :

Tentukan vektor momen dari gaya F

terhadap titik O

Jawab:

F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k

r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k

'

y

r

F' ' '

x

0

(2,1)

(4,-2)

d

Q

d

Q

F

L

r

$ $


18/113



8k 6)k(2 j(0)i(0)

012

03-2

k ji

M =++−==

864M ==

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Trip le Sc a lar Prod uc t)

Jika:

A = A x i + A y j + A z k

B = B x i + B y j + B z k

C = C x i + C y j + C z k

k

BB

AA j

BB

AAi

BB

AACA

yx

yx

zx

zx

zy

zy +−=×

z

yx

yxy

zx

zxx

zy

zyC

BB

AAC

BB

AAC

BB

AACBA +−=× !

=

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

→ disebut ha sil ka li ska la r trip le , karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:

1. ( ) ( ) BACACBCBA !!! ×=×=×sehingga:

( ) ( )CBACBA ×=× !

!

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya

letak tanda × dan ! nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.

Sehingga:

CABCABCBA ×−=×−=× !!!

2. Hasil kali skalar tripel: 0CBA =× ! bila dan hanya bila CdanB,A

sebidang.


19/113



Bukti:

a. 0CBA =× !

⇒ CdanB,A sebidang Jika 0CBA =× ! maka CBA ⊥× atau

salah satu dari CatauB,A vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari CatauB,A vektor nol, maka pasti

CdanB,A sebidang

ii. Apabila CBA ⊥× maka C bisa diletakkan sebidang dengan

BdanA sehingga CdanB,A sebidang

b. Jika CdanB,A sebidang ⇒ 0CBA =× !

Jika CdanB,A sebidang, maka CBA ⊥× sehingga 0CBA =× !

• Arti Geometris Dari CBA !×

Diberikan vektor CdanB,A

A = OA

B = OB

C = OC

C

B

O A

BAP ×=

BA× = luas jajaran genjang OADB

CBA !× = CP ! = $cosCP


20/113



$cosC = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi CBA !× = volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG

yang disusun oleh CdanB,A

Catatan:

Luas jajaran genjang OABC =

'AAOB = $sinOAOB

= OAOB×

Contoh :

Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) 0BACABA =+×++ !

Bukti:

Misalkan uBA =+

vCA =+

Maka : uvu ×! = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga

vektor tersebut sebidang sehingga : uvu ×! = 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vec tor Prod uc t )

Hasil kali vektor tripel adalah :

( ) CBA ××

( )CBA ××Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak

kurangnya ditukar.

Misalkan :

(i × i) × j = 0 × j = 0

i × (i × j) = i × k = –j

A'B

CA

0 θ )


21/113



Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. ( )CBA ×× ≠ ( ) CBA ××2. ( )CBA ×× = ( )BCA ! – ( )CBA !

( ) CBA ×× = ( ) ( )ACBBCA !! −

Contoh :

1. Jika: A = 2i + 2j – k

B = i + j + k

C = 3i + j – 2k

Hitung : ( ) CBA ×× ; ( )CBA ××

Jawab:

a.

k ji

k jik ji

B x A

43

)22()12()12(

111

222

−−=

−−++−−=

−=

k ji

k jik ji

C x B x A

101010

)91()122()46(

213

431)(

+−=

+++−−+=

−−−=

b.k ji

k jik ji

C B45

)31()32()12(

213

111++=

++−−−−=

−−=×

k ji

k jik ji

C B A

8913

)210()18()58(

451

122

+−=

−++−+=−=×!

2. Buktikan : )AB)(AA()]BA(A[A ×=××× !

Bukti : Misalkan CBA =×

Maka ( )CBA ×× = ( ) ( )CAAACA !! −

= ( ) ( )( )BAAAABCA ×−× !!


22/113



= ( ) ( )( )BAAAA0 ×− !

= ( )( )BAAA ×− != ( )( )ABAA ×!

1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri

a. Persamaan Garis

Dalam R3:

Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P 1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan

sebuah vektor v = Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan

semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga PP1 sejajar dengan v

Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila PP1 = vt

dengan t adalah suatu skalar.

Atau:

(x – x1)i + (y – y 1) j + (z – z 1) k = t (A i + B j + Ck )

= t A i + tB j + tC k

Ini berarti :

=−=−=−

tC z z

tB y y

tA x x

1

1

1

Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel

dengan vektor v .

tC z z

tB y y

tA x x

+=+=+=

1

1

1

"

),,( z y xP

),,( 111 z y xP

Ck Bj AiV ++=


23/113



Atau:

Persamaan standard garis yang

melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel

dengan Ck Bj Aiv ++=

Dalam hal ini v = A i + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C

merupakan bilangan arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol

Mis. A = 0 maka x – x1 = 0

x = x1

Persamaan standardnya ditulis :C

zz

B

yy 11 −=−

; dan x = x 1

Contoh :

Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)

⇒

Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu

yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis:

5

1z

3

4y

2

5x −=

−−

=−−

Atau:

34y

25x

−−=−− ⇒ 3x – 2y – 7 = 0 ∴Persamaan standard garis:

5

1z

3

4y −=

−−

⇒ 5y – 3z – 17 = 001735

0723

=−−=−−

z y

y x

Persamaan parameter garis:

t z

t y

t x

51

34

25

+=−=−=

t =C

x x

B

x x

A

x x 321 −=−

=−


24/113



Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gra d ien (b ila nga n / ta nge n arah ) = m maka

vektor arah garis : l = i + mj

b. Persamaan Bidang

Vektor N ⊥ bidang W sehingga N

disebut Vektor Normal dari bidang w

Jika N = A i + Bj + Ck

PQ = (x – x 1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W

Sehingga PQ ⊥ N ⇒ 0PQ N =!

Atau:

→ Persamaan bidang melalui titik (x 1, y1, z1) dengan normal bidang N =A i + Bj + Ck

Contoh :

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ;

R(2,4,3).

⇒ bidang padaterletakPR danPQvektor k 2 j2iPR

k 4 jiPQ

++−=

+−=

k j6i10

221

411

k ji

PR PQ N ++−=−

−=×=

∴ Persamaan bidang:

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

–10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0

–10x – 6y + z + 41 = 0

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

),,( 111 z y xP

),,( z y xQ

N

W )


25/113



" Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2);

tegak lurus pada bidang u = 2x + 3y + z = 8 dan

tegak lurus pada bidang v= x – y + 3z = 0

⇒ u = 2x + 3y + z = 8 → U N = 2i + 3 j + k

v = x – y + 3z = 0 → V N = i – j + 3k

Dicari bidang w yang ⊥ bidang u dan v , berarti w N ⊥ u N dan V N

Atau

k 5 j5i10

311

132

k ji

v N N N uw ++=−

=×=

Persamaan bidang w:

10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0

10x – 5y – 5z – 45 = 0

2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan

V = Ax + By + Cz + D = 0

→ Normal bidang v N = A i + Bj + Ck

Jika A ≠ 0 ⇒ Titik

− 0,0;ADQ terletak pada bidang tersebut.

tk sji A

Dr QPk ++

+==

Ax + By + Cz + D = 0


26/113



P(r,s,t)

N "

k

d

Q(-D/A,0,0)

θ = sudut antara N dan k

sehingga $cosk d =

N

k N d d N k N k N

!! =⇒== $cos

sehingga:

222 CBA

CtBsA

Dr A

d++

++

+

=

atau

Jarak titik P(r,s,t) ke bidang

Ax + By + Cz + D = 0

Contoh :

Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2)

B = (6,4,3)

C = (0,5,1)

⇒ AC = -2i + j + k

AB = 4i + k

Normal bidang ACAB N ×=

k 4 j21

112

104

k ji ++−=

−−

=

∴ Persamaan bidang ABC

222CBA

DCtBsAr d

++

+++=


27/113



–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0

–x + 2y + 4z – 14 = 0

Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0

21

146!105

1641

14)4(4)5(2)5(1dd

−++−=

++

−++−== =

21

7

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal v N

Diberikan bidang w dengan normal w N

(w

v)v N

"

w N

Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah

garis tersebut akan ⊥ dengan v N maupun w N

Sehingga jika vektor arah garis tersebut " maka w N v N ×="

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang

2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

⇒

v = 2x + y – 2z =5 → Nv = 2i + j – k

w = 3x + 6y – 2z =5 → Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:

k 15 j2i14

263

212

k jiw Nv NL −−−=

−−

−=×=


28/113



Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang.

(i) 2x + y + 2z = 5

(ii) 3x – 6y – 2z =7

–––––––––––– –

–x + 7y = –2

Misalkan diambil : y = 0→ –x = –2

x = 2

(i). 2(2) + 0 – 2z = 5

–2z = 5 – 4

z = – ½

Titik (2,0,-½ ) terletak pada garis

potong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15

z

z

0y

14

2x 21

−−

=−−

=−−

e. Sudut Antara Garis dan Bidang

Jika:

"" garisarahvektor ck bjai →++=

0DCk ByAxv bidangnormalCk BjAi N =+++=→++=

"

N

v) "

φ

)c ba)(CBA(

CcBbAa

N

N $cos

222222 ++++

++==

"

"!

sin φ = sin (90 – θ)


29/113



=)c ba)(CBA(

CcBbAa $cos

222222 ++++

++=

Sehingga sudut antara garis " dengan vektor arah ck bjai ++=" dengan

bidang v dengan normal bidang Ck BjAi Nv ++= adalah

)c ba)(CBA(

CcBbAaarcsin

222222 ++++

++=φ


30/113



BAB II

FFUUNNGGSSII VVEEK K TTOORR

2.1 Fungsi Vektor

J ika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A

bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor

yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,

A(t) = A1 (t) i + A 2 (t) j

Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,

A(t) = A1 (t) i + A 2 (t) j + A 3 (t) k

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3

dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk

fungsi vektor sebagai berikut:

A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A 2 (x,y,z) j + A 3 (x,y,z) k

Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu

partikel dalam ruang.

J ika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,

maka ruang tersebut disebut medan vek t o r . Contoh medan vektor,

misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu

ruangan.

Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi

skalar , dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu

vektor disebut m ed an ska la r .

Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu

ruang atau batang besi, pada suatu saat.

POKOK BAHASAN :! Fungsi Vektor! Kurva Vektor


31/113



2.2 Kurva Vektor

Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa

disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

= x(t)i + y(t) j + z(t) k

Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang

posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan

z(to).

Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian

parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam

mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan

detik.

CONTOH: – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor

a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus

Dengan persamaan parameter garis lurus

Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a 1, a2, a3) dalam ruang bisa

disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

" r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t) k ; untuk t = 0→ t = t

dan

33

22

11

tba)t(y

tba)t(y

tba)t(x

+=

+=

+=

dengan

a = a1

i + a2

j + a3

k →

vektor posisi titik A(a1

, a2

, a3

) yang terletak pada garis l.

b = b1 i + b 2 j + b 3k → vektor arah garis l

J adi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang

melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai

dengan arah vektor b. J ika vektor b adalah vektor satuan, maka

komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah

l . Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l

terhadap titik A.


32/113



Contoh:

1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang

melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,

⇒

a = 3i + 2 j

b =i + j (garidien 1)

sehingga: x(t) = 3 + t

y(t) = 2 + t dan

r(t) = x(t) I + y (t) j = (3+t) i + (2 + t) j

Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:

Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1

adalah :

y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1

J ika, x(t) = t

untuk t = 2→ t = t

y(t) = t – 1

Maka r(t) = x(t)I + y(t) j = t i + (t – 1) j

2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik

B(3,-4,1)

⇒

Titik awal (1,0,3) ––→ a = i + 0 j + 2 j

Vektor arah garis b = (3 – 1)I + (– 4 – 0) j + (1 – 2) k

= 2i – 4 j – k

x(t) = 1 + 2t

y(t) = 0 – 4t

z(t) = z – t

r(t) = (1 + 2t) i – 4t j + (2 – t)k

t = 0→ t = 1

b. Parabola

(1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2


33/113



-2 2

y

x

2 x y =

x(t) = t (x = t)

y(t) = t2 (karena y = x 2)

Sehingga :

r(t) = ti + t 2 j , dengan t = -2→ t = 2

(2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R 3

x(t) = t ; t = 0→ t = 2

y(t) = t2

z(t) = 2

r(t) = ti + t 2 j + 2k

c. Ellips/Lingkaran

Persamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:

cz ,1 b

y

a

x2

2

2

2

==+ di R 3

2

z


34/113



z

y

x

1

1

dibawa ke bentuk parameter, dengan :

x (t) = a cos t

y (t) = b sin t

z (t) = c

sehingga bentuk fungsi vektornya menjadi:

r(t) = a cos t i + b sin j + c k

J ika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:

1r

y

r

x2

2

2

2

=+ atau x 2+ y2= r2 ; z=c di R3

dan persamaan fungsi vektornya :

r(t) = r cos t i + r sin t j + c k

d. Helix Putar

Helix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang

terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak pada

silinder x2 + y 2 = a 2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:

r(t) = cos i + a sin t j + ct k (c ≠0)

J ika c > 0→ bentuk helix mengikuti sekrup putar kanan

J ika c < 0→ bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri

Misalnya:

Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari

helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y 2 = 1 dan berjarak

vertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar


35/113



dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakan

kelipatan 2π.

Z

Y

X

a. Helix putar kanan b. Helix putar kiri

Z

Y

X


36/113



Bab III

DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEK K TTOORR

3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor

Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:

(t)A'dt

d

!t

A(t)!t)A(t0!t

lim

==−+→ ada

Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t)

J adi, jika A(t) = A1 (t) i + A 2 (t) j + A 3(t)k ,

Maka

k ji

k ji

(t)A'(t)A'(t)A'

dt

dA

dt

dA

dt

dA (t)A'

32"

32"

++=

++=

Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:

skalar ataukonstanta(ccA'(cA)' == )

B'A'B)'(A +=+

B'ABA'B)'(A !!! +=

B'ABA'B)'(A ×+×=×

)C'B(AC)B'A(C)B(A'C)'B(A ++=

Derivatif Parsial Fungsi Vektor

Untuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari dua

variabel atau lebih, misalnya:

A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A 2 (x,y,z) j + A 3(x,y,z)k

maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau z

sebagai berikut:

k jix

A

x

A

x

A

x

A 32"

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

k jiy

A

y

A

y

A

y

A 32"

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

POKOK BAHASAN :! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor

! Interpretasi dari derifatif vektor

! Gradien, divergendi dan curl! Penggunaan gradien, divergendi dan curl


37/113



k jiz

A

z

A

z

A

z

A 32"

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

CONTOH:

Diberikan fungsi vektor:

φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k

⇒ x∂

∂φ = a sin x i + a cos x j

y∂∂φ

= k

•

J ika φ = fungsi skalarA, B = fungsi vektor ; maka:

a. Adt

d

dt

dA)A(

dt

d φ+φ=φ (A dan φ merupakan fungsi t)

b. Bx

A

x

BA)BA(

t!!!

∂∂

+∂∂

=∂∂

(A dan B merupakan fungsi x,

y dan z)

c. Bx

A

x

BA)BA(

x×

∂∂

+∂∂

×=×∂∂

(A dan B merupakan fungsi x,

y, dan z)

3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor

a. Interpretasi geometris

J ika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor

r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t) k , maka:

1. Derivatif dari kurva C di P, atau

k jidt

z(t)d

dt

y(t)d

dt

x(t)d

dt

r(t)d(t)r' +===

merupakan vektor singgung (t a ngen t vec t o r ) dari kurva C di P.

2. u =r'

r' …………………..→ vektor singgung satuan ( un it ta nge nt )


38/113



)('0 t r

)(: t rC

P

0 t t ====

3. ∫ = b

adtr'r'!i → panjang kurva C, ≤ t ≤ b ( leng th of a

curve )

4. ∫ =t

adtr'r's(t) ! → panjang busur a ≤ t ( a rc leng th of a

curve )

CONTOH:

Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai

berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka:

a) vektor singgung dari kurva di t =2

π adalah

2

#ttcos2sin t-2(t)r' =+= ji

= -2 i

b) iiii −==

−=

22-

22-u

c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):

∫ ∫ +=2#

o

2

2#

o

dt4costtsindtr'r'!

= ∫ ∫ =2#

o

2#

o

dt4dt4


39/113



= 4#2t2#

o =

b. Interpretasi dalam mekanika

J ika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk

fungsi vektor

maka:

" dt

t dr r v

)('== → merupakan vektor kecepatan di suatu

titik t.

" dtdsr'r'v == ! → laju ( speed ) atau besarnya kecepatan

di sautu titik t.

" a(t) = v'(t) = r''(t) → vektor percepatan

CONTOH :

1. Gerak Rotasi

J ika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j

⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar

berlawanan dengan arah jarum jam.

• Vek to r kec ep a ta n di sembarang titik pada lintasan tersebut.

v(t) = r'(t) = Rω sin ωt i + R ω cos ωt j

• Kec ep a ta n sudu t (kecepatan angular)

$R

R $$tcos$R $tsin$R

R

v 222222 ==++=

• Vek to r pe rc ep a ta n

= a = v' = –R ω2

t i – R ω2

sin ωt j = - 2 r(t)

J adi,

| a | = | - ω r(t) | = ω2 R → percepatan centripetal (dengan arah

menuju pusat lingkaran)

2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan

vektor percepatan a = 2 i – 2 k , jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan

vektor kecepatan awalnya v(0) = j


40/113



⇒

∫ ∫ ∫ +−+++=−++= k ct jcict k dt jdt idt t v )2()2(202)(32"

∫ ∫ ∫ +−+++= k dt c jdt cidt ct t r )2()2()( 32" k ct ct jct cict ct )()()( 63

2

524"

2 ++−+++++=

Kecepatan awal :

0,",0)0()0()0( 32"32" ===→=++++= ccc jk c jcicv

k t jit t v 22)( −+=∴

Posisi awal : k jir 2)0( ++−= k cc jcciccr )0.0()0.()0.0()0( 63

2

524"

2 ++−+++++=

2,","2... 654654 ==−=→++−=++= ccck jik c jcic

k t jt it t r )2()"()"()(22 +−+++−=∴

3.3 Gradien, Divergensi Dan Curl

Didefinisikan suatu operator vektor ∇ (dibaca del atau nabla) sebagai

berikut:

k jik jizyxzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

J ika φ = φ (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan

A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A 2 (x,y,z) j + A 3(x,y,z)k

adalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yang

kontinu di suatu daerah.

Maka :

1. GRADIEN dari φ (x,y,z) didefinisikan dengan

grad ∇φ=φ =

∂∂

+∂∂

+∂∂

zk

y j

xi

=z

),,(

y

),,(

x

),,(

∂φ∂

+∂

φ∂+

∂φ∂ z y x

k z y x

j z y x

i

= k z y x

j z y x

i z y x

z

),,(

y

),,(

x

),,(

∂

φ∂+

∂

φ∂+

∂

φ∂


41/113



2. DIVERGENSI dari A(x,y,z):

div AA !∇= = zyx ∂∂+∂∂+∂∂k ji

=z

)zy,x,(A

y

)zy,x,(A

x

)zy,x,(A 32"

∂∂

+∂

∂+

∂∂

3. CURL atau ROTASI dari A(x,y,z):

Curl A =∇ × A = ( )k jik ji 32" AAAzyx

++×

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

32" AAAzyx ∂∂

∂∂

∂∂

k ji

2"3"32 AA

yxAA

zxAA

zx ∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂= k ji

= k ji

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

∂

∂−

∂∂

y

A

x

A

z

A

y

A

z

A

y

A"2"323

4. Operator Laplace (LAPLACIAN) ∇2 dari φ

∇2 φ = div ( ∇φ) = div (grad φ)

=

∂φ∂

+∂

φ∂+

∂φ∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

k jik jizyxzyx

!

= φ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

φ∂+

∂φ∂

+∂

φ∂2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zyxzyx

Rumus-Rumus :

J ika A, B fungsi vektor

U,V fungsi skalar, maka

1. ∇ (U + V) = ∇U +∇V atau grad (U + V) = grad U + grad V

2. BdivAdivB)(AdivatauBAB)(A +=+∇+∇=+∇ !!!


42/113



3. BcurlAcurlB)(AcurlatauBAB)(A +=+×∇+×∇=+×∇

4. )A(UAU)()UA( !!! ∇+∇=∇5. )A(UAU)()UA( ×∇+×∇=×∇

6. )B(AA)(B)BA( !!! ∇−∇×=×∇

7. B)A(B)BA()A(BA)B()BA( !!!! ∇+−∇−∇=××∇

8. B)(AA)(BB)A(A)B()BA( ×∇×+×∇×+∇+∇=∇ !!!!

9.2

2

2

2

2

22

z

U

y

U

x

UU)U(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=∇∇ ! disebut Laplace dari U

dan2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ disebut Operator Laplace

10. ∇ × ( ∇U) = 0 → curl dari gradien U = 0

11. 0)A( =×∇∇ ! → divergensi dari curl A = 0

12.2A)A()A( ∇−∇∇=×∇×∇ !

CONTOH:

Misalkan φ = x2yz3 fungsi skalar

A = xz i – y 2 j + 2x 2 y k fungsi vektor

a. φ∇=φ grad = k jizyx ∂φ∂

+∂φ∂

+∂

φ∂

= 2xyz3 i + x2z3 j + 3x 3 yz 2 k

b. AAdiv !∇= = )yx2yxz(zyx

22k jik ji +−

∂∂

+∂∂

+∂∂

!

= z – 2y + 0 = z – 2y

c. AAcurl ×∇= =

y

k ji

22 x2yxz

zyx

−∂∂

∂∂

∂∂

= i (2x2 – 0) – j (4xy – x) + k (0 – 0)

= 2x2 i – (4xy – x) j


43/113



d. A)(div φ = A)(φ∇ !

= )y2xy-xz(yzxzyx

2232k jik ji +

∂∂+

∂∂+

∂∂ !

= k ji )zyx(x

)zyx(y

)yz(xx

32433243

∂∂

+∂∂

−∂∂

= 3x2yz4 i – 3x 2y2z3 j + 6x 4 y 2z2 k

e. ( ))x2yxz(yzxA)(A)(curl 2222 k ji +−×∇=φ×∇=φ

32423233 zy2xzyx-yzx

zyx ∂∂∂∂∂∂

= k ji

= (4x 4yz3+ 3x2y3 z 2) i – (8x 3 y 2 z 3 – 4x 3 yz 3) j + (–2xy 3z3 – x 3z4) k

3.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curl

a. Derivatif berarah (d i rec t iona l de rivatve)

Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruangan

adalah T(z,y,z). besarnya T(x,y,z) tergantung pada posisi x, y, z dalam

ruang tersebut. sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkin

akan berbeda dengan temperatur di titik lainnya. Karena adanya

perbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan besarnya rata-rata

perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik lainnya

persatuan jarak (panjang). Besarnya laju perubahan temperatur

sesaat di suatu titik, akan tergantung pada arah geraknya, atau ke

titik mana yang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebutdengan derivatif berarah (d irec t iona l d er iva t ive )

Cara menentukan derivatif berarah:

Diberikan suatu medan skalar yang dinyatakan fungsi (x,y,z).

Besarnya laju perubahan dari fungsi (x,y,z) di titik (x0, y0, z0) persatuan

jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah

satuannya u = a i + b j + c k , bisa ditentukan sebagai berikut,


44/113



tan kons====φ φφ φ

φ φφ φ ∇∇∇∇

)θ θθ θ u

φ φφ φ

φ φφ φ

u D atau

u arah dalam ds d

Persamaan garis melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor arah satuan u

= a i + b j + c k, bisa dinyatakan dalam bentuk parameter

szz

bsyy

asxx

o

o

o

c+=+=+=

Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi dari

satu variabel s. J ika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi φ (x, y, z),

maka φ akan merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak di

atas φ merupakan fungsi dari satu variabel s, sehinggads

dφ bisa

dihitung.

φ=φ

u

u

D

ds

d= c

z

b

y

a

xds

dz

zds

dy

ysd

dx

x ∂

φ∂+

∂

φ∂+

∂

φ∂=

∂

φ∂+

∂

φ∂+

∂

φ∂

= ( )"#"$%

" " " #" " " $% u

c bazyx

k jik ji ++=

φ∇

∂φ∂

+∂φ∂

+∂

φ∂

J adi,

ugraduDds

du

u

!! φ=φ∇=φ=φ


45/113



Definisi perkalian skalar, diperoleh:

%cosuudsd

uφ∇=φ∇=φ ! ; θ adalah sudut antara ∇φ dan vektor u

Karena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi

%cosds

d

u

φ∇=φ

nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°,

yaitu jika u searah dengan ∇φ.

Harga maksimum dariuds

dφadalah φ∇

CONTOH:

1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy – z2 di titik (2, –1, 1) dalam

arah menuju titik (3, 1, -1). Dalam arah manakah derivatif berarah ini

akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya.

⇒

a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (3–2)i + (1+1) j + (-1-1) k = i +

2 j – 2 k .

Vektor arah satuan = u =3

22

44"

22 k jik ji −+=++

−+

3

2

zyxf

k jik ji

++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

= 2y i + 2x j – 2z k

(2,-",")uf D = (2,-",")f ∇

=

3

22)z2x2y2(

k jik ji

−+−+ !

= )",",2(3" )4x4y2( −++

= 33,3)482(3"0

3" ==++−

b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah dengan

∇f, dan besarnya nilai maksimum =

") ,",2(

222 624"644z4x4yf −

=++=++=∇


46/113



2. J ika (x,y,z) da lam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan laju

pertumbuhan temperatur sesaat di titik (2,-1,-1) jika bergerak ke arahtitik (3,1,3)

⇒

Vektor arah satuan = u = )22(3

"

44"

22k ji

k ji++=

++++

Laju perubahan temperatur di titik (2, -1, 1) dengan arah u =

")(2,-",uf D = )22(3

")yzxy( 32 k ji +++∇ !

= ]22[3

")yz3)zxy2(y[ 222 k jik ji +++++ !

=3

"")628"(

3

"=−+−

Tanda negatif menunjukkan perubahan yang menurun artinya terjadi

penurunan suhu jika bergerak dari titik (2, -1, 1) ke titik (3,1,3).

b. Gradien sebagai vektor Normal Luasan

Misalkan f(x,y,z) = C adalah persamaan luasan S da lam ruang (R3) dan

fungsi vektor r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t) k adalah persamaan kurva yang

terletak pada luasan S. Karena r(t) terletak pada f(x,y,z) = C, maka

berlaku

F[x(t), y(t), z(t)] = C

dan

0t

C

t

z

z

f

t

y

y

f

t

x

x

f

=∂

∂

=∂

∂

∂

∂

+∂

∂

∂

∂

+∂

∂

∂

∂

0dt

dz

dt

dy

dt

dx

z

f

y

f

x

f =

++

∂∂

+∂∂

+∂∂

!k ji

0dt

r(t)df =∇ ! → (t)]t'

dt

r(t)d[f =⊥∇


47/113



P

)( t r

f ∇∇∇∇

)(' t r

Karena r(t) merupakan persamaan kurva pada luasan s, maka r'(t) =

dt

dr merupakan singgung kurva r(t), yang berarti vektor singgung

luasan S di titik tertentu. Jadi, ∇f ⊥ vektor luasan ——> berarti ∇f

merupakan vektor normal luasan S di suatu titik.

Danf

f n

∇∇

= = vektor normal satuan.

CONTOH:

Tentukan vektor normal dari kerucut putaran:

z2 = 4(x 2 + y 2) di titik P(1,0,2).

⇒Persamaan luasan dalam bentuk f(x,y,z) = 0 adalah

f(x,y,z) = 4(x2 + y 2) – z = 0

(",0,2)

222 z8y8x8)z)y(4(xf k ji ++=−+∇=∇

= 8i – 4 k

5

2

80

48

"664

48

f

f n

k ik ik i −=

−=

+−

=∇∇

=


48/113



c. Penggunaan lain dari Gradien

Misalkan A adalah suatu partikel dengan massa M yang terletakpada titik tetap Po(xo, yo, zo) dan B adalah suatu partikel bebas

dengan massa m yang berada pada posisi P(x,y,z) dalam suatu ruang,

maka B akan mengalami gaya tarik dari partikel A. menurut hukum

Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah P menuju Po, dan

besarnya sebanding dengan 1/r2, antara P dengan Po.

Sehingga,

2 p r

c

= c = GMm

G = 6,67 = konstan

dan2

o

2

o

2

o )z(z)y(y)x(xr −+−+−= ; r ≥ 0

Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.

J ika vektor jarak dari P ke Po,

r = (x – xo)i + (y – yo) j + (z – z o)k ; | r | = r

dan r

r

r

r

−=− = vektor satuan arah dari p

(tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)

maka

vektor p = r r cr

r r c )/()/( p

r

r 32 ==−=−

= k c jcic3

o

3

o

3

o

r

zz

r

yy

r

xx −−

−−

−−

———> fungsi vektor yang menyatakan gaya tarikmenarik antara dua partikel.

J ika fungsi skala f(x,y,z) = c/r ; r ≥ 0

merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternyata bisa

dibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:

grad f =2

o

2

o

2

o )z(z)y(y)x(x

c

yyx −+−+−

∂∂

+∂∂

+∂∂

k ji

= +−+−+−

−ic2/32o

2o

2o

o

])z(z)y(y)x2[(x

)x2(x-


49/113



+−+−+−

− jc

2/32

o

2

o

2

o

o

])z(z)y(y)x2[(x

)y2(y-

+−+−+−

−k c

2/32

o

2

o

2

o

o

])z(z)y(y)x2[(x

)z2(z-

= k cr

jcr

icr

3

o

3

o

3

o zzyyxx −−−

−−

−

= p

Selain itu bisa dibuktikan bahwa:

5

2

o

32

2 )x3(x""

x r r r

−+=

∂

∂

5

2

o

32

2 )y3(y""

y r r r

−+=

∂∂

5

2

o

32

2 )z3(z""

z r r r

−+=

∂∂

J ika dijumlahkan menjadi:

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

r r r

"

z

"

y

"

x2

2

2

2

2

2

=

=5

2

o

2

o

2

o

3

)z(z)y(y)x(x3

3

r r

−+−+−+

= 033

5

2

3 =+r

r

r

Sehingga, karena f = c/r maka

0f atau0z

f

y

f

x

f 22

2

2

2

2

2

=∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

J adi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan

merupakan fungsi vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi

skalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat ∇2f = 0

Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel bermuatan

Q1 dan Q 2 ada lah

r r

k 3

p = (Hukum Couloumb)


50/113



dengan:πε

=4

QQk 2" ; ε = konstanta elektrik

Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = – k/r ; dengan

∇2f = 0

CONTOH:

J ika potensial antara dua silinder konsentris adalah

V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y 2) volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5).

⇒

Vektor gaya elektrostatik p = grad V

)52(29

60

yx

2y30

yx

2x30 p )5,2(2222 ji ji +==+

++

=

∴ Arah gayanya searah dengan arah vektor p

Penggunaan Difergensi

Dalam aliran fluida:

Perhatikan suatu aliran tak tunak (no n-stea d y sta te ) dari fluida

termampatkan (c om p ressib le fluid ), misalnya gas atau uap, dalam suatu

ruangan. Karena termampatkan, maka besarnya (densitas massa =

massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z.

Dan karena alirannya tak tunak maka juga tergantung pada t

(berubah-ubah dari waktu ke waktu). J adi = (x,y,z,t). Misalkan v(x,y,z) =

v1i + v 2 j + v 3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu

titik (x, y, z)

Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil

dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti da lam gambar berikut.


51/113



z

y

x

2vρ ρρ ρ

33 vv ρ ρρ ρ ρ ρρ ρ ∆∆∆∆++++

11 vv ρ ρρ ρ ρ ρρ ρ ∆∆∆∆++++

3vρ ρρ ρ

22 vv ρ ρρ ρ ρ ρρ ρ ∆∆∆∆++++

1vρ ρρ ρ

z∆∆∆∆

x∆∆∆∆ y∆∆∆∆

)W

Karena terdapat aliran fluida yang c om p ressib le dalam ruangan

tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa

fluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam volumeW, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida

sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu.

J ika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari W

Selama ∆t ≈ [komponen vektor kecepatan yang ⊥ dengan masing-

masing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [ ∆t)

= fluks massa fluida pada masing-masing sisi W.

Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui

W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar

dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masing-masing sisi

W.

" Fluks massa yang masuk selama ∆t melalui:

– sisi kiri = ρv2 ∆x ∆z ∆t

– sisi belakang = ρv1 ∆y ∆z ∆t

– sisi bawah = ρv3 ∆x ∆y ∆t

" Fluks massa yang keluar selama t melalui:


52/113



– sisi kanan = (ρv2 + ρv2) ∆x ∆z ∆t

– sisi depan = (ρv1 + ρv1) ∆y ∆z ∆t– sisi atas = (ρv3 + ρv3) ∆x ∆y ∆t

J umlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan

Volume = (Σ yang keluar - Σ yang masuk)/volume/waktu

=)t(zyx

tyxvtzxvtzyv 32"

∆∆∆∆∆∆∆ρ∇+∆∆∆ρ∇+∆∆∆ρ∇

=z

v

y

v

x

v 32"

∆ρ∇

+∆ρ∇

+∆ρ∇

Karena volume W diambil sangat kec il, maka ∆x → 0

∆y → 0

∆z → 0

J adi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan

volume dalam ruangan =

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v 32"32"

000

lim ∂∇

+∂

∇+

∂∇

=

∆

∇+

∆∇

+∆

∇

→∆→∆→∆

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

z y x

= )vvv(zyx

32" k jik ji ρ∇+ρ∇+ρ∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

!

= vρ∇ !

= )v(div ρSementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa

fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju

perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau =t∂ρ∂

J adi,t

vdiv∂ρ∂

=ρ

Atau


53/113



0t

vdiv =

∂

ρ∂+ρ

———→ merupakan persamaan kontinuitas dari aliran

no n-stea d y sta te dari fluida termampatkan

J ika alirannya tunak (stea d y sta te ), yang berarti bahwa densitas

massanya tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu),

maka:

0t

=∂ρ∂

—→ 0vdiv =ρ —— → merupakan kontinuitas untuk aliran s teady

state dari fluida termampatkan ( c om p ressib le ).

Untuk aliran steady-state dari fluida tak termampatkan ( in c om p ressib le

fluid ), berarti nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,

div ρv = div v = 0 (ρ ≠ 0)

0vdiv = —— → persamaan koninuitas dari aliran steady-state

dari fluida tak termampatkan (inc om p ressib le fluid ).

Penggunaan Curl

Dalam gerak rotasi

Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut –

(konstan) mengelilingi sumbu & .


54/113



O

ΩΩΩΩ

R

P

v

r

θ θθ θ

&

Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω yang panjangnya , sejajar

sumbu & dengan arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan

terhadap gerakan benda.

J ika R adalah vektor dari titik 0 di & ke sembarang titik P pada benda,

maka

" radius putar titik P:

r =| R | | sin θ |sehingga,

" kecepatan linier titik P

| v | = ω | R | | sin θ| = |Ω| |R | | sin θ | = | Ω × R |

Vektor v ini mempunyai arah ⊥ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R,

sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. J adi hasil

dari perkalian Ω × R, selain memberikan besarnya nilai v juga akan

menentukan arah dari v.


55/113



J ika titik 0 diambil sebagai titik asal koordinat, maka:

R = xi + y j + z k danΩ = Ω1i + Ω2 j + Ω k

sehingga, v = Ω × R bisa ditulis

v = (Ω2z +Ω3 y) i – ( Ω1z - Ω2x) j + ( Ω1y - Ω1x) k

dan

curl v =∇ × v =

)x()x()y(

zyx

2"3"32 Ω−ΩΩ−ΩΩ−Ω

∂∂

∂∂

∂∂

k ji

= 2 Ω1 i +2 Ω2 j + 2 Ω3k = 2 Ω

J adi,

Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform =

½ curl dari kecepatan lintas sembarang titik.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Misalkan f = x2

+ 9y2

+ 4z2

g = xy3 z 2

v = xz i + (y – z) 2 j + 2xyz k

w = 2y i + 4z j + x 2z2 k

Tentukan

a. grad f di titik (3, -1, 0) J awab : 6i – 18 j

b. ∇2f J awab : 28

c. gf ∇∇ ! J awab : 72 xy 3 z 2

d.yx

2

∂∂∂ g

J awab : 3 y 2 z 2

e. vf !∇ J awab : 2x 2 z + 18y (y – z) 2+ 16 xyz2

f. div w J awab : 2 x2z

g. div v (curl v) J awab : –11

h. div (v × k ) J awab : 0

i. curl (v × k ) J awab : –xi – 2(y – z) j – (2y – z) k


56/113



j. Dwf di (1, 1, 1) J awab : 5"8

k. Dwg di (3, 0, –2) J awab : 0

l. div (v + w) J awab : 2y – z + 2xy + 2x2z

2. J ika r(t) menyatakan persamaan kurva lintasan, dengan t = waktu.

Tentukan vektor kecepatan, besarnya laju (speed ) dan vektor

percepatan di P[x(t); z(t)], jika

a. r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t) k = t i + 3 t2 j

J awab: v =i + 12 j + k ; | v | ="45 ; a = 6 j

b. r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t) k = t i + 3 t2 j + t k , di titik P (4,12,4)

J awab: v =i + 3 j + k ; | v | = "" ; a = 0

3. J ika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t)

= t2i – 2t j + (t 2 + 2 t )k , t waktu.

a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,-

4,8). J awab: t = 2b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi

titik (4,-4,8).

J awab: v = 4i – 2 j + 6 k ; | v | = "42

c. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan

partikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8)

J awab: (x – 4)/4 = (y + 4)/(-2) = (z – 8)/6

2x – y + 3z = 36

4. J ika berangkat dari titik (1,1) dalam arah manakah fungsi φ = x 2 –

y2 + 2xy akan menurun dengan cepat (menurun secara

maksimum).

J awab = –i


57/113



5. J ika diberikan medan skalar r = 22 yx + dan

R = 222 zyx ++ , tentukan

a. Laplace ∇2 dari ln r J awab : 0

b. Laplace ∇2 dari R J awab : 2/R

6. J ika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 +

30 ln(x2 + y 2) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialnya di titik

P (2,5).Catatan: garis ekipotensial adalah garis yang tegak lurus

dengan garis gaya elektrotatis.


58/113



BAB IV

IINNTTEEGGRRAALL VVEEK K TTOORR

4.1 Integral Garis (Line Integrals)

Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari

konsep integral tertentu ∫ a

bdx)x(f .

Dalam integral tertentu ∫ a

bdx)x(f , fungsi f(x) diintegrasikan sepanjang

sumbu x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisi

pada setiap titik pada sumbu x antara sampai b.

Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva C

dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi yang terdefinisi

pada setiap titik di C. Kurva C , oleh sebab itu disebut sebagai ‘l intasan

integrasi’ . Lintasan integrasi C merupakan kurva licin (sm oo th c urve ) yang

bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a ≤ t ≤ b

dan r(t) mempunyai derivatif kontinu,

)t('r = k ji

dt

dz(t)

dt

dy(t)

dt

)t(dx

dt

dr +=

= x' (t) i + y'(t) j + z'(t) k

yang tidak nol

Dalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan:

A : r(a) = titik awal dari C

B : r(b)= t akhir dari C

Arah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalam

gambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah.

POKOK BAHASAN :! Integral garis

! Teorema Green

! Medan Gaya Konservatif

! Integral luasan

! Teorema divergensi Gauss

! Teorema Stokes


59/113



J ika A = B C disebut kurva tertutup.

Definisi Integral Garis

Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yang

terdefinisikan pada a ≤ t ≤ b, didefinisikan sebagai:

dr )r (FC !∫ = ∫ b

adt

dt

dr )t(r [F !

= ∫ b

adt)t('r )t(r [F !

J ika,

r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

k jidt

)t(dzdt

)t(dydt

)t(dxdtdr )t('r ++==

dr = dx(t) i + dy(t) j + dz(t) k

F(r) = F1 i + F 2 j + F 3 k

maka:

dr )r (FC !∫ = [ ])t(dzF)t(dyF)t(dxF 321C ++∫

= ∫

++ b

a321 dt

dt

dzF

dt

dyF

dt

dxF

= [ ]∫ ++ b

a321 dt)t('zF)t('yF)t('xF

" Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikan

dengan ∫ C dr )r (F !

Contoh

)t(r :C

) b(r B =

)a(r A =

)a(r A =

) b(r B =

C


60/113



1. Tentukan integral garis ∫ C

dr )r (F ! , jika

F(r) = – y i + xy j

C : adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik A

ke titik B.

⇒

C : r(t) = cost i + sint j

Sehingga,

x(t) = cost t

y(t) = sin t

0 ≤ t ≤ 2

π

dan F[r(t)]= – sin t i + sin t cos t j

f' = – sin t i + cos t j

∴ ∫ C dr )r (F ! = ∫ b

adt)t('r )]t(r [F !

= ∫ π

+2/

a

22 dt]tcostsint[sin

= ∫ ∫ ππ

−− 2/

0

2

2/

0

tcosd tcosdt2

t2cos1

=

2/

o

3 tcos3

1t2sin

4

1t

2

1 π

−−

=3

1

43

100t

4+π=+−−π

2. Tentukan nilai integral garis pada contoh 1, jika

C : garis lurus yang menghubungkan A dan B

⇒

)0,1(A

)1,0(B

C

0

)1,0(B

C


61/113



C : r(t) = (1 – t) i + t j

x(t)= 1 – t= t

0 ≤ t ≤ 1

F[r(t)] = –t i + t(1 – t) j

r'(t) = – i + j

∴ ∫ C dr )r (F !

= ∫ ∫ −=−+ 1

0

1

0 dt]tt2[dt)]t1(tt[

=3

2

3

11t

3

1t

1

0

32 =−=−

" Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selain

tergantung pada batas integrasi, juga tergantung pada

lintasannya.

3. Tentukan ∫ c dr )r (F ! , jikaF(r)= z i + j + y k

C : r(t) = cos t i + sin t j + 3t k , 0 ≤ t ≤ 2

⇒

x(t)= cos t

y(t)= sin t

z(t)= 3t

F[r(t)] = 3t i + cos t j + sin t k

r'(t) = –sin t i + cos t j + 3 k

∴ ∫ C dr )r (F ! = [ ]∫ π

++−2/

0

2dttsin3tcostsint3

= ∫ ∫ ∫ π π π

++

+2/

0

2/

0

2/

0dttsin3dt

2

t2cost1tcost3

= tcos3t2sin4

1t

2

1]tdtcostcost[3 −++− ∫


62/113



=

π2

−++−0

tcos3t2sin

4

1t

2

1tsin3tcost3

Interpretasi Integral Garis

Dalam MEKANIKA

Usaha yang dilakukan oleh guru konstan F yang bergerak sepanjang

vektor lurus d adalah d FW !=

J ika gaya F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergerak

sepanjang kurva C = r(t), maka besarnya usaha yang dilakukan olehgaya F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlah

usaha yang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari C, jika C

dibagi menjadi n buah segmen kecil-kec il sehingga setiap segmen

mendekati garis lurus.

Untuk sembarang m; 1 ≤ m ≤ n, maka

)]t(r )t(r [)]t(r [FW mmmm −=∆ !

Sementara,

m

mmm

t

)t(r )t(r lim0t)t('r

∆−

→∆=

t m = tm +1 – t m

J adi,

mmmmmm t)t('r ]t)t('r )]t(r [FW ∆∆≅∆ !!

karena ∞→n , maka:

∑∑=

∞→=

∞→∆=∆=

n

1m

mmmn

n

1m

mn

t)t('r )]t(r [FlimWlimW !

C

nt b =

1mt +mt0ta =

1t

2t 3t


63/113



=

∫

b

a

dt)t('r )]t(r [F !

∫ =∴ C dr )r (FWUsaha !

" Karena )t(vdt

dr = = vektor kecepatan

maka: W = ∫ ∫ =C b

adt)t(v)]r [(Fdr )r (F !!

" Dari hukum Newton II : F = ma, bisa diturunkan F = m r''(t) = m v' (t)

Sehingga,

W = ∫ ∫

=

b

a

' b

adt

2

vv mdt)t(v)t('vm

!

!

= [ ] b

a

2 b

a

'2v

2

mdtv

2

m=∫

= [ ]22 )a(vv(b)2

m−

dengan2

v2

m = energi kinetik

Bentuk-bentuk lain Integral Garis

Bentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garis

∫ C dr )r (F ! ,

J ika F = F1 i ∫ C dr )r (F ! = ∫ C 1dxF

F = F2 j ∫ C dr )r (F ! = ∫ C 2dyF

F = F3k ∫ C dr )r (F ! = ∫ C 3dzF

Bentuk : dt)]t(r [f dt)r (f b

aC ∫ ∫ =!

C : r(t); a ≤ t ≤ b

Merupakan bentuk khusus dari ∫ C dr )r (F ! , jika


64/113



F = F1 i dan F 1=

dt/dx

)]t(r [f , sehingga

)t('xFdt

dxFf 11 ==

J adi,

∫ C dr )r (F ! = ∫ C 1 dxF ! = ∫ C dxdt/dx)]t(r [f

= ∫ b

a

dt)t(r [f

Contoh

Tentukan ∫ ++C2222 dt)zyx( jika

C : r (t) = cos t i + sin t j 3t k ; 0 ≤ t ≤ 2

⇒

f = (x2 + y 2 + z 2)2

r(t) = cos t i + sin t j + 3t k

x(t)= cos t

y(t)= sin t

z(t)= 3t

f[r(t)] = [cos2t + sin2t + 9t2]2 = (1 + 9t 2)2

∫ ++∴

C

2222dt)zyx( =

∫

π+

2

0

22dt)t91(

= ∫ π

++2

0

42dt]t81t181[

= t2 + 6t 3 +

π2

0

t5

81

= 53

25

2592482 π+π+π


65/113



Sifat-sifat

a. ∫ ∫ =C C dr )r (k dr F(r)k !! ; konstanta

b. [ ]∫ ∫ ∫ +=+C CC dr )r (Gdr )r (Fdr G(r)F(r) !!!

c. ∫ ∫ ∫ +=C CC 21 dr )r (Fdr )r (Fdr F(r) !!! ; jika lintasan C dibagi menjadi

dua busur, yaitu C1, dan C 2 dengan arah yang sama dengan arah

C.

Contoh Soal

1. Tentukan ∫ C dr F(r) ! ; jikaa. F = y2 i –x4 j

C : r(t) = t i + t –1 j ; 1 ≤ t ≤ 3

b. F = y2 i

C : sepanjang kurva x2 + 4y = 4 dari (2, 0) ke (0, 1)

c. F = 3y i + x j

C : segmen garis lurus dari (0, 0) ke (2, 2½ )

⇒

a.

=

=−1

t)t(y

t)t(x

ji

ji

2

42

t)t('r

ttF

−

−

−=

−=

∫ ∴ C dr F(r)! = [ ]3

1

313

1

22t

3

1tdttt +−=+ −−∫

=3

28

3

11

3

27

3

1=

+−−

=−

b. ∫ C dr F(r)! = ∫ C2dxy ; 2 ≤ x ≤ 0

C : x2 + 4y 2 = 4

4y 2 = 4 – x2

y2

= 4

x4 2−


66/113



∫ C

dr F(r)! =

0

2

0

2

32

x

3

1x4

4

1dx

4

x4

∫

−=−

=3

4)

3

88(0

4

1−=

−−

c.

Persamaan segmen

garis dari (0, 0) ke (2, ½),

adalah:

y =41 , 0 ≤ x ≤ 2

=

t4

1)t(y

Documents

09_a_analis_vektor.pdf