MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 1Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Poliedros o slido limitado unicamente por superfcie plana. Elementos: Faces So as superfcies planas que limitam o slidos. (ABCD, EFGH, CBFG, ...) Arestas so as intersees das faces, duas a duas. ...) , BF , CD , BC , AB ( Vrtices So os pontos comuns a trs ou mais arestas. (A, B, C, D, E. ...) DiagonaisSoossegmentosderetaqueunemdois vrtices,no pertencentes a uma mesma face. ...) , BH , AG ( - Poliedro Convexo. Umpoliedroconvexoquandoficainteiramentesituado num mesmo semi-espao limitado por qualquer uma de suas faces. Caso contrrio, chamado de poliedro no convexo. 5. Teorema de Euler: Emtodopoliedroconvexo,nmerodearestasA aumentadode2unidadesigualaonmerodevrticesV aumentado do nmero de faces F. V + F = A + 2 Obs.:Todopoliedroconvexoeuleriano,masnemtodo poliedroeuleriano convexo. - Clculo do nmero de arestas O nmero de arestas de um poliedro dado por: A = 2F . n Onde: F nmero de faces n - o nmero de lados de cada face -Poliedros regulares ou poliedrosde Plato. Soaquelesemquetodasasfacessopolgonos regularescongruentesetodososngulospolidricosso congruentes. S existem cinco poliedros regulares, so eles: Tetraedro as faces so tringulos equilteros. Hexaedro as faces so quadrados. Octaedro as faces so tringulos equilteros. Dodecaedro - as faces so pentgonos regulares.Icosaedro a faces so tringulos equilteros. Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro RegularDodecaedro regular Icosaedro regular H GCBFEADConvexoNo Convexo

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 2Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular EXERCCIOS 01)Umpoliedroconvexoformadopor6faces quadrangulareseoitofacestriangulares.Determineo nmero de arestas e o nmero de vrtices desse poliedro. 02)Umpoliedroconvexotem6vrticese8faces.Qualo nmero de arestas desse poliedro ? 03)Umpoliedroconvexoquestemfacestriangularese quadrangularestem20vrtices.Calculeonmerodefaces do poliedro sabendo que o nmero defaces triangulares o dobro do nmero de faces quadrangulares. 04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vrtices, a partirdosquaisretiram-se12pirmidescongruentes.As medidasdasarestasdessaspirmidessoiguaisa 31da aresta do icosaedro. O que resta um tipo de poliedro usado na fabricao de bolas. Observe as figuras: Paraconfeccionarumaboladefutebol,umartesousa essenovopoliedro,noqualcadagomoumaface.Ao costurardoisgomosparaunirduasfacesdopoliedro,ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o arteso gastou, no mnimo, um comprimento de linha igual a: (A) 7,0m(B) 6,3m(C) 4,9m(D) 2,1m 05)Numapublicaocientficade1985,foidivulgadaa descobertadeumamolculatridimensionaldecarbono,na qualostomosocupamosvrticesdeumpoliedroconvexo cujasfacesso12pentgonose20hexgonosregulares, comonumaboladefutebol.Emhomenagemaoarquiteto norte-americanoBuckminsterFuller,amolculafoi denominadafulereno.Determineonmerodetomosde carbono(vrtices)nessamolculaeonmerodeligaes entre eles (arestas). (A) 65 tomos e 40 ligaes (B) 60 tomos e 90 ligaes (C) 60 tomos e 45 ligaes (D) 80 tomos e 90 ligaes (E) 60 tomos e 30 ligaes 06) (uerj-2005-2f) Opoliedroacima,comexatamentetrintafaces quadrangularesnumeradasde1a30,usadocomoum dado, em um jogo. Admitaqueessedadosejaperfeitamenteequilibradoeque, aoserlanado,cadafacetenhaamesmaprobabilidadede ser sorteada. Calcule: a) a probabilidade de obter um nmero primo ou mltiplo de 5, ao lanar esse dado uma nica vez; b) o nmero de vrtices do poliedro. Prismas 1. Superfcie Prismtica: asuperfciegeradaporumaretag(geratriz)quese desloca paralelamente a uma direo dada (d) e apoiando-se numa linha poligonal plana (diretriz). Asuperfcieprismticapodeserabertaoufechada,sea linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente. Asgeratrizesquepassampelosvrticesdadiretriz chamam-se arestas da superfcie. 2. Prisma: o slido limitado por uma superfcie prismtica fechada epordoisplanosparalelosqueinterceptamtodasas geratrizes. gdBCDA

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 3Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular AsfacesABCDeEFGHsopolgonoscongruentes chamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de faces laterais, so paralelogramos. 3. Elementos dos prisma: Arestas da base:EH AD , GH CD , FG BC , EF AB = = = = Arestas laterais:DH CG BF AE = = = Altura: h (distncia entre as duas a bases). 4. Classificao dos Prismas: 1)Quanto aos Polgonos das bases: Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 2) Quanto as arestas laterais: Podem ser: reto ou oblquo. PrismaretoAsarestaslateraissoperpendicularess bases. Prisma oblquo as arestas laterais so oblquas s bases (Prisma Oblquo) 5. Prisma Regular: todo prisma reto cujas bases so polgonos regulares. 6. reas do Prisma: 1) rea lateral (Al) a soma das reas das face laterais 2) rea total. (At). a soma da rea lateral (Al) com a rea das bases (Ab). At = Al + 2Ab 7. Volume: PeloprincpiodeCAVALIRE,ovolumedeumprisma qualquerigualaoproduto dareadabase(Sb)pelaaltura h. V = Ab . h Exerccios 07) Dadas as figuras dos prismas abaixo: a)Paraleleppedo Retngulo b) Cubo ou Hexaedro Calculeareatotal,ovolumeeasdiagonaisdeambosem funo de suas arestas. H GF EDCA BHF EDCA BGhh(Prisma Reto)hcabdDDaaad

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 4Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 14 cm 10 cm 13 cm 08)Quantoslitrosdeguacabememumreservatrioem forma de paraleleppedo medindo internamente 2 m por 2 m de base e 1,2 m de altura? (A) 800(B) 1.200(C) 1.600 (D) 4.800 (E) 5.200 09)(PM-00)Opermetrodopolgonoformadopelos segmentos que unem os centros das quatro faces lateraisde um cubo de aresta medindo 4 cm : (A)2 2 (B)2 8 (C)2 4 (D)2 6 (E) 16 10)(PM-04)Seisblocosdeconcreto,emformade paraleleppedoretngulo,foramutilizadosnaconstruoda escada representada abaixo: ] Seessesblocossocongruentes,aexpressoalgbricaque correspondeaovolumedeconcretonecessrioparaa construo da escada : (A) 18 x2y (B) 18 xy2(C) 12 xy2 (D) 12 x2y 11) (UERJ-UENF-2001-2F) Na construo de um hangar, com aformadeumparaleleppedoretngulo,quepossaabrigar umAirbus,foramconsideradasasmedidasapresentadas abaixo. Calcule o volume mnimo desse hangar. 12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de suasdimensesiguaisa16,5cme4,0cm.Aterceira dimenso mede aproximadamente: (A) 6,0 cm (B) 6,5 cm (C) 7,0 cm(D) 7,6 cm 13)(ENEM2010)AsiderrgicaMetalNobreproduz diversos objetos macios utilizando ferro. Um tipo especial de peafeitanessacompanhiatemoformatodeum paraleleppedoretangular,deacordocomasdimenses indicadas na figura que segue. O produto das trs dimenses indicadas na pea resultaria na medida da grandeza: (A) massa.(B) volume.(C) superfcie. (D) capacidade.(E) comprimento. 14)(UFF-01)Umapiscinatemaformadeumprismareto, cuja base um retngulo de dimenses 15 m e 10 m. A quantidade necessria de litros de gua para que o nvel de gua da piscina suba 10 cm : (A) 0,15 L(B) 1,5 L(C) 150 L(D)1.500 L (E) 15.000 L 15) (ENEM2010) Uma fbrica produz barras de chocolates noformatodeparaleleppedosedecubos,comomesmo volume.Asarestasdabarradechocolatenoformatode paraleleppedomedem3cmdelargura,18cmde comprimento e 4 cm de espessura. Analisandoascaractersticasdasfigurasgeomtricas descritas,amedidadasarestasdoschocolatesquetmo formato de cubo igual a: (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm 16)(UFF)Umacaixadepapelo,naformadeum paraleleppedoretngulo,obtidadobrando-seomolde abaixo nas linhas tracejadas. O volume da caixa, em cm3, : (A)120(B) 180 (C) 240 (D) 480(E) 540 3y 3x 2y

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 5Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 17) Na fabricao da pea abaixo, feita de um nico material que custa R$ 5,00 o cm3, deve-se gastar a quantia de: (A) R$ 400,00(B) R$ 380,00(C) R$ 360,00 (D) R$ 340,00(E) R$ 320,00 18)(UERJ-2004-1fase)Asesferasdafiguraabaixo representamosonsformadoresdeumcristaldecloretode sdio. Considerequeooncommaiornmerodecamadas eletrnicas representado pela esfera de maiorraio e que a distnciaentreosncleosdosonsXeYvale3 10unidades de comprimento. Osmbolodoelementoformadordoondemenortamanho eamenordistncia,namesmaunidadedecomprimento, entre o ncleo de um ction e o ncleo de um nion, so: (A)C,3(B) Na,3(C) C, 5 (D) Na, 5 19) (PUC)Se a rea da base de um prisma diminui de 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: (A) aumenta de 8%(B) aumenta de 15% (C) aumenta de 108%(D) diminui de 8% (E) no se altera. 20)(UFF98)Emumcubodearestal ,adistnciaentreo pontodeencontrodesuasdiagonaisinternasequalquerde suas arestas : (A) l 3 (B)l 2 (C) l 32(D) l 22(E) l2 21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paraleleppedo com 2 cm de espessura. Sua base um quadradocom1mdelado.Qualamassadeumaoutra pedra,domesmomaterial,quetemaformadeum paraleleppedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura e 3 cm de espessura? 22)(UFRJ)OspontosJeIsoospontosmdiosdasarestas do cubo sugerido na figura: a)Calcule,emfunodamedidaadaarestadocubo,a distncia de I e J. b) Determine a medida do nguloJ KI . 23)(UFRJ)Umacaixasemtampa,completamentecheiade leitetemaformaeumparaleleppedoretngulode dimenses internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm. Inclina-seacaixade60emrelaoaoplanohorizontal demodoqueapenasumadasmenoresarestasfiqueem contato com o plano, como mostra a figura: Calcule o volume do leite derramado. 24)(UERJ-2004-2F)DoisprismasregularesretosP1eP2,o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, tm a mesma rea da base e a mesma rea lateral. A razo entre o volume de P1 e o de P2 equivale a: (A) 32(B) 36 (C) 23 (D) 1 JI60bac

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 6Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 25)(UFRJ-04-PNE)UmabarradesaboABCDEFGH,com formadeumparaleleppedoretngulo,foicortadapelo planoquecontmospontosC,D,FeG,comomostradona figura 1. O slido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez, peloplanoquecontmospontosM,N,PeQqueso, respectivamente, os pontos mdios das arestas AD, BC, CG e DF, como ilustrado na figura 2. CalculearazoentreovolumedoslidoCDMNPQ resultantedestesegundocorte(ilustradonafigura3)eo volume da barra de sabo original. 26)(UFRJ-06-PE)Afiguraabaixocorrespondeplanificao de um prisma regular hexagonal de altura 2a e permetroda base igual a 3a. Determine a distncia entre os pontos P e Q no prisma. 27)(UERJ-03-2F)Paraumademonstraoprtica,um professorutilizaumtanquecomaformadeum paraleleppedoretngulo,cujasdimensesinternas correspondema30cmdelargura,60cmdecomprimentoe 50cmdealtura.Essetanquepossuiumatorneiraquepode ench-lo,estandoelecompletamentevazio,em10minutos, eumraloquepodeesvazi-lo,estandoelecompletamente cheio, em 18 minutos. O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita que um aluno registre o tempo decorrido at que o tanque fique totalmente cheio. Estabelea o tempo que deve ser registrado pelo aluno. 28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prisma reto, cuja base um tringulo equiltero de lado a, para que seu volume tenha valor a3? (A) a 34(B) 3 34a(C) a 33 (D) 4 33a 29)Umacaixad\'guatemoespaointernonaformade cubocom1metrodearesta.Retira-seumlitrodeguada mesmaoquebaixaonveldaguaemseuinterior.De quanto baixa esse nvel? (A) depende de quanta gua havia (B) 1 metro (C) 10 centmetros(D) 10 milmetros (E)1 milmetro 30)(UERJ2011-1ex)Aembalagemdepapelodeum determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relao ao prisma, considere: -cadaumdosngulosA,B,CeDdabasesuperiormede 120; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere,ainda,queopapelodoqualfeitaa embalagem custa R$10,00 por m2 e que 3= 1,73. Naconfecodeumadessasembalagens,ovalor, emreais, gastosomente com o papelo aproximadamente igual a: (A) 0,50(B) 0,95(C) 1,50(D) 1,85 31) (ENEM 2010) Um porta-lpis de madeira foi construdo noformatocbico,seguindoomodeloilustradoaseguir.O cubo de dentro vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confeco desse objeto foi de: (A) 12 cm3 (B) 64 cm3 (C) 96 cm3 (D) 1 216 cm3 (E) 1 728 cm3

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 7Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 32) (UERJ-2010-1EX) A figura abaixo representa uma piscina completamentecheiadegua,cujaformaumprisma hexagonal regular. Admita que: A, B, C e D representam vrtices desse prisma; o volume da piscina igual a 450 m3 e umatletanada,emlinhareta,dopontoAatoponto mdiodaarestaCD,utilizandoapenasglicosecomofontede energia para seus msculos. A velocidade mdia do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s. Ointervalodetempo,emsegundos,gastonessepercurso equivale a cerca de: (A) 12,2(B) 14,4 (C) 16,2(D) 18,1 Cilindros 1. Superfcie Cilndrica: a superfcie gerada por uma reta mvel g (geratriz) que se desloca paralelamente a uma direo () e apoiando-se numa linha curva dada d (diretriz). A superfcie cilndrica pode ser aberta ou fechada e conforme anaturezadadiretrizelapodesercircular,elptica, parablica,etc.Nonossocasoestudaremossomenteas circulares. 2. Cilindro: o slido limitado por uma superfcie cilndrica fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 0 e 0 centros das bases. g geratriz h altura 3. Classificao dos cilindros: Soclassificadosdeacordocomonguloformadopela geratriz com os planos das bases. Cilindro reto; A geratriz (g) perpendicular s bases.Neste caso, a medida da geratriz igual altura (h), (g = h). Obs.:Todocilindroretopodeserobtidopelarotao completadeumretnguloemtornodeumdosseuslados. Por isso ele tambm chamado de cilindro de revoluo. ' 00 o eixo de rotao. Cilindro oblquo: A geratriz (g) oblqua s bases. gdrr00ghh00grr00gh00h = grr

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 8Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 4. Seces Seco transversal: obtida seccionando o cilindro por um plano paralelo base. Essa seco um crculo congruente base. Seco Meridiana: obtida seccionando o cilindro por um plano que contm o seu eixo. Obs.:Asecomeridianadeumcilindrocircularretoum retngulo. Se h = 2r, essa seco um quadrado, nesse caso, dizemos que o cilindro equiltero. 5. reas e volume de um cilindro: Planificando o cilindro (Fig. 1) Teremos: rea lateral (Al) rea da Base (Ab) Al= 2rhAb = r2 rea Total (At) At = Al + 2AbAt = 2r (h + r) Volume (V) V = Ab . hV = r2 . h Exerccios 33) (UFF) - Um reservatrio, na forma de um cilindro circular reto,temraiodabaser,alturahevolumeV.Deseja-se construiroutroreservatrioquetenha,tambm,aformade um cilindro circular reto, volume V, porm, raio da base igual a 2realturaH.Arelaoentreasalturasdesses reservatrios dada por: (A) H = 4h(B) H = 2h (C) H = 2h

(D) H = 4h (E) H = h 34)(UFRJ)AcasadaMoedaestcunhandomoedasdeouro deraiosdiferentesemesmaespessura.Amoedade1,5cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm de raio ? 35)(UERJ2001-2EXAME)Umrecipientecilndricode60 cmdealturaebasecom20cmderaioestsobreuma superfcieplanahorizontalecontmguaataalturade40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-setotalmenteumblococbiconorecipiente,o nvel da gua sobe 25%. Considerandoiguala3,amedida,emcm,daarestado cubo colocado na gua igual a: (A)2 10(B) 32 10 (C)12 10(D) 312 10r rh00h = 2rr r00rh00hSlr02 r 0(Fig. 1)

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 9Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 45 36)(UFF)-Umtoneldeformacilndrica,cheiodgua, inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu contedo.Seaalturadessetoneloqudruplodoraiode sua base, pode-se afirmar que a razo entre a quantidade de guaderramadaeaquantidadedeguaqueaindaficouno tonel : (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 3/4(E) 22 37)(UERJ-2006-1EX)Paraaobtenodondice pluviomtrico,umadasmedidasdeprecipitaodeguada chuva, utiliza-se um instrumento meteorolgico denominado pluvimetro. Ailustraoabaixorepresentaumpluvimetrocomreade captaode0,5m2eraiointernodocilindrodedepsitode 10 cm. Considerequecadamilmetrodeguadachuvadepositado no cilindro equivale a 1 L/m2. Nomsdejaneiro,quandoondicepluviomtricofoide90 mm,onveldeguanocilindro,emdm,atingiuaalturade, aproximadamente: (A) 15(B) 25(C) 35(D) 45 38)(ENEM-08)Afiguraaoladomostraumreservatriode guanaformadeumcilindrocircularreto,com6mde altura.Quandoestcompletamentecheio,oreservatrio suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo mdio dirio de 500 litros de gua. Suponhaque,umcertodia,apsumacampanhade conscientizao do uso da gua, os moradores das 900casasabastecidasporessereservatriotenhamfeito economia de 10% no consumo de gua. Nessa situao, (A) a quantidade de gua economizada foi de 4,5 m3. (B) a altura do nvel da gua que sobrou no reservatrio, no final do dia, foi igual a 60 cm. (C) a quantidade de gua economizada seria suficiente para abastecer, no mximo, 90 casas cujo consumo dirio fosse de 450 litros. (D) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de gua para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. (E) um reservatrio de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria gua suficiente para abastecer todas as casas. 39)(ENEM-2010)DonaMaria,diaristanacasadafamlia Teixeira precisa fazer caf para servir as vinte pessoas que se encontramnumareunionasala.Parafazerocaf,Dona Mariadispedeumaleiteiracilndricaecopinhosplsticos, tambm cilndricos. Comoobjetivodenodesperdiarcaf,adiaristadeseja colocar a quantidade mnima de gua na leiteira para encher osvintecopinhospelametade.Paraqueissoocorra,Dona Maria dever: (A)encheraleiteiraatametade,poiselatemumvolume 20 vezes maior que o volume do copo. (B) encher a leiteira toda de gua, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (C) encher a leiteira toda de gua, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (D) encher duas leiteiras de gua, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (E) encher cinco leiteiras de gua, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 10Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 40)(ENEM-2010)Paraconstruirumamanilhadeesgoto,um cilindrocom2mdedimetroe4mdealtura(deespessura desprezvel),foienvolvidohomogeneamenteporuma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando3,1comovaloraproximandode,entoopreo dessa manilha igual a: (A) R$ 230,40.(B) R$ 124,00. (C) R$ 104,16.(D) R$ 54,56. (E) R$ 49,60 41) (ENEM-2010) Uma metalrgica recebeu uma encomenda parafabricar,emgrandequantidade,umapeacomo formatodeumprismaretocombasetriangular,cujas dimenses da base so 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura 10 cm. Tal pea deve ser vazada de tal maneira que a perfurao naformadeumcilindrocircularretosejatangentessuas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfurao da pea igual a: (A) 1 cm.(B) 2 cm.(C) 3 cm. (D) 4 cm.(E) 5 cm. 42) Determine o volume do slido abaixo:

43)(UFRJ-2011)ConsidereasuperfciecilndricaSobtidaa partirdasuperposiodossegmentosABeDCdoretngulo ABCD indicado a seguir. Umaformigapercorreuocaminhomaiscurtosobrea superfcie S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q. Determine o comprimento desse caminho. Cone 1. Superfcie Cnica: a superfcie gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca passando sempre por um ponto fixo V(vrtice) e apoiando-se numa linha curva plana dada d (diretriz). V Asuperfciecnicapodeserabertaoufechadae conformeanaturezadadiretrizelapodesercircularou elptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares. 2. Cone: oslidolimitadoporumasuperfciecnicafechadaepor um plano que interpreta todas as geratrizes. 0 centro da base g geratriz h altura V 0 eixoV vrtice r raio 1062 2 0dggVr r0h

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 11Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 3. Classificao dos cones: So classificados de acordo com a inclinao de seu eixo. Cone Reto: O eixo perpendicular base. Neste caso, a medida do eixo igual a altura. Relao Mtrica: g2 = h2 + r2 Obs.Todoconeretopodeserobtidopelarotaocompleta deumtringuloretnguloemtornodeumdeseuscatetos. Por isso ele tambm chamado de cone de revoluo. Cone Oblquo O eixo oblquo base. 4. Seces: Secotransversal:obtidaseccionandooconeporum plano paralelo base.Essa seco um crculo. Seco Meridiana: obtida seccionando o cone por um plano que contm o seu eixo. Obs.: Asecomeridianadeumconecircularretoumtringulo issceles.Quandoessetringuloequiltero(g=2r),o cone chamado cone equiltero. 5. reas e volume de um cone: Planificando o cone (Fig. 1) rea lateral (Al): obtidacalculando-seareadosetorcircularderaiog, atravs de uma regra de trs simples, ou seja: reaComprimento do Arco g22g Al2r r r 0hgr 0hgVr 0Vhr r0g gVr r0g = 2rVC = 2 r Sb0rSlggg0r(Fig 1)V

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 12Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular l Ag2=r 2g 2, simplificando: Al = rg rea da base (Ab): Ab = r2 rea total (At):At = Al + Ab = rg + r2 At = r (g + r) Volume: O volume do cone igual a 1/3 do vlome do cilindro V = 31 . Ab . h V = 3h r2 Exerccios 44) A figura abaixo representa um lpis de 8 mm de dimetro apontado: Use =3 Determine o volume deste lpis. 45)(AFA-97)Arazoentreosvolumesdedoiscones eqilteros de alturas h e 2h (A) 1/2(B) 1/4(C) 1/6(D) 1/8 46)Calculeoraiodoconedafiguraabaixo,sabendoque inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio e na situao abaixo o cone encontra-se totalmente cheio. Sabe-se que a altura do cone de 6dme que a altura e o raio da base do cilindro medem respectivamente 9dm e2dm . 47)(UFRJ-01-PNE)Umrecipienteemformadeconecircular reto de altura h colocado com vrtice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio at a borda, comporta 400 ml. Determine o volume de lquido quando o nvel est em 2h. 48)(UERJ2011-2exqualif)Umslidocomaformadeum cone circular reto, constitudo de material homogneo, flutua em um lquido, conforme a ilustrao abaixo. Setodasasgeratrizesdesseslidoforemdivididasaomeio pelonveldolquido,arazoentreovolumesubmersoeo volume do slido ser igual a: (A) (B) (C) 5/6 (D)7/8 49) (UFF) Considere um cone equiltero de raio r e volume V. Seccionou-seesteconeaumadistnciahdoseuvrticepor um plano paralelo a sua base; obteve-se, assim, um novo cone de volume 2V. Expresse h em termos de r. 50)(UFRJ-01-PE)Doisconescircularesretostmbases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-sequeambostmomesmovolumeequearetaque suportaumadasgeratrizesdeumpassapelovrticedo outro. Sendoromenordentreosraiosdasbases,somaioresrx =, determine x. 8 mm12 cm 2 cm

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 13Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 51)(AFA-01)Areatotaldoslidogeradopelarotaodo polgono ABCDE em torno do eixo y, que contm o lado AE, , em m2, igual a (A) 144 (B) 150 (C) 168 (D) 170 52)(UERJ-2010-2EX)Afiguraabaixorepresentaum recipiente cnico com soluo aquosa de hipoclorito de sdio a27%.Onveldesselquidotem12cmdealtura.Afigura abaixorepresentaumrecipientecnicocomsoluoaquosa dehipocloritodesdioa27%.Onveldesselquidotem12 cm de altura. Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a soluo inicial comgua,atcompletarorecipiente,obtendo-seasoluo aquosa do hipoclorito de sdio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centmetros, equivalente a : (A) 16(B) 18(C) 20(D) 22 Pirmides 1. Superfcie Piramidal: asuperfciegeradaporumaretag(geratriz)quese deslocapassandosempreporumpontofixoV(vrtice)e apoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz). Asuperfciepiramidalpodeserabertaoufechada, respectivamente. 2. Pirmide: oslidolimitadoporumasuperfciepiramidalfechada e por um plano que intercepta todas as geratrizes. O polgono ABCD a base da pirmide. AD , CD , BC , AB . So as arestas da base da pirmide. VD , VC , VB , VAso as arestas laterais da pirmide. AVB, BVC, CVD, AVD so as faces laterais da pirmide. AdistnciahdopontoVaoplanodabaseaalturada pirmide. Quantoaopolgonodabaseapirmidetriangular (tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc. 3. Pirmide Regular: aquela cuja base um polgono regular e a projeo do vrtice sobre o plano da base coincide com o centro da base. ABCD o polgono da base, nesse caso um quadrado. O o centro da base. V o vrtice da pirmide. h VO = a altura da pirmide. m 3 CDm 6 BCm 6 ABm 2 AE==== Dados: A B D C y E AB CDVgDVA BChDVA BChO

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 14Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 4. Elementos de uma pirmide regular:

M a

Aptemadapirmide(Ap)aalturaemrelaoem relaobase,deumadesuasfaceslaterais,queso tringulos issceles. Ap =VM Aptema da base da pirmideOM= An. Raiodocrculocircunscritobase = = = = OD OC OB OA R. Arestas dabase= = = = AD CD BC AB A. Arestas laterais= = = = VD VC VB VAA 5. Tronco de Pirmide: a poro da pirmide compreendida entre a base e uma seo plana que intercepta todas as arestas laterais. Quandoaseoforparalelabase,temosumtroncode pirmide de bases paralelas. A distncia entre as bases a altura do tronco. H a altura do tronco. SendoABCDparaleloaABCDarazoentreasreas dada por: 2hdABCD reaD' C' B' A' de rea||

\|= 6. Volume da Pirmide: Todoprismatriangularpodeserdecompostoemtrs pirmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si. Seja o prisma triangular ABCVXZ. SecortarmosesseprismapelosplanosACVeCVZ,as pirmides so equivalentes, por terem bases congruentes e a mesma altura (bases e altura do prisma). As pirmidesVACZ e VCXZ tambm soequivalentes, por terem a mesma altura, distncia de V face ACXZ do prisma, ebasesequivalentes,ACZeCZX,comometadesdo paralelogramo ACXZ. PortantoastrspirmidesVABC,VCXZeVACZso equivalentes.Comoastrspirmidestmomesmovolume, cada uma delas ter um tero do volume do prisma, ou seja: V pirmide =31 V prisma 3h Abpirmide V= , onde: Ab a rea da base. h a altura. Obs:Talfrmulavlidaparaqualquerpirmide,pois semprepodemosdividirumapirmideemvriasdebases triangulares. rea Total At = Al + Ab CVDABOApRAlAnDACBODABCOVdHhZ XVCBA

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 15Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Al Somatrios das reas dos tringulos das faces laterais Ab rea do polgono da baseTetraedro Regular Quando todas as suas faces so tringulos eqilteros. V Vrtice G Baricentro da base VG Altura do tetraedro 36 ah =AM Altura da base 122332aV a AT= = EXERCCIOS PROPOSTOS 53) (uff-2005-1f) A grande pirmide de Quops, antiga construo localizada no Egito, uma pirmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirmide um tringulo issceles cuja a altura relativa base mede 179 m. A rea da base dessa pirmide, em m2, : (A) 13.272(B) 26.544(C) 39.816 (D) 53.088(E) 79.432 54) (UERJ 2002 -1 EXAME) Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mo do personagem seja igual ao do slido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirmide reta sobreposta a um paraleleppedo retngulo. Assim, o volume mdio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho , em dm3 , igual a: (A) 12(B) 13(C) 14(D) 15 55)(UFF00)Notetraedroregularrepresentadona figura, R e S so, respectivamente, os pontos mdios de NP e OM. A razo MNRS igual a: (A)3 (B) 23(C)2(D)22(E) 3 2 56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirmide regular tem base quadrada derea4.Elaseccionadaporumplanoparalelobasede modo a formar um tronco de pirmide de altura 2e de base superior de rea 1. Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirmide. 57) (UERJ-93-2 FASE) ABCD um tetraedro regular de aresta a.OpontomdiodaarestaABMeopontomdioda aresta CD N. Calcule: a)MN b) seno do ngulo NMD$. M G C B V A ..PROMNS

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 16Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vrtices nos pontos mdios das arestas laterais de uma pirmide quadrangular regular, e os outros quatro na base da pirmide, como mostra a figura abaixo. A razo entre os volumes do cubo e da pirmide : (A) 43(B) 21(C) 83 (D) 81 59) (UFRJ-2010) A pirmide ABCD tal que as faces ABC, ABD e ACD so tringulos retngulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume mximo contido em ABCD tal que um de seus vrtices seja o ponto A, como ilustra a figura ao lado. Determine a medida da aresta desse cubo em funo de a. 60) (UERJ-2001-2F) A figura acima representa uma chapa de metal com a forma de um tringulo retngulo issceles em que cm CD BC AB 2 = = = . Dobrando-a nas linhasCE BE = ,constri-se um objeto que tem a forma de uma pirmide. Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ngulo formado pela arestaAEe o plano ABC. 61) (UNICAMP 2003)Considere um cubo cuja arestamede 10cm.Oslidocujosvrticessooscentrosdasfacesdo cuboumoctaedroregular,cujasfacessotringulos eqilteros congruentes. a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. b) Calcule o volume do mesmo octaedro. ESFERAS 1. Definio: oslidogeradopelarotaocompletadeumsemi-crculo em torno de seu dimetro. Superfcieesfricaasuperfciegeradapelasemi-circunferncia 2. Seces : Toda seco plana de uma esfera um crculo. Quando o plano da seco passa pelo centro da esfera, temos um crculo mximo. R raio da esfera 0 centro da esfera 0 centro da seco d distncia do centroda esfera seco. Da figura temos: R2 = d2 + r2

R R0 rd0R

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 17Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 3. Plos: Denominamosplosdeumcrculodaesferaas extremidadesdodimetroperpendicularaoplanodessa seco. Oplodeumcrculodaesferaeqidistantedetodosos pontos da circunferncia desse crculo. P1 e P2 so os plos. A P1 eA P2 so as distncias polares. No tringulo retngulo P1AP2, temos: ) d R ( R 2 A P) d R ( R 2 A P2221+ = = 4. Considerando a superfcie esfrica de eixo e: Teremos: Meridiano (M) a seco determinada por um plano que contm o eixo e. Equador(E)asecodeterminadaporumplano perpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera. Paralelos(P)soassecesobtidasporplanos perpendicularesaoeixoe,equenopassampelocentroda esfera. 5. Zona esfrica: aporodasuperfcieesfricacompreendidaentredois planos paralelos. Oscrculosdeterminadospelosdoisplanosparalelossoas bases da zona e a distncia entre eles a altura (h). Obs.: Se um dos planos for tangente esfera, uma das bases reduzir a um ponto, teremos a zona de uma s base, que se denomina Calota Esfrica. 6.Fuso esfrico aporodasuperfcieesfricacompreendidaentreduas semi-circunferncias mximas de mesmo dimetro. Ossemi-planoseossemi-crculosformamumdiedro,cujo ngulo plano o ngulo do fuso. P1P2d2RA0P1P20PEMe0RRFuso Esfrico0hZona esfrica0hCalota Esfrica

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 18Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 7. rea e volume: Demonstra-sequeareadasuperfcieesfricaderaioR dada por: At= 4R2 O volume dado por: V = 3R34 Exerccios 62)(UFF97)Nafiguraestorepresentadostrsslidosde mesma altura h um cilindro, uma semi-esfera e um prisma cujos volumes so, respectivamente. Arelaoentre: (A) V3 < V2 < V1 (B) V2 < V3 < V1 (C) V1 < V2 < V3 (D) V3 < V1 < V2 (E) V2 < V1 < V3 63)(UERJ2001-1EXAME)Omodeloastronmico heliocntricodeKepler,denaturezageomtrica,foi construido a partir dos cinco poliedros de Plato, inscritos em esferas concntricas, conforme ilustra a figura abaixo Arazoentreamedidadaarestadocuboeamedidado dimetro da esfera a ele circunscrita, : (A) 3(B) 23(C) 33 (D) 43 64)(UFRJ-2003-PNE)Considereumretngulo,dealturaye basex,comx>y,edoissemicrculoscomcentrosnoslados do retngulo, como na figura abaixo. Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicrculos. 65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de dimetro interno 10 cm, est cheia de bolas de gude perfeitamente esfricas, de raio 1 cm. Se n o nmero de bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opes a seguir verdadeira: Opo I : n > 125 Opo II : n = 125 Opo III : n < 125 Justifique a sua resposta. 66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E1 , inscrita, e outra esfera E2circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm.Calcule a razo entre o volume de E2e o volume de E1 . 67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m3 de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemorao chegada do vero no Plo Sul. O boneco ser composto por uma cabea e um corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabea, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou por 3. Calcule, usando a aproximao considerada, os raios das duas esferas.

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 19Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 68) (UFF-1fase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola defuteboldevepassarporvriostestes.Umdelesvisa garantiraesfericidadedabola:oseudimetromedido emdezesseispontosdiferentese,ento,amdiaaritmtica dessesvalorescalculada.Parapassarnesseteste,a variaodecadaumadasdezesseismedidasdodimetro dabolacomrelaomdiadevesernomximo1,5%. Nesse teste, as variaes medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, no ultrapassaram 1%. Se o dimetro de uma bola tem aumento de 1%, ento o seu volume aumenta x %. Dessa forma, correto afirmar que

69)(UFRJ-2008-PE)UmconecircularretodealturaH circunscreveduasesferastangentes,comomostraafiguraa seguir. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume oito vezes o volume da menor. Determine H. 70) A escultura slida abaixo foi feita toda em bronze pelo escultor Z Roscof, sendo ABCD a base quadrada (da pirmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ; totalmente inscrita no crculo mximo da semi-esfera.Calcule:a) o volume de bronze utilizado. b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado em todo o slido, sabendo que 300 ml de impermeabilizante, impermeabiliza uma rea de 1 m2 (use 7 , 1 3 4 , 1 2 ; 3 = = = e ) GABARITOS 01)A=24 e V=12 02) A=1203) F=27 04) B05) B06) a) b) V=32 07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D = 2 2 2c b a + +b) At = 6a2 ;V = a3 ; D =3 a 08) D09) B10) C 11)140392,1412) D13) B 14) E15) B16) C 17) B18) D19) A 20) D21) 60 kg 22) a) 26 ab) |||

\|=155 4arccos 23)333 350cm V = 24) B25) 1/826)2 a 27) 22 min 30s28) D29) E 30) B31) D32) D 33) A34) 50g35) D

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 20Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 36) B37)38) B 39) A40) D41) B 42) 843)2 3 44) V=6,08 cm3 45) D46) r = 3dm47) 50 ml 48) D49) r h24 33= 50) 25 1+ = x 51) C52) B 53) D54) D55) D 56) 22 3= l 57) a) 22 a b) 33 58) D59) a/360)36 61) a) CD =2 5 cmb) 3500cm3 62) E 63) C64) ( )122 32y x yV= 65) opo III66)3 3 67) e 1 68) D69) h=10eH = 40 70) em aula. Questo 4) Cadaumdos12vrticesseroarrancadosdoicosaedro,por issoteremos12pirmides.Nodifcilvisualizarquecada umadessaspirmidestembasepentagonal,ouseja,o polgonoresultanteter12facespentagonais(gomos pretos),easdemaisfacesserohexagonaisumaparacada facedoantigoicosaedro,logo20faceshexagonais(gomos brancos). Da teremos: 12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas 20 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas Da o poliedro resultante ter: 9021802120 60= =+= A

Comoopoliedroqueirgerarabolater90arestaseestas sero costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7 x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B). Questo 6 a) Mltiplos de 5 B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} P(AUB) = 21= = +30153013063010 b) 60 A 2A 4F faces n Farestas n A = =)`== V = n de vrtices 32 = + = + V 2 A F VQuesto 50) Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio menor r e do cone de raio maior s. Por semelhana de tringulos temos: Como os cones tm o mesmo volume,Hr2 = hs2. Logo, Da, obtemos: Dividindo ambos os lados da equao em por s3, obtemos: Como x = r/s, podemos expressar a equao ) na forma: x3 + 2x2 1 = 0 Obtemos: 25 125 12 1 =+ = x e xComo x positivo temos: 25 1+ = x Questo 56) Primos A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 21Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Sejam A, B, C e D os vrtices da base da pirmide, A, B, C e D os respectivos vrtices da base superior do tronco de pirmide ( como na figura) e l o valor da aresta AA. Considerando-se o tringulo com vrtices em AAP, onde P a projeo ortogonal do vrtice A sobre a base da pirmide, temos: AP = 2. Como2 2 2 = = C A e AC , conclumos que: 22= AP , pelo teorema de Pitgoras : 4182= l 22 3= l Questo 61) Do enunciado temos a figura, onde os pontos A, B, C, D, E e F so os vrtices do octaedro regular: A)Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo retngulo CMD, temos: (CD)2 = (CM)2 + (MD)2 (CD)2 = 52 + 52CD =2 5 cm B)b) O volume do octaedro regular igual a( ) 5 2 53122 , ou seja, 3500cm3. Questo 64) Questo 65) Opo III, j que o volume interno do recipiente de 125 .34 cm3 e o volume de cada bola de gude 34 cm3, mas h espaos vazios. Questo 66) Arazoentreosvolumesocubodarazoentreos dimetros.A medida do dimetro de E1(d1) igual medida da aresta do cubo (1cm). A medida do dimetro de E2(d2) igual medida da hipotenusa do tringulo retngulo cujos catetos so a aresta e a diagonal da face (a), como mostra a figura ao lado. Questo 69) Sejam e Rr respectivamente os raios das esferas maior e menor. Ento podemos escrever H = 2R + 2r + h, sendo h a distncia entre o vrtice do cone e a esfera menor. Por hiptese, C E F B M 5 D A 10 5 10 5 5 cotada em cm

MDULO II PARTE 9 Geometria Espacial MATEMTICA 2011 22Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Para determinar h, consideremos os tringulos retngulos e ABCADE. Por semelhana, temos: Portanto, h=10eH = 40