09 Dispersion Asimetria Curtosis

8/17/2019 09 Dispersion Asimetria Curtosis

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Docente: Gladys Enríquez Mantilla

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA


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Las estadísticas básicas nos permiten tener una visión delcomportamiento de una serie de variables. Tenemos variasherramientas estadísticas como son la Media, la Mediana y laModa.

Pero estas medidas no son suficientes, necesitamos conocer lavariabilidad de los datos, es decir, qué tan parecidos son los datos

reales en comparación a las Medidas de Tendencia Central, paraesto contamos con las Medidas de Dispersión, que sonindicadores de variabilidad y cuya importancia reside en lanecesidad de tomar decisiones, basadas en estadísticas básicas.


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MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión permiten cuantificar lo próximos oalejados que están los datos de la muestra con respecto a un valor central.

Indican por un lado el grado de variabilidad que hay en la muestray, por otro, la representatividad de dicho punto central:

Si se obtiene un valor pequeño, significa que los valores seconcentran alrededor de ese centro (por lo que habrá poca

variabilidad y el centro representará bien a todos).

Si se obtiene un valor grande, significa que los valores noestán concentrados, sino dispersos (por lo que habrámucha variabilidad y el centro no será muy representativo).


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Generalmente se utilizan para comparar grupos, en este casoaquel grupo que presente la menor medida de dispersión será:

Las Medidas de Dispersión…

Más homogéneo.

Más uniforme.

Más parejo.Menos variable.

Menos disperso.

En ese grupo la medida de tendencia central (mediaaritmética, mediana o moda) será más representativa.

A mayor medida de dispersión mayor heterogeneidad de los datos y a

menor medida de dispersión mayor homogeneidad.


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Clasificación de las Medidas de Dispersión:


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Medidas de Dispersión Absolutas:

Cuantifican el grado de concentración o de dispersión de los

valores de la variable en torno de un promedio de la distribución.Son aquellas cuyo valor está expresado en unidades de medida dela variable y que, por lo tanto para comparar grupos la variable acomparar deberá estar expresada en las mismas unidades en todoslos grupos.

El resultado de las medidas de dispersión relativa está expresado sinunidades de medida por lo cual sirven para comparar la dispersiónde distribuciones de frecuencias en las cuales la variable a comparar está expresada en distintas unidades.

Medidas de Dispersión Relativas:

Rango.

Varianza.

Desviación Estándar.

Coeficiente de Variación.Puntuaciones Típicas.


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Rango: (Range)

El Rango o Recorrido es un estadígrafo de dispersión muyinestable, ya que depende únicamente de los valores extremos delos datos (máximo y mínimo) y no toma en cuenta los demásdatos.

máximo mínimoR = X - X

El Rango estima el campo de variación de la variable.

Su obtención es sumamente sencilla, sin embargo se considera

que no es una medida muy significativa.Se afecta mucho por observaciones extremas.

Cuando se comparan grupos, el grupo más homogéneo será elque presente menor Rango; es decir los datos están dispersos enun menor rango.


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Varianza: (Variance)

Es un valor numérico que cuantifica el grado de dispersión de losvalores de una variable respecto a su media aritmética. Es elpromedio de los cuadrados de las desviaciones de la variablerespecto a su media aritmética.

2 2

V X S M X xi

La varianza nunca es negativa.

Cuando la variable toma un único valor; es decir cuando esconstante entonces la varianza es cero.

Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están losvalores de la serie alrededor de la media. Por el contrario,mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.


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Varianza para datos no agrupados:

Si se tienen n datos correspondientes a una muestra aleatoriax1 , x2 , … xn ; entonces la varianza se calcula mediante:

i2 2i

2

X1S X nn 1 n

Donde:

n es el número de datos de la muestra.

2iX es la suma de cada uno de los datos elevado al cuadrado.

iX es la suma de todos los datos.


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Ejemplo: Varianza datos no agrupadosCalcular e interpretar la varianza de los pesos de un grupo depersonas seleccionadas al azar. Los datos son los siguientes:

56 65 68 70 72 76 78 80

n 8

iX 56 65 68 70 72 76 78 80 565

2 2 2 2 2 2 2 2 2iX 56 65 68 70 72 76 40 98 3278 0

2

25651

2S 8 60.84 61 kilo40 329 sX 7 8

En promedio los pesos del grupo de personas, se alejan conrespecto al promedio aritmético en aproximadamente 61 kilosal cuadrado.


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Varianza para datos agrupados:

Si se tienen n datos agrupados en una tabla con o sin intervalos,se utilizará la siguiente fórmula:

i i2i i

2

X f 12S X f nn 1 n

Donde:

n es la suma de las f i2i iX f es la suma de los productos de Xi elevado al

cuadrado multiplicado por f i

i iX f Es la suma de los productos de Xi multiplicado por f i


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Ejemplo: Varianza datos agrupados

Calcular e interpretar la varianza para la siguiente tabla defrecuencias que muestra la distribución de las edades de un grupode personas seleccionadas en forma aleatoria.if

EdadIi

Nº de personas

fi Xi

4 - 6 4 5

6 - 10 5 8

10 - 16 7 13

16 - 20 3 18

20 - 30 1 25

Total n = 20

232

21S 20 29.21

19

2

20

300

0

2 2 22 2 2ii 5 4 8 5 1 3203 7 1f 8 3 25 1 0X

ii 5 4 8 5 13X 7 18 3 25 1f 230

En promedio la edad de estas personasse aleja con respecto a su promedio

aritmético en aproximadamente 29 añosal cuadrado.


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Desviación Estándar

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Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y posee las mismasunidades que la media aritmética, las cuales ya no están elevadasal cuadrado como en la varianza.

La desviación típica, aporta información estadística sobre la

variabilidad de los datos en relación a su media. Nos dainformación acerca de la homogeneidad o heterogeneidad de losdatos en relación al valor medio de los mismos.

2

S S

El problema de la varianza es que sus

unidades son el cuadrado de lasunidades de los datos, y esto dificultasu interpretación. Por eso utilizamosla raíz cuadrada que viene a ser ladesviación estándar, la cual es lamedida que más se utiliza para

referirse a la variabilidad.


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Comparando desviaciones estándar

El grupo B es el más homogéneo debido a su menor desviación

estándar. El grupo más heterogéneo (más disperso, más variable) es

el grupo C porque presenta mayor desviación estándar.


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Ejemplo: Desviación Estándar

Calcular e interpretar la desviación estándar para la siguiente tablade frecuencias que muestra la distribución de las edades de ungrupo de personas seleccionadas en forma aleatoria.if

EdadIi

Nº de personas

fi Xi

4 - 6 4 5

6 - 10 5 8

10 - 16 7 13

16 - 20 3 18

20 - 30 1 25

Total n = 20

2

32

21

S 20 29.2119

2

20

3

00

0

2 2 22 2 2ii 5 4 8 5 1 3203 7 1f 8 3 25 1 0X

ii 5 4 8 5 13X 7 18 3 25 1f 230

En promedio la edad de estas personas

se aleja con respecto a su promedioaritmético en aproximadamente 5 años.

S 29.21 5.40


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Inversión B :

2

2B B

X 1487.16 X 90

X 15

S 22.86 S 4.78

Considere dos inversiones alternativas A y B, que se describen en la tabla adjunta.Obtener el rendimiento promedio y el riesgo asociado a cada activo. ¿Cuálinversión es más riesgosa?

Tasa de rendimiento (%)

Año Inversión A Inversión B

2010 15.6 8.4

2011 12.7 12.9

2012 15.3 19.6

2013 16.2 17.52014 16.5 10.3

2015 13.7 21.3

Inversión A :

2

2 A A

X 1361.12 X 90

X 15

S 1.85 S 1.36

El indicador más común del riesgo de un activo es la desviación

estándar. Mide la dispersión de los rendimientos en torno al

rendimiento promedio o esperado de un activo

Ejemplo:

Ambas inversiones presentan igual promedio, sin embargo la inversión más

riesgosa es la inversión B debido a su mayor desviación estándar.


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Coeficiente de Variación: (Coefficient of Variation)

Se trata de una cantidad sin dimensión, puesto que, al efectuar elcociente, se eliminan las unidades y nos indica el número de veces quela desviación estándar contiene a la media.

Mide la dispersión relativa de una distribución. No tiene unidades ysuele expresarse en porcentaje.

Se utiliza para comparar distribuciones con distintas variables, por

ejemplo tallas y pesos.

Se utiliza para comparar distribuciones con la misma variable peroexpresada en diferentes unidades, por ejemplo soles y dólares.

S

CV 100X

.

Si CV < 10% ⇒ la dispersión es baja.

Si CV ≤ 30%⇒ la dispersión es óptima.

Si CV > 50%⇒ la dispersión es alta. Existe un alto grado de dispersión

y por lo tanto la media aritmética es poco representativa


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Ejemplo: Coeficiente de VariaciónSe desea comparar los sueldos de los trabajadores de dosempresas A y B. Para tal efecto se tienen los siguientes datos:

Sueldos( $ )

Nº detrabajadores

Sueldos( S/. )

Nº detrabajadores Xi

380 10 600-650 7 625

410 9 650-700 9 675

450 12 700-750 14 725

480 8 750-800 6 775

500 7 800-850 4 825

Empresa A Empresa B

Ax 439.78

A

S 43.02 Bx 713.75B

S 60.43

A

43.02CV 100 9.78%

439.78 B

60.43CV 100 8.47%

713.75

Los sueldos de la empresa B son más homogéneos porque su CV es menor.


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Ejemplo: Coeficiente de Variación

ESTATURA PESO

Media 68.34 pulg. 172.55 lbs.

Desviación Estándar 3.02 pulg. 26.33 lbs.

estatura

3.02CV 100 4.42%

68.34 peso

26.33CV 100 15.26%

172.55

A pesar que la diferencia en unidades imposibilita la comparación de ladesviación estándar de 3.02 pulgadas, con la desviación estándar de 26.33libras, es posible comparar los coeficientes de variación, que carecen deunidades.

Se observa que la estatura (con CV=4.42%) tiene una variaciónconsiderablemente menor que el peso (con CV =15.26%).


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Puntuaciones típicas: (Puntuaciones Z)

Indican la distancia que separa a un sujeto que ha obtenido unapuntuación determinada con respecto a la media de su grupo,utilizando como unidad para medir esa distancia la desviaciónestándar del grupo.

Las puntuaciones típicas permiten hacer comparaciones entreunidades de distintos grupos, entre variables medidas de

distintas formas o incluso entre variables diferentes.

S

xXt

ii

Si ti es positiva la unidad estadística está ubicada por encimadel promedio.

Si ti es negativa la unidad estadística está ubicada por debajo del promedio.


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Alumna Examen1 ti1 Examen2 ti2

Katherine 0 -1.44 2 -1.18Camila 13 0.87 14 0.63Olga 13 0.87 5 -0.73Paola 9 0.16 6 -0.58Luisa 13 0.87 17 1.09Carol 11 0.52 15 0.78

Andrea 2 -1.09 11 0.18Claudia 13 0.87 15 0.78Leslie 12 0.70 19 1.39Pilar 3 -0.91 4 -0.88Carolina 0 -1.44 0 -1.48

En ambos exámenesCamila está por encima

del promedio (ti espositivo); sin embargoen el Examen 1 estárelativamente mejorubicada (ti es mayor)

Paola, en el Examen1 está por encimadel promedio (tipositivo) y en el

Examen 2 está pordebajo del promedio(ti negativo). En elExamen 1 estárelativamente mejorubicada.

Pilar, en ambosexámenes está pordebajo del promedio(ti negativo). En elExamen 2 estárelativamente mejor

ubicada (ti es mayor)

Carol tiene 11 en elExamen 1 y Andrea11 en el Examen 2;sin embargo es Carolquien está mejorubicada (ti mayor).


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Ejemplo 1:

Se tienen las notas correspondientes a dos asignaturas A y B de

un grupo de estudiantes:

A : 12 16 12 11 13 12 14 16 14 17 10 14 11 15 11

B : 12 13 12 8 12 11 9 10 11 12 11 13 10 8 12

En este caso:

A B

A B

13.2 10.93x x

S 2. S15 1.62

Si quisiéramos saber si el tercer sujeto que ha calificado con 12 enambas asignaturas ha sacado una puntuación equivalente tendríamosque estandarizar ambas calificaciones.

1 2z 0.56 z13.2 10.93

2.15 1.

12 1

62

20.66

Como se observa ambas calificaciones no son equivalentes, puesmientras con un 12 en la primera asignatura se encuentra por debajo delpromedio, en la segunda con un 12 está superando al promedio.


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Ejemplo 2:

Se tiene el número de artículos producidos por cinco trabajadores

de dos grupos diferentes:G1: 2 5 4 8 6

G2 : 1 9 8 5 2

¿Se puede concluir que los trabajadores que producen 8 artículos,han tenido el mismo rendimiento?

En este caso:

1 2

21 2

x x

S S

5

. 4

5

2 3.54

Pareciera que ambos trabajadores han tenido el mismo rendimientopuesto que han producido la misma cantidad de artículos, pero para

averiguar el rendimiento relativo al resto del grupo, deberá tenerseen cuenta la dispersión de cada grupo y medir sus puntuacionestípicas.

1 2z 1.34 z2.24 3.

8 5 5

54

80.85

Por lo tanto, el trabajador del Grupo 1 ha tenido un mejor rendimiento.


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Puntuaciones de Z y valores infrecuentes:

Siempre que un valor sea menor que la media, su puntuación z correspondiente será negativa. Si es mayor que la media su puntuaciónz será positiva.

Valores inf recuente

Valores comunes :

s : puntuaci

2 punt

ón z 2 ó puntuación z

uaci

2

ón z 2

Las puntuaciones z son medidas de posición, porque describen lalocalización de un valor (en términos de desviaciones estándar), enrelación con la media. Una puntuación z de 2 indica que un valor está ados desviaciones estándar por encima de la media, en tanto que unapuntuación z de -3 indica que un valor está a tres desviaciones estándar por debajo de la media.


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Michael Jordan de la NBA mide 78 pulgadas, en tanto que la jugadorade basquetbol de la WNBA Rebecca Lobo mide 76 pulgadas. Enefecto, Jordan es más alto por dos pulgadas, pero ¿cuál de los dos esrelativamente más alto? ¿La estatura de Jordan, entre los hombres,excede la estatura de Lobo entre las mujeres? Se sabe que loshombres tienen estaturas con una media de 69 pulgadas y con

desviación estándar de 2.8 pulgadas; las mujeres tienen estaturas conuna media de 63.6 pulgadas, con una desviación estándar de 2.5pulgadas.

x 78 69Jordan : z 3.21

2.8

x 76 63.6Lobo : z 4.96

2.5

Por lo tanto, la estatura de Jordan está a 3.21 desviaciones estándar por arriba de la media, pero la estatura de Lobo está a 4.96desviaciones estándar por arriba de la media. La estatura de Loboentre las mujeres es relativamente mayor que la estatura de Jordanentre los hombres.

Ejemplo:


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EJEMPLO

Se tienen los pesos correspondientes a cuatro grupos de personas.

n

X

X

x . kilos

S . kilos

S . kilos

CV . %

1

2

1

2 21

1

1

10

648

43014

64 8

113 73

10 66

16 46

n

X

X

x . libras

S . libras

S . libras

CV . %

2

2

2

2 22

2

2

9

1560

277628

173 3

903 5

30 1

17 34

n

X

X

x . kilos

S . kilos

S . kilos

CV . %

3

2

3

2 23

3

3

8

538

37934

67 25

250 50

15 83

23 53

n

X

X

x libras

S . libras

S . libras

CV . %

4

2

4

2 24

4

4

11

1485

201023

135

54 80

7 40

5 48


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a) ¿En cuál de los cuatro grupos el promedio aritmético es más representativo?

El promedio aritmético será más representativo en el grupo que presentela menor variabilidad.

Las unidades de medida de la variable a comparar (Peso) son diferentes(kilos – libras), entonces deberá compararse los coeficientes de variación.

CV . % CV . % CV . % CV . % 1 2 3 416 46 17 34 23 53 5 48

El promedio aritmético será más representativo en el grupo 4 porque su

CV es menor.


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b) ¿Se puede afirmar que la dispersión es óptima en el grupo 3? ¿Por qué?

Para que la dispersión sea ÓPTIMA, el coeficiente de variación debe ser

menor o igual que 30%.

3CV = 23.53% < 30% la dispersión es óptima

c) ¿Podemos afirmar que la media aritmética del grupo 4 es menos representativa

que la media del grupo 1? ¿Por qué?

Para que la media del grupo 4 sea menos representativa tendría que sermayor su coeficiente de variación (las unidades en ambos grupos sondiferentes)

CV . % CV . % 1 4

16 46 5 48

La media aritmética en el grupo 4

no es menos representativa,

porque su CV no es mayor.


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d) ¿Se puede afirmar que la dispersión es baja en el grupo 4? ¿Por qué?

Para que la dispersión sea BAJA el coeficiente de variación debe ser

menor que el 10%.

CV . %4 5 48

Entonces, sí se puede afirmar que la dispersión es baja en el grupo 4porque su coeficiente de variación es inferior al 10%.

e) ¿Se puede decir que la media aritmética es poco representativa en el grupo 3?¿Por qué?

CV . %3 23 53

Para que la media aritmética sea poco representativa, el coeficiente de

variación deberá ser mayor que el 50%.

Entonces, la media aritmética no es poco representativa porque elcoeficiente de variación no es mayor que el 50%


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f) ¿Se puede afirmar que el grupo 3 es más homogéneo que el grupo 1, en cuantoa su peso ? ¿Por qué?

La variable Peso en los grupos 3 y1 está expresada en las mismasunidades (kilos)

más homo

bastará

géne

con comparar las varianzas.

Será el grupo que tenga vario MENOR anza.

S . kilos S . kilos 2 2 2 21 3113 73 250 50

El grupo 3 NO es más homogéneo que el grupo 1, porque su varianza no esmenor. El grupo 3 es más heterogéneo; el más homogéneo es el grupo 1.


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g) ¿En cuántos kilos se alejan los pesos del grupo 3 con respecto al pesopromedio?

3S =15.83 Los pesos del grupo 3 se alejancon respecto al peso promedio enaproximadamente 16 kilos.

h) ¿En cuántas libras al cuadrado se alejan los pesos del grupo 2 conrespecto al peso promedio?

22S = 903.5

Los pesos del grupo 2 se alejancon respecto al peso promedio enaproximadamente 904 libras alcuadrado.

Nos piden el alejamiento en Kilos por lo tantodeberá calcularse la desviación estándar.

Nos piden el alejamiento en libras al cuadrado porlo tanto deberá calcularse la varianza.


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i) ¿Cuál es el porcentaje de alejamiento de los pesos del grupo 4 conrespecto al peso promedio?

4CV = 5.48%

Los pesos del grupo 4 se alejancon respecto al peso promedioen aproximadamente 5%.

j) ¿Cuál es más variable, el grupo 2 o el grupo 4? ¿Por qué?

S . libras S . libras 2 2 2 22 4903 5 54 80

El grupo 2 es más variable, porquepresenta mayor varianza.

Nos piden el alejamiento en porcentaje por lo

tanto deberá calcularse el coeficiente de variación.

Se compararon varianzas porque lasunidades de la variable a comparar son

las mismas (libras).


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MEDIDAS DE DISTRIBUCIÓN O DE FORMA

Permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los

valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidasdescriben la manera como los datos tienden a reunirse deacuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de lainformación.

Su utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la

distribución sin necesidad de generar el gráfico.


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Esta medida permite identificar si los datos se distribuyen de forma

uniforme alrededor del punto central (media aritmética). La asimetríapresenta tres formas diferentes, cada una de las cuales define de formaconcisa cómo están distribuidos los datos respecto al eje de simetría.

Asimetría o Sesgo

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Simétrica, cuando

se distribuyenaproximadamente lamisma cantidad devalores a ambos

lados de la media.

Asimétrica

positiva, cuandola mayoría de los

datos seencuentran por

encima del valor dela media aritmética.

Asimétrica

negativa, cuandola mayoría de los

datos se encuentranpor debajo del valor

de la mediaaritmética.


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35

Coeficiente de Asimetría:

Mide el grado de concentración de los datos de una distribución

alrededor de la media. Indica la deformación horizontal de unadistribución de frecuencias

x Mo As

S

Sesgada a la izquierdaLa mayoría de valores son

superiores a la media

Asimétrica Negativa Asimétrica Positiva

Sesgada a la derechaLa mayoría de valores son

inferiores a la media

Simétrica

La misma cantidad devalores a ambos lados

de la media


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36

Curtosis o Apuntamiento:

Mide el grado de elevación o de agudeza de una distribucióncomparada con la curva normal.

Mide el grado de deformación vertical de una distribución.

Normal

Más alta que la Normal

Más baja que la Normal

LEPTOCÚRTICA

PLATICÚRTICA

MESOCÚRTICA


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37

Coeficiente de Curtosis:

Indica la deformación vertical de una distribución de frecuencias.

75 25

90 10

P PK 0.263

2(P P )

Leptocúrtica Mesocúrtica Platicúrtica

K>0 K=0

K


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38

MesocúrticaIgual de apuntada que la Normal

PlaticúrticaMás aplanada que la Normal

LeptocúrticaMás apuntada que la Normal

Kurtosis…


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39

Ejemplo: Calcular e interpretar las medidas de dispersión,asimetría y curtosis para los siguientes datos correspondientes a lasnotas de un grupo de estudiantes.

12 14 10 15 12 18 9 1116 12 13 14 15 10 12 13

Solución:

Stat – Basic Stat is t ics – Display Descriptive Statistics…


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40

Interpretación:

n = 1 6; la muestra considerada consta de 16 estudiantes.

Desviación estándar = 2.391; en promedio las notas de losestudiantes se alejan con respecto al promedio aritmético en

aproximadamente 2 puntos.

Varianza = 5.717; en promedio las notas de los estudiantes se alejancon respecto al promedio aritmético en aproximadamente 6 puntos alcuadrado.

Coeficiente de variación = 18.57; en promedio las notas de los

estudiantes se alejan con respecto al promedio aritmético en un 19%aproximadamente.

Asimetría = 0.40; las notas presentan una distribución asimétricapositiva. La mayoría de estudiantes presentan notas BAJAS.

Curtosis = -0.03; las notas presentan una distribución platicúrtica.


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Ejemplo: Calcular e interpretar las medidas de dispersión,asimetría y curtosis para los siguientes datos correspondientes a lasnotas de un grupo de estudiantes según género.

F F M F M M F M16 12 13 14 15 10 12 13

Solución:

Stat – Basic Stat is t ics – Display Descriptive Statistics…


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Interpretación:

n: el grupo consta de 4 mujeres y 4 varones.

Desviación estándar: el grupo de varones es más variable porquepresenta mayor desviación estándar.

Varianza: el grupo de mujeres es más homogéneo porque su varianzaes menor.

Coeficiente de Variación: el promedio aritmético es más representativoen el grupo de mujeres porque su coeficiente de variación es menor.

Asimetría: la mayoría de mujeres presentan notas bajas (asimetríapositiva) mientras que la mayoría de varones presentan notas altas(asimetría negativa).

Curtosis: las notas de las mujeres presentan una distribuciónplaticúrtica en tanto que las notas de los varones presentan una

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