08._Oscilatorna_kola_2

8/17/2019 08._Oscilatorna_kola_2

1/17

1

REZONANTNO KOLO SA NESAVRŠENIMKALEMOM

R L

C

+

u(t)

i(t)

Kratak spoj na ulazu kola:

2

2

2

( ) ( )( ) 0 / .

( ) ( ) ( )0

10

di t q t L Ri t dif

dt C

d i t di t i t R

L dt LC dt

Rs s

L LC

+ + =

+ + =

+ + =

Otpornost kola R mala – diskriminanta negativna.

2

2

2

1,2 2

10

4

1

2 4 s s

R

LC L

R Rs j j

L LC L

− <

= − ± − = −σ ± ω

Rješenje jednačine:

0 0( ) cos( )s t

s i t I e t

−σ= ω + ψ pseudoperiodična promjena

Konstante integracije: 0I i 0ψ

2 2

02

11

44s

R R C

LC LLω = − = ω −


2/17

2

i (t)

t

0s

t

I e σ−

0

s t I e σ

2

s

π

ω

Pretpostavka – uslovi kratkog spajanja: 00;i q Q = =

0

0

( ) ( ) ( )( ) 0t

Q di t q t di t L Ri t dt C dt LC

=+ + = ⇒ = −

Konstante integracije:

00 0; 2

s

Q I

LC

π= ψ =

ω

00( ) cos( ) sin2

s s t t s s

s

Q i t e t I e t LC

−σ −σπ= ω + = − ωω

Smanjenje struje – smanjenje energije u kolu zbog disipacije na otpornikuotpornosti R.

Pseudoperiodični oblik je sve dok je diskriminanta negativna, odnosno dok je zadovoljen uslov:


3/17

3

2 L

RC

< ; 2c L

RC

= naziva se kritična otpornost.

Za c R R= , slijedi: 1 2 2s R

s s L

= = −σ = − , odnosno: 1 2( ) ( )s t

i t e I tI −σ= +

Prethodni početni uslov:0

1 20;Q

I I LC

= = −

0

( ) s

t Q

i t te LC

−σ

= −

i (t)

t

c R R>

1 1 2 2;s s s s = σ = σ

1 21 2( )

s s t t

i t I e I e σ σ= +

1 20

1 2

( ) ( )( )

s s t t

s s

Q i t e e

LC

σ σ= − −σ − σ

1. Ako se priključi pobuda pseudoperiodičnog oblika

0 0( ) cos( )t u t U e t −σ= ω + θ

oscilacije u kolu (odziv) biće takođe pseudoperiodičnog oblika:

0 0( ) cos( )t i t I e t −σ= ω + ψ

s j = −σ ± ω - kompleksna frekvencija pseudoperiodične veličine (napona,struje).


4/17

4

Kada je ova frekvencija jednaka frekvenciji sopstvenog pseudoperiodičnogrežima, u kolu nastupa idealna rezonancija.

Pobuda napon – struja beskonačno velika

Pobuda struja – napon jednak nuli.

2. Ako se priključi prostoperiodična pobuda (bilo napon ili struja), prinudne oscilacije biće prostoperiodične iste kružne učestanosti:

2 21 1

( ); ( )Z R j L Z R L

C C = + ω − = + ω −ω ω

1L

C arctg R

ω −ωϕ =

Kada je frekvencija generatora jednaka frekvenciji sopstvenih pseudooscilacija kola čiji su krajevi u kratkom spoju

2

2

1

4s

R

LC Lω = ω = −

tada u kolu nastaje prava rezonancija.

Prava rezonancija:

Ukupna reaktansa kola kola nije jednaka nuli:

2 2

2

1

2 4

s

s

LC RX

C LR

C

ω −= = −

ω−


5/17

5

Modul impedanse je jednak:

2

2 2

2

16 3

24

LR

R C Z R X L

RC

−= + =

−

dok je argument impedanse:

22 4

X Rarctg arctg

R L RC

ϕ = = −

−

Admitansa i struja pri stalnom naponu U nisu beskonačne vrijednosti.

Fazna rezonancija:

Frekvencija za koju je reaktansa jednaka nuli:

01 1

0 fr

X LC LC

= ω − = ⇒ ω = = ωω

→ sopstvena frekvencija prostog rezonantnog kola (zanemaren R)

Podešavanjem frekvencije pobude u kolu da reaktansa bude jednaka nuli – ukolu nastupa fazna rezonancija:

0 cos 1ϕ = ⇒ ϕ =

Fazna rezonancija – rezonancija jediničnog faktora snage.

minZ Z Z R= = = ; max1

Y Y Y R

= = = ;


6/17

6

maxU

I I I R

= = = (ako je U = const);

minU U U RI = = = (ako je I = const)

00

1;L C U j LI U j I

C = ω = −

ω → istog su iznosa (efektivnih

vrijednosti), ali su suprotnog smjera.

RU U RI = =

fazna osa

C U

LU

RU U =

I

0ψ

Krive rezonancije:

2 21( )U

Z Z R LI C

= = = + ω −ω ;

1L

C arctg R

ω −ωϕ =

2 2

1

1( )

I Y Y

U R L

C

= = =

+ ω −ω

;

1L

C arctg R

ω −ων = −


7/17

7

RU RI = ; LU LI = ω ;

1C

U I C

=ω

→ uz I = const.

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( 1)

( 1)

1

( 1)

R

L

C

R C U U

R C LC

LC U U U const

R C LC

U U

R C LC

⎫ω ⎪=⎪ω + ω − ⎪⎪ω

= =⎬⎪ω + ω −⎪⎪=

⎪ω + ω − ⎭

Krive rezonancije mogu biti u funkciji ω, L i C. Jedna veličina je promjenljiva, ostale dvije su fiksne.

Z

0ω

1R

2R

1 2R R>

=

o

− o

0ω

1R

2R

1 2R R>

=

=

I

0ω

1R

2R

1 2R R>

=

U

0ω

1ω

2ω

LU C U

RU


8/17

8

Učestanost za koju napon na kondenzatoru postiže maksimalnu vrijednost:

22

1 01 1

1 22

c

R R

LC L R

⎛ ⎞⎛ ⎞ω = − = ω − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Učestanost za koju napon na kalemu postiže maksimalnu vrijednost:

( )

02

22

1

1

1 22c

LC RC R

R

ωω = =

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

Maksimalna efektivna vrijednost napona na kondenzatoru je:

,max2 2

2 12

c C

c

R U U U

C RC RR R

L L R

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Q-faktor kalema

Kalem – nesavršeni induktivitet

Električni rad uložen u kalem ne pretvara se sav u elektromagnetnu energiju.Jedan dio ide na toplotne gubitke prolaskom struje kroz vodiče. Pored toga,

postoje i drugu gubici:

-

gubici skin efekta – neravnomjerna raspodjela po presjeku;- promjena struje usljed međusobnog uticaja pojedinačnih zavojaka;- gubici u dielektriku između zavojaka;- Fukoove struje – indukovanje u okolne metalne dijelove.

Efekti vezani za frekvenciju:

R(ω) naročito za visoke frekvencije


9/17

9

L

LQ

R

ω=

Za visoke frekvencije induktivna otpornost se približno mijenja kao i aktivnaotpornost, tako da je QL neovisno od frekvencije:

2max 2

2 2

1( 2 )

122 2 2 ( )M L

R

L I W LI LQ T

f RW RI T RI T

ω= π = π = π = = =

Frekvencija fazne rezonancije:

00

0

1 1L

L LQ

R R C R C

ω= = =

ω

Propusni opseg: skup frekvencija za koje je efektivna vrijednost struje veća

ili jednaka odmax

2

I

.

Frekvencije za koje je uložena aktivna snaga u kolo veća ili jednaka polovinimaksimalne aktivne snage koja se ulaže u kolo pri faznoj rezonanciji:

2max

max1

2 2

RI P P ≥ =

Granice propusnog opsega:

max

2 2

1( )

2 1 2( )

I U U I R L

C RR L

C

= ⇒ = ⇒ = ± ω −ω

+ ω −ω

Rješenje gornje jednačine po ω je:2

2

1

2 4

R R

L LC Lω = ± ± +


10/17

10

Kako je

2

2

1

24

R R

LC LL + > , to je:

2

1,2 2

1

2 4

R R

L LC Lω = ± + +

Širina propusnog opsega:

2 1 RLΔω = ω − ω =

Δω manjeg iznosa – oštrina krive rezonancije veća, odnosno, rezonantnokolo selektivnije.

Povećanjem R – povećava se Δω – smanjuje se selektivnost kola.

Vrijednost za QL0 izražava prenapon na kondenzatoru pri faznoj rezonanciji:

0 00

1C L L

U U U U L Q U

C R R= = = ω =

ω

0C L

L

U U Q

U U = = → koliko su naponi veći na L i C od priključenog napona.

UNIVERZALNE KRIVE REZONANCIJE

Interesantno područ je – režim kola u rezonanciji i okolini.

Disonanca kola definiše se kao:

0

0 0

1ω − ω ω

δ = = −ω ω


11/17

11

Uvođenje disonance:

–

premještanje koordinatnog početka u tačku rezonantne frekvencije; – promjena razmjere – dobijaju se bezdimenzionalne svedene veličine(odnos neke veličine prema njenoj vrijednosti za rezonantnufrekvenciju).

Krive linije koje predstavljaju varijacije svedenih veličina u funkcijidisonance nazivaju se univerzalne krive rezonancije.

Primjer: univerzalne krive rezonancije efektivne vrijednosti struje

(admitanse) za U = const:

0 0

0

0 0

1( ) 1

( 2)11 1 1

1 1L L

LZ R j L R j

C R

R jQ R jQ

⎡ ⎤⎛ ⎞ω ωω= + ω − = + − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ δ δ += + δ + − = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥

δ + δ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 22

0 2

( 2)1

( 1)L

Z Z R Q δ δ += = +

δ +

U I I

Z = = ; max

U I

R= ; →

2 2max 20 2

1

( 2)1

( 1)L

I R

I Z Q

= =

δ δ ++δ +


12/17

12

δ− +

max

I

I

0 1

LQ =

Za pojave u okolini rezonancije 1δ


13/17

13

Propusni opseg:

2 2max0

1 12 1 4

L

I I

Q

= =+ δ

slijedi:

1,20

1

2L

Q δ = ±

Smjenom 0LQ Ω = δ , dobija se:

2max

1

1 4

I

I =

+ Ω opća kriva rezonancije.


14/17

14

REZONANTNO KOLO SA NESAVRŠENIMKONDENZATOROM

Prava rezonancija

G

L

C

+

u(t)

i(t)

Prava rezonancija – frekvencijageneratora jednaka frekvencijisopstvenog režima kola sakrajevima u kratkom spoju.

Režim pseudoperiodičan – sopstveni režim:

2

2

2

( )( ) 0

( )( ) ( )

( ) ( ) 1( ) 0

10

C

C C

C C C

di t L u t

dt

du t i t C Gu t

dt

d u t du t G u t

C dt LC dt

G s s

C LC

+ =

= +

+ + =

+ + =

2

1,2 2

1

2 4 s s

G G s j j

C LC C = − ± − = −σ ± ω

Rješenje diferencijalne jednačine drugog reda:


15/17

15

0 0( ) cos( )s t

s u t U e t

−σ= ω + θ pseudoperiodična promjena

0U i 0θ su konstante integracije koje se određuju iz početnih uslova.

2 C

G L

≥ - sopstveni režim u kolu je aperiodičan.

Pobuda pseudoperiodična iste kompleksne frekvencije kao sopstveni režim

s s s j = −σ ± ω , idealna rezonancija.

Pobuda prostoperiodična:

2

2

1

4s

G

LC C ω = ω = −

2

2 2 2 2

1 1( )

( ) ( )

LC j LG G C Z j L j L

G j C G j C G C G C

− ω + ω ω= ω + = = + ω −

+ ω + ω + ω + ω

22

2 2 2

4( )4( ) ( )3

s

C G G

C LX L

C C G C G L L

−ω

= ω − = ω = ω =+ ω +

2 2 2 2 2

2 2(1 )

( )

LC L G Z Z G C

− ω + ω= =+ ω

→ modul ukupne impedanse kola nije

minimalan za s ω = ω .

Struja nije maksimalna i nisu struja i napon u fazi.


16/17

16

Fazna rezonancija:

2 20

( )

C X LG C

ω= ω − =+ ω

Pozitivan korijen

2

,2 2

1s

G

LC C ω = ω = − ; ,1 0s ω = ω = ( ,1s ω odgovara

jednosmjernoj struji).

Za razliku od kola sa nesavršenim kalemom, za ,2s ω modul impedanse neće

imati minimalnu vrijednost, pa ni efektivna vrijednost struje u kolu neće bitimaksimalna.

Amplitudska rezonancija

Frekvencija za koju je modul impedanse minimalan određena je kao:

0dZ

d =

ω → promjenom frekvencije generatora

2 2 2 2 2

2 2

(1 )

( )

LC L G Z Z

G C

− ω + ω= =

+ ω

Nakon naznačenog diferenciranja dobija se:

2 2

,3 2 2

1 12

s

G G

LC LC C C

⎛ ⎞⎜ ⎟ω = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Kolo sa nesavršenim kalemom- frekvencije fazne i amplitudske rezonancije se poklapaju (struja

maksimalna pri faznoj rezonanciji).

Kolo sa nesavršenim kondenzatorom- frekvencije prave, fazne i amplitudske rezonancije se razlikuju.


17/17

17

QC faktor kondenzatora

2max 2

2 2

1 ( 2 )122 2 2 ( )C

C

G

C U W C CU C Q T

G f G W GU T GU T

ω ω= = π = π = π = = =

Uobičajeno je da se faktor dobrote kondenzatora QC zadaje za učestanost

0ω :

00

0

1 1C

C C Q G G L G L

ω= = =ω

Krive rezonancije – slično postupku kao i za kolo sa nesavršenim kalemom.

Documents

08._Oscilatorna_kola_2