Glava 5

FURIJEOV RED

Prilikom analize i obrade signala veoma je pogodno predstaviti složeni signal kao linearnu kombinaciju prostijih signala. Osim što ovakva predstava daje bolji uvid u prirodu signala, slijedeći princip linearnosti, obradu složenog signala možemo pojednostaviti putem obrade jednostavnih signala.

Ideja razlaganja signala na prostoperiodične komponente eksponencijalnog (kosinusnog, sinusnog) oblika potiče s kraja 18. vijeka, kada je francuski matematičar, fizičar i istoričar Furije (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830), prilikom proučavanja oscilacija u fizici, tvrdio da se periodične kontinualne funkcije mogu razložiti na prostoperiodične komponente. On je svoja istraživanja pokušao da publikuje 1807. godine, ali tadašnja matematička javnost ih nije prihvatila. Rezultate istraživanja je Furije objavio 1822. godine u svojoj knjizi o prostiranju toplote (Théorie analytique de la chaleur), ali je njegova teorija priznata tek nakon formalnih dokaza koje je proveo matematičar Dirihle (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 1829. godine. Nakon toga, Furijeova teorija je našla veoma široku primjenu u mnogim oblastima nauke: teoriji brojeva, kombinatorici, numeričkoj analizi, statistici, teoriji vjerovatnoće, kriptografiji, optici, akustici, okeanografiji, a posebno u analizi i obradi signala.

GLAVA 5

108

5.1 Razvoj kontinualnih periodičnih signala u Furijeov red

Pretpostavimo da možemo izvršiti dekompoziciju periodičnog kontinualnog signala ( )x t na jednostavne kompleksne eksponencijalne signale

0 ,jk tk kC e CΩ ∈ :

( ) 00

0

2, ,jk tk

k

x t C e kT

π∞Ω

=−∞

= Ω = ∈ . (5.1)

Pri tome je 0T osnovni period signala, a varijabla Ω ima prirodu učestanosti.

Ovakav zapis signala nazivamo razvojem signala u Furijeov red (Fourier Series – FS). Signali 0jk t

kC eΩ se nazivaju harmonijske komponente signala ili harmonici, a

razvoj signala u Furijeov red harmonijska analiza. Osnovni ili prvi harmonici su komponente 0

1j tC e± Ω

± Furijeovog reda, dok je 0C jednosmjerna komponenta i predstavlja srednju vrijednost signala.

Da bi jednakost (5.1) bila zadovoljena, neophodno je odrediti kompleksne koeficijente kC , koje nazivamo spektralni koeficijenti ili koeficijenti Furijeovog reda.

Nakon množenja jednakosti (5.1) sa 0 ,jl te l− Ω ∈ i integracije na jednom periodu dobijamo:

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0

0

.

t T t Tjl t jl t jk t

kkt t

t Tj k l t

kk t

x t e dt e C e dt

C e dt

+ + ∞− Ω − Ω Ω

=−∞

+∞− Ω

=−∞

= =

=

(5.2 )

Budući da je za k l≠

( )( )

( )

0 00 0 00

0 00

0t Tt T j k l t

j k l t

t t

ee dt

j k l

++ − Ω− Ω = =

− Ω , (5.3)

a za k l=

( )0 0 0 0

0 00

00 0

01t T t T

t Tj k l t

tt t

e dt dt t T+ +

+− Ω = ⋅ = = , (5.4)

Furijeov red

109

desna strana jednakosti (5.2) jednaka je nuli za svako k , osim za k l= , pa dobijamo:

( ) ( )0 0 0 0

00

0 0

0

t T t Tj k l tjl t

k lkt t

x t e dt C e dt C T+ +∞

− Ω− Ω

=−∞

= = , (5.5)

odakle slijedi:

( )0 0

0

00

1 ,t T

jk tk

t

C x t e dt kT

+− Ω= ∈ . (5.6)

Pošto je vrijednost integrala (5.6) jednaka na svakom periodu, radi lakšeg pisanja usvojićemo sljedeću notaciju pri računanju koeficijenata Furijeovog reda:

( ) 0

00

1 ,jk tk

T

C x t e dt kT

− Ω= ∈ . (5.7)

Sljedeće dvije jednakosti:

( ) 00

0

2,jk tk

k

x t C eT

π∞Ω

=−∞

= Ω = , (5.8)

( ) 0

00

1 ,jk tk

T

C x t e dt kT

− Ω= ∈ , (5.9)

predstavljaju Furijeov transformacioni par za kontinualne periodične signale. Prva jednakost transformacionog para, koja predstavlja periodičan kontinualan signal kao sumu elementarnih kompleksnih eksponencijalnih funkcija, je formula za sintezu signala, dok je druga jednakost, koja nam govori o vrijednostima koeficijenata Furijeovog reda kojima se množe elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije prilikom sinteze signala, formula za analizu signala.

Skup od beskonačno mnogo spektralnih koeficijenata

{ }arg ,kj Ck kC C e k= ∈ koje nose informaciju o elementarnim funkcijama

oblika 0jk tkC e

Ω na koje se razlaže kontinualan periodični signal ( )x t , naziva se spektar signala. Spektar periodičnih signala je linijski (diskretan) jer je definisan samo u diskretnim, ekvidistantnim, tačkama 0kΩ = Ω frekvencijske ose.

GLLAVA

11

(a) (b

a sigpr

(pfupr

rajed

A 5

10

)

b)

Sli

M

arggnalrika

Apomunkcreko

Pozlikdna

ka

Mod

gumla. azan

mpmakucijao lin

osmkujuake

5.1

dul k

menNa

n je

plituu u

a čijnea

matru u

P

koe

nt kačine na

udnu vrjimarne

rajuko

koe

Prim

efic

koen ga Sli

ni sprem sue ko

ući onačefic

mjer

cijen

eficigrafici

pekmenuumirom

izrčnocijen

r (a

nata

ijenfičk5.1

ktaru) pran

mbin

raz om nte

a) am

a F

natake .

r nopoj

njemnaci

za bro

mp

Furij

a Fpre

osi edi

m seije t

anaojuFur

plitu

jeov

Furiedst

infnače dtrig

alizu izorije

udn

vog

ijeotav

formčnihobi

gon

u soloveovo

nog

g re

ovogve

mach elija pom

ignvanog

i (b

eda

g rspe

cijulempos

metr

nalanih

r

b) f

a Credaektr

u o mensmarijsk

a (5sin

reda

fazn

kC n

a θra

montarnatrakih

.9),ngula,

nog

naz

kθ =per

odunihani fun

, jaslari

je

g sp

ziva

arg=riod

ulimh ko

signkc

snoitetaer

pekt

amo

gCdičn

ma, ompgnalcija

o je a (p

na

tra

o am

kC nnih

a fplekl. Kpri

dapreka

per

mpl

nazko

faznksn

Konikaz

a pokidvr

riod

litud

zivaont

ni snih ncepzan

ostonih

rijed

dičn

dni

amotinu

spekekspt s je

oje h tadno

nog

spek

o faualn

ktarsposintna

sigčak

ost

g sig

kta

azninih

r onentezeSlic

gnalka),

i

gna

r sig

i spsig

fazncije sigci 5

li koa i

inte

ala.

igna

pektgna

zamjalngna

5.2.

oji imaegra

ala,

tar ala

ma nih ala

se aju ala

Furijeov red

111

( ) 0

00

1 ,jk tk

T

C x t e dt kT

− Ω= ∈ ne utiče konačan broj vrijednosti u izolovanim

tačkama.

Zbog kontinualnosti kompleksne eksponencijalne funkcije 0jk te Ω vrijedi da

je 0 0 0 0 0 0jk t jk t jk te e e− +Ω Ω Ω= = , pa dobijamo:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 00 0 02 2jk t jk t jk t

k k kk k k

x t x t C e C e C e x t− +

∞ ∞ ∞Ω Ω Ω− +

=−∞ =−∞ =−∞

+ = + = = . (5.10)

Rekonstrukcijom signala na osnovu koeficijenata Furijeovog reda u tačkama diskontinuiteta 0t rekonstruiše se srednja vrijednost:

( ) ( ) ( )0 0 012

x t x t x t− + = + . (5.11)

Dakle, originalni i rekonstruisani signal se mogu razlikovati u konačnom broju diskretnih tačaka.

Da bi razvoj signala u Furijeov red bio moguć, potrebno je da integral i suma, u jednakostima za analizu i sintezu signala, konvergiraju. Dovoljne uslove za egzistenciju razvoja signala u Furijeov red formulisao je njemački matematičar Dirihle, te se zato i nazivaju Dirihleovi uslovi. Prema tim uslovima, za egzistenciju Furijeovog reda neophodno je da signal:

1. bude apsolutno integrabilan na bilo kom otvorenom intervalu

trajanja jedne periode, tj. da je ( )0 0

0

t T

t

x t dt+

< ∞ ;

2. ima konačan broj minimuma i maksimuma na bilo kom otvorenom intervalu trajanja jedne periode 0 0 0t t t T< < + ;

3. ima konačan broj diskontinuiteta (prekida prvog reda) na bilo kom otvorenom intervalu trajanja jedne periode 0 0 0t t t T< < + .

GLLAVA

11

(a)

(b

(c)

(d

(e)

(f)

(g)

Sli

A 5

12

) je

b) si

) co

d) si

) co

) si

g) co

ika

Ko

dno

(in

(os

(in

(os

(n 3

(os

5.2

omp

osm

0tΩ

0tΩ

2Ω

2Ω

03Ω

3Ω

2 P

pon

mjer

)t

)t

)0tΩ

)0tΩ

)0t

)0tΩ

Prik(a) (na

nen

rna

kazjed

asta

te:

a

z sigdnoavak

gnaosmk na

ala pmjern

a sl

prekna ljed

ko kom

dećo

linempoj s

earnonetran

ne kentnici

komta i i);

mb(b-

inag) p

acijepro

e prosto

rostoper

topriod

peridičn

odine

ičnikom

ih fmp

funkone

kcient

ja: te

S

likaa 5..2 (na(l)

astaa+

avakb+

k):+c+

(h)d+

a; +e; (

(i) (m)

a+b) a+

b; (+b+

(j) a+c+

a+b+d+

b+c+e+

c; (k+f

k) ai (n

a+bn) a

b+ca+b

c+db+c

d; c+dd+ee+f

Fu

f+g.

rijeo

1

(

.

ov

113

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

red

GLLAVA

11

ko

in

D

jed

na

Dsvinprje Prdi

A 5

14

S

Uona

Uteg

Pririh

dno

a Sl

Pririh

vakitervrethko

remsko

Slik

slovačni

C

prgrab

rimhleo

og

lici

rimhleoi peval hodnst

ma onti

ka 5

v ai:

kC =

rakbiln

mjer ov

per

5.3

mjer ov uerio

jeddnogtant

toinui

5.3

apso

1T

=

ksi nost

siuslo

riod

3.

siuslo

od sdnag. Utna

omeitet

Sim

olut

00

1

TT

se ti, a

gnaov

da,

ignaov,signak U si d

e, ta.

inumini

tne

(x t

vrla ne

ala jer

je

ala pr

nalapolsvakdva

unu

soidimu

e in

)t e−

lo re isp

kor im

(x

korikaa polovikompututa

da uma

nteg

jk− Ω

rijepun

oji ma

( )t =

oji azanodij

vini m ota m

ar

proa i

grab

0tdtΩ

etkonjav

je bes

si=

je n jejeljpe

od manjed

omjma

biln

t ≤

o javaju

apsko

2n π

ape nen

eriotih nja dno

jenlaksi

nost

0

1T

avlju je

soluonač

0T

t

π

psola Sna

oda beu o

og

ljivemu

ti ga

0T

x

ajudan

utnčno0 ,0T

lutnSlici

besig

eskoodn

pe

e uuma

ara

( )x t

u sin ili

no o m

0 t<

no i 5.skognaonanosuerio

česa un

ntu

) je−

gnai ob

intmno

t T≤

int.4. onaala, ačnou nda

stannut

uje

0jk tΩ

ali ba p

egrogo

0 ;T

tegrPo

ačnoa

o mna v

si

nostar j

da

t dt

kojpreo

rabim

(x t

rabsmo msva

mnovrijeign

ti saedn

su

t =

ji iosta

ilaninim

)t =

ilanatra

mnoaki ogoednal

a bnog

svi

0

1

TT

ispuala

n, amu

(x=

n, aajućogo

nao innost

im

eskg pe

i čl

0T

x

unjaDi

ali ma

(t +

ali ći t intred

ntert u p

ma

konerio

lano

( )t

avarihl

ne a i m

nT+

netaj terv

dni rvalprebe

ačnoda

ovi

dt

aju leov

zama

)0 ,T

e zsignvaladv

la vethoesko

no ma.

Fu

< ∞

uslva

adoaksim

n∈

adonal a, tava pvrijeodnona

mn

urije

∞ .

lov usl

volmu

∈

ovovid

akoputednnomačn

nogo

eov

apova

ljavuma

, p

oljavdimo daa k

nostm inno

o

vog

(

psoa.

va da un

prik

va mo a jekraćt signter

mn

g red

(5.1

olutn

drunut

kaza

treda

e prći ognarvalnog

da

2)

ne

ugi tar

an

eći je

rvi od ala lu. go

5

Svsianre

vr

Iz

5.2

vi ignanalieala

rije

z je

Slik

preale.izi an,

edi d

edna

ka

Fu

etho. Ipkojza

da j

ako

5.4

uri

odnpak,ja skoe

je:

osti

S

ije

no , u slijeefic

(5.

Sign

ov

izvpra

edi cijen

.14)

nal

v re

vedeaksu o

nte

) i (

sa b

ed

eni si seovoFu

kC

C

C−

(5.1

bes

d re

izre nom urije

k =

*kC =

k− =

15)

kon

ea

razinajč

poeov

0

1T

0

1T

0

1T

=

jasn

nač

ln

i včešćoglavog

0T

x

0T

x

0T

x

no

čno

ih

rijeće ravljured

( )t

( )x t

( )x t

slij

dis

si

ede radiu uda:

jke−

jke Ω

) jke

edi

sko

gn

kai sauves

0k tdΩ

0t dΩ

0k tdΩ

da

ontin

nal

ako a resti

,dt

,dt k

,dt

a je:

nui

la

zaealntak

k∈

k∈

k∈

itet

a renimkvu

∈

,

∈

a u

ealn sigpr

,

.

nut

ne, gnaretp

tar

takalimpost

jed

ko ma, tavk

dno

i zpa ku.

g p

za kćemAk

perio

kommoko

Fu

oda

mplo st

je

rijeo

1

a.

leksogasign

(5.1

(5.1

(5.1

ov

115

sne a u nal

13)

14)

15)

red

GLAVA 5

116

*k kC C− = . (5.16)

Budući da je:

*k kC C= , (5.17)

*arg argk kC C= − , (5.18)

zaključujemo da je amplitudni spektar realnih signala parna, a fazni spektar neparna funkcija:

k kC C− = , (5.19)

arg argk kC C− = − . (5.20)

Uvedimo oznaku argk kCθ = . Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra, realni dijelovi koeficijenata Furijeovog reda realnih signala:

{ }Re cosk k kC C θ= (5.21)

su parni, dok su imaginarni dijelovi koeficijenata Furijeovog reda realnih signala neparni:

{ }Im sink k kC C θ= . (5.22)

Na sličan način parnost i neparnost signala u vremenskom domenu utiče na koeficijente Furijeovog reda realnih signala. Pokazaćemo sada da su koeficijenti Furijeovog reda parnih realnih signala realni, dok su koeficijenti Furijeovog reda neparnih realnih signala čisto imaginarni.

Svaki signal može da se razloži na njegov parni ( ){ }x t i neparni ( ){ }x t

dio:

( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t= + . (5.23)

Znajući da je:

( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t− = − , (5.24)

parni i neparni dijelovi signala se mogu odrediti na osnovu sljedećih izraza:

Furijeov red

117

( ){ } ( ) ( )2

x t x tx t

+ −=

, (5.25)

( ){ } ( ) ( )2

x t x tx t

− −=

. (5.26)

Posmatrajmo sada koeficijente Furijeovog reda parnog i neparnog dijela signala:

( ){ } ( ){ } ( ) ( )0

0 00

1 cos sink kr ki

T

C x t x t k t j k t dt C jCT

= + Ω − Ω = + . (5.27)

Koeficijenti Furijeovog reda parnog dijela signala:

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )

0 0

0 0

0

0

2 2

0 00 0

2 2

2

00

2

1 1cos sin

1 cos

T T

T T

T

T

x t k t dt j x t k t dtT T

x t k t dtT

− −

−

Ω − Ω =

= Ω

(5.28)

su realni, jer je integral neparne funkcije ( ){ } ( )0sinx t k tΩ na jednom periodu

jednak nuli, dok su koeficijenti Furijeovog reda neparnog dijela signala čisto imaginarni:

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )

0 0

0 0

0

0

2 2

0 00 0

2 2

2

00

2

1 1cos sin

1 sin ,

T T

T T

T

T

x t k t dt j x t k t dtT T

j x t k t dtT

− −

−

Ω − Ω =

= − Ω

(5.29)

zbog toga što je integral neparne funkcije ( ){ } ( )0cosx t k tΩ na jednom

periodu jednak nuli. Stoga vrijedi da je:

GLAVA 5

118

( ){ } ( )0

2

00 0

2 cos

T

krC x t k t dtT

= Ω , (5.30)

( ){ } ( )0

2

00 0

2 sin

T

kiC j x t k t dtT

= − Ω , (5.31)

što znači da parni dio signala generiše realni dio Furijeovog reda, dok neparni dio signala generiše imaginarni dio Furijeovog reda.

5.3 Trigonometrijski oblik Furijeovog reda

Realne kontinualne periodične signale možemo, osim preko kompleksnog, predstaviti i preko trigonometrijskog oblika Furijeovog reda. Uz oznaku

kjk kC C e θ= , koristeći parnost amplitudnog (5.19) i neparnost faznog spektra

(5.20), dobijamo:

( )

( ) ( )

( )

0 0 0

0 0

0 0

1

01

01 1

01

0 01

2 cos .

k k

jk t jk t jk tk k k

k k k

jk t jk tk k

k k

j k t j k tk

k

k kk

x t C e C e C C e

C C e C e

C C e e

C C k t

θ θ

θ

∞ − ∞Ω Ω Ω

=−∞ =−∞ =

∞ ∞Ω − Ω

−= =

∞Ω + − Ω +

=

∞

=

= = + + =

= + +

= + + =

= + Ω +

(5.32)

Konačan trigonometrijski oblik Furijeovog reda je:

( ) ( )0 0 01

cos sink kk

x t a a k t b k t∞

=

= + Ω + Ω , (5.33)

gdje su koeficijenti u razvoju signala dati sa:

Furijeov red

119

0 0 ,

2 cos ,

2 sin .k k k

k k k

a C

a C

b C

θθ

==

= −

(5.34)

5.4 Parsevalova teorema za kontinualne periodične signale

Za proizvoljan kompleksan signal, trenutnu snagu definišemo sa ( ) ( ) ( ) ( )* 2

xp t x t x t x t= = . Srednja snaga periodičnog signala je jednaka

integralu trenutne snage na jednom periodu: ( )00

1x x

T

P p t dtT

= . Periodični

signali imaju beskonačnu energiju, ali konačnu srednju snagu:

( )0

2

0

1x

T

P x t dtT

= . (5.35)

Pri razvoju signala u Furijeov red spektralni koeficijenti nose potpunu informaciju o signalu, jer je na osnovu njih moguće tačno rekonstruisati signal, osim eventualno u konačno mnogo izolovanih tačaka. Znajući to, za očekivati je da srednju snagu signala možemo izračunati na osnovu njegovih spektralnih koeficijenata.

Polazeći od izraza za sintezu signala:

( ) 0jk tk

k

x t C e∞

Ω

=−∞

= (5.36)

i njegovog konjugovano kompleksnog oblika:

( ) 0* *k

jk t

k

x t C e∞

− Ω

=−∞

= (5.37)

slijedi:

GLAVA 5

120

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

0 0 0

0

0

2 * *

0 0 0

2* *

0

1 1 1

1 .

k

k k

jk tx

kT T T

jk tk k

k k kT

P x t dt x t x t dt x t C e dtT T T

C x t e dt C C CT

∞− Ω

=−∞

∞ ∞ ∞− Ω

=−∞ =−∞ =−∞

= = = =

= = =

(5.38)

Konačno imamo:

( )0

2 2

0

1x k

kT

P x t dt CT

∞

=−∞

= = . (5.39)

Poslednja jednakost, koja se naziva Parsevalova teorema za periodične kontinualne signale, govori o održanju snage pri prelasku iz vremenskog u transformacioni (frekvencijski) domen, tako da srednju snagu signala možemo, osim u vremenskom domenu, računati sumirajući kvadrate koeficijenata amplitudnog spektra. Na osnovu Parsevalove teoreme, srednja snaga složenoperiodičnog signala je jednaka sumi snaga pojedinačnih harmonika.

Posmatrajmo prostoperiodični eksponencijalni signal ( ) 0jm tmx t C e Ω= .

Jednostavnim poređenjem sa (5.1) zaključujemo da svi koeficijenti kC Furijeovog reda, osim za k m= , moraju biti jednaki nuli. U spektru signala se pojavljuje samo jedna komponenta na učestanosti 0mΩ . Srednja snaga signala

je jednaka snazi te harmonijske komponente, 2mP C= .

Za realni prostoperiodični signal:

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 0

0 0

02 cos2

1 ,2

m mj m t j m t

m m m

jm t jm tm m

e ex t C m t C

C e C e

θ θ

θΩ + − Ω +

Ω − Ω

+= Ω + = =

= +

(5.40)

u spektru signala se pojavljuju dvije komponente na učestanostima 0m± Ω ,

vrijednosti 2mC , gdje smo koristili oznaku mj

m mC C e θ= . Srednja snaga ovog

signala je jednaka:

2 2 21 12 2m m mP C C C= + = . (5.41)

o

nZfu

P

Rj

K

D

blik

azivZa runk

Prim

O

Rješe

P

Koe

Dist

ka

va realkcija

mjer

Odr

enje:

Pore

efici

trib

sign

speklnea. P

r 5.

redi

:

eđe

ijen

buci

nal

ktra sig

Prim

1:

iti i

enje

nti F

ija

a. S

alnagna

mjer

na

em

2π

Fur

sna

Sku

a guale r gu

crta

sa o

0Fπ

rijeo

Sl

age

up

ustinvri

usti

ati

opš

1=

ovo

lika

po

fre

na sijedine

spe

štim

00π

og r

a 5.5

o s

ekve

snagdi

spe

ekta

m ob

π

reda

5 P

spek

enc

ge, g

kC−

ekt

ar s

blik

0F

a su

Prim

ktra

cijsk

gust2

k =tra s

sign

kom

0F =

u da

mje

alni

kih

tina

C=sna

nala

m c

50H

ati

er s

im

ko

a spe2

kC

age

a (x

(cos

Hz

sa:

spek

ko

omp

ektr, šsign

( )t =

(2π

ktra

omp

pon

ra sštonal

co=

0F tπ

0T =

a sn

pon

nen

snagzn

a d

(os

)t ,

5=

nag

nen

nti

ge ilnačidat j

100

odr

10H

ge si

tam

{Cli ki daje n

0 tπ

red

z=

ign

ma

}2kC

kratka je

na S

) .

dim

20=

ala.

zav

}, k

ko e sSlici

o p

0ms

.

visi

k∈

spespeki 5.

peri

.

i od

ektaktar5.

iod

d v

se

ar snr s

sig

vrem

u

nagenag

gnal

Fu

men

lite

e sigge

la:

rijeo

1

nsk

erat

gnapar

(5.4

ov

121

kog

turi

ala. rna

42)

red

GLAVA 5

122

( ) 0

00

1 ,jk tk

T

C x t e dt k ZT

− Ω= ∈ , (5.43)

te je:

( )

( ) ( ) ( )

10ms100

10ms10ms

10ms

50Hz cos 100

50Hz cos 100 cos 100 sin 100 .

jk tkC t e dt

t k t j k t dt

ππ

π π π

−

−

−

= =

= −

(5.44)

Imaginarni dio podintegralne funkcije je neparna funkcija vremena, te je integral tog dijela na jednom periodu jednak nuli. Zbog toga je:

( ) ( )10ms

10ms

50Hz cos 100 cos 100kC t k t dtπ π−

= ⋅ . (5.45)

Ako se posmatra grafički prikaz proizvoda dvije kosinusoide učestanosti 0Ω i

0kΩ , (na Slici 5.6 je ilustracija za 4k = ), lako je uočiti da je površina ispod tog proizvoda na jednom periodu jednaka nuli, te je prethodni integral jednak nuli za svako k , osim za 1k = ± :

( ) ( )10ms 10ms

21

10ms 10ms

1 cos 2 10050Hz cos 100 50Hz

21 150Hz 20ms ,2 2

tC t dt dt

ππ±

− −

+ ⋅= = =

= ⋅ ⋅ =

(5.46)

jer je i integral kosinusoide učestanosti 02Ω na jednom periodu jednak nuli.

Dakle,

1 , 120, 1

k

kC

k

= ±= ≠ ±

. (5.47)

Amplitudni spektar datog prostoperiodičnog signala sa Slike 5.7(a) prikazan je na Slici 5.7(b). Signal je paran i realan, pa su njegovi koeficijenti Furijeovog reda realni, a amplitudni spektar paran. Fazni spektar je jednak nuli.

Sl

lika

a 5.6 Prouč(c)

oizvčest) pr

vodtanoroiz

d haostizvo

armi Ωd c

mon

0Ω ; (

cos

nijsk(b)

( 0Ω

kihpro

)0 ct

koosto

cos

ompope

(4Ω

ponerio

0tΩ

nenodič

) .

ti: (čni

(a) psign

pronal

ostouč

opečest

erioano

odičostični si 4Ω

sign

0Ω

Fu

nal i

rijeo

1

ov

123

(a)

(b)

(c)

red

GLLAVA

12

(a) (b

sig

po

uč

nu

A 5

24

)

b)

D

gna

omo

čest

uli,

Sli

Do

ala

oću

tano

osi

ika

ovo

(x

u Fu

ost

im z

5.7

og

( )t =

urij

Ω

za

7 (

rje

co=

jeov

0Ω =

k =

(a) P

ešen

(os

vog

2π=

1= ±

Pro

nja

100

g re

5π ⋅

1, k

osto

sm

0 tπ

eda

ra0s

kada

ope

mo

) =

(x

ads

,

a im

riod

mo2je

( )t =

te

maju

dič

ogli2 50π ⋅

k=

=

da

u vr

ni s

i d0

2

t +

C∞

=−∞

a su

rije

sign

doći

2

je−

kC e

u s

edno

nal

i je2 50π ⋅

0jke Ω

svi

ost

i (b

edn0t

0t .

ko

t 12

b) n

nost

sa

Tak

efic

.

njeg

tavn

a iz

ko

cijen

gov

nije

zraz

zak

nti

am

e, d

zom

klju

Fu

mpli

dire

m

učuj

urije

itud

ektn

za

jem

eov

dni

nim

sin

mo d

vog

spe

m p

nte

da j

g re

ekt

pore

zu

je o

eda

ar.

eđe

sig

osn

jed

enje

gna

novn

dna

em

ala

na

aki

P

Rj

a Ωksi

Prim

O

Rješe

O

spΩ =adaigna

mjer

Odr

enje:

Ovaj

pekkΩ

a imala

r 5.2

redi

:

j slo

ktra0Ω .

majdat

Sl

2:

iti i

ože

alneSviju t je

lika

na

eno

e ki kovrina

a 5.

crta

oper

komoefiijed Sli

8

ati

riod

mpoicije

dnoici 5

(a)

spe

dičn

onenentist 5.8.

Slo

ekta

ni s

ntei Fu0,5

. Fa

ože

ar s

sign

e siurij5 .azn

nop

sign

nal

igneovAm

ni sp

per

nala

je p

nala vogmplpek

riod

a (x

peri

sug relitu

ktar

dičn

( )t =

iod

u dda

udnije j

ni si

co=

dičan

defsu i sjedn

ign

osΩ

n s

finisjedpeknak

al i

0tΩ

a o

sandnakktark nu

(b)

c+

osno

ne ki nr duli.

) sp

os 2

ovn

za nulidato

pek

02Ω

nim

dii osog

ktar

0t +

m pe

iskrsim

slo

tog

co+

erio

retnza

ožen

g si

s5Ω

odo

ne k =

nop

igna

0tΩ

m

uče= ±peri

ala.

Fu

.

0T =

esta1,±iod

rijeo

1

2π=Ω

ano2,± ±

dičn

ov

125

0

πΩ

,

osti 5± ,

nog

(a)

(b)

red

GLLAVA

12

Pr

im

Rj

za

Za

A 5

26

rim

Ompu

ješen

K

a k

a k

mjer

Odreulsa

nje:

Koe

0≠

C

0k =

5.3

edita pri

efic

0 im

kC =

=

0 d

3:

ti iika

cijen

maju

0

2

A

T

A

T

=

=

dob

i nzan

nti F

u o

0

e

j

AT

T

−

−

ijam

C

nacrne n

S

Fur

C

oblik

0

sin

jk

jk

k

− Ω

Ω

mo

0C =

rtatina S

Slik

rijeo

kC =

k:

0

0

0

n

Tt

k

k

−Ω

ΩΩ

sre

0

1T

=

i kSlic

ka 5

ovo

0

1T

=

0

T

T

T

T

−

=

Ω

edn

0T

x

koei 5.

.9

og r

0T

x

0

A

T

T

=

=

nju v

( )x t

fici.9.

Po

red

( )x t

0

2

jke

A

T

vrij

) je−

ijen

ovo

da:

) je−

0

0

s

k T

j

T

Ω

edn

0jkΩ

nte

orka

0jk tΩ

sinc

T e

jk

−Ω

nos

tdt

Fu

a pr

tdt =

0

c

jke

k

−

Ω

Ω

st si

0k=

urije

rav

1T

=

0

0

T

T

Ω

Ω

ign

T=

eov

voug

0

1 T

TT −

2

2

=

=

ala:

0

1 T

T −

vog

gao

T

Ae

0

2

2

AT

AT

T

:

T

T

Ad

g re

onih

jke− Ω

0

si

T e

T

T

dt =

eda

h im

0tdΩ

inc

jke

j

k

Ω

2AT

=

a p

mpu

dt

0

2

2

T

j k

k π

Ω −

0

AT

T

ovo

ulsa

0

0

e

k

T

Tπ

−−Ω

.

ork

a.

0

0

0

.

jk

T

T

T

− Ω

ke p

0T

=

pra

=

avouuga

(

(

(

aon

(5.4

(5.4

(5.5

nih

48)

49)

50)

BmT

T

u

in

re

Budumož

0

T

T

čes

nače

eda

S

ući žem

rac

stan

e sp

a na

Slik

damo i

cion

nost

pek

a ko

ka 5

a jeih je

nala

tim

ktar

onti

5.10

e sedn

an

ma:

r ne

inu

0 Ki

signnos

br

ema

aln

Koeimp

nal tav

roj,

a nu

oj o

eficpuls

pavno

n

ule,

osi

cijensa s

ranpri

ule

kΩ

, a

Ω

nti sa S

n, nikaz

u

0TΩ

ako

, nu

FuSlik

njegzati

u sp

n=

o bi

ule

urijee 5

govi gr

pek

nπ

i se

te a

eov.9.

vi krafič

ktru

k

e na

anv

vog

koečki,

u s

0kΩ

acrt

velo

red

fici, ka

sign

0 =

tala

ope

da p

ijenao n

nala

n

T

π

a an

e bi

pov

nti na S

a s

π,

nvel

bil

vork

FurSlic

e p

lop

le z

ke p

rijeci 5

poj

a k

a Ω

prav

eovo.10

avl

koef

Ω =

vou

og . Po

ljuju

ficijn

T

π

uga

redod

u n

jenπ

.

aoni

da usl

na

ata

ih

su lovo

dis

Fu

Fu

reom

skr

urije

rijeo

1

ealnm da

etn

(5.5

eov

ov

127

ni i a je

nim

51)

vog

red

GLLAVA

12

Pr

nj

Am

Rj

O

K

do

A 5

28

rim

P

ego

mp

ješen

O

sno

Koef

ok j

mjer

Pron

ovo

plitu

nje:

Odn

ovn

ficij

je:

5.4

nać

om

uda

os

na u

jent

4:

ći sr

sp

im

pol

učes

ti F

kC

red

pekt

mpu

lovi

stan

Furi

2=

nju

tru

lsa

Sl

ine

nos

ijeo

2A

u sn

. P

je

lika

šir

st si

ovog

0

sTT

nagu

Peri

A =

a 5.

rine

igna

g re

sinc

u si

iod

1= .

11

e im

ala

eda

c kΩ

igna

d si

P

mpu

0

T

T

je:

Ω

a za

0TΩ

0C

ala

ign

Povo

ulsa

1=

0Ω =

a k

2T =

0 =

sa

nala

ork

i p

110

.

21 4

π=

0≠

2A

2A

Slik

je

ka p

peri

0

T

T

4π =

0 su

0

sTT

0

TAT

ke 5

e T

prav

oda

1=

8π=

:

sinc

15

=

5.1

0T =

vou

a si

110

.

π .

c 2k

15

.

1 sa14

=

ugao

gna

2 T

Tπ

adr

, a

onih

ala

0

T

T=

ržan

a š

h im

je:

15

=

nu u

širin

mp

sin

u d

na

ulsa

c5kπ

dijel

im

a.

5π ,

lu d

mpu

do p

ulsa

prv

2

ve n

2T =

(

(

(

(

nule120

=

(5.5

(5.5

(5.5

(5.5

e u 10

.

52)

53)

54)

55)

P

N

S

pkFp

Prva

Na S

U

red

5P

Prvihom

Furirilik

a nu

Slic

Uku

dnja

0

C=

=

≈

Primh p

mpojeokom

S

ula

ci 5.

upn

a sn

20

15

0,18

C +

mjetpet nenvog

m

Slik

u s

.12

a sr

P

naga

(2

2

8.

+

+

timko

nte g reko

ka 5

pek

pri

red

P =

a sa

( 21

2

C

mo doef

i eda

omp

5.12

ktru

ikaz

dnja

0

1T

=

adrž

2

15

C+

da jficijrek

a, dpres

2 K

u si

kΩ

zan

a sn

0T

x

žan

22

2

s

C

e pena

kondobisije

Koe

igna

0Ω =

ni su

naga

(x t

na u

sinc

C+

pribata struili b

e s

efic

ala

T

π=

u ko

a sig

) 2d

u ha

23

2c

C

π

+

ližnFu

uisabismsign

cijen

nas

π

oef

gna

dt =

arm

24

5

C

π

+

no urijeali monala

nti

stup

2kT

ficij

ala j

0

1T

=

mon

)24

s

=

+

90%eovsign

o pra,

Fu

pa z

0

2T

π

ent

je je

0

T

T−

nicim

sinc

=

% ovognal riblgdj

rije

za:

T

π=

ti F

edn

(x

ma

2c

od ug re

saižanje

eovo

T

π

Furij

nak

) 2t

do

25π

ukuedaamon ose

og

k

jeov

ka:

dt

prv

+

upna. Ao nobli, u

red

2T=

vog

4=

ve

sin+

ne sAkona oik sum

da s

0

2T

T=

g re

140

140

4−

nul

2nc

sredo bosnsign

mjes

sign

5=

eda

21 d

le u

35π

dnjebismnovnalato

nala

.

da

dt =

u sp

5π +

e snmo vu pa. O

ko

a sa

tog

0,2

pekt

si+

nagza

prvOvaom

Sli

g sig

2 .

tru

2inc

ge sianemvih a či

mple

ike

gna

sig

2 4

ignmape

injeetno

5.1

ala.

gnal

45π

nala rili t k

enicog

1.

la je

≈

sadsv

koefca s

sig

Fu

e:

≈

držve ficijse kgna

rijeo

1

(5.5

(5.5

(5.5

anoostjenkoriala

ov

129

56)

57)

58)

o u tale ataisti

u

red

GLAVA 5

130

vremenskom ili transformacionom domenu, memoriše i prenosi samo dio koeficijenata iz transformacionog domena koji nose najviše informacija o signalu.

5.5 Generalisani Furijeov red

Razvoj signala u Furijeov red predstavlja samo jedan od mogućih oblika predstavljanja signala preko elementarnih funkcija, pri čemu su te elementarne funkcije oblika ( ) 0 ,jk t

k t e kϕ Ω= ∈ . Osim preko kompleksnih eksponencijalnih funkcija različitih učestanosti, pokazaćemo da je razvoj signala moguć i preko drugih skupova ortogonalnih funkcija.

Posmatrajmo skup funkcija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 0 1, , , , , ,k kt t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − . (5.59)

Ako su funkcije iz datog skupa, koje mogu biti i kompleksne, definisane na intervalu 1 2t t t≤ ≤ i takve da na tom intervalu postoji integral umnoška

( ) ( )*i jt tϕ ϕ bilo koje dvije funkcije iz tog skupa, kažemo da je dati skup

funkcija ortogonalan na intervalu 1 2t t t≤ ≤ ako vrijedi:

( ) ( )2

1

* 0,,

t

i j

t

i jt t dt

const i jϕ ϕ

≠= =

. (5.60)

Ako uz to vrijedi da je 1const = , tako da je:

( ) ( )2

1

* 0,1,

t

i j

t

i jt t dt

i jϕ ϕ

≠= =

, (5.61)

kažemo da je skup funkcija ortonormalan na intervalu 1 2t t t≤ ≤ .

Na primjer, prebrojiv skup kompleksnih eksponencijalnih funkcija:

{ }0 0 0 0, , ,1, , ,jk t j t j t jk te e e e− Ω − Ω Ω Ω , (5.62)

Furijeov red

131

na koje se vrši razvoj signala preko Furijeovog reda, je ortogonalan na intervalu

00

20 t Tπ≤ ≤ =

Ω i svakom drugom intervalu veličine osnovnog perioda 0T .

Za skup funkcija kažemo da je kompletan ako ne egzistira niti jedna funkcija ( )tψ van tog skupa za koju vrijedi da je ortogonalna na sve funkcije iz datog

skupa:

( ) ( ) ( )2

1

* 0, 0t

i i

t

t t dt tψ ϕ ϕ ψ= ∀ = . (5.63)

Na primjer, skup funkcija:

( ) ( )1, 1 , 1,2... ,

0,i

T Ti t i i N N

t N Nza druge vrijednosti t

ϕ − < < = ∈=

, (5.64)

je ortogonalan na intervalu 0 t T≤ ≤ , ali nije kompletan jer egzistira funkcija:

( )

11, 02

11,2

0,

Tt

NT T

t tN NT

t TN

ψ

≤ ≤= − ≤ ≤ ≤ ≤

, (5.65)

koja je ortogonalna na datom intervalu na sve funkcije iz datog skupa.

Razmotrimo sada mogućnost razvoja signala preko funkcija iz prebrojivog skupa ortogonalnih funkcija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 0 1, , , , , ,k kt t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − . (5.66)

Pretpostavimo da signal možemo predstaviti težinskom sumom ovih funkcija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 1 1k k k kx t c t c t c t c t c tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − −= + + + + + + + + (5.67)

Da bi to bilo moguće, potrebno je pronaći način za određivanje koeficijenata ,kc k∈ u navedenoj težinskoj sumi. S tim ciljem, pomnožimo

GLAVA 5

132

prethodnu jednakost sa funkcijom ( )*k tϕ i pronađimo integral na intervalu

1 2t t t≤ ≤ , na kom su funkcije iz navedenog skupa ortogonalne:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2 2 2

1 1 1

*

* * *1 1 1 1

t

k

t

t t t

k k k k k k k k k

t t t

x t t dt

c t t dt c t t dt c t t dt

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − + +

=

= + + + +

(5.68)

Zbog ortogonalnosti funkcija, svi integrali s desne strane jednakosti (5.68),

osim ( ) ( )2

1

*t

k k

t

t t dtϕ ϕ , su jednaki nuli, pa se vrijednosti koeficijenata u razvoju

(5.67) mogu odrediti na sljedeći način:

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2

1

*

*

,

t

k

tk t

k k

t

x t t dt

c k

t t dt

ϕ

ϕ ϕ= ∈

. (5.69)

Razvoj signala preko ortogonalnih funkcija (5.67) nazivamo generalisani Furijeov red, a koeficijente tog razvoja (5.69) koeficijentima generalisanog Furijeovog reda. Specijalan slučaj ovog razvoja predstavlja razvoj preko kompleksnih eksponencijalnih funkcija ( ) 0 ,jk t

k t e kϕ Ω= ∈ , koje su

ortogonalne na intervalu 00

20 t Tπ≤ ≤ =

Ω. Koeficijenti kc su tada jednaki

koeficijentima Furijeovog reda:

( ) 0

00

1 ,jk tk k

T

c C x t e dt kT

− Ω= = ∈ , (5.70)

jer je:

( ) ( ) 0 0

0 0 0

*01jk t jk t

k k

T T T

t t dt e e dt dt Tϕ ϕ Ω − Ω= = ⋅ = , (5.71)

a razvoj signala preko ortogonalnih funkcija (5.67) postaje razvoj signala u Furijeov red:

Furijeov red

133

( ) 0 ,jk tk

k

x t C e k∞

Ω

=−∞

= ∈ . (5.72)

Svaka elementarna funkcija u Furijeovom redu je periodična sa osnovnim periodom 0T , pa prema tome i signal koji se razvija u Furijeov red kao zbir ovih elementarnih funkcija mora biti periodičan sa istim osnovnim periodom.

5.6 Prekinuti razvoj signala u Furijeov red

Ako se posmatra prekinuti razvoj signala u Furijeov red, uzimajući konačan broj članova Furijeovog reda u izrazu za sintezu signala (5.8):

( ) 0

Njk t

N kk N

x t C e Ω

=−

= , (5.73)

umjesto originalnog signala ( )x t , dobićemo aproksimaciju signala. Na Slici 5.13 prikazana je rekonstrukcija povorke pravougaonih impulsa na osnovu nekoliko prvih članova Furijeovog reda sa Slike 5.10. Na sličan način se definiše i prekinuti razvoj signala u generalisani Furijeov red:

( ) ( )N

N k kk N

x t c tϕ=−

= . (5.74)

Povećavajući broj članova Furijeovog reda, rekonstruisani signal postaje sve sličniji originalnom signalu, ali u rekonstruisanom signalu uvijek ostaju karakteristične oscilacije i premašenja čije se amplitude ne smanjuju, već se samo povećava njihova učestanost. Ova pojava nazvana je Gibsov fenomen i o njoj će biti više riječi u Glavi 6. Iako se razlika vrijednosti originalnog i rekonstruisanog signala ne smanjuje u svakom trenutku vremena zbog pojave Gibsovog fenomena, pokazaćemo da se sa povećanjem broja članova Furijeovog rada smanjuje srednjekvadratna greška definisana sa:

( ) ( )0

2

N N

T

J x t x t dt= − . (5.75)

GLLAVA

13

(a) (b (c) (d

Sli

A 5

34

)

b)

)

d)

ika 5.113 Apu

proFu

oksirije

imaeov

acijared

a pod: (a

ovoa) N

orkN =

e p1= ;

rav (b)

vou) N

ugaoN =

onih3 ;

h im(c)

mpuN

ulsa5=a pr5 i

reki(d)

kinuNutim

2=m ra25 .

azvooje

m

Furijeov red

135

Kada se broj članova razvoja u Furijeov red neograničeno povećava, srednjekvadratna greška teži ka nuli. Jednako vrijedi za razvoj preko bilo kog skupa ortogonalnih funkcija.

Dokaz:

Posmatrajmo aproksimaciju signala datu konačnom težinskom sumom ortogonalnih funkcija:

( ) ( )N

N k kk N

x t a tϕ=−

= . (5.76)

Definišimo mjeru pogreške koju činimo pri ovakvoj aproksimaciji signala kao srednjekvadratno odstupanje aproksimacije (5.76) od originalnog signala na intervalu ortogonalnosti funkcija:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2

1

2

1

2

2 1

2

2 1

*

2 1

1

1

1 .

t

N

t

t N

i ii Nt

t N N

i i i ii N i Nt

J x t x t dtt t

x t a t dtt t

x t a t x t a t dtt t

ϕ

ϕ ϕ

=−

=− =−

= − =−

= − =−

= − ⋅ − −

(5.77)

Minimalna greška se dobija za takve vrijednosti koeficijenata ka u razvoju

signala pri kojima je 0k

J

a

∂ =∂

. Pri traženju izvoda iskoristićemo činjenicu da je

izvod konjugovano kompleksne funkcije jednak konjugovano kompleksnom izvodu te funkcije. Pored toga, prilikom određivanja izvoda sume ostaje samo izvod onog člana koji sadrži koeficijent po kom se računa izvod. Na taj način za izvod srednjekvadratne greške dobijamo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2 2

1 1

*

2 1

**

2 1

1

1 .

t N N

i i i ii N i Nk kt

t tN N

k i i i i ki N i Nt t

Jx t a t x t a t dt

a t t a

t x t a t dt x t a t t dtt t

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

=− =−

=− =−

∂ ∂ = − ⋅ − = ∂ − ∂

= − ⋅ − + − ⋅ −

(5.78)

GLAVA 5

136

Integrali u prethodnom izrazu su međusobno konjugovano kompleksni, te je dovoljno jedan od njih izjednačiti s nulom kako bi izvod srednjekvadratne greške bio jednak nuli. Na taj način dolazimo do uslova pri kom se dobija najmanja srednjekvadratna greška:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1

* *t t

k k k k

t t

x t t dt a t t dtϕ ϕ ϕ= . (5.79)

Ovaj uslov se, nakon operacije konjugovanja, može napisati u ekvivalentnom obliku:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1

* * *t t

k k k k

t t

x t t dt a t t dtϕ ϕ ϕ= . (5.80)

Dakle, najmanja srednjekvadratna greška pri aproksimaciji signala se dobija ako su koeficijenti u težinskoj sumi jednaki koeficijentima generalisanog Furijeovog reda:

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2

1

*

*

t

k

tk kt

k k

t

x t t dt

a c

t t dt

ϕ

ϕ ϕ= =

. (5.81)

U slučaju ovako odabranih koeficijenata pri aproksimaciji signala dobija se minimalna vrijednost srednjekvadratne greške, odnosno, greška koja se dobija pri aproksimaciji signala prekinutim generalisanim Furijeovim redom:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2 2

1 1

* *

2 1 2 1

* * * *

2 1 2 1

1 1

1 1 .

t tN

N k kk Nt t

t tN N

k k k k k kk N k Nt t

J x t x t dt c t x t dtt t t t

c x t t dt c c t t dtt t t t

ϕ

ϕ ϕ ϕ

=−

=− =−

= − −− −

− +− −

(5.82)

Pri tome je korišćena osobina ortogonalnosti funkcija. Ovaj izraz se može pojednostaviti uvrštavanjem uslova pri kome nastupa minimum:

Furijeov red

137

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2 2

1 1

2 * *

2 1 2 1

22* *

2 1 2 1

1 1

1 1 ,

t tN

N k k k kk Nt t

t tN N

k k k k k kk N k Nt t

J x t dt c c t t dtt t t t

c c t t dt c t dtt t t t

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

=−

=− =−

= − −− −

− +− −

(5.83)

što se svodi na:

( ) ( )2 2

1 1

2 22

2 1

1 t tN

N k kk Nt t

J x t dt c t dtt t

ϕ=−

= −

− . (5.84)

Budući da su elementi sume uvijek pozitivni, greška aproksimacije signala preko ortogonalnih funkcija NJ se smanjuje pri povećanju broja članova reda. Kada broj članova neograničeno raste, tj. kada N→∞ , srednjekvadratna greška aproksimacije teži ka nuli i tada vrijedi:

( ) ( )2 2

1 1

2 220t t

N k kkt t

J x t dt c t dtϕ∞

=−∞

= = . (5.85)

Za ( ) 0jk tk t eϕ Ω= integral ( )

2

1

2t

k

t

t dtϕ je na osnovnom periodu 0T jednak 0T , te

je poslednji izraz, zapravo, Parsevalova teorema ze periodične kontinualne signale:

( )0

2 2

0

1x k

kT

P x t dt CT

∞

=−∞

= = . (5.86)

Ovo razmatranje je u skladu sa ranijim primjerima kroz koje smo vidjeli da je najveći dio snage signala sadržan u prvih nekoliko harmonika Furijeovog reda i da se snaga signala, koja se računa preko Parsevalove teoreme, povećava i približava snazi originalnog signala dodavanjem članova iz spektra snage na višim učestanostima.

Napomenimo još jednom da ovaj vid konvergencije u normi pri aproksimaciji signala, koji nam govori o tome da se srednja snaga aproksimiranog signala povećava pri povećanju broja članova reda i približava srednjoj snazi originalnog signala, ne znači da aproksimirani signal u svakom

GLAVA 5

138

trenutku vremena teži originalnom signalu, te ovu vrstu konvergencije ne treba miješati sa tačkastom konvergencijom:

( ) ( )limN

k kN

k N

c t f tϕ→∞ =−

= . (5.87)

Prekinuti razvoj signala na ortogonalne funkcije ima veliku praktičnu primjenu u kompresiji signala i postao je dio JPEG, MP3 i MPEG standarda za kompresiju slike, audio i video signala.