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07_Elasticidade de Laminados Multidirecionais

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Materiais Compósitos, Composite material

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  • Elasticidade de Laminados Multidirecionais

  • O comportamento geral de um laminado multidirecional determinado pelas propriedades e sequncia de empilhamento das camadas individuais. A teoria clssica de laminao prediz o comportamento do laminado no quadro de as seguintes hipteses e restries: 1. Cada lamina do laminado quase - homognea e ortotropica. 2. O laminado fino, com seus dimenses laterais muito maiores que a espessura, e

    carregado no seu plano s, i. e., o laminado e suas camadas (exceto para suas bordas) estou em estado de tenso plana (z = xz = yz = 0).

    3. Todos os deslocamentos so pequenos comparados com a espessura do laminado (|u|, |v|, |w|

  • Relaes Deformao-Deslocamento

    Fig. 7.1 mostra uma seo do laminado que perpendicular ao eixo y antes e depois de deformao. O plano x-y equidistante das superfcies superior e inferior do laminado e chamado de plano de meio ou plano de referencia. Os deslocamentos do plano de referencia u0 e v0 em direes x e y e o deslocamento fora de plano w so funes de x e y s.

    As rotaes dos eixos x e y so

  • As componentes do deslocamento em plano do ponto B com coordenada zb so

    e de modo geral

    Para deslocamentos pequenos

  • As componentes no plano de referencia so

    As curvaturas so

  • Podemos relacionar as deformaes em qualquer ponto do laminado s deformaes do plano de referencia e s curvaturas como segue

  • Relaes Deformao-Deslocamento de uma Lamina dentro de um Laminado

    Consideramos uma lamina k dentro de um laminado multidirecional com plano de meio a uma distancia do plano de referencia do laminado. As relaes tenso-deformao para esta camada com referencia aos eixos do material so

    kz

  • Depois de transformao para coordenadas do laminado

    Usando eq. (7.8)

    Enquanto as deformaes variam linearmente atravs da espessura, as tenses no.

    Em breve

  • Resultantes de Fora e de Momento

    Porque a tenso descontinua de uma camada a outra, mais pratico lidar com o efeito completo dessas tenses sobre o laminado.

    coordenada de um ponto na seo transversal

    espessura da camada

    , foras normais por unidade de comprimento

    fora de cisalhamento por unidade de comprimento

    , momentos de flexo p

    k k

    x y

    k

    s

    k k

    x y

    z

    t

    N N

    N

    M M

    or unidade de comprimento

    momento de toro por unidade de comprimentoksM

  • Em caso de um laminado com camadas mltiplas

  • Onde zk e zk-1 so coordenadas z das superfcies superior e inferior da camada k.

  • Relaes Carga-Deformao Generais: Rigidezes de Laminado

    Substituindo eq. (7.11) em eq. (7.14) e (7.15), obtemos

    As deformaes do plano de referencia e as curvaturas no dependem de z e so as mesmas para todas as camadas.

  • onde

    Com i,j = x, y, s.

  • Em forma completa, as relaes carga-deformao so

    Podemos combinar numa expresso geral

  • Em breve

    As matrizes acima so simtricas

  • As relaes acima so expressas em termos de 3 matrizes de rigidez de laminado [A], [B] e [D], quais so funes de geometria, propriedades de material, e sequencia de empilhamento das camadas individuais, como definido em eq. (7.20). Elas so os parmetros mdios do laminado multidirecional com a seguinte significncia: Aij so rigidezes em plano, ou mdulos de laminado em plano, relacionando cargas em plano a deformaes em plano Bij so rigidezes de acoplamento, ou mdulos de acoplamento em plano/flexo do laminado, relacionando cargas em plano com curvaturas e momentos com deformaes em plano. Assim, se Bij 0, foras em plano produzem deformaes de flexo e toro alem de deformaes em plano; momentos produzem deformao de extenso e de cisalhamento da superfcie de meio alem de deformao de flexo e de toro. Dij so rigidezes em flexo e toro relacionando momentos as curvaturas.

  • Inverso de Relaes Carga-Deformao: Flexibilidades de Laminado

    Visto que laminados multidirecionais tem descontinuidades de tenso de uma camada a outra, prefervel trabalhar com deformaes. Podemos inverter eq. (7.23)

    ou em breve

  • Aqui, as matrizes [a], [b] e [d] so as flexibilidades de laminado

    onde

    De eq. (7.24) e (7.26), consequentemente

  • Laminados Simtricos

    Um laminado simtrico quando para cada camada de um lado ao plano de referencia (superfcie de meio) existe uma camada correspondente a uma distancia igual do plano de referencia no outro lado com espessura, orientao e propriedades idnticas. O laminado simtrico em ambos geometria e propriedade de material.

    Consideramos um laminado com n camadas, onde as camadas idnticas k e k so localizadas simetricamente com respeito ao plano de referencia.

  • Assim

    De acordo com a definio da eq. (7.20), as rigidezes de acoplamento so

    Visto que

    e

  • Para as condies de simetria referidas antes resulta

    As relaes carga-deformao tornam-se

  • Laminados Balanceados

    Um laminado balanceado se ele composto de pares de camadas com espessura e propriedades elsticas idnticas mas tendo seus orientaes dos eixos principais de material de + e com respeito aos eixos principais do laminado. Para cada par de balanceado de camadas k e k

    Resulta da eq. (4.67)

  • Um laminado balanceado pode ser simtrico, antissimtrico ou assimtrico.

    Em geral, as rigidezes de acoplamento em flexo/toro Dis no so zero a menos que o laminado antissimtrico. As relaes gerais carga-deformao para esta classe de laminados so

  • Laminados (Balanceados) Antissimtricos

    Um laminado antissimtrico um caso especial de um laminado balanceado, com seu pares de + e localizados de maneira simtrica em relao superfcie de meio. Neste caso as rigidezes de acoplamento em flexo/toro so

    Visto que

    e

    Em geral para este tipo de laminado

  • Consideraes de Projeto

    Um sumario de propriedades caractersticas de vrios tipos laminados dado em Tabela 7.2

  • Consideramos, por exemplo, um laminado consistir de dez camadas de 0, quatro de 45 e quatro de -45 arranjadas em seguintes sequencias de empilhamento: Balanceado/assimtrico: [05/454/-454/05]

    Esta sequencia no recomendada pela razo de assimetria e de distribuio grosseira de camadas. As rigidezes de acoplamento em cisalhamento Ais e de acoplamento em toro Dis so zero, mas Bij no so. Balanceado/simtrico: [05/452/-452]s

  • Neste caso Bij = 0 e Ais = 0, mas Dis 0. Esse um projeto adequado mas no timo. Balanceado/simtrico: [02/452/02/-452/0]s

    De novo Bij = 0 e Ais = 0. Dis no zero mas pequeno, por causa de distribuio mais fina das camadas. O projeto recomendado.

  • Exemplo Numrico

    Calcule todos os termos das matrizes [A] e [B] para um laminado [0/90] com as seguintes propriedades de lamina: E1 = 145 GPa E2 = 10,5 GPa G12 = 7,0 GPa 12 = 0,28 t = 0,25 mm (espessura da lamina)

    Soluo

    21 = 0,02 1 - 12 21 = 0.9943 Q11 = 145,8 GPa Q22 = 10,56 GPa Q12 = 2,96 GPa Q66 = 7,0 GPa

  • Lamina 0 Qxx = 145,8 GPa Qyy = 10,56 GPa Qxy = 2.96 GPa Qxs = 0 Qys = 0 Qss = 7 Lamina 90 Qxx = 10,56 GPa Qyy = 145,8 GPa Qxy = 2.96 GPa Qxs = 0 Qys = 0 Qss = 7

  • Lamina 0 Axx = 36,46 MN/m Ayy = 2,64 MN/m Axy = 0,74 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 1,75 MN/m Lamina 90 Axx = 2,64 MN/m Ayy = 36,46 MN/m Axy = 0,74 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 1,75 MN/m

  • Laminado [0/90] Axx = 39,1 MN/m Ayy = 39,1 MN/m Axy = 1,48 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 3,5 MN/m

  • Lamina 0 Bxx = - 4,56 KN Byy = - 0,33 KN Bxy = - 0,09 KN Bxs = 0 Bys = 0 Bss = - 0,22 KN Lamina 90 Bxx = 0,33 KN Byy = 4,56 KN Bxy = 0,09 KN Bxs = 0 Bys = 0 Bss = 0,22 KN

  • Laminado [0/90] Bxx = - 4,23 KN Byy = 4,23 KN Bxy = 0 Bxs = 0 Bys = 0 Bss = 0

  • Propriedades de Engenharia de Laminados

    Laminados Simtricos Balanceados

    Podemos derivar relaes simples para propriedades de engenharia em funo de rigidezes de laminado em caso especial de um laminado simtrico e balanceado. Consideramos um elemento deste laminado sujeito ao carregamento uniaxial Nx como na fig. 7.9

  • Por definio, o mdulo Young e o coeficiente de Poisson do laminado so xE xy

    Onde so deformaes normais em direes x e y, respectivamente, e h a espessura do laminado. As relaes fora-deformao so

    0 0 e x y

    Em forma expandida

  • Das eq. (7.75) e (7.73) obtemos

    De modo semelhante, considerando um carregamento uniaxial Ny em direo y, obtemos

    Para carregamento em cisalhamento puro Ns obtemos

  • Os coeficientes de acoplamento em cisalhamento para este laminado balanceado so zero

    Resulta

  • Propriedades de Engenharia de Laminados

    Laminados Simtricos

    Para laminados simtricos as rigidezes de acoplamento em-plano/flexo Bij e as flexibilidades bij e (com i,j = x,y,s) so zero.

    Podemos definir tenses mdias

  • Por analogia a eq. (4.77)

    onde

  • Equiparando os termos correspondentes das matrizes de flexibilidad

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