Funciones Trigonomtricas Facultad de Ingeniera Ingreso 2008 ( 115 )
REPASAMOS GEOMETRA
Antes de comenzar con el tema propuesto para este captulo te proponemos repasar algunos
conceptos que sern muy necesarios para lograr una comprensin ms integral de las funciones
trigonomtricas y sus aplicaciones. Comencemos
En geometra es muy comn el uso del concepto de razn, por ejemplo, para definir el concepto de
semejanza. Lo recuerdas?
Si no lo recuerdas, tendrs que averiguarlo y escribirlo a continuacin.
Ejercicio N 1
Busca y escribe la definicin geomtrica de semejanza.
Ejercicio N 2
Averigua por tu cuenta, y luego responde, fundamentando, lo siguiente:
a. Qu es un tringulo rectngulo?
b. Cul es la relacin entre los ngulos interiores de un tringulo?
c. Qu relacin existe entre los ngulos agudos interiores de un tringulo rectngulo?
d. Qu relacin existe entre los lados de un tringulo rectngulo?
Ejercicio N 3
Luego de realizar el ejercicio anterior, que te permiti recordar conceptos y propiedades, te pedimos
que realices las siguientes tareas:
1) Dibuja un tringulo rectngulo y construye todas razones posibles entre sus lados.
2) Mide los lados del tringulo y calcula el valor de algunas de esas razones.
3) Construye otro tringulo rectngulo manteniendo un mismo ngulo agudo y calculando las mismas
razones que en el caso anterior, verifica la definicin de semejanza que enunciaste anteriormente.
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Ejercicio N 4
i) Segn tu razonamiento, cules de estas conclusiones te parecen verdaderas y cules no?.
ii) A partir de las afirmaciones que elegiste como verdaderas, escribe una definicin propia, que las
resuma:
a) Todos los tringulos son semejantes
b) Todos los tringulos rectngulos son semejantes
e) Si dos tringulos rectngulos tienen un ngulo agudo igual, son semejantes
c) Las razones de los lados homlogos de dos tringulos rectngulos son iguales
d) Las razones de los lados homlogos correspondientes a tringulos rectngulos que poseen un mismo ngulo agudo son iguales
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RAZONES TRIGONOMTRICAS
Seguramente ya haz reconocido que estas razones entre los catetos y la hipotenusa de un tringulo
rectngulo como el de la Figura 1, son las ya conocidas razones trigonomtricas, para que puedas
demostrar tus conocimientos, te invitamos a que las recordemos juntos con nombre y apellido.
Haremos referencia al tringulo rectngulo siguiente, pero recordars que se aplican a cualquier
tringulo rectngulo
b
ca
Figura 1 Tringulo rectngulo
SENO DEL NGULO
sen () = hipotenusa
opuestocateto=
ac
COSENO DEL NGULO
cos () = hipotenusa
adyacentecateto =
ab
TANGENTE DEL NGULO
tg () = adyacentecatetoopuestocateto
= bc
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COTANGENTE DEL NGULO
cotg () = opuestocateto
adyacentecateto =
cb
SECANTE DEL NGULO
sec () = adyacentecateto
hipotenusa =
ba
COSECANTE DEL NGULO
cosec () = opuestocateto
hipotenusa =
ca
Como hemos podido concluir, segn nuestro propio convencimiento, En todo tringulo rectngulo,
las razones trigonomtricas dependen de la medida del ngulo agudo al que se apliquen.
Pero si profundizamos un poco ms en nuestros conocimientos matemticos, podremos arriesgarnos
a decir que...
Para estar ms seguro de lo que estamos haciendo, ser muy prudente que recordemos la definicin
de funcin, no te parece?
... las razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo, son funciones del
ngulo en el que se aplican?
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DEFINICIN DE FUNCIN
Dados dos conjuntos numricos A y B, una relacin R de A en B es una funcin si:
1. Todo el conjunto A (conjunto de partida) es dominio de la relacin.
2. A cada elemento del conjunto de partida A le corresponde una y slo una imagen en el
conjunto de llegada B.
Teniendo en cuenta esta definicin, podemos observar en ella tres conceptos fundamentales:
a) El conjunto numrico dominio.
b) El conjunto numrico imagen.
c) Una relacin unvoca entre los dos conjuntos.
En el caso que nos ocupa, el primer conjunto tendr que contener los nmeros que representen las
medidas de todos los posibles ngulos. De todos los posibles ngulos?
En el segundo conjunto debern estar todas las posibles razones trigonomtricas establecidas
anteriormente.
Estas dos observaciones nos previenen para ser ms cautelosos con nuestra aseveracin anterior, de
manera que podamos justificarla adecuadamente.
Por ejemplo, deberamos contestarnos algunas preguntas como:
1- Cul es el sistema de medidas angulares que conocemos?.
2- Estas medidas constituyen un conjunto numrico?.
3- No podremos extender nuestras conclusiones a otros ngulos sin que necesariamente
se trate de ngulos de un tringulo rectngulo?.
Vamos posponer un poco nuestra conclusin anterior a fin de que podamos realmente justificarla
adecuadamente.
En la siguiente seccin vamos a fundamentar las respuestas que nos estn faltando.
( 120 ) Funciones Trigonomtricas Facultad de Ingeniera Ingreso 2008
NGULOS
Ya hemos trabajado con ngulos pero nuevamente para evitar confusiones es tiempo que
establezcamos una definicin para este sencillo concepto:
Definicin: ngulo es el conjunto de puntos barridos al girar una semirecta (o rayo) sobre su
punto de origen desde su posicin inicial hasta una posicin final.
rayo
punto deorigen
vrtice lado inicial
lado f
inal
vrtice lado final
lado i
nicial
Figura 2 Definicin de ngulo. Ejemplos.
Si revisas la definicin notars que no se restringe, por ningn motivo, ni la magnitud ni el sentido de
la rotacin, y que es posible tambin hacer que el rayo gire varias vueltas o revoluciones en cualquier
sentido.
La medida del ngulo deber representar la magnitud del giro, y ya est establecido por
convencin que ser considerada positiva si la rotacin se efecta en sentido contrario a las manecillas
del reloj, y negativa si es en el otro sentido.
A modo de ejemplo en la Figura 3 mostramos tres ngulos distintos, el ngulo (alfa) es positivo,
(beta) es negativo y (gama) es positivo. Notemos que , y tienen el mismo lado inicial y final,
pero sin embargo , y son diferentes, ya que la "cantidad" de rotacin necesaria para ir desde el
lado inicial hasta el lado final es, por ejemplo, mayor para que para .
lado inicial
lado f
inal
lado inicial
lado f
inal
lado inical
lado f
inal
Figura 3 - Ejemplos
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Podemos ubicar el vrtice del ngulo coincidiendo con el origen de un sistema de coordenadas
rectangulares, y su lado inicial coincidiendo con el eje x positivo.
Un sistema de coordenadas, determina en el plano cuatro regiones llamadas CUADRANTES,
denominados 1ro, 2do, 3ro y 4to cuadrante como se ubican en la Figura 4:
lado inical
lado
fina
l
1 cuadrante
er
O
3 cuadrante
er
2 cuadrante
do
4 cuadrante
to
Figura 4 ngulo ubicado en un sistema de coordenadas
Entonces segn en que cuadrante se ubique el lado final diremos que el ngulo est en ese
cuadrante, en la Figura 4, por ejemplo, el ngulo est en el 1er cuadrante.
Si el lado final del ngulo est en el eje x o en el eje y, en tal caso, decimos que es un ngulo
cuadrantal.
Ejercicio N 5
Dibuja un ngulo:
- Orientado positivo y que el lado final est incluido en el cuarto cuadrante.
- Orientado negativo y que el lado final est incluido en el tercer cuadrante.
( 122 ) Funciones Trigonomtricas Facultad de Ingeniera Ingreso 2008
CMO MEDIR LOS NGULOS?
Para medir la rotacin necesaria para que el lado inicial coincida con el final se utilizan comnmente
dos unidades de medicin: grados (del sistema sexagesimal) y radianes (en el sistema circular).
Grados:
Aqu el ngulo formado por la rotacin, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el lado inicial
hasta que coincida con el mismo (1 vuelta o revolucin) se dice que mide 360 grados, y se escribe
360.
As:
Un grado (1) es 3601
parte de una vuelta.
Un ngulo recto 41
de vuelta es 90.
Un ngulo llano 21
vuelta es 180.
Ejercicio N 6
Dibuja en un sistema de coordenadas un ngulo positivo en cada uno de los siguien
