Energetika rozběhu a brzdění asynchronního motoru

V článku jsou porovnávány ztráty energie při rozběhu motoru s kotvou nakrátko konvenčním (motor na síti) a rozběhu frekvenčním (motor napájen ze střídače). Přitom budeme rozlišovat rozběh bez zatížení a rozběh se zatížením (už při rozběhu se vykonává užitečná práce). V závěru pak jsou uvedeny ztráty při brzdění.

Protože půjde o kvalitativní porovnání energetických ztrát nejprve při rozběhu, budou přijata zjednodušení:

a) Zanedbávají se ztráty v železe a mechanické v motoru a výkonový tok v motoru pak je dle obr. 1. Točivý moment M (elektromagnetický či vnitřní) spolu s rychlostmi ωs a ω určuje ztráty ∆Pr. ve vinutích rotoru. Ztráty ∆PS. ve statoru přibližně kopírují ztráty ∆Pr rotoru a to

,r

srs R

RPP ∆=∆ (1)

takže v obou vinutích dohromady

+∆=∆+∆=∆

,1

r

srrs R

RPPPP (2)

kde R´r je odpor vinutí rotoru přepočtený na počet fází a závitů (včetně faktorů vinutí) na statorovou

stranu. Prakticky bývá Rs = 0,8 - 1,2 R´r.

Obr. 1 Zjednodušený průchod výkonu motorem

b) Předpokládá se, že během rozběhu motor vytváří konstantní točivý moment a v některých případech bude jiný předpoklad zdůvodněn.

c) Předpokládá se, že během rozběhu je také moment zátěže Mp konstantní. Tento předpoklad vede k jednoduchému řešení rovnice pohybu, pokud by však nebyl přijatelný, musí se některým způsobem alespoň přibližně, po částech řešit rovnice pohybu.

1. Rozběh konvenční bez zatížení

Při konvenčním rozběhu je motor přímo připojen k síti (menší výkony do asi 5 kW - podle schopností sítě) nebo k sníženému napětí přes omezující reaktory, autotransformátory, spojením Y/D, softstart. Přitom platí -obr. 1 - že příkon do rotoru Pi je M ωs , kde ωs je synchronní rychlost při jmenovitém kmitočtu fN sítě. Moment M je obecně funkcí rychlosti - je to momentová nebo rychlostní charakteristika. Pro rozběh od ω = 0 do ω blízké k ωs jsou ztráty ve vinutí rotoru

( ) ( )∫∫∫∫ −=−==∆=∆rrrr t

S

t

SS

S

t

i

t

rr dtMdtMdtsPdtPW0000

ωωωω

ωω (3)

moment M se využije k urychlení setrvačných hmot, charakterizovaných momentem setrvačnosti J

dt

dJM

ω⋅= (4)

takže po dosazení do (3)

( ) 2

0 2

1sSr JdJW

s

ωωωωω

=−=∆ ∫ (5)

kde ωs je přibližně rychlost ukončeného rozběhu (rychlost motoru naprázdno). Je vidět, že energetické ztráty ∆Wr ve vinutí rotoru nezávisí na tvaru charakteristiky ω(M) a jsou rovny kinetické energii všech rozbíhaných hmotností. Celkem ztráty v obou vinutích jsou - viz (2)

kr

s WR

RW

+=∆

,1 kde 2

2

1sk JW ω= (6, 7)

2. Rozběh konvenční se zatížením Při rozběhu motor urychluje setrvačné hmoty a částečně výkonem MP ω vykonává užitečnou práci. Sice platí rovnice (3), ale neplatí rovnice (4). Místo ní je

dt

dJMM P

ω⋅+= (8)

kde MP je zátěžný moment (moment poháněného stroje). Podle obr. 1 je

( ) ( ) ( )dt

dJMMP ssPsr

ωωωωωωω −+−=−=∆ (9)

a ztracená energie ve vinutí rotoru

MpKr WWW ∆+∆=∆ (10)

kde ( ) 222

0 2

1

2

1

2

1SSSK JJJJdJW ωωωωωωωω

ω

≈≈−=−=∆ ∞∞∞∫∞

(11)

ve skutečnosti pohon nedosáhne otáček ωs , ale pouze ω∞. Druhý člen rovn. 10 bude

( )∫ −⋅=∆rt

SPMp dtMW0

ωω (12)

Integrál (12) lze vyčíslit jen při znalosti Mp(t) a také ω(t), které je dáno rozdílem M(t) - Mp(t) podle (4). Spokojíme-li se se střední hodnotou Mp = konst. během rozběhu a lineárním průběhem rychlosti ω(t) (pro toto ovšem musí platit, že i dynamický moment musí být konstantní), pak

Protože ∆W nezávisí na tvaru charakteristiky, lze výsledek vyjádřit graficky – obr. 2. Obr. 2 Časové průběhy výkonu při konvenčním

rozběhu bez zatížení

ttr

Sωω = (13)

z pohybové rovnice

r

sP t

JMMω⋅+= (14)

dostaneme dobu rozběhu

P

sr MM

Jt−

⋅= ω (15)

po těchto zjednodušeních pak dostáváme

( )

P

Ps

P

SSPrSP

r

r

SrSP

t

r

SrSP

t

SPMp

MM

MJ

MMJMtM

t

ttMtdt

ttMdtMW

rr

−=

−==

−=

−=−⋅=∆ ∫∫

2

2

00

2

1

2

1

2

1

2

ωωωω

ωωωωωω (16)

Celkové energetické ztráty při rozběhu na rychlost ωs za dobu tr jsou

−

+=

−+

−−

+=

−+

+=∆

pk

r

s

p

p

p

pk

r

s

p

pk

r

s

MM

MW

R

R

MM

M

MM

MMW

R

R

MM

MW

R

RW

,,,1111

(17) Zbývá dodat, že v rovnicích (13-17) bylo přijato zjednodušení, kdy místo rychlosti ω∞ je uvažováno s rychlostí ωs.

Rozběh s uvažováním obecného průběhu momentu motoru a konstantním momentem MP Obecné vztahy pro ztráty, resp. ztracenou energii:

( ) ( ) ( )dt

dJMMP ssPsr

ωωωωωωω −+−=−=∆ (9)

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]21

221212 5.0

2

1

2

1

2

1

2

1

ωωωωωωω

ωωωωωω

ω

−−−+

−−=

=−+−=∆=∆

∫

∫∫∫

s

t

t

sP

s

t

t

sP

t

t

rr

JdtttM

dJdtMdtPW

(18)

Obr. 3 Časové průběhy výkonů a energie (plochy trojúhelníků) při konvenčním rozběhu se zatížením

Okrajové podmínky: t1 = 0 ω1 = 0 t2 = ta ω2 = ω∞

( ) ( )22

0

5,05,0 ∞∞∞∞ ⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+

−⋅⋅=∆ ∫ ωωωωωωωω sPs

t

asPr JAMJdttMWa

(19)

kde A je plocha v časovém průběhu otáček daná první závorkou

Pro celkové ztráty (rotor + stator) musíme rotorové ztráty vynásobit závorkou ( ),/1 rs RR+

3. Rozběh frekvenční bez zatížení

a) rozběh do jmenovité rychlosti

Při frekvenčním rozběhu se postupně zvětšuje napětí a kmitočet střídače. Pro porovnání s konvenčním rozběhem zvolíme jednoduchý průběh rozběhu při lineárním nárůstu napětí a kmitočtu, přičemž na konci rozběhu bude rychlost ωsN při napětí UN a kmitočtu fN. Nebudeme respektovat jevy na začátku rozběhu a na konci rozběhu. Ztracená energie ve vinutí rotoru je dána vztahem (3). Ztráty ve vinutí rotoru ∆Pr jsou dány součinem momentu a rozdílu rychlosti pole ων a rychlosti rotoru ω.

( )ωων −=∆ MPr (20)

Výraz (ων - ω) je rozdíl rychlostí pole a rotoru v daném okamžiku. Tento rozdíl se udržuje během rozběhu konstantní a tedy také moment motoru M konstantní.

Že je konstantní i moment plyne z podobnosti trojúhelníků na pracovních částech mechanických charakteristik, které jsou v oblasti konstantního toku rovnoběžné. Pak platí

( ) ( )

N

NsN

MM

ωωωων −=− (21)

doba rozběhu dle pohybové rovnice bude - v souladu s (15)

MJt s

r

ω⋅= (22)

Po dosazení z (4) je ztracená energie v rotoru při rozběhu z 0 do ωs.

( ) ( ) ( )

( ) ( )s

sN

NNs

s

sN

NsN

NsNs

Ns

NsNs

s

NNsNr

t

r

M

MsJ

M

MJ

M

MJ

MJ

M

MMtMdtMW

r

ωωω

ωω

ωωωω

ωωωω

ωωωωωωω νν

22

12

2

12

2

1 222

0

=−=−=

=−=−=−=∆ ∫ (23)

anebo s uvažováním kinetické energie při jmenovitém kmitočtu

sN

s

NNsNr M

MsJW

ωωω 2

2

1 2=∆ (24)

kde sN je jmenovitý skluz. Pro obě vinutí statoru i rotoru je ztracená energie

sN

s

NNkN

r

s

M

MsW

R

RW

ωω

21,

+=∆ (25)

Velikost ztracené energie je jen část kinetické energie WkN a závisí na tom, jak velký moment M při rozběhu zvolíme. Čím větší zvolíme moment M, tím se ve stroji přemění více ztrát na teplo. Je tedy výhodné z hlediska ztrát v motoru provádět kmitočtový rozběh s co nejmenším momentem M.

b) rozběh nad jmenovitou rychlost

Pokud má rozběh končit při rychlosti větší než jmenovité, tj. při odbuzeném stavu motoru a rozběh probíhá v druhé fázi (nad jmenovitou rychlostí) při jmenovitém napětí Us a jeho frekvence se zvětšuje až do frekvence fu (jí odpovídá rychlost pole ωu), je pro stanovení ztracené energie třeba uvážit, že se zmenšuje magnetický tok stroje a že je nutno respektovat, jakým způsobem řízením kmitočtu ovlivňovat průběh rozbíhání. Proto je nutno vyjít z alespoň zjednodušeného modelu asynchronního motoru. Při odbuzování se mechanická charakteristika změkčuje, čemuž odpovídá následující rovnice

( ) νν

νν ωω qI

M ≈Ψ

≈− (26)

a dále

ννω Ψ=sU ( )ωωννννν −Ψ≈Ψ= kIkM qM (27, 28)

Indexem ν jsou označeny veličiny určující obecný stav veličin při rychlosti ων > ωsN , přitom (ων - ω) je nutno chápat jako jednu veličinu (je to absolutní skluz při obecné rychlosti pole ων). Pomocí (26-28) obdobnou metodou k (20) až (25) je provedena analýza ztrát při rozběhu od rychlosti ωsN (na začátku odbuzování) do rychlosti ωu, a to dvou způsobů rozběhu:

a) Druhá část rozběhu při konstantním momentu stejném, jako v první části rozběhu, obr. 5. V obou vinutích ztracená energie je

−

∆=∆ 1

3

13

s

usWW

ωω

(29)

kde ∆Ws je ztracená energie pří rozběhu od nulové rychlosti do rychlosti na začátku odbuzování, při stejném momentu motoru.

b) Druhá část rozběhu při proudu stejném, jako v první části rozběhu. Celkové ztráty v obou vinutích jsou dány přírůstkem kinetické energie

Obr. 4 Časové průběhy výkonu při lineárním frekvenčním

rozběhu bez zatížení do jmenovité rychlosti

( ) ( )22,, 2

1

11

11 su

N

sN

N

sN

r

sksku

N

sN

N

sN

r

s J

M

Ms

M

Ms

R

RWW

M

Ms

M

Ms

R

RW ωω −

−

+=−

−

+=∆ (30)

4. Rozběh frekvenční se zatížením

a) rozběh do jmenovité rychlosti

Přehledný výsledek dostaneme pro časově lineární rozběh, tj. pro stálý moment motoru M i zátěže Mp. Ztráty v rotoru jsou dány stejně jako v kap. 3 - rozběh frekvenční bez zatížení - dány

( )ωων −=∆ MPr (31)

Rovněž platí i úvahy o konstantním rozdílu rychlostí pole a rotoru v daném okamžiku (ων - ω). Bude tedy rovněž konstantní moment motoru M.

Opět tedy bude platit ( ) ( )

N

NsN

MM

ωωωων −=− (32)

doba rozběhu dle pohybové rovnice bude s uvažováním konstantního momentu zatěže

P

sr MM

Jt−

⋅= ω (33)

Po integraci rovn. (18) se získá ztracená energie ve vinutí rotoru při rozběhu do rychlosti ωs za dobu ts.

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) s

sN

pNNs

s

sN

pNsN

NsNs

pNs

NsNs

p

s

NNsNr

t

r

MMM

MsJ

MM

M

M

MJ

MM

M

M

MJ

MMJ

M

MMtMdtMW

r

ωωω

ωω

ωωωω

ωωωω

ωωωωωωω νν

−=

−−=

=−

−=

=−

−=−=−=∆ ∫

222

2

0

22

12

2

1

22

1 (34)

anebo s uvažováním kinetické energie při jmenovitém kmitočtu

( ) sN

s

pNNsNr MMM

MsJW

ωωω

−=∆

22 2

2

1 (35)

Obr. 5. Frekvenční rozběh bez zatížení nad jmenovitou rychlost s konstantním momentem

Celkově ve statoru i rotoru je ztrátová energie

( ) sN

s

pNNkN

r

s

MM

M

M

MsW

R

RW

ωω

−

+=∆ 21

, (36)

Na obr. 6 jsou vyneseny výkony PMp = Mp ω, Pa = Jω.dω/dt a příkon Pi (do rotoru). Dva trojúhelníky představují užitečnou práci a kinetickou energii, vyšrafovaný proužek ztrátovou energii ve vinutí rotoru.

b) rozběh nad jmenovitou rychlost

Rozběh do rychlosti větší než synchronní má dvě části. Rozběh do rychlosti synchronní ωs, při kterém vznikají ztráty v motoru dle (36). Následuje rozběh do oblasti nad jmenovitou (nebo synchronní) rychlost, motor se odbuzuje. V tomto případě z rovnice pohybu se získá rovnice pro ztráty v rotoru

( ) ( ) ( )ωωωωωωω ννν −+−=− pMdt

dJM (37)

Ztracená energie v obou vinutích je

( ) ( )

−+−

+=∆ ∫ ∫

u

s

u

s

t

tpr

s dtMdJR

RW

ω

ω νν ωωωωω,

1 (38)

Komplikovanost řešení spočívá v tom, že velikost rozdílu rychlosti pole a rotoru (ων -ω) závisí na způsobu regulace momentu a rychlosti a Mp (ω) je další proměnnou. Ztráty podle (38) nebudou dále analyzovány. 5. Ztráty v motoru při brzdění

Při brzdění do zastavení jde o odebrání kinetické energie pohybujícím se hmotám. Různé způsoby brzdění se liší právě tím, jak se s odebranou energií naloží. Její část nebo i její násobek (např. při brzdění stejnosměrným proudem) se přemění v teplo v elektrickém stroji. Ten při brzdění pracuje vždy jako generátor - rychlost rotoru je vždy větší než rychlost točivého pole.

5.1 Frekvenční brzdění.

Frekvenční rozběh je pojem běžně užívaný. Pojem frekvenční brzdění se však obecně neužívá, nevžil se, i když představuje proces duální k frekvenčnímu rozběhu. Při frekvenčním rozběhu se postupně zvyšuje napájecí kmitočet, při brzdění se postupně snižuje kmitočet napájecího střídače, který v tom případě pracuje jako usměrňovač.

V předcházejících částech jsme rozlišovali rozběh bez zatížení a se zatížením. Také v případě brzdění je doba brzdění a celý průběh brzdění do zastavení odlišný, jde-li o brzdění bez zatěžovacího momentu nebo se zatěžovacím momentem. Z hlediska ztrát v motoru je jedno, zda jde o brzdění do odporu

Obr. 6. Frekvenční rozběh se zatížením do jmenovité rychlosti

(pulsně řízeného) nebo brždění rekuperací, důležité je tempo snižování kmitočtu motoru a vhodné udržování napětí ve stejnosměrném obvodu.

Brzdění bez zatížení. Při brzdění může být průběh brzdicího momentu různý, zde - obdobně k rozběhu v kap. 3 - uvedeme dva způsoby: s konstantním momentem i v oblasti odbuzení a s konstantním proudem. První způsob je znázorněn na obr. 7. Jsou v nich vyneseny výkony a ztráty. Pro velikost ztraceného výkonu a ztrát energie v rotoru, případně v obou vinutích platí závislosti uvedené v kap. 3. Rozdíl je v tom, že při rozběhu uvedené ztráty hradil zdroj, při brzdění se odebírají z kinetické energie a tedy přispívají k brzdicímu účinku.

Brzdění se zatížením. Zde se musí rozlišovat charakter (smysl) zatěžovaciho momentu. Zatěžovací moment pasivní (tření, doprava kapalín čerpadly apod.) přispívá k brzdicímu účinku a tedy zkracuje dobu brzdění a zmenšuje velikost ztracené energie ve stroji. To lze vysvětlit také tak, že z kinetické energie se ještě hradí „užitečná" práce. Je-li zatěžovací moment aktivní (např. jízda elektrického vozidla ze svahu nebo spouštění břemene), prodlužuje se doba brzdění a zvětšuje se ve stroji ztracená energie. Kromě kinetické energie se musí při aktivní zátěži odebrat ještě potenciální energie poháněného zařízení.

Pro ztráty a ztracenou energii platí vztahy uvedené v části 4.

5.2 Brzdění stejnosměrným proudem

Při brzdění stejnosměrným proudem (též zvaným brzděním se stejnosměrným buzením) se statorové vinutí nebo jeho část připojí na zdroj stejnosměrného proudu. Vytvoří se stojící magnetický tok. Ve vinutí otáčejícího se rotoru se indukuje napětí, to vyvolá proudy, které spolu s magnetickým tokem vytvářejí brzdicí moment. Celý brzdicí výkon M(ω) na hřídeli se mění na ztráty ve vinutí rotoru (jde o brzdění bez zatěžovaciho momentu)

ωMPr −=∆ M < 0, ω > 0 (39)

Probíhá-li brždění bez zatěžovacího momentu, je

dt

dJM

ω= M < 0, dω/dt < 0 (40)

a ztracená energie v rotoru je

20

0 2

1s

t

rr JdJdtPWs

b

ωωωω

=−=∆=∆ ∫∫ (41)

Zde ωs je rychlost, od níž se začíná brzdění.

S uvažováním zatěžovacího momentu bychom dostali vztah

∫−=∆bt

psr dtMJW0

2

2

1 ωω (42)

Obr. 7. Brzdění bez zatížení s konstantním momentem

Při stanovení celkových ztrát energie při rozběhu se respektoval poměr odporů statorového a rotorového vinutí, viz (2). To vzniklo z předpokladu, že statorový proud je úměrný rotorovému neboli že je zanedbatelný vliv magnetizačního proudu. Při stanovení celkových ztrát při brzdění stejnosměrným proudem tento předpoklad není splněn při malých hodnotách otáčivé rychlosti. Ztráty energie ve statorovém vinutí kromě toho závisí na době odpojení vinutí statoru do zdroje stejnosměrného proudu. Ztráty ve statorovém vinutí jsou

2dekvs IRP =∆ (43)

kde Rekv je odpor vhodně připojené kombinace fázových vinutí statoru ke zdroji, Id je stejnosměrný proud tohoto zdroje. Ztracená energie ve statorovém vinutí je

ddekvdss tIRtPW 2=∆=∆ (44)

kde td je doba připojení vinutí statoru ke stejnosměrnému zdroji.

Pokud probíhá brždění se zatížením, podílí se zatěžovací moment na ztrátách ve stroji tím, že mění dobu brzdění.

5.3 Brzdění protiproudem

Pro porovnání ztrát u jednotlivých způsobů brzdění si zde uveďme ztráty při brzdění protiproudem.

Obecné vztahy pro ztráty, resp. ztracenou energii

( ) ( ) ( )dt

dJMMP ssPsr

ωωωωωωω −+−=−=∆ (9)

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]21

221212 5.0

2

1

2

1

2

1

2

1

ωωωωωωω

ωωωωωω

ω

−−−+

−−=

=−+−=∆=∆

∫

∫∫∫

s

t

t

sP

s

t

t

sP

t

t

rr

JdtttM

dJdtMdtPW

(18)

Okrajové podmínky: t1 = 0 ω1 = ω∞ t2 = tb ω2 = 0 Za ωs dosadíme do obecné rovnice -ωs (vlivem přehození dvou fází) Po dosazení okrajových podmínek dostaneme ztracenou energii při zatíženém pohonu

( ) ( )22

0

5,05,0 ∞∞∞∞ ⋅+⋅⋅+⋅−=⋅+⋅⋅+

−⋅−⋅=∆ ∫ ωωωωωωωω sPs

t

bsPr JBMJdttMWb

(45)

kde B je plocha v časovém průběhu otáček daná první závorkou

-Brzdění naprázdno: MP = 0

t1 = 0 ω1 = ωs t2 = tb ω2 = 0 2

32

sr JW

ω⋅=∆ (46)

Pro celkové ztráty (rotor + stator) musíme rotorové ztráty vynásobit závorkou ( ),/1 rs RR+