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CAPITULO TRES

Ecuaciones Voltaje-Corriente de L.T.s

Recibe el nombre de lnea homognea, una lnea de transmisin trifsica area idealizada en la

que sus parmetros r(/m), l(H/m), g( / m ) y c (F/m) son constantes y estn distribuidos uniformemente a lo largo de la lnea. Esto quiere decir que localizados en cualquier sitio de la

lnea siempre encontraremos el mismo valor de resistencia, inductancia, conductancia o

capacitancia, por unidad de longitud. Al operar en estado balanceado, recordemos que basta con

estudiar el comportamiento de la lnea en una sola de sus fases, por ejemplo la fase a. Cuando nos

referimos al estudio del comportamiento de la lnea queremos dar a entender que se desea conocer

en ella:

o Voltaje de recepcin o Corriente de recepcin o Potencia real de recepcin o Potencia reactiva de recepcin o Prdidas reales o Prdidas reactivas o Regulacin de voltaje a plena carga o Eficiencia a plena carga o SIL u operacin de la lnea con carga igual a su impedancia caracterstica o Perfiles de voltaje o Limite de estabilidad de estado estacionario o Limite trmico o Mximo flujo de potencia (cargabilidad de la lnea), y o Tcnicas de compensacin reactiva: -compensacin serie -compensacin paralelo

Para llevar a cabo este estudio, es conveniente representar la fase considerada de la lnea,

mediante el modelo de lo que denominamos red bi-puerto de constantes generalizadas A, B, C y

D, en el que la impedancia del conductor neutro se desprecia. A partir de esta representacin ser

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muy sencillo obtener las ecuaciones de V e I correspondientes a los tres tipos de lneas trifsicas

de transmisin areas, en estado balanceado a 60 Hz, a saber:

o Lnea corta (menor de 80Km) o Lnea media (entre 80 Km. y 250 Km.) o Lnea larga (superior a 250 Km.)

As mismo, obtendremos V e I para el importante modelo referencial de la llamada

o Lnea sin perdidas.

a1) Ecuaciones de Voltaje y Corriente en L.T.s. Sea el modelo fsico de la fase a mostrado en

la Fig.3.1 y tomemos una pequea seccin de lnea localizada a x metros del punto de recepcin;

llamemos SV e SI al voltaje y la corriente complejos en el extremo de envo de la lnea y RV e RI

al voltaje y la corriente complejos en su extremo receptor

SI

SV

RVV V Vang anc

n e u t r o

l

x

x

x

al

I

ar

I I

Figura 3.1. modelo fsico de la fase a de una lnea de parmetros distribuidos.

Considerando los parmetros que aparecen en la Fig.3.1., a saber:

es claro que la cada de tensin y la corriente derivada al neutro en el elemento de lnea en estudio

vienen dados por las siguientes expresiones:

o xx

VV z I zI

/ma ar i l z

/m,a ang i c y

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( ) o ( ).xx

II y V V y V V

As, cuando 0x , se tiene:

d

dx

VzI

d

dx

IyV

A partir de estas ecuaciones diferenciales procederemos a obtener las ecuaciones de voltaje y

corriente, como sigue. Diferenciando nuevamente la primera de ellas y sustituyendo la segunda,

obtenemos:

2 2

2 2 o 0

d d d

dx dx dx

V I Vz zyV zyV

La solucin de esta ecuacin diferencial lineal de segundo orden, es:

1 2( )x xx e e V A A ,

donde 1A y 2A son constantes de integracin complejas y zy , en 1m , se conoce con el

nombre de constante de propagacin: i .

Sustituyendo esta solucin en la primera de las ecuaciones iniciales podemos determinar ( )xI ,

como sigue:

1 2( ) ;/

x xe ex

A A

Iz

y como:

(en ),Cz z z

= = = Z yzy

en donde CZ es la llamada impedancia caracterstica de la lnea, podemos escribir ( )xI como

1 2( )x x

c

e ex

A A

IZ

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Es obvio que cuando x=0 (extremo receptor), el voltaje es:

1 2(0) ,1

R

A AV V

y la corriente:

1 2-(0)= = .Rc

A AI I

z

A partir de este sistema de ecuaciones obtenemos las expresiones de las constantes como sigue:

12

R C RV z I

A

22

R C RV z I

A

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de voltaje y corriente previas, obtenemos :

( )2 2

x xR C R R C Rx e e

V z I V z IV

( ) .2 2

x xR c R R c Rx e e

V Z I V Z II

Reorganizando trminos, obtenemos:

( )2 2

x x x x

R R

e e e ex

V V I

1( ) ,

2 2

x x x x

R R

c

e e e ex

I V IZ

, reconociendo las funciones hiperblicas implcitas, estas expresiones quedan como sigue:

( ) cosh senhR c Rx x x V V Z I

1

( ) senh coshR Rc

x x x I V IZ

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stas son las ecuaciones generales para determinar el voltaje y la corriente en cualquier punto de

una lnea de transmisin homognea definido desde el extremo receptor.

a2) Ecuaciones V-I en L.T.s con constantes generalizadas. Las expresiones de voltaje y

corriente para la lnea homognea de parmetros distribuidos, obtenidas en la seccin anterior, se

pueden expresar en forma matricial como sigue:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

R

R

x x x

x x x

VV A B

I C D I

donde:

( ) ( ) cosh .x x x p u A D

( ) senhcx x B Z

1

( ) senh ,c

x xC Z

reciben el nombre de constantes generalizadas. Es claro que si x = l, donde l es la longitud total de

la lnea, entonces la ecuacin matricial anterior y sus constantes quedan como sigue:

( ) ( ),

( ) ( )

s R

s R

l l

l l

V VA B

I C D I

donde:

Particularmente, estas ultimas expresiones son el modelo matemtico de la red que consiste en

una caja negra con dos terminales de acceso y dos de salida, excitadas por las magnitudes

complejas de envo y recepcin, respectivamente. Esta red recibe el nombre de red bipuerto. El

equivalente de este modelo de red, a partir de las ecuaciones anteriores, se obtiene considerando los parmetros de la red de la siguiente Fig.3.2.

( ) ( ) cosh .l l l p u A D

( ) senhcl l B Z

1

( ) senh .c

l lC Z

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SI

SVRV

RI

x

Z

2

Y 2

Y

Figura 3.2. Equivalente pi de la red bi-puerto de la lnea de transmisin.

Sabiendo que la ecuacin matricial de esta red est dada por la siguiente expresin:

' '1 '

2

' ' ' '' 1 1

4 2

S R

S R

V VY ZZ

Y Z Y ZY

I I

entonces, es claro que:

' '

cosh 12

x Y Z

senh 'c l Z Z

1 ' '

senh ' 1 .4c

l

Y Z Y

Z

A partir de estas igualdades obtenemos por simples operaciones algebraicas, las expresiones

correspondientes a los parmetros del modelo en funcin de los trminos implcitos de las constantes generalizadas:

senh

' senhcl

ll

Z Z Z

tgh tgh' 2 2

,2 2 / 2c

l l

l

Y Y

Z

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donde: lZ z y 2 2lY y .

El modelo empleado hasta aqu para las lneas de transmisin de energa, es uno de los modelos de red que ms utilidad brindan al ingeniero electricista dedicado al anlisis de sistemas elctricos

de potencia, pues su uso tambin se extiende al modelado de transformadores, generadores y

cargas como elementos fundamentales de las redes de potencia. Recomendamos al estudiante

considerar con mayor amplitud este importantsimo modelo de representacin acudiendo a libros

serios sobre circuitos y redes elctricas.

a3) Ecuaciones V-I en L.T.s cortas. Como se dijo anteriormente, una lnea de transmisin

trifsica es corta cuando su longitud es menor a ochenta kilmetros, es decir cuando l est entre 0 y 80 Km. En este caso, las ecuaciones de voltaje y corriente se obtienen de manera muy sencilla

empleando el modelo anteriormente expuesto; considerando que para esos valores de longitud el comportamiento matemtico de los trminos involucrados en dichas ecuaciones es el siguiente:

y

los parmetros del modelo resultan ser: ' Z Z y ' 02Y , as que la ecuacin matricial

correspondiente se reduce a la siguiente expresin:

1,

0 1

S R

S R

V VZ

I I

ecuacin simplificada que representa matemticamente al modelo fsico mostrado a continuacin, en la

Fig.3.3.

Figura 3.3. Modelo de la lnea de transmisin corta.

a4) Ecuaciones V-I en L.T.s medianas. Similarmente, una lnea de transmisin trifsica es

mediana cuando su longitud es mayor de ochenta kilmetros y menor de doscientos cincuenta, es.

decir, cuando l est entre 80 y 250 Km. En este caso, las ecuaciones de voltaje y corriente se obtienen tambin de manera muy sencilla empleando el modelo anteriormente expuesto; considerando que para esos valores de longitud el comportamiento matemtico de los trminos

involucrados en dichas ecuaciones es el siguiente:

SI

SV RV

RI

Z

Z

senh1

l

l

tgh2

0,2

l

l

senh1

l

l

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y

los parmetros del modelo resultan ser: ' Z Z y ' 2 2Y Y , as que la ecuacin matricial

correspondiente es ahora:

12

,

1 14 2

S R

S R

V VYZZ

YZ YZY

I I

ecuacin que representa matemticamente al modelo fsico mostrado a continuacin, en la Fig.3.4.

SI

SVRV

RI

2

Y

2

Y

Z

Z

Figura 3.4.Modelo de la lnea de transmisin mediana.

a5) Ecuaciones V-I en L.T.s largas. Similarmente, una lnea de transmisin trifsica es larga

cuando su longitud es mayor de doscientos cincuenta kilmetros. En este caso, las ecuaciones de

voltaje y corriente se obtienen tambin de manera muy sencilla empleando el modelo anteriormente expuesto; considerando que para esos valores de longitud el comportamiento

matemtico de los trminos involucrados en dichas ecuaciones no se altera, sus expresiones

quedan como:

' '1 '

2,

' ' ' '' 1 1

4 2

S R

S R

V VY ZZ

Y Z Y ZY

I I

con:

senh

' senhcl

ll

Z Z Z

tgh2

1,2

l

l

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tgh' 2 2

2 2 / 2c

l ltgh

l

Y Y

Z

donde: lZ z y 2 2lY y , o:

( ) cosh senhR c Rx x x V V Z I

1

( ) senh coshR Rc

x x x I V IZ

en trminos de la variable x y el voltaje y la corriente en el extremo receptor.