044140-Summary

6 מתוך 1 מודע, סיכום הקורס, שדות אלקטרומגנטים044140

il.co.technion.www2006 ©בוריס קימלמן

משוואות מקסוול

:משוואות מקסוול בתחום הזמן

( )

0

0

e m

B

t

DJ

t

D

B

S w w J Et

Jt

ρ

ρ

∂∇×Ε = −

∂

∂∇×Η = +

∂

∇⋅ =

∇⋅ =

∂∇⋅ + + = − ⋅

∂∂

∇ ⋅ + =∂

��

��

��

��

��

��

( )0

0

e m

E dl B dat

H dl J da D dat

D da dv

B da

S da w dv w dv J Edvt

J da dvt

ρ

ρ

∂⋅ = − ⋅

∂∂

⋅ = ⋅ + ⋅∂

⋅ =

⋅ =

∂⋅ + + = − ⋅

∂∂

⋅ + =∂

∫ ∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫∫∫

∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫∫

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

:בחומר טכני פשוט

0

0

r

r

D E

B H

ε ε

µ µ

=

=

��

�� 1

2

1

2

e

m

S E H

w D E

w B H

= ×

= ⋅

= ⋅

��

��

��

:משוואות מקסוול בתחום התדר

( ) *

0

12

2

0

m et t

j B

J j D

D

B

S j w w J E

J j

ω

ω

ρ

ω

ωρ

∇×Ε = −

∇×Η = +

∇⋅ =

∇⋅ =

∇⋅ + − = − ⋅

∇ ⋅ + =

��

��

��

��

��

��

( ) *

0

12

2

0

m e

E dl j B da

H dl J da j D da

D da dv

B da

S da j w dv w dv J Edv

J da j dv

ω

ω

ρ

ω

ω ρ

⋅ = − ⋅

⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ =

⋅ =

⋅ + − = − ⋅

⋅ + =

∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫

∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫∫

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

*

*

*

1

2

1

4

1

4

t

e t

m t

S E H

w D E

w B H

= ×

= ⋅

= ⋅

��

��

��



)39' עמ (תנאי שפה

Bאם : לסופיות השדה ( שדה מגנטי מתאפס– בעל פרמיאביליות אינסופית תווך או קיר .1 Hµ=��

אזי

0B H= =�� .לא מוליך. )

. אין הפסדים במעבר זרם דרכו.ען משטחיתומך בזרם ומט: מוליך מושלם .2

0inE :השדה החשמלי בתוכו מתאפס =��.

0E :השדה החשמלי ניצב לפני המוליך =�

sE ומתנאי הרציפות נקבל ,ρε⊥ =.

0) חוק פרדיי–אחרת משרה חשמלי (שדה מגנטי סטטי בתוכו B

t

∂=

∂

��

.

⊥0B: האינדוקציה המגנטית מקבילה לפני המוליך =.

J ( קיום חוק אוהם– בעל מוליכות סופית תווך .3 Eσ=�� עשוי . תומך במטען משטחי, לא תומך בזרם משטחי)

(עבור תווך דק . 1-להיות בעל מקדמים יחסיים שונים מ2

δµωσ

= ניתן להתייחס לזרם דרכו כאל ) ≪∆

. בנושא קירובים8ראה סעיף . זרם משטחי תומך :תווך שמוליך. לא תומך בכיסוי מטען משטחי או זרם משטחי: תווך שאינו מוליך– דיאלקטרי תווך .4

קומפלקסי מקדם דיאלקטרי.תומך בכיסוי מטען קיטוב משטחיבשני המקרים . בכיסוי מטען משטחי ).85' עמ(משמעותו הפסדים

תומך :תווך שמוליך. לא תומך בכיסוי מטען משטחי או זרם משטחי: תווך שאינו מוליך– פרמיאבילי תווך .5 . משטחימגנוטתומך בכיסוי מטען בשני המקרים . לא תומך בכיסוי זרם משטחי, בכיסוי מטען משטחי

.ל לרציפות השדה החשמלי המשיקי פוטנציאל חשמלי רציף במעבר בין תווכים שקו .6 ).חוק גאוס(אי רציפות של אינדוקציה מגנטית או חשמלית ניצבת תלויה גם במקדם היחסי .7יש למצוא . בגלל אי רציפות השדה המגנטי המשיקי, פוטנציאל מגנטי סקלרי לא רציף במעבר בין תווכים .8

.השדה לקביעת המקדמים

( )( )( )( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

1 0

1 0

1

1 0

n s

n

n

n s

sn

D D

E E

B B

H H J

J J Jt

ρ

ρΣ

⋅ − =

× − =

⋅ − =

× − =

∂⋅ − +∇ ⋅ + =

∂

��

��

��

��

��

:ת הרציפות בתחום התדרמשווא

( )1 21 0n s

J J J jωρΣ⋅ − +∇ ⋅ + =��

)157' עמ (שיקופים

.נרצה להגיע למצב בו התווך אחיד ואין משטחי הפרדה. אין לשקף באזור בו רוצים לחשב את הפוטנציאל .1

, שני טורים: מהם מאחד0xהמטען במרחק , זה מזהdמטען וכדומה מול שני לוחות מוארקים במרחק .2

0בארגומנט שלהם 2x x nd− 0, )שיקופים בסימן המטען המקורי (+ 2x x nd+ שיקופים בסימן הפוך (+

).לסימן המטען המקורי .זרמים משקפים בסימן זהה. מטענים משקפים בסימן הפוך .3



)97' עמ (קירובים

יש לחשב השדה המגנטי תחילה ולאחר מכן למצוא השדה החשמלי , יננטיתבהתקן בו האנרגיה המגנטית דומ .1 ). חורף תשסג2 בחן 3תרגיל . (על ידי חוק פרדיי) כתוצאה מהשינויים הזמניים של השדה הגנטי(המושרה

יש לחשב השדה החשמלי תחילה ולאחר מכן למצוא השדה , בהתקן בו האנרגיה החשמלית דומיננטית .2 .על ידי חוק אמפר) צאה מהשינויים הזמניים של השדה החשמליכתו(המגנטי המושרה

1: מימדי התקן קטנים :קווזיסטטיקה .3r r

l

c

ωε µ י השאפת התדר לאפס "ניתן לוודא הקירוב ע. ≫

מוליך : זהירות. להשאיף לאינסוף–גדולה , להשאיף לאפס–קטנה (בדיקת גבולות של מוליכות , )סטטיקה( ).הפסדיםמושלם חסר

אלא מחייב פתרון מלא של משוואות , בלבד לא מעיד על קווזיסטטיקהωε- לσיש לשים לב שהיחס בין σ(מקסוול בהזנחה מתאימה בחוק אמפר ωε≫135' בצירוף עומק חדירה קטן משמע אפקט הקרום עמ ,

σ ωε≪ משמע εבהנחת הפסדים קטנים בלבד בפתרון קווזיסטטי אין לבצע הזנחה ). 85' קומפלקסי עמ .זו

–בקוטביות הפוכה , מקורות מתח זהים בשני הצדדים באותה קוטביות לא מאפשרים זרם: בהתקן פלנארי .4 ).2חורף תשסג מועד א תרגיל (יתן להשתמש בסופרפוזיציה במקרה של מקורות שונים נ. כן

5. EQS)דרך מאולץעשוי להיות זרם . התקן שנראה כמו קבל ומאפשר הצטברות מטען על הלוחות: )98' עמ σ(מוליך גרוע ωε≪ (התקן שנסגר בקצה על . בין הלוחות כך שההפסדים קטנים ביחס לאנרגיה החשמלית

×∇0E(ניתן להגדיר מתח .אילוץ מתח או מטען משטחי. קיר בעל פרמאביליות אינסופיתידי =��

בין כל ) , מוליך בעל מוליכות סופית שזורם דרכו זרם. מוליך מושלם הוא משטח שווה פוטנציאל, בפרט. שתי נקודות

.שווה פוטנציאל –ללא זרם . ) חדירה גדולעומק(אולם השדה החשמלי בו אחיד , אינו משטח שווה פוטנציאל

): משוואת הרציפות )1 21 0ssn

J J Jt

ρΣ

∂⋅ − +∇ ⋅ + =

∂

�� .

מציאת קיבול על ידי A

Cd

ε=.

:משוואות מקסוול המתאימות

0

1

2

D

DJ

t

S D E J Et

ρ

∇×Ε =

∇⋅ =

∂∇×Η = +

∂∂ ∇ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ∂

��

��

��

��

6. MQS) בהיקף ההתקן ) מושלםבדרך כלל דרך מוליך(התקן שנראה כמו סליל ומאלץ זרם חזק : )109' עמ σ(והפסדים קטנים ωε≪(קטנים ביחס בנפחכך שההפסדים, דרכו שוטפת האינדוקציה המגנטית בנפח σ( או גבוהה מאוד התקן שנסגר על ידי קיר בעל מוליכות אינסופית.לאנרגיה המגנטית ωε≫ .( אילוץ זרםמוליך מושלם אינו , בפרט. ניתן להגדיר מתח במישורים מסויימים בלבד. בהיקף ההתקן או זרם משטחי

.משטח שווה פוטנציאל

⋅∇0J: משוואת הרציפות =�

): תנאי המעבר, )1 21 0n

J J⋅ − =� � �.

Lמציאת השראות על ידי I

Φ=. כאשר B daΦ = ⋅∫∫��

.

.יש לסכום השטף דרך כל כריכה בהתחשב בצפיפותן, בהתקן שמורכב מכריכות :משוואות מקסוול המתאימות

0

1

2

0

J

B

B

t

S B H J Et

J

∇×Η =

∇⋅ =

∂∇×Ε = −

∂∂ ∇ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ∂

∇ ⋅ =

��

��

��

��

��



σ(זורם זרם בהתקן דרך מוליך טוב : )118' עמ (זרימה סטציונרית .7 ωε≫ (כך שההפסדים , בנפח גדול

(גדול עומק החדירה . האגורהגדולים ביחס לאנרגיה2

lδµωσ

= )הוא אורך החומר המוליך lכאשר , ≪

.והשדה שוטף את כל ההתקן

1: לכן, אין זרימה החוצה מההתקן 21 2

n n

ϕ ϕσ σ

∂ ∂=

∂ ∂ ). 118' עמ (

) :משוואת הרציפות )1 21 0 0n

J J J⋅ − = ⇔ ∇⋅ =��

תנגדות על ידי מציאת הl

RAσ

=.

:משוואות מקסוול המתאימות

( )1 2

0

0

0 1 0n

J

B

D

S J E

J J J

ρ

∇×Η =

∇×Ε =

∇⋅ =

∇ ⋅ =

∇ ⋅ = − ⋅

∇ ⋅ = ⇔ ⋅ − =

��

��

��

��

��

��

: נתון, בהתקנים בהם יש חומר מוליך בנפח קטן .82

δµωσ

= . הוא אורך החומר המוליך∆כאשר , ≪∆

כמו , ולא דועך במעבר דרכו( החומר המוליך אכן קטן ושהשדה בתוכו אחיד משמעות התנאי היא שעוביכדי לקבל תנאי שפה של , ניתן להתייחס לזרם על גבי המוליך כאל זרם משטחי, כמו כן). באפקט הקרום

, בתנאי זה. יש להניח שעובי הפיסה הוא אפס בחישוב השדות והצבת הקורדינטות. השדה המגנטי המשיקיכי הנפח בו יש הפסדים הוא קטן ולכן ההפסדים למעשה , לכך שהמשטר הוא זרימה סטציונריתאין הכוונה

). מבחן אביב תשסו מועד א1 בחן אמצע חורף תשסג או תרגיל 1תרגיל . (זניחים

באפקט הקרום מתקיים .92

,lδ σ ωεµωσ

= ≪ ≫) lר מרחק כמה השדות דועכים לאח, ) אורך ההתקןδ

).135' עמ(

)205' עמ (גלים

. את וקטור פויינטינגלחשב את כל הגלים ואז כשהגלים במרחב בתדר זהה יש לחבר: לחישוב הספק .1 .כשהגלים בתדרים שונים ניתן לחשב הספק של כל גל בנפרד ולחבר

בגל . יש להשתמש בחוק פרדיי וגם אמפר, מוד לוכשנתון שדה אחד ורוצים לחשב את הצ, במקרה הכללי .2 .מישורי מספיק אחד מהם

.יש גל נסוג בנוסף לגל המתקדם, בבעיית גלים בה המקור נמצא מול מוליך מושלם .3

כשיש מקדמים יחסיים מהירות האור היא .4r r

c

µ ε⋅.

:עבור גלים מישוריים

0

0

2 2

0 0

00 0 2

0

11 1

1 11 1

2 2

1

kk

k k

ph g

E H H E

S H S E

c

v vk k

k E H

ηη

ηη

µ µ µ εηε ε

ω ω

= × = ×

= =

⋅ ==⋅

∂= =

∂

⊥ ⊥

��

��

� ��

:משוואת הגליםפתרון 2 2

2 2

2 2

22

10 0

j k r j k r

r r

X Xc c t

X Ae Be kc

ω

ωε µ− ⋅ ⋅

∂ ∇ + = ∇ − = ∂

= + =

� � � �

��

��

j-למעבר לתחום הזמן יש להכפיל ב te

ω ולקחת .חלק ממשי



שדות בחומר

).סך מטען הדיפול אפס ( הנפחי והמשטחי הוא אפס)כל אחד מהם בנפרד( והמיגנוט סך מטען הקיטוב .1 .טוב אלא לסך המטען הכלוא אין חשיבות לקי ברישום טכניבחוק גאוס .2מצרפים לפוטנציאל שמשרה השדה את הפונציאל של , בבעיות בהן מכניסים גוף לשדה שכבר קיים במרחב .3

).לא על כל אחד בנפרד(ודורשים תנאי שפה על הפוטנציאל הכולל ) 176,54' עמ (תגובת הגוף לשדה

פוטנציאל של דיפול חשמלי .4( )

3

04

s

r s

p r r

r r

ϕπε ε

⋅ −=

−

��

� pר כאש, �� qd=השדה של .)54' עמ(, מהמינוס לפלוס

): דיפול חשמלי )( )3

0

13 1 1

4r r

s

E p p

r rπε= ⋅ −

−

��

� ��.

Pבהנתן וקטור קיטוב קבוע .5��

למצוא , ניתן להניח צפיפות דיפולים אחידה בנפח, )בכיוון קרטזי( בגוף כדורי

pאת מומנט הדיפול ��

).176' עמ (4 ולחשב הפוטנציאל על ידי הנוסחאות בסעיף

.הפוטנציאל בתוך אחד מהם נובע מתרומת הפוטנציאלים של שניהם, בהנתן שני גופים מקוטבים במרחב .6למציאת הפוטנציאל במרחב ניתן למצוא את צפיפות מטען הפולריזציה הנפחית והמשטחית ולהתייחס אליה .7

.מטען רגילהכאל צפיפות

):175' עמ(קיטוב

( )( )( )( )

0

0 1 0 2 , ,

1 2

1 2

1 2

1

1 0

1 0

1

f-free,p-polarization,s-surface

n s f s p

n

n

n s

D E P

E E

E E

B B

H H J

ε

ε ε ρ ρ

= +

⋅ − = +

× − =

⋅ − =

× − =

��

��

��

��

��

( ), 1 2

P-polarization vector

n-dipoledensity

p-dipole moment of single charge

volume chargedensity

1 surfacechargedensity

polarization current density

p

s p n

p

P n p

P

P P

PJ

t

ρ

ρ

=

= −∇ ⋅

= − ⋅ −

∂=

∂

��

��

�

��

��

��

:השינוי במשוואות מקסוול

0 f p

E PH

t t

E

ε

ε ρ ρ

0

∂ ∂∇× = +

∂ ∂

∇⋅ = +

��

��

):191' עמ(מגנטיזציה

( )( )( )( )

0 0

0 1 0 2

1 2

1 2 ,

1 2

1

1 0

1

1

f-free,m-magnetization,s-surface

n s

n

n s m

n s

B H M

E E

E E

B B

H H J

µ µ

ε ε ρ

ρ

= +

⋅ − =

× − =

⋅ − =

× − =

��

��

��

��

��

( )0

, 0 1 0 2

M-magnetization vector

n -dipoledensity

m-magnetization of single dipole

volumedensity

1 surfacedensity

no magnetic current

m

s m n

M nm

M

M M

ρ µ

ρ µ µ

=

= −∇⋅

= − ⋅ −

��

��

��

��

��

:השינוי במשוואות מקסוול

0 0

H ME

t t

H M

µ µ

µ µ

0 0∂ ∂∇× = − −

∂ ∂

∇⋅ = −∇⋅

��

��



קליפות כדוריות ממוליך מושלם בסטטיקה

על פניה היא Qאם מאולץ מטען . שעשויה ממוליך מושלם שורר פוטנציאל קבועRבתוך קליפה ברדיוס .1

תורמת 04

Q

Rπε, פנימה

04

Q

rπε b וחיצוני aיוס פנימי בקליפה עבה בעלת ברד). כמו מטען נקודתי( החוצה

)מתקיים ) ( )a bφ φ=.

מראשית הצירים תורם פוטנציאל של d שנמצא מחוץ לקליפה כדורית נייטרלית במרחק qמטען .204

q

dπε

'יש לשקף מטען בגודל : עבור הפוטנציאל בחוץ. לתוכהR

q qd

= לנקודה −2

'R

dd

בתוך הקליפה על הקו =

).לנייטרליות(ומטען זהה בסימן הפוך בראשית הצירים ) 160' עמ(המחבר את שני המטענים

כלומר בהנתן מספר מטענים , קוי שדה" מיישרת"קליפה .3i

qהפוטנציאל , בנפח הקליפה במיקומים שונים

מחוץ לקליפה יהיה 04

inQ

rπε.

)45' עמ(פתרון משוואת לפלס

פתרון משוואת פואסון . הפתרון הכללי של משוואת לפלס הוא סכום של הפתרון הטריוואלי והלא טריוויאלי .1יש לדרוש קיום תנאי שפה של הפוטנציאל . הפתרון האי הומוגני+ הוא הפתרון הכללי של משוואת לפלס

).בנפרדולא של כל אחד (הכולל , הפתרון אינו מכפלת סינוסים, השפות ויש מטען בנפח4בהתקן מלבני שיש התאפסות הפוטנציאל בכל .2

הפתרון בשני מימדים חייב להיות מורכב . פתרון כזה לא מקיים משוואת לפלס. למרות שמקיים תנאי שפה

ממכפלת פונקציה טריגנומטרית בהירפבולית כאשר x y

k k=ונקבע על ידי התנאי של הסינוס .

⋅∇0Dכלומר , זרם אוהמי לא נחשב כצפיפות מטען בחוק גאוס .3 =��

מטען עשוי , עם זאת. בחומר אוהמי ).122' עמ(להצטבר במעבר בין תווכים

] בקטע xטור של .4 ],d d− הוא ( ) 1

2 1sin

nd n

x xn d

ππ

+− =

שימושי בפתרון משוואת לפלס . ∑

).ט מועד ב" מבחן חורף תשנ3תרגיל (כשאלקטרודה מחוברת לפוטנציאל קבוע

נוספות לסיכוםהערות

למשל בהתקן פלנארי השדה המגנטי ). z בכיוון r-שדה שתלוי ב(תלות השדה בקורדינטה לא קובעת את כיוונו .1תנאי שפה , הרכיבים הלא טריוויאלים של השדה ניתן למצוא על ידי סימטריהאת. בכיוון בו הלוח אינסופי

השדה לא תלוי בקורדינטה בה יש .חוק פרדיי ואמפר, )בהעזר בהנחת שדות אפס מחוץ להתקן(על רכיבי שדה .אינסופיות או מימד ההתקן קטן

. אפסהוא ויהפוטנציאל על פנ: מוארקגוף. אפסהוא סך המטען על פניו : נייטרליגוף .2 .מ2- והשראות בשיטות של מעגלים, התנגדות, ניתן לחשב הספק .3 .בחישוב משפט פוינטינג האינטגרלי יש לשים לב שהנורמל פונה החוצה מהנפח .4

0RCמתקיים ) כשכל הקבל מלא חומר מוליך (RCבמעגל .5ε

τσ

= כשרק חלק מהקבל מלא חומר ). 118' עמ (=

ההתנגדות כאילו היה כולו מלא חומר מוליך ולהכפיל ביחס בין ההתנגדות אילו היה כולו יש לחשב, מוליך ). קטןτ(מלא חומר מוליך להתנגדות הנתונה

): בקורדינטות כדוריות מתקיים .6 )2

2

1 11 4r r

r rπδ −∇ = ∇⋅ =

��.

Documents

044140-Summary