Es la figura geométrica formada por la reunión de tres segmentos determinadospor tres puntos no colineales.

ElementosB

A

CVértices

Lados:

AB , BC y AC

Angulos interiores:De medidas α , β , θ

α

β

θ

Angulos exteriores:De medidas x , y , z

x

y

z

Perímetro de un triángulo.- Es la suma de las longitudes de sus tres lados. Se representa por “ 2p”. El semiperímetro es la mitad del Perímetro. Se representa por “p”

2p= a +b + c

a

b

c

a+b+cp=

2

I) SEGÚN SUS ANGULOS

1) TRIANGULOS ACUTANGULOS

Los tres ángulos interiores son agudos

2) TRIANGULOS OBTUSANGULOS

Un ángulo interior obtuso

B) TRIANGULOS RECTANGULOS

Un ángulo interior es recto

A) TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

II) SEGÚN SUS LADOS

1) TRIÁNGULOS EQUILATEROS

Los lados de la misma medida

2) TRIANGULOS ISOSCELES

Dos lados de igual medida

3) TRIANGULOS ESCALENOS

Los tres lados de diferentes medidas

A)Ceviana

Es el segmento de recta

que tiene por extremos

un vértice y un punto cualquiera del lado

opuesto o de su prolongación.

1) CEVIANA INTERIOR

Es el segmento de recta

Trazado desde un vértice

hacia el lado opuesto.

2) CEVIANA EXTERIOR

Es el segmento de recta

trazado desde un vértice

hacia la prolongación

del lado opuesto

3) ALTURAEs la ceviana perpendicular que se traza por uno de los

vértices hacia el lado opuesto o hacia su

prolongación.El punto de intersección de las 3 alturas del triángulo se llama

ORTOCENTRO

4) MEDIANA

Es la ceviana que une el punto medio de uno de suslados con el vértice opuesto.

El punto de intersección de las tres medianas se llama

BARICENTRO y divide a cada mediana en dos

segmentos,cuyas medidas están en relación

de 2 a 1

5) BISECTRIZ INTERIOR

Es la ceviana que divide al ángulo en dos ángulos

congruentesEl punto de intersección de las tres bisectrices interiores

del triángulo se llama INCENTRO y

es el centro de la circunferencia inscrita en un

triángulo

6) BISECTRIZ EXTERIOR

Es la ceviana que divide al ángulo exterior en dos ángulos de la misma

medida.El punto de intersección de dos bisectrices exteriores del triángulo

se llama EXCENTRO. También se llama excentro al punto de

intersección de una bisectriz interior y otra exterior. El excentro

es el centro de la circunferencia exinscrita y equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros

dos.

B) Mediatriz

Es la recta perpendicular a uno de los lados que

pasa por el punto medio.El punto de intersección de las 3 mediatrices se llama

CIRCUNCENTRO y es el centro dela circunferencia circunscrita a un

triángulo

1) Cuando nos piden calcular la altura, bisectriz, mediana o

la ceviana de un triángulo, nos referimos a la longitud

comprendida entre el vértice y el punto de intersección

con el lado opuesto.

2) Se llaman ángulos adyacentes a un lado, a los

ángulos que tienen sus vértices en los extremos del

lado.

3) Un ángulo exterior es el adyacente suplementario

de su ángulo interior.

1) Teorema de la suma de las medidas de los ángulos

interiores.

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un

triángulo es 180º

2) Teorema del ángulo exterior

La medida de un ángulo exterior es igual a la

suma de las medidas de los ángulos interiores

no adyacentes

3) Teorema de la suma de lasmedidas de los ángulos

exteriores.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por

vértice) es igual a 360º.

4) Teorema de la suma de las medidas de dos ángulos

exteriores

La suma de las medidas de dos ángulos exteriores es igual a 180º más la medida del tercer ángulo

interior.

5) Teorema de la existencia de un triángulo

En un triángulo, la longitud de uno de sus lados es menor

que la suma de los otros dos, pero mayor que la diferencia

de dichos lados.

6) Teorema de la correspondencia

Cuando los lados de un triángulo no son congruentes, a la longitud

del mayor lado se opone la medida del mayor ángulo interior.

7) Teorema de la bisectriz interiorEn todo triángulo ABC, si BD es bisectriz interior, se cumple

xº - yº = aº - bº

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

1) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

2) La medida de los ángulos agudos deun triángulo rectángulo isósceles miden 45º cada uno.

3) Ningún triángulo puede tener más de de un ángulo recto.

4) Ningún triángulo puede tener más de de un ángulo obtuso.

5) La medida de un ángulo exterior es mayor que cualquiera de las medidas de los ángulos interiores que no le son adyacentes.

6) A la longitud del menor lado se le opone la medida del menor ángulo interior.

7) Al mayor lado le corresponde la menor altura, mediana y bisectriz

Dibuja (traza) un triángulo si sus lados miden, 5 cm, 8 cm y 6 cm

¿Qué clase de triángulo dibujo ?

¿Un triángulo acutángulo?

¿Un triángulo rectángulo?

¿Un triángulo obtusángulo?

¿O tal vez un…?

Paso 1 Aplicar el teorema de la existencia de un triángulo

Es decir determinar, si con las medidas dadas se puede trazar el triángulo

8-6<5<8+6 2 < 5 < 14

6-5<8<6+5 1 < 8 < 11

8-5<6<8+5 3 < 6 < 13

Entonces si se puede trazar el triángulo

Paso 2Ordenamos las medidas de los lados de mayor a menor y le asignamos una letra, elevamos cada una al cuadrado y sumamos solo las dos de la derecha.

(a)2 (b)2 + (c)2

(8)2 (6)2 + (5)2

64 36 + 25

64 61Luego escribo<, = ó >. En este caso pongo >

>

a) Si a2 < b2 + c2 será triángulo acutángulo

b) Si a2 = b2 + c2 será triángulo rectángulo

c) Si a2 > b2 + c2 será triángulo obtusángulo

Problema Nº 01Completa con los datos que creas necesario,identifica las figuras y escríbelas de acuerdo a lo indicadoa) Tres puntos no colinealesb) Un ángulo agudoc) Un ∆ acutángulo

d) Un ∆ isóscelese) Un ∆ rectángulof) Un ∆ escaleno

h) Un ángulo exterior de 60ºg) Un ∆ obtusángulo

Problema Nº 02

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) ( ) x = y + z

b) ( ) 2(a + x) = 180º

c) ( ) a + z = 90º

d) ( ) 2x = y + z

e) ( ) 2a + y + z = 180º

F

V

F

F

V

Problema Nº 03

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) ( ) Triángulo es la figura que resulta de reunir tres segmentos colineales.

F

b) ( ) Mediana es el segmento que uneun vértice con el punto medio de su lado opuesto.

V

c) ( ) En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de lasmedidas de los dos ángulos del triángulo no adyacentes a él.

V

Problema 01

Construye un triángulo obtusángulo isósceles sabiendo que sus lados Congruentes miden 4 cm cada uno.

Problema 02

Construye un triángulo sabiendo que las medidas de sus lados son a= 20 cm,b = 12 cm y c = 16 cm

Problema 03

Construye un triángulo sabiendo que un lado mide 6 cm y sus ángulos adyacentes miden 30º y 70º. Luego trace la altura del lado menor.

Problema 04

Trace la mediatriz de la hipotenusa de un triángulo rectángulo escaleno.

Problema Nº 01

En la figura AB = BC = AC, además AB = 2x + y,BC = 2y - 4x, AD = x + 2, CD = y - 1 y BD = x + y. Calcular el Perímetro ∆ DBC – Perímetro ∆ DBA

Solución

a) Colocamos las medidas de loslados

2x+y 2y-4x

x+2 y-1

x+yb) Como sus lados son congruentes, entonces2y-4x=2x+y. Luego y=6x

c) También 2x+y=x+2+y-1. Luego x=1, y=6

d) Reemplazamos y tenemos que AB=8,BC=8,CD=3,CD=5, BD=7.Entonces2p ∆ BDC-2p ∆ BDC=(8+7+5)-(8+7+3)= 2

Problema Nº 02

En la figura AB=BC=CD=DE. Calcular “x”

* ** *

1) Se forman tres triángulos isósceles. Marcamos sus lados congruentes

2) Por lo tanto m<ACB=x

3) m<DBC= 2x .Por < exterior

x

2x

2x

3x 3x

4) Lo mismo 2x por ser isósceles y 3x por <exteriore isósceles

5) Entonces, también por < exterior del triángulo ADE en D, x + 3x = 119 – 3x. Por lo que x = 17

Problema Nº 03

En la siguiente figura se cumple que EH = EJ y JG = JH. Calcular “x”

Solución

a)Colocamoslas marcas yvariables

a

a

a

b) Entonces m<EJH=aa

c) En el ∆EHJ, 2a+2x=180, a+x=90º a=90º-x

d) En el ∆EFG, x+9x+a=180º

e) Reemplazamos c) en d) y tenemos x+9x+(90º-x)=180º, x=10º

Problema Nº 04

Si AB = BC, AC = CE = DE, m<ABC = 40º. Calcular la m<DEA

Solución

a) Colocamos lasMarcas y variables

40º

a

a a

a

b b x

b) En el ∆ABC2a+40º=180ºa=70ºc) En el ∆ACEa=2b 70º=2b, b=35º (<e)

d) En el ∆ADEx+a+b=180º

e) Reemplazando b) y c) en d)x+70º+35º=180º.Luego x=75º

Problema Nº 05

En la figura AB=AD=CD. Calcular “a”

Solución

b

5a+b

4a b) En el ∆ADC(isósceles)m<DAC= 4a

a) Colocamos las marcas

c) En el cuadrilátero cruzado ACBD: b+5a+b=4a+3aDe donde b=a, luego el∆BDC es isósceles y el ∆ABD es equilátero

d) Luego 5a+b= 6a,6a= 60ºa=10º

Problema Nº 06

En el interior de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se toma un punto F tal que la m<FAB = m<FCA, m<B = 20º. Calcular la m<AFC.

Solución

xα

αβ

β

a) Trazamos la figura,asignamos marcasy variablesb) Como m<A=m<C

d) En el ∆AFC

x+80º=180ºx=100º

c) Del ABC

α +β +20 +α +β = 180

α +β = 80x +α +β = 180

En el exterior de un triángulo escaleno ABC, se toma un punto “Q” relativo al lado BC, tal que las longitudes de QB, QC y QA son proporcionales a 3, 4, y 5. Se sabe que el perímetro del ∆ ABC es

24 cm. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que puede tomar

“QA”.

Problema Nº 07

Solución

a) Por el teorema de la existencia del triángulo∆BQC: x < a < 7x∆AQC: x < b < 9x∆BQA: 2x < c < 8x

b) Σ mam4x < a+b+c < 24x4x < 24 < 24x x < 6 < 6xx < 6 y 6 < 6x , 1 < xEntonces 1 < x < 6

c) Como QA= 5x. 5 < 5x < 30, de dondeValores enteros de QAson: mínimo=6 y máximo= 29d) La suma pedida es 6 +29= 35

Problema Nº 08

Dos lados de un triángulo miden 7 y 9 cm. Determinar la suma de los valores enteros mínimo y máximo que puede tener el tercer lado.

Solución

a) Por el teorema de la desigualdad triangular9-7<x<9+7, 2 < x <16

b) Valores enteros:Mínimo= 3Máximo= 15Luego la suma= 18

Problema Nº 9

En el gráfico, PA = 2 y BR – RC = 3. Calcular “PQ”

Solucióna) Colocamos losdatos

a

b) m<BRQ=2a(<e)

c) Entonces el ∆QBREs isósceles

2a

d) En el ∆ABQ,m<BAQ=m<BQA= 180º-3a,Por lo tanto también esisósceles

180º-3a

180º-3a

e) Tenemos tambiénque AP=2

2f) En el ∆ ABCm<ABC=2a (<e)

g) Como ∆PBR es Isósceles, PB=PR2+AB=PQ+QR2+BR=PQ+RC2+BR-RC=PQ2+3=PQ=5

Problema Nº 10

En la figura, AB = CD, calcular “a”

Solución

a) m<DBC=5a(Cuadrilátero no convexo)

5a b) ∆ BCD esisósceles

c) ∆ABC es isóscelesm<ABC=m<ACB=3a.Entonces m<BCD=2a

2a

d) En el ∆BDC5a+5a+2a=180º

a=15

Problema Nº 11

Si OP = OR y OQ = OS, calcular “a”

Solución

x

x

12ay

y

b

a)De acuerdo a los datos los triángulos POR y QOS sonIsósceles.

c) En el∆ POR, 2x+b+5a=180º∆ QOS, a+b+2y=180º

d) Sumando mam2x+2y+2b+6a=360º

x+y+b+3a=180º12a+3a=180º

a=12

b) En el cuadriláteroQORT, 12a=x+y+b

Problema Nº 12

En la figura, calcular “x”

Solución

a) En el ABC, m<A = m<B = a

a

a

b) En el QCM, m<C = m<Q = b

c) En el ACQPor < exterior 2x= a +b

b

b

d) Luego 3x +a + b = 180º 3x + 2x = 180º

x = 36º

Problema Nº 13

En la figura calcular “a”

A B

C

x

x

2x 2x

3x

3x

4x 4x

5x

5x

Solución

a) En el triángulo ABC x + 5x = 90º

x = 15º

b) Luego 4x + a = 90º 4(15) + a = 90º

a = 30º

Problema Nº 14

En la figura, hallar el valor de “x”

Solución

a) En el triángulo ABC, <y : < formado por dos bisectrices interiores. y = 90º + x/2

b) En el triángulo PQM : y + 90º+ x = 360º , por < exterior

c) Reemplazando “y”, tenemos 90º + x/2 + 90º + x = 360º Por lo tanto x = 120º

Problema Nº 15

Calcular “a”

Solución

a) En el triángulo ABC , x = 90º + 4a/2. Por ser un ángulo formado por dos bisectrices interiores.

b) En el triángulo PQS, x + 4a = 180º. Porque la suma de las medidas de los tres ángulos interiores del triángulo, es Igual a 180º.

Reemplazando tenemos 90º + 6ª = 180º, siendo por lo tanto a = 15º

Problema Nº 16

Calcular el valor de “x”

a) En el triángulo ABCm<A + 90º = 90º + 2c.Entonces m<A = 2c

b) En el triángulo AHBm<A + c = 90º. Reemplazandotenemos que c = 30º

c) En el triángulo AHB “x” es la medida del ángulo formado por una bisectriz interior y otra interior.Por lo tanto x=c/2

Solución

x = 15º

Problema Nº 17

En la figura AP y BS son bisectrices, calcular “x”

D

3a

y

a) y = 6a. Por ser la medida del ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior

b) En el triángulo MQP y + 3a = 90º

3a

c) Remplazando a = 10º

d) En el triángulo ABDm<A + 12a + 4a = 180m<A+120º+40º=180 m<A=20º

e) En el triángulo AMSy= 10º + x, de donde x= 50º

Problema Nº 18

En la figura mostrada, AB = BC = BP. Calcular “x” si m<ABC = m<PAC = 20º

20º

20º

a) m<BAC=m<BCA= 80º

o o

o

b) m<BAP=m<BPA=80º-20º=60º.El ΔABDEs equilátero,m<CBP= 40º

60º

60º

80º

c) En ΔCBD m<CDB=m<BCD=70º

40º

70º

d) Luego x + 70º= 80 x= 10º

Problema Nº 19

Los lados de un triángulo isósceles miden 5 u y 13 u. Calcular su perímetro.

Problema Nº 20

En la figura mostrada, AB = BC = AD. Calcular “x”

*

*

*

a)Ponemos las marcas de lados Congruentes,luego m<ACB=5x

5x

b) Trazamos BD

c) El ΔABD es isósceles. Luego m<ADB=m<ABD=a

a

a 14x-a

d) Por la regla de la mariposa a+5x=14x-a+3xDe donde a= 6x,14x-a=8x,siendo el ΔBDCisósceles

*

e) ΔABD es equilátero. 18x= 180, luego x= 10º

Problema Nº 21

En la figura, m<BAE = m<CAE = 40º, m<ABE = 30º, m<ACE = 20º. Calcular “x”

Problema Nº 22

En la figura adjunta, calcular “x”

70 70 50

80

a) Completamos los datos

b) En el ΔBCEm<BEC=80º , luego en el ΔBED

m<BDC=40

40

c)ΔBCE y ΔBED son isósceles

6040

Problema Nº 23

Calcular el perímetro de un ∆ ABC enel cual AB=2x-1, BC= 6-x, AC= 3x-1.Se sabe que x es un entero positivo.