相対論的運動量と運動方程式

問題（矛盾点）運動量の保存が成り立たない？

!pi1+!pi2!!pf1+!pf2" ?

!pi1

!pi2

!pf1

!pf2

簡単な説明

!pi1+!pi2=!pf1+!pf2 のｙ成分

m1

dyi1

dti1

+ m2

dyi2

dti2

= m1

dyf1

dtf1

+ m2

dyf2

dtf2

（１）

時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意

ローレンツ変換

!t =t " (u / c2 )x

1" #2

!x ="ut + x

1" #2

!y = y, !z = z

簡単な説明

!pi1+!pi2=!pf1+!pf2 のｙ成分

m1

dyi1

dti1

+ m2

dyi2

dti2

= m1

dyf1

dtf1

+ m2

dyf2

dtf2

別の座標系では

m1

d !yi1

d !ti1

+ m2

d !yi2

d !ti2

= m1

d !yf1

d !tf1

+ m2

d !yf2

d !tf2

このため、Lorentz変換で（１）と（２）は相容れない特に、時間が粒子、座標系によって変わってしまうことが問題

（１）

（２）

時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意

相対論的運動量

!p = m

d!x

d!=

m!v

1" #2! は固有時間

相対論的運動量

!p = m

d!x

d!=

m!v

1" #2! は固有時間

相対論的運動方程式

!F =

d!p

dt=d

dtmd!x

d!"#$

%&'

例：一定の力を受けて加速する粒子

力と運動の方向は同じとする

F =d

dtmdx

d!"#$

%&'= m

d

dt

dx

1( )2 dt

"

#$$

%

&''=

m

1(v2

c2

"

#$%

&'

3/2

dv

dt

! =v

c

例：一定の力を受けて加速する粒子

力と運動の方向は同じとする

F =d

dtmdx

d!"#$

%&'= m

d

dt

dx

1( )2 dt

"

#$$

%

&''=

m

1(v2

c2

"

#$%

&'

3/2

dv

dt

! =v

c

この式を解くと

v =at

1+ a2t2, a =

F

m

速度の時間変化

v

t

相対論

Newton

無限大へ

光速度へ

1

0.5

0

エネルギー

K = d!s !!F" = d

!s !d!p

dt" ,!p =

m!v

1# $2

運動エネルギー

K =0

v

! dxF =0

v

! dxd

dt

mv

1" v2 / c2=

0

v

! vdmv

1" v2 / c2#

$%&

'(

計算：力と移動の向きを同じに取る

K =mc

2

1! v2/ c2

! mc2" E =

mc2

1! v2/ c2

静止エネルギーとして E = mc2

四元運動量

(E,!p) =

mc2

1! "2,

m!v

1! "2

#

$%%

&

'((

d! = dt 1" #2 なので

(E,!p) = m c

2 dt

d!,d!x

d!"#$

%&'

c=1( )(( md

d!(t,!x)

τ とmはローレンツ変換の元で不変なので

(E,!p)

(t,!x)は と同じように変換する

四元運動量（四元ベクトル）

ベクトル

（１）成分をもった量（物理量＝観測される量）（２）座標変換の元で一定の規則に従って移り変わる量

(E,!p) のように、ローレンツ（座標）変換の元で

(t,!x) と同じように変換する量を、四元ベクトルという

スカラー

座標変換の元で変換しない、一定（固有）の量

一般にはテンソル Tijk!