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luz e materia. astrofisica
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Interação Luz-matéria
Prof. Dr. Gustavo A. Lanfranchi
1
2
Interação Luz-matéria
O que são e como se formam as linhas espectrais?
O que são os fótons, quais as suas características ? Como eles interagem
com a matéria?
Quais são os modelos de átomo de Bohr e quântico?
O que é a ualidade onda-partícula? Quais são suas consequências?
3
Linhas Espectrais
Auguste Comte (1842) em um livro afirmou sobre as estrelas:
“Nós vemos como podemos determinar suas formas, sua distância, seu volume e
seus movimentos, mas nunca poderemos saber nada sobre sua estrutura química
ou mineralógica.”
Trinta anos antes, porém, William Wollaston (e Newton antes) observou o
espectro da luz ao passá-la através de um prisma.
Luz branca espectro
Um raio de luz, ao passar por um prisma, é decomposto em todos os seus
comprimentos de onda.
4
Linhas Espectrais
Auguste Comte (1842) em um livro afirmou sobre as estrelas:
“Nós vemos como podemos determinar suas formas, sua distância, seu
volume e seus movimentos, mas nunca poderemos saber nada sobre sua
estrutura química ou mineralógica.”
Trinta anos antes, porém, William Wollaston (e Newton antes) observou o
espectro da luz ao passá-la através de um prisma.
Descobriu uma série de linhas espectrais escuras sobreimpostas ao espectro
solar em certos comprimentos de ondas.
Joseph Fraunhofer observou a luz captada pelo telescópio através de uma
prisma e mapeou centenas de linhas no espectro do Sol, Lua e planetas.
Linhas Espectrais
Raias espectrais em outras estrelas eram diferentes.
Fez a primeira observação que demonstrou que Comte estava errado: associou
uma das linhas ao comprimento de onda da luz amarela emitida em uma chama.
6
A emissão de luz por uma determinada substância é chamada emissão
espectroscópica.
O processo oposto, a absorção espectroscópica, é que, no início, chamou a
atenção dos astrônomos.
Robert Bunsen e Gustav Kirchhoff estabeleceram a base da espectroscopia e
associaram as linhas produzidas nos espectros a elementos químicos.
Linhas Espectrais- espectroscopia
A descoberta da linha de sódio deu início à espectroscopia: estudo dos átomos,
luz, comprimentos de onda e cores.
Kirchhoff resumiu a produção das linhas espectrais em três leis: Leis de
Kirchhoff.
7
Luz
branca
espectro
Linhas Espectrais – Leis de Kirchhoff
Um gás quente e denso (ou um sólido) produz um espectro contínuo, sem
linhas espectrais.
8
gás quente
linhas de emissão
Um gás quente e difuso produz linhas espectrais brilhantes: linhas de
emissão.
Linhas Espectrais – Leis de Kirchhoff
9
gás frio
linhas de absorção
Linhas Espectrais – Leis de Kirchhoff
Um gás frio e difuso na frente de uma fonte de um espectro contínuo
produz linhas espectrais escuras (linhas de absorção) no espectro.
10
A aplicação imediata à astronomia foi a identificação de elementos químicos
no Sol e outras estrelas.
11
Linhas Espectrais - aplicação à astronomia
Robert Bunsen e Gustav Kirchhoff observaram no Sol Na, Ca, Mg, Fe, Cr, Ni,
Ba, Cu e Zn.
Em 1868, um novo elemento foi descoberto no Sol – hélio, observado na Terra
somente em 1895.
Uma outra área de investigação é feita pela medida do desvio Doppler das
linhas espectrais.
Para estrelas individuais com velocidades muito menores que a da luz, a
velocidade radial pode ser determinada por:
c
vr
reprep
repobs
Exercício 1: o comprimento de onda de repouso de uma importante linha
espectral do H (Ha) é 656,281 nm quando medida no ar. Entretanto a mesma
linha no espectro de Vega aparece em 656,251 nm. Qual é a velocidade radial
dessa estrela?
12
Linhas Espectrais - aplicação à astronomia
c
vr
reprep
repobs
89
99
10310281,656
10281,65610251,656 rvs
kmrv 71,13
A descrição da radiação de corpo negro resultou em uma nova concepção de
matéria e energia.
13
Fótons
A constante de Planck, h, é a base do que se chama hoje Mecânica Quântica e
é reconhecida como uma constante fundamental da natureza como a
velocidade da luz e G.
Embora o próprio Planck não estivesse completamente satisfeito com as
implicações da quantização da energia, a teoria quântica foi desenvolvida e é
espetacularmente bem sucedida em explicar o mundo físico.
O passo seguinte nessa evolução foi dado por Einstein, que demonstrou sem
dúvidas a quantização da energia.
Quando luz é incidida em um metal, elétrons são ejetados da superfície –
efeito fotoelétrico.
14
Fótons – efeito fotoelétrico
Os elétrons são emitidos com várias energias, mas os gerados mais próximos
da superfícies possuem a mesma energia cinética máxima Kmax, independente
da quantidade de luz incidente.
Ao aumentar a intensidade da luz, mais elétrons são emitidos, mas com a
mesma energia.
Por outro lado, a energia máxima varia com a frequência da luz incidindo na
superfície.
Cada material possui uma frequência de corte:
c
c
c
A teoria eletromagnética de Maxwell não é capaz de explicar esse fato.
Einstein, ousado, utilizou a teoria de quantização da energia de Planck para
explicar esse fenômeno.
15
Fótons – efeito fotoelétrico
Segundo ele, a luz incidente no metal é constituída de um feixe de partículas
sem massa chamadas fótons.
A energia de um único fóton com frequência e comprimento de onda é
apenas o quantum de energia de Planck:
hchE
Exercício 2: calcule a energia de um único fóton da luz vermelha, com
comprimento de onda 700,0 nm.
16
Linhas Espectrais - aplicação à astronomia
hcE
700
07,1240E eVE 77,1
nmeVmhc 07,124010310135667,4 1715
Exercício 3: quantos fótons visíveis de 500,0 nm são emitidos por uma
lâmpada de 100,0 W, supondo que ela seja monocromática?
hcE eVE 48,2
500
07,1240JE 1919 1097,3106,148,2
E
n100
sfotonsn 201052,2
Segundo Einstein, quando um fóton atinge o metal sua energia é absorvida por
um único elétron, que escapará do metal se a energia for igual à sua energia de
ligação.
17
Fótons – efeito fotoelétrico
Assim, se a energia mínima de ligação do elétron for f:
ffotonEKmax f
f hc
hKmax
A explicação do efeito fotoelétrico estabeleceu a teoria dos quanta de Planck e
deu o prêmio Nobel à Einstein em 1921.
Em 1922, Arthur H. Compton analisou a variação no comprimento de onda de
fótons de raios-x quando espalhados por elétrons livres e forneceu a mais
convincente evidência do comportamento de partícula da luz quando
interagindo com a matéria.
18
Fótons – efeito Compton
Como os fótons não têm massa, sua energia e momento estão relacionados
por:
pchc
hE foton
Compton supôs uma colisão entre o fóton e o elétron livre, em repouso:
O elétron é espelhado em um ângulo f e o
fóton em um ângulo q, com uma energia
menor e um comprimento de onda maior.
q cos1cm
h
e
if
Após a confirmação da dualidade onda-partícula no comportamento da luz e a
explicação da radiação de corpo negro, restava entender as linhas escuras ou
claras nos espectros estelares.
No final do século XIX acreditava-se que os átomos eram
constituídos de números iguais de cargas elétricas negativas
e positivas em distribuição incerta – modelo de Thomson.
19
O modelo de átomo de Rutherford
Ernest Rutherford descobriu, em 1911, que as partículas
positivas ficam concentradas em um pequeno e maciço núcleo
ao bombardear partículas a em folhas de metal – algumas
desviavam, mas umas poucas voltavam.
Átomos neutros possuem Z elétrons orbitando o núcleo e Z
prótons confinados no núcleo junto com os nêutrons.
20
O modelo de átomo de Rutherford
O núcleo atômico têm um diâmetro aproximadamente 100 mil
vezes menor que o do átomo, ou seja, ele seria uma pulga dentro
de um ginásio esportivo vazio.
Rutherford propôs então um novo modelo de átomo.
Como estão distribuídos os elétrons? A resposta veio de uma abundante série
de dados observados: os comprimentos de onda de 14 linhas do H tinham sido
precisamente medidas.
Em 1885, Johann Balmer, por tentativa e erro, encontrou uma fórmula para
determinar os comprimentos de ondas dessa linhas, hoje chamadas de linhas
de Balmer:
21
Comprimentos de onda do Hidrogênio
As linhas na parte visível do espectro eram: Ha em 656,3 nm, Hb em 486,1
nm, Hg em 434,0 nm e Hd em 410,2 nm.
2
1
4
11
nRH
n = 3, 4, 5 ....
RH = 1,09677583 x 107 m-1
A fórmula era bem precisa, em uma fração de porcentagem e pode sere
generalizada:
22
111
nmRH
m < n, ambos inteiros
As linhas correspondentes a m = 1 são chamadas de linhas de Lyman,
encontradas na parte ultravioleta do espectro.
22
Comprimentos de onda do Hidrogênio
Muitas linhas não observáveis do H foram depois descobertas, de acordo com
as previsões de Balmer.
As linhas de Paschen correspondem a m = 3 e estão na parte infravermelho
do espectro.
Exercício 4: determine os comprimentos de onda das linhas Lya (2 1), Lylim
(∞ 1) e Pab (5 3).
22
111
nmRH
22
7
2
1
1
110097,1
1
aLy
nmLy 54,121a
1
1
110097,1
12
7
limLynmLy 16,91
lim
22
7
5
1
3
110097,1
1
aPa
nmPa 90,1281a
O modelo com o elétron e o próton se movendo ao redor do centro de massa
previa um colapso do elétron no núcleo em apenas 10-8 s.
23
Modelo de átomo de Bohr
Não havia ainda, entretanto, um modelo de átomo satisfatório que explicasse
os resultados.
Niels Bohr, então, propôs que o momento angular do átomo de hidrogênio
deveria ser quantizado: poderia assumir apenas valores múltiplos inteiros da
constante de Planck dividida por 2 p: n
nhL
p2
Segundo Bohr, com esses valores precisos de momento angular, o elétron
ficaria estável e não colapsaria no núcleo.
Qual é a implicação física dessa hipótese?
24
Modelo de átomo de Bohr
Em primeiro lugar, deve-se considerar a atração elétrica entre o próton e o
elétron:
Como a massa total do sistema (M = me + mp) é aproximadamente a massa do
próton e a massa reduzida (m = me mp /(me + mp)) a do elétron, pode-se supor
o próton de massa M em repouso e o elétron de massa m em órbita circular ao
seu redor.
rr
qqF
2
21
04
1
p
Assim, a força elétrica será igual à força centrípeta:
rr
vr
r
qqˆˆ
4
1 2
2
21
0
mp
r
v
r
e 2
2
2
04
1m
p 2
2
0 2
1
8
1v
r
em
p
r
eK
2
08
1
p
25
Modelo de átomo de Bohr
A energia potencial do átomo de Bohr é:
Como:
r
eU
2
04
1
p
r
eK
2
08
1
p KU 2 KKUE
Ou seja, a energia do átomo está em acordo com o Teorema do Virial.
KUE 21
Como K é positivo, E é negativo, ou seja, o elétron e o próton estão ligados, é
necessário fornecer uma energia E para ionizar o átomo.
26
Modelo de átomo de Bohr
Utilizando o momento angular quantizado para obter a energia cinética:
nvrL m 22
2
0 2
1
8
1 rvr
e mmp
2
22
0 2
1
8
1
r
rv
r
e
m
m
p
rpara
r
n
r
e2
22
0 2
1
8
1
mp
2
2
2
04n
er
m
p 2
0nar
A constante a0 (= 0,0529 nm) é o raio de Bohr. Assim, o elétron só pode
orbitar o núcleo a distâncias específicas, nas quais ele fica estável.
Substituindo a expressão do raio de Bohr na energia é possível calcular as
energias permitidas do átomo de Bohr:
222
0
2
4 1
32 n
eE
p
m ou eV
nE
2
16,13
27
Modelo de átomo de Bohr
O inteiro n, número quântico principal, determina as características de cada
órbita do átomo de Bohr.
eVn
E2
16,13
Quando o elétron estiver na órbita mais próxima do núcleo (estado
fundamental - n = 1 e r1 = a0) sua energia será -13,6 eV, ou seja, essa é a
energia necessária para ionizar esse átomo.
Exercício 5: determine o raio e a energia de ionização de um elétron do H no
primeiro estado excitado.
eVE 40,32
16,13
2
2
0nar 220529,0r nmr 2116,0
28
Modelo de átomo de Bohr
Se o elétron não emite radiação em nenhuma das suas órbitas, qual é a origem
das linhas espectrais?
Bohr propôs que um fóton é emitido ou absorvido quando um elétron sofre
uma transição para uma órbita menor ou maior.
A diferença de energia entre os orbitais será igual a energia do fóton:
12 EEE
2
1
22
0
2
4
2
2
22
0
2
4 1
32
1
32 n
e
n
ehc
p
m
p
m
2
2
2
1
32
0
3
4 11
64
1
nnc
e
p
m
Essa equação é a generalização da fórmula de Balmer com:
1
32
0
3
4
3,1096775864
mc
eRH
p
m
29
Modelo de átomo de Bohr
Exercício 6: qual é o comprimento de onda de um fóton emitido quando em
elétron faz a transição do segundo para o primeiro nível excitado do átomo de
H de Bohr?
12 EEE
2
2
2
3
16,13
16,13
nn
hc
22 2
1
3
16,13
hc
88889,1
hcnm387,656
O valor calculado é um pouco diferente do medido, pois este foi feito no ar e
não no vácuo. A velocidade da luz ao nível do mar é aproximadamente
1,000297 vezes menor.
30
Modelo de átomo de Bohr
O processo contrário ocorre da mesma maneira. Um fóton com energia
específica pode fazer um elétron “subir” de nível orbital.
Dessa maneira, as leis de Kirchhoff puderam ser explicadas fisicamente:
• um corpo denso quente produz um espectro contínuo sem linhas espectrais; esse é o espectro
de um corpo negro emitido a uma temperatura T, que pode ser descrito pela função de Planck
e cujo comprimento de onda de emissão máxima é dado pela Lei de Wien;
• um gás difuso quente produz linhas espectrais brilhantes de emissão; elas são produzidas
quando em elétron sofre uma transição de uma órbita de maior energia para uma com menor
emitindo um fóton com a diferença de energia;
• um gás difuso frio na frente de uma fonte quente produz linhas espectrais escuras de absorção
no espectro desta; elas são produzidas quando em elétron sofre uma transição de uma órbita
de menor energia para uma com maior energia ao abosver um fóton com a diferença de
energia;
Átomo de hidrogênio:
UV
Visível
IV
n: 2 1 a
n: 3 1 b
n: 4 1 g
n: 3 2 a
n: 4 2 b
n: 5 2 g
n: 4 3 a
n: 5 3 b
n: 6 3 g
31
Modelo de átomo de Bohr
32
Modelo de átomo de Bohr
Apesar do sucesso do modelo de átomo de Bohr, ele não está correto, é uma
descrição semiclássica.
Os valores dos momentos angulares não são os dados pelo modelo, os elétrons
não estão se deslocando em órbitas ao redor do núcleo, as órbitas nem
existem.
Em níveis atômicos a natureza é incerta, governada por probabilidades.
33
Dualidade onda-partícula
O último ”ato” da revolução quântica começou com um príncipe Louis de
Broglie que questionou se as partículas também não se comportariam como
ondas.
Em 1927, na sua tese de doutorado, de Broglie expandiu o conceito da
dualidade onda-partícula para toda natureza - fótons possuem energia e
momento, relacionados à frequência e ao comprimento de onda por:
h
E
p
h
Segundo ele, essas equações poderiam ser usadas para todas as partículas:
prótons, elétrons, nêutrons, átomos, moléculas. E isso foi confirmado
experimentalmente.
34
Dualidade onda-partícula
Ao atravessar uma fenda dupla, elétrons
apresentam um padrão de interferência típico de
ondas.
A dualidade onda-partícula é aplicada a tudo no
mundo físico: tudo exibe comportamento de
onda ao se propagar e manifesta a natureza de
partícula em interações.
Exercício 7: compare os comprimentos de onda de um elétron se movendo a 3
x 106 m/s e de uma pessoa de 70,0 kg correndo a 3,0 m/s.
p
h
vm
h
e
e
631
34
1031011,9
10626,6e nme 242,0
vm
h
p
p
370
10626,6 34
p nmp
271015,3
35
Dualidade onda-partícula
No experimento de fenda dupla, cada fóton ou elétron deve atravessar as duas
fendas, pois o padrão observado é produzido por interferências construtivas e
destrutivas de duas ondas.
Portanto, a onda não pode portar informação sobre a localização exata do
elétron ou fóton, apenas sobre onde ele pode estar.
É uma onda de probabilidade, com amplitude . O quadrado dessa amplitude,
2, em um certo local descreve a probabilidade de encontrar o elétron ou
o fóton naquela posição.
36
Princípio da incerteza de Heisenberg
O caráter ondulatório da matéria gera um comportamento inesperado no
mundo físico: a precisão (ou incerteza) na localização de um partícula é
inversamente proporcional à precisão (ou incerteza) no seu momento.
Portanto, a onda não pode portar informação sobre a localização exata do
elétron ou fóton, apenas sobre onde ele pode estar. Quando um aumenta, o
outro diminui.
Werner Heisenberg demonstrou teoricamente esse resultado da seguinte
maneira:
2
px
Princípio da Incerteza de Heisenberg
Outra maneira de se escrever o princípio, e função da energia e do tempo é:
tE
37
Exercício 8: imagine um elétron confinado em uma região do espaço do
tamanho do átomo de H (5,29 x 10-11 m). Determine sua velocidade e energia
cinética mínima a partir do princípio da incerteza.
Princípio da incerteza de Heisenberg
px
x
p
11
34
1029,5
100546,1p 1
241098,1
s
mkgp
1
24
min 1098,1s
mkgpp
31
24
minmin
1011,9
1098,1
em
pv
s
mv 6
min 1017,2
2
min221
min vmE eVJE 5,131015,2 18
min
38
O átomo da mecânica quântica
De acordo com o princípio da incerteza, as órbitas dos elétrons não podem ter
posições definidas e seus momentos não podem ser totalmente determinados
ao mesmo tempo.
Os orbitais eletrônicos, nesse contexto,
devem ser imaginados com nuvens
difusas de probabilidade, mais densas
onde a probabilidade de encontrar o
elétron é maior.
39
O átomo da mecânica quântica
40
O átomo da mecânica quântica
41
O átomo da mecânica quântica
Em 1926, Erwin Schrödinger descobriu uma equação de onda que estabeleceu
a Mecânica Quântica.
Essa equação pode ser resolvida para as ondas de probabilidade que
descrevem os valores permitidos da energia, momento, etc. de uma partícula,
assim como sua propagação no espaço.
tiV
m
22
2
Quando aplicada ao átomo de H, fornece os mesmos conjuntos valores de
energia que as previsões do átomo de Bohr, porém com mais dois números
quânticos (além do n): l e ml, necessários para descrever completamente os
orbitais.
42
O átomo da mecânica quântica
Os números quânticos adicionais definem o vetor momento angular do átomo.
Onde l = 0, 1, 2, 3, ...., n -1 é o número quântico principal que define a
energia.
1 llL
Porém, ainda se usa a designação espectroscópica histórica s, p, d, f, g, h para
o número quântico l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Por exemplo: 2p corresponde a n = 2
e l = 1, 3d a n = 3 e l = 2.
A componente z do momento angular pode ter somente os valores:
12 lmmL llz
Os valores da energia de um átomo isolado de H não dependem de l e ml, ou
seja, a direção do momento angular não tem efeito sobre a energia do átomo.
43
O átomo da mecânica quântica
Entretanto, sob ação de um campo magnético externo, os elétrons terão sua
órbitas afetadas dependendo da orientação do movimento do elétron (2l + 1
possibilidades).
As transições eletrônicas entre esses orbitais degenerados geram novas linhas
espectrais com frequências ligeiramente diferentes.
0
A separação de linhas espectrais devido a um campo magnético é chamada de
Efeito Zeeman.
As frequências da divisão de linhas no caso mais simples são dadas por:
mp
40
eB
0 é a frequência sem o campo magnético.
44
Exercício 9: nuvens interestelares possuem campos magnéticos da ordem de
~2 x 10-10 T. Calcule a variação na frequência produzida por um campo
magnético dessa intensidade sobre um elétron usando sua massa como a
massa reduzida.
O átomo da mecânica quântica
em
eB
p
4
31
1019
1011,94
102106,1
p Hz795,2
A emissão em rádio da linha de H (21 cm) é 1,4 x 109 Hz.
45
Spin e princípio de exclusão de Pauli
Além dos três números quânticos principais, foi descoberto um quarto: o
elétron possui spin.
121
21 S
Ele é um efeito puramente quântico que dá ao elétron um momento angular de
spin S.
2
3S sz mS 21sm
Ele é um efeito puramente quântico que dá ao elétron um momento angular de
spin S.
Com cada orbital (estado quântico) definidos por quatro números, quantos
elétrons poderiam ocupá-lo?
46
Spin e princípio de exclusão de Pauli
Wolfgang Pauli, em 1925, propôs uma solução:
Os mesmos quatro números quânticos não podem ser compartilhados por 2
elétrons diferentes – Princípio de Exclusão de Pauli.
Isso explicou a estrutura eletrônica dos átomos e as propriedades dos
elementos na tabela periódica, mas Pauli ficou insatisfeito com a falta de
explicação física para o spin.
Em 1928, Paul A. M. Dirac encontrou a solução para o spin ao combinar a
equação de Schödinger com relatividade e também explicou o princípio de
Pauli ao dividir as partículas fundamentais em duas classes: férmions e
bósons.
47
Spin e princípio de exclusão de Pauli
Eles obedecem o princípio de exclusão e dois deles não podem possuir o
mesmo estado quântico.
Férmions são partículas como os prótons, elétrons e nêutrons, que possuem
spin ...,23
21
Eles não obedecem o princípio de exclusão, portanto podem possuir o mesmo
estado quântico.
Bósons são partículas como os fótons, que possuem spin ...2,,0
Dirac ainda previu a existências das anti-partículas.