04_-_Equacoes_de_Poisson_e_de_Laplace[1]_copy (1)

8/2/2019 04_-_Equacoes_de_Poisson_e_de_Laplace[1]_copy (1)

1/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoEquaes de Poisson e de Laplace

Lei de Gauss (Forma Pontual) = 1 Equao de Maxwell: VD =

Como ED

.= : ( ) VE =

.

VE=

Mas como gradVE =

: ( )

VV =

Obs.: ( )V

o divergente do gradiente, que o Laplaciano ( )2

Logo:

VV

=2

Mudana de notao a partir deste ponto: V passa a ser identificado co-

mo (no confundir com das coordenadas cilndricas e esfricas).

V= 2 Equao de Poisson

Para 0=V : Equao de Laplace02 =

1


2/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoClculo do Laplaciano

1 - Coordenadas Cartesianas:

2

2

2

2

2

2

2

zyx

+

+

=

2 - Coordenadas Cilndricas:

2

2

2

2

2

2 11

z

+

+

=

3 - Coordenadas Esfricas:

2

2

222

2

2

2

.

1

.

11

+

+

=

senrsen

senrrr

rr

2


3/27


4/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoNa superfcie do condutor interno, r = a e V= : B

a

AV += .

Pela segunda condio de contorno (fronteira), tem-se r = b e , logo:0=

Bb

A+=0

Resolvendo o sistema de equaes:

=+

=+

0Bb

A

VBa

A

=ba

V

A 11 e

=1

ab

V

B

O potencial (distribuio de potenciais) resulta:

=br

ba

V 11

11

A distribuio de campos eltricos pode ser obtida a partir de: =

E .

Deste modo, tem-se:

rarE

= , pois varia apenas com r.

Logo: rar

ba

VE

2

1.

11

=

Para o clculo da capacitncia, deveremos obter o valor da carga arma-

zenada no capacitor. Para isto, convm aplicar a Lei de Gauss:

4


5/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo

QSdD =

QSdE =

.0

=

2

0 0

2

20 ....

1

.11 ddsenaaba

V

Q

( )

=

ba

VQ

11..2.cos

00

=

ba

VQ

11

...40

A capacitncia a relao entre a carga e a ddpaplicada, ou seja:

V

QC=

=

ba

C11

..40

5


6/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 2: Considere um capacitor de placas planas e paralelas composto

por duas camadas dieltricas. Obtenha a distribuio de potenciais, campos

eltricos e capacitncia empregando equaes de Laplace e condies de con-

torno (fronteira).

Resoluo:

Aplicando Laplace: 02

2

=

z

( ) BzAz += .1 para 1 = ( ) Vz == 01

( ) GzFz += .2 para 2 = ( ) ( )1211 dzdz ===

( ) 02 == dz

Tem-se tambm: ( ) ( )1211 .. dzzDdzzD ===

Como ED .= , resolvendo o sistema de quatro equaes e quatro incg-

nitas, lembrando que ( ) ( )1211 .. dzzDdzzD === , corresponde a:

( ) ( )122111

.... dzzEdzzE ===

Como := gradE ( ) ( )11

2211..

dzdzgradgrad

===

( ) ( )zz aFaA

....21

=

Ou seja: FA .. 21 = e AF2

1

=

6


7/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoTem-se ento:

+

=

2

1

21.

dd

VA

VB =

2

1.

AF=

( )FddG .21 +=

E: ( ) Vdd

zVz +

+

=

2

1

21

1

.

.

e ( )

( )[ ]

2

1

21

21

2

1

2

.

..

dd

ddzV

z

+

+

=

( ) zz add

VE

2

1

21

11

.

+

== e ( ) zz add

V

E

2

1

21

2

1

22

.

.

+

==

Note que: SzDzE == ...

111

( )

2

1

21

1

1

.

.

2

ddV

CV

rea

ddp

QC Sreadeunidadepor

m

S

+

====

7


8/27


Exerccio 3: Anlise do caso do capacitor cilndrico.

Neste caso a equao de Laplace se simplifica de modo que:

01

=

ou seja, 0

1=

d

d

d

d

Supondo que 0 : 0=

d

d

d

d

Integrando: Ad

d=

Rearranjando e integrando mais uma vez, tem-se:

A

dd =

( ) BA += ln.

8


9/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoAs superfcies equipotenciais so dadas por = constante e so cilin-

dros. Para em0

V= a= e 0= em b= :

+=+=BbABaAV

ln.0

ln.0

Resolvendo: ba

bVB ln.ln.

0

=

=

a

bVA ln.

0

Ento: ba

bV

a

bV ln.ln.ln.ln.

00

=

=

ba

bV

ln.ln.

0

=

b

a

bV

ln

ln

0

=

a

b

b

V

ln

ln

0

Para o campo eltrico:

a

d

dE

==

a

a

bV

d

d

=

ln

110

Ou seja:

a

a

b

VE

=

ln

10

9


10/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoClculo da capacitncia:

=

=

a

ba

VDna

ln.

. 00

LaDnQa

...2. =

=

Assumindo L = 1m:

=

=

a

b

Va

a

ba

VQ

ln

.2....2

ln.

.0000

Como a capacitncia dada pela relao entre a carga armazenada e a

ddpaplicada:

0V

QC=

=

a

bC

ln

..20

Para um comprimento L genrico:

=

a

b

LC

ln

...20

10


11/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 4: Considerando agora uma distribuio tal que seja funo ape-

nas de , em coordenadas cilndricas, como mostra a figura:

Nota-se a presena de dois planos infinitos radiais com um ngulo interno

. H um isolante infinitesimal em 0= . O campo potencial pode ser encon-

trado aplicando-se a equao de Laplace em coordenadas cilndricas, conforme

descrito a seguir:

Equao de Laplace: 01

2

2

2=

Supondo 0 : 02

2

=

d

d

A soluo do tipo BA += . . As condies de contorno permitem de-

terminar as constantes A e B:

+=

+=

BA

BAV

0.0

.0

0V

A = e 0=B

11


12/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoOu seja:

0V

=

Como e= gradE

zazaagrad

+

+

=

1

Sendo que apenas as componentes em

a

interessam:

=

aE 1

Ou seja:

=

a

VE

01

Assim:

aV

E

.

0=

Notar que E

funo de mas no de , apesar de estar orientado se-

gundo . Notar tambm como as equipotenciais de distribuem, em planos in-

termedirios que cortam as linhas de campo eltrico sempre perpendicular-

mente. Esta uma caracterstica bsica do comportamento de

a

E

e :

321VVV >>

12


13/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExemplo de Soluo da Equao de Poisson

A regio entre dois cilindros condutores coaxiais, com raios ae b, confor-

me mostrado na figura, contm uma densidade volumtrica de carga uniforme

V . Se o campo eltrico E

e o potencial so ambos nulos no cilindro inter-

no, determinar a expresso matemtica que fornece o potencial na regio

entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual do vcuo.

Resoluo:

Equao de Poisson:0

2

V=

0

1

V=

Integrando: AV +

=

2.

2

0

AV +

=

0.2

(I)

Sabe-se que: =

E

Logo:

aE

=

EE =

=

(II)

Substituindo (II) em (I):

AE V +

==

0.2

13


14/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo1 Condio de contorno: obteno de A: 0=E para a= :

Logo:a

AaV +

=

0.2

0

2

0.2

aA V

=

Ento:

..2

.

.20

2

0

aVV +

=

Integrando: BaVV ++

=

ln

.2

.

2.20

22

0

2 Condio de contorno: obteno de B: 0= para a= :

Baaa VV ++

= ln

.2

.

2.20

0

22

0

aaa

B VV ln.2

.

.4

.

0

2

0

2

=

Concluindo: aaaa VVVV ln

.2

.

.4

.ln

.2

.

.40

2

0

2

0

2

2

0

++

=

( )

+=

a

aa VV

ln

.2

.

.40

2

22

0

Teorema da Unicidade

Qualquer soluo das equaes de Poisson e Laplace que tambm satis-

faz as condies de contorno dever ser a nica soluo existente.

Exemplo: Plano condutor z = 0 com tenso de 100 V:

14


15/27


Tanto comoV1001 = 100.52 += z , por exemplo, satisfaz a equao de

Laplace e a exigncia de em z = 0.V100=

Concluso: Uma nica superfcie condutora, com uma tenso especifica e ne-

nhuma referncia dada, no forma uma caracterizao completa das condies

de contorno de uma regio definida. Mesmo dois planos condutores finitos pa-

ralelos no formam uma fronteira, j que no se pode determinar o espraiamen-

to do campo nas proximidades dos lados (bordas). Supondo que o espraiamen-

to seja desprezado, caracterizam-se por completo as condies de contorno

(fronteira) para dois planos condutores finitos e paralelos.

Teorema do Valor Mdio e do Valor Mximo

A partir da equao de Laplace podem-se obter duas importantes proprie-

dades da funo potencial, para regies sem cargas:

1 - No centro de uma esfera ou crculo, o potencial igual mdia dos valo-

res assumidos sobre o crculo ou esfera;

2 - O potencial no pode ter mximo (ou mnimo) dentro da regio. Logo,

qualquer mximo de dever ocorrer na fronteira da regio.

15


16/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccios Resolvidos

Exerccio 1: O potencial vale em1V n1 do crculo e zero no resto do crculo.

Calcule o potencial no centro do crculo. Considere toda a regio desprovida de

cargas.

Resoluo:

(I): (II):

Seja o potencial no centro. A equao de Laplace permite superposi-

o de solues. Supondo nproblemas do tipo (I), o resultado ser do tipo indi-

cado (II). Devido simetria rotacional, cada sub-problema de (II) fornecer o

mesmo potencial no centro do crculo. O potencial total no centro ser, as-

sim, . A soluo nica para (II)

CV

CV

CVn. 1V= para todos os pontos dentro do

crculo e, em particular, para o central.

Ento:

1. VVn C =

Ou seja:

n

VVC

1=

16


17/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 2: Mostrar que possvel extrair o teorema do valor mdio a partir do

resultado anterior.

Resoluo:

(III):

Considerando o caso especial apresentado em (III), onde o potencial as-

sume nvalores diferentes em n segmentos iguais do crculo: a superposio

das solues encontradas no problema anterior fornece para o potencial no

centro:

n

V

n

V

n

V

n

V

n

VV nnC +++++=

1321

n

VVVVVV nnC

+++++= 1321

Que o teorema do valor mdio nesse caso especial.

Comn

2= , ento:

2

1 =

n, ou seja:

( )

+++++= .....2

11321 nnC VVVVVV

Com :n ( )

dVC ..2

12

0

=

Que a expresso geral do teorema do valor mdio aplicado a um crculo.

17


18/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio 3: Provar que o potencial no pode possuir um valor mximo dentro

de uma regio desprovida de cargas.

Resoluo:

Supondo que um mximo possa ser obtido num ponto interior P. Ento,

uma pequena esfera pode ser centrada em P tal que o potencial em P seja

maior que qualquer ponto na esfera. Portanto ser maior que o valor mdio

do potencial sobre a esfera, o que contraria o teorema do valor mdio.

CV

CV

PV no pode ser maior que QV

18


19/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoRepresentao da equao de Laplace / Poisson

atravs de diferenas finitas

Soluo numrica das equaes de Poisson e Laplace:

- Mtodo da diferena para a frente:

hdx x0

d 23

- Mtodo da diferena para trs:

hdx x0

d 12

- Mtodo da diferena central:

hdx x .20

d 13

19


20/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoRepresentando a funo potencial atravs da srie de Taylor:

( ) ( ) +

+

+

+=+

000

3

33

2

22

0062

xxx dx

dh

dx

dh

dx

dhxhx termos de ordem superior (I)

Desprezando as derivadas de 3 ordem bem como os termos de ordem

superior:

( ) ( )

00

2

2

00

2xx

dx

dh

h

xhx

dx

d

+

(II)

Note que a equao (II) corresponde com a diferena para a frente, ex-ceto pelo termos de segunda ordem.

Se assumirmos o termo

0

2

2

2x

dx

dh como um erro, este ser tanto menor

quanto mais reduzido for h.

Analogamente:

( ) ( ) ++=000

3

33

2

22

0062

xxxdxdh

dxdh

dxdhxhx termos de ordem superior (III)

Desprezando os termos de 3 ordem em diante:

( ) ( )

00

2

2

00

2xx

dx

dh

h

hxx

dx

d +

(IV)

Note que a equao (IV) corresponde com a diferena para trs, exceto

pelo termo de 2 ordem.

Fazendo agora (III) - (I), tem-se:

( ) ( ) +

+

+

00

3

33

006

.2.2

xxdx

dh

dx

dhhxhx (V)

20


21/27


Ou seja:( ) ( )

00

3

32

00

6.2xx

dx

dh

h

hxhx

dx

d

+=

(VI)

A equao (VI) semelhante quela correspondente a diferena central,

exceto pelo termo

0

3

32

6x

dx

dh .

Para valores de h pequenos, frequentemente utilizados em engenharia

(0,1; 0,01; 0,001) o erro na utilizao da diferena central menor que aque-

les associados s diferenas para trs e para a frente.

Para as derivadas de segunda ordem, e usando a diferena central e

processamento anlogo ao aqui efetuado, chega-se a:

2

213

1223

22

2

2.200

0

hhhh

h

dx

d

dx

d

dx

d hxhx

x

+

+

Sabendo-se que o potencial pode ser funo de duas variveis, x e y,

tem-se as derivadas:

2

2

x

e

2

2

y

Genericamente:

21


22/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoO que nos leva a:

2

021

2

2.2

hx

+=

e

2

043

2

2.2

hy

+=

2

04321

2

2

2

2

2 .4

hyx

+++=

+

=

Regras para utilizao deste resultado:

1 - Dividir o domnio de interesse (onde a distribuio de potenciais deve ser

determinada) em um gradeamento fino. A tcnica em estudo fornecer os va-

lores de nos ns da grade considerada;

2 - Aplicar a equao do laplaciano em cada n da grade, obtendo-se nequa-

es associadas a nincgnitas (potenciais nos ns);

3 - Resolver o sistema de equaes, iterativamente ou empregando tcnicas

diretas.

22


23/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoExerccio Resolvido

Considere a regio retangular mostrada na figura. Os potenciais eltricos

esto especificados nos contornos. Utilize a representao em diferenas finitas

obtendo os potenciais dentro da regio.

Resoluo:

1) Definio do gradeamento: supondo h= 5cm, tem-se uma geometria 2 x 4:

23


24/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismo2) Utilizao da representao diferenas finitas para a equao de Laplace:

( ) 0.41,1,1,,1,12

=+++ ++ jijijijijih

3) Aplicao das equaes em cada n:

- N 1:( )

( ) 0.400005,0

1122

=+++ 21.4 =

- N 2:( )

( ) 0.40005,0

12312

=+++ 0.4 321 =+

- N 3:( )

( 0.410005,0

1322

=+ ) 100.432

=

Tem-se assim 3 equaes e 3 incgnitas que, se resolvidas, fornecem:

V79,11 = , V14,72 = e V79,263 =

4) Refazendo o problema com um gradeamento mais fino, por exemplo, h=

2,5cm, tem-se assim 21 equaes e 21 incgnitas:

24


25/27


5) Representando matricialmente as 21 equaes resultantes:

CBA

=

100

0

0

0

0

410000

00004100

00001410

00000141

10000014

21

4

3

2

1

A soluo para o sistema de equaes mostrado (em volts):

210,43

663,19

153,9

296,4

010,2

913,0

353,0

7

6

5

4

3

2

1

=

==

=

=

=

=

177,53

289,26

654,12

019,6

832,2

289,1

499,0

14

13

12

11

10

9

8

=

==

=

=

=

=

210,43

663,19

153,9

296,4

010,2

913,0

353,0

21

20

19

18

17

16

15

=

==

=

=

=

=

25


26/27

Equaes de Poisson e de LaplaceEletromagnetismoAnlise comparativa entre as tcnicas analticas e a numrica para o pro-

blema apresentado:

Valores dosPotenciais

Erros Valores dosPotenciais

Erros Soluo AnalticaN

h= 5cm h= 2,5cm (manual)

9 1,786 63% 1,289 17,8% 1,094

11 7,143 30% 6,019 9,7% 5,489

13 26,786 2,7% 26,289 0,75% 26,094

Quanto mais pontos, mais preciso ser o resultado dos potenciais nos

pontos, ou seja, mais prximo da soluo analtica.

26


27/27

Documents

04_-_Equacoes_de_Poisson_e_de_Laplace[1]_copy (1)