Upload
api-26222989
View
238
Download
11
Embed Size (px)
DESCRIPTION
[PDF Slide ประกอบการเรียนวิชาฟิสิกส์ 1] บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในระนาบ
Citation preview
[ บทท 3 การเคลอนทในระนาบ ][ บทท 3 การเคลอนทในระนาบ ]
ในการอธบายการเคลอนทในวถโคง เชน การโคจรของดาวเทยม การเคลอนทเปนเสน
โคงของลกบอลโคงของลกบอล
เราตองบรรยายการเคลอนทในสองหรอสามมต
โ ใ ป ปโดยใชเวกเตอรการกระจด ความเรว และความเรง แตปรมาณเหลานมองคประกอบ
สองหรอสามองคประกอบ และไมไดมทศอยในแนวเสนตรงเดยว
2
ใชเวกเตอรในการบอกตาแหนงของอนภาค การเขยนเวกเตอรบอกตาแหนง ตองเขยน
บอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกนบอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกน
ˆˆ ˆi j k+ +k
r xi yj zk= + +rz
θj
xy
i
3
yจากนยามความเรวเฉลย “อตราสวน
ระหวางการกระจดทเปลยนไปกบP1 P2rΔ
y
ชวงเวลาการเปลยนการกระจด”
จากรปเสนทางการเคลอนทของอนภาค 1rจากรปเสนทางการเคลอนทของอนภาค
ในระนาบ xy เมอเวลา t1 อนภาคอยท
ตาแหนง P1 ซงมการกระจดเปน r1
2r เสนทางการเคลอนท
1 1
และเมอเวลา t2 อนภาคนอยทตาแหนง
P2 ซงมการกระจดเปน r2
xO
2
ความเรวเฉลยของอนภาคในชวงเวลา
t1 และ t2
12
ttrr
trvav −
−=
ΔΔ
=1 2 12 tttΔ
4
ถาใหเวกเตอรทงสองมองคประกอบเวกเตอรดงตอไปน
jyixr ˆˆ +
jyixr
jyixrˆˆ
222
111
+=
+=
จะไดความเรวเฉลย
( ) ( )1212ˆˆ jyyixxrvav
−+−=
Δ=
12 tttav −Δ
5
จากนยามความเรวขณะหนง คอ “ความเรวของวตถขณะเวลาใดๆ ซงหาไดจากการ
เปลยนตาแหนงของวตถในชวงเวลาทส นมากๆ จนเขาสศนย”เปลยนตาแหนงของวตถในชวงเวลาทสนมากๆ จนเขาสศนย
ความเรวขณะหนงคอ
kdtdzj
dtdyi
dtdx
dtrd
trv
tˆˆˆlim
0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
ΔΔ
=→Δ
เขยนเปนเวกเตอรความเรวไดดงน
dtdtdtdtt ⎠⎝⎠⎝⎠⎝Δ
kvjvivv zyxˆˆˆ ++= j zyx
6
องคประกอบของเวกเตอรความเรวหาไดจาก
d ddtdxvx =
dtdyvy =
dtdzvz =
ขนาดของเวกเตอรความเรว หรออตราเรวหาไดจาก
222zyx vvvv ++= zyx
7
จากนยามความเรงเฉลย คอ “อตราสวนระหวางการเปลยนแปลงความเรว กบ ใ ใ ป ”
P1
y
1v1v
vΔชวงเวลาทใชในการเปลยนความเรว”
จากรปแสดงเสนทางการเคลอนทในระนาบ xy ของอนภาคหนง ซงเมอเวลา
P2
1r2v
2v vΔ
ระนาบ xy ของอนภาคหนง ซงเมอเวลา t1 อนภาคอยทตาแหนง P1 และมความเรวเปน v1
2r1
เสนทางการเคลอนท1
และเมอเวลา t2 อนภาคอยทตาแหนง P2 และมความเรวเปน v2
xO
ความเรงเฉลยของอนภาคในชวงเวลา t1และ t2 คอ
12 vvva −=
Δ=
8
12 tttaav −
=Δ
=
จากนยามความเรงขณะหนง คอ “การเปลยนแปลงความเรวทขณะเวลาใด ๆ หรอ
ในชวงเวลาสนๆ จนเขาสศนย”ในชวงเวลาสนๆ จนเขาสศนย
vdvΔlidtt
at
=Δ
=→Δ 0
lim
จากเวกเตอรความเรวจะไดความเรงขณะหนงคอ
dvdvdvvd ˆˆˆ kdtdvj
dtdv
idtdv
dtvda zyx ˆˆˆ ++==
9
เวกเตอรความเรง
ˆˆˆ
ป
kajaiaa zyxˆˆˆ ++=
องคประกอบของเวกเตอรความเรง
222 zddvyddvxddv y222 ,,
dtzd
dtdva
dtyd
dta
dtxd
dtdva z
zy
yx
x ======
ขนาดของเวกเตอรความเรง
222zyx aaaa ++=
10
ตวอยางท ตวอยางท 33--1 1 วตถเคลอนทตามเสนทางโดยมคาตามแนวแกนทงสองคอ
x = 5t2 และ y = 2 sin 2t เมอ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหาx = 5t และ y = 2 sin 2t เมอ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหา
ความเรว และความเรงชวขณะของอนภาค
จากโจทยใหองคประกอบเวกเตอรบอกตาแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ ดงนน
องคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดยองคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดย
( ) ttddxvx 105 2 === ( )dtdtx
( ) ttddyv 2cos42sin2( ) ttdtdt
yvy 2cos42sin2 ===และ
ไ ˆˆ
11
เขยนเปนเวกเตอรความเรวไดดงน jtitv ˆ2cos4ˆ10 +=
จากองคกอบเวกเตอรความเรว นามาหาองคประกอบเวกเตอรขณะหนงไดโดย
dd ( ) 1010 === tdtd
dtdva x
x
( ) ttdtd
dtdv
a yy 2sin82cos4 −===และ ( )
dtdty
เขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงนเขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงน
jtia ˆ2sin8ˆ10= jtia 2sin810 −=
12
โพรเจคไทล (Projectile Motion) เปนการเคลอนทในสองมต ภายใตความเรงโนมถวง (Gravitational Force) ของโลก
โดยมเงอนไข คอ ความเรวในแนวระดบมคาคงท หรอความเรงในแนวระดบมคาป ไ เปนศนย ไมคานงถงแรงเสยดทาน ความโคง และการหมนของโลก
ดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซงดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซงกคอคา g ซงเปนแบบจาลองโพรเจคไทลในอดมคต
13
yจากรปแสดงการเคลอนทของอนภาค
หนงในระนาบ xy โดยใหอนภาคนม
vyv xx uvv ==
v xx uv =θ
ความเรวตนเทากบ u มทศทามม θ0
กบแนวระดบ uv =
yuxx uv = vyv
เขยนองคประกอบความเรวตนไดเปน
0cosθuux =
xu
xx uv =0θ
0θθ −=
x0
0
sinθuuy
x
=x
vyy uv −=
14
y
vyv xx uvv ==
uv =
จากเงอนไขการเคลอนทแบบโพรเจคไทลจะได
วา ax = 0 และ ay = -g
uv =yu
xx uv = vyv xx uv =θ
หาตาแหนงและความเรวทเวลาใดๆ ของ
อนภาคไดจากสมการการเคลอนทดวย
xx uv =0θ
x
ความเรงคงท โดยสามารถแยกคดในแตละ
องคประกอบxu
vyy uv −= 0θθ −=
พจารณาความเรวและตาแหนงในแนวระดบ (แกน x)
เนองจากความเรงมคาเปนศนยดงนนความเรวของวตถในแนวนไมเปลยนแปลง
0cosθuuv xx ==
15
และ ( )tutvx x 0cosθ==
พจารณาความเรวและตาแหนงในแนวดง เนองจากความเรงในแนวนมขนาด
เทากบความเรงโนมถวง แตมเครองหมายเปนลบ จะได
gtugtuv yy −=−= 0sinθ
ตาแหนงในแนวดงทเวลา t ใดๆ
( ) 22 1sin1 gttugttuy == θ( )0 2sin
2gttugttuy y −=−= θ
สมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ไดจากการแทนคา t ซงสมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ไดจากการแทนคา t ซง
cosθuxt =
0cosθu
( )2
1sin ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
θ xgxuy16
( )00
0 cos2cossin ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
−=θθ
θu
gu
uy
จะได ( ) 2220 cos2
tan xu
gxyθ
θ −=0cos2u θ
เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร 2cxbxy = เมอ b และ c เปนคาคงท เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร cxbxy −= เมอ b และ c เปนคาคงท
ดงนนเสนทางการเคลอนทของโพรเจคไทลเปนโคงแบบพาราโบลาร
17
ความสงทสดทวตถสามารถเคลอนทไดหาไดจากสมการ
gtuvy −= 0sinθ
เมอวตถเคลอนทไปถงจดสงสดจะหยดนงขณะหนงกอนจะเคลอนทกลบลงมา
ดงนนความเรวในแนวดง ณ ตาแหนงนจะมคาเปนศนย
gtu =0sinθ
0cosθuxt =แต
0
จะไดuux 2sincossin 0
200
2 θθθ==
18
จะได ggx
2==
( ) 2
0220 cos2
tan xu
gxyθ
θ −=จากสมการ0cos2u θ
เมอแทนดวยคา x จะได
uy2sin 0
22
maxθ
=g2max
ระยะทางทไกลทสดทวตถสามารถเคลอนทไดคอ
guR 0
2 2sin θ=
19
g
ตวอยางท ตวอยางท 33--2 2 นกกรฑาขวางคอนมความสามารถเหวยงคอนไดใน
อตราเรวสงสด 5 เมตร / วนาท เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสดอตราเรวสงสด 5 เมตร / วนาท เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสด
หางจากจดทเขายนอยกเมตร ถาไมคดแรงเสยดทานอากาศและความสง
ของนกกรฑา
uR 02 2sin θ
จากสมการ gR 0=
จะไดระยะไกลทสดเมอขวางทามม 45๐ กบแนวระดบซงจะไดจะไดระยะไกลทสดเมอขวางทามม 45๐ กบแนวระดบซงจะได
uR2
gR =
จากโจทย 5 เมตร/วนาท( ) 525 2
R เมตร
20
จากโจทย u = 5 เมตร/วนาท( ) 5.2
8.9==R เมตร
ตวอยางท ตวอยางท 33--33 ชายคนหนงขวางกอน
หนออกไปจากดาดฟาตกสง กอนหน
พงออกจากมอดวยทศทามม กบแนว
ระดบ และมอตราเรวเรมตน ดงแสดง
ในรป ถาตกนสง จงหา 1) ตองใชเวลานานเทาใดหลงจากท
ขวางออกไป ทกอนหนนจะตกถง
พนดน2) อตราเรวสดทายของกอนหนท
กระทบพน
21
1) พจารณาการเคลอนทในแนวระดบ x และ แนวดง y
( )( ) 3.170.30cos0.20cos 0 === θuux m/s
( )( )( ) 0.100.30sin0.20sin 0 === θuuy m/s
หาคา t ไดจากสมการหาคา t ไดจากสมการ
20 2
1 gttuyy y −+=2
เมอ y = -45 m
( ) ( ) 2891010045 ( ) ( ) 28.9210.10045 tt −+=−
224=t วนาท
22
22.4=t วนาท
2) จากสมการ gtuv yy −=
แทนคา t จากขอ 1) จะได
( ) ( )( ) 4.3122.48.90.10 −=−=yv เมตร/วนาท
ใ แตความเรวในแนวระดบ (ตามแกน x) มคาคงทหรอ
3.17== uv เมตร/วนาท3.17xx uv
อตราเรวของกอนหนคอขนาดของเวกเตอรความเรวหาไดจาก
( ) 9.354.313.17 2222 =−+=+= yx vvv เมตร/วนาท
23
24
1v vsΔ ΔΔ Δ1
1
or v sv R R
= Δ = Δ
ดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ มคาดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ มคา
1av
v v sat R t
Δ Δ= =
Δ Δt R tΔ Δ
25
ขนาดความเรง a ทจด P ใดๆ จะไดขนาดความเรง a ทจด P ใดๆ จะได
1 1v vs sΔ Δ1 1
0 0lim limt t
v vs saR t R tΔ → Δ →
Δ Δ= =
Δ Δ
และจาก lim sv Δ=และจาก 0
limt
vtΔ →
=Δ
แตจาก v คออตราเรวท P ซงเปนจดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน จงได แตจาก v1 คออตราเรวท P1 ซงเปนจดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน จงได
และความเรงทไดนมทศเขาสศนยกลาง
2va26
aR⊥ =
ในเวลา T วตถเคลอนทไดระยะทางเทากบเสนรอบวงของวงกลม
2 RvTπ
=T
ดงนนเราสามารถหาความเรงไดอกรปแบบหนงคอ
24 Ra π⊥ = 2a
T⊥
27
ตวอยางท ตวอยางท 33--44 ดวงจนทรหมนรอบโลกครบรอบใชเวลา 27.3 วน สมมต
ใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3 82 x 108 เมตร จงคานวณหาใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3.82 x 10 เมตร จงคานวณหา
ขนาดของความเรงของดวงจนทรเขาสโลก
คาบการโคจรของดวงจนทรรอบโลก T = 27.3 วน เปลยนใหเปนหนวยวนาทไดเปน
( ) hour min s27.3 day 24 60 60day hour min
T ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
62.36 10= × วนาท
ความเรงเขาสศนยกลางความเรงเขาสศนยกลาง
( )( )
2 223 2
22 6
4 3.82 10 m4 2.71 10 m/sRaT
ππ −⊥
×= = = ×
28
( )22 62.36 10 sT ×
จากนยามของความเรวสมพทธของการเคลอนทในแนวเสนตรง
เราหาความเรวสมพทธของการเคลอนทในระนาบไดจากนยามเดยวกน ดวยการบวก
เวกเตอร
ความเรวกระแสนาความเรวเรอ
สมพทธกบพน v ความเรวกระแสนา
สมพทธกบพน Vสมพทธกบพน v
ความเรวเรอสมพทธ
กบกระแสนา v’
v v V′= +29
ตวอยางท ตวอยางท 33--55 เครองบนลาหนงบนไปทางทศเหนอ เขมชความเรวอยท
240 km/hr ลมพดดวยความเรว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก 240 km/hr ลมพดดวยความเรว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก
ความเรวของเครองบนสมพทธกบโลกจะมคาเปนเทาไร
V = 100 km/hr
v v V′= +จาก
v’ = 240 km/hr v = ?2 2v v V′= +ซงจากรปv = 240 km/hr
2 2240 100= +θ
260= km/hr
30
โดยมทศทามม θ กบทศเหนอ หาคามม 1 100tan 22.6240
θ −= =
31