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03. Sistemi e Modelli

Prof. Cesare FantuzziIng. Cristian SecchiIng. Alessio Levratti

ARSControl - DISMI - Università di Modena e Reggio Emilia

E-mail: [email protected]://www.arscontrol.org/teaching

Sistemi e Modelli -- 2Controlli Automatici

Principi di modellistica

• Problema: determinare il modello matematico che approssimi il comportamento di un sistema dinamico

• Indagine diretta : Il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari il cui modello matematico è facilmente identificabile e il modello complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi semplici in cui, sotto certe ipotesi, l’introspezione fisica del sistema permette la modellazione.

• Black box : il sistema si considera come una “scatola nera” di cui occorre identificarne il comportamento mediante l’analisi dei segnali di ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema è così complessa da non permettere una introspezione

• Gray box : Approccio misto: Sistema complessivo scomposto in diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante introspezione fisica e altri mediante l’analisi ingresso/uscita


Derivazione del modello mediante indagine diretta

• L’analisi energetica del sistema risulta un utile strumento per la derivazione del modello matematico

• Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l’uscita cor rente ) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche).

• In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili energetiche e due meccanismi di accumulo dell’energia che dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel particolare dominio energetico.

• In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione dell’energia in quel dominio.


i due meccanismi elementari di accumulo della energ ia

Considerazioni energetiche

dominio accumulo capacitivo accumulo induttivo

E Cv= 12

2 E Li= 12

2elettrico

meccanicotraslante

E Mv= 12

2EK

f= 12

1 2

meccanicorotante

E J= 12

2ωEK

c= 12

1 2

idraulico/pneumatico E C pf= 12

2 E L qf= 12

2

termico E C Tt= mancavariabilipassanti

variabiliai morsetti

l'energia accumulatadipende dalle

Le variabili ai morsetti sono in realtà differenze


Derivazione di modelli matematici di sistemi fisici

• Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi elementari il cui modello matematico sia facilmente derivabile (sotto opportune ipotesi)

• Composizione dei modelli matematici elementari mediante principi base della fisica (conservazione dell’energia) per derivare il modello complessivo:• Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensionie e per

le correnti• Sistemi meccanici: Legge di Newton• Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli


Modelli di sistemi dinamici• Si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici per:

• illustrare i procedimenti generali che usualmente si impiegano nella loro deduzione;• chiarire le analogie esistenti fra modelli di sistemi fisici di diversa natura.

• In particolare, verranno descritti sistemi:• elettrici• meccanici• elettro-meccanici• idraulici• termici

• Si dedurranno i modelli in forma di equazioni differenziali ordinarie del tipo:

• Il problema della soluzione di tali equazioni differenziali, cioè ricavare l'andamento di y(t) in funzione di u(t), verrà preso in esame successivamente:

Trasformate di Laplace


• Opeatore “D”: Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali si userà il simbolo (o operatore) D per indicare l'operazione di derivazione rispetto al tempo:

Ad esempio, se x1(t), x2(t) sono funzioni derivabili, e a1, a2 costanti, allora

• Si può dare un significato anche al simbolo 1/D (o D-1) ponendo

in cui K è un'opportuna costante.

Modelli di sistemi dinamici – Operatore “D”

L'operatore D si può trattare come se

fosse una costante: gode infatti della

proprietà distributiva rispetto alla

somma e della proprietà commutativa

con le costanti (non con le funzioni

del tempo).


Modelli di sistemi dinamici – Operatore “D”• Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà

l'operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è uno a uno, ma molti a uno: tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano la stessa derivata:

• Per tale ragione 1/D non si può applicare ai due membri di una relazione esprimente l'uguaglianza di due funzioni:

se è y(t) = x(t),

• D y(t) = D x(t)

• non è detto che sia D-1 y(t) = D-1 x(t)

(solo per cond. iniziali nulle).


Circuiti elettrici

Q0 è la carica iniziale del condensatoreN1 e N2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario


Circuiti elettrici• Altri componenti di circuiti elettrici:

• Amplificatore operazionale• Transistor

• Trattando con segnali logici, si possono considerare anche operatori logici quali:• AND• OR• NOT• NOR• …

che costituiscono gli elementi di base delle Reti Logiche .


Circuiti elettriciLe unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono:• Variabili:

• [v] = V, Volt;• [i] = A, Ampere;• [Q] = C, Coulomb;

• Parametri:• [R] = Ω, Ohm;• [L] = H, Henry;• [C] = F, Farad;

• In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi elementari) si ricavano applicando le

leggi di Kirchhoff

che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:


Circuiti elettrici

• Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: • La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla;

• La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla.

v1

v2

v3v4

v1= v2 + v3 + v4

i1

i2

i4

i3

i1 + i2 + i3 +i4 = 0


Circuiti elettrici - Esempio

Volendo ricavare, anziché la corrente i, la tensione d'uscita vu, si può operare la sostituzione i(t) = C D vu(t), mediante la quale si ottiene (vC(t) = vu(t)) l'equazione differenziale

che mette in evidenza la relazione tra causa vi ed effetto vu.



equazione differenziale dt

tdvCtv

Rti

)()(

1)( +=

dttdv

Ci

tvR

i

C

R

)(

)(1

=

=Kirchoff al

nodo Ai = iR + iC

A

i(t)v(t)

iCiR

ingresso uscita

condizioni iniziali nulle

iR

v CDv= +1equazione algebricanell'operatore D

Sistema del 1° ordine

1 accumulatoredi energia



equazione differenziale

( ) ∫+=t

i idC

tRitv0

1)( τ

∫=

=t

c

R

idC

v

Riv

0

1 τKirchoff

alla magliavi = vR + vC


v RiC

D i

Dv RDiC

i

i

i

= +

= +

−1

1

1equazione algebricanell'operatore D


vi(t) vc(t)vR

i(t)

Se interessa v c come uscita

cCDvi = ( ) ci vRCDv 1+=ricordando che



equazione integro-differenziale dt

tdvCtv

Rdttv

Lti

)()(

1)(

1)( ++∫=

dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

equazione differenzialedel 2° ordine 2

211

dt

vdC

dt

dv

Rv

Ldt

di ++=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


derivando ambo i membri

equazione algebricanell'operatore D


2 accumulatoridi energia



Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che

v LDi=

dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


Consente di ricavare l'uscitav(t) a partire dall'ingresso i(t)



dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita



v RiR=Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che




A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC


vC

D iC= −1 1Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che:


Sistemi meccanici• In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile

impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla.

• Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.


Sistemi meccanici• I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti

elementari:

• la massa,in cui si concentrano le forze di inerzia,

• la molla, in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

(se per x1 = 0 e x2 = 0 la molla non è caricata)

• l'ammortizzatore, in cui si concentrano le forze di attrito viscoso.

• Si suppone che gli estremi di tali componenti meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale.

mf2

xf1

f fx1 x2

K

f fx1 x2B


Sistemi meccanici• Analogamente per sistemi in moto rotatorio:

• Forze coppie• Masse inerzie

c(t), θ1(t) c(t), θ2(t)K

c(t), ω(t) J

Bc(t), ω1(t) c(t), ω2(t)


Sistemi meccanici• Riduttore

In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore kr

Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente

la coppia risulta amplificata .

c1(t), ω1(t)

c2(t), ω2(t)


Sistemi meccanici

• Altri elementi:

Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere

CammaBiella/manovella


Sistemi meccaniciLe unità di misura delle grandezze

meccaniche nel sistema SI sono:

• Variabili:• [f] = N, Newton;• [x] = m, metri;• = m/sec, velocità;• = m/sec2, accelerazione.

• Parametri:• [M] = kg, chilogrammi;• [K] = N/m, coefficiente di rigidezza;• [B] = N sec/m, coefficiente di attrito

viscoso.

Oppure (caso rotatorio)

Variabili:[c] = N m;[θ] = rad;

= rad/sec;= rad/sec^2.

Parametri:[J] = kg\,m^2;[K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale;[B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale.


Sistemi meccanici - Esempio

• Carrelli con attrito

• Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)



• Carrelli con attrito

• La variabile osservata del sistema è la velocita di m2 e quindi

• Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene:

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)


• Da

Si ricava

• Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici:

si ottiene l'equazione differenziale

la cui soluzione y(t) descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y(t0) =




• Le coppie applicate in questo caso sono:• coppia esterna c(t)• coppia dovuta alla molla torsionale ck(t) = k θ(t)• coppia dovuta all'attrito torsionale cb(t) = B

• Applicando la legge di Newton si ha


Sistemi meccanici – Effetti non lineari

• Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito.

• Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso.

• In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla.

• Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto.

• L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso.


Sistemi meccanici – Effetti non lineari• Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico.

• SaturazioneLa saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo range di valori, mentre rimane praticamente costante al di fuori di esso.



• IsteresiIl sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto di isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi.• x: spostamento in ingresso• y: spostamento in uscita

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1

−0.5

0

0.5

1Ingresso − Uscita (dash)

−1 0 1−1

−0.5

0

0.5

1Isteresi (d = 0.6)

Il movimento dell'ingranaggio “pilota” non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto.

Non linearità a “due valori”: per ogni x vi sono

2 possibili valori di y, a seconda della “storia”

dell'ingresso. Si possono avere instabilità o

oscillazioni permanenti (cicli limite)



• Zona mortaL'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda.

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03. Sistemi e Modelli - FINE

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