03 Phys I Stiliaris...ΣΤΑΤΙΚΗΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣΩΜΑΤΟΣ ¾ΙσορροπίαΣωματιδίου ¾ΣτατικήΙσορροπίαΣτερεούΣώματος ΦΥΣΙΚΗΙ

ΣΤΑΤΙΚΗΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΙσορροπία ΣωματιδίουΣτατική Ισορροπία Στερεού Σώματος

ΚΕΝΤΡΟΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ ((ΒΑΡΟΥΣΒΑΡΟΥΣ))Ορισμός Κέντρου Μάζας (Βάρους)Εύρεση Κέντρου Μάζας με Ολοκλήρωση

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ

ALONSOALONSOFINNFINN

GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER

YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

4.5, 4.6, 4.8, 4.5, 4.6, 4.8, 4.94.9

12.1,12.2,12.1,12.2,12.312.3

12.1, 12.2, 12.3, 12.1, 12.2, 12.3, 12.5, 12.6 12.5, 12.6

11.1, 11.311.1, 11.3

ΚΕΝΤΡΟΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ 4.74.7 9.89.8 12.412.4 11.211.2

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ

ΗΗ ισορροπίαισορροπία υλικούυλικού σωματιδίουσωματιδίου στοστο χώροχώρο εξασφαλίζεταιεξασφαλίζεται ότανόταν τοτο διανυσματικόδιανυσματικόάθροισμαάθροισμα τωντων επενεργούντωνεπενεργούντων σσ’’ αυτόαυτό δυνάμεωνδυνάμεων μηδενίζεταιμηδενίζεται..

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

⇔=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

0F

0F

0F

0F

N

1izi

N

1iyi

N

1ixi

N

1iir

Η συνθήκη αυτή είναι ισοδύναμη με τιςτρεις επιμέρους συνθήκες πουαναφέρονται στον μηδενισμό τωνσυνιστωσών των δυνάμεων κατάμήκος των αξόνων x, y, z.

ΕιδικήΕιδική περίπτωσηπερίπτωση:: ΙσορροπίαΙσορροπία τριώντριών δυνάμεωνδυνάμεων πουπου ενεργούνενεργούν πάνωπάνω σεσεσωματίδιοσωματίδιο..


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ

ΙσορροπίαΙσορροπία τριώντριών δυνάμεωνδυνάμεων σεσε σωματίδιοσωματίδιο

FF11

FF33FF22αα

ββγγ

FF11

FF22

FF33 ββ

αα γγ

γβα sinF

sinF

sinF 321 ==

ΕάνΕάν οιοι τρειςτρεις δυνάμειςδυνάμεις ισορροπούνισορροπούν, , τότετότε απαραίτητααπαραίτητα σχηματίζουνσχηματίζουν επίπεδοεπίπεδοτρίγωνοτρίγωνο, , οπότεοπότε ισχύειισχύει οο νόμοςνόμος τωντων ημιτόνωνημιτόνων::


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥΠαράδειγμαΠαράδειγμα: : Ομογενής σφαίρα βάρους WW και ακτίνας R συγκρατείται με τεντωμένο σκοινί σελείο τοίχο και σε απόσταση L πάνω από το κέντρο της σφαίρας. Βρείτε: (α) Την τάση στο σκοινί(β) Τη δύναμη που εξασκεί ο τοίχος στην σφαίρα.

L

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: : Ομογενής σφαίρα βάρους WW και ακτίνας RR συγκρατείται με τεντωμένο σκοινί σελείο τοίχο και σε απόσταση LL πάνω από το κέντρο της σφαίρας. Βρείτε: (α) Την τάση στο σκοινί(β) Τη δύναμη που εξασκεί ο τοίχος στην σφαίρα.

L

θ R

Wr

Nr

Tr

θ

Wr

Nr

Tr

)90sin()180sin(W

90sinT

000 θθ +Ν

=−

=

Εφαρμόζοντας τον νόμο των ημιτόνων:LRLW

RL/L

WsinWT

22

22

+=

+==

θ

LRWcotW

sincosWN

cosN

sinW

===⇒= θθθ

θθStathis STILIARIS, UoA 2016-2017 5

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

ΓιαΓια τηντην ισορροπίαισορροπία στερεούστερεού σώματοςσώματος είναιείναι αναγκαίοαναγκαίο νανα εξασφαλιστείεξασφαλιστείισορροπίαισορροπία τόσοτόσο ωςως προςπρος τιςτις μετατοπίσεις, , όσοόσο καικαι ωςως προςπρος τιςτις περιστροφές. .

∑=

=N

1ii 0Fr

ΙσορροπίαΙσορροπία ωςως προςπρος τηντην μετατόπισημετατόπιση

∑=

=N

1ii 0τr

ΙσορροπίαΙσορροπία ωςως προςπρος τηντην περιστροφήπεριστροφή

Για συνεπίπεδεςσυνεπίπεδες δυνάμεις οι παραπάνω συνθήκες ανάγονται στις:

∑=

=N

1iix 0F ∑

=

=N

1iiy 0F ∑

=

=N

1ii 0τ


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: Το παρακάτω σχήμα δίνει την κάτοψη ομογενούς ράβδου σε στατικήισορροπία. Να βρεθούν οι δυνάμεις F1 και F2.

4d4d 2d2d dd dd

10N10N30N30N

FF11

FF2220N20N

Συνολική ροπή ως προς το δεξιό άκρο της ράβδου:

N45F0d30d2Fd410d820 11 =⇒=⋅−⋅−⋅−⋅

Μηδενισμός συνισταμένης δύναμης:N65F20F0F30F1020 1221 =+=⇒=+−−−


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΟμογενής δοκός μήκους 8m και βάρους 200Ν είναι στερεωμένη σε τοίχο, ενώ το άλλο της άκρουποβαστάζεται με συρματόσκοινο σε γωνία 530. Άνθρωπος βάρους 600Ν στέκεται σε απόσταση2m από τον τοίχο. Να υπολογισθούν οι ασκούμενες από τον τοίχο και το συρματόσκοινοδυνάμεις στη δοκό.

∑∑∑

=⋅−⋅−⋅Τ=

=−−Τ+=

=Τ−=

0m4N200m2N600m8)53sin(

0N200N60053sinsinRF

053coscosRF

0

0y

0x

τ

θ

θ

N580R1.71

N313T0

==

=

θ


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΤο πρόβλημα της στήριξης σκάλας σε δάπεδο με τριβή και σε λείο τοίχο.

N268fN980nN268n

s

2

1

==

=


ΚΕΝΤΡΟΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

ΟρισμόςΟρισμός κέντρουκέντρου μάζαςμάζας σώματοςσώματος


ΚΕΝΤΡΟΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣΒΑΡΟΥΣ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

ΟρισμόςΟρισμός κέντρουκέντρου βάρουςβάρους σώματοςσώματος

Η δύναμη βαρύτητας FFgg μπορεί να θεωρηθεί ως τοδιανυσματικό άθροισμα (συνισταμένη δύναμη) τωνβαρυτικών δυνάμεων mmiiggii που δρουν σταξεχωριστά στοιχεία mmii ενός εκτεταμένου σώματος.

Αυτή η βαρυτική δύναμη FFgg ασκείται σ’ ένασημείο που ονομάζεται κέντροκέντρο βάρουςβάρους(CG: Center of GravityCG: Center of Gravity) του σώματος.

Εάν το gg παραμένει σταθερό για όλα τα στοιχεία του σώματος, τόσο σεένταση όσο και σε διεύθυνση (παραλληλία στοιχειωδών δυνάμεων), τότε:

ΤοΤο κέντροκέντρο βάρουςβάρους σώματοςσώματος συμπίπτεισυμπίπτει μεμε τοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας. .


ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΚΕΝΤΡΟΥΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣΒΑΡΟΥΣ & & ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

ΓιατίΓιατί τοτο κέντροκέντρο βάρουςβάρους σώματοςσώματος συμπίπτεισυμπίπτει μεμε τοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας;;

Πρέπει να ελεγχθεί και η διατήρηση της ροπής των δυνάμεωνως προς τυχαίο σημείο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας γίνεταιως προ το ΟΟ και μόνο για την κατεύθυνση xx.

gmxFxFxFx ii

ii

ii2211net ∑∑ ==++= Lτ

ΣυνολικήΣυνολική ροπήροπή τωντων στοιχείωνστοιχείων τουτου σώματοςσώματος

∑∑ ===i

iCGi

iCGgCG gmxFxFxτ

ΡοπήΡοπή τηςτης βαρυτικήςβαρυτικής δύναμηςδύναμης

∑∑∑∑ =⇔=⇔=i

iii

iCGi

iii

iCGnet mxmxgmxgmxττ

Απαιτώντας ττ==ττnetnet καταλήγουμε στη σχέση:

CM

ii

iii

CG xm

mxx ==

∑∑


ΕΥΡΕΣΗΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

ΣυνεχήςΣυνεχής κατανομήκατανομή ύληςύλης: : ΤαΤα αθροίσματααθροίσματα αντικαθίστανταιαντικαθίστανται μεμε ολοκληρώματαολοκληρώματα

M

dmz

dm

dmzz

M

dmy

dm

dmyy

M

dmx

dm

dmxx

M

M

MCM

M

M

MCM

M

M

MCM

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

==

==

==

ΗΗ γεωμετρικήγεωμετρική συμμετρίασυμμετρία τουτου σώματοςσώματος απλουστεύειαπλουστεύει τουςτους υπολογισμούςυπολογισμούς..


ΕΥΡΕΣΗΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣΝαΝα βρεθείβρεθεί τοτο κέντροκέντρο βάρουςβάρους ομογενούςομογενούς ράβδουράβδου πυκνότηταςπυκνότητας ρρ00 καικαι μήκουςμήκους LL μεμε τητη μέθοδομέθοδοτηςτης ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης, , πουπου ωςως γνωστόνγνωστόν ευρίσκεταιευρίσκεται στοστο γεωμετρικόγεωμετρικό τηςτης κέντροκέντρο..

xx

yy

LL

dxdx dxhDdVdmdxhDdV

00 ⋅⋅⋅==⋅⋅=

ρρ

Εάν διατάξουμε τη ράβδο κατά μήκος τουάξονα x και θεωρήσουμε ότι έχει πλάτοςπλάτος DDκαι ύψοςύψος hh, τότε για ένα απειροστόαπειροστό μήκοςμήκοςdxdx ισχύουν:

2L

L)2/L(

dxDh

dxxDh

dx)Dh(

dx)Dh(x

dm

dmxx

2

L

00

L

00L

0 0

L

0 0L

0

L

0cm =====

∫∫

∫∫

∫∫

ρ

ρ

ρ

ρ

ΠώςΠώς διαμορφώνεταιδιαμορφώνεται τοτο αποτέλεσμααποτέλεσμα αυτόαυτό εάνεάν ηη ράβδοςράβδος δενδεν είναιείναι ομογενήςομογενής;;


ΕΥΡΕΣΗΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣΝαΝα βρεθείβρεθεί τοτο κέντροκέντρο βάρουςβάρους ανομοιογενούςανομοιογενούς ράβδουράβδου μήκουςμήκους LL,, ότανόταν ηη πυκνότητάπυκνότητά τηςτηςεξαρτάταιεξαρτάται γραμμικάγραμμικά απόαπό τοτο μήκοςμήκος τηςτης:: ρρ((xx)=)=ρρ00(1+x/L).(1+x/L).

xx

yy

LL

dxdxdxhD)

Lx1(dVdm

dxhDdV

0 ⋅⋅⋅+==

⋅⋅=

ρρ

Όπως προηγουμένως, για ένα απειροστόαπειροστόμήκοςμήκος dxdx ισχύουν:

2L36

L5

L2LL

L3L

2L

dxLx1

dxLx1x

DhdxLx1

DhdxLx1x

dm

dmxx

2

2

32

L

0

L

0

L

0 0

L

0 0

L

0

L

0CM =

+

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==

∫

∫

∫

∫

∫∫

ρ

ρ

L95xCM =


ΕΥΡΕΣΗΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣΝαΝα βρεθείβρεθεί τοτο κέντροκέντρο βάρουςβάρους ομογενούςομογενούς πλάκαςπλάκας σχήματοςσχήματος ισοσκελούςισοσκελούς τραπεζίουτραπεζίου μεμεβάσειςβάσεις L L καικαι 2L 2L καικαι ύψοςύψος D.D.

yy

2L2L

dydy

xx

LL

DD

Σε τυχαίο ύψος y και για στοιχειώδες dy το μήκος x του στοιχείου δίνεται από τη σχέση:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

Dy2LL

DyL2x

dyhDy2Ldm

dyhDy2LdyhxdV

0 ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅⋅=

ρ

Οπότε:

D23D3

2

D2DD2

D3DD

dyDy2

dyDy2y

hdyDy2L

hdyDy2Ly

dm

dmyy

2

2

32

D

0

D

0D

0 0

D

0 0

D

0

D

0CM =

−

−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

==

∫

∫

∫

∫

∫∫

ρ

ρ

D94yCM =


Documents

03 Phys I Stiliaris...ΣΤΑΤΙΚΗΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣΩΜΑΤΟΣ ¾ΙσορροπίαΣωματιδίου ¾ΣτατικήΙσορροπίαΣτερεούΣώματος ΦΥΣΙΚΗΙ