Teorema del emparedado

Los dos panes de molde atrapan al jamón intermedio.

La función x2 sin(1/x) (en azul) atrapada entre las funcionesx2 (en verde) y −x2 (en rojo).

En cálculo, el teorema del emparedado (llamado tam-bién teorema de encaje, teorema de intercalación,teorema de estricción, teorema del enclaustramien-to, teorema de compresión, teorema de las funcionesmayorante y minorante, teorema del ladrón y los dospolicías(Rusia), criterio del sándwich o teorema delsándwich) es un teorema usado en la determinación dellímite de una función. Este teorema enuncia que si dosfunciones tienden al mismo límite en un punto, cualquierotra función que pueda ser acotada entre las dos anterio-res tendrá el mismo límite en el punto.El teorema o criterio del sándwich es muy importan-te en demostraciones de cálculo y análisis matemático.Y es frecuentemente utilizado para encontrar el lími-

te de una función a través de la comparación con otrasdos funciones de límite conocido o fácilmente calcula-ble. Fue utilizado por primera vez de forma geométricapor Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcularπ. Aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.

1 Exposición

El teorema del encaje o de intercalación es expuesto for-malmente como:

• Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x),o también funciones minorante y mayorante de f(x)respectivamente.

2 Indeterminaciones

Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwiches en la resolución de límites indeterminados. En parti-cular, permite afirmar que el límite

limx→0sin xx = 1

Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejan-do dicha expresión de la expresión general y aplicandopropiedades del límite con el resto.

2.1 Ejemplo

Se intenta calcular el límite limx→0

sinxx

, que es unaindeterminación del tipo 0

0 .

• Se toma la relación cosx sinx ≤ x ≤ tanx en elintervalo (0,π/2).

• Dividiendo los miembros por sinx resulta:

cosx ≤ x

sinx ≤ 1

cosx

• 1cos x ≥ sin x

x ≥ cosx

• Se sabe que limx→01

cos x = 1 y que limx→0 cosx =1

• Por el teorema de sandwich, limx→0sin xx = 1 .

1

2 4 VÉASE TAMBIÉN

3 Referencias• Joseph M. Ling (2001) Examples on Limits of Fun-ctions: The Squeeze Theorem

• Dr. C. Sean Bohun The Squeeze Theorem

4 Véase también• Teorema del sándwich de jamón.

3

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