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Modelos de Programación Lineal
IO1 R. Delgadillo 2
Agenda
Componentes de un proyecto de IO
Construcción de Modelos
Modelos, tipos
Modelo Matemático
Modelos de PL
Formulación de modelos de PL
Problemas
IO1 R.Delgadillo 3
Componentes de un proyecto de la I.O.
Estudio de la organización
Interpretación de la organización como un sistema
Formulación de los problemas de la organización
construcción de modelo
resolución del modelo
IO1 R.Delgadillo 4
Componentes de un proyecto de la I.O.
Prueba del modelo
Diseño y control asociado a las soluciones
Implantación
IO1 R. Delgadillo 5
Formulación (definición) de los problemas de la organización
¿Cuáles son los problemas que tiene la organización?
Describir cada uno de ellos
Delimitar su ámbito
Identificar los entes afectados
Recolección de datos o información
Análisis de costo-beneficio
Recomendaciones
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Construcción de modelos
Pasos a seguir:
Selección del modelo adecuado
Selección de los datos de entrada
Formulación
Construcción simbólica
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Modelos
Es una representación simplificada e idealizada de la realidad
IO1 R. Delgadillo 8
Modelos
Tipos:
Matemáticos o Físicos
Estáticos o Dinámicos
Determinísticos o Estocásticos
IO1 R. Delgadillo 9
Modelo matemático
Un modelo matemático es una representación idealizada y simplificada de un sistema, expresada en términos de símbolos y expresiones matemáticas
Ej: F=m.a
El modelo matemático de un problema económico, es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema
IO1 R. Delgadillo 10
Modelo matemático
Queda definido Por:
n decisiones variables de decisión
Medida de desempeño conjunto Función
objetivo (F.O.)
Conjunto de limitaciones restricciones
Ecuaciones y desigualdades
Coeficientes y los lados derecho parámetros
nxxxx ,...,, 321
nn xxxxxxfZ 15...53),...,,( 2121
8142 421 xxx
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Modelos de PL
Es un modelo matemático, cuyas funciones son lineales
Todo modelo de PL tiene:
Una Función Objetivo
Variables de decisión
Conjunto de restricciones
Criterio de optimización (máx. ó min)
IO1 R. Delgadillo 12
Modelos de PL
Ejemplo: Una compañía fabrica 2 productos en 4 secciones distintas de fabricación A, B,C y D, todas colocadas en serie
Las decisiones de producción (variables de decisión) dependerán: de la capacidad de la fabrica y de la disponibilidad de los recursos(restricciones)
y al fabricante le preocupará satisfacer la demanda a un costo de producción (objetivo) mínimo (criterio).
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Selección de los datos de entrada
Información necesaria y que puede venir de registros históricos, pruebas, experimentos actuales o aún corazonadas basadas en la experiencia.
Estos datos constituyen los parámetros del problema
IO1 R. Delgadillo 14
Formulación del Modelo de PL
Consideraciones para la formulación:
Cree un modelo en forma verbal: restricciones y objetivo
Identifique las variables de decisión
Identifique los datos del problema
Exprese cada restricción y función objetivo en términos de las variables de decisión
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Formulación del Modelo de PL
Las restricciones son de requerimiento
Las restricciones son limitaciones
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Formulación de modelos de PL
Un carpintero fabrica sillas y mesas, su producción esta limitada por lo siguiente:
listones mano de Utilidad
de madera obra
c/silla requiere 4 3 horas 900 c/mesa requiere 4 6 horas 600 Dispone x sem. 36 48 horas Determinar el plan de producción óptimo
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Formulación de modelos de PL
Qué se desea? Un plan de producción óptimo
Como se consigue? Haciendo máxima la producción
La producción se refiere a la cantidad de sillas y mesas
Variable de decisión: Número de sillas y mesas
que debe producir a la semana
x1 : Número de sillas a producir x sem.
x2 : Número de mesas a producir x sem
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Formulación de modelos de PL
Objetivo: Obtener mayores (máxima) utilidades (beneficio), en base a las sillas y mesas a producir
F.O : Z = 900 x1 + 600 x2
Como se desea que sea máxima
Maximizar Z= 900 x1 + 600 x2
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Formulación de modelos de PL
Qué limitaciones existe? La mano de obra y los listones de madera
Restricción de Madera: 4 x1 + 4x2 < 36
Restricción de M.O: 3 x1 + 6x2 < 48
Solo eso? La producción no puede ser negativa
Restricciones de no negatividad
x1 ,x2 > 0
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Construcción simbólica (modelo)
Maximizar 900 x1 + 600 x2
s.a. 4 x1 + 4x2 < 36
3 x1 + 6x2 < 48
x1 ,x2 > 0
x1 : Número de sillas a producir x sem.
x2 : Número de mesas a producir x sem.
Restricciones
Rango de existencia
Función
Objetivo
Variables de decisión
Criterio
Datos
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Etapas en la formulación de un modelo
Definición de las variables de decisión
Determinación de los Coeficientes de costos (o utilidades)
Definición de la Función objetivo
Determinación de los Coeficientes tecnológicos y lado derecho de restricciones
Definición de las Restricciones funcionales
Definición de las Restricciones de signo
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Problema de asignación de recursos
El señor León tiene un pequeño camión con capacidad de 20m3 en el cual transporta mercaderías. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de mercaderías, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercadería está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta.
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Problema de asignación de recursos
Caja tipo 1 => 1m3 , S/1000 c/u
Caja tipo 2 => 1.2m3 , S/1120 c/u
Caja tipo 3 => 0.8m3 , S/900 c/u
¿Cómo debe llenar el señor León su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje ?
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Problema de asignación de recursos
Definición de las variables de decisión
X1 : número de cajas tipo 1 a transportase en cada viaje (cja/viaje)
X2 : número de cajas tipo 2 a transportase en cada viaje (cja/viaje)
X3 : número de cajas tipo 3 a transportase en cada viaje (cja/viaje)
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Problema de asignación de recursos
Coeficientes de costos (utilidades)
Datos
Función Objetivo
Z: Ganancia total (soles) por el transporte de los 3 tipos de cajas en cada viaje.
Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3
[soles/ caja]* [caja/viaje]=[soles/ viaje]
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Problema de asignación de recursos
Coeficientes tecnológicos y de lado derecho
Datos
Restricciones funcionales
R1: capacidad del camión (recurso)
1X1 + 1.2 X2 +o.8 X3 ≤ 20
[m3 /caja] * [caja/viaje] = [m3/viaje]
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Problema de asignación de recursos
R2: mínimo de mercancía tipo 1 (requerimiento)
x1≥8 [caja/viaje]
R3: Mínimo de mercancía tipo 3
x3≥5 [caja/viaje]
Restricción de signo
X1,x2,x3 ≥0
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Problema de asignación de recursos
Modelo completo
Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3
s.a
1X1 + 1.2 X2 +o.8 X3 ≤ 20
x1 ≥ 8
x3 ≥ 5
X1,x2,x3 ≥0
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Problema de dieta
Una dieta para ganado requiere que el alimento que se consuma tenga los 4 grupos básicos: Harina, grasas, proteínas, minerales.
Los costos asociados a cada grupo son:
50,20,30y 80 soles por quintal y la cantidades mínimas a ingerirse cada día es:
500,28,50,68 onzas
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Problema de dieta
La tabla siguiente muestra el contenido nutricional de cada alimento
Harinas grasas proteínas minerales
alimento1 400 8 15 2
alimento2 200 15 30 15
alimento3 150 10 5 8
alimento4 500 0 3 5
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Problema de dieta
Determine la mejor combinación de alimentos de forma a obtener una dieta con el requerimiento nutricional diario a menor costo.