02 - MdM_09-10_Teoremi energetici in elasticità

UNIVERSITÀ DI PALERMO DIPARTIMENTO DI MECCANICA

13/10/2009

LL’’energia di deformazione ed i teoremi energeticienergia di deformazione ed i teoremi energetici MeccaniMeccanica ca deidei MaterialiMateriali –– G. PitarresiG. Pitarresi

22/31/31

Indice

Esempi di casi strutturali risolti mediante i teoremi energetici;9.Altri teoremi energetici;8.

L’energia di Deformazione elastica in travi soggette a sollecitazioni semplici;

5.Resilienza e tenacità di un materiale; 4.

Il teorema di Castigliano;7.

Energia di deformazione ed energia di frattura.

Enunciato del Principio dei Lavori Virtuali;

La densità di energia di deformazione elastica; Il lavoro ed il lavoro complementare delle forze esterne; Il concetto di energia di deformazione nell’analisi strutturale;

10.

6.

3.2.1.

L’energia di deformazione ed i teoremi energetici


33/31/31

Il concetto di energia di deformazione nell’analisi strutturale

L’approccio tradizionale allo studio del comportamento elastico dei materiali è basato sulla definizione ed impiego dei concetti di Tensione, Deformazione, Rigidezza e Resistenza, vale a dire essenzialmente in termini di Forze e Spostamenti.

Al fine di interpretare certi fondamentali aspetti della resistenza dei materiali e comportamento delle strutture, è necessario introdurre un nuovo approccio meno intuitivo ma estremamente efficace, basato sul concetto di energia, e più in dettaglio di Energia di Deformazione.

Energia: Capacità di eseguire un lavoro [Forza×Spostamento]

Energy may be regarded as the universal currency of the sciences, and we can often follow it through itsvarious transformations by means of a sort of accounting procedure which can be highly informative.

J.E. Gordon “Structures or why things don’t fall down”, ed. Penguin Books, 1991.

Soluzioni esatte del sistema di equazioni differenziali del problema elastico sono eccezionalmente difficili da derivare in forma chiusa nel caso di strutture complesse. Solo con l’introduzione del concetto di energia di deformazione dalla seconda metà dell’Ottocento è stato possibile lo sviluppo fondamentale e decisivo di metodi di analisi strutturale.



44/31/31

Sebbene l’energia, nelle sue varie forme, può essere misurata in modo abbastanza preciso, il concetto di energia è più difficile da immaginare rispetto ad altre grandezze quali forze o distanze. Si può in qualche modo dire che noi riusciamo ad apprenderne la sua influenza solo osservando i suoi effetti. Questa difficoltà concettuale è anche il motivo per cui il concetto di energia in tutto il mondo scientifico ha cominciato ad essere impiegato piuttosto in ritardo, sebbene con grande e rapido beneficio.

Il modo più comune per un materiale o una struttura di conservare energia (oltre all’energia potenziale derivante dal peso, molto poco utile in sensogeneralizzato) è attraverso l’accumulo di energia di deformazione elastica.

Qualsiasi materiale elastico che si trovi sotto tensione ha immagazzinata dell’energia di deformazione (come se si trattasse di una molla sottocarico).



55/31/31

L’arco è un esempio di un modo particolarmente efficace di immagazzinare e conservare l’energia dei muscoli umani per liberarla all’occorrenza per scagliare una freccia ad elevata velocità.

L’energia che una persona può trasferire alla struttura arco è limitata dalle capacità di estensione del braccio. In pratica una persona può mediamente caricare una freccia spostandola di una distanza di circa 0.6 m. Inoltre anche un uomo con una straordinaria forza difficilmente riuscirà a tendere un arco maggiore di 350 N. Ne segue che l’energia muscolare impiegato è di 210 Joules.

Se supponiamo che l’arco sia inizialmente lasco, ovvero non pretensionato cioè scarico, si può ipotizzare che l’andamento della forza con lo spostamento del braccio sia approssimativamente quello mostrato in figura, e l’energia di deformazione dell’arco sarà l’area inclusa nel triangolo ABC, ovvero 105 Joule.



66/31/31

Se adesso consideriamo un arco palintono, ovvero l’arco di Ulisse, questo è inizialmente arcuato nel senso opposto a quello corrispondente allo stato iniziale (corda collegata e freccia scarica). La posizione iniziale di carica dell’arco quindi necessita di un pretensionamento della struttura arco rispetto alla sua configurazione a riposo, ovvero si pre-introducono nell’arco delle tensioni elastiche iniziali. Se a questo punto l’arciere carica la freccia sempre con un movimento di braccio di 60 cm e una forza massima applicata di 350 N (come consentito dalle sue possibilità), l’energia di deformazione immagazzinata adesso nell’arco (e disponibile a trasformarsi in energia cinetica della freccia) èadesso rappresentata dall’area ABCD in figura, che rappresenta un valore molto maggiore rispetto al caso precedente di arco non-palintono.

Questo di per sé è un grosso vantaggio per l’arciere, al di là di quello che probabilmente fù anche il vantaggio per Penelope.



77/31/31

Capacità di immagazzinare energia da parte di alcuni materiali.



88/31/31

Il lavoro ed il lavoro complementare delle forze esterne

��1

0

x

PdxUPdxdU

1121 xPU �

Lavoro compiuto dal carico P quando l’asta si allunga di una piccola quantità dx.

Energia di deformazione

�� 1

0

1

0

1

0

xxx

i dldx

AP

ldx

AP

VUU ��

Densità di energia di deformazione in stato monoassiale di tensione



99/31/31

In un sistema lineare se lo spostamento è incrementato da u ad u+�u il corrispondente incremento di lavoro èpari a:

uPuPW ��21

��

Per sistemi non lineari termini di ordine superiore a �P�usaranno anche presenti. Tuttavia i termini del secondo ordine verranno nel seguito trascurati (solo in problemi in cui si studia la stabilità termini del secondo ordine di W sono considerati).

W* lavoro complementare (uguale a W per sistemi lineari)

uPPuW* ��21

��

Il lavoro complementare delle forze esterne non ha significato fisico immediato e quindi si tratta di una quantità formalmente definita dalla sua stessa espressione analitica o equazione.



1010/31/31

Si consideri una generica struttura tridimensionale soggetta ad un sistema di forze superficiali, di massa e concentrate.

� � �

� � econcentratforzedelledirezioninelleispostamentu,.....,u,u

econcentratforzeP,.....,P,P

edistribuitsuperficiediforze,,)z,y,x(

massadiforzeX,X,X)z,y,x(

ispostamentu,u,u)z,y,x(

n

n

zyx

zyx

zyx

��

�

�

�

��

��

21

21

� �superioreordinediterminidSdVW T

Sup

T

vol

T �� P



1111/31/31

La densità di energia di deformazione elastica

��

��00

ii UU

VUUV

ii ��

Densità di Energia di Deformazione Elastica

��

��00

*i

*i UU

Densità di Energia complementare di Deformazione Elastica

Energia di Deformazione Elastica



1212/31/31

Nelle relazioni precedenti si è considerato il solo contributo di una sola componente di deformazione, ovvero in stato di tensione monoassiale. Nel caso generale tridimensionale sono presenti tutte le componenti di tensione e deformazione ed i loro contributi sull’energia di deformazione per un incremento di deformazione saranno dati da:

� �xzyzxyzyx

xzyzxyzyx

Ti

,,,,,

,,,,,U

��

��

�

�

�

Variazione infinitesima dell’energia di Deformazione Elastica della struttura

��

V

T

V

ii UU ��



1313/31/31

Densità di energia di Deformazione Elastica di una struttura elastica lineare:

� �xzxzyzyzxyxyzzyyxxiU �� 21

xyxzxz

yzyzyz

xyxyxy

xxzz

zxyy

zyxx

G

G

G

EEE

EEE

EEE

��

��

��

��

��

��

1

1

1

��

��

��

��

��

��

�� TiU �

� � � �222222212

21

xzyzxyzxzyyxzyxi GEU ��

��

� �� 31322123

22

21

221 �� E

Ui



1414/31/31

� �� 31322123

22

21

221 �� E

Ui

Uno dei criteri usati per prevedere se un dato stato di tensione causerà lo snervamento di un materiale duttile, il criterio della massima energia di distorsione, è basato sulla determinazione dell’energia per unità di volume (densità di energia) associata con la distorsione, o cambiamento di forma, di quel materiale.

iDiVi UUU ��

332211 �� ;;

3321 ��

�



1515/31/31

0321 ��

� �� zyxzyxzyx

EL

LLVV ��

��

��

��

2111130

30

30

In base alla relazione precedente lo stato di tensione deviatorico avrà la seguente proprietà:

Poiché in generale la variazione relativa di volume del cubetto infinitesimo si può esprimere come:

Dalle du relazioni precedenti si conclude che per lo stato deviatorico la variazione di volume è nulla, ovvero tale stato di tensione è quello responsabile della distorsione prodotta dal generico stato di tensione iniziale (dato dallo stato di tensione deviatorico più idrosdtatico).

� �� 232122

621323

21 ��

��

EEUiV

� �� 232131322123

22

21 6

21221 ��

��

EEU-UU iViiD

� � � � � �� 213

232

2216

1 �� G

UiD



1616/31/31

� � � � � �� 213

232

2216

1 �� G

UiD

Nel caso di un provino di trazione in stato monoassiale di tensione il valore della densità di energia in corrispondenza dello snervamento Y (yiealding), rappresenta il valore massimo di energia tollerato dal materiale, e vale:

� �G

U YYiD 3

2��

Uguagliando le due espressioni di sopra si ricava la forma finale generale (cioè per stato di tensione triassiale) del criterio della massima energia di distorsione:

� � � � � �� 2213

232

221 2 Y��



1717/31/31

Resilienza e tenacità di un materiale

La capacità di un materiale di accumulare energia di deformazione e deformarsi elasticamente sotto un carico senza rompersi è chiamata “Resilienza”. La resilienza può quindi essere definita come: la quantità di energia di deformazione che può essere accumulata in una struttura senza causarne un danno permanente.

Alla luce della definizione di resilienza, sebbene una bassa rigidezza ed elevata deformabilità di solito consentono una elevata capacità di assorbire energia senza rompersi, tali caratteristiche non sempre possono essere gli unici criteri di scelta. La rigidezza e la resistenza sono altrettante caratteristiche fondamentali che spesso non si conciliano con una elevata resilienza. In tal senso il progettista strutturale, nello scegliere i materiali e progettare le strutture, è sempre chiamato ad operare un compromesso tra resilienza, rigidezza e resistenza.



1818/31/31


La quantità di energia necessaria per rompere la sezione resistente di un materiale ne definisce la “Tenacità (Toughness)”, o lavoro di frattura o ancora energia di frattura. Questa proprietà è piuttosto differente e separata dalla resistenza a trazione (Tensile Strength), definita come la tensione necessaria per rompere un solido.



1919/31/31

L’energia di Deformazione elastica in travi soggette a sollecitazioni semplici

Carichi assiali:

��

V

TiU ��

AELP

AP

EEUU

EEEUEU

V V

L

o

xii

xxxx

x

xxixxi

221

21

21

21

2

2

2

22

22

0

� � �

�

��

��

�

��

L’energia di deformazione elastica in travi soggette a sollecitazioni semplici


2020/31/31

Carichi Flessionali:

��

!

"""

#

$��

LLx

i dxEIMdxA

IM

EIM

EEU

0

2

02

2

2

22

21

21

21

21 �

EILPdx

EIxPU

PxML

i 621 32

0

22��

�

�



2121/31/31

Tensioni tangenziali:

�

� �

�

��

V

xyi

xyxyxyxy

xy xy

xyxyxyxyixyxyi

dVG

U

GGGUU

2

221

21

2

22

0 0

�

��

� �

Torsione pura:

p

L

pV V p

xyi

pxy

GJLTdxdAr

GJTdVr

GJTdV

GU

rJT

2222

2

0

22

22

22��

!"

#$��

�

� ��

�



2222/31/31

Enunciato del Principio dei Lavori Virtuali

I primi metodi di analisi strutturale prendevano in esame le tensioni e le deformazioni in strutture reticolare (trusses), e l’interesse era inizialmente limitato alle strutture staticamente determinate (isostatiche), per le quali la ripetuta applicazione delle equazioni di equilibrio ai nodi era sufficiente per determinare completamente la distribuzione delle forze interne e quindi degli spostamenti. Per strutture che invece erano staticamente indeterminate (ridondanti o iperstatiche), tali equazioni di equilibrio per le forze interne non erano sufficienti, e quindi è necessario imporre altre condizioni aggiuntive ovvero ulteriori equazioni indipendenti. Nel 1827 Navierosservò che il problema poteva essere superato considerando gli spostamenti ai nodi delle strutture reticolare, anziché le forze. Si possono in tal modo ricavare sempre tante equazioni quanti sono gli spostamenti incogniti; tuttavia pure con semplici strutture reticolare, il numero di equazioni che si ottiene è molto elevato. Infatti il metodo degli spostamenti (alla base del metodo degli elementi finiti per le strutture continue) ha trovato applicabilità solo di recente grazie allo sviluppo dei calcolatori elettronici.



2323/31/31

�� T

Sup

T

vol

T dSdVW P ��

V

T

V

ii UU ��

Nelle espressioni derivate e riportate sopra della variazione infinitesima di Lavoro ed Energia di Deformazione si evince che queste (trascurando i termini infinitesimi di ordine superiore) non dipendono da variazioni infinitesime dei carichi (es. �X, � , �P) o delle tensioni (��). Ne consegue che le forze e le tensioni nella struttura si possono ritenere costanti nel considerare le variazioni degli spostamenti da u a u+�u.

Gli spostamenti �u possono essere quindi degli spostamenti qualsiasi (virtuali), e quindi spostamenti in cui la configurazione finale del sistema non è necessariamente in equilibrio. E’ invece essenziale che tali spostamenti siano geometricamente possibili, ovvero che siano compatibili con i vincoli e le condizioni al contorno, e che le deformazioni da essi generate rispettino le condizioni di compatibilità.

Per tale motivo le relazioni di sopra si definiscono in generale lavoro virtuale e deformazione virtuale.



2424/31/31

�� V

TTT dSdV �� T

supvolP

Una struttura elastica è in equilibrio sotto un dato sistema di carichi se per qualsiasi spostamento virtuale �u a partire da una configurazione compatibile u il lavoro virtuale è uguale all’energia di deformazione virtuale.

iUW ��



2525/31/31

Se la struttura è soggetta ad un singolo carico concentrato o coppia concentrata:

110

1

21W yPPdy

y

� ��

EIPLy

PyEILP

3

21

6U

3

1

1

32

i

�

��

1121W %M�

EIML

MEILMUi

�

��

1

1

2

21

21

%

%

1121W &T�

p

pi

GJTL

TGJLTU

�

��

1

1

2

21

2

&

&



2626/31/31

Il teorema di Castigliano (Parte I)Supponiamo di avere una struttura caricata mediante un sistema di forze concentrate:

�u

P,...,P,..,P,P

r

nr

��

� 21

Se pensiamo di applicare solamente uno spostamento virtuale �ur nella direzione del solo carico Pr, allora il lavoro virtuale eseguito sarà:

r

irirr u

UPUuPW��

��

!""#

$''

�r

ir u

UP

Il Teorema di Castigliano


2727/31/31

Il teorema di Castigliano (Parte II)

Lo spostamento ur del punto di applicazione di Pr, misurato lungo la retta di applicazione di Pr, può essere espresso come la derivata parziale dell’energia di deformazione della struttura rispetto al carico Pr:

�nr P,...,P,..,P,P 21�

Se una struttura elastica è soggetta ad n carichi:

��

!""#

$''

�r

ir P

Uu

Il Teorema di Castigliano


2828/31/31

Altri teoremi energeticiTeorema di Clapeyron

In una struttura elastica lineare si ha:

(((

)

(((

*

+

��

��

��

��

dSdVW

dSdVW

T

S

T

V

T

T

S

T

V

T

221

21 P

P ��

U

U

U

U

V

Ti

Ti

V

Ti

Ti

(()

((*

+

�

�

�

(()

((*

+

�

�

��2121

��

��

Altri Teoremi Energetici


2929/31/31

Teorema di Betti

Si consideri una struttura elastica lineare soggetta a due distinti sistemi di forze PI e PII. Gli spostamenti relativi al solo sistema PI siano indicati da uI, e quelli relativi ad PII da uII.Se il sistema PI è applicato per prima ed in successione si applica il sistema di forze PII, il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne sarà dato da:

�� 21

21

IIIWSe la sequenza di carico adesso si considera inversa, ovvero prima si applica il sistema PII è poi il sistema PI, il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne sarà questa volta dato da:

�� 21

21

IIIWIn entrambe i casi il lavoro è trasformato in energia di deformazione. Questa sarà la stessa dato che la configurazione deformata finale della struttura nel caso elastico lineare non dipende dalla sequenza di applicazione dei carichi. Ne consegue che:

�� WWU IIIIIIi

Il lavoro fatto dal sistema di forze PI a seguito del sistema di spostamenti UII è uguale al lavoro fatto dal sistema di forze PII a seguito del sistema di spostamenti UI, dove UI ed UII sono rispettivamente gli spostamenti dovuti a PI e PII.

Altri Teoremi Energetici


3030/31/31

Energia di deformazione ed energia di frattura

Al fine di rompere un materiale a trazione, è necessario che una cricca si formi e cresca nella sezione resistente.Per creare e far crescere una cricca è necessario spendere dell’energia (Energia di Frattura).L’energia di deformazione immagazzinata in una struttura è l’energia sempre potenzialmente a disposizione del materiale per avviare il processo di autodistruzione mediante il processo noto come “Frattura”. In altre parole l’energia di deformazione presente nella struttura può essere usata per pagare il “prezzo energetico” per far propagare un difetto nel materiale.La quantità di energia richiesta per rompere una data sezione di un materiale definisce la “tenacità” del materiale, detta anche Energia di Frattura o Lavoro di Frattura. Questa proprietà è molto diversa dalla resistenza a trazione (intesa in termini di tensione di rottura).

Energia di deformazione ed energia di frattura


3131/31/31

Fonte: Bill Watterson, “Calvin and Hobbes – weirdos from another planet”, ed. Warner book.

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