ESTADISTICA DESCRIPTIVA

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Distribuciones Bidimensionales

• Variable estadística bidimensional: Representa dos características de cada elemento del colectivo.

• Representación: (x, y); (x1, x2)...

• Importancia: Aporta más información del colectivo analizado. Mejora la representatividad de la media. Destaca la importancia de las distribuciones condicionadas.

Distribuciones bidimensionales

• Clases:– Discretas

– Continuas (Trabajo con marca de clase)

• Frecuencias:– Absolutas (fij)

– Relativas (nij)

• Distrib. Bidimensional: Conjunto de valores de la variable bidimensional con sus frecuencias.

Representación numérica:Tabla de correlación

(similar para fr.relativas y dist.continuas)

X1 X2 Xn Gj

Y1 G1

Y2 f22 fn2 G2

Ym fnm Gm

Hi H1 H2 Hn N

j

iY

X

Significado de los símbolos utilizados

-

-

-

-

-

m

jiji fH

1

n

iijj fG

1

N

G

N

fng

N

H

N

fnh

N

fn

jn

i

ijn

iijj

im

j

ijm

jiji

ijij

11

11

;;

n

i

m

jj

n

ii

m

jij GHfN

1 111

1;1;1111

m

jj

n

ii

n

i

m

ljij ghn

Representación gráfica(espacio de 3 dimensiones)

• Distribuciones discretas:– Diagrama de dispersión

– Diagrama de barras

• Distribuciones continuas:– Estereograma o escalograma

Volumen del paralelepípedo=fij

Altura =ji

ijii cc

fdh

REPRESENTACION GRAFICA DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DISTRIBUCIONES

BIDIMENSIONALES DISCRETAS

REPRESENTACION GRÁFICA DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Distribuciones marginales• Distribución unidimensional• Frecuencia de cada valor de la variable

(unidimensional) con independencia de los de la otra

• Marginal de Xi

Elementos:

Xi Hi

(absoluta)

Hi

(relativa)

X1

......

H1

......

H1

......

Xn Hn hn

Total N 1

Distribuciones marginales:Ejemplo Xi

Yj

5 10 15 Gj=f.j

1 1 2 3 6

2 2 1 2 5

3 1 3 1 5

4 3 2 2 7

Hi=fi. 7 8 8 23

Yj Gj gj

1 6 6/23

2 5 5/23

3 5 5/23

4 7 7/23

Hi=fi. 23 1

Xi Hi hi

5 7 7/23

10 8 8/23

15 8 8/23

Hi=fi. 23 1

Distribuciones condicionadas

• Importancia tanto en la concepción subjetivista como en la objetivista

• Distribuciones unidimensionales• Informa sobre la distribución de los valores de una

variable para valores distintos de la otra. • Expresa el comportamiento de una variable

condicionado a un valor conocido de la otra. Se restringe el ámbito de análisis al campo definido por el valor de la condicionante.

Distribuciones condicionadas

• Estructura de Yj/Xi

Yj/Xi= ) f(y/xi ) n(y/xi= )

Y1 fj/i= nj/i=

.... .... ...

Hi 1

Frecuencia relativa=conjunta dividida por la marginal de la condicionante:

• Frecuencias relativas i

ij

i

ij

i

ij

ij h

n

N

HN

f

H

fn

Dependencia e independencia estadística

• Importancia del estudio: Conocer si el comportamiento de una variable está afectado o no por la otra

• Condición necesaria y suficiente de independencia: Que la frecuencia relativa conjunta sea el producto de las marginales

N

G

N

H

N

fghn jiijjiij .;

Dependencia-Independencia

• Demostración de la condición de independencia:

Análisis de Y/X=

jiijji

ijij

j

n

ii

n

iij

n

nj

i

ijjj

njjj

ghngh

nn

g

h

n

h

n

h

n

h

n

h

n

nnn

;

1......

;...

/

1

1

2

2

1

1

21

Dependencia e independencia estadística

Xi

Yj

3 5 7 Gj=f.j

6 2 4 2 8

4 5 10 5 20

2 2 4 2 8

Hi=fi. 9 18 9 36

Ejemplo de independencia

36

18

8

4/

20

10/

8

4/ 2.2322212 hnyxnyxnyxn

36

9

8

2/

20

5/

8

2/ 1.1312111 hnyxnyxnyxn

36

9

8

2/

20

5/

8

2/ 3.3332313 hnyxnyxnyxn

Frecuencias relativas

• Distribuciones condicionadas

• Variables independientes

iijij

i

ij

ij

jjiij

j

ij

ji

hnnh

nn

gnng

nn

ijiijij

i

ij

ij

jijjiij

j

ij

ji

hghnnh

nn

ghgnng

nn

Momentos

• Ordinarios o respecto al origen

• Centrales o respecto a la media

n

i

m

jij

sj

rirs nyxa

1 1

n

i

m

jij

sj

rirs nyyxxm

1 1

Momentos ordinarios

Casos particulares:

n

i

m

jijji

j

m

jj

n

i

m

jijj

n

i

n

iii

m

jiji

m

jjj

n

iij

m

jj

n

i

m

jijji

n

i

m

j

n

i

n

iii

m

jijiijji

ij

n

i

m

jji

nyxa

gynya

hxnxa

ygynynyxa

xhxnxnyxa

nyxa

1 111

1

2

1 1

202

1 1

2

1

220

1111 1

1001

1 1 1 11

10110

1 1

0000

Covariante

;1

Momentos centralesCasos particulares

0110111 1

11

202

1 1

21020

2

1

2

220

11 110

0110

1 1

0000

Covarianza

varianza

0

;0

1

aaanyyxxS

Sm

Sm

aahxxnxx

VarianzaSm

xxhxxnxxm

mm

nyyxxm

n

i

m

jijjixy

xy

y

n

i

n

iii

m

jiji

x

n

iiiij

n

i

m

ji

n

i

m

jijji

MomentosEn el supuesto de que las variables sean

independientes:

Casos particulares:

osro

n

i

m

j

n

i

m

j

n

i

m

jj

sji

riji

sj

ri

sj

rirs aagyhxghyxnyxa

ij

1 1 1 1 1 1

n

i

m

j

n

i

m

josroj

sji

rii

sj

ri

n

i

m

jij

sj

rirs mmgyyhxxghyyxxnyyxxm

j1 1 1 11 1

0

;0

;

0110011001101111

011011

011011

aaaaaaam

mmm

aaa

Momentos

Cambio de variable:

• En los momentos ordinarios no es útil, pues no simplifica las operaciones.

• En los momentos centrales

j

Yjj

i

Xii c

OTyz

c

OTxu

;

n

iij

sy

m

jjyjj

rxixii

n

i

m

jij

sj

rirs nOTzcOTzcOTucOTucnyyxxm

1 11 1

)(

n

i

m

jrs

sj

riij

sj

sj

ri

rirs mccnzzcuucm

1 1

´

Correlación

• Estudio de la relación entre las dos variables:– Relación positiva: Al aumentar una, aumenta la

otra; al disminuir una, disminuye la otra.

Sxy>0

– Relación negativa: Al aumentar una, disminuye la otra y al disminuir la una, aumenta la otra.

Sxy<0

Incorrelación

Sxy= 0

Diferenciar entre incorrelación e independencia

Si las variables son independientes Sxy= 0;

Si Sxy= 0, no puede afirmarse, sin más, la independencia. Ha de cumplirse la condición de independencia: nij=higj

Coeficiente de correlación

• La covarianza está afectada por la unidad de medida en que se expresen las variables.

• Coeficiente de correlación:

• r>0 : Dependencia-Correlación positiva• r<0 : Dependencia-Correlación negativa• r = 1 : Dependencia perfecta positiva• r = -1: Dependencia perfecta negativa: • r = 0 : Incorrelación

20102

21020

11

1 1 aaaa

m

SS

Sn

S

yy

S

xxr

yx

xyij

y

jn

i

m

j x

i

Coeficiente de correlación

No está afectado por un cambio de variable

r es un indicador cualitativo.Su valor está entre –1<r<1Su signo coincide con el de la covarianza

vuvu

uv

yx

xy

jjj

j

iii

i

SS

Suv

SccS

Scc

SS

Sr

OTvcyc

OTyv

OTcuxc

OTxu

´

´

´´´

´

Tabla de correlación

Presentar cuadro práctico completo

Destacar las correspondenciasPosibilidad de agregar nuevas

filas o columnas