02 desarrollo 3 y conclusión (M. Bonino)

1. Conceptos y sus relaciones de Incidencia.

a. Punto Impropio

¿Qué tienen en común todo par de rectas paralelas? Cuando queremos dar una dirección dibujamos una recta, pero la dirección no es esa

recta, dado que cualquier recta paralela lo cumple. Puig Adam, en su libro “Curso de Geometría Métrica, tomo II”, observa que el

concepto de dirección tiene relaciones de incidencia idénticas a las del punto:

I. Dos recta de un plano o tienen en común un punto, o tienen común una dirección.

II. Dos puntos determinan una recta; y análogamente: Un punto P y una dirección determinan una recta. (aplicación del V postulado de Euclides)

III. Por una recta y un punto no incidentes, no pasa más que un plano. Análogamente: Por una recta no pasa más que un plano paralelo a una dirección dada (distinta de la de la recta).

Por lo que podemos afirmar que todo par de rectas paralelas tienen un punto en común al que llamaremos punto impropio.Unificando el concepto de dirección y punto impropio los enunciados anteriores se resumen en lo siguiente:

I. Dos rectas en un plano determinan un punto (propio o Impropio) común a ambas.

II. Dos puntos (propios, o uno propio y otro Impropios) determinan una recta a la que pertenecen.

b. Recta Impropia

¿Qué sucede con dos puntos Impropios? Dos puntos impropios determinan una orientación. Para comprobarlo tracemos por un

punto cualquiera del espacio rectas paralelas a ambas direcciones, estas paralelas determinan un plano. Todos los planos que podemos obtener de este modo son paralelos entre sí y se dice que tienen la misma orientación (la cual contiene todas las direcciones).

Propiedades de Incidencia que cumple el concepto de Orientación:

II'. Dos direcciones determinan, pues, una orientación que las contiene.

(Enunciado análogo al II anterior).

III'. Un punto y una orientación determinan un plano al que pertenecen.

(Enunciado análogo al III anterior).

IV. Un plano y una orientación distinta de la del plano determinan una dirección, lo mismo que un plano y una recta no incidentes definen un punto.

V. Dos planos o tienen una recta común o una orientación común.

De lo anterior podemos convenir en llamar recta impropia a la orientación, dado que cumple las relaciones de incidencia de la recta, y englobar II y II' de la siguiente forma:

II. Dos puntos (propios o impropios) determinan una recta (propia o impropia).

c. Plano Impropio

Como observamos los elementos impropios se comportan en sus propiedades como si fuesen puntos y rectas de un plano, que llamaremos plano impropio.

Comp. de Geometría 1 [email protected]

2. Generalización de las relaciones de incidencia.

En gran medida ya lo hicimos a medida que realizamos los convenio de nominación a modo de comprobación de que los nombres cumplían las propiedades de los conceptos aludidos. Pero acá los resumiremos sin distinción de los adjetivos de propio o impropio.

En Geometría plana.

(i). Dos rectas determinan un punto situado en ambas.

(ii). Dos puntos determinan una recta que pasa por ellos.

En Geometría del espacio.

(ii). Dos puntos determinan una recta que pasa por ambos.

(iii).Un punto y una recta no incidentes determinan un plano que pasa por ellos.

(v). Dos planos determinan una recta situada en ambos.

(iv).Un plano y una recta no incidentes definen un punto situado en ellos.

Fácilmente se puede verificar que:

Tres puntos no alineados determinan un plano que pasa por ellos.

Si una recta tiene dos puntos en una plano, está contenida en él.

Tres planos no concurrentes en una recta determinan un punto situado en ellos.

Si una recta pertenece a dos planos que pasan por un punto, es incidente con dicho punto.

3. Leyes de dualidad.

La presentación en doble columna de las proposiciones anteriores nos permite ver la simetría entre las relaciones de incidencia, en el plano, la recta y el punto, y en el espacio el punto y el plano, y su relación con la recta. La relación de pertenencia “estar en” se convierte en la recíproca “pasar por”, pero si no se quiere distinguir una de otra se puede utilizar el concepto universal de “incidencia”. (Ver anexo 2)

4. Operaciones básicas de la proyectividad

La proyección desde un punto o una recta y la sección por una recta o un plano, son las operaciones básicas de la proyectividad.

a. Tipos de Proyección

▪ Proyección de un punto A desde otro O.

Consiste en trazar la recta a que pasa por ambos.

▪ Proyección de una recta r desde un punto O que no pertenece a ella.

Consiste en trazar el plano α definido por ambas.

▪ Proyección de un punto O desde una recta r que no lo contiene.

Consiste, como en el caso anterior, en trazar el plano definido por ambos.


b. Tipos de secciones.

Seccionar o cortar dos figuras geometrías es la operación correlativa o dual a proyectar.

▪ Sección de una recta r por otra a.

Es la determinación del punto P común de ambas1.

▪ Sección de un plano α por una recta r, o viceversa.

Consiste en hallar el punto P común a ambos.

▪ Sección de un plano α por otro β.

Consiste en determinar la recta r común a ambos.

c. Relaciones entre proyección y sección

▪ Al proyectar una serie rectilínea, A, B, C, …, de una recta r, desde un punto V exterior a ella, se obtiene un haz de rectas a, b, c,..., de vértice V que pertenecen al plano definido por V y r. Que se designa V(ABC...).

Recíprocamente, la sección de un haz de rectas a, b, c,..., por otra recta r, que no pase por el vértice V del haz, produce una serie rectilínea, A, B, C,...

▪ Si proyectamos una serie rectilínea, A, B, C,... , desde una recta r, no coplanaria con la serie, se obtiene un haz de planos α, β, γ,... cuya arista es r.

Si seccionamos un haz de planos α, β, γ,... de arista m por una recta r, no coplanaria con ella, se obtiene una serie rectilínea, A, B, C.

▪ La proyección de un haz de rectas a, b, c,... de vértice V desde un punto O exterior al haz, produce un haz de planos α, β, γ,... cuya arista r es la proyección de v desde O.

Así mismo, la sección de una haz de planos α, β, γ,... de arista r, por otro plano Ω, que no contiene a la arista, determina un haz de rectas a, b, c,... cuyo vértice V es la intersección de la arista r con el plano Ω.

▪ Al proyectar una forma plana ABCDE desde un punto exterior a ella, se obtiene una superficie radiada de vértice O.

Del mismo modo, la sección de una superficie radiada de vértice O por un plano α que no contiene a éste produce una forma plana ABCDE.

De las propiedades antes establecidas se deduce:

“Las operaciones de proyección y sección conservan las relaciones de incidencia.”

5. Categoría de una forma geometría fundamental.

Es el número de condiciones necesarias para fijar o determinar cada elemento constituyente de manera inequívoca, dentro de la propia forma a la pertenece.

a. Figura de Primera categoría

Son las constituidas por elementos de una sola especie puntos (serie rectilínea), recta (haz de rayos) y plano (haz de planos).

1 En el desarrollo del texto no se hará distinción entre figuras propia o impropia, a menos que sea necesario.


Las más sencillas o fundamentales son :

▪ La serie rectilínea o conjunto de infinitos puntos de una recta. Son figuras de esta forma la recta y/o el segmento.

▪ Haz de rayos o radiación plana, es el conjunto de infinitas rectas de un plano que pasan por un punto. Son figuras de esta forma un ángulo y el haz de rectas o rayos.

▪ El haz de planos, es el conjunto de infinitos planos que pasan por una recta. Son figuras de esta forma el ángulo diedro y el haz de planos.

b. Figura de segunda categoría

Son las constituidas por elementos de dos especies (puntos y rectas o rectas y planos).

Las más sencillas o fundamentales son :

▪ La forma plana, es el conjunto de todos los puntos y rectas de un plano. Son figuras de esta forma las curvas planas y los polígonos.

▪ La radiación, es el conjunto de las infinitas rectas y planos que pasan por un punto. Son figuras de esta forma la radiación de rectas, la radiación de planos, las superficies cónicas y las superficies piramidales.

c. Figuras de tercera categoría

Son el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio.

▪ Son figuras de esta forma los poliedros, las superficies curvas, las superficies regladas y todas las figuras geométricas.

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6. Haces y secciones proyectivas

a. La proyectividad según Poncelet

Definición

“Dos figuras de primera o de segunda categoría se llaman proyectivas entre sí cuando pueden obtenerse una de otra mediante una sucesión deproyecciones y secciones.”

Apliquemos los visto en § 4.c:

proyectando una serie ABCD... desde un punto exterior (fig I) tenemos un haz de rectas abcd... Cortando este haz por otra recta, tenemos otra serie A'B'C'D'... Proyectando esta serie desde una recta (no secante) obtenemos un haz de planos αβγδ..., el cual cortado a su vez por otra recta dará una serie A''B''C''D''...


Fig. I Fig. II

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http://trazoide.com/wiki/index.php?title=Plano

Análogamente (fig. II) por proyecciones y secciones sucesivas podemos pasar de una figura de segunda categoría ABCD, a otras abcd, A'B'C'D' que llamaremos proyectivas con ella.

i. Determinación de figuras proyectivas

Dada dos figuras, para reconocer si son proyectivas según Poncelet, debemos encontrar una sucesión de proyecciones y secciones que las ligue, pero ¿cómo podemos reconocer, a priori, si tal sucesión existe?. Para esto se buscaran propiedades, invariantes de la proyectividad, que este presente en las dos figuras:

7. Invariantes métricos

a. Razón Simple

Dado tres puntos alineados ABC llamamos razón simple entre ellos (ABC) al valor de la razón entre los segmentos orientados AB:AC, cuyo signo es + o –, según que el sentido de ellos sea coincidente u opuesto.

(ABC)=ABAC

i. Propiedades:

(ACB)=1

(ABC ) (CBA)=1−( ABC) (CAB)=1

1−( ABC) (BAC )=( ABC)

(ABC)−1

ii. Variación de la razón simple. Coordenadas baricéntricas.

Existe una correspondencia biunivoca entre el valor numérico de la razón simple (XBC) y la posición de X, siendo X un punto variable en una recta y los puntos B, C fijos en la misma. Por lo que el valor que toma (XBC) determina una posición para X, denominada coordenada baricentrica de X.

(XBC)=XBXC

=λ

Si llamamos x a la abscisa de X, y b y c a las de B y C respectivamente, se tendrá en valor y signo para cualquier posición de X:

λ=b−xc−x

de donde despejando x obtenemos x= b−λ c1−λ , que da la abscisa única x correspondiente a

un valor dado de λ, obteniendo de este modo la coordenada baricéntrica.

iii. La razón simple como invariante en la proyección paralela.

Con el uso del Teorema de Thales, se demuestra de modo inmediato:

☑ Realizando una proyección paralela de una terna ABC, según otra A'B'C', se conserva el valor de la razón simple (A'B'C')=(ABC).


☑ También se cumple que la razón simple es invariante en toda proyección central sobre rectas paralelas.

☒ Al proyectar una serie ACD desde un punto propio V sobre otra A'C'D' no paralela, varía la razón simple.

Esto se demuestra fácilmente con la aplicación del teorema del seno.

Expresemos la razón simple en función de los ángulos ordinarios convexos ac, ad formados por los rayos proyectantes VA, VC, VD se tiene:

AC=VC sen acsenVAC , AD=VD

sen adsenVAD

dividiendo AC : AD, obtenemos:

(ACD )=ACAD

=sen acsenad

· VCVD

De los dos factores de la igualdad anterior, el primero es fijo si lo son los tres rayos acb; el segundo depende de la recta que secciona el haz.

Para otra sección:

(A 'C ' D ' )= A ' C 'A ' D '

=senacsenad

· VC 'VD'

de donde se da la igualdad VCVD

=VC 'VD' , si las secciones son paralelas.

Por lo tanto:

La razón simple es un invariante métrico en toda proyección paralela.

iv. Razón simple de una terna de rayos

(abc )=senabsen ac

Siendo ab, ac los ángulos convexos (únicos que pueden proyectar segmentos propios). Y atribuyéndole signos iguales o distintos a los ángulos, según sea del mismo o de opuesto sentido.

b. Razón Doble como invariante métrico de la proyección.

En consecuencia de lo visto anteriormente construiremos un invariante para la proyección no paralela.

Para esto debemos neutralizar el factor variable VC : VD:

dividamos la razón simple (ACD) por una análoga, construida tomando otro punto B.

(BCD)=BCBD

=senbcsenbd

·VCVD

(ACD):(BCD):

ACAD

:BCBD

=sen acsen ad

:senbcsenbd

o bien (ACD):(BCD )=(acd ): (bcd)

El primer miembro de se llama razón doble o armónica de la cuaterna de puntos ABCD y se designa (ABCD). El segundo miembro se llama razón doble de la cuaterna de rayos a, b, c, d designándosela por (abcd), manteniéndose en estas los convenios establecidos en los


párrafos anteriores en cuanto a los signos.

La razón doble de una cuaterna de { puntosrayos } es igual a la razón doble de la cuaterna de

{ rayospuntos} obtenida { proyectandocortando } la anterior {desdeun puntopor una recta } no { alineadoconcurrente}

con ellos.

Razón doble de...

cuatro puntos: (ABCD)=ACAD

:BCBD

cuatro rayos: (abcd )=senacsenad

:senbcsenbd

cuatro planos de un haz (es la de sección recta): (αβγδ)=sen acsen ad

:senbcsenbd

Comparando esta sección recta abcd con otra oblicua a'b'c'd', ambas se cortan en una cuaterna de puntos ABCD situada en la intersección de sus planos, tenemos que:

(αβγδ)=(abcd )=( ABCD)=(a' b ' c ' d ')

La razón doble de una haz de cuatro planos es igual a la de

{ puntosrayos } que resulta de cortarlo por {una rectaun plano}cualquiera no {concurrenteincidente } con la arista.

Concluimos:

La razón doble de cuatro elementos de una figura de primera categoría es un invariante en toda transformación proyectiva de la misma.

Cuaterna Armónica: Se le llama a cuatro elementos cuya razón doble vale -1.2

i. Razón doble con elementos impropios.

¿Qué sucede si uno de los puntos, A por ejemplo, es impropio (dado que las demostraciones anteriores suponen propios los puntos ABCD)?

ACAD

=sen acsen ad

·VCVD

, BCBD

=senbcsenbd

·VCVD

verificándose ahora (por el paralelismo entre a y la recta BD)

VCVD

=senVDCsenVCD

=senadsenac

(ABCD)=ACAD

· BDBC

=( sen acsenad· senadsen ac )· BDBC

2 Se dice que AB esta armónicamente separado de XX' cuando (ABXX')=-1. La separación armónica es reciproca, si (ABXX')=-1, (XX'AB) =-1 por lo tanto se dice puede decir que XX' estan armonicamente separados de AB.


Finalmente, la razón doble de cuatro puntos impropios es la razón doble de cuatro rayos proyectantes desde un punto cualquiera del plano, definición independiente del punto elegido, se conservará la validez de la relación (ABCD) cómo invariante métrico de la proyectividad, aun en el caso en que se corte el haz abcd por la recta impropia.

ii. Propiedades:

Si (ABCD)=μ

(BADC)=(CDAB)=(CDAB)=(DCBA)=μ (ABDC )=1μ

(ACDB)=1

1−μ (ADBC )=1−

1μ (ADCB)=

1

1−1μ

iii. Variación de la razón doble. Coordenadas proyectivas.

Análogo al procedimiento realizado con la razón simple se determina:

μ=(XBCD )=XCXD

: BCBD

=XCXD

·k

Por lo que los valores de μ son los de la razón simple λ=(XCD ) multiplicado por el factor k=BC :BD, por ser BCD puntos fijos.

La representación gráfica de la función

μ=λ k= c−xd−x

k , es la misma de la función λ=(XCD )

pero con un cambio en el eje vertical.

Análisis:

Para X ≡ B (BBCD) = (BCD):(BCD) = 1

Para X ≡ C (CBCD) = 0

Para X → D (DBCD) → ±∞

Para X ≡ B' (armónicamente separado de B respecto CD) (B'BCD) = -1

Para X → ∞ (∞BCD)=1:(BCD)=(BCD)

A cada valor x, abscisa del punto X, corresponde un valor μ y, recíprocamente, a cada valor μ corresponde un valor λ=(XCD) y por lo tanto un valor de x número indicador de la posición de X. Por lo tanto la razón doble (XBCD) puede servir como número indicador de la posición de X y se llama coordenada proyectiva de X respecto a los tres puntos fijos BCD.

8. Proyectividad entre formas de primera categoría.

Anteriormente vimos que para saber si dos figuras geometrías eran proyectivas entre sí debíamos determinar si existía una sucesión de proyecciones y/o secciones que pasáramos de una a otra. Chasles aplicando los invariantes metrícos vistos y analizados anteriormente, planteo lo siguiente:


a. Definición de proyectividad según Chasles:

“Dos formas de primera categoría son proyectivas, cuando se corresponden elemento a elemento de tal modo que la razón doble de cuatro elementos cualesquiera, tomados en una forma, es igual a la razón doble de sus homólogos en la otra.”

Si los elementos A,B,C,D,... de una serie son respectivamente homólogos con los de otra proyectiva con ella A', B', C', D',... escribimos

ABCD... ⊼ A'B'C'D'...

lo que se traduce, según Chasles, que son iguales las razones dobles de las cuaternas homólogas:

(ABCD) = (A'B'C'D') (ABCE)=(A'B'C'E')

Análogamente si la serie ABCDE... es proyectiva con el haz de rectas abcd... y con el haz de planos αβγδε... escribimos:

ABCD... ⊼ abcd... ⊼ αβγδε...

(figuras de primera categoría)

i. Teorema:

Dos series o haces congruentes son proyectivos.

ii. ¿Qué sucede si las series son impropias?

De la propiedad anterior y por lo visto en §8.b.i: Razón doble con elementos impropios, resulta que:

Dos series impropias son proyectivas entre sí cuando lo son los haces que las proyectan desde dos puntos propios cualesquiera.

Definición independiente de los puntos elegidos por el paralelismo de los pares de haces proyectantes de una misma serie impropia.

b. Teorema fundamental de la proyectividad

Antes de mencionar el teorema debemos mencionar cuándo dos formas de primera categoría son superpuestas:

en el caso de las series lo son cuando tienen la misma recta base, en el caso de dos haces de planos lo son cuando tienen la misma arista y en los haces de rectas si están situados en el mismo plano y tienen el mismo vértice.

“Si en una proyectividad (según Chasles), entre dos formas de primera categoría superpuestas, tres elementos de una de ellas coinciden con sus homólogos en la otra, coinciden todos los restantes pares de puntos homólogos”


Demostración:En la proyectividad: ABCDEF... ⊼ A´BĆ´DÉ´F´... coinciden A con A´, B con B´,

C con C´ por lo tanto: (ABCD) = (A´BĆ´D´) = (ABCD´)

Lo que exige que D ≡ D´ por no existir un punto que forme con otros tres una razón doble determinada (§8.b.iii: Variación de la razón doble y coordenadas proyectiva).

Análogamente E ≡ E´, F ≡ F´,... Es decir coinciden todos los pares de puntos homólogos.

c. Equivalencia de las definiciones de Chasles y Poncelet.

“La conservación de la razón doble en las operaciones de proyectar y cortar, prueba que:

Dos figuras proyectivas según Poncelet, lo son según Chasles.

Recíprocamente demostraremos que:

Dos series proyectivas, según Chasles, pueden obtenerse una de otra por una sucesión de proyecciones y secciones, es decir, son proyectivos, según Poncelet.

Demostración:Supongamos las series coplanarias

(bastando, si no cumplieran la condición, proyectar una de ellas desde un punto exterior a las dos sobre un plano que pase por la otra) y además no superpuestas (bastando, en caso de que lo fueran, proyectar una de ellas sobre otra recta coplanaria). Sean estas rectas ABC... y A1B1C1 ... y r y r1 sus bases respectivas.Elijamos ahora en la recta AA1 dos puntos cualesquiera V, V1 y cortemos los haces proyectivos V1(A1B1C1...) ⊼ V(ABC...), por la recta r2≡B2C2, siendo B2 la intersección de VB y V1B1, y el punto C2 la intersección de VC y V1C1. Sea A2 la intersección de r2

con AA1.Las secciones de estos haces con r2 serán dos series proyectivas

(Chasles) con tres elementos A2, B2, C2 coincidentes. Luego coincidirán todos los demás. Es decir, en la recta r2 se cortarán los pares de rayos homólogos de los haces proyectivos V(ABC ...) y V1(A1B1C1 ...) , quedando de este modo enlazadas las series dadas ABC ..., A1B1C1 ... por una sucesión de proyecciones y secciones. Así, proyectando ABC... desde V y cortando por r2 obtenemos A2B2C2 ... y proyectando esta serie desde V1 y cortando por r1 obtendremos A1B1C1 ...

La demostración para haces de rectas o planos, puede siempre reducirse a la anterior, seccionando previamente cada haz por una recta.

La equivalencia de ambas definiciones de proyectividad nos permite aplicarlas indistintamente para llevar, en cada momento, las deducciones por la vía más cómoda:

d. Determinación de una proyectividad por tres pares de elementos homólogos.

Una proyectividad entre dos formas de primera categoría queda definida dando tres pares de elementos3 homologos.

3 Destaquemos que utiliza la palabra elementos y no puntos.


A'' B'' C''

A' B' C'

V'

V

r

Demostración:“Dado tres puntos de una serie A, B, C y otros tres homólogos A´, B´, C´ en la

otra. Podemos hallar de infinidad de maneras un conjunto de proyecciones y secciones, es decir, una proyectividad (Poncelet) en la que sean homólogos ABC y A´BĆ´. Cualquiera que sea la sucesión de operaciones elegida, la correspondencia obtenida es la misma, pues todo nuevo punto X de la serie ABC... define una razón doble (XABC), y le ha de corresponder en la segunda serire el único punto X´ 4. Que forma con A´, B´, C´ una razón doble (XÁ´BĆ´) igual a la (XABC) (Chasles).”

e. Nota (Definición de Staudt):

Otra forma de determinar la proyectividad es la presentada por Staudt, que cumple la particularidad de “unificar” las dos definiciones anteriormente citadas (Proncelet y Chasles).

Esta definición se destaca por su aplicación dado que podría decirse que es un caso particular de la definición de Chasles, porque plantea la correspondencia de razones dobles iguales a -1 (cuaternas armónicas). Aplicando una propiedad de los cuadrivertices que comprueba cuaternas armónicas atraves de simples condiciones de incidencia 5, simplicando el trabajo métrico de determinar si dos figuras de primera categoría son proyectivas.

f. Grupo Proyectivo

Aplicando cualquiera de las definiciones resulta:

▪ El producto de dos proyectividades es una proyectividad.▪ La transformación inversa de una proyectividad es también proyectividad.

Por tanto: Todas las proyectividades entre formas de primera categoría forman grupo. Llamado grupo proyectivo6. En resumen:

“La relación proyectiva es invariante respecto de todas las proyectividades.”

Si dos series son proyectivas, sus transformados mediante cualquier proyectividad se corresponden con los primeros mediante otra proyectividad.

9. Proyectividad e Involución entre formas de primera categoría.

a. Formas Perspectivas

Una serie y un haz son perspectivos, cuando la serie es sección del haz.

Dos series son perspectivas, cuando ambas son secciones de un mismo haz.

Dos haces son perspectivos, cuando ambos son proyecciones de una misma serie.

4 La unicidad de este punto fue tratada en §x Variación de la razón doble. Coordenada proyectiva.5 Anexo 5: Obtención de cuaternas armónicas con el simple uso de regla.6 “Concepto de Grupo: cuando un conjunto de transformaciones es tal que contiene todas las transformaciones inversas y todas

las transformaciones producto de dos cualesquiera de las del conjunto se dice que estas transformaciones “forman grupo”. Podemos pues resumir en el siguiente Ax. III 4-5: Los movimientos del plano forman grupo”.

PUIG ADAM, P. (1970). Curso de Geometría Métrica. Tomo 1. Madrid: Editorial Euler. Pg 25.


Las rectas que unen puntos homólogos se intercecan en un punto V llamado centro perspectivo de las series.

Los puntos de intersección de pares de rayos homólogos están alineados en el eje perspectivo.

La correspondencia entre formas perspectivas se llama perspectividad.

Según la definición de Poncelet, podemos decir:

“Toda proyectividad es una producto de perspectividades.”

b. Relación entre Proyectividad y Perspectividad.

i. Teorema

Dos series proyectivas ABC..., A'B'C'... situadas en bases distintas tales que un punto común a ambas bases es homólogo de sí mismo, doble A ≡ A', son perspectivas.

Demostración:

Proyectando las dos series desde el punto V de intersección de BB' y CC' se obtienen dos haces proyectivos superpuestos con tres rayos dobles a, b, c y, por tanto, serán dobles todos los demás, Teorema fundamental.

Dos haces proyectivos abc..., a'b'c'... de vértices distintos tales que el rayo a ≡ a' común a ambos haces es homólogo de sí mismo (doble), son perspectivos.

Demostración:

Cortando ambos haces por la recta r que une los puntos bb' y cc' se obtienen dos series proyectivas superpuestas con tres puntos dobles A, B, C y, por tanto, serán dobles todos los demás, Teorema fundamental.

ii. Determinación de una perspectividad a partir de una proyectividad

Dada dos series proyectivas no superpuestas:

ABCD... ⊼ A'B'C'D'...

los haces que las proyectan respectivamente desde dos puntos homólogos A, A' (tomados cada uno en la otra serie) son perspectivos.

El eje e de esta perspectividad es independiente del par de puntos homólogos elegidos y se llama eje proyectivo de las series dadas.

Dados dos haces proyectivos no superpuestos

abcd... ⊼ a'b'c'd'...

las series obtenidas, cortándolos respectivamente por dos rayos homólogos a y a' (tomado cada uno en el otro haz) son perspectivos.

El centro V de esta perspectividad es independiente del para de rayos homólogos elegidos y se llama centro proyectivo de los haces dados.


Fig. I Fig. II

e

Demostración (teorema izquierdo)

En efecto los haces A(A'B'C'...) y A'(ABC...) son proyectivos y tienen el rayo común AA' homólogo de sí mismo. Por tanto, aplicando teorema anterior, queda demostrada la primera parte del teorema.

Para hallar el punto homologo de uno C de la primera serie, basta proyectarlo desde A' sobre el eje e y proyectar el punto obtenido desde A sobre la base de la segunda serie (fig. I). Recíprocamente para hallar el homólogo de un punto de ésta.

Aplicando esta construcción al punto de intersección de las bases de las series considerado como punto M de la serie ABC... resulta como homólogo (realizando los pasos anteriormente descritos) el punto M' de intersección del eje con la base de la segunda serie y, análogamente, considerando el punto de intersección de ambas bases como punto N' de la segunda serie, resulta como homólogo el punto N de intersección de e con la primera serie.

Si las series no son perspectivas , los puntos M' y N son distintos los cuales bastaran para determinar el eje, el cual es, por tanto, independiente del par de puntos A y A' elegidos, demostrado de este modo la segunda parte del teorema.

Si las series son perspectivas, es decir si son secciones de un mismo haz, el eje proyectivo pasa por el punto común a las dos series M ≡ M' que es doble y también por el punto de intersección de AB' y BA'. Tomando como nuevos vértices de proyección B y B', el eje ha de pasar por los dos mismo puntos, lo que demuestra que el teorema es cierto en todo caso.

Demostración (teorema derecho)

Se demuestra correlativamente, aunque la ley de dualidad hace innecesaria la demostración.

c. Puntos limites de dos series perspectivas.

¿Cómo determinamos los homólogos de puntos impropios?. En el caso en que los puntos impropios de dos series no son homólogos entre sí, cada uno de ellos tiene un homólogo propio en la otra serie, que se llama punto límite de la misma. Llamaremos L al punto límite de la primera serie (homólogo del punto impropio de la segunda) y K' al punto límite de la segunda serie (homólogo del impropio de la primera).

En la figura se indica su construcción, mediante el eje proyectivo (método correlativo al visto anteriormente).

Si expresamos la igualdad de las razones dobles formadas por estos dos pares de puntos y otros dos pares homólogos, se obtiene:

(LK∞ AB)=(L '∞ K ' A ' B ') o sea LALB

=K ' B 'K ' A '

de donde:LA· K ' A '=LB ·K ' B '

En dos series proyectivas con puntos límites el producto de distancias de dos puntos homólogos a los puntos límites respectivos es constante.


d. Construcción de perspectividad en formas superpuestas.

Si ABC... y A'B'C'... son dos series proyectivas superpuestas, proyectandolas desde dos puntos situados fuera de su base, se obtiene dos haces proyectivos no superpuestos. A los cuales se les puede aplicar las construcciones de la derecha del epígrafe 11.b.ii.

Si abc... y a'b'c'... son dos haces proyectivos superpuestos, cortándolos por dos rectas que no pasen por su vértice común, obtendremos dos series proyectivas no superpuestas, a las que puede aplicarse las construcciones de la izquierda del epígrafe 11.b.ii.

e. Involución

i. Definición:

Una proyectividad entre series superpuestas en la cual todos los puntos se corresponden doblemente se llama involución.

ii. Teorema:

Si en una proyectividad entre dos formas de primera categoría superpuestas, dos elementos homólogos AA' se corresponden doblemente7, se corresponden asimismo doblemente los restantes puntos homólogos.

Demostración:

La razón doble AA'XX' formada con A, A' y otro par de puntos homólogos cualesquiera X, X', es igual a la que resulta de permutar A y A' y también X y X' (§8.b.ii Propiedades de razones dobles).

(AA'XX')=(A'AX'X)

lo que demuestra, que en la proyectividad definida por las ternas AA'X ⊼ A'AX', el punto homólogo de X', como perteneciente a la primera forma, es X, y, por tanto, todos los puntos homólogos se corresponden doblemente. El razonamiento es general lo mismo para series que para haces.

Tal proyectividad se llama involución.

iii. Teorema:

Si una involución tiene dos puntos dobles M y N, la razón doble formada por dos puntos homólogos cualesquiera A y A' y los puntos dobles M y N (característica), vale -1.

Reciproco :

Los pares de puntos AA', BB', … armónicamente seprados por dos puntos fijos MN forman una involución cuyos puntos dobles son MN.

f. Ejemplos métricos:

La semejanza, la congruencia y las simetrías como casos particulares de proyectividades.

i. Series Semejantes y Congruentes:

Dos series proyectivas en las que son homólogos los puntos impropios LL', son semejantes.

7 Corresponden doblemente: AA'... ⊼ A'A....


Formando cuaterna con estos puntos y otros tres homólogos, resulta:(AL∞BC)=(A ' L '∞B 'C ') o sea (ABC )=(A ' B ' C ')

es decir, ABAC

=A ' B'A ' C '

lo que prueba la proporcionalidad de los pares de

segmentos homólogos ABA ' B '

=ACA ' C '

= razón de semejanza.

Si además de corresponderse los puntos impropios de dos series proyectivas, son iguales dos segmentos homólogos AB = A'B', las series son congruentes. Puesto que son semejantes y la razón de semejanza es igual 1.

Reciproco:

Toda semejanza (y en particular toda congruencia) es una proyectividad. Por conservar las razones simples y por tanto, las dobles.

Homotecia

Toda proyectividad con un punto doble impropio y otro propio M, es una homotecia de centro M.

(MAB)=(MA' B' ) por lo queMAMB

=MA 'MB'

ii. Series Simétricas.

Dos series en involución cuyos puntos dobles son uno propio O y otro impropio, son simétricas respecto del punto O.

Por ser una involución con dos puntos dobles, se tiene (OL∞AA') = -1 se desprende OA:OA' = -1, OA = -OA'.

Reciproco:

Toda simetría es una involución cuyos puntos dobles son el centro y el punto impropio.

10. Invariantes métricos en formas de segunda categoría.

Así como vimos que la razón doble es un invariante métrico en formas de primera categoría, ahora veremos cómo trasponer lo visto a las figuras de segunda categoría, y de este modo ir armando la teoría métrica de la proyectividad.

Proyectemos una terna PAB desde un punto V no alineado con ella y expresemos la razón simple (PAB) en función de los ángulos del haz:

PAPB

=sen pasen pb

· VAVB

[1]

Multiplicando por la razón simple MBMA

=senmbsenma

· VBVA

formada por un nuevo punto M,

obtenemos el invariante “razón doble”

PAPB

· MBMA

=PAPB

: MAPB

=(PMAB )


(sin razones de distancia a V)

Apliquemos la misma idea con tres razones simples:

MBMC

=senmbsenmc

·VBVC

, [2] NCNA

=senncsen na

· VCVB

[3]

que cumplan la condición que el extremo que está en el denominador de cada razón se halla en el numerador de la siguiente, para si al multiplicar [1], [2] y [3] simplificamos las razones de distancia a V y obtenemos un nuevo invariante proyectivo8:

ν=PAPB

·MBMC

·NCNA

=sen pasen pb

·senmbsenmc

·sen ncsen na

aplicable a seis puntos APBMCNA, o a los seis rayos apbmcna.

“El producto de tres razones en cadena es un invariante proyectivo de las formas planas o radiadas, es decir, un valor que se conserva al proyectarlas o cortarlas

sucesivamente.” 9

11. Valores particulares de los invariantes métrico-proyectivos.

A modo de ir aproximando a las aplicaciones y alcance de la utilización de invariantes metrícos-proyectivos analizados anteriormente, se presentaran los Teoremas de Ceva y Menelao. Se invita al lector a continuar su análisis con la aplicación métrica de los teoremas de Menelao y de Ceva respeto a los puntos notables de un triangulo.

a. Teorema de Ceva

”La condición necesaria y suficiente para que sean concurrentes las rectas que unen los vértices A, B, C de un triángulo respectivamente con tres puntos M, N, P situados en los lados opuestos, es que el producto de las tres razones simples en cadena (PAB)·(MBC)·(NCA) valga -1”.

Demostración (directo)

Sobre el plano de un triángulo ABC ubico un punto D no situado en ningún lado, desde el cual proyecto los vértices. Sean M, N y P las intersecciones de las proyecciones sobre los lados BC, AC y AB respectivamente.

Apliquemos el invariante de segunda categoría definido por los seis puntos APBMCN visto

anteriormente, tomando como vértice V el punto D:

ν=PAPB

·MBMC

·NCNA

=sen PDAsen PDB

·senMDBsenMDC

·senNDCsenNDA

=−1

por ser:

8 La característica de los invariantes es su independencia con la distancia al centro de proyección, en otras palabras no depender de la recta que secciona el haz.

9 P. Puig Adam. “Curso de geometría métrica” Tomo II Complementos; Biblioteca Matemática S.L. Ediciones; Madrid: 1975; Pag. 114


Fig. IIFig. I

C

B

▪ opuestos por el vértice en la Figura I: ̂PDA=− ̂MDC , ̂MDB=− ̂NDA , ̂NDC=− ̂PDB

▪ suplementarios y opuestos por el vértice en la Figura II:̂PDA=180º− ̂MDC , ̂MDB=− ̂NDA , ̂NDC=180º− ̂PDB

(análogamente para otras posiciones de D).

Demostración (reciproco)

Dado los punto M y N no hay más que un punto P sobre AB que dé para ν el valor -1 (Coordenadas proyectivas).

Si proyectamos los seis puntos A, P, B, M, C, N desde un punto V situado fuera de su plano, obtendremos seis rectas de una radiación a, p, b, m, c, n cuyo invariante sen pasen pb

·senmbsenmc

·sen ncsenna

es igual al anterior en virtud de lo visto en §8.b: Invariantes métricos

en formas de segunda categoría, permitiéndonos afirmar que:

“la condición necesaria y suficiente para que concurran en una recta los planos que unen las aristas a, b, c de un triedro con los opuestos, es que se verifique:

sen pasen pb

·senmbsenmc

·sen ncsenna

=−1

i. Alcance del Teorema de Ceva:

Debido a su independencia con la medida del vértice V a los puntos proyectantes podemos trasponer la conclusión a la Geometría esférica (cotando la radiación por una superficie esférica) sustituyendo el concepto de recta por circunferencia máxima y los segmentos por los senos de las distancias esféricas10.

Invito hacer una paréntesis en el desarrollo del tema para reflexionar sobre la anterior conclusión, dado que nos hacer ver frente a qué propiedades (invariantes) estamos trabajando, dado que así como puedo cortar la radiación por una superficie esférica también podría hacerlo por una corrugada o unas paredes de una habitación como mas adelante cuando veamos las aplicaciones de la Geometría Proyectiva desarrollaremos con el estudio de las Anamorfosis; y en todos estos casos obtendremos figuras que tienen razones en común.

b. Teorema de Menelao

“La condición necesaria y suficiente para que estén alineados los puntos M, N, P respectivamente situados en las rectas de los lados BC, CA, y AB de un triangulo ABC es que el producto de las tres razones en cadena (PAB)·(MBC)·(NCA) valga +1.”

Demostración (directo) :

Supongamos los puntos M, N, P pertenecientes a una recta, sobre la cual se ubica el vértice V de proyección (distinto de M, N, P). situado fuera de los segmentos propios11 determinados por dichos puntos.

Aplicando el invariante métrico de segunda categoría tendremos:

10 Anexo 6: Definición de triangulo esférico.11 Anexo 3: Propiedades de orden y separación.


ν=PAPB

·MBMC

·NCNA

=sen PVAsen PVB

·senMVBsenMVC

·senNVCsenNVA

=+1

por reducirse cada denominador con el numerador siguiente:

PAPB

·MBMC

·NCNA

=+1

Demostración (reciproco) :

Dado M y N no hay más que un punto P en el lado AB que dé para ν el valor +1.

i. Alcance del Teorema de Menelao:

Proyectando desde un nuevo punto V exterior al plano y aplicando el invariante para figuras de segunda categoría, resulta el Teorema análogo en la radiación, o el equivalente en la Geometría esférica (realizando las sustituciones de conceptos mencionadas anteriormente).12

c. Generalización: Teorema de Carnot

Generalizando la idea pueden hallarse “invariantes métrico-proyectivos de 3, 4, …, n razones tomando ternas alabeadas en cadena en espacios de 3, 4, …, n dimensiones. Los productos de estas razones serán igualmente invariantes respecto de las colineaciones en dichos espacios. Los valores particulares de estos invariantes darán lugar a teoremas análogos a los de Menelao y de Ceva”13:

Teorema de Carnot

“El producto de las razones simples en cadena de las ternas formadas por los vértices de cada lado de un polígono plano o alabeado y sus intersecciones con una recta o con un plano vale la unidad.”

12. Proyectividad entre formas de segunda y tercera categoría

a. Formas planas homográficas

“Diremos que dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta, de tal modo que a todo punto y recta incidentes en una de las figuras correspondan un punto y una recta incidentes en la otra.”14

Teorema:

En dos figuras planas homograficas, a una serie de puntos (haz de rectas) de una de ellas le corresponde otra serie (haz) proyectiva con la primera en la otra.

Demostración:

Por definición a puntos alineados (rectas concurrentes) de una de las figuras corresponde puntos alineados (rectas concurrentes) en la otra. Si definimos en

12 Precisamente Menelao demostró su teorema para aplicarlo en triángulos esféricos.13 P. Puig Adam. “Curso de geometría métrica” Tomo II Complementos; Biblioteca Matemática S.L. Ediciones;

Madrid: 1975; pg 125.14 Puig Adam. “Curso de geometría métrica” Tomo II Complementos, Editor: Biblioteca Matemática S.L.; Madrid: 1975, Pág.:160


una de las figuras una cuaterna armónica mediante un cuadrivértice, en la otra quedara definido el cuadrivértice homologo y, por tanto, una cuaterna armónica. Al existir correspondencia en las figuras armónicas podemos afirmar (Staudt) que las series (haces) homólogas son proyectivas.

Consecuencia del teorema:

En dos figuras planas homográficas se conservan las razones dobles.

El ejemplo más sencillo de formas planas homograficas lo constituyen dos secciones planas de una misma radiación y se llaman perspectivas. Los puntos (rectas) homólogos son los de intersección de una misma recta (plano) de la radiación por los dos planos.

El ejemplo más sencillo de formas radiadas homográficas lo constituyen dos radiaciones proyectantes de una misma forma plana, y se llaman asimismo perspectivas. Los rayos (planos) homólogos son los proyectantes de un mismo punto (recta) de la forma plana proyectada.

Otros ejemplos de transformaciones homográficas son: la traslación, las simetrías, el giro, la homotecia, así como la homología y, su caso particular, la afinidad, que se estudiaran a continuación.

b. Grupo de las homografía.

De la definición se concluye:

▪ La transformación inversa de una homografía es homografía.

▪ El producto de dos homografías es otra homografía.

▪ La identidad es una homografía.

Por lo tanto:

Todas las homografías entre formas planas o radiadas forman grupo.

c. Propiedades de las homología.

Dos formas planas perspectivas es decir, secciones de una misma radiación, se llaman también homológicas y cumplen:

1.La pareja de puntos homológicos A y A', B y B', … están alienados con otro punto fijo O, llamado centro de homología.

2.Las parejas de rectas homologas r y r', s y s', … se cortan en puntos pertenecientes a una recta fija e, llamada eje de homología.


d. Teorema de las tres homologías

“Dos figuras φ' y φ'' no coplanarias, homologicas de una tercera φ respecto de un mismo eje e de homología y de dos centros distintos O' y O'' son homológicas entre sí respecto del mismo eje e y de centro O alienado con O' y O''.”

Demostración:

En la correspondencia resultante entre φ' y φ'' son dobles todos los puntos del eje e, por lo que esta correspondencia es una homología.

Dado que el plano AA'A'' determinado por un punto cualquiera A de φ y sus homologos A'A'' contiene O' y O'' (situados respectivamente en AA' y AA''), la recta A'A'' de este plano corta la O'O''.

Pues al ser coplanarias dos rectas homólogas cualesquiera, los son también las rectas A'A'', B'B'' que unen los pares de puntos homólogos situados en ellas, de donde se desprende que todas las rectas A'A'', B'B'',... que unen pares de puntos homólogos se cortan entre si y con O'O''. Y como

todas no son coplanarias, pasan forzosamente por un el punto de intersección de A'A'' con O'O'', llamado O (centro de la homología φ' φ'').

e. Determinación de una homología.

Una homología queda determinada dando:

▪ El centro, el eje y un par de puntos homólogos A, A'.

Pues uniendo A y A' con puntos del eje, se obtiene cuantas rectas rr' homólogas se desee, y sobre ellas, cuantos puntos homólogos BB' … hagan falta, alineándolos con O.

▪ El centro, el eje y un par de rectas homólogicas.

▪ Dos triángulos homológicos,

Pues los vértices homólogos estén alineados con un punto O y sus lados homólogos se corten en puntos de una recta.

▪ El centro, el eje y una recta limite.

i. Rectas Limites de una homología.

Se le llama rectas limites de una homología a las rectas homologas de la recta impropia de plano,considerada como de una y otra figura.

Propiedades:

▪ Las rectas límites son paralelas al eje. Dado que han de concurrir en él con la recta impropia.

▪ El centro dista de una recta límite l lo mismo que dista el eje de la otra k´

▪ El conocimiento de una recta límite equivale al de dos rectas homólogas.

En la figura se muestra la construcción de estas rectas límites en una homología entre formas planas superpuestas:

Sea la homología que se muestra en la figura, definida por su centro O, el eje e y un par de punto homólogos A y A'. Uniendo un punto R del eje con A y A' se obtienen dos rectas homólogas r y r'. El punto K', homologico del punto K∞ impropio de la recta r, debe pertenecer a r' y estar alineado con O y K∞, por lo tanto, K' es el


punto de intersección de r' y la paralela a r por O.

Del mismo modo, el punto L, homológico de L'∞

impropio de la recta r', será la intersección de r con la paralela por O a r'.

Las paralelas al eje por L y K' son, respectivamente, las rectas límites l y k' buscadas.

f. Homologías y homografías particulares. Aplicaciones.

i. Eje impropio

Los puntos donde se deben cortar las parejas de rectas homológicas son impropios, por lo que éstas son paralelas. Esta condición convierte a la homología en una homotecia de centro O y razón:

OA 'OA

=OB 'OB

=OC 'OC

=k

Si k = -1 resulta una simetría central.

ii. Centro impropio

El punto de concurrencia de los rayos de homología es un punto del infinito, por lo que son paralelos.

A este caso particular, llamado homología afín o, simplemente afinidad lo desarrollaremos a continuación.

iii. Centro y eje impropios

Por una parte, los rayos de homología serán paralelos y por otra las parejas de rectas homológicas también lo serán. Estas características convierten a esta homología en una traslación cuya dirección es la de escape del punto O par hacerse impropio.

Nota: giros.

“Un giro en el plano (y en general una congruencia) que no sea traslación ni simetría, no es caso particular de la homología por no existir en él serie doble ni haz doble alguno. No hay en él más que un punto doble real que es el centro del giro.”15

g. Homología afín.

Como vimos anteriormente, esta transformación es un caso límite de homología, cuando el centro es impropio y el eje propio. Por tanto, las condiciones que se cumplen en la afinidad son:

▪ Las parejas de puntos afines AA', BB', … se hallan sobre rectas paralelas entre sí y paralelas a una dirección determinada, llamada dirección de afinidad.

▪ Las parejas de rectas r y r', s y s', … se cortan en puntos que pertenecen a una recta fija, llamada eje de afinidad.

15 Puig Adam, Curso de Geometría Tomo II, pg. 167


Ejemplo:

En la figura al cuadrilátero ABCD le corresponde el A'B'C'D' en una afinidad de eje e y dirección d. Como se muestra en la figura se mantienen las condiciones de la homología, excepto que el haz de rayos concurre, en este caso, en un punto impropio en la dirección d.

i. Rectas limites

En la afinidad los únicos puntos dobles son los del eje. Los afines de los puntos impropios también están en el infinito. Por esta causa, en la afinidad no se toman en consideración las rectas límites que son dobles (ambas impropias).

ii. Determinación

Una afinidad queda definida dando el eje y un par de puntos homólogos, puesto que éstos determinan la dirección del centro o de afinidad.

iii. Razón de afinidad

En una afinidad, donde su dirección no coincide con la del eje, la característica o razón doble (AA'OAe) determinada por un par de puntos homólogos cualesquiera AA', el centro y el eje, se reduce a la razón simple de la distancia del eje a cada par de puntos homologos, tomados en la dirección de la misma:

Ae A 'Ae A

=k

Siendo k una constante llamada razón de afinidad.

Observación:

▪ Si el valor de k es positivo, una pareja de elementos afines: puntos, segmentos, o figuras, se hallan en el mismo semiplano respecto del eje.

▪ Si el valor de k es negativo cada elemento esta situado a distinto semiplano de su afín respecto del eje.

▪ Si la dirección de afinidad y el eje son perpendiculares se dice que la afinidad es ortogonal. En este caso si k =-1 se cumple que: Ae A '=−Ae A y en este caso la afinidad es una simetría axial cuyo eje es el de afinidad. (en el caso de no ser ortogonal se obtiene una simetría oblicua).

Cayley exclamó “Proyective Geometry is all Geometry”

Una de las preguntas que anote al comenzar este trabajo, en marco de investigación podría decir que fue mi pregunta inicial, es ¿porque se dice que la geometría proyectiva es toda la geometría?. Y ahora estoy en condiciones de comprender, dado que todas las transformaciones geométricas planas estudiadas en cursos de geometría métrica, son casos particulares de la transformación homográfica.

En otras palabras: “la Geometría métrica plana, es decir, la Geometría que estudia las propiedades invariantes en estas transformaciones, aparece así como un capítulo de la Geometría proyectiva plana.”16

16 Puig Adam, Curso de Geometría Tomo II, décima edición 1975; pg. 168


h. Abatimientos de figuras planas a través de la homología afín.

A continuación desarrollaremos una operación que proporciono solución a distintos problemas métricos en los variados sistemas de representación, que es el abatimiento de una figura plana sobre el plano de dibujo. Veamos algunos ejemplos:

i. Abatimiento de una figura plana dada por su proyección ortogonal.

Sea π el plano de dibujo y α un plano secante, del que conocemos su traza t sobre π y un punto P definido por su proyección ortogonal P' y la cota o distancia PP'.

Supongamos trazada en α un figura φ de la que conocemos su proyección ortogonal φ' sobre el plano del dibujo y queremos saber la verdadera magnitud de φ.

Abatimos el plano α sobre π, lo que significa girar α alrededor de su traza t hasta superponerlo con π (se suele elegir el sentido que más convenga).

La figura φ se convierte en φ1 de modo que cada par de puntos homólogos A (original) y A1 (abatido) están en una recta perpendicular al plano bisector del diedro descrito en el abatimiento. Como la dirección de esta perpendicular es fija, podemos afirmar:

Entre la figura original φ y su abatimiento φ1 existe una homología afín de eje t y de dirección normal al eje.

Además:

Entre la figura original φ y su proyección ortogonal φ' existe asimismo una homología afín de eje t y de dirección normal al eje.

Por lo tanto concluimos dado que estamos bajo las hipótesis del teorema de las tres homologías que:

Existe una homología afín17 de eje t y dirección perpendicular a él entre φ' (conocida) y φ1

(incógnita del problema).

Por lo que para resolver el problema necesitaremos dos puntos homólogos en esta afinidad.

Resolución geométrica del problema:

Construyo el triángulo PP'Q (PQ perpendicular a t) del que se conoce los catetos P'Q y PP' (cota) y llevando la hipotenusa QPQ sobre la perpendicular a t por Q en el sentido indicado por el abatimiento.

Ubicados los dos puntos homologos P' y P1 , la construcción de la figura φ1 es inmediata. En la figura están detallados todos los trazados necesarios para hacerlos.

Observaciones:

▪ También puede aplicarse la homología afín en problemas inversos donde la incógnita sea la proyección ortogonal φ', conociendo el abatimiento φ1.

17 La homología es afín dado que el centro esta alineado con los otros dos impropios, por lo que sera también impropio.


▪ Análogamente procederíamos si la proyección fuese oblicua.

ii. Abatimiento de una figura plana dada por su proyección central.

A continuación resolveremos un problema correlativo al anterior donde en lugar de conocer su proyección ortogonal, conoceremos su proyección central φ1 de la figura φ situada en un plano α, desde un centro O, sobre el plano del dibujo π (vertical en la figura). Conociendo la posición de O respecto de π por su proyección ortogonal O' y su distancia OO'. También conocemos t la traza de α y l' la traza del plano paralelo a α por O, es decir, la proyección sobre π de la recta del infinito del plano α o lugar de las proyecciones de todos sus puntos impropios. Por lo tanto de modo indirecto queda determinado el plano α (paralelo Ol' por t).

En la practica la recta límite l', se le llama linea de fuga del plano α, porque en ella concurren las imágenes (sobre π) de todos los sistemas de rectas paralelas del plano α. Para determinar esta recta alcanza con conocer dos puntos de fuga, que son la intersección de las imágenes de dos pares de rectas paralelas de figura φ.

Volviendo con el problema planteado, para averiguar la verdadera forma de φ, abatiremos el plano α sobre π, teniendo en cuenta que:

Entre φ y su abatimiento φ1 existe una homología afín de eje t y su dirección perpendicular al plano bisector del diedro descrito en el abatimiento.

Ademas:

Entre φ y φ' existe una homología de centro O, eje t y recta límite l'.

Por lo tanto aplicando el teorema de las tres homologias, resluta:

Entre φ' y φ1 existe una homología de eje t cuyo centro es el punto O1 situado en una paralela por O a la dirección de afinidad, es decir, en una perpendicular al eje t, y por lo tanto

a la línea de fuga l' y a una distancia QO1 de ella igual a QO hipotenusa del triángulo rectángulo OO'Q del que se conocen los catetos O'O y O'Q (quedando determinado el centro

de la homología O1).

Conocido el centro y el eje de la homología entre φ' y φ1 y la recta límite l', tenemos todos los elementos necesarios para construir φ1 conocida φ' y así determinar la verdadera forma de una figura plana φ conociendo su proyección cónica sobre el plano π.

Si pensamos en el problema inverso al anterior, dicha homología nos permite determinar φ' conocida φ1, es decir, construir la perspectiva de una figura plana conocida, o si pensamos en una aplicación plástica, prever el efecto visual de una forma ideada en proyectos, como es el caso de las Anamorfosis18 que desarrollaremos en el siguiente epígrafe.

18 Es un efecto perspectivo utilizado en arte para forzar al observador a un determinado punto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara. La anamorfosis fue un método descrito en los estudios de Piero della Francesca sobre perspectiva. (Wikipedia)


13. Aplicaciones técnicas

Continuado con las aplicaciones técnicas que proporciona el estudio de la Geometría Proyectiva podemos mencionar:

▪ Sistema de representación de Monge en sistemas diédricos ortogonal (forma representativa para la Geometría euclidiana del espacio). En mi caso visto en Matemática C de sexto año del plan 76 y actualmente se encuentra en Matemática IV de sexto año opción Matemática-Diseño, bajo el nombre de Geometría Descriptiva.

▪ También podemos nombrar el sistema de proyección acotada o planos acotados, usada para representar gráficamente objetos irregulares como por ejemplo relieves utilizado en Topografía. Es una proyección ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección.

▪ También debemos destacar, como mencionamos anteriormente, las aplicaciones que proporciona a las artes plásticas como es la realización de anamorfosis.


a. Anamorfosis

i. Aspectos históricos de las Anamorfosis.

Tiene su comienzo en el Renacimiento, dentro de la disciplina de la Geometría Proyectiva, considerada como una “forma curiosa de perspectiva”. Fue practicada durante siglos e incluso, se impartió en las escuelas de artes en Europa entre los siglos XVI y XIX, para después caer en desuso hasta casi desaparecer en la enseñanza de Bellas Artes. Por tanto, es una técnica bastante desconocida en la actualidad.

Uno de los primeros en hablar de anamorfosis fue Leonardo Da Vinci en el Codex Atlanticus,19 donde realizó dibujos simples de un ojo humano y el rostro de un niño aplicando esta técnica. Estos dibujos aparecen estirados en dirección horizontal, de tal modo que vistos frontalmente son casi irreconocibles, pero colocados en la posición correcta (muy sesgada, viendo la hoja casi de lado o de canto) se recompone, de manera que aparecen los dibujos del rostro y el ojo con sus correctas proporciones.

Otra obra famosa por la utilización de esta técnica es “Los Embajadores” (1533) de Hans Holbein el Joven donde con gran calidad pictórica se observa la anamorfosis de una calavera que aparece a los pies de los mismos,. Podemos revertir esa deformación, observándola desde el lateral izquierdo inferior (punto de visión y de fuga).

19 Lenoardo Da Vinci: “La anamorfosis”, en Códex Atlánticus (1483-1518). El Codex Atlanticus es una recopilación de más de 2.500 hojas de dibujos de temas variados (anatomía, geometría y otros), así como de diseños de proyectos.


En la actualidad, las anamorfosis son usadas por artistas plasticos en la realización de pinturas callejeras, como es el caso de Julian Beever, un artista británico que se dedica a pintar con tizas, quien se hizo reconocido a nivel mundial por cadenas de correos electrónicos con imágenes de sus obras anamórficas, como las siguientes:


[Invito al lector a buscar más imágenes de este artista en Internet.]

ii. El primer paso

Cuál es el truco, cómo se hace, si la hubiera: qué proyección hace que sea posible esta ilusión... estas son algunas de las preguntas que supongo nos hacemos al ver este tipo de obras. Pero primero respondamos qué son:

“La anamorfosis es la representación de figuras realizadas con una perspectiva determinada que deforma extremadamente los objetos; sin embargo, éstos, vistos desde el punto de fuga que converge en la visión, se recomponen de forma que parecen elevarse en el aire dando la sensación de realidad (3D)”20

iii. Método: la perspectiva invertida

En el Renacimiento Alberti formula teóricamente la perspectiva cónica21 donde obtiene la tercera dimensión sobre dos dimensiones, haciendo que toda las líneas paralelas al plano de tierra (suelo) convergen en la lejanía en su punto de fuga que va a parar al horizonte.

La figura de la izquierda es una representación del siglo XII que carece de perspectiva cónica, por ende de punto de fuga, causando que no exista proporción entre el tamaño de los guerreros y el castillo, como tampoco en la relación que establece la lejanía donde los barcos situados en la zona superior del cuadro (que se supone se hallan más lejos en el horizonte) son tan grandes como los situados en primer término.

En la actualidad lo normal en la perspectiva proyectada en un plano bidimensional por lo que los objetos se empequeñezcan conforme se alejan, manteniendo constante los invariantes métricos

desarrollados.

En las anamorfosis sucede lo contrario los objetos representados se agrandan conforme se alejan, pero de tal forma que al invertírse las proporciones, la sensación que percibimos es que emergen (o hunden) del suelo, dando la sensación de tridimensionalidad.

La explicación esta fundamentada en el “punto de fuga invertido” y en que “...vistos desde el punto de fuga que converge en la visión, ...” en vez de fugar hacia el horizonte en un punto que coincide con la altura del espectador, fuga hacia nuestros ojos.

20 María Gómez; “Anamorfosis el ángulo mágico”; Primera edición Publicación Universidad de Valencia; 2008; Pág.:47.21 La perspectiva cónica de una figura es la representación de esta sobre un plano, tal y como la vemos en realidad. Existen distintos tipos de perspectiva cónica: frontal de un punto de fuga, oblicua de dos y oblicua de tres puntos de fuga.


Figuras: Modo de aplicar la técnica desarrollada por Alberti.

La imagen representa un espacio donde las líneas blancas señalan las fugas de una perspectiva cónica que convergen en el punto de fuga situado en H, justo donde coincide la mirada o altura de los ojos hacia el horizonte de un espectador. El contorno de las lineas negras representan las dimensiones que tendría una pintura anamórfica sobre el suelo. Como podemos ver esta forma un trapecio que converge hacia el punto de vista del espectador (PV) y punto de fuga inverso coincidentes con sus ojos.

En lo que respecta a las dimensiones vemos que a medida que se prolonga, aumenta considerablemente su tamaño. A mayor longitud más se extenderá y se abrirá su proyección respecto al H, tomando dimensiones que se pierden en la lejanía, por lo tanto imposibles de realizar.

El dibujo muestra la forma y dimensión que tendría una pintura bidimensional anamórfica (zona verde sobre el plano del suelo). Esto nos muestra que el fenómeno de la anamorfosis se da al percibir de forma “invertida” la perspectiva que vemos normalmente.


H

PF

t

PV

x H

Veamos algunas obras del artista Julian Beever desde distintos puntos.

Otro ejemplo:


Fig. Fotografía sacada desde HFig. Fotografía sacada desde PV o PF

iv. Relación entre la figura anamórfica y la que nosotros percibimos al verla desde el PV o F.

Recordemos que si dos formas planas φ y φ' situadas en planos distintos se corresponden punto a punto de modo que los pares de puntos homólogos están alineados con un punto fijo PV y consideramos como recta homóloga de la determinada por dos puntos cualesquiera AB de la primera la determinada por los puntos homólogos A'B' de la primera figura, resulta que:

φ y φ' son secciones de un mismo haz por lo tanto son perspectivas, son homológicas.

Por lo que podemos considerar a φ' la figura anamorfica resultante de seccionar la proyección de la figura φ desde el punto PV con el plano π, plano de dibujo.

Recordemos, para determinar una homología debemos conocer:

▪ Centro: punto donde se intersecan las rectas determinadas por pares de puntos homólogos.

▪ Eje: recta determinada por la intersección de rectas homólogas.

▪ Recta límite del plano α: recta donde concurren las imágenes (sobre π) de todos los sistemas de rectas paralelas de α.

Podemos afirmar que entre φ y φ' existe una homología de centro PV, eje t (intersección de π con α) y recta límite l' (intersección de π con un plano paralelo a α que contiene a PV).

Observación:

Tengamos en cuenta que a medida que los puntos de la figura φ se aproxima a la recta de intersección del plano α con el plano paralelo a π que contiene a PV lo puntos de la figura φ' se aproximan a la recta impropia homologa de la recta mencionada. Provocando que las dimensiones de φ' se pierdan en la lejanía y por tanto imposibles de realizar y distinguir al ojo humano por lo que distorsionaría el efecto de 3D al no tener los “puntos limites de la figura” bien definidos. Por lo tanto la sensación anamórfica en 3D que percibimos como más “real” de las figuras pintadas está relacionada con la longitud y dimensión de la pintura y la altura del PV, dado que el ángulo entre la proyección y el plano de dibujo a medida que esta se aleja el espectador se va cerrando provocando que las anamorfosis se perciba más plana o achatada.

Si determinamos una función de dos variables, donde la calidad del efecto 3D esta relacionado con: altura de los ojos y la dimensión de la figura anamórfica, los resultados obtenidos por la experiencia de Eduardo Relero (artista argentino de Rosario que reside en España) es que esta función tiene un máximo cuando la dimensión de la figura es 4 veces la altura de los ojos.


v. La homología buscada

De modo correlativo al §12.h.ii realicemos un abatimiento del plano α sobre el plano π teniendo en cuenta que entre φ y su abatimiento φ1 existe una homología afín de eje t y dirección perpendicular al pano bisector del diedro descrito en el abatimiento. Por lo que aplicando el teorema de las tres homologías, afirmamos que:

entre φ' y φ1 existe una homología de eje t cuyo centro es el punto F1 situado en una paralela por F a la dirección de afinidad, es decir, en una perpendicular al eje t, y por tanto a la

línea de fuga l' y a una distancia h de ella; que nos permite a partir de φ1 determinar la homológiaca φ'.

vi. Anamorfosis de una circunferencia.

Siempre debemos comenzar con la realización del boceto φ, que nos mostrará y orientará para traspasar (proyectar) el dibujo que, finalmente será la imagen “ilusoria”, no la real, entendiendo por “real” la pintada y deformada, φ' figura anamórfica. De este modo, tan sólo serán “iguales” el boceto y la imagen “ilusoria” que emergerá en el aire cuando la veamos del punto de fuga o vista (F o PV).

Cuadricular el boceto es imprescindible para trasladar el dibujo a la cuadrícula anamórfica (de lo contrario deberíamos proyectar un número muy grande de puntos, que en realidad son infinitos).

Actividad

Comenzaremos con una figura simple una circunferencia inscripta en un cuadrado dividido a su vez en 36 cuadrados, esta sera φ1.

Recordemos que estamos en condiciones de decir que el problema se reduce a la construcción de una figura homologa a φ1 conociendo el centro PV, la linea de fuga o recta límite l' y el eje e.

Resolución:

Tacemos d, la diagonal del cuadrado, para simplificar la construcción.


C

B

F


D x

d'

d

PV1

eje

Linea de fugaV

x

X

V

Imagen

Camara de fotos

l'

e

Protocolo de construcción:

1. Sea {D}= d ∩ e , D es punto común entre d y su homologa d'.

2. Trazo r / PV 1 ∈ r ∧ r∥d . Sea {L ' }= r∩ l ' , L' es el punto homologo del impropio de la diagonal d, por lo tanto es el punto común de las imágenes de las rectas paralelas a d.

3. Trazo la recta d' que contiene L' y D.

4. Construyo los homólogos de los puntos de intersección de la diagonal d con la cuadricula proyectando los mismos desde PV e intersectandolo con d'.

5. Construyo los homólogos de los vértices que no pertenecen a d. Construyendo los lados homólogos que contienen a estos vértices realizando pasos análogos a los anteriores.

6. Teniendo en cuenta que las homográfias conservan las relaciones de incidencia termino de construir la cuadricula anamórfica.


Imagen

Camara de fotos

F

vii. Construcción de una Anamorfosis sobre un plano acotado.

La cuadricula anamórfica anterior fue realizada sobre una hoja de garbanzo. Teniendo la consideración de cubrir máximamente su superficie, realizamos lo siguiente:

Datos:

▪ El centro

▪ La dimensión de la figura a proyectar (el boceto).

▪ La dirección del eje y de la linea de fuga.

▪ Y la imagen de la recta que contiene al centro y es perpendicular al eje. La cual forma parte de la cuadricula (siempre y cuando la misma coincida con uno de los ejes de simetría de la cuadricula).

Protocolo de construcción:

1. Ubico el centro de la homografía.

2. Trazo, sobre el borde opuesto de la hoja respecto del centro, una recta en la dirección del eje que sera el lado de la cuadricula anamórfica donde ubicare, a mi conveniencia, V' la imagen del vértice con mayor cota y que pertenece a la diagonal d.

3. Proyecto V' desde el centro. Sobre esta recta se encuentra V.

4. Ubico V, dado que conozco la distancia de la recta que contiene al centro y es perpendicular al eje y V.

Determinando de este modo la homología dado que conocemos el centro, el eje y un par de puntos homólogos.

viii. Anamorfosis de “CeRP”.

Realización de la cuadricula de 8x8, sobre la que se realizara el boceto.



Imagen

Camara de fotos

F

Realización de la cuadricula anamórfica:


Debido a la dimensión de de la cuadricula anamorfica, fue necesario la utilización de hilos como instrumentos de geometría.

Imagen

Camara de fotos

F

Hilo


Traspaso de cada figura dentro de los cuadraditos a la cuadricula anamorfica respetando proporciones.

Verificación de invariantes métricosDieron aproximados debido a la dimensión y la utilización de los instrumentos

Terminada la cuadricula anamorfica


Imagen

Camara de fotos

Imagen

Camara de fotos

F


Para obtener mayor realismo se pinto aplicando nociones basicas de la perspectiva lumniar, utlilización de claroscuros y sombras.


Imagen

Camara de fotos


ix. Anamorfosis sobre varios planos.

El siguiente desafío es pensar que sucede cuando la cuadricula anamórfica debe realizarse sobre varios planos adyacentes. La siguientes imágenes muestra una obra de Eduardo Ruiz Relero, argentino, donde utilizo como planos de dibujo el piso y las paredes.


Para ver estas pinturas anamorficas desde otros puntos de vista ingresen en: http://www.youtube.com/watch?v=aOfjjexC2rg

Resolución:

Al igual que en el caso anterior, realizar un esquema ayuda a identificar las homologías que permiten obtener la anamorfosis deseada.

Referencias:

F o PV: Centro de la proyección, que representa los ojos del observador o punto donde colocar la cámara para obtener el efecto adecuado.

α: plano sobre el que se encuentra el dibujo original φ (cuadricula).

π1: Plano de dibujo representa el suelo.

π2: Plano de dibujo representa una pared (paralelo a α).

Observaciones del esquema:

Aplicando el teorema de las tres homologías podemos descomponer esta en dos:

1. sobre el plano π1, que tendríamos que repetir los pasos desarrollados en los epígrafes anteriores.

2. Sobre el plano π2, que se identifica como una homología de centro propio y eje impropio dado que el punto en común entre dos rectas homologas es impropio.

Pasos:

1. En los epígrafes anteriores vimos que para determinar φ1, , la proyección de φ sobre el plano π1, existe una homología afín que hace coplanarios los elementos de la misma. Esta homología surge del abatimiento en sentido antihorario de α sobre π1. Y permite determinar la figura homologa de φ sobre el plano π1, en lo homología de centro PV, eje t y linea de fuga l'.

2. De modo análogo al anterior haremos coplanarios los elementos de la homología que permita determinar la verdadera forma de la proyección de φ sobre π2. Para esto existe una homología afín que determina el abatimiento de α sobre π1 en sentido opuesto al anterior22, por lo que está contiene el mismo eje pero dirección perpendicular a la dirección de la homología que determina φ1. De este modo tenemos las condiciones y los elementos necesarios de la homología de centro propio y eje impropio que me permite obtener la imagen de φ sobre π2:

Sobre la proyección φ sobre π1, se traza la recta intersección de π1 y π2. En esta recta están los puntos en común que tienen las dos figuras homológicas a φ, puntos de referencia para determinar la razón de la homotecia que determina la homología de centro propio y eje impropio.

22 Se sugiere que el abatimiento sea en sentido opuesto al anterior dado que de lo contrario al restablecer el plano π2, el cual sería un papel, la imagen quedara del lado no visible.



Aplicando este método y teniendo habilidad en técnicas de dibujo podríamos lograr obras como las siguientes:


Las ultimas cuatro imágenes fueron descargadas de: http://imgur.com/a/1Pnbq


http://imgur.com/a/1Pnbq


14. Conclusión

Desde el comienzo tuve la cuestión porqué Cayley menciono que la “Geometría Proyectiva era toda la Geometría”; culminado el estudio de las transformaciones proyectivas elementales y de mayor interés, podemos comprender que debido al descubrimiento de las propiedades invariantes respecto de estas transformaciones como es el ejemplo de la razón doble, podemos considerar las transformaciones de la geometría euclidiana como simple casos particulares de la anterior. Además de que la misma permite sistematizar las diferentes geometrías, conocidas como no euclidianas.

El procedimiento es proyectando figuras del plano euclídeo y seccionar con planos no euclídeos, sabiendo que las relaciones de incidencia se conservan y que la razón doble entre elementos también.

Pero en la actualidad se conocen otros grupos de transformaciones como las racionales, de contacto, continuas,... donde las proyectividades no son más que transformaciones muy particulares de estas. En consecuencia debemos decir que la frase de Cayley “Projective Geometry is all Geometry” en la actualidad es considerada un anacronismo.

Debido a que el alcance de esta trabajo fue conocer la Geometría de forma más global ya sea por el recorrido historico realizado como por la adopción de más herramientas para la resolución de problemas, como plantearnos comprender cómo es que los artistas (mencionados en el desarrollo, entre otros) lograban esos efectos en sus obras, tengamos en cuenta que lo estudiado fueron las transformaciones básicas necesarias para la realización de estas anamorfosis en el plano, pero podríamos plantearnos realizar anamorfosis en el espacio, es decir estudiar proyectividad entre formas de tercera categoría; o continuar con los distintos sistemas de representación; realizar un estudio analítico de la proyectividad; estudiar las geometrías no euclidianas, el estudio de transformaciones racionales, de contacto, continuas; entre otras temas. Por lo que debemos reconocer que solo estamos frente a la punta de un iceberg que sabemos donde esta ubicado, ahora solo queda explorarlo.


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02 desarrollo 3 y conclusión (M. Bonino)