(02) capitulo_2_(espacios_vectoriales)

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2 ESPACIOS VECTORIALES

Los espacios vectoriales son muy útiles en Ingeniería y Ciencias Aplicadas

debido a las siguientes razones:

- Los vectores son invariantes, es decir, no dependen de los sistemas

coordenados. Sin embargo, las componentes de un vector cambian bajo

un cambio de base.

- Las componentes de vectores iguales son iguales en todo sistema

coordenado.

- Un vector que se anula en algún sistema coordenado se anula en todo

sistema coordenado.

- Los operadores div y rot de un vector son invariantes. También lo son,el producto escalar y vectorial de tales vectores.

- La forma de una ecuación vectorial no cambia bajo una transformación

de coordenadas cartesianas (esto hace factible la representación

geométrica de los vectores).

- El vector incluye el concepto dual de magnitud y dirección

(representación por flechas). Esto se hace especialmente conveniente al

tratar con desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas.

Aunque la representación geométrica de los vectores es útil, larepresentación algebraica ofrece muchas ventajas. El álgebra de los vectoresgeométricos es solamente una interpretación del álgebra abstracta másgeneral, el álgebra de los espacios vectoriales generales. Esta álgebra tratacon las relaciones entre y las operaciones sobre dos clases de objetosmatemáticos que están definidos, que se denominan vectores y escalares.



MECANICA RACIONAL MODERNA – Volumen I – Fundamentos Matemáticos

2

2.1 ESPACIOS VECTORIALES

Definición

Un conjunto V de elementos que llamamos vectores es un espacio vectorial

o espacio lineal, si:

a) Existe una operación binaria interna en V, llamada suma o adición de

vectores:

+ : V x V V (2.1-1)

tal que se cumplen los cuatro axiomas siguientes:

a-1) u + v = v + u, u, v V (2.1-2)

denominada propiedad conmutativa de la adición de vectores.

a-2) (u + v ) + w = u + (v + w ) , u, v, w V (2.1-3)

denominada propiedad asociativa de la adición de vectores.

a-3) Existe un elemento en V, denominado el vector nulo o vector cero,

que denotamos 0, tal que:

u + 0 = u , u V (2.1-4)

a-4) u V existe un elemento -u V, denominado el elemento aditivo

inverso, tal que:

u + (-u) = 0 (2.1-5)

Es fácil demostrar que el vector nulo y el aditivo inverso de cualquier vector

son únicos.

b) Existe una operación, llamada multiplicación por escalares:

: x V V (2.1-6)

donde es el conjunto de los números reales y tal que se cumplen los cuatroaxiomas siguientes:

b-1) (u) = ( )u , , , uV (2.1-7)

b-2) (+ )u = u+u, , , uV (2.1-8)

b-3) (u+v) = u+v , , u,vV (2.1-9)



MECANICA RACIONAL MODERNA – VOLUMEN I – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

3

b-4) 1u = u, uV (2.1-10)

la propiedad b-1) indica que los escalares se pueden asociar, la propiedadb-2) y b-3) son propiedades distributivas, y la propiedad b-4) normaliza lamultiplicación por escalares

O BSERVACIONES

Casi directamente de la definición de espacio vectorial se desprendenalgunos hechos o propiedades interesantes:

1) El vector nulo 0 es único. Para demostrar esta propiedad, sea

w V, de tal manera que u + w = u , " u V, entonces:

(u+w)+(-u) = u+(-u)

u+[w+(-u)] = 0 ; por axioma a-2 y a-4.

u+[(-u)+w] = 0 ; por axioma a-1.

[u+(-u)]+w = 0 ; por axioma a-2.

0 + w = 0 ; por axioma a-4.

w = 0 ; por axiomas a-1 y a-3.

luego el vector nulo es único.

2) El elemento aditivo inverso es único. Para verlo, consideremos w V tal

que u + w = 0, u V. Entonces:

(u + w) + (-u) = 0 + (-u)

u + [w + (-u)] = -u ; por axiomas a-2 y a-3.

[u + (-u)] + w = -u ; por axiomas a-1 y a-2.

w = -u ; por axioma a-3.

luego, el aditivo inverso es único.

3) 0=0 , ; 0u=0, uV. Si u=0 , entonces =0 ó u=0

En primer lugar, sea , entonces: 0 = (0 + 0) ; por axioma a-3.

= 0 + 0 ; por axioma b-3.




4

luego:

0 + [-(0)] = [0 + 0] + [-(0)]

0 = 0 + {0 + [-(0)]} ; por axiomas a-4 y a-2.

0 = 0 + 0 ; por axioma a-4 .

0 = 0 ; por axioma a-3.

En segundo lugar, sea ahora u V, entonces:

0 u = (0 + 0) u

= 0 u + 0 u ; por axioma b-2.

luego:

0 u + [- ( 0 u )] = [0 u + 0 u ] + [- ( 0 u )]

0 = 0 u + {0 u + [- (0 u)]} ; por axiomas a-4 y a-2.

0 = 0 u + 0 ; por axioma a-4.

0 = 0 u ; por axioma a-3.

4) u V, (-1) u = -u

Para verlo, consideremos u V , entonces:

0 = 0 u

= ( 1-1 )u= 1 u + ( -1 )u

= u + ( -1 )u

luego: ( -1 ) u = -u , el aditivo inverso.

5) Las propiedades asociativa y conmutativa de la adición vectorial implican

que la suma de varios vectores es independiente de como se combinen

estos vectores y de como se asocien. Por ejemplo, u, v, w, xV:

(u + v)+(w + x) = [ (u + v) + w ] + x

= [ u + (v + w) ] + x

de tal manera que la suma puede escribirse sin lugar a confusión en la

forma:




5

u + v + w + x

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES

1) , la recta numérica, con las operaciones habituales de adición ymultiplicación.

2) Sea el conjunto de los números naturales.

Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|x i , i[1,n] }, con la adición y

multiplicación por escalares definidas por:

(x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn )

( x1, x2,…, xn ) = ( x1 , x2 ,…, xn )

3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo

[a,b] ,que denotamos por Ca b

o

,. Es decir, C

a b

o

,={f|f es continua en

[a,b]}. Las operaciones son:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(f)(x)=f(x)

f,gCa b

o

,,x[a,b], .

Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis

Matemático.

4) mxn, el espacio de las matrices reales de orden mxn, con m, n .mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:

A+B=C,a i j+b i j=c i j ,

B=A,b i j=a i j,

A,B,C mxn ,(i,j)1,m]x[1,n], .

5) El espacio de las sucesiones reales

l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...): xn

n

2

1

< }, con las operaciones:

i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn, ...) = (x1 + y1 , x2 +y2, ...,x + yn,...)




6

ii) (x1 , x2 , ..., xn , ...) = ( x1 , x2 , ... , xn, ...)

(x1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..)l2,

La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación

por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto

quizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la

única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es

también una sucesión en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn)

están en l2 , entonces

n

1

|xn|2 < ,

n

1

|yn|2 <

Para la sucesión suma :

n

1|xn + yn|

2

x yn n

n

2

1

=n

1

|xn|2 + 2

n

1

|xn| |yn| +n

1

|yn|2

Pero: (|xn |-|yn |)2>0, luego:

| xn |2-2|xn | |y n |+|yn |

2 >0

|xn |2+|yn |2 >2|xn | |y n |

así:n

1

|xn + yn|2 n

1

|xn|2 + (n

1

|xn|2 +n

1

|yn|2 ) +n

1

|yn|2

= 2n

1

|xn|2 + 2

n

1

|yn|2 <

6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...):

xxlim nn

}, con las operaciones:

i) (x1, x2,.....)+(y1 , y2, .....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)

ii) (x1 , x2 , ..., xn , ...) = ( x1 , x2 , .....)

(x1,x2,.....), (y1,y2 ,.....)c,




7

7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...):

0xlim nn

}, con las operaciones del ejemplo 6.

8) El conjunto de todas las sucesiones numéricas acotadas m={v=(x1,x2, ...):

xi< x, i=1,, para algún x }, con las operaciones del ejemplo 6.9) El conjunto ={v=(x1,x2, ...)}, de todas las sucesiones, con las

operaciones del ejemplo 6.

2.2 SUBESPACIOS VECTORIALES

Un subconjunto U de un espacio vectorial V, tal que U , es un

subespacio vectorial si:

a) u,vUu+vU

b) ,uUuU (2.2-1)

Algunos autores substituyen las condiciones a) y b) por la condición

equivalente:

u,vU; , u+ vU (2.2-2)

Por cierto, todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios,

denominados subespacios triviales que son el subespacio nulo U = { 0 } y

el espacio U = V. Obsérvese que 0 es un elemento común a todo subespacio

de V (¿Por qué?).

Cuando U no es trivial se dice que es un subespacio propio de V.

EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES

1) Sea V un espacio vectorial (e.v.) y sea vV, fijo, v0 . El conjunto

U = {v : } es un subespacio (unidimensional) de V. Por cierto, U es

subespacio propio si la dimensión de V es mayor que 1.

La verificación de que U es subespacio es rápida. En primer lugar U,

luego si u,wU, , , entonces:

u+w =( 1v)+ ( 2v)

=( 1+ 2)vU




8

2) El espacio C,a b

oes un subespacio (de dimensión infinita), del espacio de

todas las funciones reales (es decir funciones reales continuas y

discontinuas).

3) U={v n:x1=0} es un subespacio propio de n, sin embargo,

U ={v n:x1 = x2+1} no lo es (¿Por qué?).

4) Sea U = {u C,a b

o: u es un polinomio de grado n} es un subespacio propio

de C a b o

, y de dimensión finita.

5) l2 es un subespacio propio de c0.

6) c0 es un subespacio propio de c.

7) c es un subespacio propio de m.

8) m es un subespacio propio de

.

2.3 INDEPENDENCIA LINEAL , DIMENSIÓN Y BASES

Sea V un e.v.. Decimos que un conjunto finito de n1 vectores

{v1, v2, ..., vn }es linealmente dependiente, l.d., si existe un conjunto de

n escalares { 1, 2 , ... ,n}, no todos nulos tal que:

1v1+ 2v2+.. .+nvn=0 (2.3-1)

Esto significa que al menos uno de los vectores vi

puede expresarse como

combinación lineal de los otros; por ejemplo: si 1 0, entonces:

v1= –1

1( 2v2+ 3v3+.. .+

nvn) (2.3-2)

Cuando un conjunto de n 1 vectores no es l.d. decimos que es linealmente

independiente, l.i. . En otras palabras, un conjunto de n 1 vectores es l.i. si

(2.3-1) implica i = 0, i = 1,2, ... , n.

Decimos que un conjunto l.i. en un espacio vectorial es maximal si no es

subconjunto propio de todo otro conjunto l.i. Decimos que V es un e.v. de

dimensión finita si contiene al menos un conjunto l.i. maximal (finito).

Cuando no sea éste el caso, decimos que V es de dimensión infinita. Por




9

ejemplo, es de dimensión 1 o unidimensional y C,a b

oes de dimensión

infinita.

Directamente de la definición, se obtiene las consecuencias siguientes:

a) Si el conjunto {v1, v2, v3 , ... , vn} es l.d., entonces todo otro conjuntoque lo contenga también lo es,

b) Todo conjunto que contenga al vector nulo es l.d.,

c) Todo subconjunto de un conjunto l.i. es también l.i. .

Para un espacio vectorial de dimensión finita V, se puede encontrar infinitos

conjuntos l.i. y maximales, pero no es difícil demostrar que cada uno de ellos

contiene exactamente el mismo número de vectores. Luego, el número n de

vectores en un conjunto l.i. maximal es una propiedad intrínseca de todo

espacio vectorial de dimensión finita. A este número natural n lo llamamos

dimensión del espacio vectorial V, y escribimos:

n=dimV (2.3-3)

Además, llamamos base para un espacio vectorial V a todo conjunto l.i.

maximal.

Sea ahora {e1,e2, . . . ,en}una base para un espacio vectorial V, con

dimV=n. Entonces el conjunto {e1 ,e2 , . . . ,en ,v}, donde vV, es l.d. (si

no fuese así, el conjunto de los ei no sería una base). Luego, existen n+1

escalares 1 , 2 , ... , n , , con 0, tal que:

1e1+2 e2+.. .+ne

n+v=0

y, por lo tanto:

v =v1e1+v

2e2+.. .+v

ne

n , vi=-

i

v =i

n

1

v ie i (2.3-4)

v =v i e i

es decir, todo vector v V puede expresarse como una combinación linealde los vectores base ei , siendo esta combinación lineal única (¿Por qué?).

Vemos que en el lado izquierdo de (2.3-4), el vector v está escrito usando

notación simbólica (intrínseca o directa), mientras en el lado derecho lo está




10

usando notación indicial, y donde se usó la convención de sumatoria de

Einstein (cada vez que se repite un subíndice en una expresión en notación

indicial, se subentiende sumatoria, para todo i = 1,2, ... , n).

A los escalares vi , i=1,2,...,n, los llamamos componentes (contravarian-

tes) de vV, con respecto a la base {ei}.

Si U es subespacio de un espacio de dimensión finita V, son válidas las

siguientes proposiciones, cuya demostración dejamos como ejercicio:

a) dimUdimV

b) dimU=dimVU=V

Una función : V W, siendo V y W espacios vectoriales, es un

isomorfismo si es lineal y (u) (v) , si u v.

Si existe al menos un isomorfismo desde V a W, decimos que V y W son

isomorfos. Todos los espacios vectoriales de dimensión finita, con igual

dimensión, son isomorfos. Así todo espacio vectorial V, con dimV=n, es

isomorfo an.

EJEMPLOS

1) Sea V = 3,

i) Si dimV = 0 entonces U = { 0 }.

ii) Si dimU = 1 entonces U es una línea que pasa por el origen.

iii) Si dimU = 2 entonces U es un plano que pasa por el origen.

iv) Si dimU = 3 entonces U = V.

2) Sea V = 3 y tomemos el conjunto de cuatro vectores:

S={v1 ,v2 ,v3 ,v4}:

v1=(3,0,-3)

v2=(-1,1,2)

v3= (4,2,-2)




11

v4=(2,1,1)

S es l. d. pues 2 v1+2 v2-v3=0 .

Sin embargo, el conjunto B={u1 ,u2 ,u3}, dado por:

u1=(1,0,0)u2=(0,1,0)

u3=(0,0,1)

es l.i. y maximal; luego es una base (canónica) para3 .

2.4 ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR .

Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función

f :VxV , que satisface las siguientes leyes, reglas o axiomas:

c-1) f(u,v)=f(v ,u),u,vV ( 2.4-1)

o propiedad conmutativa,

c-2) f(u,v)=f(u,v),u,vV; (2.4-2)

c-3) f(u+v ,w)=f(u,w)+f(v ,w),u,v ,wV (2.4-3)

es decir, el producto interior es lineal en su primer argumento. La propiedad

conmutativa además asegura que es también lineal en su segundo

argumento.

c-4) f(u,u)0,uV; f(u,u)=0 u=0 , (2.4-4)

Esta propiedad establece el concepto de positivo definido. Como

consecuencia el producto interior es positivo definido.

Es usual llamar al producto interior producto escalar o producto punto,

siendo esta última denominación motivada por la nomenclatura más común

en Ingeniería (donde se usan vectores geométricos), por la linealidad de que

goza el producto interior, y por su conveniencia para operaciones con bases,

como veremos más adelante:

f(u,v)=uv (2.4-5)

Obviamente, llamamos Espacio Vectorial con Producto Interior a un espacio

vectorial V premunido de producto interior. La motivación para introducir




12

un producto interior es la necesidad de trabajar con el concepto de módulo

de un vector.

ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS*

Sea V un espacio vectorial. Una norma sobre V es una función || ||:V, v | | v ||, con las siguientes propiedades:

i) ||v ||0,vV

ii) ||v | |=0v=0 (2.4-6)

iii) ||v | |=| | ||v | |, ,vV

iv) ||u+v | | | |u| |+||v | |,u,vV

Si se elimina la condición ii), la función || || es una semi norma sobre V.

Un espacio vectorial sobre el cual se ha definido una norma se denomina

Espacio Vectorial Normado o simplemente Espacio Normado. La norma no

es única; un mismo espacio vectorial puede poseer varias normas.

La magnitud, módulo o norma inducida de un vector es una función,

denotada por | | : V + {0}, v |v|, que asigna a todo vector v V,

v 0 , un número real positivo mediante la regla:

|v |= v v (2.4-7)

por cierto:

|0 |=0 (2.4-8)

Llamamos vector unitario a un vector de módulo unitario, es decir, e es

unitario si |e| = 1.

(2.4-7) indica que un producto interior siempre puede ser usado para definir

una norma sobre V en una forma muy natural. La norma así definida se dice

que es inducida por el producto interior. Lo contrario no es cierto: no toda

norma es inducida o proviene de un producto interior. Sin embargo, existe

una equivalencia entre la norma inducida por el producto interior y cualquier

norma para el caso de un espacio de dimensión finita V. Al respecto tenemos

la siguiente:

Proposición.




13

En correspondencia a cualquier norma || || en un espacio de dimensión finita

V, existen m, M + , tal que:

m|v | | |v | |M|v |,vV (2.4-9)

donde | | es la norma inducida por el producto interior. Se dice que || || y | |

son equivalentes.

Demostración.

Sea B={e1,e2, . . . ,en} una base para V, dimV=n , entonces:

M = n max{||e1||,||e2||,...,||en||}

Como B es una base vV, tenemos: v=viei . Por lo tanto:

||v || = ||v i e i | |

|v

i

| ||e i ||

M

n i

n

1

|v i |

pero: |vi | |v |, i= 1,... ,n. Entonces: vi

i

n

1

n|v |, luego:

||u|| M|v|

La desigualdad anterior implica que:

||u-v|| M|u-v |,u,vV

luego || || es una función continua. Así, ella tiene un mínimo en el conjunto

(compacto) { v : |v| = 1 }, el cual llamaremos m, esto es: m|v| = 1= mín{ ||v|| },

además, por el primer axioma de norma se tiene que m > 0.

El caso v=0 no interesa pues la desigualdad propuesta se cumple

trivialmente.

Sea, entonces, v0 , =1

v, entonces: |v| = || |v| = |v| = 1

por lo tanto: ||v | |m. Pero, por el tercer axioma de norma:




14

||v|| = || ||v|| =1

v||v|| m

luego: ||v || m|v |

lo que termina la demostración.

*




15

PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL

CON PRODUCTO INTERIOR

Las siguientes propiedades de un espacio V con producto interior son de

interés: Proposiciones

a) Desigualdad de Cauchy–Schwarz–Buniakovski (C-S-B),

uv |u v | |u| |v |, u,vV (2.4-10)

b) Desigualdad triangular,

|u + v| |u| + |v|, u, v V (2.4-11)

c) u v |u + v| |u| + |v| , u, v V (2.4-12)

Demostración

a) Desigualdad de C-S-B.

i) Si v = 0 , todos los términos en (2.4.10) son nulos y la desigualdad se

cumple en forma trivial. Por lo tanto, basta considerar el caso

v0 ;

ii) Sea v 0 , , entonces:

0 (u + v) (u + v ) = u u + 2u v + 2 v v

Sea f() = u u + 2u v + 2 v v

Esta función de clase C es convexa y coerciva, luego posee un mínimo en

= o . Para encontrar o se aplica el criterio:

df

do

=2uv+2vv=0 ;

02

d

f d

o

2

2

vv

es decir:o=-u v

v v

luego: 0 |u+ov|2 = |u|2 – u v

v

2

2(2.4-10a)




16

o bien: 0 |u|2 |v|2– |uv |2

luego: |uv|2 |u|2 |v |2

obviamente: uv |uv|

De las dos últimas desigualdades resulta la desigualdad de C-S-B:

uv |uv| |u| |v |

De la expresión (2.4-10a) vemos que la igualdad en la desigualdad de C-S-B

se produce cuando |u+ov|2=0 , es decir, u+ov=0. Por lo tanto, como v

0 resulta |uv |=|u||v | si y solo si u es un múltiplo escalar de v.

Si uv>0, u es un múltiplo escalar no negativo de v (e inversamente).

b) Desigualdad triangular.

Se tiene |u+v |2

=(u+v)(u+v)

=uu+ 2uv+vv

=|u|2+2uv+|v |

2

usando la desigualdad de C-S-B:

|u+v |2 |u|2+2|u| |v |+ |v |2 = (|u|+|v |)2

luego: |u+v | |u|+|v |.

c) En primer lugar demostraremos que:

||u|-|v|| |u-v | |u|+|v |

En efecto:

uvuv

vuvu

uvuv

vuvu




17

vuvu

vuvu

vuvu

es decir:

como además |u-v | = |u+(-v) | |u|+|-v | = |u|+|v |, tenemos:

||u|- |v | | |u-v | |u|+|v |.

Por otra parte: ||u|- |v | | |u+v | |u|+ |v | es consecuencia de la primera,

considerando v = - v .

EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES

CON PRODUCTO INTERIOR

1) La multiplicación ordinaria en satisface los axiomas de producto interior,luego es un e.v.p.i. .

2) Enn, definamos el siguiente producto interior (llamado canónico o

Euclideano), (x1 , x2 , ... , xn), (y1 , y2 , ... , y

n)

n.

(x1, , x2 , ... , xn) (y1, , y2 , ... , y

n) = xi yi

Es fácil verificar que este producto interior satisface los axiomas

correspondientes. Así n

es un e.v.p.i. .

La forma más general de definir un producto interior enn

es la siguiente:

se toma una matriz real de orden n, simétrica y positiva definida A = [a ij].El producto interior queda definido por : f(u,v)=a i ju iv j ,u,v n

;

u=(u1,u2, . . . ,un) , v=(v1,v2, . . . ,v

n). El producto interior canónico se

obtiene si consideramos A = I, la matriz identidad de orden n.

3) Sea V= C,a b

o. Entonces si f, gV,

b

a

f(x)g(x)dx es un producto interior.

4) En l2, sean u=(x1, x2,.....) y v=(y1, y2 ,.....). Entonces la operación siguiente

define un producto interior en l2:

f(u,v)=uv=x i yi

ANGULO ENTRE VECTORES .




18

Ya que la desigualdad de C-S-B implica que 11

vu

vu, esto nos

permite definir el ángulo entre vectores de la siguiente manera:

cos =

=

u v

u v

uu

vv

= euev (2.4-13)

y donde es el ángulo entre los vectores u y v (u y v diferentes de 0).

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si u v = 0. Así, el vector

nulo es perpendicular a cualquier vector.

2.5 ESPACIOS DE PUNTOS EUCLIDEANOS VECTORES ESPACIALES O GEOMÉTRICOS

Un espacio de puntos Euclideano E es un conjunto de elementos X, Y, ... ,

llamados puntos, tal que cada par de elementos X,YE definen un

segmento de línea dirigido XY

, el cual tiene una longitud dada por el

largo del segmento y una dirección dada por la orientación desde X hacia Y,

ver figura 2.5.1. E es un espacio geométrico.

Figura 2.5.1 Segmento de línea dirigido desde el punto X al punto Y.




19

En realidad, existe un número infinito de segmentos de líneas dirigidos

equivalentes al segmento XY

, los que tienen la misma longitud y la misma

dirección. Llamamos vector espacial o vector geométrico al conjunto de

todos los segmentos de línea dirigidos con la misma longitud y dirección, y

lo designamos por {XY

}, con su longitud denotada por |{ XY

}|, o

simplemente |XY

|.

A continuación definiremos las operaciones de adición y multiplicación por

escalares que transformarán al conjunto de los vectores geométricos en un

espacio vectorial en el sentido abstracto.

ADICION DE VECTORES GEOMETRICOS .

La adición de segmentos de línea dirigidos queda definida por:

XY RS = XY + YZ XZ

(2.5-1)

Donde RS

{YZ

}. Esto es, para sumar dos segmentos de línea dirigidos

debe usarse el segmento de línea dirigido equivalente al segundo segmento de

línea original y emplear la ley del paralelógramo. Geométricamente, la

adición de segmentos de líneas dirigidos se representa en la figura 2.5.2.

Obviamente, la suma definida en (2.5-1) también puede ser escrita como:

XY RS RS XY RS ST RT (2.5-2)

donde XY

{ST

}. Geométricamente, esta operación se muestra en la figura

2.5.3.




20

Figura 2.5.2. Adición de segmentos de línea dirigidos.

Figura 2.5.3 Otra forma equivalente de sumar segmentos de línea

dirigidos.

Como existen infinitas formas para efectuar la suma de segmentos de línea

dirigidos, la adición de vectores geométricos queda simbolizada por:

{ XY

}+{ YZ

}={ XZ

} (2.5-3)




21

Evidentemente el vector geométrico nulo es {XX

}para cualquier punto X y

el aditivo inverso de {XY

} es {YX

}.

Es materia fácil verificar que la adición de vectores geométricos así definida

satisface los cuatro axiomas para la adición de espacios vectorialesabstractos.

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES GEOMÉTRICOS

POR ESCALARES

Sea un escalar y {XY

} un vector geométrico. El vector espacial {XY

} es un vector espacial que tiene la misma dirección de {XY

} si > 0

y la dirección contraria si < 0 y su longitud es || veces la de {XY

}.

Nuevamente, es materia fácil ver que se verifican las propiedades para la

multiplicación por escalares en un espacio vectorial abstracto. Se puede

concluir que el conjunto de los vectores espaciales con estas operaciones

tiene la estructura algebraica de espacio vectorial y los vectores espaciales

definidos sobre un espacio de puntos Euclideano constituyen un espacio

vectorial.

PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES GEOMÉTRICOS .

Dotamos de producto interior al espacio vectorial de los vectores

geométricos, a través de la definición del producto escalar entre dos

vectores geométricos {XY

} y {RS

} de la siguiente manera:

{ XY

}{ RS

}=| XY

| | RS

|cos (2.5-4)

donde es el ángulo entre {XY

} y {RS

}.

Este producto escalar satisface las propiedades para producto interior en

espacios vectoriales abstractos (ver (2.4-13) para ver la coherencia de esta

afirmación).




22

Por lo tanto, el conjunto de los vectores geométricos es un espacio vectorial

con producto interior en el sentido abstracto. A tal tipo de espacio lo

llamamos Espacio Vectorial Euclideano o simplemente Espacio

Euclideano.

Como cada par de puntos X,Y E definen un vector en el sentido abstracto{XY

}= v V, la asociación entre puntos X,Y y el vector v puede

expresarse en términos de la operación diferencia de puntos:

- : E x E V, (X,Y) v = Y – X (2.5-5)

tal que: Y=X+v (2.5-6)

De igual manera:

Y-Z=(Y-X)+(X-Z) (2.5-7)

u=v+w=w+v

Geométricamente, la operación diferencia de puntos se muestra en la figura

2.5.4.

Figura 2.5.4. Operación diferencia de puntos.




23

La regla (2.5-6) indica que la suma de un punto con un vector es otro punto.

Esto induce a denominar al espacio vectorial V espacio de traslaciones

subyacente al espacio de puntos E, es decir, los vectores pueden usarse para

trasladarse entre puntos de E.

El vector nulo 0 V se obtiene de:

0=X-X,XE (2.5-8)

La distancia entre los puntos X,Y E queda definida por la función

d:ExE +{0},(X,Y)d(X,Y), dada por:

d(X,Y)=|Y-X|= (Y X) (Y X)

(Y X)2 (2.5-9)

ESPACIOS MÉTRICOS*

Sea F un conjunto, F , cuyos elementos designaremos por p, q, ... , y que

llamaremos puntos. Una distancia es una función d: F x F + {0}, tal

que:

i) d(p,q)0 ,p,qF; d(p,q)=0p=q;

ii) d(p, q)=d(q, p) ,p,qF;

iii) d(p,q)d(p,r)+d(r,q) ,p,q,r,F

Si existe tal función d decimos que F es un espacio métrico.

La función distancia introducida en (2.5-9), satisface las axiomas para la

función distancia en espacios métricos abstractos, por lo tanto E es un

espacio métrico. *

En este texto trabajaremos con un espacio de puntos Euclideano

tridimensional E3, de tal manera que su espacio de traslaciones V es de

dimensión 3. Luego, cualquier base para V consiste de tres vectores

linealmente independientes.

2.6 BASES OBLICUAS Y BASES CARTESIANAS: REPRESENTACIÓN

SIMBÓLICA , INDICIAL Y MATRICIAL DE VECTORES




24

Sea V el espacio vectorial Euclideano de traslaciones subyacente al espacio

de puntos Euclideano tridimensional E3. Sabemos que una base para V es un

conjunto de tres vectores base que denotaremos por:

B =

3

2

1

e

e

e

{ei} (2.6-1)

de tal manera que todo vector v V puede ser representado por la

combinación lineal única:

v=v ie i (2.6-2)

donde los escalares vi, i = 1,2,3, reciben el nombre de componentes

contravariantes de v con respecto a la base B.

Al escribir a un vector de V en la forma v estamos usando la notación intrínseca, simbólica o directa y al escribir vi

ei usamos notación indicial,

la que requiere el uso de una base.

Alternativamente, podemos usar las reglas del álgebra de matrices para

denotar cualquier vector; podemos escribir:

v=[v1v

2v

3]

3

2

1

e

e

e

=[v]TB (2.6-3)

ó

v=[e1e2 e3]

3

2

1

v

v

v

=BT[v] (2.6-4)

donde: [v]=

3

2

1

v

v

v

(2.6-5)

es la matriz de componentes (contravariantes) de v con respecto a la base B.




25

El producto interior, escalar o producto punto entre los vectores base lo

simbolizamos por:

e ie j=g i j , i, j=1, 2, 3 (2.6-6)

Los gij se denominan coeficientes métricos. La matriz métrica queda

definida por el arreglo [gij].

Debido a la conmutatividad del producto escalar de vectores, se cumple

gij=g

ji, i, j, propiedad de simetría de gij.

Decimos que la base B es ortogonal si:

gij =

jsi,0

jsi,0

(2.6-7)

Decimos que la base B es ortonormal o cartesiana si:

gij = ij =

100

010

001

g, jisi,0

j=isi,1ij (2.6-8)

donde ij se denomina delta de Kronecker . Una base cartesiana consiste solo

de vectores unitarios ortogonales entre sí.

Una base B que no es ortogonal se dice que es oblicua.

Sea B = {ei} una base para V. Decimos que la base B' = {ei} es la base dual o base recíproca de B si y solo si:

e ie j= j

i

ij (2.6-9)

o, equivalentemente:

e ie j= i

j

ij (2.6-10)

Por supuesto, definimos:

e ie j=g i j , [gi j

] (mat riz métri ca dua l) (2.6-11)

Como B' es una base para V, todo vector v puede representarse por la

combinación lineal única:

v=v iei (2.6-12)




26

donde los escalares vi se denominan componentes covariantes de v con

respecto a la base B'.

Proposición

Los coeficientes métricos y componentes de un vector v cumplen:

i) v i=ve i ,v j=ve j

ii) e i=gi je j , B=[g i j]B '

iii) ei=g

i je j , B'=[g

i j]B (2.6-13)

iv) g i jg j k =k

i= i k , [gi j][g i j]=[I]

v) v i=gi jv j (bajar un superíndice) [v]=[g i j][v']

vi) v i=gi jv j (subir un subíndice) [v']=[gi j] [v]

todas fórmulas útiles al trabajar con componentes. Se dice que gij subeíndices y gij baja índices.

Demostración.

i) vei= v

je j e

i= v

j j

i= v

i v = (ve

i)e i

ve i = v je j

e i = v j

i

j= vi v = (ve j)e

j

ii) e i=(e i e j)e j (usando i)

=gi je j (definición)

iii) ei=(e

ie j)e j (usando i)

=gi je j (definición)

iv) k

i=e

iek (definición)

=eigkje

j (usando ii)

=eie

jgkj (linealidad producto escalar)

=gi j

g j k (def. y simetría coef. métricos)

v) v i=ve i (usando i2)

=v je je i (expansión de v en B)

=gi jv j

(def.)




27

vi) vi=ve

i

=v je j

ei

=gi jv j

De (2.6-13)ii se observa que si la base B es ortonormal, la base dual B' esidéntica a B, y de (2.6-13)v se observa que las componentes contravariantes

son iguales a las covariantes. De allí que para el caso de bases cartesianas es

innecesario distinguir entre la base B y su dual B', y entre las componentes

covariantes y contravariantes de un vector v. Esto nos permite escribir para

el caso en que B es una base cartesiana, ortonormal o unitaria:

v=(ve i)e i=v ie i (2.6-14)

A no ser que se establezca explícitamente lo contrario, cada vez que

consideremos una base, ésta será cartesiana, de manera que cualquier vector

puede ser representado en notación indicial cartesiana por:

v=v i e i (2.6-15)

o en notación matricial:

v v v v1 2 3

3

2

1

321

3

2

1

v

v

v

eee=

e

e

e

(2.6-16)

=[v]TB=B

T[v]

Veremos a continuación la conveniencia de usar la nomenclatura deproducto punto para el producto interior en V. Al usar bases cartesianas,

tenemos para el producto interior entre dos vectores u, v V:

uv = u ie i v je j

= u iv je i e j (linealidad del p.i.)

= u iv j i j (la base es cartesiana) (2.6-17)

= u iv i ( i j=0 si i j)

= u1v1+u2v2+u3v3




28

En algunos textos se dice que el producto punto efectúa una contracción de

las direcciones ei , e j . Por otra parte, debido a (2.4-13), el ángulo entre los

vectores u y v está dado por:

cos =u v

u v u v u v1 1 2 2 3 3

(2.6-18)

Obviamente, si v = ei en (2.6-17), obtenemos:

ue i=u je je i

=u j j i (2.6-19)

=u i=|u| |e i |cos

=|u|cos

es decir, la componente ui

del vector u V es la proyección (perpendicular)

de u sobre ei.

El uso de notación indicial cartesiana es una herramienta poderosa en la

demostración de identidades en que participan vectores.

2.7 TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LINEALES*

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sea f : V . Entonces f

es lineal si y solo si existe aV tal que f(v)= a v, vV. El vector a es

único. Demostración.

Consideraremos una base cartesiana para V, con dimV = n. Esta base se

denotará por {ei}.

1) Existencia.

i) () Sea f : V , lineal. Sabemos que vV, tenemos: v = vi ei. Sea

ai = f(ei), i =1,2, ... , n. Entonces, ya que f es lineal:

f(v)=f(vie i)=v if(e i)=a iv i=av;a=a ie i

ii) () sea f(v) = a v entonces:




29

a) f(u+v)=a(u+v)=au+av=f(u)+f(v)

b) f(v)=a(v)=av=f(v)

luego f es lineal.

2) Unicidad.

Supongamos que existen a1 y a2, tal que f(v)=a1 v , f(v)=a2v ,vV,

con a1 a2. entonces

0=f(v)-f(v) = a1v-a2v = (a1-a2)v ,vV

luego a1 -a2 = 0, lo que implica que a1 = a2 , un absurdo.

a es único.

*

2.8 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES PARA E 3

Llamamos origen del Espacio de puntos Euclideano tridimensional E3a un

punto simbolizado por O, donde se aplican los vectores base {ei} de V.

Luego, una base cartesiana de E3 es el conjunto {O, {ei} }. Sin embargo,

esta nomenclatura raramente se usa y el usar una base subentiende la

elección del origen. Por ello la base se indica simplemente con {ei}, o por la

nomenclatura BT = [e1 e2 e3]. Luego, es posible ubicar un punto cualquiera

X E3 mediante su vector de posición r, representado por la diferencia de

puntos:

r=X-O=xie i (2.8-1)

Por ejemplo, el vector de posición del origen es 0.

Las tres componentes del vector de posición xi, i =1,2,3 son las coordenadas

(rectangulares) del punto XE3. Formalmente, las coordenadas del punto

X E3 son los tres campos escalares xi(X), definidos por las funciones

xi : E3 , i = 1,2,3. Decimos que cada una de estas funciones forma un

eje de coordenadas; cada dos de ellas un plano coordenado; y las tres un

sistema de coordenadas para E3

.

Existe un isomorfismo evidente entre los puntos X E3 , los vectores

r = X-O V y el triple (x1 , x2 , x3 ) 3 , que representa las coordenadas

de X con respecto a una base cartesiana dada. Esto permite representar a los




30

vectores libres de V mediante vectores de posición ligados al origen de E3o

mediante tres números reales.

Figura 2.8.1. Sistema de coordenadas para el espacio E 3.

Figura 2.8.2. Base cartesiana derecha en el punto 0 E 3

.




31

Eligiendo un orden para el conjunto {e1,e2 ,e3} se determina una

orientación en E3 , V y 3 convirtiendo a éstos en espacios orientados. De

las dos orientaciones posibles para espacios tridimensionales, llamamos a

una positiva o derecha y a la otra negativa o izquierda. A no ser que se diga

otra cosa, todas las orientaciones serán derechas, tal como se muestra en la

figura 2.8.2. Una base derecha sigue la regla de la mano derecha.

2.9 PRODUCTO VECTORIAL .

El producto vectorial es una operación definida por x : V x V V,

(u,v)w = uxv , que satisface los axiomas siguientes:

a) u x v = – v x u,u,vV (2.9-1)

o propiedad anticonmutativa.

b) (u+v)xw = uxw+vxw , u,v ,wV, (2.9-2)

,

o propiedad distributiva.

c) u(uxv) = 0,u,vV (2.9-3)

que establece que el vector producto es perpendicular al primer vector.

La propiedad anticonmutativa a) implica que el vector producto es

también perpendicular al segundo vector.

d) (uxv)(uxv) = (uu)(vv)-(uv)2 (2.9-4)

que establece el módulo del producto vectorial.

Observación

En muchos textos el producto vectorial se denota usando el símbolo "^",

pero nosotros conservaremos la cruz clásica, pues el símbolo "^" lo

reservaremos para el producto antisimétrico o exterior de dos vectores.

Llamamos triple producto escalar de los vectores u, v, w V y que

denotamos por [u, v, w] a:

[u,v ,w]=u(vxw),u,v ,wV (2.9-5)

Los axiomas (2.9-1) a (2.9-4) permiten obtener las siguientes propiedades

para operaciones en que intervienen productos vectoriales:




32

Proposición

1) uxv=0u,v son l.d., (2.9-6)

2) [u,v ,w]=[v ,w,u]=[w,u,v]

= – [u, w, v] = – [v, u, w] = – [w,v,u] (2.9-7)

u, v, w V.

que dice que en el triple producto escalar, los tres vectores producto se

pueden permutar cíclicamente. Esto es, cualquier permutación par

conduce al mismo resultado. Cualquier permutación impar cambia el

signo del resultado.

3) [u+v ,w ,x]=[u,w,x]+ [v ,w ,x] (2.9-8)

u, v, w, x V, , .

4) [u,v ,w]=0u, v, w son l.d. (vectores coplanares). (2.9-9)

5) Sea B una base para V, entonces:

e2xe3=e1, e3xe1=e2 , e1xe2=e3

e3xe2= –e1, e1xe3= –e2, e2xe1= –e3

e ixe i=0 , i=1, 2, 3(sin suma)

6) |uxv |=|u| |v |sen (de 2. 9-4) (2.9-10)

donde es el ángulo entre los vectores u y v, tomado como el menorposible (es decir, 0 ).

Demostración

Solo demostramos las proposiciones 1) y 6) dejando el resto como ejercicio.

1) uxv = 0 u,v son l.d.

() uxv=0

Por el axioma (2.9-4),

0=|u|2

|v |2

– (uv)2

(uv)2=|u|2 |v |2




33

y : (cos)2 =( )u v

u v

2

2 21 entonces =0, y u,v son l.d.

(colineales).

() u,v l.d. u=v , , es decir:|uxv |2=|u|2 |v |2-(uv)2

=2|v |

4-2

|v |4=0

uxv=0

6) |uxv |2=|u|

2|v |

2-|u|

2|v |

2cos

2

=|u|2 |v |2(1-cos2)

=|u|2 |v |2sen2

|u x v| = |u| |v| sen ; 0 .

Observe que no puede ser mayor que , ya que sen < 0 para ángulos

obtusos.

Una forma elegante y compacta de expresar el producto vectorial es a través

de la introducción del símbolo permutador o alternador ijk , definido por:

Definición

ijk =

123deimparnpermutacióunaesijk si,1123deparnpermutacióunaesijk si,1

repitenseíndicesdosmenosalsi,0

(2.9-11)

Luego, todas las fórmulas que expresan el producto vectorial entre vectores

base pueden sintetizarse a:

e ixe j= i j k ek (2.9-12)

Así, en notación indicial cartesiana, el producto vectorial entre dos vectores

u, v, queda dado por:

uxv=u ie ixv je j

=u iv je ixe j (linealidad) (2.9-13)

=u iv j i j k ek




34

También, tenemos:

[e i ,e j ,ek ]=e ixe j ek = i j le l ek

= i j l l k (2.9-14)

= i j k

Recordemos que el determinante de una matriz A = [aij] está definido por las

expresiones equivalentes:

ijk mnp det A =

a a a

a a a

a a a

im in ip

jm jn jp

km kn kp

=

a a a

a a a

a a a

mi ni pi

mj nj pj

mk nk pk

(2.9-15)

Apliquemos esta definición a la matriz:

A=

kpknkm

jp jn jm

ipinim

(2.9-16)

que representa a una matriz cuyo determinante será 1, -1, ó 0. Por ejemplo,

la forma (2.9-16) representará a las matrices:

100

010

001

,

000

101

010

,

011

101

001

, . . . (2.9-17)

(det A= 1) (det A=0) (det A= -1)

Así, aplicando (2.9-15), obtenemos:

i j k mn p=

i in ip

j jn jp

k kn kp

m

m

m

(2.9-18)

= i m( j nkp- j pk n

)- i n( jmkp- j pkm)

+ i p( j mk n- j n

km) (2.9-19)




35

Esta fórmula es importante pues conduce a la siguiente identidad

fundamental entre el símbolo alternador y el delta de Kronecker:

ijk mnk = im( jnkk - jk kn)-in( jmkk - jk km)+ik ( jmkn - jnkm)

= 3im jn - im jk kn - 3in jm + in jk km + ik jmkn - ik jnkm

= 3im jn - im jn - 3in jm + in jm + jmin - jnim

= im jn - in jm

es decir: ijk mnk im jn in jm (2.9-20)

luego, en cualquier expresión donde aparezca la multiplicación de dos

símbolos alternadores (posiblemente provenientes del producto vectorial

entre vectores base), y donde al menos un subíndice aparezca en ambos

alternadores, se puede aplicar (2.9-20) para eliminar el subíndice repetido.

Así, por ejemplo:

a) ijk ljk =il jj-ij jl

=3il-il (2.9-21)

=2il

b) ijk ijk =ii jj-ij ji

=3x3-ii (2.9-22)

=9-3

=6

La identidad (2.9-20) es muy útil para la demostración de identidades en que

aparecen varios productos vectoriales entre vectores, tal como veremos un

poco más adelante.

De acuerdo a (2.9-10) vemos que |uxv| representa el área del paralelógramo

cuyas aristas coinciden con los vectores u y v como se muestra en la figura

2.9.1.

Es interesante observar de (2.9-13) que:




36

uxv=(u2v3-u3v2)e1+(u3v1-u1v3)e2+(u1v2-u2v1)e3

= (u2v3-u3v2)e1-(u1v3-u3v1)e2+(u1v2-u2v1)e3 (2.9-23)

=e e e1 2 3

1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

Por otra parte, el producto mixto queda dado por:

uvxw=u ie i v jek xwk ek

=u iv jwk i j k

=u1(v2w3-v3w2)+u2(v3w1-v1w3)+u3(v1w2-v2w1)

[u,v ,w]=u1(v2w3-v3w2)-u2(v1w3-v3w1)+u3(v1w2-v2w1)

Figura 2.9.1. Interpretación geométrica del producto vectorial.




37

Figura 2.9.2. Interpretación geométrica del producto mixto.

=

u u u

v v v

w w w

u v w

u v w

u v w

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

(2.9-24)

ya que el valor de un determinante no cambia si se intercambian líneas por

columnas y vice-versa.

El módulo del producto mixto entre tres vectores nos da el volumen del

paralelepípedo cuyas aristas coinciden con los vectores producto, tal como

se muestra en la figura 2.9.2.

Proposición

El producto vectorial satisface las siguientes identidades:

1) ux(vxw)=(uw)v-(uv)w,u,v ,wV (2.9-25)

2) (uxv)xw=(wu)v-(wv)u, u,v ,wV (2.9-26)

3) (axb)x(cxd)=(cdxa)b-(bcxd)a (2.9-27)

=(daxb)c-(abxc)d

a,b,c ,dV.

Las dos primeras ecuaciones demuestran el hecho de que el producto

vectorial no es una operación asociativa. Así, en el caso del triple producto




38

vectorial es indispensable el uso de paréntesis, cosa que no era necesaria en

el caso del producto mixto.

El producto que aparece en el miembro izquierdo de (2.9-27) se denomina

cuádruple producto vectorial y es importante en la determinación de la

relación entre una base B y su base recíproca B'.

Demostración.

Solo demostraremos la primera identidad, pues las otras se efectúan de

manera muy similar, y las dejamos de ejercicio.

ux(vxw) =u ie i x(v je jxwk ek )

=u iv j wk jkl e i xe l

=u iv j wk jkl i l mem

=u i v jwk jkl mi lem

=u iv jwk j mki em-u iv jwk j ik m em

=u iv jw ie j-u iviwk ek

=(u iwi)(v je j)-(u ivi)(wk ek )

=(uw)v-(uv)w

Las relaciones entre los vectores de una base B y su base recíproca B',con

B =

3

2

1

e

e

e

y B' =

3

2

1

e

e

e

se encuentran dadas en la siguiente:

Proposición

Sea B una base y B' su base recíproca, entonces:

ei = k jieee

ee

321

k j x

x(2.9-28)

donde ijk es una permutación par de 123.

Demostración.




39

Basta considerar los dos miembros del lado derecho de (2.9-27), tomando:

a=e1 , b=e2, c=e3, d=v

donde v V es un vector cualquiera. Tenemos:

(e3vxe1)e2-(e2e3xv)e1=(ve1xe2)e3-(e1e2xe3)v

Luego:

(e1e2xe3)v=(ve2xe3)e1+(ve3xe1)e2+(ve1xe2)e3

donde usamos (2.9-7)

Así, el vector v expresado en términos de la base B queda dado por:

3

321

212

321

131

321

32

,,,,,,e

eee

eeve

eee

eeve

eee

eevv

xxx

es decir:

321

213

321

132

321

321

,,

,,

,,

eee

eee

eee

eee

eee

eee

x

x

x

que escritas en forma compacta proporcionan la fórmula (2.9-28).

Observaciones

i) Si B es cartesiana: [e1 ,e2 ,e3]= 1 y e ixe j = ek cuando ijk es permutación

par de 123. Por lo tanto, de (2.9-28):

ei=e i ; i=1,2,3

y B' = B , como ya habíamos visto.

ii) Evidentemente, la relación dual a (2.9-28) es:




40

k ji,,

321

k j

ieee

eee

x, ijk permutación par de 123.

Ejemplo

Sea B =

k ji

j

i

. Demuestre que B es una base (oblicua) para el

espacio de traslaciones V de E3. Encuentre la base dual B' y expanda el

vector v = 4i + 2 j + 3k en términos de B y B'. Determine las matrices de

coeficientes métricos [gij] y [gij] y verifique todas las relaciones (2.6-13).

Solución

i) Verificación que B es una base oblicua.

e1=i, e2= j, e3=i+ j+k

Sea e1+e2+e3=0 , entonces:

i+ j+(i+ j+k)=0

como

k

j

i

es una base,

0

00

0

y la base B es realmente una base. Como e1 e3 = 1 0, la base es

oblicua.

ii) Determinación de la base dual B'.

[e1,e2,e3]=e1e2xe3

=i jx(i+ j+k)

=i(-k+i)

=1

e1 = e2xe3 = jx(i+ j+k) = i-k

e2

= e3xe1 = (i+ j+k)x i = j-k




41

e3

= e1xe2 = ix j = k

k

k j

ki

B' -

-

9v

2v

4)324(v

33

22

11

ev

ev

ik jiev

3v

1v

1v

33

22

11

ev

ev

ev

v = 4 i+2 j+3k = e1-e2+3e3 = 4e1+2e

2+9e3

iii) Determinación de las matrices de coeficientes métricos.

g i j = e ie j [g i j] =

311

110101

g i j = e ie j [gi j

] =

111

121

112

luego:

[gij][gij] = [gij][gij] =

100

010

001

Las demás verificaciones se dejan de ejercicio al lector.

2.10 TRANSFORMACIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR

BAJO UN CAMBIO DE BASE ( CARTESIANA )

En esta sección estamos interesados en determinar cómo se transforman lascomponentes de un vector si efectuamos un cambio de base.




42

SeanB=

3

2

1

e

e

e

yB*=

*3

*2

*1

e

e

e

dos bases (cartesianas).

Luego, podemos expresar cada vector unitario de la base B* en términos delos vectores unitarios de la base B:

ei* =(e

i* e j)e j=Q i je j ,i=1,2,3 (2.10-1)

Cada producto escalar ei* e j = Qij ; i=1,2,3; j=1,2,3, representa el coseno

del ángulo entre los vectores e i

*y e j. Debido a que los vectores bases son

unitarios, a Qij lo denominamos coseno director o coseno directriz.

Así las ecuaciones pueden escribirse en notación matricial:

*3

*2

*

1

e

ee

333231

232221

131211

QQQ

QQQQQQ

3

2

1

e

ee

(2.10-2)

B*=[Q]B

La matriz [Q] se denomina matriz de cosenos directrices (directores) ó

matriz de transformación.

Obviamente las relaciones duales a (2.10-1) y (2.10-2) están dadas por:

e i=(e i e j

*

)e j

*

=Q j ie j

*

(2.10-3)

B=[Q]TB*

Cualquier vector v puede escribirse ahora:

v=v ie i=v j* e j

* (2.10-4)

Proposición

a) La matriz [Q] es ortogonal.

b) det[Q]=1

c) vi*=Qijv j , [v*]=[Q][v] (2.10-5)

vi=Q jiv* j , [v]=[Q]T[v*]




43

Demostración

a) B*=[Q]B

=[Q][Q]TB*

[Q][Q]T

=[I]

y : B =[Q]TB

*

=[Q]T[Q]B

[Q]T[Q]=[I]

luego [Q] es ortogonal y [Q]-1

=[Q]T.

b) det T[Q][Q] =det[I]=1

det[Q]det[Q]T=1

(det[Q])2=1

luego: det[Q]=1

Como ambas bases son derechas (a no ser que se diga otra cosa),

debemos tener:

det[Q]=1

c) v i* =ve

i*

=v je j e i*

=v j e i* e j

=v jQ i j

=Q i jv j

ó [v* ]=[Q][v]

v i=ve i

=v i* e

i* e

i

=v j *Q j i

=Q j iv j*

ó [v]=[Q]T[v*]




44

Ejemplo

Sean BT = [i j k] , B

*T =

k ji ji )(

2

1)(

2

1= e e e1 2 3

* * *

a) Calcule [Q] y exprese v = 2i + 3 j - k en términos de B*,

b) Verifique la ortogonalidad de [Q]

Solución

a) [Q] =

100

02

1

2

1

02

1

2

1

, det [Q] =1

2

1

21

(Ambas bases son derechas)

[v*]=

100

02

1

2

1

02

1

2

1

1

3

2

=

1

25

2

1

,

es decir: v=-1

2

5

21 2 3e e e* * *




45

b) [Q][Q]T=

100

0

2

1

2

1

02

1

2

1

100

0

2

1

2

1

02

1

2

1

=

100

010

001

de la misma forma:

[Q]T [Q] =

100

0

2

1

2

1

02

1

2

1

100

0

2

1

2

1

02

1

2

1

100

010

001




46

2.11 REFERENCIAS

1. Anton, H., "Elementary Linear Algebra", John Wiley and Sons,

5th. Ed. (1987).

2. Aris, R., "Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics",Englewood Cliffs, Prentice Hall (1962).

3. Bartle, R.G., "The Elements of Real Analysis", Wiley International Edition.

(1975).

4. Chadwick, P., "Continuum Mechanics", John Wiley & Sons (1976).

5. Halmos, P.R., "Finite-dimensional Vector Spaces",2d.Ed.Van Nostrand

(1958).

6. Hoffman K. and Kunze R., "Linear Algebra", Prentice Hall, Englewood

Cliffs (1961).

7. Leigh, D.C., "Nonlinear Continuum Mechanics", Mc Graw Hill (1968).

8. Merrit, F.S., "Métodos matemáticos modernos en Ingeniería", Editorial

Labor S.A. (1976).

9. Slattery, J.C., "Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua", Mc

Graw Hill (1972).

10. Grossman, S.I., “Algebra Lineal con Aplicaciones”. Mc Graw Hill (1992)




47

2.12 PROBLEMAS .

1) Sea V =2

= {v = (x, y) : x, y ). Definimos la adición y multiplicación

por escalares en la forma siguiente:

+:VxVV;(x,y)+(x 1,y1)=(x+x1,y+y1)

: xVV;(x,y)=(x,y)

(x,y),(x1,y1)V,

Determine si V es un espacio vectorial con estas operaciones. Fundamente

su respuesta.

2) Sea V un e.v., y sean las operaciones:

: V x VV ; u v= u - v (adición);

: x VV ; u = -u (multiplicación por escalares)

donde las operaciones del segundo miembro son las usuales. ¿Qué axiomas

para espacios vectoriales se cumplen para V con las operaciones y ?

3) Sea V = Pn el conjunto de todas las funciones f : , definidas en la

forma:

f(x)=ao+a 1x+a 2x2++a nxn,x

donde o, 1, 2, ..., n

son números reales arbitrarios pero fijos (no

dependen de x). Una función de este tipo se denomina polinomio (de grado

n) sobre . Establezca formalmente la adición de polinomios y lamultiplicación de polinomios por escalares para que Pn sea un espacio

vectorial. Demuestre que Pn es un subespacio vectorial de CRo .

4) Sea V= n, n 3. Cada v n podemos denotarlo por v(x1,x2,,xn).

¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en n son subespacios?:

a) U={v:x10}

b) U={v :x1+3x2=x3}

c) U={v :

x1=x2}d) U={v :x1x2=0}

e) U={v :x1Q}, Q es el conjunto de los números racionales.




48

5) Sea V = CR el conjunto de todas las funciones f : , con las

operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares.

¿Cuáles de los siguientes conjuntos de funciones son subespacios de CR :

a) U={f :f(x2)=[f(x)]2,x }

b) U={f : f(0)=f(1)}

c) U={f :f(3)=1+f(-5)}

d) U={f : f(-1)=0}

e) U={f : f CRo }(funciones continuas)

f) U={f : f CR1 tal que f'+2f=0,x } (funciones continuamente

diferenciables o de clase C1).

6) Sea n , n 2. Sea V el espacio vectorial de todas las matrices cuadradasde orden n. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de matrices A en el espacio

V son subespacios?:

a) U = {A : A es inversible}

b) U = {A : A es no inversible}

c) U = {A : AB = BA, para alguna B V}

d) U = {A : A2 = A}

7) Sea V = P3 , el espacio vectorial de los polinomios de grado 3. ¿Cuáles de los

siguientes conjuntos de polinomios son subespacios de P3?:

a) U={f P3:a0=0}

b) U={f P3:a 0+a 1+a 2+a3=0}

c) U={f P3:a 0,a 1,a 2,a 3Z},

Z es el conjunto de los números enteros.

d) U={f P3:a2=a3=0}

8) Considere un sistema algebraico lineal de m ecuaciones en n incógnitas:

A x = b




49

A =

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

=b ,=x,

A es una matriz de orden (m x n), x de (nx1) y b de (m x 1). Demuestre que

el conjunto de soluciones del sistema homogéneo A x = 0, U= {x n: A x =

0} es un subespacio de n, que denominamos espacio de soluciones de A x

= 0.

9) Sea V un espacio vectorial y U1 ,U2 dos subespacios de V.

a) Demuestre que U3 = U1 U2 es también subespacio;

b) Sean U1 y U2 tales que U1 U2 es también subespacio. Demuestre que

uno de los subespacios está contenido en el otro;c) Mostrando un contraejemplo, demuestre que la unión de dos subespacios

no es en general un subespacio.

10) Demuestre, usando un contraejemplo, que si U es un subespacio de un

espacio vectorial de dimensión infinita V, entonces no es cierto que

dimU = dimV U= V, implicación válida si V es de dimensión finita, como

se vio en la sección 2.3.

11) Sea S = {v1, v2 , , vr} un conjunto de r vectores en un espacio vectorial V.

a) Demuestre que el conjunto U de todas las combinaciones lineales devectores en S, U = {v V; v = 1 v1 ++ r vr ; i } es un

subespacio de V.

b) Demuestre que U es el subespacio más pequeño que contiene a S, pues

cualquier otro subespacio de V que contenga a S debe también contener

a U.

Simbolizamos a U < S> y decimos que S genera al subespacio U, o

que U es generado por S.

c) Sean v1 , v2 dos vectores no colineales en 3. Esquematice < S >, con

S = {v1 , v2}. ¿Qué sucede si v1 y v2 son colineales, es decir v2 = v1,

para algún ?.




50

12) Sea U cualquier plano que pasa por el origen en3 , es decir,

U={u 3,u=(x,y,z):x+y+ z=0;, , }. Demuestre que U es

un subespacio de 3. Demuestre el resultado equivalente para cualquier

línea en3

que pasa por el origen.

13) Sean u, v,wV, con V espacio vectorial. Demuestre que el conjunto {u-v,v-w, w-u} es l.d..

14) Sea V = C2R (ver capítulo 4).

a) Demuestre que con las operaciones usuales de adición de funciones y

multiplicación de funciones por escalares, el conjunto V de todas las

funciones de clase C2 en , constituye un espacio vectorial, el cual es un

subespacio de CR.

b) Demuestre que las funciones f, g, h CR2 son l.i. si el Wronskiano

W(f, g, h), definido por:

W (f,g,h) =

h''g''f''

h'g'f'

hgf

no es la función nula.

c) Demuestre que los conjuntos {1, x, ex} y {ex , xex , x2 ex} son l.i..

15) Sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito de vectores

{v1 , v2 , vm }, m ,

a) Demuestre que todo conjunto l.i. de vectores en V es finito y contiene a

lo más m elementos,

b) Demuestre que dos bases cualesquiera de V tienen el mismo número

(finito) de vectores.

16) Demuestre que el conjunto de polinomios S = {1,x,x 2, . . . , xn} forman

una base para Pn, es decir, S genera a Pn.

17) Determine una base para el espacio de soluciones del sistema:

2x1+2x2-x3+x5=0

-x1-x2+2x3-3x4+x5=0

x1+x2-2x3-x5=0




51

x3+x4+x5=0

Indicación: Demuestre que existen infinitas soluciones, las cuales pueden

escribirse en forma paramétrica por:

tx

0x

tx

sx

tsx

5

4

3

2

1

s,t

18) Determine bases para los siguientes subespacios de3:

a) El plano de ecuación 3x-2y+5z=0

b) El plano de ecuación x-y=0

c) La línea de ecuación paramétrica x=2t,y= -t,z=4t.

d) El conjunto de todos los vectores de la forma (x,y,z), con y=x+z.

19) Sea V=Pn , con p,q Pn. Definamos:

<p,q>= dx)x(q)x(pb

a

a,b, fijos, a<b.

Demuestre que < , > define un producto interior para Pn.

20) Sea V= 3y u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3) 3. Determine cuáles de lassiguientes funciones f :VxVR definen un producto interior en 3:

a) f(u,v)=u1v1+u3v3

b) f(u,v)=u12v1

2+u2

2v2

2+u3

2v3

2

c) f(u,v)=2u1v1+u2v2+4u3v3

d) f(u,v)=u1v1-u2v2+u3v3

21) Sea V un e.v.p.i. Demuestre que:

a) |u-v |= 2 ,si u y v son vectores unitarios ortogonales.

b) |u+v |2+|u-v |2=2|u|2+2|v |2 ,u,vV




52

c) uv=4

1|u+v |

2-

4

1|u-v |

2,u,vV

22) Sea {v1, v2, v3, ... , vr} un conjunto de vectores ortogonales de a pares en un

espacio vectorial con producto interior V, es decir:

v i v j=0 si i j

Demuestre el Teorema de Pitágoras generalizado:

|v1+v2++v r |2=|v1 |2+|v2 |2+ +|v r |

2

23) Usando vectores geométricos en el plano, demuestre que un triángulo

inscrito en un círculo, con uno de sus catetos igual al diámetro del círculo,

debe necesariamente ser un triángulo rectángulo.

24) Sea V un e.v.p.i.. Demuestre que si w V es ortogonal a cada uno de los

vectores en S = {v1, v2, , vr}, entonces es ortogonal a todo v < S >.25) Use las desigualdades de C-S-B y del triángulo para demostrar que:

a) (cos+sen)2 2 + 2, ,,

b) 1

o

221

odxxf dxxgxf

1

o

2 dxxg

2 / 11

o

22 / 11

o

2dxxf dxxgxf

+ 2 / 11

o

2dxxg

f, g Cº[0,1]

26) Sea V un e.v.p.i. y S = {e1, e2, , er} un conjunto ortonormal de vectoresen V. Si W = < S >, demuestre que todo v V puede descomponerse en la

forma:

v=w1+w2

donde w1 W y w2 es ortogonal a W, esto es:

w1= ( )v e e

i i

i

r

1

w2=v- ( )v e e i i

i

r

1

Demuestre que w1 es la mejor aproximación a v V, en el sentido que:




53

|v-w1 |< |v-w |, wW,ww1

Esquematice geométricamente este resultado en E3 cuando W es un plano

pasando por el origen, usando vectores geométricos representados por

segmentos de línea dirigidos.

27) Sea V= CRo . Considere U = {sen(x), cos(x)}, el subespacio de V generado

por las funciones f = sen(x) y g = cos(x).

a) Demuestre que , f 1(x)=sen(x+) y g1(x)=cos(x+) son

vectores en U,

b) Demuestre que f 1 y g1 forman una base para U.

28) Sea {e1, e2, . . .,en} una base cartesiana para un e.v.p.i. V. Demuestre que si

i es el ángulo entre un vector arbitrario vV y e i , i = 1,2, . . ., n,

entonces:

n

1ii

21cos

29) Sea S = {v1, v2, , vn} un conjunto ortogonal de vectores que genera un

espacio vectorial con producto interior V.

a) Demuestre que S es un conjunto l.i., luego es una base para V;

b) v= ( ) ( ) , ,v vv

vv e e e

v

vv

i

n

ii

i

i i ii

i

con V1

2

30) Sea V un e.v.p.i. y S V, S cualquier conjunto de vectores en V.

Llamamos complemento ortogonal al conjunto S de los vectores de V

ortogonales a todo vector de S. Así, por ejemplo, {0} = V.

a) Demuestre que S

es un subespacio de V,

b) Demuestre que < S > (S) , es decir, (S) contiene al subespacio

generado por S. Si V es de dimensión finita demuestre que

(S) = < S >.

c) Sea V = Cº[-1,1], con el producto interior definido por:

< f, g> = 1

1f

(t) g(t) dt , f, g C

,1 1

o




54

demuestre que el conjunto U de las funciones impares en [-1,1] es un

subespacio de V. Encuentre U , el complemento ortogonal de U.

31) Sea V un e.v.p.i. de dimensión finita, dimV = n. Sea {v1, v2, , v

n} una

base para V.

a) Sean:

e1=v

v

1

1

w2=v2-(v2e1)e1,e2=w

w

2

2

w3=v3-(v3e1)e1 -(v3e2)e2,e3=w

w

3

3

en=

w

w

n

n

Demuestre que el conjunto {e1,e2, , en} es una base cartesiana para V.

Este procedimiento, que genera una base cartesiana a partir de una base

cualquiera para un e.v.p.i. de dimensión finita, se denomina Proceso deOrtonormalización de Gram-Schmidt, y asegura que todo e.v.p.i. de

dimensión finita tiene al menos una base ortonormal.

b) Sea V =2

, i = (1,0) , j= (0,1). Demuestre que {2i- j , i+ j} es una base

para 2. Encuentre la base cartesiana asociada por el Proceso de Gram-

Schmidt.

32) Sea V un e.v.p.i. Sean a,b,c1 ,c2 V y 1 , 2 , 1 , 2 , todos fijos.

Determine los vectores u, v V que satisfacen el sistema:

1u+ 1(vb)a=c1

2(ub)a+ 2v=c2




55

33) Sea V un e.v.p.i. Sean a, b V y , todos fijos y 0. Demuestre que

el vector (único) v V que cumple la ecuación:

v+vxa=b

está dado por:

v =

2

2 2

b b a a b a

a

( ) ( )

( )

x

34) Sea S . Si S es acotado superiormente, decimos que una cota superior

de S es un supremo ( o menor cota superior) de S si es menor que cualquier

otra cota superior de S. Es decir, x es un supremo del subconjunto

propio S de si:

i) yx, yS;

ii) Si zR, tal que yz, yS xz.

Considere V= n , con las funciones || ||1 y || || : n , definidas por:

||u||1=|x1|+|x2|++|xn|

||u||=sup{|x1|,|x2|, ,|xn|}

u=(x1,x2 ,,xn)

n

a) Demuestre que las funciones || ||1 y || || son normas para n.

b) Demuestre que:

|uv | | |u| |1 | |v | |1

|uv | | |u| | ||v | | , u,v n

c) Si u, v Rn, entonces ¿Es verdad que

||u+v | |=||u| |+||v | | u=v ó v=u, ,

para cualquiera de las dos normas definidas antes?.

35) Considere el espacio de puntos Euclideano E3, con espacio de traslaciones

V. Sea BT = [e1 e2 e3] una base cartesiana de E3. Considere sobre V el

producto interior canónico.

Sean u=e1-e2+2e3, v=3e1-e2+e3

a) Encuentre u+v, u-v, |u+v|, |u-v|, |u|, |v|, uv;




56

b) Verifique las desigualdades de C-S-B y del triángulo para estos casos

particulares.

36) Sea E un espacio de puntos tridimensional, con V su espacio de traslaciones

con producto interior.

a) Demuestre que:

i) |u+v |2+|u-v |2=2|u|2+2|v |2 ,u,vV

ii) |u+v| |u-v | |u|2+|v |2,u,vV

iii) |u+v| |u-v |= |u|2+|v |

2uv=0

b) Sea E = E2 = 2. Interprete geométricamente los resultados de la parte

a). ( Indicación: Considere los paralelógramos cuyas aristas coinciden

con los vectores u, v y cuyas diagonales coinciden con los vectores u+v

y u-v).

37) Sea E=E3= 3 y sean X=(1 ,0 ,1 ), Y=(1 ,1 ,1 ) y Z=(2 ,0 ,1 ) tres puntos de

E.

a) Encuentre los siguientes vectores geométricos:

u={XY

}, v={YZ

}, w={XZ

}

b) Encuentre los vectores espaciales: u+v , w-v , w-u

c) Encuentre los puntos: X+u,X+v ,X+w ;

d) Calcule las distancias entre puntos: d ;Y,ZdyX,Z,dX,Y

e) Verifique las desigualdades de C-S-B y del triángulo usando los vectores

u y v;

38) Determine el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus aristas.

39) Sea E = 3. Sean X=(2,1,-1) e Y= (1,2,1). Encuentre un vector geométrico

perpendicular a los vectores {OX

} y {OY

}.

40) Encuentre la ecuación del plano perpendicular al vector v=4 i+2 j+kV,

V el espacio de traslaciones de E3, y que pasa por el punto P(1,2,3).

41) Sean B y B’ una base y su base recíproca, respectivamente. Demuestre que:

a) Una base tiene una única base recíproca




57

b) La base original es recíproca a su base recíproca

c) El volumen [a,b,c] del paralelepípedo formado por los vectores base de

la base original es el inverso del volumen [a’,b’,c’] del paralelepípedo

formado por los vectores base de la base recíproca.

42) Sea V el espacio Euclideano tridimensional, y BT = [i j k] la base canónica

para V. Considere:

B1 =

k ji

ji

ji

=B y

k

ji

ji

2)(2

1

)(2

1

a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (derecha), mientras B2

es una base oblicua,

b) Determine la base dual de B2 y expanda v = i+2 j+k en términos de B2 y

de su base dual B2

'

c) Encuentre la matriz de transformación asociada con las bases B y B1 y

verifique su ortogonalidad,

d) Usando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt construya

una base cartesiana a partir de B2.

43) Considere E3. Sean X = (1,1,-1), Y = (2,-1, 1) y Z = (-1,1,1).

a) Encuentre los vectores de posición de los tres puntos dados;

b) Calcule la distancia entre los puntos X e Y, X y Z, e Y y Z;

c) Calcule los ángulos del triángulo cuyos vértices están dados por X, Y, Z,

y las aristas del mismo triángulo.

44) Los vectores de posición r de los puntos ubicados sobre una recta que pasa

por el punto de vector de posición ro y orientada paralelamente al vector

unitario e están dados por la ecuación r = ro + e , . Demuestreque la ecuación de la recta perpendicular a la recta anterior y que pasa por

un punto r1 no perteneciente a la primera recta, es dada por




58

r=r1+[ex(r1-ro)]xe , .

45) Demuestre que la distancia (menor) desde un punto X a la recta que une los

puntos Y y Z está dada por:

h=(X O) (Y O) (Y O) (Z O) (Z O) (X O)

Y Z

x x x

46) Verifique que r=ro+s- t, , y donde ro , s, t V son vectores

fijos, representa un plano.

47) Determine las matrices de transformación que representan una rotación de

bases en un ángulo con respecto al eje x1, al eje x2 y al eje x3, en sentido

positivo (antihorario).

48) Sea V un e.v.p.i., a V, fijo , a 0 y , fijo. Demuestre que la

solución de la ecuación vectorial:

va=

está dada por:

v=

aa b a

2 x

siendo b un vector arbitrario. Es decir, la ecuación vectorial tiene infinitas

soluciones.

49) Sea V un e.v.p.i. y sean a, b V, fijos, a 0 . Demuestre que la soluciónde la ecuación vectorial:

vxa=b

está dada por:

v=1

2a

a b a , arbitrario.

Es decir, la ecuación vectorial tiene infinitas soluciones.

50) Sea V un e.v.p.i.. Sean a,b,c ,dV, todos fijos y a,b,d0 . Demuestre quela solución de la ecuación vectorial:

v xd-(bv)a=c




59

está dada por:

v=

cbdba

da

dc

dbx)x(

)(

)(

1

¿Qué sucede si b d = 0 ó a d = 0?

51) Sea V un e.v.p.i., y sean a,b,c ,dV, a,b,c0 y , fijo, 0.

Demuestre que la solución de la ecuación vectorial.

v + v x a + (b v) c = d , con v a = 0

está dada por:

v=

)(

)(

)(122

acc ac

ad add

axx

con c a 0 . ¿Qué sucede si a y c son ortogonales? .

52) Considere la rotación un ángulo por la regla de la mano derecha de un

vector x a un vector y, siendo e un vector unitario en la dirección del eje de

rotación.

a) Demuestre que: y-x=-(1-cos)[x-(xe)e]+sen(exx)

b) Demuestre que para ángulos de rotación pequeños:

y-x=xx, donde =e

c) De acuerdo a la parte b), ¿Cuál es el resultado de dos rotacionessucesivas pequeñas?, ¿Qué implica esto acerca de la posibilidad de

especificar rotaciones pequeñas usando un vector?

d) ¿Cuán pequeño debe ser para que la fórmula de la parte b) tenga por

lo menos 10% de exactitud?.

53) Explique por qué la definición geométrica usual para el módulo del producto

vectorial entre dos vectores u y v (2.9-10) da como resultado un vector

(|uxv |=|u| |v |sen). Explique por qué la definición no dará un vector si la

magnitud |u x v| se substituye por |u| |v| cos ó |u| |v| sen 2. Refuerze su

discusión con cálculos detallados.




60

54) Demuestre que el volumen de un tetraedro (no necesariamente regular) cuyas

aristas coterminales coinciden con los vetores u, v, w es igual a wvu 6

1.

Demuestre que las áreas vectoriales de las cuatro caras están dadas por:

)(21

1 wvS , ..... , )()(21

4 vwvuS

Demuestre, finalmente, que S1 + S2 + S3 + S4 = 0.

55) Demuestre que nvu es el área del paralelogramo cuyos lados

coterminales coinciden con los vectores u y v y está proyectado sobre un

plano perpendicular a n.

56) Dados los vectores fijos a, b y c, encuentre el vector v que satisface:

0, av bcbv

tal que 0 ba . ¿Es la solución encontrada única?

57) Un espacio vectorial n-dimensional V es generado por el conjunto de vectores

base {k1, k2, ..., kn} (ver problema 11). En el espacio de puntos Euclideano

correspondiente En

se define el sistema de coordenadas {y1, y

2, ..., y

n}, de tal

manera que el vector r que une el origen con el punto de coordenadas (y1, y2,

..., yn) queda expresado por r = yiki. Dado un nuevo sistema de coordenadas

{x1, x

2, ..., x

n}, tal que existe una única transformación invertible:

xi = xi (y1, y2, ..., yn) , i=1, n

demuestre que los n vectores:

iix

ve

constituyen también una base para V.

58) Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones vectoriales,

usando solo operaciones vectoriales simbólicas, donde x (x e y) es(son)

el(los) vector(es) incógnita(s):

a) 0 xbxx ,

b) 0 yyxx




61

c) dyx , yx

d) dyx , cyx

donde , , son escalares (reales) fijos y b, c, d son vectores fijos.

59) Usando vectores, demuestre que:

wcvcuc

wbvbub

wavaua

wvucba det,,,,


para V. Considere:

B1 =

k ji

ji

ji

=B y

k-

ji

ji

2)3(2

1

)3(

2

1

a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (señale si es derecha o

izquierda), mientras B2 es una base oblicua,

b) Determine la base dual de B1 y de B2 y expanda v = i+ j+2 k en términos

de B2

y de su base dual

61) Sea V el espacio Euclideano tridimensional e [i j k]T la base canónica para

V. Considere:

B =

ki

k j

ji

a) Demuestre que B es una base oblicua para V,

b) Determine la base dual de B y expanda el vector v = 3i+2 j+k en

términos de B y de su base dual

c) Determine las matrices métricas [gij] y [gij]

62) Sea V el espacio Euclideano tridimensional. Considere:




62

B =

*3

*2

*1

3

2

1

y

e

e

e

=B

e

e

e*

dos bases (cartesianas), donde la base B* se obtuvo a partir de la base B,

mediante un giro de ésta de 30º, en sentido antihorario y con respecto al eje

x3.

a) Calcule la matriz de transformación [Q] y verifique por cálculo directo

su ortogonalidad,

b) Exprese v = 3e1+5e2+6e3 en términos de B*


para V. Considere:

B1 =

ki

k j

ji

=B y

k ji

k ji

ji

2

)(3

1

)2(6

1

)(2

1

a) Demuestre que B1 es una base cartesiana para V (señale si es derecha o

izquierda), mientras B2 es una base oblicua,

b) Determine la base dual de B2 y expanda v = i+2 j+k en términos de B2 y

de su base dual

c) Encuentre la matriz de transformación asociadas con las bases B y B1 y

verifique su ortogonalidad

d) Usando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt construya

una base cartesiana a partir de B2.

64) Sea V el espacio Euclideano tridimensional y BT

= [i j k] la base canónica

para V. Sean:

u = 4i - 2 j + 3k, v = 2i + 7 j + k y w = 5i - 2 j + 7k,

tres vectores. Calcule los valores de las siguientes operaciones:




63

a) u v, u w y v w,

b) u v, u w, v w, v u, w u y w v,

c) (u v) w y u (v w)

d) [u , v , w ], [u , w , v ], [w , v , u ], [w , u , v ] y [v , w , u ]

e) el volumen del paralelepípedo formado por u, v y w

f) el área de los paralelogramos generados por u y v, v y w, u y w

g) (u v) (u w)

65) Sea V= 4, el conjunto S1=(1,2,3,6), (4,-1,3,6), (5,1,6,12) y el conjunto

S2=(1,-1,1,1), (2,-1,4,5). Encuentre una base para la intersección de los

subespacios generados por los dos conjuntos dados.

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(02) capitulo_2_(espacios_vectoriales)