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Revisão de conceitos da EstáticaTensões normais e de corteEstado de tensão uniaxialNoção de tensão admissivel

Tradução e adaptação: Victor Franco Correia versão: 1/2013

Referências: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill

Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education.

Mecânica dos Materiais

Revisão de conceitos da Estática


Força normal máxima

Tensão normal


m = 80 Kg


Forças normais nos tirantes

Tensão normal média


Revisão – apoios/ligações e respectivas reacções



Forças de corte nos pinos


• Considere-se a estruturarepresentada, que terá sidoprojectada para suportar umacarga de 30 kN

• Vamos efectuar uma análise estática para determinar as forças internas emcada um dos elementos estruturais e as forças de reacção nos apoios

Diagrama de Corpo Livre da estrutura

• A estrutura é retirada dos seus apoios e as correspondentes forças de reacção têm de ser consideradas

• Ay e Cy não podem ser determinadas a

partir destas equações (estrutura

estaticamente indeterminada)

( ) ( )( )

kN30

0kN300

kN40

0

kN40

m8.0kN30m6.00

=+

=−+==

−=−=

+==

=

−==

∑

∑

∑

yy

yyy

xx

xxx

x

xC

CA

CAF

AC

CAF

A

AM

• Condições para o equilibrio estático:

Diagramas de Corpo Livre dos componentes

• Adicionalmente, cada componente da estrutura deve satisfazer as condições paraequilibrio estático

• Resultando:↑=←=→= kN30kN40kN40 yx CCA

( )

0

m8.00

=

−==∑

y

yB

A

AM

• Considere-se o diagrama de corpo-livre da viga horizontal:

kN30=yC

substituindo na equação de equilibrio da estrutura, temos:

• A viga horizontal e o tirante inclinado estãosujeitos a esforços axiais de tracção/compressão

kN50kN40

3

kN30

54

0

==

==

=∑

BCAB

BCAB

B

FF

FF

Fr

• Os nós, ou pontos de ligação, têm de satisfazeras condições de equilibrio estático, que podemser expressos sob a forma de um triângulo de forças:

• Para equilibrio, as forças axiais têmnecessariamente de ter a mesma linha de acção, a mesma intensidade e direcções opostas

Introdução à Análise de Tensões

para esse material e, assim, poder-se-á concluir que a barra BC é adequada parasuportar em segurança a carga aplicada

admσ

• Se a barra BC for construída em aço estatensão poderá ser inferior a uma determinadatensão admissível

Será que a estrutura pode suportar emsegurança a carga de 30 kN ?

MPa159m10314

N105026-

3=

×

×==

A

PBCσ

• Em qualquer secção da barra BC, a forçainterna é 50 kN e tem-se uma tensão normal

média:dBC = 20 mm

• Da análise estática temos:

FAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tracção)

Cont.

• O projecto de novas estruturas requer a selecção dos materiais apropriados e o cálculo das dimensões adequadas para os

componentes

• Imagine-se que por compromisso entre preço, peso, disponibilidade de materiais, etc. se decide construir a estrutura numa liga de alumínio para a qual: σadm= 100 MPa.

• Qual seria a o diâmetro adequado da barra?

( )mm2.25m1052.2

m1050044

4

m10500Pa10100

N1050

226

2

266

3

=×=π

×=

π=

π=

×=×

×=

σ==σ

−−

−

Ad

dA

FA

A

F

adm

adm

• Neste caso, um diâmetro de 26 mm seriaadequado.

• A tensão normal num ponto específico, pode nãoser igual à tensão média, mas a resultante da distribuíção de tensões tem de satisfazer:

∫∫ σ==σ=A

med dAdFAP

Esforços Axiais: Tensões Normais

• A resultante das forças internas para um elementosujeito a força axial é normal à secção transversal

A

P

A

Fmed

A=σ

∆

∆=σ

→∆ 0lim

• A tensão normal nessa secção é definida como:

• A exacta distribuíção de tensões na secção, é estaticamente indeterminada, i.e., não pode ser obtida unicamente através das equações de equilibrio estático.

• Se uma barra for sujeita a um carregamentodescentrado, então a resultante da distribuíçãode tensões na secção transversal resulta numaforça axial e num momento.

Carregamentos centrados e descentrados

• A distribuíção de tensões em componentescom carregamento descentrado não pode ser uniforme nem simétrica

• Uma distribuição uniforme de tensões numasecção transversal pressupõe que a linha de acção da resultante das forças internas passapelo centróide da secção

• Uma distribuição uniforme de tensões só é possível se as cargas concentradas nasextremidades das barras forem aplicadas noscentróides da secção transversal – o que se designa por carregamento centrado

Tensões de Corte

• As forças P e P’ estão aplicadastransversalmente ao componente AB.

A

P=τmed

• A correspondente Tensão de Corte média é:

• As correspondentes forças internas actuam no plano da secção C - forças de corte.

• A distribuíção das tensões de corte ao longo da secção variam de zero nas superfícies exterioresaté valores máximos, que podem exceder a Tensão de Corte média

• A distribuíção das tensões de corte na secção não se pode assumir uniforme

Exemplos de solicitações por tensões de corte

A

F

A

P==τmed

Corte simples

A

F

A

P

2med ==τ

Corte duplo

Exemplos - tensões de corte

Pressão específica em ligações

• No caso de ligaçõesaparafusadas, rebitadas e através de pinos surgemtensões nas superfícies de contacto

dt

P

A

P==bσ

• A correspondente pressãoespecífica ou tensão de contacto é:

• A resultante da distribuíção de pressões na superfície é igual e oposta à força exercida no pino

• Pretende-se calcular as tensões no tirante e na vigahorizontal que compõem a estrutura

Análise de tensões - exemplo

• É necessário considerar a tensão normal máxima emAB e BC, e a tensão de corte a pressão específicade contacto em cada ligaçãocom pinos

• Da análise estática:FAB = 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tracção)

VISTA SUPERIOR DO TIRANTE BCVISTA SUPERIOR DO TIRANTE BC

VISTA SUPERIOR DA VIGA ABVISTA SUPERIOR DA VIGA AB

Tensões normais no tirante BC e na viga AB

• O tirante está sujeito a tracção axial (50 kN)

• A viga horizontal está em compressão axial (40 kN) e a tensão média é:

( )( )

MPa167m10300

1050

m10300mm25mm40mm20

26

3

,

26

=×

×==σ

×=−=

−

−

N

A

P

A

extremBC

• Nas extremidades planas do tirante, a menor área da secção transversal ocorre no linha de eixo do pino,

• No centróide da secção circular (A = 314x10-6m2), a tensão normal média é: σBC = +159 MPa

• Obviamente, não estamos aqui a considerar quaisquerefeitos de concentração de tensões, que serãoabordados mais adiante.

MPamm

NAB 7.26

5030

400002

−=×

−=σ

Tensões de corte nos pinos

• Área da secção transversal dos pinos emA, B, e C :

262

2 m104912

mm25 −×=

== ππ rA

MPa102m10491

N105026

3

, =×

×==τ

−A

PmedC

• A força exercida no pino em C é igual à força no tirante BC,

• O pino em A está sujeito a corte duplocom uma força igual à força em AB,

MPa7.40m10491

kN2026, =

×==τ

−A

PmedA

• Pino B: secção mais solicitada em corte

(máximo)kN 25

kN15

=

=

G

E

P

P

MPa9.50m10491

kN2526, =

×==τ

−A

PGmedB

• Correspondente tensão de corte média nasecção mais solicitada:

Tensões de corte nos pinos – cont.

50 kN

30 kN

= 25 kN

pormenor da secção G do pino B

= 25 kN

= 50 kN

Pressões específicas de contacto nos pinos

• Para calcular as pressões específicas de contacto no pino A, na viga AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,

( )( )MPa3.53

mm25mm30

kN40===

td

Pbσ

• Para calcular as pressões específicas de contacto no pino A, no suporte, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,

( )( )MPa0.32

mm25mm50

kN40===

td

Pbσ

Exemplo

Calcular:Tensões normais nos tirantesTensão de corte no pinoPressões específicas de contacto nos componentes da ligação.

Estados de tensão uniaxiais

Tracção/Compressão

Corte

Factor ou coeficiente de segurança

admissível Tensão

deelasticida de LimiteTensão

segurança deFactor

adm

e0,2 =σ

σ=

=

s

s

n

n

Os componentes de máquinas e estruturas são projectados porforma que as tensões de serviço

sejam sempre inferiores à tensão

limite de elasticidade do material, afectada de um determinadofactor ou coeficiente de

segurança, ie inferiores a umadeterminada tensão admissível:

O coeficiente de segurança

pretende ter em consideração os

seguintes factores, entre outros:

• Incerteza nas propriedades dos materiais

• Incerteza nas forças aplicadas• Incerteza da análise de tensões• Numero de ciclos de carga• Tipos de ruptura (dúctil, frágil)• Requisitos de manutenção e efeitos de

deterioração de propriedades• Importancia da integridade da estrutura

ou componente• Riscos de vida humana• Influencia na função da máquina• etc.adm

adm

τ≤τ

σ≤σ

max

max

σr

σe 0.2

r

e

σ

σ2.0

Propriedades mecânicas obtidas através do ensaio de tracção uniaxial

Normalização de propriedades materiais

ExercícioConsidere-se o sistema representado na figura:

a) Sabendo que o tirante AB é fabricado em aço com uma tensão limite de elasticidade de 600 MPa, calcular o diâmetro do mesmo por forma que o coeficiente de segurança em relação ao limite elástico seja igual a 2.

b) Calcular a tensão de corte média no pino C, fabricado no mesmo aço, se o diâmetro do pino for de 20 mm. Qual o factor de segurança em relação ao limite elástico, utilizando a relação seguinte:

c) Calcular a espessura mínima t dos suportes em C, sabendo que a pressão específica admissível para o aço utilizado é de 300 MPa.

admadmadm σ⋅=σ⋅=τ 5774.03

3

Notas – equações da estática para cálculo de

esforços internos

Exemplo - cont.

Equilíbrio global:

Exemplo - cont.

Equilíbrio parcial de um troço AC para determinação de esforços internos:

Exemplo

500 Kg

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