1 RАVANSKE REŠETKE

Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova među-sobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene koncentrisanim silama koje leže u ravni rešetke i dejstvuju u njenim čvorovima.

Osnovni element svake ravanske rešetkaste kontrukcije je trougao. Između broja čvorova n i broja štapova s statički određene ravanske rešetke postoji veza s=2n-3. Ukoliko je s>2n-3 postoji unutrašnja statička neodređenost rešetke, a ako je s<2n-3 radi se o mehanizmu

Rešetka može biti vezana za podlogu pokretnim zglobom, nepokretnim zglo-bom, užetom ili lakim štapom. Laki štap koji povezuje rešetku sa osloncima nije sastavni deo ravanske rešetke, već njena spoljašnja veza.

Proračun rešetke se svodi na određivanje reakcija spoljašnjih veza i sila u šta-povima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki sile u lakim štapovima se poklapaju s pravcima lakih štapova, te oni mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak.

1.1 Algoritam rešavanja zadataka Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sledećih koraka:1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće reakcije veza (otpore

oslonaca).2. Za rešetku kao celinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti reakcije veza.

Naime, kako na rešetku dejstvuje ravanski sistem sila njena ravnoteža će biti ostva-rena ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku A jednaki nuli:

�F Mg g= =0 0, .A

(1.1)

Prvi, vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na dve skalarne jednačine, a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u sledeći sistem jednačina ravnoteže1:

1 0 3 01 1

. ,0 . ,0∑ ∑0 2,0 . ∑=1

+

i

n

i

n

yi0 2,00 2�

(1.2)

1 U daljem tekstu će se tokom rešavanja primera izostavljati oznaka za promenu indeksa i=1,..., n sume projekcija svih sila, ali će se podrazumevati da se ta suma odnosi na sve sile koje dejstvuju na uočeni sistem. Indeks sumiranja će

i u momentnim jednačinama, pri rešavanju primera, biti izostavljan. Na taj način, oznaka M A

�+

∑ će podrazumevati

∑ ∑= =

+j

k

ji

nFi

1 1

M M A

�

(sumu spegova i momenata sila za izabranu tačku) za naznačen pozitivan smer momenta.

RAVANSKE REŠETKE8

koji podrazumeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli, i da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula.

Osim jednačina ravnoteže (1.2), mogu se pisati i alternativni oblici jednačina ravnoteže ([1], str. 52). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jednačine za tačke A, B i C:

1 0 3 0. ,0 . ,0∑ ∑0 2, ∑+ +� �+ �

0 20 22,0 .0 2,00 2 (1.3)

pri čemu su A, B i C nekolinearne tačke.

3. Nakon određivanja otpora oslonaca, vrši se izračunavanje sila u šta-povima, što se može izvršiti na dva načina: metodom izdvajanja čvorova i metodom izdvajanja dela rešetke (metod preseka, Riterov metod).

Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja čvorova, polazi se od čvora u kome se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lakim štapovima, kao unutrašnje sile, pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga, sile reakcije veze istog lakog štapa koje dejstvuju na različite čvorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljan sistem sila u ravni:

1 0 2 01 1

. , . .∑ ∑= =

= =i

n

xii

n

yiF F (1.4)

određuju se sile u štapovima. Sukcesivno, prelazi se sa čvora na čvor, ima-jući u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u čvoru bude najviše dva. Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom štapu ukazuje da je taj štap pritisnut, dok predznak plus ukazuje da je štap zategnut.

Pri primeni metoda izdvajanja dela rešetke vrši se zamišljeno prese-canje rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile, tako da broj presečenih štapova ne bude veći od tri. Zatim se zamenjuje uticaj presečenih štapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Pošto je rešetka na ovaj na-čin podeljena na dva dela, a svaki od njih mora biti u ravnoteži, bira se deo rešetke za koji će se pisati jednačine ravnoteže. Preporučljivo je posmatrati onaj deo rešetke na koji dejstvuje manje sila. Takođe, preporučuje se pisa-nje tri momentne jednačine za tri nekolinearne tačke (1.3), iako je moguće pisati i druge oblike jednačina ravnoteže, na pr. (1.2).

Slika 1.1

Ravanske rešetke 9

Primer 1.1 Za rešetku2 prikazanu na Slici 1.1, opterećenu silama intenziteta 2kN, odrediti reakcije u osloncima i sile u štapovima metodom izdvajanja čvorova. Sile u štapovima presečenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda.

Rešenje: Pre oslobađanja od spoljašnjih veza, numerisaće se štapovi i čvorovi. Ukupan broj štapova u ovoj rešetki je 13, a čvorova osam. Štapovi su numerisa-ni arapskim, a čvorovi rimskim brojevima (Slika 1.2). Na osnovu jednakosti broja štapova i vrednosti koju daje relacija s=2·8-3=13, zaključuje se da ova rešetka pose-duje osobinu unutrašnje statičke određenosti. Ova rešetka je u tački A oslonjena na nepokretni, a u tački B na pokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama � �X YA A i u tački A i silom

�YB u tački B.

Jednačine ravnoteže rešetke su:

1 0 0

2 0 0

3 0 2

4

1 2 3

1

. : ,

. : ,

. :

∑∑∑

= − =

= − − − + =

= − −+

F X F

F Y F F F Y

M F

xi

yi

A

A B

A

�

44 6 4 8 02 3 4F F F Y− + + =B ,

pa su vrednosti reakcija oslonaca:

X kN kN kNA A B = = =2 4 2, , .Y Y

Sile u štapovima će se najpre odrediti metodom izdvajanja čvorova. Ova meto-da, kao što je već rečeno, podrazumeva analizu ravnoteže svakog čvora pojedinačno. Polazi se od čvora u kom se sučeljavaju najviše dva štapa. U ovom slučaju krenuće se

2 U primerima u kojima nije naznačena jedinica za dužinu, smatra se da je dužina izražena u metrima.

Slika 1.2

RAVANSKE REŠETKE10

od čvora A (numerisanog rimskim I). U ovom čvoru dejstvuju komponente reakcije nepokretnog zgloba

� �X YA A i i sile u štapovima 1 i 2 nepoznatih intenziteta i smerova,

u pravcu štapova. Pogodno je pretpostaviti da su štapovi opterećeni na zatezanje, a priori. To znači da pri analizi ravnoteže čvora smer sila u štapovima ide od posma-tranog čvora ka štapu. Na sledećim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na čvorove, a pored slike su ispisane jednačine ravnoteže 3:

Čvor I:

4 0 0

5 0 0

1 22

2

22

2

. : ,

. : .

F X S S

F Y Sxi

yi

∑∑

= + + =

= + =A

A

Rešavanjem ovih jednačina dobija se da su sile u štapovima S kN S kN1 22 4 2= = −, , odakle se zaključuje da je štap 1 zategnut, jer je dobijena vrednost za silu u štapu 1 pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u štapu 2 negativan, sledi da je štap 2 opterećen na pritisak.

Sada se prelazi na čvor II, u kome su vezani štapovi 1, 3 i 4. Nepoznate u jedna-činama ravnoteže za ovaj čvor biće sile u štapovima 3 i 4, dok je zbog principa akcije i reakcije sila u štapu 1 poznatog intenziteta4.

3Kako u ovom primeru svi kosi štapovi rešetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od 45°, vrednosti tih uglova neće biti posebno naznačeni na slikama. 4 Pri rešаvаnju primerа vektori svih sila će se postavljаti jedan u odnosu na drugi po principu akcije i reakcije, tе obeležavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim ’ (na pr.

� �S S1 i 1

’ ), pri čemu će se u jednačinama uvek koristiti jednakost intenziteta tih sila označeno bez prima (S S1 = 1

’ ).

B

AR

2 2 2

R

2

F1 F2

F3

F4

YA

XA

YBy

xI II

III

IV

VVI

VII

VIII

1

23

4

5

6

7 8

9

10

11

13

12

2

2

A

YA

XAI S1

S2

Ravanske rešetke 11

Čvor II:

6 0 0

7 0 0

1 4

3

. : ,

. : .

F S S

F Sxi

yi

∑∑

= − + =

= =

Odavde sledi da je štap 3 neopterećen, a sila u štapu 4 je S kN4 2= , što znači da je ovaj štap zategnut.

Čvor III:

8 0 0

9 0 0

22

2 52

2 6

22

2 52

2 3 1

. : ,

. : .

F S S S

F S S S Fxi

yi

∑∑

= − + + =

= − − − − =

Na osnovu napisanih jednačina je S kN S kN6 56 2 2= − =, .

Analogno ovoj proceduri izvršiće se analiza ravnoteže preostalih čvorova.

Čvor IV:

10 0 0

11 0 0

4 52

2 82

2

52

2 7 82

2

. : ,

. : .

F S S S

F S S Sxi

yi

∑∑

= − − + =

= + + =

Dakle, intenzitet sile u štapu 8 je S kN S kN8 74 2 6= = −, .dok je

Čvor V:

12 0 0

13 0 0

102

2 9 6

2 7 102

2

. : ,

. : .

F S S S

F F S Sxi

yi

∑∑

= + − =

= − − + =

Intenziteti sila u štapu 9 i 10 su S kN S kN9 102 4 2= − = −, .

Čvor VII:

14 0 0

15 0 0

102

2 132

2 4

102

2 132

2 11

. : ,

. : .

F S S F

F S S Sxi

yi

∑∑

= − + − =

= − − − =

IIS1

S3

S4,

F1

IIIS5

S3

S2

S6,

,

IVS4

S5S8

,

, S7

F2

VS7

S9

S10

S6,

,

F4VII

S10

S11

S13

,

Slika 1.3

RAVANSKE REŠETKE12

Rešenja ove dve jednačine su S kN S kN13 112 2 6= − =, .Određivanje sile u štapu 12 moguće je izvršiti samo pisanjem jednačine ravnote-

že po horizontalnom pravcu bilo za čvor VI ili VIII. Ovde će to biti urađeno analizom ravnoteže čvora VIII.

Čvor VIII:

16 0 0132

2 12. : ,F S Sxi∑ = − − =

te je S kN12 2= .

Brojne vrednosti sila u štapovima, kao i odgovarajući karakter opterećenja dati su u sledećim tablicama:

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7

sila (+) [ ] S i kN 2 0 2 2 2

sila (-)[ ] S i kN 4 2 6 6

Broj štapa i 8 9 10 11 12 13

sila (+) [ ] S i kN 4 2 6 2

sila (-)[ ] S i kN 2 4 2 2 2

Na Slici 1.3 prikazano je opterećenje rešetke, gde su sa crvenom bojom obojeni štapovi opterećeni na pritisak, crnom oni koji su zategnuti (obično se zategnuti šta-povi boje plavo, što ovde zbog tehničkih razloga nije moguće). Neopterećen štap je nacrtan isprekidanomlinijom. Ovakvo pred-stavljanje rešetke dajekompletnu sliku opte-rećenja njenih štapo-va usled dejstva aktiv-nih sila.

BYB

VIII

S13S12

,,

B

AI

II

III

IV

VVI

VII

VIII

1

23

4

5

6

7 8

9

10

11

13

12F1 F2

F3

F4

Slika 1.4

Slika 1.5

Ravanske rešetke 13

Da bi se odredile vrednosti sila u štapovima 4, 5 i 6 Riterovom metodom, vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile (Slika

1.4). Zatim se posmatra ravnoteža jed-nog od delova rešetke. Pogodno je ana-lizirati onaj deo rešetke koji je opterećen manjim brojem sila. U ovom primeru posmatraće se levi deo rešetke. Uticaj desnog dela rešetke ulazi preko preseče-nih štapova, tj. preko sila u presečenim štapovima za koje je pogodno pretpos-taviti da su zategnuti. Na taj način levi deo rešetke se tretira kao ploča na koju dejstvuju komponente reakcije oslonca A, sila

�F1 i sile

� � �S S S4 5 6, i .

Dalja analiza podrazumeva pisanje jednačina ravnoteže za ravanski sistem proi-zvoljnih sila, za koji se, kao što je poznato, mogu napisati tri jednačine ravnoteže. Nepoznate vrednosti sila odrediće se pisanjem tri momentne jednačine kao alterna-tivnog oblika jednačina ravnoteže. Momentne jednačine glase:

17 0 2 4 2 0

18 0 2 2 2 0

19

1 6

4

. : ,

. : ,

.

∑∑∑

+

+

= − − =

= − + =

�

�

�

M F Y S

M X Y S

IV A

III A A

++

= − − − =M F S SI 0 2 2 2 2 01 6 5: ,

a njihovim rešavanjem sledi S kN S kN S kN6 4 56 2 2 2= − = =, , , čime se potvrđuju rešenja dobijena analitički.

Primer 1.2 Rešetkasti krovni nosač opterećen je vertikalnim silama kako je prikazano na Slici 1.5. Odrediti otpore oslona-ca i sile u svim štapovima. Rešetka je u tački A oslo-njena na nepokretni oslo-nac, a u tački B je horizon-talnom zategom vezana za podlogu. Intenziteti sila su F F kN1 4 10= = , F F kN2 3 20= = .

A

2 2

F1

YA

XAI II

III

IV

S6

S5

S4

2

B

A

4 4 4

2

2

2

F3

F1

F2

F4

Slika 1.6

RAVANSKE REŠETKE14

Rešenje: Na Slici 1.6 prikazana je rešetka sa numerisanim štapovima i čvorovi-ma, kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege

�S je u pravcu zatege i usmerena je

ka njenoj unutrašnjosti. Određivanje reakcija oslonaca izvršiće se pisanjem uslova ravnoteže za celu rešetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose, a momentna jed-načina pisaće se za tačku A.

Jednačine ravnoteže za ovu rešetku glase:

1 0 0

2 0 0

3 0 6 4

1 2 3 4

2

. : ,

. : ,

. :

∑∑∑

= − =

= − − − − =

= −+

F X S

F Y F F F F

M S F

xi

yi

A

A

A

�

−− − =8 12 03 4F F ,

odakle se dobija da su otpori oslonaca X Y S kNA A= = = 60 .

Sile u štapovima biće određene metodom izdvajanja čvorova. U daljem teks-tu prikazani su pojedinačni čvorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog čvora napisane su jednačine ravnoteže. Najpre je analiziran čvor I, budući da se u njemu sučeljavaju dva štapa, pa će broj mogućih jednačina za sučeljan ravanski sistem sila biti dovo-ljan da se odrede dve nepoznate sile u šta-povima 1 i 2.

Čvor I:

4 0 0

5 0 0

1

2

. : ,

. : .

F X S

F Y Sxi

yi

∑∑

= + =

= + =A

A

Iz ovih jednačina sledi da je S kN S kN1 260 60= − = −i , odakle se zaključuje da su oba štapa pritisnuta.

B

A

4 4 4

F1

2

2

2

YA

2

XA

S

I

II

III

IV

V

VI

VIIx

y

1

3

4

5

6

7

8

91011

F2

F3

F4

A

YA

XA IS2

S1

Ravanske rešetke 15

Prelazi se na čvor II, sada sa poznatom silom u štapu 2. Njen smer se, pri analizi čvora II nanosi od ovog čvora ka štapu, kao da je štap zategnut, ali se u jednačine ravnoteže unosi sa negativnim predznakom.

Čvor II:

6 0 0

7 0

3 4

1 2 3 4

. : sin cos ,

. : cos sin

F S S S

F F S S Sxi

yi

∑∑

= − + + =

= − − − − =

β α

β α 00.

Na osnovu geometrije rešetke vrednosti uglova α i β su: sin , cosα α= =5

5

2 5

5

sin β β= =2 13

13

3 1

13 i cos Intenziteti sila u štapovima 3 i 4 iznose S kN3 10 13= i S kN4 20 5= . Zatim se vrši analiza ravnoteže čvora III.

Čvor III:

8 0 0

9 0 0

1 3 6

3 5

. : sin

. : cos ,

F S S S

F S Sxi

yi

∑∑

= − − + =

= + =

β

β

odakle se dobija da je S kN S kN5 630 40= − = − i . Znači, ova dva štapa su pritisnuta.Sada će se preći na čvor VII.

Čvor VII:

10 0 0

11 0 0

10 11

11 4

. : cos ,

. : sin ,

F S S

F S Fxi

yi

∑∑

= − − =

= − =

α

α

Rešavanje ovog sistema daje: S kN S10 1120 10 5= − = i .

Sledeći će se analizirati čvor VI.

Čvor VI:

12 0 0

13 0

8 11

9 8 11

. : cos cos ,

. : sin sin

F S S

F S S S Fxi

yi

∑∑

= − + =

= − + − −

α α

α α 33 0= .

Iz ovog sistema jednačina dobijaju se intenziteti sila u štapovima 8 i 9 i oni su: S kN S kN8 910 5 20= = − i .

Slika 1.7 Slika 1.8

RAVANSKE REŠETKE16

Konačno, piše se jedna jednačina ravnoteže čvora V.

Čvor V:

14 0 45 06 7 10. : cos ,∑ = − − + =F S S Sxi

o

odakle se dobija da je sila u štapu 7 intenziteta S kN7 20 2= .

Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima dat je u sledećoj tabeli.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

sila (+) [ ] S i kN 10 13 20 5 20 2 10 5 10 5

sila (-)[ ] S i kN 60 60 30 40 20 20

Opterećenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7.

Primer 1.3 Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslona-ca, a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima presečenim sa R-R. Usvojiti da su intenziteti F F F F kN F F kN1 2 3 6 4 5= = = = = =1 10, .

F

F

F

6

5

4

Slika 1.9 Slika 1.10

Ravanske rešetke 17

Rešenje: Kod ove rešetke potrebno je uočiti štap koji je vezan za oslonac A. U uvodu ove sekcije je rečeno da će se ovakav štap koji povezuje rešetku sa osloncima tretirati kao njena spoljašnja veza, a ne kao sastavni deo rešetke. Na taj način poznat je pravac reakcije nepokretnog zgloba A, tj. reakcija leži na pravcu ovog štapa. Na Slici 1.9 prikazana je ova rešetka sa ucrtanim reakcijama veza, kao i sa numerisanim čvorovima i štapovima.

Otpori oslonaca će se odrediti na osnovu dve momentne jednačine i na osnovu sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jednačine pisaće se za tačke osla-njanja rešetke za podlogu, tj. za tačke A i B i one glase:

1 0 4 2 4 6 8 2 5 1 5 0

2 0

1 2 3 6 4 5. : , , ,

. :

∑∑

+

+

= − − − − − − =

= −

�

�

M Y F F F F F F

M h R

A B

B A AA − − − − + + =2 4 6 8 1 5 2 5 01 2 3 6 4 5F F F F F F, , ,

gde je hA krak sile �RA

za tačku B. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan α = 4 ,odnosno hA AB= =sin .α 16 17

17 Na osnovu jednačina ravnoteže dobija se da su Y kN R kNB A i = =15 5 17

4. Ostaje da se odredi i komponenta reakcije oslonca B u

horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi:

3 0 01 2 3 6. : cos ,∑ = + + + + − =F R F F F F Xxi A Bα

odakle je X kNB = 214 . pri čemu je (Slika 1.9)

F4

α0,5 0,51

2

2

α

β

Slika 1.11

RAVANSKE REŠETKE18

Riterovom metodom treba odrediti sile u štapovima 8, 9 i 10. Zamišljenim pre-sekom po ovim štapovima rešetka će se podeliti na dva dela (Slika 1.10). Posmatraće se ravnoteža gornjeg dela rešetke. Uticaj donjeg dela je izražen silama u presečenim štapovima za koje je pretpostavljeno da su opterećeni na zatezanje.

Momentne jednačine pisaće se za čvorove V, VI i VII i one glase:

4 0 0 5 1 5 4 2 0

5 0 2 1

4 5 6 3 8 8

6 4

. : , , ,

. :

∑∑

+

+

= + − − + =

= − − −

�

�

M F F F F h S

M F F h

V

VI 110 10

5 6 8 8 9 9

0

6 0 1 2 0

S

M F F H S h S

=

= − + + =∑+

,

. : ,�

VII

pri čemu su: h8- krak sile �S8 za čvor V h m h8

8

17 92= = , -sinα( ) krak sile �S9 za čvor

VII = =h m9451sin ,β( ) H8 - krak sile

�S8

za čvor VII, h10 - krak sile �S10

za čvor VI ( h H10 8= =

m4

171 =sin α ). Rešavanjem prethodnih jednačina ravnoteže, sledi da sile u štapovima iznose: S kN8

7 174= − , S kN S kN9

54 10 3 17= i =− − . Zaključuje se da su sva tri štapa opte-

rećena na pritisak.

Primer 1.4 Za rešetkasti nosač pri-kazan na Slici 1.11 odrediti otpore oslo-naca, a zatim Ritero-vom metodom odre-diti sile u štapovi-ma. Usvojiti da je F F F kN1 2 3= = =10 .

Rešenje: Nakon uvođenja odgovarajućih otpora oslonaca, pri čemu je laki hori-zontalan štap koji spaja zglob B sa rešetkom tretiran kao spoljašnja veza, a njegova reakcija obeležena sa

�X B (Slika 1.12), jednačine ravnoteže su:

1 0 2 2 4 6 0

2 0 0

3 0

1 2 3. : ,

. : ,

. :

∑∑∑

+

= − − − =

= − + =

= −

�

M X F F F

F X X

F Yxi

yi

I B

A B

A FF F F1 2 3 0− − = .

Slika 1.12

Ravanske rešetke 19

Rešavanjem ovog sistema se dobija X X kN Y kNB A A= =60 , =30 . S obzirom da sve sile u štapovima, numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.12, treba da se odrede pri-menom Riterovog metoda, postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja rešetke na dva dela, te uvo-đenja reakcija u pre-sečenim štapovima, na posmatrani deo rešetke ne dejstvuje više od tri nepozna-te sile. Prvi presek R4 4-R će se postaviti tako da seče štapove 2, 3 i 4 (Slika 1.12). Jednačine ravnoteže za levi deo presečene rešetke glase:

4 0 2 2 2 0

5 0 2 2 2 0

6

4

2

. : ,

. : ,

.

∑ = − + + =

∑ = − + − =

∑

+

+

+

�

�

�

M Y X S

M Y X S

III A B

II A A

MM X S S FI B= + + − =0 2 2 2 2 03 4 1: ,

odakle sledi da je S kN S kN S kN4 2 330 20= − = −, . =30 i Sledeći presek je moguće postaviti tako da preseca štapove 4, 5 i 6. Na taj način

se, nakon pisanja dve momentne jednačine, za desni deo rešetke mogu odrediti intenzi-teti sila u štapovima 5 i 6. Pogodno napisane jednačine su:

7 0 2 2 0

8 0 2 2 2 0

3 6

3 4 5

. : ,

. : ,

∑ = − + =

∑ = − − − =

+

+

M F S

M F S S

�

�

IV

V

te je S kN S kN6 5 2=10 , a =20 .

R1

R1

R2

R3

R3

R4R4

R2

Slika 1.13

RAVANSKE REŠETKE20

Jednačine ravnoteže za desni deo rešetke dobijen presecanjem štapova 8, 9 i 10 glase:

9 0 2 2 0

10 0 2 0

11 0 1

10 3. : ,

. : ,

. :

∑ = − =

∑ = =

∑ = − −

+

+

+

M S F

M S

M S

�

�

�

IV

VII 9

VI 8 11 03F = ,

a njihovo rešavanje daje S kN S S kN10 9 82 0 10=10 , = i = .−Razmatranjem ravnoteže donjeg dela rešetke dobijene postavljanjem preseka

R4 4-R (čija slika neće posebno biti prikazana), te pisanjem jednačina ravnoteže:

12 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0

13 0 2

3 9 5 1 3 1. : ,

. :

M F S S F S S X

M S

V B

IV 1

�

�

+

+

∑

∑

= − + − + − − + =

= 11

II 11 9 5

− + − − =

= − − + + ++

∑

2 2 2 2 0

14 0 2 2 4 2 2 2 2

3 1 3 1

3 2 7

F F S S

M S F F S S S

,

. :�

== 0,

sledi vrednosti za intenzitete sila u štapovima 1, 7 i 11.

Tablični prikaz karaktera opte-rećenja štapova i intenziteta sila u njima je dat niže, a grafi čki prikaz opterećenja je predstavljen na Slici 1.13.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

sila (+) [ ] S i kN 30 2 30 20 2 10 0 10 2 10 2

sila (-)[ ] S i kN 20 30 10 10

Ovaj tip rešetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima, kod nekih tipova mostova, kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog tipa rešetke je da su gornji elementi opterećeni na zatezanje a donji na pritisak.

Slika 1.14

Slika 1.15

Ravanske rešetke 21

Primer 1.5 Za rešetku sa zglobom u tački C prikazanu na Slici 1.14 odrediti otpore oslonaca i sile u štapovima. Intenziteti sila su F kN F F kN1 2 32 10= = =, .

Rešenje:

Ova rešetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve rešetke, sa spoljašnjim zglobnim vezama u tačkama A i B. Jednačine ravnoteže za sistem kao celinu (Slika 1.15) se mogu napisati u formi:

1 0 20 32 16 48 0

2 0 20 16 32

1 2 3

1 2 3

. : ,

. :

∑∑

+

+

= − + + − =

= − − −

�

�

M F F F Y

M F F F

B A

A ++ =48 0YB .

Slika 1.16

RAVANSKE REŠETKE22

Da bi se odredile sve četiri spoljašnje reakcije veza, izvršiće se dekompozicija sistema. Ravnoteža leve rešetke (Slika 1.16) će se ostvariti ukoliko budu zadovoljene jednačine ravnoteže:

3 0 0

4 0 20 16 24 12 0

5

2

1 2

. : ,

. : ,

.

∑∑∑

= − + =

= − − + + =+

+

F Y F Y

M F F Y X

yi A C

A C C

�

�

MM F F Y XC A A= − + − + =0 8 8 24 12 01 2: .

Rešavanjem prethodno napisanih sistema jednačina dobija se Y kN Y kNA B= =556

656

, ,

Y kN X kN X kNC C A= = =56

15 13, , .

Posmatrajući rešetku kao celinu, a na osnovu ravnoteže svih sila u horizontalnom prav-cu, sledi da je X kNB = 15 .

Da bi se odredile sile u šta-povima, potrebno je posmatrati svaku rešetku ponaosob i jed-nom od metoda odrediti tražene veličine, što se prepušta čitaocu kao vežba.

Intenziteti i karakter optere-ćenja štapova za obe rešetke su prikazani u sledećim tabelama.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7

sila (+) [ ] S i kN 3,83 3,61 1,96

sila (-)[ ] S i kN 18,38 2,86 3,95 17,39

Broj štapa i 8 9 10 11 12 13 14

sila (+) [ ] S i kN 0,83 1,18

sila (-)[ ] S i kN 0,83 14,16 1,18 15,83 0,83

Broj štapa i 15 16 17 18 19 20 21 22

sila (+) [ ] S i kN 2,75 0,83 3,94 4,17

sila (-)[ ] S i kN 19,88 4,72 3,11 21,21

Slika 1.17

Ravanske rešetke 23

Primer 1.6 Za rešetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter optereće-nja štapova. Usvojiti da je F F kN P P P kN Q Q kN1 7 = = = = = = = =... , , ,2 50 251 2 3 1 2

G G kN= = =... .11 11

Rešenje: Prikazane rešetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih rešenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova rešetka, kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt, 1844. godi-ne u SAD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je čitav niz njenih varijacija.

-

1

Slika 1.18

RAVANSKE REŠETKE24

Konstrukcija ima pored vertikalnih, i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikal-noj osi simetrije rešetke. Svi dijagonalni štapovi, osim onih na krajevima, su opterećeni na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujući postavljanju vertikalnih štapova, dijagonalni štapovi su rasterećeniji, samim tim su mogli biti tanji, čime je ostvaren ekonomičniji dizajn rešetke. Na taj na-čin, izvršen je uspešan prelaz sa drvenih na me-talne konstrukcije. Za pri-kazano opterećenje, in-tenziteti i karakteri sila u štapovima su izračunati i predstavljeni u sledećoj tabeli. Preporučuje se či-taocu da, jednom od pre-thodno opisanih metoda, potvrdi navedene razul-tate.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7

sila (+) [ ] S i kN 3,57 2 3,69 3,57

sila (-)[ ] S i kN 6,14 5,71 1

Broj štapa i 8 9 10 11 12 13 14

sila (+) [ ] S i kN 1,23 5,71 0 1,23 5,71

sila (-)[ ] S i kN 6,43 6,43

Broj štapa i 15 16 17 18 19 20 21

sila (+) [ ] S i kN 3,69 3,57 2 3,57

sila (-)[ ] S i kN 1 5,71 6,41

Rešetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 1840. godine američki pronala-zač William Howe. Ona je slična Pratt-ovoj, ali se dijagonalni elementi penju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Vertikalni elementi su opterećeni na zatezanje, dok su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomična za čelične mostove i u praksi se danas ređe sreće, mada je u prošlosti bila u širokoj upotrebi pri konstrukciji železničkih mostova. Kod tih mostova obično su vertikale izrađivane od čelika, a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera opterećenja i ma-

Slika 1.19

Ravanske rešetke 25

terijala koji je korišćen za dijagonalne elemente, ove konstrukcija su bile vrlo nepouzdane. One su smat-rane uzročnikom velikog broja rušenja mostova, te železničkih nesreća.

Sledi tabelarni prikaz opterećenja štapova ove rešetke.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7

sila (+) [ ] S i kN 3,57 5 5,71 3

sila (-)[ ] S i kN 6,14 3,57 3,69

Broj štapa i 8 9 10 11 12 13 14

sila (+) [ ] S i kN 6,43 2 6,43

sila (-)[ ] S i kN 5,71 1,23 5,71 1,23

Broj štapa i 15 16 17 18 19 20 21

sila (+) [ ] S i kN 3 5,71 5 3,57

sila (-)[ ] S i kN 3,57 3,69 6,14

Rešetku tipa Warren (Slika 1.17c), patentirali su 1848. godine James Warren i Willoughby Monzoni u Velikoj Britaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova rešetki, prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostraničnog trougla. Ovaj oblik se koristi za premošćenje manjih raspona 50-100m. U praksi se sreću i varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja većih raspona. Opadajuće dijagonale (Slika 1.20) su opterećene na zatezanje (kao kod Pratt-ove re-šetke), a rastuće na pritisak (kao kod rešetke tipa Howe).

Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima ove rešetke je dat u narednim tabelama.

Slika 1.20

Slika 1.21

RAVANSKE REŠETKE26

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7

sila (+) [ ] S i kN 4,04 5,77 1,15 8,66

sila (-)[ ] S i kN 8,08 6,93 3,46

Broj štapa i 8 9 10 11 12 13 14 15

sila (+) [ ] S i kN 1,15 8,66 5,77 4,04

sila (-)[ ] S i kN 9,24 3,46 6,93 8,08

Na Slici 1.17d prika-zana rešetka sa tzv. K-is-punom. Ona se primenju-je kod visokih rešetkastih konstrukcija, jer podupi-ruće dijagonale smanjuju moguće deformacije ver-tikalnih štapova. Nekadaš-nji Varadinski most u Novom Sadu posedovao je rešetkastu konstrukciju ovakvog tipa.

Za zadato opterećenje ove rešetke, šematski prikaz opterećenja štapova je prika-zan na Slici 1.21, a tabelarni prikaz je dat niže.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7

sila (+) [ ] S i kN 83,33 25 100 72,89

sila (-)[ ] S i kN 130,17 83,33 72,89

Slika 1.22

Ravanske rešetke 27

Broj štapa i 8 9 10 11 12 13 14 15

sila (+) [ ] S i kN 83,33 12,5 37,5 24,3 145,83 25

sila (-)[ ] S i kN 145,83 24,3

Broj štapa i 16 17 18 19 20 21 22

sila (+) [ ] S i kN 24,3 145,83 12,5 37,5

sila (-)[ ] S i kN 145,83 24,3 83,33

Broj štapa i 23 24 25 26 27 28 29

sila (+) [ ] S i kN 72,89 83,33 25 100 83,33

sila (-)[ ] S i kN 72,89 130,17

Baltimorova rešetka (Slika 1.17e) je varijacija Prattove. Osnovna modifi -kacija se ogleda u postoja-nju štapova ispune. Na ovaj način postignuto je skraće-nje štapova donjeg pojasa i dijagonala, što je od značaja kod mostovskih konstruk-cija. Karakter opterećenja štapova je prikazan na Slici 1.22, odnosno u sledećoj ta-beli. Svi horizontalni štapo-vi donjeg pojasa su zategnuti, pri čemu intenziteti u štapovima od tačke A do C i D do B iznose 5,5kN. Intenziteti sila u štapovima od tačke C do D su 8,5kN.

Broj štapa i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

sila (+) [ ] S i kN 1 2 4,24 1

sila (-)[ ] S i kN 7,78 7,07 0,71 8 0,71

Broj štapa i 10 11 12 13 14 15 16 17

sila (+) [ ] S i kN 3,54 1,41 1 0,71 0

sila (-)[ ] S i kN 1 9 0,71

A B

1

2

34

5

6

7

89

10

11

12

13

1415

16

17

18

1920

21

2223

24

2526

27

2829

3031

32

33

C D

G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11

RAVANSKE REŠETKE28

Broj štapa i 18 19 20 21 22 23 24 25

sila (+) [ ] S i kN 0,71 1 1,41 3,54

sila (-)[ ] S i kN 9 0,71 1 8

Broj štapa i 26 27 28 29 30 31 32 33

sila (+) [ ] S i kN 1 4,24 2 1

sila (-)[ ] S i kN 0,71 0,71 7,78 7,07