7/25/2019 01 - Moti Rigidi (1)

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escr z one e mot r g

Robotica I

M. Gabiccini

. . ng. eccanica e utomazione

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Descrizione di moti ri idi

Consideriamounospazioa3dimensioniEuclideo,ciolospaziodelleternedi

numeridi conpunti e dove e

periqualidefinitaunadistanza(Euclidea)

Duepuntidellospaziodefinisconounvettore anchesso

rappresentabiledaunaterna che,

convenzionalmente,rappresenteremocomevettorecolonna

Traivettori

di

questo

spazio

sono

definite

le

operazioni

di:

prodottoscalare:

Ilprodottovettorialepuessereanchescritto,informamatriciale,come:

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Suipuntidi possonoagiretrasformazioni dinaturadiversa.

,

illimitatodivolte,invertibileconinversaanchessa ,sidiceundiffeomorfismo.

,

mediantelalorodefinizione.Inquestocaso,siusapipropriamentelanotazione

conla

g

stella,

definita

anche

trasformazione

aggiunta,

seguente:

Seunatrasformazionelasciainalteratoilprodottoscalaretravettori,ciose

latrasformazionevienedettaisometrica.

Unaisometriamantieneinvariatelelunghezzedeivettoriegliangolitraivettori:

cidiscendedirettamentedalfattoche

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Sidefiniscerigidaunatrasformazione taleche:

mantieneinvariate

le

distanze

tra

ipunti,

ovvero:

cio

mantiene

invariato

ilprodotto

vettoriale:

Letrasformazionirigidesonoisometrie*.Traleisometrie,lasecondacondizione

.

UnaternadiriferimentoCartesiana,conorigineinunpuntoOeversoridegliassi

coordinati dettadestrorsase ,sinistrorsase

Unversoreunvettoredilunghezzaunitaria,

UnaternaCartesianahaassiortogonali,

(*)Dimostrazione:sidimostracheilprodottoscalaresipreservaintrasf.rigide.

Notoche:

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Notazione per punti e vettori

Incontreremoed

useremo

la

seguente

notazione:

coordinata esimadelpunto

ilpuntosolidalealsistemadiriferimentoCartesiano

il

sistema

di

riferimento

in

cui

si

proiettano

le

coordinate

componente esimadelvettore

ilsistemadiriferimentoincuisiproiettanolecoordinate

r a sce conce o:

ilpunto

solidale

al

framele

componenti

sono

nel

frame

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Moti rigidi: Traslazioni (esempio)

Indettaglio:

Verifichiamocheineffettiunmotorigido:

.

La trasformazioneditraslazione esprimeanchelecoordinate diunpunto

inizialmenteespressonelriferimento quandoilriferimentotraslain

mediantelalegge:

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Cherelazionectralecoordinate primadellaMoti rigidi: Rotazioni

rotazionerigida

equelle

dello

stesso

punto

che

sispostasolidalead (dopolarotazione),

espressenelframedipartenza ?

Datochelecomponentinelriferimentosolidale

rimangonocostanti,sipuscrivere:

Neirispettivi

sistemi

di

riferimento

le

componenti

dei

versori

base

sono:

Equindi,

per

le

coordinate

del

nuovo

punto

in

vale:

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Trasformazione di coordinate per rotazione

Fissatoun

punto

fisso

nello

spazio,

che

relazione

cfralesuecoordinatenellaternafissa edin

quella ruotata ?

Siha:

Dunquelecoordinatediunostessopuntosi

trasformanopercambiamentodicoordinate

Siriportanoinsiemeiduenotevo irisu tatiappenatrovati

(rotazione

rigida

da

config.

di

a

quella

di

)

(trasf.dicoordsda a )

Unarotazionetrasformaunpuntomedianteunatrasformazionelineare(bastaosservarela

formamatriciale).Interessantemente,lastessamatricedirotazioneesprimeancheil

cambiamentodi

coordinate

inverso.

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Rotazione 3D come matrice di rotazione

Nota1:

come

abbiamo

visto,

una

rotazione

trasforma

un

punto

mediante

una

applicazione

lineare(osservareformamatriciale).

Nota2:ilcambiamentodicoordinateda a realizzatodallastessamatriceche

realizzalarotazionedaunaconfigurazioneidentificatada aquellaidentificata

da .Percisipuscrivere:

Nota3:dalladefinizioneprecedentementefornita,la hacomecolonnele

componentideiversoribasedelframe rispettoalframe ,ossia:

matrice).Questinonsonoperindipendenti,dovendovalere:

Dalle6condizioniprecedentidiscendedirettamente che unamatrice

orto onale ossia .Inoltresihache .

Lasceltadelsegnopositivoobbligatadallanecessitdimantenerelorientamento

delleterne.Dunqueulteriorecondizioneche:

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Rotazione 3D come matrice di rotazione (continua)

Dallacondizione

,moltiplicando

scalarmente

tale

equazione

per

,e

ricordandoche:(1)lamatricedirotazione ;(2)ilprodottomisto(scalare

vettore)calcolabilecomesviluppodeldeterminantedellamatricecheimpilaivettoriin

colonna,siha:

(determinantedimat.rotaz.=+1)

Seuna

matrice

verifica

solo

ma

,allora

non

una

rotazione

bens

unariflessione.

Esempio: con ,applicataatuttiiverticidiquestosolidoda:

Globalmente:

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Caratteristiche delle matrici ortogonali O(n)

Linsiemedelle

matrici

ortogonali

di

ordine

detto

.

Questoinsieme,conlaleggedicomposizionedatadalprodottomatriciale,ungruppo.

Infattiperlematrici valgonoleseguentipropriet:

N.B.:talegruppononabeliano (commutativo):

Linsiemedellematricipercuivalelaulteriorecondizione (ossiadellesole

rotazioni)dettoSpecialeOrtogonale .Anchequestoungruppo.

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Verifica che rotazione = trasformazione rigida

Unarotazione

una

trasformazione

rigida.

Verifica:

N.B.:vale

solo

se

Dacui:

(dim.)

(dim.)

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Rotazioni elementari

Siconsiderino

tre

esempi

particolarmente

semplici

di

rotazioni,

effettuate

attorno

a

ciascunodegliassidelsistemadiriferimento.

Ingeneraleilcalcolodellamatricedirotazionevienesvoltonelmodoseguente:

Siindicano:

,

Ricordadoppioruolosvoltoda

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Rotazioni elementari

Perrotazioneattornoalsecondoasse, :

Perrotazioneattornoalterzoasse, :

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Composizione di rotazioni in assi fissi

Siconsideri

un

corpo

rigido

solidale

ad

una

terna

.

A partiredaunaconfigurazioneincui coincidecon ,losiruoti

inmodoche sisovrappongaa

Perilgenericopuntosiha:

Seilcorpovieneruotatoulteriormentefinoaportarlosu e

talerotazioneespressadaunamatrice concomponenti ancorain

Percilarotazioneperportarelaconfigurazione in datada:

Regola:

Lerotazioni

rigide

di

un

corpo

si

compongono

per

premoltiplicazione delle

matrici

di

rotazionescritteincomponentiinassifissi,ossianelriferimentoiniziale.

Quindi,pensandolecomerotazioniinassifissi,sicompongonomoltiplicandoledadestra

versosinistra.

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Composizione di rotazioni in assi fissi (esempio)

Lerotazioni

di

,prima

attorno

allasse

esuccessivamente

allasse

(ancora

del

vecchiosistemadiriferimento) sonodatedallematrici

Compostenelseguentemodo:

Coordinatenellaconfig.iniziale (p.torosso)

Coordinatenellaconfig.finale (p.toviola)

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Le rotazioni non commutano! (con esempio)

Lerotazioni

di

,prima

attorno

allasse

esuccessivamente

allasse

(ancora

del

vecchiosistemadiriferimento) sonodatedallematrici

Compostecos (comeprima)danno:

Compostecos (nuovo)danno:

Leconfigurazionifinaliraggiunte(viola)sonodiverse

neiduecasi!

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Composizione di rotazioni in assi mobili

Si

consideri

un

corpo

rigido

so ida e

ad

una

terna

.A partiredaunaconfigurazioneincui coincidecon ,losiruoti

inmodoche sisovrappongaa

er gener copun os a:

e corpov eneruo a ou er ormen e noapor ar osu e

talerotazioneespressa,questavolta,daunamatrice concomponentinella

ternacorrente ,ossia ,occorre:

1) Portare

in

componenti

in

,

ossia

;2) Applicarelarotazione inquestecomponenti,ossia ;

3) Riportareilrisultatoincomponentiin ,ossia

Ricordandosiche esvolgendoicalcoli:

:

Lerotazioni

rigide

di

un

corpo

si

compongono

per

post

moltiplicazione delle

matrici

di

rotazionescritteincomponentiinassilocali,ossianelriferimentocorrente.

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Composizione di rotazioni in assi mobili (2)

Osservazioni

su

penu timo

passaggio:

pr mo occo ma r c rappresen a a ras ormaz onepers m u ne e a

dalframe alframe secondoilclassicodiagrammacommutativo:

Questainterpretazionecorrispondeancoraallacomposizioneinassifissi.

Notare

che

stato

necessario

riportare

la

dalle

componenti

a ecomponent ,oss atras ormar apercongruenzane a

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Composizione di rotazioni in assi correnti (esempio)

Lerotazioni

di

,prima

attorno

allasse

esuccessivamente

allasse

corrente

sono

datedallematrici

Compostenelseguentemodo:

Comportanolaseguenterotazionecomplessiva:

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Esercizio su composizione di rotazioni

Consideriamoilpuntodicoordinate

Determinarelecorrispondenticoordinateinseguitoalleseguenti

trerotazionisuccessiveeffettuateinassicorrenti:

Risultato:

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Punto della situazione e commenti finali

La

matrice

di

rotazione

ha

la

duplice

veste

di

indicare:

1) Larotazione,espressanelrif. ,chepermettedipassaredallaconfigurazionedi alla

con guraz one . n asea s gn ca o eg ap c s a n a

.

a)da

destra

verso

sinistra

se

si

pensa

di

effettuarle

in

assi

fissi

;

b)dasinistraversodestrasesipensadieffettuarleinassicorrenti

Larappresentazionematricialetuttavia,utilizzandonoveparametrinonindipendenti,pu

presentaredegliinconvenienti,tracui:

nonmoltointuitiva,dovendoricorrerealleespressioniincoordinatedeiversodegli

assidelleterne;

nonmoltorobustanumericamente(unaproceduranumericachedebbacalcolare

levoluzionedeivaloridiunamatricedirotazionepuprodurrelievierrorichefannos

cheilrisultato

non

sia

pi

in

,introducendo

quindi

deformazioni

dei

corpi)