005 matematika nyelvi elokeszito 9 13 - bpg.hu matematika_nyelvi_elokeszito 9... · Azonosság és ellentmondás f ogalma. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai,

HELYI TANTERV / MATEMATIKA 9- 13. ÉVFOLYAM / ANGOL NYELVI ELŐKÉSZÍTŐ

A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 1

MATEMATIKA Iskolánkban a 2004 szeptemberétől indítandó nyelvi előkészítő évfolyamokon a képességfejlesztésre szánt időkeretből évi 74 (azaz heti 2) órát matematikaoktatásra szánunk. Kedvező lehetőségnek tartjuk, hogy a nehezebb, absztraktabb gimnáziumi tananyag bevezetését így jobban megalapozhatjuk. A szaktárgyi követelményeken túlmutatóan úgy tartjuk, hogy sokat tehetünk az értő szövegolvasás, a lé-nyeglátás és a gondolkodási készségek fejlesztéséért is. A nyelvi előkészítő osztály a 9. évfolyamon az általános osztály tanterve szerint folytatja tanulmányait. Ezért az előkészítő évfolyamon nem arra helyezzük a hangsúlyt, hogy új, nagygimnáziumi ismereteket adjunk át. Inkább az általános iskolában tanultak rendszerezésére, új szemléletmóddal való megközelí-tésére és szövegkörnyezetben való alkalmazására törekszünk. Foglalkozni kívánunk a modellalkotás és az általánosítás folyamatával, lassan haladva a konkréttól az absztrakt felé. A nagygimnáziumi tan-tervből csak néhány anyagrésszel kívánunk foglalkozni, ezekkel is hangsúlyozottan egy gyakorlatia-sabb szemlélettel, ahol csak lehetséges, absztrakt definíciók, illetve az elméleti háttér precíz tárgyalása nélkül. Ezek bevezetése a 9. évfolyamra marad. A tárgyalt új anyagrészek egy része szervesen kap-csolódik az általános iskolában tanultakhoz (szöveges egyenletek, függvénytan, azonosságok, geomet-riai transzformációk), másik része pedig a matematikatanítás új, fejlődő területei- s íly módon prioritá-sai- közül került ki (statisztika, valószínűség számítás). Megjegyezzük, hogy bizonyos mennyiségű új anyag átadását fontosnak tartunk a továbbhaladás szempontjából. Cél

− Az általános iskolában tanultak elmélyítése, új összefüggések megvilágítása − Ha szükséges, a tanulók felzárkóztatása − Szövegelemzés, a tanult összefüggések alkalmazása szövegkörnyezetben − A gimnáziumi tananyag megalapozása elsősorban algebrából − Az adatgyűjtés, kísérletezés, sejtés szerepének megerősítése − A matematikatanítás fejlesztési területeit jelentő anyagrészek hangsúlyos bevezetése.

Amennyiben a személyi feltételek lehetővé teszik, célravezetőnek látjuk a tantárgy terminusainak az adott idegen nyelven való megismertetését. Megfelelő előkészítés után készülünk az órák egy részé-nek idegen nyelven való megtartására is.



9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 74 Gondolkodási módszerek (6 óra) Fejlesztési felada-tok, tevékenysé-

gek

Tartalom A továbbhaladás feltételei

A szemléletes fo-galmak definiálása, tudatosítása.

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész szá-mok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekin-tése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyilt, zárt).A számegyenes, mint a valós számok egy modellje, az ir-racionális számok geometriai szemléltetése.

Tájékozottság a racionális szám-körben.

-Módszer keresése az összes eset át-tekintéséhez.

Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Esetek leszámlálása felsorolással.

A szükséges és elégséges feltétel megkülönbözteté-se.

Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos).Állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, „és” és „vagy” jelentése matematikai állítások-ban. Logikai játékok.

Számtan, algebra (24 óra) Fejlesztési feladatok,

tevékenységek Tartalom A továbbhaladás

feltételei . Nevezetes azonosságok: kommutativi-

tás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 ± b3 szorzat alakja. Szor-zattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása egyszerűbb esetekben.

A másodfokú azonosságok alkalma-zása.

A műveleti azonosságok biztos alkalmazása isme-retlent tartalmazó kifeje-zésekkel.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek


Algoritmikus gondolko-dás és a gyakorlati prob-lémák modellezése, értő szövegolvasás. Az adott feladat szem-pontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése Szöveges probléma és matematikai modell kap-csolatának elemzése.

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának át-tekintése. Egyenletek megoldása mér-legelvvel, szorzattá alakítással, értel-mezési tartomány és értékkészlet vizs-gálatával. Törtes egyenletek. A megol-dáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Nyílt végű szöveges feladatok, a meg-oldás(ok) értemezése.

A négyzetes azonosságok és a szor-zattá alakítás alkalmazása egyenle-tekben, a megoldáshalmaz és az ér-telmezési tartomány összevetése absztrakt és szöveges problémák-ban. Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel.

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrend-szer megoldása (behelyettesítő mód-szer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamat-számítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre.

Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

Függvények, sorozatok (14 óra) Fejlesztési feladatok, te-

vékenységek Tartalom A továbbhaladás

feltételei A függvényszemlélet fejlesz-tése: a hozzárendelések szabályként való értelmezé-se. A megfelelő modell megke-resése. Egyenlet és függvény kap-csolatának megismertetése.

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a li-neáris függvény, abszolútérték függvény, má-

sodfokú függvény), a fordított arány, x

ax a :

az általános iskolában tanultak rendszerezése absztrakt definíciók nélkül. Függvényszerű kapcsolatok, grafikonok elem-zése a gyakorlati élet területéről. Értékkészlet,értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, korlátosság, szélsőérté-kek szemléletes fogalma, ezek jelentése gya-korlati problémákban. Az elemi függvények gra-fikonjainak geometriai tulajdonságai.

Az alapfüggvények ábrá-zolása értéktáblázat nél-kül, tulajdonságainak is-merete. Képlettel megadott függ-vény ábrázolása értéktáb-lázat segítségével.

Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk. Példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x ten-gelyre).

Az alapfüggvények transz-formációi.



Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.

Geometria (14 óra)

Síkbeli tájékozódás, terve-zés, a konstrukciós, analizá-ló képesség és a diszkusz-sziós igény kialakítása, sok-oldalú szemléltetés, szer-kesztőprogramok megisme-rése. A geometria gyakorlati al-kalmazásainak rövid bemiutatása.

Egyszerű szerkesztési feladatok,a szerkesztés menete (ismétlés) A matematikatörténet néhány nevezetes szer-kesztési feladata, földmérési, ill. navigációs probémák: tanulói előadások.

Fejlesztési feladatok, te-vékenységek


A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző terü-letei közötti kapcsolatok ke-resése.

A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra. A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tu-lajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a parale-logramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybe-vágóságának feltételei, speciális sokszögek egybevágóságának esetei.

A megismert transzformá-ciók tulajdonságainak fel-használása egyszerű, konkrét esetekben. Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapesete-inek ismerete.



Valószínűség, statisztika (12 óra)

Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (4 óra)

Fejlesztési feladatok, te-vékenységek


A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statiszti-kai adatok elemzése. A valószínűség szemléletes fogalma, a klasszikus való-színűségi modell előkészí-tése, racionális döntések.

Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Kísérletezés valószínűségi problémákkal. Kap-csolat a leíró statisztika és a valószínűségszámítás között. Elemi kombinato-rikus valószínűségi feladatok. Példák közkeletű tévedésekre. Egyszerű valószínűségi játékok.

Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiag-ram adatainak értelmezé-se. A véletlen esemény fogamának ismerete és tartalmának szamléletes fogalma. Elemi esemé-nyek valószínűsége egy-szerű klasszikus model-lekben.



10. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148

Gondolkodási módszerek (8 óra)

Fejlesztési feladatok, tevé-kenységek


A szemléletes fogalmak defi-niálása, tudatosítása.

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fo-galma (nyílt, zárt) A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irra-cionális számok geometriai szemléltetése.

Tájékozottság a racionális számkörben.

Halmazműveletek: unió, met-szet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége Alaphalmaz, üres halmaz fo-galma, halmaz komplemente-re. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Példák véges és végtelen halmazokra.

Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez.

Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése Ese-tek leszámlálása felsorolással.

A szükséges és elégséges fel-tétel megkülönböztetése.

Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folya-matos) Állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, „és” és „vagy” jelentése matematikai állításokban.



Számtan, algebra (54 óra)



A fogalom célszerű kiterjesz-tése, a számok nagyságrend-jének tudása.

A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, nor-mál alakja.

Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativi-tás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 ± b3 szorzat alak-ja. Szorzattá alakítás módsze-rei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok al-kalmazása,

Számok abszolútértéke, nor-mál alakja A másodfokú azonosságok al-kalmazása.

Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata.

Ezen azonosságok alkalma-zása egyszerű algebrai törtek-kel végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osz-tás, összevonás.) Algebrai ki-fejezések értelmezési tarto-mányának vizsgálata. Az ér-telmezési tartomány megvál-tozásának tipikus esetei.

A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel Algebrai kifejezés értelmezési tartományának fogalma.

A műveleti azonosságok biz-tos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel.

Egyes változók kifejezése fizi-kai, kémiai képletekben A lineáris egyenletek megol-dásának áttekintése Egyenle-tek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelme-zési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenle-tek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása.Azonosság és ellentmondás fogalma. Elsőfo-kú paraméteres egyenle-tek.Szöveges feladatok a gya-korlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területé-ről.

A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalma-zása egyenletekben, a megol-dáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése. Szö-veges információk rögzítése matematikai jelekkel.





Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modelle-zése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjá-ból lényeges és lényegtelen információk megkülönbözteté-se

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módsze-re, grafikus módszer) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalék-számítás, kamatszámítás, pél-dák több ismeretlenes egyen-letrendszerre.

Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalma-zása a gyakorlatban.

A rendszerező képesség fej-lesztése.

Abszolútértékes egyenletek megoldása algebrai és grafi-kus úton.

Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen.

A definíciók pontos megfo-galmazására való igény fej-lesztése

A számolási készség fejlesz-tése.

A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás azonossá-gai. Számolás pontos értékkel irracionális kifejezések esetén, egyszerűsítések, gyöktelenítések.

A négyzetgyökvonás azonos-ságainak alkalmazása egysze-rű esetekben.

A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmé-let alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatko-zásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, álta-lánosítás).

Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradé-kokkal, oszthatósági szabá-lyok), a prímszámok száma. Példa számrendszerekre.

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Prímtényezős felbontás, legna-gyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.



Függvények, sorozatok (25 óra)



A függvényszemlélet fejleszté-se: a hozzárendelések sza-bályként való értelmezése A megfelelő modell megkere-sése Egyenlet és függvény kapcso-latának megismertetése.

A függvény fogalma, elemi tu-lajdonságai; a lineáris függ-vény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négy-zetgyök függvény, gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjel-függvény), a fordított arány,

x

ax a .

Értékkészlet, értelmezési tar-tomány, zérushely, monotoni-tás, paritás, korlátosság, szél-sőértékek. Az elemi függvé-nyek grafikonjainak geometriai tulajdonságai.

Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdon-ságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat se-gítségével.

Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktransz-formációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Má-sodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással.

Az alapfüggvények transzfor-mációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete.

Két ismeretlenes egyenlet-rendszer grafikus megoldása.



Geometria (50 óra)



Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), három-szögekkel, négyszögekkel, sok-szögekkel kapcsolatos isme-retek kiegészítése, rendszere-zése.

Speciális háromszögek, négy-szögek és szabályos sokszö-gek tulajdonságainak ismere-te.

Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vona-lai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező.

A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalá-nak meghatározása

Thalész tétele és megfordítá-sa, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fo-galma. Pitagorasz tételének alkalma-zása.

A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalész- körrel.

A transzformációk mint függvé-nyek értelmezése, a matemati-ka különböző területei közötti kapcsolatok keresése.

A geometriai transzformáció fo-galma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a pa-ralelogramma ekvivalens tulaj-donságai). Az eltolás áttekinté-se, rendszerezése, a vektor fo-galma. Példa további egybevágósági transzformáció-ra (pont körüli elforgatás, for-gásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának feltételei, speciális sokszögek egybevá-góságának esetei.

A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete.





A vektorok további alkalmazá-sa.

A vektorok összege, különb-sége, szorzása számmal, vek-tor felbontása különböző irá-nyú összetevőkre a síkban.

Két vektor összegének és kü-lönbségének megszerkeszté-se

Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló ké-pesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprog-ramok megismerése.

A forgásszög fogalma, ívmér-ték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe Egyszerű szerkesztési felada-tok.

Az ívmértékre való átváltás elvégzése.




A statisztikai adatok helyes ér-telmezése. A hétköznapi élet-ben megjelenő statisztikai adatok elemzése.

Statisztikai adatok és ábrázo-lásuk (kördiagram, oszlopdiag-ram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szó-ródásának mérése.

Számsokaság számtani köze-pének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyako-ribb érték (módusz) ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (6 óra)







A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fej-lesztése.

Tétel és megfordítása (folya-matos) Bizonyítási módszerek, jelleg-zetes gondolatmenetek (indi-rekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül).

A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Változatos kombinatorikai fel-adatok a hétköznapi életből.

Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

A tanult matematikai modellek alkalmazása gyakorlatorientált feladatokban.

Stratégiai játékok, rejtvények, érdekességek a matematika területéről. A matematika al-kalmazhatóságának bemuta-tása a modern kor legnépsze-rűbb területein (hightech, in-formatika, mobilkommuniká-ció, űrkutatás, stb.)

Számtan algebra (50 óra)



A permanencia elve a szám-fogalom bővítésében.

A valós szám szemléletes fo-galma, kapcsolata a szám-egyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönsé-ges) tört és tizedes tört alakja között Példák irracionális számokra.

Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irra-cionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete.

A hatványfogalom további ki-terjesztése.

A négyzetgyökvonás azonos-ságai: ismétlés. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok.

A négyzetgyökvonás azonos-ságainak alkalmazása egysze-rű esetekben

Számolás racionális kitevős hatványokkal.





A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, ön-álló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

A másodfokú egyenlet megol-dása (teljes négyzetté kiegészí-tés), a megoldóképlet (a meg-oldhatóság vizsgálata, a diszk-rimináns szerepe), gyökténye-zős alak, gyökök és együttha-tók összefüggése.

A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcso-lata. Törtes másodfokú egyen-letek. Egyszerű paraméteres másodfokú egyenletek. Ösz-szefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása.

A megoldóképlet biztos isme-rete és alkalmazása. A gyökök száma és a diszkrimináns elő-jele közötti összefüggés isme-rete. Másodfokú kifejezés szorzatalakjának felírása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Matematikai problémák egy-szerűbb feladatra való vissza-vezethetőségének felismeré-se.

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldá-sa új ismeretlen bevezetésé-vel.

Egyenletek megoldása új is-meretlen bevezetésével egy-szerűbb esetekben.

A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos prob-lémák megoldásában.

Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldá-sa.

Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál.

Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakítá-sánál, egyszerű négyzetgyö-kös egyenletek. Az értelmezé-si tartomány és az értékkész-let vizsgálata.

Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése.

Az algebrai és grafikus mód-szerek együttes alkalmazása a probléma-megoldásban.

Másodfokú egyenlőtlenség megoldása szozattá bontás és számegyenes segítségével.

Megengedett és nem megen-gedett lépések körének isme-rete egyenlőtlenség megoldá-sa során.



Függvények, sorozatok (26 óra)

Fejlesztési feladatok, tevékeny-ségek


Új függvénytulajdonságok megismeré-se, függvénytranszformációk további alkalmazása A négyjegyű függvénytáblázatok, ma-tematikai összefüggések és a zseb-számológép célszerű használata.

A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek ér-telmezése, tgx és ctgx szabatos defi-níciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvé-nyei között (sin2a + cos2a = 1, pót-szögek szögfüggvényei közötti kap-csolat, kiegészítő szögek szögfüggvé-nyei közötti kapcsolat, szögek ellen-tettjének szögfüggvényei). Az egység-kör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulaj-donságai (értelmezési tartomány, kor-látosság, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkész-let, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

A szögfüggvények definíciójának is-merete, az x a sinx , x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tu-lajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel.

Geometria (40 óra)



A transzformációs szemlélet fejlesztése.

Párhuzamos szelők és szelő-szakaszok tétele. A szögfele-zőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tu-lajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonló-sága.

A hasonlóság szemléletes tar-talmának ismerete, a közép-pontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakor-lati feladatokban.





Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalma-zása, biztos számolási kész-ség, zsebszámológép célszerű használata.

A háromszögek hasonlóságá-nak alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súly-pontja (újabb bizonyítás ha-sonlósággal), arányossági té-telek a derékszögű három-szögben (befogótétel, magas-ságtétel) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfo-gatának aránya Hegyesszögek szögfüggvé-nyeinek értelmezése, szög-függvények alkalmazása de-rékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gya-korlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének megha-tározása szögfüggvények se-gítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek ki-számítása.

Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lé-péssel megoldható számítási feladatoknál.

Tervszerű munkára nevelés Az esztétikai érzék fejlesztése.

Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonsá-gainak felsorolása

Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek

A háromszög szinuszos terü-letképlete.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó ada-tainak meghatározása).

A matematika gyakorlati fel-használása A zsebszámológép és a szá-mítógép alkalmazása

Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése.

Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati fel-adatokban és a fizikában.






A valós helyzetek értelmezé-se, megértése és értékelése.

További valószínűségi kísérle-tek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetek-ben A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fo-galma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben.

Egyszerű problémák megol-dása a klasszikus valószínű-ségi modell alapján.

Modellalkotásra nevelés Mo-dell és valóság kapcsolata.

Relatív gyakoriság A valószínűség klasszikus mo-dellje.

A relatív gyakoriság és a való-színűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok meg-oldása.

Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)



12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 111 Gondolkodási módszerek (16 óra) Fejlesztési feladatok, tevé-

kenységek Tartalom A továbbhaladás

feltételei

A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód le-hetőségének keresése Előzetes becsléshez szokta-tás, a becslés összevetése a számításokkal.

Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számá-nak meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, Pas-cal-háromszög Véges halmaz részhalmazai-nak száma Vegyes kombinatorikai felada-tok.

Egyszerű kombinatorikai fel-adatok megoldása.

A gráf modellként való fel-használása.

Gráfelméleti alapfogalmak, al-kalmazásuk Feladatok megoldása gráfok-kal.

A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai.




A matematikai fogalom célsze-rű kiterjesztése, a fogalmak ál-talánosításánál a permanencia elv felhasználása.

A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés

A hatványozás definíciója, mű-veletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő ese-tén.

Bizonyítás iránti igény mélyí-tése Matematikatörténeti vonatko-zások megismerése (könyvtár- és internethasználat).

A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatvá-nyozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismere-te, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.

Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének fej-lesztése.

.

Exponenciális és logaritmi-kus egyenletek, egyenlőtlen-ségek

A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása expo-nenciális és logaritmusos egyenlet, egyszerű egyenlőtlen-ség esetén.

A koncentrációs készség fej-lesztése.

Érettségi szituációs gyakorlat



Függvények, sorozatok (12 óra) Fejlesztési feladatok, tevé-

kenységek Tartalom A továbbhaladás

feltételei

A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző terüle-tei között A bizonyításra való törekvés fejlesztése.

A 2x, a 10x függvény, az ex-ponenciális függvény vizsgála-ta, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.

Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban

Függvények alkalmazása al-gebrai feladatokban.

A szögfüggvényekről tanul-tak áttekintése A tanult függvények tulaj-donságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, mo-notonitás, periodicitás, pari-tás) A szögfüggvények transz-formációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).

Az alapfüggvények ábrái és leg-fontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tarto-mány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték).



Geometria, mérés (36 óra)



A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra tö-rekvés Bizonyítás iránti igény tovább-fejlesztése A fizika és a matematika ter-mékeny kapcsolatának meg-mutatása.

A vektorokról tanultak átte-kintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdon-ságai Vektorok a koordinátarend-szerben A skaláris szorzat koordiná-tákkal kifejezve

A skaláris szorzat alkalma-zásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a).

Vektorműveletek és tulajdonsá-gaik (összeadás, kivonás, ska-lárral való szorzás, skaláris szorzat). Vektorok alkalmazásai.

Geometriai feladatok megol-dása algebrai eszközökkel.

Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal

Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben.

Vektorok koordinátáinak biztos használata.

A bizonyítási készség fejlesz-tése.

Szakasz osztópontja

A háromszög súlypontja.

Szakasz felezőpontja koordiná-táinak kiszámítása.

Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete.

A kör középponti egyenletének ismerete.

Adott probléma többféle meg-közelítése.

Az egyenes irányára jellem-ző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytan-gens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, kü-lönböző alakjai Két egyenes párhuzamossá-gának, merőlegességének feltétele, két egyenes met-széspontja Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Koordinátageo-metriai módszerek az érintő meghatározására. A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete.

Az egyenes egy szabadon vá-lasztott egyenletének tudása Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös hely-zetének vizsgálata.






Érettségi szituációs gyakor-lat.




A körülmények kellő figyelem-bevétele Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Egyszerű valószínűség-számítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizs-gálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén (“és”, “vagy”, “nem”).

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve vé-letlen jelenségek vizsgálatára A mindennapi problémák értel-mezése, a statisztikai zsebköny-vek, a napi sajtó adatainak elemzése.

Statisztikai mintavétel (Vissza-tevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)

Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)







Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző terü-letei közti összefüggéseinek tudatosítása.

Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekviva-lencia, implikáció A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rend-szerezése.

Az előző években felsorolt to-vábbhaladási feltételek.

A deduktív gondolkodás fej-lesztése.

A megismert bizonyítási mód-szerek összefoglalása Néhány példa a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekin-tése.




Rendszerező összefoglalás Számhalmazok


Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethaszná-lat).

Számelméleti összefoglalás A valós számok és részhal-mazai.

Szám- és műveletfogalom biz-tos alkalmazása.

A műveletek értelmezése, mű-veleti tulajdonságok. Közelítő értékek.

Egyenletek





Tervszerű, pontos és fegyel-mezett munkára nevelés Az önellenőrzés fontossága.

Nevezetes másod- és harmad-fokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módsze-rei Az alaphalmaz szerepe (ér-telmezési tartomány és érték-készlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlen-ségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičte formulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek.

A problémamegoldó gondol-kodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

Szöveges feladatok Paraméte-res feladatok.


Érettségi szituációs gyakorlat.

Függvények, sorozatok (20óra)



A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti felada-tok A legfontosabb közgazdasá-gi és pénzügyi számítások matematikai alapjainak átte-kintése.

A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra (re-kurzió, pl. a Fibonacci-sorozat).

Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítá-sa feladatokban Kamatoskamat-számítás al-kalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban.

Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt to-vábbhaladási feltételek.





Az absztrakciós készség fej-lesztése A függvényszemlélet fejlesz-tése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természet-tudományokban.

A függvényekről tanultak átte-kintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvé-nyek grafikonjainak segítségé-vel.

Geometria, mérés (40 óra)



A térszemlélet fejlesztése Az esztétikai érzék fejlesztése.

Térelemek kölcsönös helyze-te, távolsága, szöge A síkra merőleges egyenes tételének ismerete Egyszerű poliéderek.

Az előző években felsorolt to-vábbhaladási feltételeken kí-vül: térelemek kölcsönös helyzeté-nek, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.

A matematika gyakorlati al-kalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismere-tek összekapcsolása, analógi-ák felismerése.

A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek össze-foglalása. A poliéderek felszí-ne, térfogata A hengerszerű testek, a hen-ger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp tér-fogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerűbb feladatokban, né-hány poliéder és forgástest köréírt és beírt gömbje.

A megismert felszín- és térfo-gat számítási képletek alkal-mazása egyszerű feladatok-ban.

Rendszerező összefoglalás

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.

A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesz-tése.

A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó téte-lek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó téte-lek és alkalmazásaik Körre vo-natkozó tételek és alkalmazása-ik.





A matematika különböző terüle-tei közötti összefüggések fel-használása.

Vektorok, vektorok koordinátái Vektorműveletek, műveleti tu-lajdonságok, alkalmazások Derékszögű koordináta-rendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

Valószínűség, statisztika (8 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek


A leíró statisztika és a való-színűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatá-ra.

Statisztikai és mintavételi ada-tok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés).


Geometriai modell szerepelte-tése a valószínűség meghatá-rozására.

A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségé-vel. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai.

Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani kö-zépsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakori-ság. A klasszikus valószínű-ségi modell.

Egyszerű klasszikus valószí-nűség-számítási feladatok megoldása.

Felkészülés az érettségire (28 óra)

Documents

005 matematika nyelvi elokeszito 9 13 - bpg.hu matematika_nyelvi_elokeszito 9... · Azonosság és ellentmondás f ogalma. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai,