004 Modulo Logica Proposicional

8/18/2019 004 Modulo Logica Proposicional

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE CIENCIAS Departamento de Matemática

Módulo de Lógica Proposiclenal

(A) (B) (C) (E) (F) (G)

p q p v q p ¿ q p A q pa q p / q p — q p q

V V V F F V F V V

V F V F V F V F F

F V V F V F V V F

F F F V F F V V V

K_*

Oidor: Fidel Vera ObesoNuevo Chimbote, Perú 2013


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Lógica Preposicional_Fidel Vera Obeso

PRÓl OGO

1 1

El estudio de la lógica nos beneficia en lo siguiente: desarrollar habilidades para

expresar ideas de manera clara y concisa, incrementar la capacidad de definir lostérminos que utilizamos y aumentar la capacidad de elaborar argumentos en forma

rigurosa y de analizarlos críticamente. Pero quizás el mayor beneficio es el

reconocimiento de que la razón se puede aplicar en todos los aspectos de las

relaciones humanas.

Las instituciones democráticas requieren que los ciudadanos piensen por sí mismos,

que discutan libremente los problemas y que tomen decisiones con base en la

deliberación y la evaluación de evidencias. A través del estudio de la lógica podemos

adquirir no solamente práctica en el arte de razonar sino también respeto por la

razón, reforzando así y asegurando los valores de nuestra sociedad.

En este módulo se abordan los siguientes temas: la lógica como ciencia; definición,clases de proposiciones; operadores o conectivos lógicos; tautología, contradicción y

contingencia; equivalencia e implicación y las principales leyes lógicas o tautologías

notables.

Los objetivos específicos se logran siempre y cuando los grupos de ejercicios se

resuelvan con una eficacia del 80%, en caso contrario deberán volver a estudiar los

cuadros correspondientes y resolver nuevamente los ejercicios incorrectos o no

resueltos. Resuelva los problemas propuestos del modo siguiente: primero en forma

individual, luego en forma grupal y por último preséntelos en un grupo de un máximo

de cinco (05) integrantes.

El Autor3


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Lógica Preposicional

INDICEFidel Vera ObesoPROLOGO OBJETIVOS PRE-TEST CONTENIDO1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIACONCEPTUALIZACIÓN----------------------------------------------------------------------1

IMPORTANCIA-------------------------------------------------------------------------------3CUESTIONARIO-----------------------------------------------------------------------------41.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES-------------------------------------------------5EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------111.3. OPERADORES O CONECTORES LÓGICOSNOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA ---------------------------------------13EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------241.4. TAUTOLOGA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA----------------------------------2!EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------3"1.5. E#UIVALENCIA E IMPLICACIÓN---------------------------------------------------------31EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------351.$. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS NOTABLES---------------------------------------------------------------3!EJERCICIOS---------------------------------------------------------------------------------45POST - TEST-----------------------------------------------------------------------------------------BIBLIOGRAFA---------------------------------------------------------------------------------------4%4


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Lógica Proposicional_Fidel Vera Obeso

- OBJETIVOS -OBJETIVO TERMINAL:

Identificar, formalizar y simplificar proposiciones.OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1) Conceptualizar la lógica como ciencia y reconocer su importancia en el avance

científico.

2) Definir e identificar proposiciones.

3) Formalizar proposiciones usando variables proposicionales y los conectivos

lógicos, y determinar su valor de verdad.

4) Determinar cuando una proposición compuesta es una tautología, contradicción

o contingencia.

5) Determinar cuando dos proposiciones compuestas son lógicamente

equivalentes y cuando una implica a la otra.

6) Enunciar, demostrar y aplicar las principales leyes lógicas o tautologías notables.5


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POST — TEST

Instrucción: Resuelva el Post-Test de acuerdo a los requerimientos

dados.

01) De las siguientes expresiones:(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas(02)C(n,k)=-n!- , k


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Lógica Proposicional

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05) Se define el conector @ como:p @q = {[ (p A q) A ~q ] v ~q}v Simplificar el esquema molecular:q

{[ ~(p A q) @(t — w)] @ ~q } @ ~pa) q b) ~qc) ~pd) p e) p A NOMBRE : FECHA :TIEMPO : 1 HORA - ! MIN"TOS7


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ACTIVIDAI N# !1

$ OBJETIVO N° 01 \% Concep!al"#a$ la ló%"ca co&o ' \ c"enc"a y$econoce$ (! 1 "&po$anc"a en el aance

A&'l%) l' *%+,%)&) %&.o/0'%& *o2/)

1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA:CONCEPTUALIZACIÓN:Considerando que la lógica estudia tanto la estructura como elcontenido del pensamiento, conceptualmente afirmamos que"La Lógica (en genera)es la ciencia que estudia las leyes dialécticas y lógico-formales, los métodos, los

procedimientos, las propiedades y las relaciones; sobre la base de las teorías del

pensamiento".

ESQUEMÁTICAMENTE:

IPrincipios y/o leyesIdentidad No contradicción.

Tercio excluido Razón suficiente. Unidad y luchade contrarios.Tránsito decantidad en calidad. Negación de la negación

LÓGICA (en general)

T!todosInducción "educción #nálisis $%ntesis

&or'as(oncepto)uicio Raciocinio*ase

Procedi'ientos

"efinición (lasificación"i+isión,xplicación#rgu'entaciónRefutación "e'ostración ,xposición In+estigación

Propiedades

T,spacioTie'poo+i'iento(antidad(ualidad

Relaciones

(ausa ,fectoNecesidad(asualidad


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Posi-ilidadRealidad$ingularparticularuni+ersal.

Universidad Nacional del Santa9


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LA LÓGICA Y LA CIENCIA:Cuando el gran físico Albert Einstein inició sus investigaciones sobre elmicromundo, no lo hizo sobre la base de nada, sino que tuvo que estudiar y

someter a crítica las leyes y teorías de la física clásica del macromundo. Es a partirde estas premisas que fueestableciendo deducciones, inducciones y analogías quefinalmente significan la creación de una nueva teoría: la teoría de la relatividad. Sinembargo no fue suficiente que Einsteinconociese para sí, intersubjetivamente, sino que era necesarioque el mundo, la humanidad también lo conociese, de allí que tuviese el autor quepublicar, hacer público sus investigaciones. Este ejemplo nos muestra que laciencia, puede ser entendidacomo proceso (investigación científica) y también como producto

(publicación o exposición de los resultados de la investigación científica).En ambos casos, la ciencia necesita de la lógica, sin ésta no puede desenvolverse.a) Como proceso la ciencia necesita de la lógica en tanto leyes,procedimientos, métodos, propiedades y relaciones sobre la base de las formas delpensamiento, para que el científico en confrontación con la realidad, alcance la

verdad objetiva. Aquí el peso mayor recae en la lógica del contenido (condiciónsuficiente para la ciencia).

b) Como producto la ciencia en tanto teoría a exponerse,publicarse, necesita de la lógica para organizarse,sistematizarse, estructurarse, formalizarse a fin de poder

demostrar su validez o corrección lógico-formal: Aquí el peso mayor recae en lalógica formal (condición necesaria para la ciencia).Universidad Nacional del Santa10


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IMPORTANCIA DE LA LÓGICA PARA EL AVANCE CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO:• Permite en base al conocimiento ya obtenido y validado, deducir nuevosconocimientos.

• En base a razonamientos inductivos (de lo particular a lo general), podemosplantear hipótesis o predicciones científicas; sin experimentación.• Permite la formalización del lenguaje científico para la posterior demostración de

validez, tornándose preciso, exacto, convencional y universal.• En tanto métodos lógicos son el puente entre los métodos de investigacióncientífica y los métodos de exposición científica.• Es la base y hasta el momento la fundamentación de las matemáticas(consideradas ciencias exactas), según la cual se puede deducir de un conjunto deaxiomas un conjunto de teoremas. También se usa la inducción y analogíamatemática.

• El desarrollo y el progreso de la lógica implican el desarrollo y el progreso de lasciencias y la tecnología, por ejemplo los circuitos lógicos son el fundamento de loscircuitos eléctricos y de todo el sistema de computación. Ahora, con lascomputadoras se pueden hacer cálculos y predicciones sumamente complejos.• Por sus aplicaciones a la matemática, a la lingüística, al análisis del lenguajenatural, al análisis de los razonamientos filosóficos, las aplicaciones al métodocientífico, y en general, no hay campo de la ciencia ni de la tecnologíacontemporánea donde la lógica no sea utilizada. En este sentido, la lógica es lacolumna vertebral de todos los acontecimientos en cuanto lo organizacoherentemente.

• En la vida diaria hacemos uso de la lógica constantemente, incluso para cruzaruna pista, porque previamente razonamos: "si viene un carro, no debo cruzar lapista. Viene un carro. Luego, no debo cruzar la pista", o cuando un campesino veuna densa nube en el cielo infiere que va a llover, y así podemos mencionarsituaciones donde se usa la lógica indefinidamente.Universidad Nacional del Santa11


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ACTIVIDAD N# !3R)*,)lv) ' o&%&,'%& )l *%+,%)&)CUESTIONARIO SOBRE LA LÓGICA COMO CIENCIA:

1) ¿Cómo se conceptualiza la lógica como ciencia? Haga un diagrama de dichaconceptualización.2) ¿Cómo se relaciona la lógica y la ciencia? Cite algunos ejemplosprácticos.3) Con ejemplos explique la importancia de la lógica en la vida diaria.4) ¿Qué aplicaciones de la lógica podemos citar? Cite algunos ejemplosprácticos.5) ¿Por qué es necesaria la lógica para las ciencias?Universidad Nacional del Santa12


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ACTIVIDAD N# !1 * OBJETIVO N° 02 +* -e."n"$ e "den"."ca$ \

V p$opo("c"one(/ *

E*,4%) l' *%+,%)&) %&.o/0'%& *o2/)1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:EL CONCEPTO:Es una de las formas del reflejo del mundo en el pensar, medianteel cual se entra en conocimiento de la esencia de los fenómenos y

procesos. En otras palabras, es el pensamiento. En otras palabras, es elpensamiento elemental, la unidad lógica básica que presenta al objeto o a una clasede objetos refiriéndose a sus caracteres esenciales o indicando relación entre ellos.Ejemplos:(designa un objeto real físico) (designa un objeto real o psíquico) (designa objetoabstracto). (designa valor)(indican relación entre los anteriores) Finalmente, un concepto no afirma ni nieganada, simplemente indica algo ya sea objeto o entidad.Carpeta Alegría Número Perseverancia Todos, algunosEL TÉRMINO:

Es la expresión, manifestación, explicitación lingüística del concepto. Es decir, es lapalabra o palabras con la cual se expresa un conjunto. Así:• El concepto estricto "cerebro" se expresa con un solo términoo palabra.• El concepto estricto " Universidad Nacional del Santa" seexpresa con varios términos o palabras.Universidad Nacional del Santa13


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EL JUICIO:Es una relación o conjunto de conceptos que se caracterizan por construir unaafirmación o aseveración de algo. Es una forma, una estructura del pensamiento

que objetivamente es verdadero o falso.LA ORACIÓN:Convencionalmente, es una palabra o conjunto de palabras consentido o significado propio.CLASIFICACIÓN DE LAS ORACIONES:1) Declarativas o Aseverativas:a) Informativas (Informan)Ejm.: 2 + 3 = 5

b) Descriptivas (Describen)Ejm.: La tierra gira alrededor del sol.

c) Explicativas (Explican)

Ejm.: El área de un cuadrado de 4 cm de lado es 16mporque para hallar el área deun cuadrado se multiplica lado por lado.

2) Expresivas o no Aseverativas:a) Exclamativas (Sentimientos, interjecciones)Ejm.: ¡Viva el Perú!

b) Imperativas (Órdenes)Ejm.: Silencioc) Desiderativas (Deseos, súplicas)Ejm.: Quiero viajar al Cuzco

d) Interrogativas (Preguntas)Ejm.: ¿Qué hora es?LA PROPOSICIÓN:

Es la expresión lingüística del juicio, de cuyo contenido o significado se puedesaber con certeza si es verdadero o falso empíricamente y que generalmente seexpresa como oración declarativa. A nivel de pensamiento se llama juicio y a nivelde lenguaje se llama proposición, por eso se dice que las proposiciones son laenvoltura material de los juicios.Ejm.: Todo número par es divisible por dos.



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En síntesis, el proceso lógico puede esquematizarse del modo siguiente:PROPOSICIÓN

A modo de resumen se da el siguiente cuadro para que puedaidentificar proposiciones.Son proposiciones No son proposiciones

• Las oraciones aseverativas.• Las leyes científicas.• Las fórmulas matemáticas.• Las fórmulas y/o esquemaslógicos.• Los enunciados cerrados odefinidos.

• Los hechos o personajes literarios.• Los proverbios, modismos y refranes.• reencias religiosas, supersticiones ymitos.• Las interrogantes.• Las órdenes.• Las interjecciones.• Los deseos, dudas y s!plicas.• Los abiertos o indefinidos.



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EJEMPLO 1De las siguientes oraciones, identificar las que son proposiciones.01) Cuando x > 3 entonces xq

2

2 > 902) Peter Drucker es autor de la obra "El Líder del Futuro".03) La traducción en inglés de "yo te amo" es "I love you".04) ¡Viva el Perú!05) Dadme la vida o dadme la muerte.06) ¡Chimbote! Alma mater de lucha y de inquietud.07) ¿A qué hora termina el examen?08) Todo triángulo es un polígono09) Juega un papel preponderante en el desarrollo y conservación de los recursos.

10) El ADN es la molécula maestra de la célula.11) El área del círculo es...12) Es un método didáctico activo.13) Del dicho al hecho hay mucho trecho.14) Hoy tendré un mal día, se me cruzó un gato negro.15) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.Solución:La característica fundamental de una proposición es verdadera o falsaempíricamente. De acuerdo a esto:Son proposiciones:

1, 2, 3, 8 y 10 (oraciones aseverativas)15 (fórmula matemática)No son proposiciones: 5 y 6 (figuras literarias)4 (interjección)Universidad Nacional del Santa16


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1314(refrán) (superstición)

CLASES DE PROPOSICIONES:Simples, atómicas o elementales: Aquellas que carecen de conectores lógicos.Compuestas, moleculares o coligativas: Aquellas que tienen uno o más conectoreslógicos.EJEMPLO 2De las siguientes proposiciones, identificar las proposiciones simples y lasproposiciones compuestas.01) 02) 03) 04) 05) 06)07)08) 09) 10)

11) 12) 13)No existe la capa de ozono.El SIDA y la TBC son enfermedades.Los ofidios tienen extremidades o bien vértebras.Los medios de comunicación son necesarios en la pedagogía.iCero es un número par o impar.La relación es una función y representauna circunferencia.Si es un número irracional entonces es un número real.si y sólo si x = h

Manipular la computadora y la impresora son ejemplos de aprendizaje motor."Peruanicemos al Perú" es un tema crítico-científico-literario de José María

Arguedas.Las palabras: mármol, carácter, baúl, tórax llevan tilde por ser graves prosódicas.Los metaloides son combinables con oxígeno para formarUniversidad Nacional del Santa17


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14) En todo proceso redox existen uno o más elementos que se oxidan.15) X + 6 = 4 si X = -2Solución:

4 y 13 son proposiciones simples pues carecen de conectores lógicos.1 y 5 tienen la negación como conectivo. El símbolo matemático V " diferente a" esequivalente a "no es igual a".2, 7, 10, 11 y 12 tienen la conjunción como conectivo.3, 6 y 14 tienen la disyunción como conectivo.8 y 15 tiene como conectivo el condicional.9 tiene el bicondicional como conectivo.Universidad Nacional del Santa18


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ACTIVIDAD N# !3R)*,)lv) ' o&%&,'%& l' *%+,%)&)EJERCICIOS SOBRE PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:

01) De las siguientes expresiones:(1) Todo lo agradable es bueno(2) ¡Viva el Perú carajo!(3) Hay mujeres en la tierra(4) Los alumnos de historia hicieron la tarea(5) Entrégame mi libro de lógica. No son proposiciones:a) 2, 3 y 5 b) 2 y 5 c) 2, 4 y 5 d) N.A. e) T.A.02) De las siguientes expresiones:(1) Solo sé que nada sé(2) El calor dilata los cuerpos

(3) x + y = y + x(4) Vargas Llosa es el mejor escritor del Perú(5) Café es una palabra aguda. No son proposiciones:a) 1, 3 y 4 b) 1, 3 y 5 c) 3, 4 y 5 d) 1 y 3 e) 1, 4 y 503) De las siguientes expresiones:(1) Los cuerpos caen por acción de la gravedad.(2) La materia es energía concentrada.Universidad Nacional del Santa19


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(3) El valor de n = 3.1416(4) H3O es la fórmula del agua(5) The sun is the center of our planetary system Son proposiciones:

a) 1, 2, 4 y 5 b) 1, 2 , 3 y 4 c) 1,2 y 5 d) 1,2 y 3e) Todas.04) De las siguientes expresiones: (1) El agua no se solidifica a 0°(1) tg x = 1 cuando x=n/42 - i

(2) 221 = % no obstante"/2(3) x2 + y2 = 1; es la ecuación de una circunferencia(4) 4 + 3 * -3 -4Son proposiciones compuestas:a) 2, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1,2 y 3 d) 1,2, 3 y 5e) 1, 3 y 505) De las siguientes expresiones:(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas(02)k\(n- k)\

(03)(04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno(05) The earth rotates around the sunNo son proposiciones compuestas:

a) 1, 2, 3 y 5 b) 1, 2 y 3 c) 1 y 5 d) Sólo 1e) 1 y 2Universidad Nacional del Santa20


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ACTIVIDAD N# !1OBJETIVO N° 03

o$&al"#a$ p$opo("c"one( !(ando a$"able(

p$opo("c"onale( y lo(

conec"o( ló%"co(, y

dee$&"na$ (! alo$ de e$dad/

A&'l%) l' *%+,%)&) %&.o/0'%& *o2/)

Operadores o Conectivos Lógicos:La Negación

Símbolo: ~% 5

Esquema lógico P

ectura 0no p0 0nunca p0 0a'ás p0 0ta'poco p0

0es a-surdo 2ue p0 0es inad'isi-le 2ue p0

0es falso 2ue p0 0no acaece 2ue p0

0es inconce-i-le 2ue p0 0no es innega-le 2ue p0

0es i'posi-le 2ue p0 0carece de todo sentido 2ue p0

0no ocurre 2ue p0 0de ninguna for'a se da p0

0no es +erdad 2ue p0 0es erróneo 2ue p0

0es 'entira 2ue p0 0es incierto 2ue p0

0nadie 2ue sea p0

etc...



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La Disyunción Débil o Inclusiva

Símbolo: v, +

\ Esquema lógico p q, p + qectura 0p ó 20

0a 'enos 2ue p 20 0p óta'-i!n 200p ó de lo contrario 20

0p sal+o 2ue 200p a 'enos 2ue 20 0p excepto 2ue 200p ó en tal sentido 20etc...

La Disyunción Débil o Exclusiva

Símbolo: v.# jzr, >- -- <

Esquema lógico pvq, pAq, pyfq, p̂ q, p>--


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ectura 0p y 200p pero 20 0p aun2ue 20 0p sine'-argo 20 0p incluso 20 0pas% co'o 20 etc...

0p ta'-i!n 200p del 'is'o 'odo 200p de la 'is'a for'a 200p tal co'o 200p al igual 2ue 200p no o-stante 20

0p es co'pati-le con 200no sólo p ta'-i!n 200sie'pre a'-os p con 200tanto p co'o cuanto 20



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El operador de Sheffer

Símbolo: %

Esquema lógico p% q, ~pA~q, ~(pvq)

ectura 0ni p ni 20 0es falso 2ue p ó 20

El Condicional

$%'-olo4

,s2ue'a lógico p— q, p qectura 0si p entonces 20 0ya 2ue p -ien se +e 2ue 20

0cuando p as% pues 20 0sie'pre 2ue p por consiguiente 20

0con tal de 2ue p es o-+io 0co'o 2uien 2ue p por lo cual 20

2ue 20 0en el caso de 2ue p en tal sentido

0en +irtud de 2ue p es 20

e+idente 20 0toda +ez 2ue p en consecuencia 20

0dado p por eso 20 0en la 'edida 2ue p de all% 20

0en cuanto p por tanto 20 0en el caso de p en este caso 20

0de p de+iene 20 0p i'pone 20

0de p deduci'os 20 0p es condición suficiente para 20

0p sólo si 20 etc...

En la condicional: p

tel s

,l #ntecedente a 5ipótesis a causaLa Premisa ,l consecuente a tesis,l efectoLa Conclusin

Después de las siguientes palabras va el antecedente de una condicional(INDICADORES DE PREMISAS):puesto que dado quea causa deporquepuesse sigue de como muestra

ya quesi como es indicado porla razón es quepor las siguientes razonesse puede inferir dese puede derivar dese puede deducir deen vista de quecuandocada vez que, siempre que, a condición de que, es condición necesaria para, es

insuficiente para.


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En este caso el esquema lógico es:(onsecuente (onclusiónPala-ra Indicador de pre'isa

Pre'isa #ntecedenterEste conectivo se llama REPLICADOR.El Bicondicional$%'-olo4


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4)Una condición necesaria para 2ue Roc%o no sea pre'iada con un li-ro;< 8p es 2ue estudie 'ate'áticas y no aprue-e el exa'en. 72 A 8r68p = 7 2 A 8r6

5) Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos,dado que, si es hora laborable, en el juzgadohay jueces, y hay testigos si en el juzgado hay jueces.Solución: Sean:p : hora laborableq : hay jueces en el juzgado r : hay testigos en el juzgado.9Simbolizando sólo las proposiciones simples:Como p, se concluye que q y r, dado que, sip, q, y r si q.9Simbolizando los operadores condicionales:

[p—(qA r) dado que (p—q)A (r si q)]9Simbolizando los replicadores:[(p—q)A (q—r)]—[p—(qAr)]Universidad Nacional del Santa27


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VALORES VERITATIVOS DE LOS OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS

p ~p

V FF V

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

pq p v q p ̂ q p A q pa q p / q p q p q

VV V F F V F V V

VF V F V F V F F

FV V F V F V V F

FF F V F F V V V

9 (A) y (B)% son de valores de verdad opuestos

(D) y (E)r 9 Sentido convencional de la verdad formal. (A) es V-o al menos p es 1 ó q es 0(C) es Vo p y q tienen valores de verdad desiguales(E) es V- cuando menos p es 0 ó q es 0

(G) es V o p y q tienen valores de verdad igualesetc.9 Sentido convencional de la falsedad formal: (D) es F-o al menos p es 0 ó q es 0(F) es F-o p es 1 y q es 0(G) es Fo p y q tienen valores de verdad desiguales (C) es Fo p y q tienen valoresde verdad iguales. etc.Universidad Nacional del Santa28


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Se puede construir un mapa conceptual de los valores de verdad de un operador,por ejemplo:Mapa Conceptual de los Valores de Verdad de pAq

Si p es

entonces

>6p Aq esentoncesGVSi p es

>?

p Aq esentonces Vp Aq esentonces

>6p Aq esEJEMPLO 2Si la proposición q— r es falsa, el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I. rA (pv r)II. ~ (qA r)III. (rA ~26 — pIV. pA 72 — r)Son respectivamente:7a6 &@&@ 7-6 @@&@ c6 @&@&d6 &&&@ e6 &@@&

Solución: Sabemos que:2 = r A & @ = &2 A @


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r A &

Luego:I. r A 7p v r6 A && A @Universidad Nacional del Santa

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II. ~ 72 A r6 8 @ ~ &

©III. 7 r A 826 — p 8 @ 7 & A &6 — p& — p cual2uiera sea el +alor de +erdad de p

©I@. p A 72 — r6 8 & P A &B cual2uiera sea el +alor de +erdad de pRespuesta 7e6

EJEMPLO 3Dadas las proposiciones:q : " 7 es un número racional" p y r cualquier proposición además se sabe que:

~ (rv q)— (r— p)] es verdaderaHallar el valor de verdad de:I. r — 7~ p v ~ 26II. 7 r o 7p A 26C o 72 A 8p6III. 7 r v 8p6 A 72 v p67a6 @@@ 7-6 &&& c6 @&@ d6 &@@ e6 @@&Solución:Del dato, q8 F, además7r v 26 — 7 r — p6 8 & @ — & 7i6 r — p 8 & 7ii6 r v 2 8 @@ — & @ v &p A & .D. 2 A & r A @Universidad Nacional del Santa31


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I. r — 78p v 826 A @ @ — 7@ v @6@ — @

©II. 7r o 7p A 26C o 72 A 8p6 A @ 7@ o &6 o 7& A @6& o &

&III. 7 r v 8p6 A 72 v p6 A &7@ v @6 A 7& v &6 @ A &

#Respuesta 7c6

EJEMPLO 4 Si se sabe que:{[(rv s)— t]A (pv q); A {~{[(rA t)A s] —(~qA~p)}}es verdadera, hallar el valor de verdad de:I. EF7p v 26 — r ] A 7 t — p 6; A rII. 7r — s6 v 8t ] — 87p v 26III. ~ 7p v 26 A 7 t — ~ A<7a6 @@@ 7-6 @&& c6 @&@ d6 &@@ e6 @@&Solución:Para que toda la proposición sea verdadera, cada una de lasexpresiones entre llaves debe ser verdadera, o sea:7i6 =( r v s6 — t ] A 7p v 26G A @7ii6 =-=( r A t6 A pC — 782 A 8p6GG A @

1@Universidad Nacional del Santa32


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"e 7ii6

[(rA t)A s]— (~qA ~p)8 &C_'_ j C_ J 4 4

@ — F@ A @s = V(~qA ~p)8 F— ~ (qv p)8 F: qv p= V"e 7i6 =( r v ss6 — t ] A 7pvH26G8 @ A @&

9 ( rv s)— t8 &@ &

t A &

r A @

Luego, evaluando los casos pedidos:I. EF7p v 26 — r ] A 7 t — p 6; A r 8 @ EF7@ — @ ] A 7 & — p 6; A @ E@ A @ ; A @ & A @II. 7r — s6 v 8t ] — ~ 7p v 26 8 & 7@ — @6 v @ ] — ~ 7@6 7@ v @ ] — & @ — & BUniversidad Nacional del Santa33


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I@. ~ 7p v 26 A 7 t — ~ () 8 && A 7 & = &6& A @ BRespuesta 7-6



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ACTIVIDAD N# !3R)*,)lv) ' o&%&,'%& lo* *%+,%)&)*EJERCICIOS SOBRE FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES:

A. Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones:1. No es cierto que 19 sea divisible por 9 ó por 19.2. Einstein dice la verdad pues la teoría de la relatividad no es exacta ni las leyes dela mecánica son absolutas.3. En primavera soplan vientos fuertes o hace mucho frío, pero no garúa, sinembargo es una bonita estación.4. Las leyes de la mecánica son exactas, si Newton dice la verdad, ysólo sí, el movimiento no es relativo.5. 24 es un número par, o múltiplo de 6 y de 2, pero no es divisible entre 10 nientre 14.

6. Carlos es profesional sí y sólo sí, es graduado universitario. Ocurre que Carlos esmatemático. Por lo tanto, si Carlos es matemático entonces es graduadouniversitario.B. 7 La fórmula q — p se traduce como:1) Hago deporte porque estoy sano.2) Es necesario llorar para estar tranquilo.3) Hago mis tareas al tener vacaciones.4) Sólo si bailo, me divierto. Son correctas:a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) T.A. e) N.A.Universidad Nacional del Santa35


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8 La fórmula( pA q< A r] o s, se traduce como:1) No sólo la distancia es una magnitud del movimiento sino queel tiempo también lo es igual que la velocidad y la aceleración

siempre y cuando se defina como cambio de un lugar a otro.2) La distancia es una magnitud del movimiento del mismo modo el tiempo y la

velocidad por lo cual y según lo cual el movimiento es el cambio de ubicación.3) El tiempo, la velocidad y la aceleración son magnitudes delmovimiento, si el movimiento es cambio de espacio.4) El avión aunque también el barco al igual que el bus son medios de transportecada vez que y sólo sí trasladanpasajeros de un lugar a otro.5) El perro, tanto como el gato lo mismo que el asno son animales útiles para elhombre es equivalente a decir que son domésticos.

Son correctas:a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5 e) 1, 3 y 59. La fórmula q— p, se traduce como:1) Si eres buen estudiante lógicamente serás buen profesional.2) Ingresarás a la universidad porque eres buen estudiante.3) De ser buen estudiante obviamente ingresarás a la universidad.4) Ingresarás a la universidad si eres buen estudiante.5) Crecen las plantas siempre que haya humedad en la tierra. Son correctas:a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5 e) 1, 3 y 5Universidad Nacional del Santa36


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EJERCICIOS SOBRE VALORES VERITATIVOS:C. 10. Si la proposición:(pA ~q)— (p— r) es falsa,

Se afirma que:I. pv q es falsaII. r— q es verdaderaIII. ~q— p es verdaderaSon ciertas:a) Sólo I b) sólo II c) Sólo I y IIId) Sólo II y III11. Si la proposición:(pA q)— (q— r) es falsa, luego:I. (po q ) no es falsa

II. (qv s) no es falsaIII. (q— p) es verdadSon ciertas:a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y IIId) Sólo II y III e) I, II y III12. Si la proposición:~{[(pA q)— r] —(rv s)} es verdaderaHallar el valor de verdad de:I. (pA q)o (rA s)II.~ [(pA s)o r]— (wA p)

III. [qA (rA w)]A [p— (s—q)]Son ciertas:a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VFVUniversidad Nacional del Santa37


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ACTIVIDAD N# !1OBJETIVO N° 0

!na

e(

-ee$&"na$ c!6ndo p$opo("c"ón co&p!e(a !na a!olo%7a, con$ad"cc"ón o con"n%enc"a/

A&'l%) l' *%+,%)&) %&.o/0'%& *o2/)1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA:Una proposición molecular es una tautología si, como resultadode su evaluación, los valores de verdad del operador de mayor jerarquía son todos

verdaderos. Si estos valores son todos falsoses una contradicción. Si no es una tautología ni una contradicción es unacontingencia.Para evaluar una proposición compuesta es necesario construir su tabla de valoresde verdad respetando la jerarquía de los operadores de menor a mayor.

El total de valores de verdad por cada variable es 2n, donde "n" esel número de variables proposicionales, combinándolos mitad V y mitad F por cadacolumna, respectivamente.EJEMPLO 1Determinar, previa evaluación; si cada uno de los siguientesesquemas moleculares es una tautología, contradicción o contingencia.1. [(pA ~q)A ~ (rA q< ] o ~ (pA ~q)— (qA r< ]2. (~pA q)— ~r] o rA ~(pv ~q< ]3. pv (q— ~r )] A (~pv r< o~q]Universidad Nacional del Santa38


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Solución:

1

1.n° de variables preposicionales: 3

Total de valores por cada variable: 23

= 8

[(p#~q)A 8 7rA q6 C o 8 F 7p#~q)=(qA r6 C 6 C

r

1 9 J K L M

p 2 r ~q pA 1 rA q / / 3 2 A 4 2— 3 ~ 6 5o 7

1 1 1 O 1 1 O O 1 O 1

1 1 O O 1 O 1 1 O 1 1

1 O 1 1 O O 1 O 1 O 1

1 O O 1 O O 1 O 1 O 1

O 1 1 O O 1 O O 1 O 1

O 1 O O O O 1 O 1 O 1

O O 1 1 1 O 1 1 O 1 1

O O O 1 1 O 1 1 O 1 1

2. El esquema moleculares una TAUTOLOGIA

Operador principalde mayor jerarquía

o

/

F(~pA q) =~rC o FrA (p+~q6 C

1 9 J K L M

p 2 r p 1#q r2— 3 ~ q p v 5 ~6 rA 7 4o 8

1 1 1 O O 1 1 O 1 O O O

1 1 O O O 1 1 O 1 O O O

1 O 1 O O 1 1 1 1 O O O

1 O O O O 1 1 1 1 O O O


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O 1 1 1 1 O O O O 1 1 O

O 1 O 1 1 1 1 O O 1 O O

O O 1 1 O 1 1 1 1 O O O

O O O 1 O 1 1 1 1 O O O

1El esquema molecular esuna CONTRADICCIÓN

Operador principal o demayor jerarquía

Universidad Nacional del Santa

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3. pv (q— ~r )] A (~pv r< o ~q]

1 9 J K L M

p 2 r ~ / > — 1 ? v 3 ~ ? @ v / ~ > o 6 A

1 1 1 O O 1 O 1 O O O

1 1 O 1 1 1 O O O 1 1

1 O 1 O 1 1 O 1 1 1 1

1 O O 1 1 1 O O 1 O O

O 1 1 O O O 1 1 O O O

O 1 O 1 1 1 1 1 O O O

O O 1 O 1 1 1 1 1 1 1

O O O 1 1 1 1 1 1 1 1

El esquema molecular Operador principal oes una CONTINGENCIA de mayor jerarquíaUniversidad Nacional del Santa41


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ACTIVIDAD N# !3R)*,)lv) ' o&%&,'%& lo* *%+,%)&)*EJERCICIOS SOBRE EVALUACIÓN DE PROPOSICIONES

COMPUESTAS:Determinar, previa evaluación, si cada uno de los siguientes esquemas moleculareses una tautología, contradicción o contingencia.1.~ =(pA q)v pA (~pv q)] ; o (p— ~q)2. {[(~p< %q]v (q% p); o = (~p< % ( ~ q)] v ( p% q);3. {[(p% q)% ( q / p)] o(pA q); o ~ (pA q)o (p/ q)]4.(- p— q)A ~r] v =( qA r)— ~p]A p}5.~~(pv q)o (qv p)]— ~ q— (pv r)]6. ~{[(pv ~q)A ~(rA p)]o ~ (pv ~q)— (qA r)] ;7.~ ~ = ~ ~ ( ~ pA q)o ~r]— ~ (~rv ~q)}o [pA ~ ( ro q)]

8. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos,dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, yhay testigos, si en el juzgado hay jueces.Universidad Nacional del Santa42


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ACTIVIDAD < N# !1

* OBJETIVO N° 05 \

-ee$&"na$ c!6ndo do( p$opo("c"one( co&p!e(a( l

(on ló%"ca&ene e(!"alene( y c!ando !na "&pl"ca

a la o$a/

A&'l%) l' *%+,%)&) %&.o/0'%& *o2/)

1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:Dos esquemas moleculares A y B son equivalentes si tienen losmismos valores de verdad en su operador principal, o si unidospor el bicondicional el resultado es una tautología. Es decir, A = Bsi Ao B es una tautología.Un esquema molecular A implica a otro B si unidos por elcondicional, en ese orden, el resultado es una tautología. Es decir,

A implica a B si A— B es una Tautología; B implica a A si B— A es una TautologíaEJEMPLO 1

Dados los siguientes esquemas moleculares: A = (p— q)v ( rA p) B = ~p


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# * (

p 2 r (p—q) v (rA p) ~[~ p (~ r q )] ~ q — (~ r — ~ p)

1 1 1 1 1 1 O O 1 O O O 1 O 1 O

1 1 O 1 1 O 1 O O 1 1 O 1 1 O O

1 O 1 O 1 1 1 O O O 1 1 1 O 1 O

1 O O O O O O O 1 1 O 1 O 1 O O

O 1 1 1 1 O 1 1 O O O O 1 O 1 1

O 1 O 1 1 O O 1 1 1 1 O 1 1 1 1

O O 1 1 1 O O 1 1 O 1 1 1 O 1 1

O O O 1 1 O 1 1 O 1 O 1 1 1 1 1

A y B tienen los mismos valores de verdad en su operador de mayor jerarquía, porlo tanto:

A = CEJEMPLO 2

Dados los siguientes esquemas moleculares: A = p+-qB =- (pv r)C = q— pD =- (q— -r)Determinar:1) Si A implica a C2) Si B es implicado por D3) Si C implica a la disyunción de A, B y D4) Si A entonces B está implicado por la negación de C.



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Sol,%&:1)A %0?l%' ' C *% A $ C )* ,&' ',olo+' v)/%'&4o:

1 # ( # - (

p 2 ~ (po ~q) q- p ~ (po ~q)]— (q—p)

1 1 1 0 0 1 1

1 O 0 1 1 1 1

O 1 1 0 0 0 1

O O 1 0 1 1 1

Por lo tanto, A implica a C es una tautología2) B es implicado por D si D— B es una tautología verificando:

" * " — *

p 2 r ~(q— ~ r) ~ (P v r) [~(q—~r)]— [~(pvr)]

1 1 1 1 0 0 0 1 0

1 1 O 0 1 1 0 1 1

1 O 1 0 1 0 0 1 1

1 O O 0 1 1 0 1 1

O 1 1 1 0 0 0 1 0

O 1 O 0 1 1 1 0 1

O O 1 0 1 0 0 1 1

O O O 0 1 1 1 0 1


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Por lo tanto, no es una tautología B no esimplicado por D es una contingencia



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3) C implica a la disyunción de A, B y D si C— (AvBvD) es una Tautología. Verificando:

C Av B v D C—(Av Bv D)

p q r q— p ~(po~q


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ACTIVIDAD N# !3R)*,)lv) ' o&%&,'%& lo* *%+,%)&)*EJERCICIOS SOBRE EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN: I. En cada grupo de

esquemas moleculares que aparecen acontinuación, determinar los que son equivalentes.1. P = p @ (~rA q)

Q = (~ po q̂)— rR = qo (p— ~r)

2. P = Si los fenómenos naturales se comportan según las leyesde la mecánica de Newton, entonces Newton dice la verdad; sin embargo, la Físicaclásica no es absoluta.Q= Newton dice la verdad si la física clásica no es absoluta,sí y sólo sí los fenómenos naturales no se comportan según las leyes mecánicas de

Newton.R= Ni Newton dice la verdad ni la física clásica es absoluta,o la física clásica no es absoluta a la vez que losfenómenos naturales no se comportan según las leyes mecánicas de Newton.Universidad Nacional del Santa48


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II. Dados los siguientes esquemas moleculares:P = El estado es responsable de la economía del país sí y sólo sí las leyes de lareforma económica no son aplicables a la realidad.

Q = No se da el caso que las leyes de la reforma económica seanaplicables a la realidad o el Estado sea responsable de la economía del país. R = Silos políticos dicen la verdad, entonces, o el Estado es responsable de la economíadel país o las leyes de la reforma económica non son aplicables a la realidad.Determinar:1) Si P implica a Q2) Si R es implicado por Q3) Si Q implica a R4) Si R implica a la disyunción de P y Q5) Si la conjunción de P y Q está implicada por R.

6) Si la bicondicional de P y Q está implicada por R.7) Si la negación de Q está implicada por la disyunción de P

y R.8) Si la negación de la conjunción de P y R implica a lanegación de Q.Universidad Nacional del Santa49


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ACTIVIDA D N# !1 S OBJETIVO N° 08 \* En!nc"a$, de&o($a$ y \ * apl"ca$ la(

p$"nc"pale( leye( ' l ló%"ca( o a!oló%"ca( \

noable(/ *

A&'l%) l' *%+,%)&) %&.o/0'%& *o2/)

1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS NOTABLES:1) Identidad(a) p— p8 T (b) po p8 p2) No Contradicción:~ (P A ~p)8 ~C8 T3) Tercio Excluido: pv ~p8 T4) Idempotencia:(a) pA ~p8 p (b) pv p8 p5) Conmutativa:(a) pA q8qA p (b) pv q8 qv p6) Asociativa:(a) pA (qA r)8 (pA q) (b) pv (qv r)8 (pv q)v r7) Distributiva:(a) pA ( qv r)8 (pA q)v (pA r)(b) pv ( qA r)8 (pv q)A (pv r)8) Doble Negación o Involución:~ (~p) =PUniversidad Nacional del Santa50


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9) Absorción:(a) pA (pv q)8 p(b) pv (pA q)8 p

(c) pA (~pv q)8 pA q(d) pv (~pA q)8 pv q10) Morgan:(a) ~(pA q)8~pv ~q8p/q(b) ~(pv q)8~pA ~q8p% q11) Condicional:(a) p— q8 ~pv q(b) ~(p— q)8 pA ~q12) Disyunción Fuerte:pA q8 (pv q)A ~ (pA q)8 (pA ~q)v (qA ~p)

13) Transposición:(a) p— q8 ~p— ~q(b) (po q)8 ~qo ~p14) Transitiva:(a) [(p— q)A (q— r)]— (p— r)(b) [(po q)A (qo r)]— (po r)15) Elementos Neutros Respecto a A yv(a) pA T8 p(b) pv T8 T(c) pA C8 C

(d) pv C8 pUniversidad Nacional del Santa51


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La demostración de las propiedades leyes lógicas a tautológicos notables se realizaconstruyendo su tabla de valores veritativos.En los siguientes ejemplos se mostrará algunas de las

aplicaciones de las principales leyes lógicas o tautologías notables, tales comoequivalencia de proposiciones ysimplificación de proposiciones complejas.EJEMPLO 1:Hallar la proposición equivalente a:"No es el caso que, hace frío y no se congele"(a) Hace frío o no congela(b) No hace frío o congela(c) No hace frío o no congela(d) Hace frío o congela

(e) Hace frío y no congelaSolución:Consideramos p = hace frío q = congelaFormalizando:No es el caso que, p y no q= ~(pA ~q) Morgan = ~p v qcuya lectura es: "No hace frío o congela ". Respuesta (b) EJEMPLO 2:Hallar la proposición equivalente a:"Hay que pagar 50 soles y servicio para ingresar al Club"(a) No ingresar al club o pagar 50 soles, y ser socio.

(b) Pagar 50 soles o ser socio, y no ingresar al club.Universidad Nacional del Santa52


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(c) Pagar 50 soles y ser socio, o no ingresar al club.(d) Pagar 50 soles y no ser socio, y entrar al club.(e) No es cierto que se pague 50 soles y ser socio, o ingrese al club.

Solución:Formalizando:p = pagar 50 soles q = ser socior = ingresar al club.Hay que p y q para r.8 (pA q)— r por condicional8 ~(pA q)v rLuego:"No es cierto que se pague 50 soles y sea socio, o ingrese al club". Respuesta (c)EJEMPLO 3:

Hallar la proposición equivalente a:"17 es primo porque 17 es primo o 30 es par, y 30 es par"(a) Si 17 es primo, entonces 30 no es par.(b) Si 30 es par, entonces 17 no es primo.(c) Si 17 no es primo, 30 no es par.(d) 30 es par o 17 es primo.(e) 17 es primo ya que 30 no es par.Universidad Nacional del Santa53


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Solución:Formalizando:p = 17 es primo

q = 30 es par (pv q)A q l — p8 q— p"Si 30 es par, 17 es primo"8 ~qv ~pPor absorciónPor condicional

/ "30 no es par o 17 es primo"

8 ~p— ~q Por transposición"Si 17 no es primo, 30 no es par"Respuesta (c)EJEMPLO 4:Simbolizar y luego simplificar la proposición:"Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia se va de viaje" (a) T

b) C c) p d) pv q e) p— qSolución:Formalizando:Sea p = viene a casa

q = se va de viajep ó q, pero no p; en consecuencia q8 [(p v q)A ~p]— q% &'( ) *+ - (Por absorciónUniversidad Nacional del Santa54


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(qA ~p)v q(~qv p)v qpv (~qv q)

= pv T= T por condicionalpor Morganasociativatercio excluido elemento neutro paravRespuesta (a)EJEMPLO 5:Simbolizar y luego simplificar la proposición:"Cuando obtenga mi título entonces ingreso a la carreramagisterial, pero no ingreso a la carrera magisterial; luego noobtuve mi título" (a) ~p b) p c) pA q d) C e) T

Solución:Formalizando:Sea p = obtengo mi títuloq = ingreso a la carrera magisterialCuando p entonces q, pero no q; luego no p8 /(p- > q )A ~q]-> ~p8 /(~pv q̂)A ~q]— ~p8 /~pA ~q)— ~p8 ~/~pA ~q)v ~p8(pv q)v ~p8 qv (pv ~p)8 qv T8 TCondicional

AbsorciónCondicional Morgan

Asociativa Tercio excluido Elemento neutro paravRespuesta (e)

= ~

89



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EJEMPLO 6:Determinar los esquemas más simples equivalentes a:(a)~/~ (pA q)— ~q]v p

(b)/ (p— q)v ~p] A (~q— p)(c)/ pA (~r)] v / (~q )— ~(pA r)]Solución:(a)~/~ (pA q)— ~q] v p/~(pA q)A ~(~q)]v p/~(pA q)A q]v p/ (~pv ~q)A q]v p/ (~p>-qrv q]v pqv pCondicionalInvoluciónMorgan

Absorción Absorción=

=

9=

9

(b)/ (p— q)v ~p]A (~q— p)8 / (~P v q) v ~p]A (qv p)8 / (~P v ~p)v q] A (qv p)8/ ~pv q] A (qv p)8 / (~pv q)A q] v / (~pv q)A p] 8qv (qA p)8qCondicional

AsociativaIdempotenciaDistributiva

Absorción Absorción(c)/ pA (~r)]v /(~q)— ~(pA r)]8 / pA (~r)]v / qv ~(pA r)] Condicional8 / pA (~r)]v / qv (~p)v (~r)] Morgan

8 =/ Ê4~r)] v (~r)}v (qv ~p) Conmutativa y asociativa.~rv qv ~p Absorción(~rv ~p)v q Asociativa~ (rA p)v q Morgan (rA p)— q Condicional8Universidad Nacional del Santa56


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Respuesta (e)Universidad Nacional del Santa57


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ACTIVIDAD N# !3R)*,)lv) ' o&%&,'%& lo* *%+,%)&)*EJERCICIOS SOBRE LAS PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS

NOTABLES:1. Hallar la proposición equivalente a:"La conducta puede ser acción u omisión"(a) La conducta no es acción ni omisión.(b) La conducta es acción más no omisión.(c) La conducta no es acción no obstante es omisión.(d) No es el caso que la conducta no sea acción ni omisión.(e) No es cierto que la conducta sea acción o no sea omisión.2. Hallar la profesión equivalente a:"Toma decisiones oportunas e inteligentes, pues es libre"

(a) Es libre o toma decisiones oportunas e inteligentes.(b) No es libre, o toma decisiones oportunas e inteligentes.(c) Es libre y, toma decisiones oportunas como inteligentes.(d) No es libre, ni toma decisiones oportunas e inteligentes.(e) No es libre y, no toma decisiones oportunas o inteligentes.3. Hallar la proposición equivalente a:"Tendrá el título universitario o sustenta su tesis"(a) Sustenta su tesis o tiene el título universitario.Universidad Nacional del Santa58


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(b) No es el caso que, sustente su tesis y tenga el títulouniversitario.(c) No es cierto que, sustente su tesis y no tenga el título universitario.

(d) No tiene el título universitario, y sustenta su tesis.(e) No es verdad que no sustente su tesis o tenga el título universitario.4. Simbolizar y luego simplificar la proposición:"Si el conocimiento es hipotético, se prueba; y si se prueba, entonces es eficaz;luego, es eficaz cuando es hipotético"a) r b) pv r c) T d) C e) (pv ~q)— r5. Simbolizar y luego simplificar la proposición:"Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia se va de viaje"a) T b) C c) p d) pv q e) p- q6. Simplificar el esquema:

~p— (pA ~q)a) p— q b) q— p c) pA ~qd) qv ~p e) pv q7. Simplificar el esquema:~[(pv q)— ~(r— p)]v ~(q— p)a) pv q b) ~pA q c) pA ~qd) ~p e) q8. Simplificar:(pA q)— (~qo ~p)A (pA q)a) pA q b) pv q c) ~pA q

d) pA ~q e) qv ~pUniversidad Nacional del Santa59


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9. Simplificar:= (p— q)A p]v ~(q— p)}— ~(pv ~q)a) ~pA q b) ~(pA q) c) ~p— q

d) pv q e) ~(pv q)10.Se define el conector @ como:p @ q == (pA q)A ~q] v~q;v qSimplificar el esquema molecular:= ~ (pA q) @ (t— w)] @ ~q; @ ~pa) q b) ~q c) ~pd) p e) pA qUniversidad Nacional del Santa60

http://10.se/http://10.se/


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". )0120, 3. '"445. Elementos de Lógica. 678ico9 Libros 6c :ra; , >. ? =


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004 Modulo Logica Proposicional