0. 시작하면서admin.midasuser.com/UploadFiles2/43/2012-11-081010… · · 2012-11-08프리스트레스트 콘크리트 구조에 대한 서적으로서는 Leonhardt의 “Prestressed

MIDAS Technical Leader’s Group 프리스트레스트 콘크리트 구조의 설계

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0. 시작하면서

닫혀 있던 교량 건설 시장이 포화 상태를 넘어서게 되면서 해외 시장으로의 진출은 이제 선택이 아닌 필수가 되어버렸다. 明石

海峽大橋의 화려한 준공 이후에 급속히 쇠락해가는 일본의 교량 시장을 보면서 “우리”만의 묵계에는 아무런 의미가 없다는 것

을 깨닫게 되고 이제는 가장 경제적이고 합리적인 대안이 무엇인가에 대하여 다시 한번 진지하게 생각해보아야 할 시점이 되었

다.

프리스트레스트 콘크리트 구조는 가장 경제적인 구조 형식 가운데 하나로서 대략 경간장 30m~160m 사이에서는 가장 경제적

인 형식으로 고려되고 있다. 프리스트레스트 콘크리트 구조의 이론적 배경을 “이해”하는 것은 그리 어렵지 않지만 이러한 제반

이론을 자유롭게 응용하여 실제 구조물을 “설계”하는 것은 쉽지 않다.

컴퓨터의 급속한 발전과 더불어 프리스트레스트 콘크리트 구조를 “해석”할 수 있는 프로그램들은 다수 개발되어 현재 이용 중

에 있지만 프리스트레스트 콘크리트 구조의 “설계”에 있어서 이들 프로그램은 계산기와 같이 보조 도구에 불과하고 프리스트레

스트 콘크리트 구조의 거동에 대한 입체적인 이해가 반드시 전제되어야 한다. 기초 이론에 대한 명확한 지식이 없는 상태에서

시방서의 내용을 잘못 이해하여 오적용한 사례는 드물지 않게 접하게 된다.

프리스트레스트 콘크리트 구조에 대한 서적으로서는 Leonhardt의 “Prestressed Concrete: Design and Construction”, Nilson &

Nibson의 “Design of Prestressed Concrete” 등이 고전으로 꼽히고 있으며 보다 최근에는 Collins의 “Prestressed Concrete

Structures”, Naaman의 “Prestressed Concrete Analysis and Design” 등의 역작이 있다. (반면에 도대체 무슨 생각을 하고 사는지

궁금한 Nawy의 “Prestressed Concrete”도 있다.)

필자가 가장 좋아하는 서적은 Lin과 Burns의 “Design of Prestressed Concrete Structures”이다. 비록 마지막 판인 제3판이 발간된

지 이미 30년이 넘었지만 대학에서는 교수로서, 엔지니어링 회사에서는 실제 엔지니어로서의 경력을 가지고 있는 Lin의 방대한

지식과 경험이 650쪽에 요약되어 있는 귀중한 자료이다. 특히 프리스트레스트 콘크리트에 대한 내용 가운데 설계 엔지니어에게

꼭 필요한 내용 만을 축약하여 싣고 있기 때문에 내용을 이해하기 쉽고 중요한 문제에만 집중할 수 있다. 필자의 기억으로는

1963년에 발간된 제2판이 일본어로 번역되고 다시 한국어로 중역된 것으로 알고 있는데 현 시점에서 찾을 수가 없다.

본 컬럼은 앞에서 거론한 Lin의 “Design of Prestressed Concrete Structures”의 내용을 기본으로 渚股俊司의 “プレストレスト―コ

ンクリー設計施工トのおよび ”의 내용을 추가하여 작성한 것이다. 따로 필자의 생각이라고 밝히지 않은 모든 내용은 원저에서 복

사, 번역한 것이며 필자 자신의 창작적인 내용은 전무하다고 할 수 있다.

그리고 철근 콘크리트에 대한 이해없이 프리스트레스트 콘크리트를 이해할 수 없으므로MacGregor와 Wight의 “Reinforced

Concrete”와 Wang과 Salmon의 “Reinforced Concrete Design”을 기본으로 철근 콘크리트에 대한 설명도 어느 정도 추가하기로

한다. 아마도 가장 어려우면서 가장 무시받는 분야가 철근 콘크리트가 아닐까 싶다. 특히 철근 콘크리트는 구조 해석이나 설계

자체 보다도 철근 상세가 더욱 중요하며 아름답고 세련된 철근 상세를 설계하기 위해서는 타고난 본능과 함께 각고의 노력이

필요하다.

본 컬럼에서 시방서의 내용을 인용할 경우에는 주로ACI 318-95의 내용을 기준으로 하며 독자들이 ACI 318-11이나 AASHTO ,

CEB-FIP 등을 적용할 경우에는 주로 하중 계수 및 강도 감소 계수 등에서 차이가 있으므로 이에 대한 보완은 독자의 몫으로 남

겨둔다.

다른 모든 분야도 마찬가지이겠지만 프리스트레스트 콘크리트 구조 역시 기초 이론이 가장 중요하기는 하지만 정작 기초 이론

만으로는 아무 것도 할 수 없고 최소한 연속보 이론까지는 숙지하고 있어야 교량 설계에 적용할 수 있다. 본 컬럼에서는 원저의

목차를 따르기는 하되 순서는 필자가 생각하기에 중요하다고 생각하는 내용부터 연재하기로 한다.

마지막으로 Lin의 헌사를 그대로 옮기면서 머리말을 마감한다.

“맹목적으로 시방서의 공식을 따르기 보다는 자연의 법칙을 적용하고자 하는 엔지니어에게”

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1. 머리말, 재료와 특성

1) 철근 콘크리트 구조

철근과 콘크리트는 몇가지 이유에서 쉽게 결합하여 이용할 수 있다. 1) 철근과 주변의 굳은 콘크리트 사이의 상호 작용인

부착으로 인하여 콘크리트에 대한 철근의 상대적 미끌림이 방지되며 2) 콘크리트를 잘 배합하면 수분 침투와 철근 부식을

방지할 수 있기 때문에 콘크리트의 불침투성을 확보할 수 있고 3) 열팽창계수가 아주 비슷하기 때문에 대기의 온도 변화

하에서 철근과 콘크리트 사이의 단면력 발생이 무시할 수 있을 정도로 작기 때문이다. (콘크리트 5.5~7.5×10-6/°F, 철근 6.5×10-

6/°F, 콘크리트 10~13×10-6/°C, 철근 12×10-6/°C)

2) 탄성 계수

Ec = 33wc1.5√fc’ (90<wc<150 pcf)

wc=145pcf

Ec = 33×(145)1.5√fc’ = 57619√fc’ = 57000√fc’

fc' Ec

(ksi) (ksi)

3.0 3156

3.5 3409

4.0 3644

4.5 3865

5.0 4074

3) 철근

Bar Diameter Area

Number (in) (in.^2)

3 0.375 0.11

4 0.500 0.20

5 0.625 0.31

6 0.750 0.44

7 0.875 0.60

8 1.000 0.79

9 1.128 1.00

10 1.270 1.27

11 1.410 1.56

14 1.693 2.25

18 2.257 4.00

Es = 29,000 ksi


3

3. 설계 방법과 요구 조건

1) ACI Building Code

American Concrete institute, Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-11)

2) 핸드북과 상업용 프로그램

엔지니어에게 있어서 철근 콘크리트를 공부하는 이유는 조잡스러운 스프레드 쉬트를 만들어서 혼자 흐뭇해 하기 위해서가

아니고 실제 설계에 적용하기 위해서이며 결국은 다음의 핸드북을 이해하고 이용할 수 있는 능력을 기르는 것이라고도 할 수

있다. 아래에 소개하는 핸드북들은 이 글을 쓰고 있는 필자는 물론이고 이 글을 읽고 있는 독자들에 비하여 그리 수준이

떨어지지 않는 엔지니어들이 수십년간에 걸쳐 쌓아온 지식을 축적한 것으로 그 실용성을 물론이고 이론적 깊이도 절대

만만하지 않다.

SP-17(09) ACI Design Handbook

CRSI Design Handbook 2008, 10th ed.

PCI Design Handbook, 2010, 7th ed.

철근 콘크리트 구조물에서 정확하고 깔끔한 철근 상세의 중요성은 아무리 강조해도 지나침이 없다. 선배들의 도면으로부터

철근 상세의 노하우를 전수받기 이전에 다음 매뉴얼을 일단 참고하는 것을 추천한다.

SP-66(04) ACI Detailing Manual-2004

철근 콘크리트 기둥을 중심으로 기본 단면들의 설계 프로그램이 일부 개발되어 상업용으로 이용되고 있다. 대표적인

프로그램은 Structure Point사에서 개발한 프로그램 시리즈이다.

www.structurepoint.org

다시 반복하지만 엔지니어들은 이런 프로그램을 직접 작성하는 것 말고도 더 중요하고 재미있는 일이 많기 때문에 우물 안의

개구리같이 좁은 시야에서 이런 류의 프로그램을 개발하고 혼자 좋아하기 보다는 구조 설계 그 자체에 집중하여야 한다.

3) 계산의 정밀도

설계에서 가장 중요한 것은 콘크리트에서 부족한 능력인 인장력에 저항할 수 있는 철근의 적정한 위치와 길이를 결정하는

것이다. 철근 콘크리트 구조의 파괴는 인장력을 전반적으로 과소 평가하거나 작용 하중 하에서 구조계나 구조 요소의 거동을

잘 못 판단한 경우에 발생하며 설계 계산에서 유효 자리를 적게 잡아서 발생하는 경우는 거의 없다. 전자 계산기를 이용한 계산

결과가 몇 자리를 보여 주던 간에 유효 자리는 두세자리에 불과하다.

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4. 휨이 작용하는 구형 단면의 강도1

4) 공칭 휨 강도 Mn-인장 철근 만이 있는 구형 단면

6) 최대 철근비

철근 콘크리트 단면에서는 취성 파괴를 방지하고 연성 파괴를 확보하기 위하여 중립축 깊이를 균형 변형 조건에 대한 중립축

깊이의 최대 75%로 제한한다.

따라서 보의 연성 파괴를 확보하기 위해서는 중립축 깊이를 다음값 이하로 제한하여야 한다.

0.75xb = (0.75)(d)(87)/(87+fy)

철근비로 제한할 경우는 단철근 보의 경우

0.75ρb = (0.75)(0.85fc’/fy)(β1)(87)/(87+fy)

그러나 압축 부재에서는 취성 파괴가 발생하므로 보 부재에 대해서만 취성 파괴를 방지하는 것은 이론적으로 앞뒤가 맞지

않는다. 따라서 연성 파괴를 확보할 수 없는 경우에는 강도 감소 계수 φ를 보에 대한 값 0.8~1.0에서 압축 부재에 대한 값

0.65~0.75쪽으로 감소시키는 것이 합리적이다.

1 여기서 말하는 구형은 球形이 아닌 矩形, 즉 직사각형을 의미한다.


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Step1) As = 4EA×1.27in2/EA = 5.08 in2/(14”)

Step2) 중립축의 깊이를 x=5.336”로 가정한다.

Step3) 콘크리트의 압축 변형률이 극한 변형률 εcu=0.003에 도달한 경우에 대응하는 철근의 응력을 구한다.

εs = (εcu/x)(d-x) = 0.003/5.336”×(21.5”-5.336”) = 0.009087

fs = Esεs = 29000ksi×0.009087 = 263.5 ksi > fy =50 ksi

Step4) 수평 방향 힘의 평형을 검토한다.

β1 = 0.85-0.05(f’c=5ksi-4ksi) = 0.80 > 0.65

a = β1x = 0.80×5.336” = 2.269”

0.85f’cab - Asfy = 0

0.85×5ksi×2.269”×14” - 5.08in2×50ksi = 0

평형 조건이 만족될 때까지 x의 값을 변화시키면서 Step2)~Step4)의 계산을 반복한다.

Step5) 균형 변형 조건에서의 중립축 깊이 xb를 구한다.

εy = fy/Es = 50ksi/29000ksi = 0.001724

0.75xb = (0.75)(d)(87)/(87+fy) = 0.75×21.5”×87/(87+50ksi) = 10.24”

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x = 5.336” < 0.75xb = 10.24” O.K.

Step6) 공칭 휨 강도를 계산한다.

Mn = Asfy(d-a/2) = 5.08in2×50ksi×(21.5”-4.269”/2) = 409.9 ft-kips

7) 최소 철근

a) 구조 해석으로부터 인장 철근이 필요한 휨 부재의 모든 단면에서

As,min = 3(√f’c/fy)bwd > 200bwd/fy

시방서에는 명확하게 설명되어 있지 않지만 이 식은 실제로 플랜지가 압축인 T형 단면에 대한 것이다. 여기서200bwd/fy는 과거

시방서에서 적용된 식으로서 뚜렷한 공학적 근거는 없다.

b) 플랜지가 인장인 정정 T형 단면에서

As,min = 6(√f’c/fy)(bw=복부 폭)d < 3(√f’c/fy)(bw=플랜지 폭)d

플랜지가 인장인 정정 T형 단면이란 캔틸레버 T단면 보를 의미한다. 연속보에 대해서도 명확하게 규정되어 있지는 않지만

정부모멘트 단면 각각에 대하여 위의 식을 준용하는 것이 합리적이다.

그러나 해석에서 요구되는 철근량보다 최소한 1/3 이상 배근된 경우에는 위의 두 조건을 만족시킬 필요가 없다.

c) 두께가 균일한 구조 슬라브와 기초

가장 일반적인 구형 단면으로서 전체 콘크리트 단면에 대한 최소 철근의 단면적 비 As,min/(bwd)는 fy=60 ksi인 경우

이론식으로부터 다음과 같다.

f'c(ksi) 4 5 6

As/(bwd) 0.0016 0.0019 0.0018 0.0021 0.0019 0.0023

이상으로부터 시방서는 fy=60 ksi인 경우 As/(bwd)이 0.0018 이상이 되도록 규정하고 있다. ACI 10.5.4에서 최소 철근으로서 ACI

7.12의 온도나 건조 수축 철근을 준용한 것은 두께가 균일한 구조 슬라브와 기초의 최소 철근량이 우연히 온도나 건조 수축

철근과 동일하기 때문이지 최소 철근량으로서 온도나 건조 수축 철근을 규정한 것은 아니다.

8) 인장 철근만이 있는 휨이 작용하는 구형 단면의 설계

a) 철근비 ρ가 정해진 경우

강도 계수 Rn = Mn/(bd2) = ρfy(1-1/2ρm), m=fy/(0.85f’c)

b) 단면의 치수 b,d가 정해진 경우

ρ = (1/m){1-√(1-2mRn/fy)}

ρ와 Rn사이의 관계를 fy=60ksi인 경우 대하여 그림으로 보이면 그림3.8.1과 같다.


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그림3.8.1

c) 설계 순서

Step1) ρmin과 ρmax 사이에서 ρ를 가정한다.

Step2) 그림3.8.1이나 수식으로부터 Rn을 구한다.

Step3) 필요한 bd2 = Mn/Rn

Step4) 필요한 bd2으로 부터 b,d를 결정한다.

Step5) 결정한 b,d로부터 실제 Rn = Mn/(bd2)을 계산한다.

Step6) 그림3.8.1이나 수식으로부터 ρ를 구한다.

Step7) 필요한 철근량 As=ρ(bd)를 계산한다.

Step8) 실제 철근을 선택하고 단면의 강도 φMn을 계산한다.

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ρmin = 3(√f’c/fy) = 3(√4ksi/40ksi) = 0.004743 < 200/fy = 200/40ksi = 0.005

ρmin = 0.005

β1 = 0.85

ρmax = 0.75(0.85β1)(f’c/fy){87/(87+fy)} = 0.75(0.85ⅹ0.85)(4ksi/40ksi){87/(87+40ksi)}

= 0.03712

ρmin=0.005 < ρ=0.03 < ρmax =0.03712으로 선택한다.2


m = fy/(0.85f’c) = 40ksi/(0.85ⅹ4ksi) = 11.76

Rn = Mn/(bd2) = ρfy(1-1/2ρm) = 0.03ⅹ40ksiⅹ(1-1/2ⅹ0.03ⅹ11.76) = 0.988 ksi


Mn = Mu/φ3 = 400ft-kips/0.9 = 444.4 ft-kips

필요한 bd2 = Mn/Rn = 444.4ft-kips/0.988ksi = 5397 in3


b=14”, d=21.5”로 가정한다.

bd2 = 14”ⅹ(21.5”)2 = 6472 in3


Rn = 444.4 ft-kips/6472 in3 = 0.824 ksi


ρ = (1/m){1-√(1-2mRn/fy)} = (1/11.76){1-√(1-2ⅹ11.76ⅹ0.824ksi/40ksi)} = 0.02399


As = 0.02399ⅹ14”ⅹ21.5” = 7.22 in2

2 본 예제에서 선택한 철근비는 최대 철근비의 81%(=0.03/0.03712) 과대한 정도로서 상당히 편이다. 실제 설계에서는 처짐 등의 문제로 인하여 ρ=0.5ρmax이하로 설계하는 것이 일반적이다. 3 휨에 대한 강도 감소 계수는 시방서에 따라서 다르지만 0.85~1.00의 범위이다. 본 예제에서는 φ=0.9를 적용하였다.


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공학적 판단으로부터 2-#10,3-#11(As = 7.22 in2)을 선택한다.

ρ = 7.22/(14ⅹ21.5”) = 0.02399 < ρmax =0.03712으로부터 설계 강도 도달 시 철근이 항복하는 것을 알고 있으므로

φMn = φAsfy{d-(1/1.7)(Asfy)/(f’cb)}

= 0.9ⅹ7.22 in2ⅹ40ksiⅹ{21.5”-(1/1.7)ⅹ7.22 in2ⅹ40ksi/(4ksiⅹ14”)}

= 400 ft-kips (=Mu, O.K.)

9)실제적인 단면 및 철근의 선택과 철근 배치

전체 철근 단면적 요구 조건을 만족하도록 실제의 철근 개수를 선택할 때, 표3.9.1 이 도움이 된다.

표3.9.1 철근 전체 단면적

Bar Number of Bars

Number 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 0.11 0.22 0.33 0.44 0.55 0.66 0.77 0.88 0.99 1.10

4 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

5 0.31 0.62 0.93 1.24 1.55 1.86 2.17 2.48 2.79 3.10

6 0.44 0.88 1.32 1.76 2.20 2.64 3.08 3.52 3.96 4.40

7 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

8 0.79 1.58 2.37 3.16 3.95 4.74 5.53 6.32 7.11 7.90

9 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

10 1.27 2.54 3.81 5.08 6.35 7.62 8.89 10.16 11.43 12.70

11 1.56 3.12 4.68 6.24 7.80 9.36 10.92 12.48 14.04 15.60

14 2.25 4.50 6.75 9.00 11.25 13.50 15.75 18.00 20.25 22.50

18 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00 28.00 32.00 36.00 40.00

현실적으로 #14, #18 철근의 조립 가공이 곤란하기 때문에 기둥에만 적용될 뿐 보 부재에 적용되는 경우는 드물다.

같은 층 내에서 철근 사이의 순 간격은 1” 이상, 철근의 공칭 직경 이상이다. 철근이 복층 이상으로 배근되는 경우 층 사이의

순 간격은 1” 이상이며 서로 다른 층의 철근은 같이 위치에 배근되어야 하며 엇갈리게 배근되어서는 안된다. 표3.9.2는 이러한

방법으로 계산한 보의 최소폭이다.

표3.9.2 보의 최소폭(in)

Bar Number of Bars in Single Layer of Reinforcement Added

Number 2 3 4 5 6 7 8 Bar

3 6.6 8.0 9.4 10.8 12.1 13.5 14.9 1.38

4 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 14.3 15.8 1.50

5 6.9 8.5 10.1 11.8 13.4 15.0 16.6 1.63

6 7.0 8.8 10.5 12.3 14.0 15.8 17.5 1.75

7 7.1 9.0 10.9 12.8 14.6 16.5 18.4 1.88

8 7.3 9.3 11.3 13.3 15.3 17.3 19.3 2.00

9 7.5 9.8 12.0 14.3 16.5 18.8 21.0 2.26

10 7.8 10.3 12.9 15.4 18.0 20.5 23.0 2.54

11 8.1 10.9 13.7 16.5 19.4 22.2 25.0 2.82

14 8.8 12.2 15.6 19.0 22.4 25.8 29.1 3.39

18 10.5 15.0 19.5 24.1 28.6 33.1 37.6 4.51

10


표3.9.2에서 스트럽까지의 순 피복은 1.5”로 가정하였고 #3 스트럽을 설치하는 것으로 가정하였다. 철근이 추가로 배근되는

경우에는 각각의 추가되는 철근에 대하여 마지막 열의 치수를 더한다. 철근의 크기가 다른 경우에는 표에서 작은 크기의

철근에 대하여 보의 최소폭을 구하고 각각의 큰 크기의 철근에 대하여 마지막 열의 치수를 더한다. 최대 골재 치수는 철근

사이의 순 간격의 3/4배를 초과하지 않는다고 가정하였다. 최외측 철근은 #3~#11 철근의 경우 스트럽이 휘어지는 위치에

설치된다고 가정하였고 #14, #18철근은 스트럽에 붙어서 설치된다고 가정하였다.

추후에 설명하는 바와 같이 철근 사이의 순간격을 2db, 3db로 증가하여 적용하면 각각 a category of improved peformance와

the best category of performance로 분류되어 철근 매입 길이를 줄일 수 있다.

표3.9.3 보의 최소폭, 순간격 2db 적용(in)

Bar Number of Bars in Single Layer of Reinforcement

Number 2 3 4 5 6 7 8

3 6.6 8.0 9.4 10.8 12.1 13.5 14.9

4 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 14.3 15.8

5 7.1 9.0 10.9 12.8 14.6 16.5 18.4

6 7.5 9.8 12.0 14.3 16.5 18.8 21.0

7 7.9 10.5 13.1 15.8 18.4 21.0 23.6

8 8.3 11.3 14.3 17.3 20.3 23.3 26.3

9 8.6 12.0 15.4 18.8 22.2 25.6 28.9

10 9.1 12.9 16.7 20.5 24.3 28.1 31.9

11 9.5 13.7 17.9 22.2 26.4 30.6 34.9

14 11.1 16.2 21.2 26.3 31.4 36.5 41.6

18 13.0 19.8 26.6 33.3 40.1 46.9 53.7

표3.9.4 보의 최소폭, 순간격 3db 적용(in)

Bar Number of Bars in Single Layer of Reinforcement

Number 2 3 4 5 6 7 8

3 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 14.3 15.8

4 7.3 9.3 11.3 13.3 15.3 17.3 19.3

5 7.8 10.3 12.8 15.3 17.8 20.3 22.8

6 8.3 11.3 14.3 17.3 20.3 23.3 26.3

7 8.8 12.3 15.8 19.3 22.8 26.3 29.8

8 9.3 13.3 17.3 21.3 25.3 29.3 33.3

9 9.8 14.3 18.8 23.3 27.8 32.3 36.8

10 10.3 15.4 20.5 25.6 30.7 35.7 40.8

11 10.9 16.5 22.2 27.8 33.5 39.1 44.7

14 12.8 19.5 26.3 33.1 39.9 46.6 53.4

18 15.3 24.3 33.3 42.4 51.4 60.4 69.5

표3.9.3과 표3.9.4에서 순 피복은 1.5”로 가정하였고 #11 이하의 철근에서는 #3 스트럽, #14, #18 철근에서는 #4 스트럽을

적용하는 것으로 가정하였다. 스트럽의 곡률 반경은 스트럽 내측에 대하여 2db이므로 최외측 철근의 중심에서 스트럽

내면까지의 거리는 #11 이하의 철근에서는 2ⅹ0.375”=0.75”, #14 철근의 경우는2ⅹ0.5”=1.0”>0.5db=0.5ⅹ1.693”, #18 철근의

경우는 0.5db=0.5ⅹ2.257”=1.13”>2ⅹ0.5”=1.0”가 된다.


11


ρmin = 3(√f’c/fy) = 3(√4ksi/60ksi) = 0.003162 < 200/fy = 200/60ksi = 0.003333

ρmin = 0.003333

β1 = 0.85

ρmax = 0.75(0.85β1)(f’c/fy){87/(87+fy)} = 0.75(0.85ⅹ0.85)(4ksi/60ksi){87/(87+60ksi)}

= 0.02138

ρmin=0.003333 < ρ=0.011 < ρmax =0.02138으로 선택한다.


m = fy/(0.85f’c) = 60ksi/(0.85ⅹ4ksi) = 17.65

Rn = Mn/(bd2) = ρfy(1-1/2ρm) = 0.011ⅹ60ksiⅹ(1-1/2ⅹ0.011ⅹ17.65) = 0.596 ksi


보의 자중을 0.6375kips/ft로 가정하고 설계 휨 모멘트를 구한다.

12


Mu = {1.4ⅹ(0.6375kips/ft+0.8kips/ft)+1.7ⅹ1.3kips/ft}ⅹ(40ft)2/8 = 844.5ft-kips4

Mn = Mu/φ = 844.5ft-kips/0.9 = 938.3 ft-kips

필요한 bd2 = Mn/Rn = 938.3ft-kips/0.596ksi = 18894 in3


건축 구조물의 경우에 한정되지만 구형 단면의 경우 h/b=1.5~2.0의 범위를 많이 적용한다. 몇가지 b에 대하여 필요한 최소 d를

구하고 d/b를 구하면 다음과 같다.

b d d/b

(in) (in)

16 34.4 2.15

18 32.4 1.80

20 30.7 1.54

표로부터 b=18”인 경우를 선택한다.

보의 최소 전체 높이 h는 다음과 같이 구한다.

철근을 4-#10, 2-#9로 가정하면 스트럽 내측에서 철근 도심까지의 거리는 (4EAⅹ1.270”+2EAⅹ1.128”)/6EA/2 = 0.611”

h = (d=32.4”)+(피복=1.5”)+(스트럽=3/8”)+(1/2ⅹ철근 직경=0.611”로 가정) = 34.9”

이렇게 구한 보의 최소 전체 높이 34.9”는 처음에 가정한 철근비 ρ=0.011에 대응하며 실제 높이를 증가시키면 철근비는

감소하고, 실제 높이를 감소시키면 철근비는 증가한다. 따라서 보의 실제 높이를 반드시 34.9” 이상으로 선택할 필요는 없다.

b=18”, h=34”로 가정한다.

보의 자줌을 검토하면 0.150kcfⅹ18”ⅹ34”=0.6375kips/ft로서 Step3)에서 가정한 값과 일치한다.(일치하지 않는 경우

Step3)~Step4)의 과정을 반복한다.)

실제 d를 구한다.

d = (h=34”)- (피복=1.5”)+(스트럽=3/8”)+(1/2ⅹ철근 직경=0.611”로 가정) = 31.51”

bd2 = 18”ⅹ(31.51”)2 = 17876 in3


Rn = 938.3 ft-kips/17876 in3 = 0.630 ksi


ρ = (1/m){1-√(1-2mRn/fy)} = (1/17.65){1-√(1-2ⅹ17.65ⅹ0.630ksi/60ksi)} = 0.01171


As = 0.01171ⅹ18”ⅹ31.51” = 6.64 in2


일단 배근을 가정하면 표3.9.1에서 적용 가능한 범위는 (9-#8)~(5-#11)이다.

4 본 예제는 건축 구조물에 대한 것으로서 사하중에 대한 활하중의 비가 1.7/(0.4+0.8)=108%이나 토목 구조물에서는 이러한 경우는 극히 드물다.


13

표3.9.1 철근 전체 단면적

Bar Number of Bars

Number 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 0.11 0.22 0.33 0.44 0.55 0.66 0.77 0.88 0.99 1.10

4 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

5 0.31 0.62 0.93 1.24 1.55 1.86 2.17 2.48 2.79 3.10

6 0.44 0.88 1.32 1.76 2.20 2.64 3.08 3.52 3.96 4.40

7 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 3.60 4.20 4.80 5.40 6.00

8 0.79 1.58 2.37 3.16 3.95 4.74 5.53 6.32 7.11 7.90

9 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

10 1.27 2.54 3.81 5.08 6.35 7.62 8.89 10.16 11.43 12.70

11 1.56 3.12 4.68 6.24 7.80 9.36 10.92 12.48 14.04 15.60

14 2.25 4.50 6.75 9.00 11.25 13.50 15.75 18.00 20.25 22.50

18 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00 28.00 32.00 36.00 40.00

표3.9.2를 보면 전체에 대하여 동일한 철근을 적용하는 경우 정의된 폭 b=18”에 실제로 배근할 수 있는 철근은 6-#10과 5-

#11이라는 것을 알 수 있으며 둘 가운데 하나를 선택할 수 있다. 이 경우 각각에 대응하는 철근 단면적은 표3.9.1에서 각각

7.62in2(7.62/6.64=115%), 7.80in2(7.80/6.64=118%)이다.

표3.9.2 보의 최소폭(in)

Bar Number of Bars in Single Layer of Reinforcement Added

Number 2 3 4 5 6 7 8 Bar

3 6.6 8.0 9.4 10.8 12.1 13.5 14.9 1.38

4 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 14.3 15.8 1.50

5 6.9 8.5 10.1 11.8 13.4 15.0 16.6 1.63

6 7.0 8.8 10.5 12.3 14.0 15.8 17.5 1.75

7 7.1 9.0 10.9 12.8 14.6 16.5 18.4 1.88

8 7.3 9.3 11.3 13.3 15.3 17.3 19.3 2.00

9 7.5 9.8 12.0 14.3 16.5 18.8 21.0 2.26

10 7.8 10.3 12.9 15.4 18.0 20.5 23.0 2.54

11 8.1 10.9 13.7 16.5 19.4 22.2 25.0 2.82

14 8.8 12.2 15.6 19.0 22.4 25.8 29.1 3.39

18 10.5 15.0 19.5 24.1 28.6 33.1 37.6 4.51

그러나 3.9.1과 표3.9.2를 다시 보면 7-#9의 경우는 철근 단면적은 7.00in2(7.62/6.64=105%)로서 요구 조건을 만족하지만 필요한 최소폭 b=18.8”로서 실제폭 18”를 약간 초과하는 것을 알 수 있다. 따라서 #9 철근과 #10 철근을 조합하여 적용하는 것을 검토한다.

a) 2-#10(2ⅹ1.27in2=2.54in2)인 경우

필요한 #9 개수는 (6.64 in2-2.54in2)/1.0 in2=5EA 따라서 필요한 최소폭은 표3.9.2에서 14.3”+2EA*2.54”=19.38”>18” N.G.

b) 3-#10(3ⅹ1.27in2=3.81in2)인 경우

필요한 #9 개수는 (6.64 in2-3.81in2)/1.0 in2=3EA 그러나 현실적으로 철근을 대칭으로 배근하기 위해서는 #10 철근 사이에 #9 철근은 2개씩 배근하여야 하므로 필요한 #9 개수

14


는 4EA가 된다. 따라서 필요한 최소폭은 표3.9.2에서 12.0”+3EA*2.54”=19.62”>18” N.G.

3) 4-#10(4ⅹ1.27in2=5.08in2)인 경우

필요한 #9 개수는 (6.64 in2-5.08in2)/1.0 in2=2EA 따라서 필요한 최소폭은 표3.9.2에서 7.5”+4EA*2.54”=17.66”>18” N.G. 전체 철근 단면적은 7.08 in2(7.08/6.64=107%), 이상으로부터 4-#10,2-#9(As=7.08in2)을 선택한다. Step4)에서 가정한 철근 직경과 일치하지 않는 경우 Step4)~Step8)의 계산을 반복한다. 철근 사이의 순간격을 확인하면 {(b=18”)-(순피복 2ⅹ1.5”)-(스트럽 2ⅹ3/8”)-(스트럽 반경 2EAⅹ2ⅹ3/8”>외측 #10 철근 2ⅹ1/2ⅹ1.27”)- (내측 #10 철근 2ⅹ1/2ⅹ1.27”+2ⅹ1.27”) -(#9 철근 2ⅹ1.128”)}/5간격 = 1.34”>1.27”(#10 철근 직경) ρ = 7.08in2/(18”ⅹ31.51”) = 0.01248 < ρmax =0.02138으로부터 설계 강도 도달시 철근이 항복하는 것을 알고 있으므로 φMn = φAsfy{d-(1/1.7)(Asfy)/(f’cb)} = 0.9ⅹ7.08 in2ⅹ60ksiⅹ{31.5”-(1/1.7)ⅹ7.08 in2ⅹ60ksi/(4ksiⅹ18”)} = 893 ft-kips (=Mu=844.5 ft-kips, O.K.)

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