การหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอร ของแผนภมควบคมดวยวธของ SIEGMUND

DETERMINATION OF ARL OF CUSUM CONTROL CHART UNDER THE CHANGE OF CONTROL CHART PARAMETERS WITH SIEGMUND’S METHOD

ปทมา ยนด

ปญหาพเศษนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาสถต ปการศกษา 2555

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยบรพา

ประกาศคณปการ

ปญหาพเศษฉบบนสาเรจลงไดดวยความกรณาจากผชวยศาสตราจารยกดาการ สายธน

อาจารยทปรกษาปญหาพเศษทกรณาใหคาปรกษา คาแนะนาแนวทางทถกตอง ตลอดจนแกไขขอบกพรองตางๆดวยความละเอยดถถวนและเอาใจใสดวยดเสมอมาผวจยรสกซาบซงเปนอยางยงจงขอกราบขอบพระคณ เปนอยางสงไว ณ โอกาสน นอกจากนผวจยขอกราบขอบพระคณกรรมการสอบปญหาพเศษในครงน ซงประกอบดวย ผชวยศาสตราจารยจตภทร เมฆพายพ และผชวยศาสตราจารยปรยารตน นาคสวรรณ ทไดสละเวลาและกรณาชวยตรวจแกไขและวจารณผลงาน ทาใหปญหาพเศษฉบบนมความสมบรณถกตองยงขน และสดทายนคณคาและประโยชนของปญหาพเศษฉบบน ผวจยขอมอบเปนกตญญกตเวทตาแด บพการ บรพาจารย ผมพระคณทกทานทงในอดตและปจจบน ทาใหขาพเจาเปนผมการศกษา และประสบความสาเรจมาจนตราบเทาทกวนนรวมทงขอบคณเพอนๆ ทกคน ทเปนกาลงใจและใหคาแนะนาในการทาปญหาพเศษจนสาเรจลลวงดวยด ปทมา ยนด

ง

52030787: สาขาวชา: สถต; วท.บ. (สถต) คาสาคญ: แผนภมควบคม CUSUM / วธของ SIEGMUND ปทมา ยนด: การหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมควบคมดวยวธของ SIEGMUND (DETERMINATION OF ARL OF CUSUM CONTROL CHART UNDER THE CHANGE OF CONTROL CHART PARAMETERS WITH SIEGMUND’S METHOD) คณะกรรมการควบคมปญหาพเศษ: ผชวยศาสตราจารยกดาการ สายธน, Ph.D 15 หนา. ป พ.ศ. 2555

บทคดยอ

ปญหาพเศษนเปนการศกษาเพอหาคาจานวนตวอยางโดยเฉลยทสมไดกอนทกระบวนการ จะออกนอกการควบคมทงทกาหนดวากระบวนการอยในการควบคมและกระบวนการออกนอกการควบคมของแผนภมควบคม CUSUM ภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมควบคมดวยวธของ SIEGMUND ผลการศกษาพบวา (1) แผนภมควบคม CUSUM สามารถตรวจพบวากระบวนการมการเปลยนแปลงของคาเฉลยไดด เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดใหญ ขนาดปานกลาง และขนาดเลกตามลาดบ โดยไมคานงถงพารามเตอร k และ h (2) ถาพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลงแลว คา 0ARL จะมคาเพมขน ขณะทคา 1ARL เมอคาเฉลยของกระบวนการมเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลางและขนาดใหญ จะมคาลดลง

จ

52030787: MAJOR: STATISTICS; B.Sc. (STATISTICS) KEYWORDS: CUSUM CONTROL CHART / SIEGMUND’S METHOD PATTAMA YINDEE: DETERMINATION OF ARL OF CUSUM CONTROL CHART UNDER THE CHANGE OF CONTROL CHART PARAMETERS WITH SIEGMUND’S METHOD ADVISOR: ASSISTANT PROFESSOR KIDAKAN SAITHANU, Ph.D 15 P. ACADEMIC YEAR 2012

ABSTRACT

This special problem is the study to determine both of in-control average run length ( 0ARL ) and out-of-control average run length ( 1ARL ) under the change of control

chart parameters with SIEGMUND’s method. The result of study is as follows: (1) Regardless of parameters k and h , CUSUM control chart is able to detect the change of process mean when the process mean changes to large, medium and small shift, respectively (2) If parameter k increases and h decreases, 0ARL would be increasing while 1ARL would

be decreasing as process mean shift to medium and large.

สารบญ

หนา บทคดยอภาษาไทย…………………………………………………………………………………………………………….…….……. ง บทคดยอภาษาองกฤษ…………….…………………………………………………………………………………………….….……. จ สารบญ…………………………………………………………………………………………………….………………………….….……. ฉ สารบญตาราง……………………..………………………………………………………………………………………………………… ช บทท 1 บทนา……………………………………………………………………………………………………………………………….. 1

1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา…………………………………………………………………….….. 1 1.2 วตถประสงคของการศกษา………………………………………………………………………………….……….. 2 1.3 สมมตฐานของการศกษา……………………………………………………………………………………..….……. 2 1.4 ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการศกษา……………………………………………………………………….. 2 1.5 ขอบเขตของการศกษา…………………………………………………………………………………………………. 3

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ……………………………………………………………………………………………. 4 2.1 แผนภมควบคม CUSUM……………………………………………………………………………………………… 4 2.2 การหาจานวนตวอยางโดยเฉลยทสมไดกอนทกระบวนการจะออกนอกการควบคม……………. 5

บทท 3 วธการดาเนนการศกษา…………………….………………………………………………………………………………… 8 3.1 จาลองคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ภายใตการแจกแจงปรกต………..………………… 8 3.2 หาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND………………………………… 8

บทท 4 ผลการศกษา……………………………………………………………………………………………………………………… 10 4.1 ผลการจาลองคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ภายใตการแจกแจงปรกต……………….. 10 4.2 ผลการหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND….……………......… 10

บทท 5 สรปและอภปรายผลการศกษา……………………..……………………………………………………………………… 14 5.1 เมอกระบวนการอยในการควบคม……………………………………………………………………….………… 14 5.2 เมอกระบวนการออกนอกการควบคม……………………………………….…………………………………… 14

บรรณานกรม………………………………………………………………………………………………………………………………… 15

สารบญตาราง

ตารางท หนา 1. คา 0ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND ………..………………………….. 11 2. คา 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอ 1δ = ……………………. 11 3. คา 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอ 2δ = …………………… 12 4. คา 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอ 3δ = ……….…………… 12 5. คา 0ARL และ 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND………………….. 13

บทท 1 บทนา

1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา ในปจจบนมธรกจและอตสาหกรรมทใชเครองจกรในการผลตผลตภณฑอยมากมาย สงสาคญของการผลตผลตภณฑออกมาคอคณภาพของผลตภณฑทตรงตามความตองการของผบรโภค ซงเครองมอทใชในกระบวนการเชงสถตเปนเครองมอทชวยควบคมและทาใหสนคาทออกมามคณภาพ แผนภมควบคม (Control Chart) เปนเครองมออยางหนงทใชในกระบวนการเชงสถตจงเปนเครองมอทใชสาหรบตรวจสอบคณภาพของกระบวนการผลต เพอปองกนและแกไขปญหาทเกดขน ปญหาทตรวจพบนนจะพบเมอเกด การเปลยนแปลงของกระบวนการผลต ซงกระบวนการผลตอาจจะมการเปลยนแปลงมากนอยเทาใดขนอยกบสาเหตในการทาใหเกดการแปรผน (Variation) สาเหตหลกของการเกดการเปลยนแปลงของกระบวนการผลตมอย 4 สาเหตไดแก (1) ผควบคม (2) วตถดบ (3) กระบวนการ และ (4) สาเหตอนๆ เชน สภาพแวดลอม การแปรผนทเกดขนหากไมรนแรงมากนกกอาจจะยอมรบผลตภณฑนนและสามารถจาหนายผลตภณฑนนใหแกผบรโภคได แตถาหากมความรนแรงมากจนอาจสงผลกระทบตอผบรโภครวมไปถงภาพลกษณของผลตภณฑโดยรวมกควรจะมการแกไขผลตภณฑนน ดงนนในกระบวนการผลตจงควรมการตรวจสอบกระบวนการผลตโดยละเอยดเพอใหเกดความเสยหายนอยทสด การควบคมกระบวนการเชงสถต (Statistical Process Control: SPC) คอการนาเอาวธการเชงสถตมาใชในการควบคมกระบวนการผลต เพอใหกระบวนการผลตผลตภณฑไดผลตภณฑทมคณสมบตสมาเสมอ ทาใหเกดการแปรผนของกระบวนการผลตลดลง Dr. Walter Andrew Shewhart เปนผพฒนาแผนภมควบคม ขนมา ซงแผนภมควบคมจดเปนเครองมอหลกของกระบวนการเชงสถตทมการแสดงผลลพธในรปของกราฟทประกอบดวย (1) ขดจากดควบคมบน (Upper Control Limit: UCL) (2) เสนกลาง (Center Line: CL) และ (3) ขดจากดควบคมลาง (Lower Control Limit: LCL) หลกการของการควบคมกระบวนการผลตคอถากระบวนการผลตมคณลกษณะเชงคณภาพของผลตภณฑอยภายในขดจากดควบคม แสดงวากระบวนการผลตมเสถยรภาพหรอกระบวนการผลตอยในการควบคม (In-control process) แตถาตรวจพบวากระบวนการผลตมคณลกษณะเชงคณภาพของผลตภณฑออกนอกขดจากดควบคม แสดงวากระบวนการผลตไมมเสถยรภาพ อาจกอใหเกดปญหาหรอความผดพลาด ซงเมอตรวจพบปญหาจะหยดกระบวนการในการผลตเพอตรวจสอบสาเหตของปญหา และทาการแกไขปญหา จากนนจะนากระบวนการทแกไขปญหาแลวไปใชในกระบวนการผลตครงตอไป สาหรบการเกดปญหาหรอการเปลยนแปลงของกระบวนการผลตนนมขนาดของการเปลยนแปลงทแตกตางกน คอมตงแตการเปลยนแปลงของกระบวนการขนาดเลก ขนาดปานกลางไปจนถงการเปลยนแปลงของกระบวนการทมขนาดใหญ แผนภมควบคมแตละแผนภมจงสามารถตรวจสอบการเปลยนแปลงของกระบวนการผลตไดดแตกตางกน สาหรบแผนภมควบคมทใชในการตรวจสอบการเปลยนแปลงของคาเฉลยนนมอยหลายแผนภมเชน แผนภมควบคมชวฮารท X (Shewhart X Control Chart) แผนภมควบคม CUSUM (Cumulative Sum Control Chart) และแผนภมควบคม EWMA (Exponentially Weighted Moving Average Control Chart) ซง แตละแผนภมนนจะมขอดและขอเสยทแตกตางกนคอ แผนภมควบคมชวฮารท X จะสามารถตรวจสอบ การเปลยนแปลงของคาเฉลยไดด เมอคาเฉลยมการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง และขนาดใหญ สวนแผนภมควบคม EWMA และแผนภมควบคม CUSUM นนจะสามารถตรวจสอบการเปลยนแปลงของคาเฉลยไดด เมอคาเฉลยมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก

2

ในการศกษาครงนสนใจศกษาการหาคาจานวนตวอยางโดยเฉลยทสมไดกอนทกระบวนการจะ ออกนอกการควบคม ( ARL ) เมอกาหนดวากระบวนการอยในการควบคม ( 0ARL ) และเมอกาหนดวากระบวนการออกนอกการควบคม ( 1ARL ) ของแผนภมควบคม CUSUM เนองจากเปนแผนภมควบคมทมขอดคอนอกจากทจะสามารถตรวจสอบการเปลยนแปลงของกระบวนการไดดเมอคาเฉลยของกระบวนการม การเปลยนแปลงดวยขนาดเลกแลวยงสามารถใชไดอยางมประสทธภาพเมอขนาดของกลมตวอยางยอย (Subgroup size) มคาเทากบ 1 หรอ (n=1) ซงแผนภมควบคม CUSUM นนจะมสมรรถนะมากหรอนอยขนอยกบพารามเตอรของแผนภมควบคม 2 ตว คอ k เปนพารามเตอรทบอกขนาดการเปลยนแปลงของคาเฉลยและ h เปนพารามเตอรทแสดงคาของขดจากดควบคม

1.2 วตถประสงคของการศกษา 1.2.1. สามารถจาลองขอมลคณลกษณะเชงคณภาพของผลตภณฑภายใตการแจกแจงปรกตดวยโปรแกรมสาเรจรป MINITAB ได 1.2.2. สามารถสรางแผนภมควบคม CUSUM ได 1.2.3. เพอหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM เมอพารามเตอรของแผนภมมการเปลยนแปลงได 1.3 สมมตฐานของการศกษา 1.3.1. เมอพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลง คา 0ARL นาจะมคาเพมขน ในขณะทคา

1ARL นาจะมคาลดลง 1.3.2. เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก คา 1ARL นาจะมคาลดลง ในขณะทคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลางและขนาดใหญ คา 1ARL นาจะมคาเพมขน 1.4 ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการศกษา 1.4.1 สามารถสรางแผนภม CUSUM เมอมการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมได อกทงยงสามารถหาคา 1ARL โดยวธการนบ run จากการจาลองขอมลคณลกษณะเชงคณภาพจากโปรแกรมสาเรจรป MINITAB ได 1.4..2 ทาใหทราบถงสมรรถนะ (Performance) ของแผนภมควบคม CUSUM ไดโดยพจารณาจากคา

0ARL และ 1ARL

3

1.5 ขอบเขตของการศกษา กาหนดคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i เปน ix โดยท 1,2,3,..., 20i m= = นนคอ

( )20, 1ix N µ σ∼ เมอกระบวนการอยในการควบคม โดยกาหนดให 20 110, 1µ σ= =

และ ( )21 1,ix N µ σ∼ เมอกระบวนการออกนอกการควบคม โดยท 1 0µ µ δσ= +

ซง δ เปนการเปลยนแปลงของคาเฉลย เมอ 3,2,1=δ สาหรบคาเฉลยท มการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก ขนาดปานกลาง และขนาดใหญตามลาดบ

สาหรบพารามเตอรของแผนภมควบคม CUSUM นนจะกาหนดใหมคา ( ,k h ) 7 ค ไดแก (0.25, 8.01), (0.5, 5), (0.5, 4.77), (0.75, 3.34), (1.0, 2.52), (1.25, 1.99), และ (1.5, 1.61)

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

2.1 แผนภมควบคม CUSUM เปนแผนภมทมการนาขอมลตลอดชวงเวลาของการเกบขอมลมาใชประกอบในการตดสนใจ แผนภมควบคม CUSUM จงสรางไดโดยการนาคาผลรวมสะสมของคาผลตางระหวางคาเฉลยของกระบวนการและคาเฉลยของเปาหมายมาพลอตลงในแผนภม ซง Montgomery (2005) แสดงการคานวณไวดงน

2.1.1 กรณทขนาดของกลมตวอยางยอยมคาเทากบ 1 หรอกรณขนาดตวอยางเดยว(Individual) คาสถตทนามาพลอตลงในแผนภม คอ

( )01

m

i ii

C x µ=

= −∑ (1)

โดยท ix เปนคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ; mi ...,3,2,1= 0µ เปนคาเฉลยของเปาหมายของกระบวนการ เมอกระบวนการอยในการควบคม

2.1.2 กรณทขนาดของกลมตวอยางยอยมคามากกวา 1 (Subgroup)

คาสถตทนามาพลอตลงในแผนภมคอ

( )01

m

i ii

C x µ=

= −∑ (2)

โดยท ix เปนคาเฉลยของคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ซงมขนาดของกลม

ตวอยางยอยเปน j และ n

x

x

n

iij

i

∑== 1 ; mi ,...,3,2,1= ; nj ,...,3,2,1=

สาหรบคาสถต iC นนจะแบงเปน 2 คาคอ ผลรวมสะสมทางดานมากกวา (Upper Cusum: iC+ )

และผลรวมสะสมทางดานนอยกวา (Lower Cusum: iC− ) ซงหาไดดงน

ผลรวมสะสมทางดานมากกวา คอ

( ){ }0 1max 0,i i i

C x K Cµ+ +−= − + + (3)

และผลรวมสะสมทางดานนอยกวา คอ

( ){ }0 1max 0,i i i

C K x Cµ− +−= + − + (4)

5

โดยท K มคาเทากบครงหนงของขนาดการเปลยนแปลงของคาเฉลย นนคอ 22

01 µµσ

δ −==K

และ 1µ เปนคาเฉลยของกระบวนการทเปลยนไปซง δσµµ += 01 หรอ σ

µµδ 01 −=

สวนคาเรมตนของ +0C และ −

0C กาหนดใหมคาเทากบ 0 เสมอ

สาหรบขดจากดควบคมของแผนภมควบคม CUSUM คอ H หรอ H− ถาคาสถตทนามาพลอตลงในแผนภมมคามากกวา H หรอนอยกวา H− แลว กระบวนการนนจะออกนอกการควบคม ซงคานวณคา H ไดดงน

σhH = (5)

โดยท h เปนพารามเตอรของขดจากดควบคมของแผนภมควบคม CUSUM σ เปนคาเบยงเบนมาตรฐานของกระบวนการ

ดงนนแผนภมควบคม CUSUM จงมขดจากดควบคมบนและขดจากดควบคมลางเปนดงน ขดจากดควบคมบน คอ

HUCL = (6)

ขดจากดควบคมลาง คอ

HLCL −= (7)

2.2 การหาจานวนตวอยางโดยเฉลยทสมไดกอนทกระบวนการจะออกนอกการควบคม (Average Run Length: ARL ) สาหรบการหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM โดยวธการนบจานวนตวอยางทสมไดกอนทกระบวนการจะออกนอกการควบคม (หรอการนบ run) จากกราฟนนทาไดยาก เนองจากตองทาการสมตวอยางมาจานวนมากกระบวนการจงจะออกนอกการควบคม ดงนนผวจยจงสนใจทจะศกษาและหาคา ARL โดยวธของ Siegmund Siegmund (1985) เปนผคดคานวณวธในการหาคา ARL ซงงายและสะดวกโดยไมตองอาศยเครองคอมพวเตอร ดงน

( )

22

122exp

∆

−∆+∆−=

bbARL (8)

โดยท 0≠∆ จะไดวา k−=∆ *δ สาหรบคาสะสมทางดานมากกวา

k−−=∆ *δ สาหรบคาสะสมทางดานนอยกวาซง ( )

σ

µµδ 01* −

=

และ 166.1+= hb

6

เนองจาก ARL ARL+ −= โดยหลกของการสมมาตร

จงไดวา

1 1 1

ARL ARL ARL= +

+ − (9)

การคานวณคา ARL พจารณาได 2 กรณดงน กรณท 1 การหาคา ARL เมอกระบวนการอยในการควบคม นนคอจานวนตวอยางโดยเฉลยทสมไดกอนทกระบวนการจะออกนอกการควบคม เมอกาหนดกระบวนการอยในการควบคมหรอคา 0ARL ซงมทง

+0

ARL และ −0ARL ซง 0* =δ , k−=∆ *δ

จงไดวา

( )

202

122exp

∆

−∆+∆−=

bbARL (10)

และจากหลกของการสมมาตร −+ = 00

ARLARL

จงไดวา

−++=

000

111

ARLARLARL (11)

กรณท 2 การหาคา ARL เมอกระบวนการออกนอกการควบคม นนคอจานวนตวอยางโดยเฉลยท สมไดกอนทกระบวนการจะออกนอกการควบคม เมอกาหนดกระบวนการออกนอกการควบคม หรอคา 1ARL ซงมทง +

1ARL และ −

1ARL ดงน

( )

1 2

exp 2 2 1

2

b bARL+

− ∆ + ∆ −

∆≃ (12)

โดยท k−=∆ *δ เมอ 3,2,1* =δ

และ

( )

1 2

exp 2 2 1

2

b bARL−

− ∆ + ∆ −

∆≃ (13)

โดยท k−−=∆ *δ เมอ 3,2,1* =δ

7

ในทานองเดยวกนจะสามารถคานวณหาคา 1ARL ไดดงน

−++=

111

111

ARLARLARL (14)

อยางไรกตามในการหาคา 1ARL นนจะสนใจเพยงคา +1

ARL เทานน และใชคา +1

ARL เปนคา

ของ 1ARL แทนการหาคา 1ARL ในสมการท (13) เนองจากคา −1ARL ทไดจากสมการท (12) นน มคามาก

เกนไป ซงจะตองทาการสมตวอยางมาเปนจานวนมากๆ จงจะสามารถตรวจสอบไดวากระบวนการออกนอกการควบคม

บทท 3 วธการดาเนนการศกษา

การศกษาครงนเปนการหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมควบคมดวยวธของ SIEGMUND โดยมวธการดาเนนการศกษาดงน

3.1 จาลองคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ภายใตการแจกแจงปรกต

กาหนดคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ( )20,...,3,2,1=i เปน ix นนคอ เมอกระบวนการอยในการควบคม จะได

( )20, 1ix N µ σ∼

และเมอกระบวนการออกนอกการควบคม จะได

( )21, 1ix N µ σ∼

โดยท 0µ เปนคาเฉลยของเปาหมายของกระบวนการ เมอกระบวนการอยในการควบคม ซงกาหนดให 0 10µ = 1 0µ µ δσ= + ซง δ เปนการเปลยนแปลงของคาเฉลยของกระบวนการ เมอ 3,2,1=δ เปนการ เปลยนแปลงคาเฉลยของกระบวนการทมขนาดเลก ขนาดปานกลาง และขนาดใหญ ตามลาดบ σ เปนคาเบยงเบนมาตรฐานของกระบวนการ ซงกาหนดให 1σ =

3.2 หาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอกาหนดพารามเตอรของแผนภมควบคม CUSUM ( ,k h ) ทง 7 คไดแก (0.25, 8.01), (0.5, 5), (0.5, 4.77), (0.75, 3.34), (1.0, 2.52), (1.25, 1.99), และ (1.5, 1.61) จะหาคา 0ARL และ 1ARL เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก ขนาดปานกลาง และขนาดใหญ ไดโดย

3.2.1 หาคา 0ARL เมอกระบวนการอยในการควบคม

การคานวณหาคา 0ARL จะคานวณไดจากสมการท (10) โดยการแทนคา * 0δ = * 0k k kδ∆ = − = − = − และ 1.166b h= + จงไดวา

( ) ( )( ) ( )0 2 2

exp 2 1.166 2 1.166 1exp 2 2 1

2 2

k h k hb bARL

k

+ − + −− ∆ + ∆ −= =

∆ (15)

และจะหาคา 0ARL ไดจากสมการท (11) โดยหลกของการสมมาตร

9

3.2.2 หาคา 1ARL เมอกระบวนการออกนอกการควบคม การคานวณหาคา 1ARL จะคานวณไดจากสมการท (12) และสมการท (13) โดยการแทนคา

*kδ∆ = − เมอ * 1,2,3δ = และ 1.166b h= + นนคอ

เมอคาเฉลยของกระบวนการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก * 1, 1 kδ = ∆ = −

จงไดวา

( )( )( ) ( )( )

( )1 2

exp 2 1 1.166 2 1 1.166 1

2 1

k h k hARL

k

+ − − + + − + −

−≃ (16)

เมอคาเฉลยของกระบวนการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง * 2, 2 kδ = ∆ = −

จงไดวา

( )( )( ) ( )( )

( )1 2

exp 2 2 1.166 2 2 1.166 1

2 2

k h k hARL

k

+ − − + + − + −

−≃ (17)

เมอคาเฉลยของกระบวนการเปลยนแปลงดวยขนาดใหญ * 3, 3 kδ = ∆ = −

จงไดวา

( )( )( ) ( )( )

( )1 2

exp 2 3 1.166 2 3 1.166 1

2 3

k h k hARL

k

+ − − + + − + −

−≃ (18)

และเมอแทนคา *kδ∆ = − − จะคานวณหาคา *δ ไดจาก ( )1 0* µ µ

δσ

−= และ 1.166b h= +

จงไดวา

( )1 2

exp 2 2 1

2

b bARL

− − ∆ + ∆ −

∆≃

( )( )( ) ( )( )

( )

* *

1 2*

exp 2 1.166 2 1.166 1

2

k h k h

ARL

k

δ δ

δ

−− − − + + − − + −

− −

≃ (19)

อยางไรกตามในการหาคา 1ARL นนจะสนใจเพยงคา +1

ARL เทานน และใชคา +1

ARL เปน

คาของ 1ARL แทนการหาคา 1ARL ในสมการท (14) เนองจากคา −1ARL ทไดจากสมการท (13) นน มคา

มากเกนไป นนคอจะตองทาการสมตวอยางมาเปนจานวนมากๆ จงจะสามารถตรวจสอบไดวากระบวนการออกนอกการควบคม

บทท 4 ผลการศกษา

จากการศกษาการหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมควบคมดวยวธของ SIEGMUND ไดผลการศกษาดงน

4.1 ผลการจาลองคณลกษณะเชงคณภาพของตวอยางท i ภายใตการแจกแจงปรกต

เมอกระบวนการอยในการควบคม จะได 0 10µ = และ 21

1σ =

และเมอกระบวนการออกนอกการควบคม จะหาคา 1µ ไดจาก 1 0µ µ δσ= + จงไดวา เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก จะได

( )( )1 10 1 1 11µ = + =

เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง จะได

( )( )1 10 2 1 12µ = + =

และเมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดใหญ จะได

( )( )1 10 3 1 13µ = + =

4.2 ผลการหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND

คา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM เมอกาหนดพารามเตอรของแผนภมควบคม ( ,k h ) ทง 7 คเปนดงน

4.2.1 คา 0ARL เมอกระบวนการอยในการควบคม เมอแทนคาพารามเตอรของแผนภมควบคม ( ,k h ) ทง 7 คลงในสมการท (15) แลว จะไดคา 0ARL ดงตารางท 1

11

ตารางท 1 คา 0ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND

ลาดบค k h 00ARL ARL

+ −= 0

1

ARL 0ARL

1 0.25 8.01 741.6771 0.002696591 370.8386 2 0.5 5 938.2224 0.002131691 469.1112 3 0.5 4.77 742.9645 0.002691919 371.4822 4 0.75 3.34 759.1298 0.002634596 379.5649 5 1 2.52 791.2201 0.002527742 395.6101 6 1.25 1.99 851.6973 0.002348252 425.8486 7 1.5 1.61 917.5122 0.002179807 458.7561

จากตารางท 1 จะเหนไดวา 1. เมอพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลงแลว คา 0ARL ทไดมแนวโนมเพมขนเมอไมพจารณาท 0.5k = และ 5h = 2. เมอ 0.25k = และ 8.01h = จะไดคา 0ARL มคาใกลเคยงกบคา 0ARL ในทางทฤษฎคอ 370.4

4.2.2 คา 1ARL เมอกระบวนการออกนอกการควบคม 4.2.2.1 เมอคาเฉลยของกระบวนการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก โดยการแทนคาพารามเตอรของแผนภมควบคม ( ,k h ) ลงในสมการท (16) จะไดคา 1ARL ดงตารางท 2

ตารางท 2 คา 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอ 1δ =

ลาดบค k h 1ARL

+ 1ARL− 1ARL

1 0.25 8.01 11.345779 2936739280 11.345779 2 0.5 5 10.336199 24008594.4 10.336199 3 0.5 4.77 9.8772852 12042134.4 9.8772852 4 0.75 3.34 10.864668 1153854.77 10.864668 5 1 2.52 - 316333.475 - 6 1.25 1.99 18.138045 145361.941 18.138045 7 1.5 1.61 24.557347 85327.955 24.557347

จากตารางท 2 จะเหนไดวา ถาพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลงแลว คา 1ARL ไมไดมแนวโนมลดลง

12

4.2.2.2 เมอคาเฉลยของกระบวนการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง โดยการแทนคาพารามเตอรของแผนภมควบคม ( ,k h ) ลงในสมการท (17) จะไดคา 1ARL ดงตารางท 3

ตารางท 3 คา 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอ 2δ =

ลาดบค k h 1ARL

+ 1ARL− 1ARL

1 0.25 8.01 5.0801633 8.4624E+16 5.0801633 2 0.5 5 3.8884444 1.9606E+12 3.8884444 3 0.5 4.77 3.7351111 6.208E+11 3.7351111 4 0.75 3.34 3.2848041 3831993480 3.2848041 5 1 2.52 3.1863143 223657906 3.1863143 6 1.25 1.99 3.3269255 38399031.7 3.3269255 7 1.5 1.61 3.6765743 11221328 3.6765743

จากตารางท 3 จะเหนไดวา ถาพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลงแลว คา 1ARL มแนวโนมลดลง

4.2.2.3 เมอคาเฉลยของกระบวนการเปลยนแปลงดวยขนาดใหญ โดยการแทนคาพารามเตอรของแผนภมควบคม ( ,k h ) ลงในสมการท (18) จะไดคา 1ARL ดงตารางท 4

ตารางท 4 คา 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND เมอ 3δ =

ลาดบค k h 1ARL

+ 1ARL− 1ARL

1 0.25 8.01 3.2706116 3.7867E+24 3.2706116 2 0.5 5 2.3864 2.2691E+17 2.3864 3 0.5 4.77 2.2944 4.5356E+16 2.2944 4 0.75 3.34 1.9039012 1.69E+13 1.9039012 5 1 2.52 1.718 2.0014E+11 1.718 6 1.25 1.99 1.6401659 1.2376E+10 1.6401659 7 1.5 1.61 1.6284981 1749678731 1.6284981

13

จากตารางท 4 จะเหนไดวา ถาพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลงแลว คา 1ARL จะมคาลดลง

เมอนาคา 0ARL และ 1ARL ทคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก ขนาดปานกลาง และขนาดใหญมาเปรยบเทยบกนภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมควบคม ( ,k h ) ทง 7 ค ไดผลดงแสดงในตารางท 5

ตารางท 5 คา 0ARL และ 1ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND

ลาดบค k h 0ARL 1ARL

1δ = 2δ = 3δ = 1 0.25 8.01 370.8386 11.345779 5.0801633 3.2706116 2 0.5 5 469.1112 10.336199 3.8884444 2.3864000 3 0.5 4.77 371.4822 9.8772852 3.7351111 2.2944000 4 0.75 3.34 379.5649 10.864668 3.2848041 1.9039012 5 1 2.52 395.6101 - 3.1863143 1.7180000 6 1.25 1.99 425.8486 18.138045 3.3269255 1.6401659 7 1.5 1.61 458.7561 24.557347 3.6765743 1.6284981

จากตารางท 5 เมอพารามเตอร k มคาเพมขน และ h มคาลดลงแลว จะเหนไดวา 1. คา 0ARL จะมคาเพมขน 2. คา 1ARL เมอคาเฉลยเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง และขนาดใหญจะม คาลดลง

บทท 5 สรปและอภปรายผลการศกษา

ในการศกษาการหาคา ARL ของแผนภมควบคม CUSUM ภายใตการเปลยนแปลงของพารามเตอรของแผนภมควบคมดวยวธของ SIEGMUND ผวจยสามารถสรปผลไดดงน

5.1 เมอกระบวนการอยในการควบคม คา 0ARL ทไดจากการเปลยนแปลงคาพารามเตอรของแผนภมควบคมมคาเพมขน เมอพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลง และเมอพารามเตอร 0.25k = และ 8.01h = จะไดคา 0ARL มคาใกลเคยงกบคา 0ARL ในทางทฤษฎคอ 0 370.4ARL = ดงนนดวยวธของ SIEGMUND แผนภมควบคม CUSUM จะมประสทธภาพดเมอพารามเตอร k มคาเพมขน และ h มคาลดลง

5.2 เมอกระบวนการออกนอกการควบคม 5.2.1 เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก คา 1ARL ทไดจากการเปลยนแปลงคาพารามเตอรของแผนภมควบคมมคาไมคงท คา 1ARL มคามากบางนอยบางไมเปนไปในทศทางเดยวกน เมอพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลง และคา 1ARL เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลกมคามากกวา คา 1ARL เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง และขนาดใหญ นนคอประสทธภาพในการตรวจสอบกระบวนการเมอกระบวนการออกนอกการควบคมของแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND นนไมไวตอการตรวจสอบการเปลยนแปลงคาเฉลยของกระบวนการ เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดเลก 5.2.2 เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาดปานกลาง และขนาดใหญ คา 1ARL ทไดจากการเปลยนแปลงคาพารามเตอรของแผนภมควบคมมคาลดลง เมอพารามเตอร k มคาเพมขนและ h มคาลดลง คอแผนภมควบคม CUSUM ดวยวธของ SIEGMUND มประสทธภาพในการตรวจสอบการเปลยนแปลงคาเฉลยของกระบวนการ เมอคาเฉลยของกระบวนการมการเปลยนแปลงดวยขนาด ปานกลาง และขนาดใหญ

บรรณานกรม ธดาเดยว มยรสวรรค. (2546). การควบคมคณภาพในอตสาหกรรม. (พมพครงท 1). กรงเทพฯ: สถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ. ปรยารตน นาคสวรรณ. (2551). เอกสารประกอบการสอนเรองการควบคมคณภาพ. มหาวทยาลยบรพา. ศภชย นาทะพนธ. (2551). การควบคมคณภาพ. กรงเทพฯ: ซเอดยเคชน. สายชล สนสมบรณทอง. (2554). การควบคมคณภาพเชงสถตและวศวกรรม. กรงเทพฯ: จามจรโปรดกท. Montgomery, D.C. (2005). Introduction to Statistical Quality Control, (5th ed.). New York: John Wiley&Sons, Inc. Sieqmund, D. (1985). Sequential Analysis: Tests and Confidence Intervals. New York: Springer-Verlag.