Embed Size (px)
Citation preview
الملف من مدونة : هذا ليم تحمتلقد
مدونة اليارة زو للمزيد من الكتب و الدروس و الملفات المجانية .. أدعوك ل
على الرابط :
بجديد المديمكنك التوصل
ونة من خالل القائمة البريدية .. أو عن طريق الصفحات اإلجتماعية :
أمتنى أن تنال الدونة إعجابك .. وال تنسى أن تترك بصمتك .. و تساهم في تقدم و
!! تطور المحتوى العربي و التربوي عل النت ..
.و السالم عليكم و رحمة اهلل
. . تـــــــــ بــــ دئ اــــ
رســـــــــ اـــ
.
I( 0,1,2,3, 4,5.......IN =
* 1, 2,3, 4,5.......IN =
II( – (1 a
2a k= k IN∈. (2 a
2 1a k= + 2 1a k= − k IN∈ .
3( (a ! "# $ !%& $ . (b ! "# $ !%& $. (c (* $ !%&a b $) $a b+ . (* $ !%&a b $) $ a b+ . (* $ !%&a $ b $) a b+ . (d (* $ !%&a b $) $ ab . (* $ !%&a b $) $ ab . (* $ !%&a $ b $) ab .
(e $ !%& a b *+! , $) $ $ .
III( 1(!" $- a b $ $ .
-! $& . a - /0 b $ !%& a a b k= k IN∈.
2( (* 0 /0 . (* 0 , ! /0 - 0. (* $ !%&a /0 b b /0 c $)
a - /0 b .
3( # $"% ! !" $- a b $ 1 $ $ .
$- 23! 4-! /0-!a b, /0 2 5 4 " 1 . - ( , )PPCM a b
a b∨ .
4( (* -! $ !%&a - /0 b $) ( , )PPCM a b a= (*( , )PPCM a a a=
IV( &' 1(!" $-a b $ $ .
-! $& . a 6.- # b -! $& 7 b ". a $ !%& a /0 b a
a b k= k IN∈ . /b a.
2( (* ". 6 -! !3! 0 . (* 0 , ! ". 0. (* $ !%&b ".a c ".b $)c ". a. (* -!1 6 -! !3! 8 ". . (* 9 ". . (* -1 , ! "# 1.
3( () &* + 2,3,4,5,9,11,25 a( "
$-0α7 1α 7 2α 7 3α 7 ..... 7rα $ #
0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9
6-1 0...r rα α α− %-! -! -&
! "# 0α ! "# 7 1α 7 ............
b( - -! 1 0...r ra α α α−= -:
(*a 6.-! . 2 $ !%& 0 0, 2, 4,6,8α ∈
(*a 6.-! . 3 $ !%& 0 1 23/ rα α α α+ + + +
(*a 6.-! . 4 $ !%& 0 14 /α α
(*a 6.-! . 5 $ !%& 0 0,5α ∈
(*a 6.-! .9 $ !%& 0 1 29 / rα α α α+ + + +
(*a 6.-! . 3 $ !%&
0 2 4 1 3 5......) ( .....)11 / (α α α α α α−+ + + + + +
(*a 6.-! . 25 $ !%& 1 0 00, 25,50,75α α ∈
4( . $"% &* !" $- a b $ 1 $ $ .
3! 4-! ".-! $- a b"# , " 1 5 4 . - ( , )PGCD a b a b∧ .
5( /)'0 - . $-a b $ *IN a b≥ .
$( , )PGCD a b# ;# 6- 6: 6. a b ".-! < ". "=
$ " # !%, #-!( , )PGCD a b " 1 # *> , .
?-! @%, A* $ :
... ... ... 2r 1r b a
3q 2q 1q
0 nr ... ... 2r 1r 1r
V ( 1(!" - ! a -
. $#1 a.
2( (a -! , B. -a 8 - .
3! !3! 8 6-p B. -! 2p a≤ ". !3! @%, $ !%&a $) a - 1 .
". C !3! @%, 8 ; !%&a $) a - . (b $ 23! 6-3! !3! 100,
2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31 ,37 ,41 ,43, 47 7 53 ,59 ,61 ,67 ,71 ,73 ,79 ,83 ,89 ,97.
(c - 2p ≠ , (d -!1 - E- .
3 ( $." 2 3 (4 0 -: 2a ≥ < 6.
31 21 2 3. . ...... r
ra p p p pαα α α=
1p 7 2p 7 3p 7 ..... 7rp ! 6- .
1α 7 2α 7 3α 7 ..... 7rα 6 1 6 ! . -! 49 6-! @%,a 6- ! F! -& .
25 49--! 54:- $%& $%&354 2 3= ×
4( +" . (a $- 23! 4-! /0-! a b F! ,
9 $ 6-! 1 6-! 6-3! !-! a b E -& 6 .
(b $- 3! 4-! ".-! a b !-! F! , 9 $ 6-! 6-3!a b E 2 -& 6 .
25 - :76 632 76 ∨و632 ∧
$-
$%&3632 2 .79= 276 2 .19= 276 632 2 4∧ = = 376 632 2 .19.79 12008∨ = =
(c $- 2a ≥
31 21 2 3. . ...... r
ra p p p pαα α α= -! 49 a ! F! -& 6-.
-! "!# a , 1 2(1 )(1 ) (1 )rα α α+ + +
2 54 3 27 3 9 3 3
1
2 632 2 76 2 316 2 38 2 158 19 19 79 79 1 1
م ع ج
با - IR ا ارس
.
اب IR . 1( ا اب IR.
aو b و c و d IR .
(a a b= a یـــــــ c b c+ = +
(b a b= . یـــــــ .a c b c= ( 0)c ≠
(c نإذا آ a b
وc d
= =
ـــــن . .
a c b dو
a c b d
+ = + =
(d . 0a b = 0a یـــــــ 0b أو = =.
(e . 0a b ≠ 0a یـــــــ 0b و ≠ ≠.
(g a c
b d= . یـــــــ .a d b c= ( 0 0)a ≠bو ≠
(h a c ad bc
b d bd
++ . و =a c ac
b d bd=
(i
aa db
c b cd
= و ⋅
aab
c bc و =
1 ba ab
=
2( IR اى a( 0 ∗) "ی 1a = ( 0)a ≠ (∗ 1 1a =
(∗ . . .....n
n fois
a a a a a=
*( 1 )n IN∈ −
(∗ 1n
na
a− =
b( خ%ـــــــت (a aو b *IR و m و n Z.
(∗ .m n m na a a += (∗ 1n
na
a− =
(∗ ( )m n mna a= (∗ ( ) .n n nab a b=
(∗
nn m
m
aa
a−= (∗ ( )
nn
n
a a
b b=
(b نإذا آa b= ن 2 2a b=
(c ن2إذا آ 2a b= و aو b ن ارة a b=.
(d 2 2a b= a یـــــــ b= أو a b= −.
أن *ح)ـــــ' : a b= أن ی "! أن
2 2a b= و aو bرةا
-,ـــــت ه' )3(a 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
(b2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +
(c 2 2 ( )( )a b a b a b− = − +
(d 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +
(e 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b− = − + −
(f 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +
(g 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +
. ا01ور ا.,"' )4a "ی IR ا*ي b ه. ا%$د ا.ج, aا+*ر ا(ب' &%$د . ∋+
2b: ی123 a=. ,4و a b= .
. خ%ــــــت (a aو b IR + .
(∗ 0a ≥ (∗ 2 2( )a a a= =
(∗ ab a b= (∗ ( )n na a=
(∗ a a
b b=
(b x IR∈ . 2x x=.
(c ن0 إذا آab ن < :ab a b= و aa
b b=
(d a IR +∈ 2x a= x یـــــــ a= أو x a= −.
. ا4ـــــــــس2' )5(a 2.ل إن ا%$دی aو b ' ' ن674 c و d ن82 إذا آ : إذا و
a b
c d=
(b ن1: إذا آ 2
1 2
n
n
a a a
b b b= = ن = :
1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2
n n n
n n n
a a a k a k a k a
b b b k b k b k b
+ + += = = =+ + +
6( 5 . ا81ئ ا6a( : "ی آ; :$د ح22x %ب44 و k 3=.ر ب :$دی >1k 1k: ی7% + x k≤ < +
) وx ,4 ی>A ا+@ئ ا=3< &%$د kا%$د ا7> )E x k= أو
[ ]x k=
: *ح)' ; x &%$د ا+@ئ ا=3<∗)B ة) .x ه. ا%$د ا7> ا*ي ی.ج$
(∗ ( ) ( ) 1E x x E x≤ < + ; x IR.
(IIاــــــــ .IRـــــــ خ%ـــــــت )1(a (∗ a b≥ 0a یـــــــ b− ≥
(∗ a b≤ 0a یـــــــ b− ≤
(b (∗ a b> 0a یـــــــ b− >
(∗ a b< 0a یـــــــ b− <
(c (∗a b≤ 7%ی a b< أو a b=.
a إذا آن ∗) b< ن a b≤ >3ص )D %وا .
(d (∗ a b≥ a یـــــــ c b c+ ≥ +
(∗ a b> a یـــــــ c b c+ > +
(e(∗ نإذا آ a b
وb c
≤ ≤
ن a c≤ .
إذا آن ∗) a b
وb c
≤ <
ن a c<.
(f (∗ نإذا آ a b
وc d
≤ ≤
ن a c b d+ ≤ . < وا% D( ص3+
إذا آن ∗) a b
وc d
≤ <
ن a c b d+ < +
(g (∗ نإذا آ 0
a bو
c
≤ ≥
ن ac bc≤
إذا آن ∗) 0
a bو
c
≤ ≤
ن ac bc≥ .
(f (∗ نإذا آ 0
0
a bو
c d
≤ ≤ ≤ ≤
ن ac bd≤ >3ص )D %وا .
إذا آن ∗) 0
0
a bو
c d
≤ ≤ < <
ن ac bd<
(i 0a 0b و < > . (∗ a b≤ یـــــــ1 1
a b≥
(j 0a 0b و > < . (∗ a b≤ یـــــــ1 1
a b≥
(k 0a 0b و ≤ ≥ (∗ a b≤یـــــ 2ــ 2a b≤
(∗ a b≤ a یـــــــ b≤
(l 0a 0b و ≥ ≤ (∗ a b≤ 2 یـــــــ 2a b≥
(m aو b IR a b≤ 2 یـــــــ 2a b≤
(n ن ـإذا آ a و b رة و0 اa b+ ن = 0a 0b و = =
*ح)' ی43.ین :&A ا+*ور ا(ب%F ، 2رن b و a إذا آن ا%$دی
a و b رن"! أن 2 2 یa 2 وb رةو1234 إ a و bGث %4; اIص4 <(k و (l .
. اــــــــــ.' ا.-' )2K ه ا%$د ا*ي (@ xا2F اF2&J &%$د. x IR :"ی
: وا%(ف ب ی& xب ; 0
; 0
x xx
x x
≥= − ≤
0x إذا آن ∗): ی7% ن ا2F اF2&J &%$د ≤ x K< ه .
0xن إذا آ∗) ن ا2F اF2&J &%$د ≥ x K&ب2 ه .
خ%ـــــــــــت (a (∗ x x− = (∗ 0x ≥
(∗ xy x y= (∗nnx x= (∗
xx
y y=
(b (∗ x r=x یـــــــ r= أو x r= −.
(∗ x y= x یـــــــ y= أو x y= −.
(c (∗ x r≤ r یـــــــ x r− ≤ ≤
(∗ x r≥ x یـــــــ r≥ أو x r≤ −
ا.1ــــــــ9ت )3(a [ ] , /a b x IR a x b= ∈ ≤ ≤
(a [ [ , /a b x IR a x b= ∈ ≤ <
(a ] ] , /a b x IR a x b= ∈ < ≤
(a ] [ , /a b x IR a x b= ∈ < <
(a [ [ , /a x IR x a+∞ = ∈ ≥
(a ] [ , /a x IR x a+∞ = ∈ >
(a ] ] , /a x IR x a−∞ = ∈ ≤
(a ] [ , /a x IR x a−∞ = ∈ <
ا;:ـــــــــــ)4a: آ; 4وتF ا4وتت : "ی x b< a و > x b≤ و >
a x b< a و ≥ x b≤ x K4%6 b ت>A تPQ(ا &%$د ≥ a− .
. ,ــــــــ' ا.' ا.)5(a (i أن F 2(بF ب4(ی0x 8إذا أرد أن B د$%&x FB$ب r 2.م ،
)PQ40بx x− $+76 00 و x x r≤ − ≤
(iiأن إذا F 2(بF ب(اط0x أرد أن B د$%& x FB$ب r 2.م ،
)PQ40بx x− $+76 0 و 0r x x− ≤ − ≤ .
(iii أن F 2(بF &%$د0x إذا أرد أن B x FB$ب r 2.م ،
)PQ40بx x− $+76 0 وr x x r− ≤ − ≤
0x ی7% x r− ≤ .
(b د$%& Fب)2 FB أن 3$د إذا أرد x ا%$د )PQ42.م ب x $+76 و a x b≤ : و ه7 T474< أن ی& : ≥
(i a ی8 ه)ب4 F2(بr ب$x FB &%$دا2F ا b a= −
(ii b اط ه)r ب$x FB &%$دا2F ا2(بF ب b a= −
(iii 2
a b+ ب$x FB &%$دا2F ا2(بF ه
2
b ar
−=
c( 'ح)ــــــ* F 2(بF &%$د B $ت3$ی (ة إذا آV $ی7 إح$ى اPQ4(ات ا4x Fی :
(i 00 x x r≤ − F 2(بF ب0x 4 و46.ن ≥B8د(ی$%& x FB$ب r
(ii 0 0r x x− ≤ − F 2(بF ب(اط 0x و46.ن≥Bد$%& x FB$ب r
(iii 0r x x r− ≤ − 0x أو ≥ x r− ≤
F 2(بF &%$د0x و46.ن B x FB$ب r
d( ی ا"=يا . x IR .
(i ي ا%$د)W%ا(10 )
10
n
n
E x A x &%$د ا2F ا%W(یF ا2(بF ب4(ی8 ی>
FB$10ب n− .
(i ي)W%ا%$د ا (10 )
110
n
n
E x + A &%$د (اطا2F ا%W(یF ا2(بF ب ی>
x FB$10 ب n− .
.
I( . 1 ((a ( ) 2 2/ , 1z a ib a b =iو = + ∈ = −
(b z z a ib= + aوb ∈
i ( ) 2 1i i∉ = −
(c (* z a ib= + ! " ! # z. (*a % &'! # z ( )oR z a′ =
(*b % ( &'! # z ( )Im z b= (* )*0b =+, z a= ∈. (* )*0a =+, z ib= ∈* z- % ( . 2 ( a b a′ b′ . α ∈
a a
a ib a ibb b
′=′ ′+ = + ⇔ ′=
00
0
aa ib
b
=+ = ⇔ =
II ( . 1 ( - z a ib= + . aوb ∈
, %#z / ' ) z% - z a ib= −. 2 (0 (.
(a z z z
z z z i
= ⇔ ∈= − ⇔ ∈
(b z z z z
z z
′ ′= ⇔ ==
(c 1 2 1 2.... ....n n
z z z z
z z z z z z
′ ′⋅ = +
+ + + = + + + (d
( )1 2 1 2.... ....n n
n n
z z z z
z z z z z z
z z n
′ ′⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅
= ∈
(e 1 1
z z =
z z
z z = ′ ′
(f z x iy= + ( )
( )2 2
2 2 Im
z z x Ré z
z z iy i z
+ = =
− = = 2 2zz x y= +
III ( 1 ( : z a ib= + . aوb ∈
%#z / ' ) ! % z -
% : 2 2z zz a b= = +
2 (":
(a )* z a= ∈ +, z a=
)* z ib= ∈ +, z b=
(b 2 2 2z zz a b= = + z z z= = −
(c 0 0z z= ⇔ = z z z z′ ′+ ≤ +
(d 1 2 1 2..... ....n n
zz z z
z z z z z z
′ ′=
=
nnz z=
(e 1 1
z z=
zz
z z=
′ ′
#$% :. # ! % :
(* 2'
z zz zz
z z z z
′ ′= =
′ ′ ′
(*( )( )( )( )
( )( )2 2
a ib c id a ib c ida ib
c id c id c id c d
+ − + −+ = =+ + − +
IV ( &'( ) . 2# " 34P56 5 * # ( )1 2, ,o e e
1 ( :
(a ( ),M x y P z a ib= + # M
( )aff M.
(b ( ),u x y
v
z a ib= +7! # u
( )aff u z=
(c z a ib= + ( ),M x y # z
%,P ( )M z.
(d z a ib= + 7! ( ),u x y
# z
%,2v ( )u z.
#$%: (a ( ) ( ) ( )2 1. 1 . 0aff e i aff e aff o= = =
(b
( ) ( )( ) [ )( ) ( ]
z M z x ox
z M z ox
z M z x o
+
−
′∈ ⇔ ∈
∈ ⇔ ∈
′∈ ⇔ ∈
(c
( ) ( )( ) [ )( ) ( ]
z i M z y oy
z i M z oy
z i M z y o
+
−
′∈ ⇔ ∈
∈ ⇔ ∈
′∈ ⇔ ∈
2 (".
(a
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
aff M aff M M M
aff MM aff M aff M
MM aff M aff M
′ ′= ⇔ =
′ ′= −
′ ′= −
(b
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
aff u aff v u v
aff u v aff u aff v
aff u aff u
u aff u
α α
= ⇔ =
+ = +
=
=
(c G .! ( )( ) , ,A Bα β
( ) ( ) ( )( )1aff G aff A aff Bα β
α β= +
+
(d I- [ ]AB ( ) ( ) ( )( )1
2aff I aff A aff B= +
(e A B C % 78 9: , ,c B Az z z
A B≠ A B C )* , )* #
C A
B A
z z
z z
− ∈−
.
V( * & )+, - . 1 (* ( *z ∈ ( )M z %#z ; 8
'( )1,e OM
. / ' argz
(* ( ) [ ]1arg , 2z e OM π≡
#$% :
[ ][ ]
*
*
*
arg 0 2
arg 2
arg
z z
z z
z z k
π
π π
π
+
−
∈ ⇔ ≡
∈ ⇔ ≡
∈ ⇔ =
[ ]
[ ]
*
*
*
arg 22
arg 22
arg2
z i z
z i z
z i z k
π π
π π
π π
+
−
∈ ⇔ ≡
∈ ⇔ ≡ −
∈ ⇔ ≡ +
2 ( z *
( )cos sinz r iθ θ= + z r= [ ]arg 2z θ π≡ <)=
# %::z [ ],z r θ=" iz reθ=.
3 (#$%: a( [ ] [ ] [ ], , 2r r r r θو θ θ θ π′ ′ ′ ′= ⇔ = ≡
(b %:: z a ib= +% .
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2cos sin ,
a bz a ib a b i
a b a b
a b i a bθ θ θ
= + = + + + +
= + + = +
(c cos sin cos( ) sin( )i iα α α α− = − + −
cos sin cos( ) sin( )i iα α π α π α− + = − + −
cos sin cos( ) sin( )i iα α π α π α− − = + + +
sin cos cos( ) sin( )2 2
i iπ πα α α α+ = − + −
4 (
[ ] [ ] [ ][ ][ ][ ]
[ ][ ]
, , ,
, ,
,,
,
1 1,
,
, ,
n n
r r rr
r r n
r r
r r
r r
r r
θ θ θ θ
θ θ
θθ θ
θ
θθ
θ θ
′ ′ ′ ′⋅ = +
=
′= − ′ ′ ′
= −
= −
( ) [ ][ ]
[ ]
[ ]
( ) [ ]
arg arg arg 2
arg arg 2
arg arg arg 2
1arg arg 2
arg arg 2
n
zz z z
z n z
zz z
z
zz
z z
π
π
π
π
π
′ ′≡ +
≡
′≡ − ′
≡ −
≡ −
( )ii ie e e θ θθ θ ′+′⋅ = ( )ni ine eθ θ= i ie eθ θ−=
( )i
i
i
ee
e
θθ θ
θ′−
′ = 1 ii
ee
θθ
−=
1 ie π− = 2
ii e
π
= 2
ii e
π−− =
5( ( ) ( )( )[ ]( ) ( )( ) ( )( )[ ]
1, arg 2
, arg arg 2
e u aff u
u v aff v aff u
π
π
≡
≡ −
( ) ( )[ ]
( ) [ ]
1, arg 2
, arg 2
B A
D C
B A
e AB z z
z zAB CD
z z
π
π
≡ −
−≡ −
#$% :
)*[ ]1,C A
B A
z z
z zθ−
=−
( ) [ ]
1
, arg 0 2
C A C A
B A B A
C A
B A
z z z zACAC AB
AB z z z z
z zAB AC
z zπ
− −= = = ⇒ =
− −
−≡ ≡ −
6 ( ."Moivre
( ) ( ) ( )cos sin cos sinn
i n i nθ θ θ θ+ = +
7( ."ulerE
( )
( )
1cos
21
sin2
ix ix
ix ix
x e e
x e ei
−
−
= +
= −
2cos
2 sin
ix ix
ix ix
e e x
e e i x
−
−
+ =− =
#$% : ;4 7 >! %:: ?=
/1. :: @ # .
2 1i iz e z eβ α= =
( )1 2 cos sin cos sin
cos cos sin sin
2cos cos 2sin cos2 2 2 2
2cos cos sin2 2 2
i iz z e e i i
i
i
i
α β α α β βα β α β
α β α β α β α β
α β α β α β
+ = + = + + += + + +
+ − + −= +
− + + = +
( )1 2 cos cos sin sin
2sin sin 2cos sin2 2 2 2
2sin cos sin2 2 2
z z i
i
i
α β α βα β α β α β α β
α β α β α β
− = − + −+ − + −= − +
− + + = +
/2 . %#A ' #.
2 2 21 2
2 2cos2
i i ii i
i
z z e e e e e
e
α β α β α βα β
α β α β
+ − −−
+
+ = + = +
−=
2 2 21 2
2 2 sin2
i i ii i
i
z z e e e e e
e i
α β α β α βα β
α β α β
+ − −−
+
− = − = +
−=
VI(- * 01 . 1( *z ∈ *n ∈ % ! %#z z
nz Z=.
2( nz a= )! %= a.
3( [ ],Z r θ= *)! Z A %=
2, / 0,1,...., 1n
k
kz r k n
n n
θ π = + ∈ − = n
4( )!1 A %= 2
1,k
kw
n
π =
0,1,..., 1k n∈ −
5 ( 01*
a( / : [ ],Z r θ= *
)! Z .[ ]2
, ,2
Z r rθθ = =
)* )! Z= : ,2
u rθ =
u−
b(1 / : 1( + 02 *Z a += ∈
: ( )2
Z a a= =
)* )! Z= u a= u− 2( + 02 ( )*Z a a += − ∈
( ) ( )2 22Z a i a i a= − = =
)* )! Z= u i a= u− 33+ 02 ( )*Z ib b += ∈
( ) ( )2 2
22 . 1 1
2 2 2
b b bZ ib i i i
= = = + = +
)! )* Z = ( )12
bu i= + u−
4(+ 02 ( )*Z ib b += − ∈
( ) ( )2 2
22 . 1 1
2 2 2
b b bZ ib i i i
= − = − = − = −
)! )* Z = ( )12
bu i= − u−
5( + 02 Z a ib= + . ( )0 0b ≠aو ≠
): )! :
3 4Z i= − + .B z x iy= + 2 2 2 2z x y ixy= − +
2 2 2z x y= + 5Z =
( )( )( )
2 22
22
2 2
3 1
2 4 2
5 3
x yz Z
z Z xyz Z
x y
− = −= = ⇔ ⇔ = = + =
)1 () +3 (" E#22 2x =% 1x = " 1x = − )1 (–) 3 (" E#22 8y =
% 2 4y = " 2y = " 2y = − 9( )2 ( 2 0xy = ⟩)* y xوG ;4 7
)* 1
2
x
y
= =
" 1
2
x
y
= − = −
)! )* Z= 1 2u i= + u−
VII( 1 4 II: ":
2 0az bz c+ + = . 0a ≠ .B 2 4b ac∆ = −
1 H )* 0∆ = 9 +, :2
bz
a= −.
2H )* 0∆ ≠ +, ∆ )! u −uو
9 :2
b uz
a
− += 2
b uz
a
− −=.
#$%: (* 2 0az bz c+ + = . 0a ≠
)*2 1z ,+zو % :
1 2
1 2
bz z
ac
z za
− + = =
(* 2 2 0az b z c′+ + = . 0a ≠ ( ' # !"
b ac′ ′∆ = −
1H )* 0′∆ = 7 bz
a
′= −
2H )* 0′∆ ≠9 7 :
1 2
b uz
a
′− += 2 2
b uz
a
′− −=. u. )! ′∆.
ت ع و ا
ــــــــــا م ارس
.
I ( – (1
! "#. (2 %! "! & x
E' ( x E.
II ( !( )A x ) E.
1 ( :( ) ( ):x E A x∃ ∈ ,! "./ x E 0( )A x " ./ !x E1, ( )A x. 2∃" . 2 (( ) ( ):x E A x∀ ∈ ,! " 3x E ( )A x .
4 !E1,! ( )A x. 2∀ .
III ( . 1( (a A 5 3 2 ! 6 7A ! !
7 8 #A 8 #7 9 ! 9 A . " :7A : 6 A"
(b "( ) ( ):x E A x∀ ∈ " 6"( ) ( ): 7x E A x∃ ∈." (c "( ) ( ):x E A x∃ ∈ " 6 "( ) ( ): 7x E A x∀ ∈."
2(
! ;A B5 3 2 ! 6 ) B A ( ! ! 8 #7 ,) A B .
3 ( ! )A B5 3 2 ! 6
) B A ( ! =7 8 #7 ! ! ./.
4( !" ! 2!A B 5 3 2 ! 6 ( )A B⇒
8 #7 ,) 9 ! !A B9 . ) ,!A2!! B.( 5 (#$
! >)!A B 65 3 2 ! ( )A B⇔
8 #7 ,) ! !A B,, . : .) ,!A>)! B.(
IV ( %&. (1 :
! 8 , . ?#6 ,, . 8 3 ! ,
8.
(2 %& () *.
)1( ( )7 7A A⇔ )2 ( ( ) (7 )A B A ou B⇒ ⇔
)3( ( ) ( )7 7A B A B⇔ ⇔ ⇔
4( ( ) ( )A B A B et B A⇔ ⇔ ⇒ ⇒
)5 ( ( ) ( )A et B B et A⇔
)6 ( ( ) ( )A ou B B ou A⇔
)7( ( ) ( )A et B et C A et B et C⇔
)8 ( ( ) ( )A ou B ou C A ou B ou C⇔
)9 ( [ ] ( )A B et B C A C⇒ ⇒ ⇒ ⇒ )10( %&+ ,$
( )A B et B C A C⇔ ⇔ ⇒ ⇔
)11( ( ) ( ) ( )A et B ou C A et B ou A et C⇔
)12( ( ) ( ) ( )A ou B et C A ou B et A ou C⇔
)13 (%& &+.
)*(( ) ( )7 7 7A et B A ou B⇔
)* (( ) ( )7 7 7A ou B A et B⇔ )15 (- . !/ %&+
( ) ( )7 7A B B A⇒ ⇔ ⇒
)16 (( ) ( )7 7 7A B A et B⇒ ⇔ )17 ( %&+0
( )(7 7 )A B et B A⇒ ⇒ )18( / $ %&+
( ) ( )A C et B C A ou B C⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V (/ !/ 1/. 1( ,$ / !/:
A A B⇔ B .
2( - . !/ / !/: A B⇒ 7 7B A⇒.
3( 0 / !/ : A 7 : A! 8 4 A.!.
4( / / !/:
! 1 2E E E= ∪ ( ) ( ):x E A x∀ ∈ : (* #71x E∈ B) ( )A x .
(* #72x E∈ B) ( )A x .
5( * / !/2: ( )P n 0n n≥
: (* 0n n=
(* A!P n.
(* P 1n + .
ج م ع
ات-اودت ادت واات م ار ان
.
(I ودت ا 1 تx ا ( ) 1
1 1 0....n nn nP x a x a x a x a−
−= + + + +
1 0,...., ,na a a 0 أاد وna ≠ (*( )P xأو Pودی ار deg و n ت P n=.
1ا!اد*) 0,...., ,na a a ت ا"ودی$% .P ت(b& %'ت$% ( . ت0ن ودی & إذا و.- إذا آ%( (cدر %' ) & . ا"ودی ا(d ت ا"ود$% )%%ن إذا و.- إذا آوی% ت0ن ودی%ن
.ر %وی 12 ا(e 1 آ3 ودی ار :( )P x ax b= ا+ . ت
(f 2 آ3 ودی ار :( ) 2P x ax bx c= + + 7$7 ت
.ا"ود 2 (a ( )deg sup(deg ,deg )P Q P Q+ ≤
(b ( )deg sup(deg ,deg )P Q P Q− ≤
(c ( )deg deg degP Q P Q⋅ = +
xا$# "! 3 α− (a ( )P x0ل إن اد. ودیαر 9"ودی: P 2; أو
)%ن إذا و.- إذا آ9P"ودی ) 0P α =
(b ( )P xودی .
( )P x9 x ت3 ا α−إذا و.- إذا آ%ن ( ) 0P α =.
:م&ح(a3"= هإذا أرد% أن ( )P x9 ت3 ا x α− 0م
)ب"%ب )P α.
)إذا آ%ن*) ) 0P α ) .Aن= )P x9 x ت3 ا α−.
)إذا آ%ن*) ) 0P α ) .Aن≠ )P x9 B x ت3 ا α−.
(b3"= هإذا أرد% أن ( )P x9 x ت3 ا α+ 0م
)ب"%ب )P α−.
II ( ر .IIادت واات م ا
ح* اد 12 0ax bx c+ + =
) ا%د ) 2: 0E ax bx c+ + = 0a ≠
) أ3 3 ا%د )Eب اد%2 0م ب" 4b ac∆ = −
Cا %د∆اد*) ) ی )E.
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟨ )E% . تD 9 329 ه
2 12 2
b bx x
a a
− + ∆ − − ∆= =
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )Eت3 $ وا 2
bx
a
−=
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E3 ت3 أي B .
:م&ح(aد%) ا ) 2: 2 0E ax b x c′+ + = ) G&2یb b′=(
HDC ا3 ا′∆C2bوی&% . ∆ 0ض ا ac′ ′∆ = − ∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟨ )E% . تD 9 329 ه
2 1
b bx x
a a
′ ′ ′ ′− + ∆ − − ∆= =
∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )Eت3 $ وا bx
a
′−=
∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E3 ت3 أي B .
(b 2 إذا آ%نα∆ .Aن ا%د ت3 9 =
2 12 2
b bx x
a a
α α− + − −= =
اودت* ث&ث 2
) 7$7 ا"ود ) 2P x ax bx c= + + ( 0a ≠
3) أ3 ت )P xد%) 0م ب"3 ا ) 2 0E ax bx c+ + =
∆0إذا آ%ن*) وی0ن ت2x 3 و1xتA. E9 3ن ا%د⟨
( )P x 0ه ( ) ( )( )1 2P x a x x x x= − −
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )E0 ت3 $ واx وی0ن
3)ت )P x 0ه ( ) ( )2
0P x a x x= −
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E1 '% 3 وا"ودی ( )P x
3 .1 '% ت :م&ح∆0 إذا آ%ن )ودی .Aن ا"= )P x%ب ه%J رة% .
.إ-رة ث&ث اود 3 ) ا"ودة ) ( ) 20a P x ax bx c≠ = + +
) أ3 دراس إL%رة )P x 3"0م ب
)ا%د ) 2: 0E ax bx c+ + =
∆0إذا آ%ن*) ).Aن ا%د ⟨ )E29D 9 32 ت 1x xو
)وت0ن إL%رة )P x Gه
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )E0 ت3 $ واxت0ن و
)إL%رة )P xGه :
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )Eرة%L1 '% 3 وت0ن إ ( )P x
Gه:
2x
2ax bx c+ + a a a
0 0
1x 2x x
2ax bx c+ + a a
0x x
0
2ax bx c+ + a
x −∞ +∞
.IIم12ع واء ري مد م ار 4 (aد%) ا ) 2: 0E ax bx c+ + =
)إذا أرد% أن أن ا%د*) )Eب% ∆ ت3 9 0م ب"
N0و∆ ≥. 0ع واء ه%ذی ا"9 بون 3 ا%د *) N ب% ی
ب%س%ل اQH ا% 1 2
1 2
bx x
ac
x xa
− + = ⋅ =
(b إذا أرد% ت"ی %د ار IIو ی0نβ α%' 9 . α0م ب"%ب β+ و αβ N Sα β+ Pα و = β⋅ =
Gد ه%2وت0ن ه:R ا 0x Sx P− + =
(cS&إذا أرد% 3 ا x y S
x y P
+ = ⋅ =
0م ب"3
2ا%د 0t St P− + =
1 ه% ا"A. 9ن2x و1xإذا آ%ن
2
x x
y x
≡ =
2 أو
1
x x
y x
= =
( ) ( ) 1 2 2 1, , ,S x x x x=
: م&حβو 1) αد%G9 2 ا 0ax bx c+ + = .
T9 أن
b
ac
a
α β
αβ
+ = − =
βوإذا أرد% %ب ی"0ي 9 α Uα'%رإ "%ول β+ و αβ.
9Vأ (* :( )22 2 2α β α β αβ+ = + −
(*
( )( )( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
2
2
2
α β α β α β αβ
α β α β αβ αβ
α β α β αβ
+ = + + +
= + + − +
= + + −
(*( )
( )
22 2
2 2 2 2 2
21 1 α β αβα βα β α β αβ
+ −++ = =.
2 (1x2 وx%Vد ار ا% G9 . أ3 دراس 1 0م ب"%ب 2x و1xإL%رة 2x x+ 1 و 2x x⋅.
1إذا آ%ن*) 2 0x x . 0 واXخ س%2x وA. 1xن أ اد⟩1إذا آ%ن*) 2 0x x % 12 اLY%رة وه2x G وA. 1xن⟨' 1إL%رة 2x x+.
III (ت ا45ــــا :I1627 ادت م ار 1
) ا%د )1 0ax by c+ + Z b أوaدی أ ا=
) أ3 3 ا%د. &م )1" xBب y0 إذا آ%نa أو ≠
"yب Bx0 إذا آ%نb V0a$ إذا آ%ن. ≠ ≠
Nby cx
a
− , إذن =− /by c
S y ya
− − = ∈
.ن مد م ار ا8و 1627 2
S&ا ( ) ax by cS
a x b y c
+ = ′ ′ ′+ =
ا!اد aو bو a′و b′
( آ9'% &. S&أ3 3 ا ( )S%دات ا" . 0م ب"%ب ا
a b
ab a ba b
′ ′∆ = = −′ ′
x
y
c bcb c b
c b
a cac a c
a c
′ ′∆ = = −′ ′
′ ′∆ = = −′ ′
(a0 إذا آ%ن∆ ت3 $ وا: ≠S&ن اA..
( ) , y xS x y y x∆ ∆
= = =∆ ∆
b (0إذا آ%ن∆ =: ∆0xإذا آ%ن*) ∆0y أو ≠ ≠S&ن اA. ( )S3 %' 1 s = ∅
0إذا آ%ن*) 0y xو∆ = ∆ =S&ن اA. ( )S ت%.\ إى
.ا%دaxرة ـــــــــ إ- 3 by c+ +
ax أ3 دراس إL%رة by c+ م بA[%ء 0+T)ا ) : 0D ax by c+ + =
T)ا )D0ى) یT ا )P0ى G2H إ ( ) ( )2 1P .Pو
yإذا 0^&% ) بAا7%ت أي x Jو )1P %&A. 9 3H"
.إL%رة 7%بyوإذا 0^&% ) بAا7%ت أي x Jو )2P 9 3H" %&A.
yو. ه:R اLY%رة 0ض. إL%رة 1 اLY%رة ا%ب xو J ا7%تAب( )1Pأو ( )2Pخ: %دة إا7%ت_ θ
G0ه 0y =xو =.
.
I 1 ( ),i j
i
j
. 2 ( ),B i j=
. u
!"u xi y j= +
# ( ),x y # $#%
u
& B ( ),u x y
xu
y
.
!": # '$#% #(% u
& .
( ),B i j=
# ) u
* i
j
. #(%
u xi y j= +
$#% +, u
- ( ),x y ( ),u x y
. 3 ( ),B i j=
.
(a ( )1,0i
( )0,1j
b ( # /( ),u x y
( ),v x y′ ′
( ),u v x x y y′ ′+ + +
( ),u v x x y y′ ′− − −
( ),u x yα α α
c ( # /( ),u x y
( ),v x y′ ′
(* # u
v
& B . /# 1 2(#( )det ,u v
! 3/# :
( )det ,x x
u v xy yxy y
′′ ′= = −
′
(* # u
v
#(% , #(% ( )det , 0u v ≠
!": 1 ( i
j
. (* #(%0i jα β+ =
+, 0α β= = (* #(%i j i jα β α β′ ′+ = +
+, α α ′= β β ′=. 2 ( ' #(%A B C5$ # +, 6
AB
AC
. ! .
II$ 1 6!$ !/ ( ), ,o i j
6 o i
j
. 2 )!/# / ( ), ,R o i j=
M # 7# OM
!"OM xi y j= +
# ( ),x y # $#%
M )!/! R ( ),M x y xM
y
!": '$#% #(% M!/! )( ), ,o i j
)OM
* i
j
. #(%OM xi y j= +
+, ( ),M x y. 3 )!/# / ( ), ,R o i j=
.
# / ( ),A AA x y ( ),B BB x y (* ( ),B A B AAB x x y y− −
. (* #(%I 38 [ ]AB # '$#% +, I- :
,2 2
A B A BI I
y y x xy x
+ += =
!": # ' #(% A B C +, 6!$#( ), ,A AB AC
)!/ .
III
1 3/ : A u
/ # )#A 1# u
# " -M! #
AM
u
1 ( ),D A u
( )D.
!" : (a ( ),M D A u∈
/ AM
u
.
(b ( )D) . #( )∆ ( )D.
(c )# ( )AB A 1AB
. 2 % &'.
($: ( )D # )# ( )0 0,A x y 1# ( ),u a b
)! 2# $( )D - ( )t IR∈ 0
0
x x at
y y bt
= + = +
: ( )D
/ 2## $# #(-( )D # # " -
!" $## ( )1 3 , 2 4t t+ − 6 t IR∈. 9" ! /t IR# !" 8 '$#
( )D. "' 1t = 2 4y x= − = (% ( ) ( )4, 2M D− ∈.
3 ) $. (a ( )D # )# ( )0 0,A x y 1#
( ),u a b
/ !" 8! ( )D! : : ( ) ( ),M x y D∈ / ( )det , 0AM u =
/ 0
0
0x x a
y y b
−=
−
/ ( ) ( )0 0b x x a y y− − − !" / !" 8 )0Ax By C+ + = :
( ) ( ), 0,0A B ≠ / - ( )D ( ) : 0D Ax By C+ + =.
(b "# / ( ) : 0D a x b y c+ + = ( )D 1 ) ( ),u b a−
. (c (* #(%( )D#
# +, 8,;# ( )1,0i
!" 1/ 1 y c=.
(* #(% ( )D#
# +, #;# ( )0,1j
!" 1/ 1 x c=.
(* # )# - 8,;# ( )0,0o 1# ( )1,0i
1/ 0y =.
u
i A
( )D
i A B
( )D
O i
j
c ( )D
O i
j
c
( )D
(* # )# - #;# ( )0,0o 1# ( )0,1j
1/ 0x =. 4 )$ % &' *+ ) $ .
',: (a )# / ( ) : 2 1 0x y∆ + − = 2# $ !" 8! ( )∆ < ( )∆ :y t= x t=
<=#. "': :9 y t= (% 2 1 0x t+ − = / 1 2x t= − (%
( ) 1 2x t
y t
= −∆ =
.
(b )# / ( ) ( )( )
1 2 1:
3 2
x t
y t
= +∆ = + / !" 8!
( )∆ < t , ( )1 ( )27<;# , >/ . 5$ : ( )2 3t y= − − , >/ ( )1
1 2 6x y= − − (% ( ) : 2 5 0x y∆ + + =.
5 - .: (a # : # ( )∆ ( )′∆ ?# !:
(i #(% ( ) 0
0
:x x at
y y bt
= +∆ = +
@( ) 1
1
:x x a t
y y b t
′ ′= +′∆ ′ ′= +
A# )( ) 0 1
0 1
x at x a tS
y bt y b t
′ ′+ = + ′ ′+ = +
(* #(%( )S # 5 .t = .t′ = +, ( )∆ ( )′∆ >/ $#% !" 8 , /t $ ,
( )∆. (* A! #(%( )S +, !# 1 * ( ) ( )′∆ = ∆.
(ii #(% ( ) 1:
1 2
x t
y t
= +∆ = − +
( ) : 2 3 1 0x y′∆ − + =
A# )( )( )( )( )
1 1
1 2 2
2 3 1 0 3
x t
S y t
x y
= + = − + − + =
>/x y, ( )3# / !" 8 (*, /# B( #(%( )∆ ( )′∆ , / .
>/t , ( )1 ( )2!" 8 . (* +, * /# ' #(%( )∆ ( )′∆/C . (* +, !# 1 * /# ' #(%
( ) ( )′∆ = ∆. (iii #(% ( ) : 2 1 0x y∆ + − = ( ) : 2 1 0x y′∆ − + = A# )
( ) 2 1 0
2 1 0
x yS
x y
− + = + − =
'* D (i.
(b # / ( )( )
: 0
: 0
ax by c
a x b y c
∆ + + = ′ ′ ′ ′∆ + + =
(i #(% 0a b
a b≠
′ ′ +, ( )∆ ( )′∆ A# /
:# !" 8!.
(ii #(% 0a b
a b=
′ ′ +, ( ) ( )//′∆ ∆
(* #(%0a c
a c≠
′ ′ 0
b c
b c≠
′ ′ +, ( ) ( )// ′∆ ∆C /.
(* #(%0a c
a c=
′ ′ 0
b c
b c=
′ ′ +, ( ) ( )′∆ = ∆.
(c #(% ( )∆ ( )′∆ # <u
( )∆ v
( )′∆
( )det ,u v
(i #(% ( )det , 0u v =
+, ( ) ( )// ′∆ ∆
(ii #(% ( )det , 0u v ≠
+, ( )∆ ( )′∆ / .
(d #(% ( ) ( )// ′∆ ∆ -; 2 +, <E.
6 /0 $ (a #(% ( )∆ 1/ +, #=# 2# !" y mx p= + /# /# B(-
8<#. )# 1# /# /#( )∆.
(b ( )∆ 1 ) ( ),u a b
: 0a ≠ ) /
( )y yο′//( )∆ ( 1# /#( )∆ - bm
a.
(c # / ( ) : y mx p∆ = + ( ) : y m x p′ ′ ′∆ = + ( ) ( )// ′∆ ∆
, #(%m m′=
ع ج م
ــت ا ــدـــــا ارســـــ
ن.ح
(Iـــــــ اـــ ــــــآ ـــA(!"#ت
Ω و k م M' . د ه$ ا!#k و"! Ωاآ اي آ
) اي بـ , )h kΩ(ي یب وا
) M آ* )P M ب+M' ب
" 'M k MΩ = Ω
. Ω B( &ةا'' ( ا
12 ا$ا N و 0M$رت ا N' و M'ت$ن ان
1k إذا و6) إذا و3 د hبآ ب+ ≠
' 'M N k MN=
.
C( ت خ)ــــ h آ آ .k و"! Ω ت
(1 ( ) 'h M M= 76M' ت k MΩ = Ω
) إذا آن 2) ) 'h M M= و ( ) 'h N N= 86ن
' 'M N k MN=
(3 (a ( )h Ω = Ω ) ل إن$Ω آ0ة ب h (
(b ( )h M M= 76M ت = Ω
آ Ω ی أن ها( ) h ه ا ا$ة ا<ة ب
) إذا آن 4) ) 'h M M= 86ن Ω و M و 'M ?" .
(5 (a ا آ یA6 12 ا?3@ ی :
G @3إذا آن ( , ), ( , )A Bα β 86ن G' @3
( ', ), ( ', )A Bα β
(b : اآ یA6 12 ا?<C ی
] <I Cإذا آن ]AB 86ن I' @3 [ ]' 'A B
(c * اس DE ی 12 A6 : اآ ی
ABإذا آن CDα=
' 86ن ' ' 'A B C Dα=
(d ) ی 3اآ یA6 12 اس : H ا) . "? 'C و 'B و '8Aن 0$ره "? C6 و B و Aإذا آ
(6 .اآ I یA6 12 ا?"6 ی
)إذا آن ) 'h A A= و ( ) 'h B B= 86ن ' 'A B k AB=
(7 س اوای اDس یK * A6'اآ ی ' 'BAC B A C∧ ∧
= (a (8 ]0$رة ا ]AB آ] ه ا h ب ]' 'A B
(b L"?0$رة ا( )AB آ) ه ا?"h L ب ' ')A B.
(c L" 0$رة( )D L" $ه ( ')D ی$ازي ( )D.
(d یأ3* ت L" 0$رة( )D بـ h یN تی 0$رة
A و B ( )D وس$ن ( ) ( ' ')h D A B= أو تی 0$رة
) وس$ن Aواة )h D رL وا?$ازي A"?2' ه$ ا?"L ا?
( )D ) . ( ) 'h A A=(
(e ن)إذا آ )D را ?" Ω 86ن ( ) ( )h D D=.
$ل إن ( ( )D 0 إ3? . (
)0$رة ااOة 9) , )C O r آ)'ه ااOة hب ', )C O k r .
P' ( )O h O= .
(10 (a E و F ا?"$ى O3 .
( ) ( ) ( )h E F h E h F=∩ ∩ (b HM إذا آ E F∈ ) 86ن ∩ ) ( ) ( )h M h E h F∈ ∩
(11 وا$ازي ی :اآ یA6 12 اان ن ?" ی ه? 0$رة "?
ن $ازین ?" .و 0$رة "? $ازی ه?آ ا+* ا)12 .
L2 Nض أن ا?"$ى "$ب إ1 ( , , )O i j
.
a(ل- 1 : h آ آ2k و"! Ω(1,2) ت = .
یh 2 أ3* تی ا<T ا22 2 P! : ( , )M x y و ( ', ')M x y +ب ( ) 'h M M= م$ و
. y و x بy I' و x'ب"ب
)ی ) 'h M M= ' ی 2M MΩ = Ω
)'وی ' 1, ' 2)M x yΩ − −
2 و (2 2,2 4)M x yΩ − −
إذن ' 1 2 2
' 2 2 4
x x
y y
− = − − = −
ی' 2 1
' 2 2
x x
y y
= − = −
: ه hإذن ا<T ا22 ـ ' 2 1
:' 2 2
x xh
y y
= − = −
تی 0$رة : ح/ $ض h بـ Aإذا أرد x و y تVب8ا
A12 إ *>ت وVا( )h A .
b( ل- 2 .
! ا!# f 22 ها T0 ي: ا' 3 2
:' 3 4
x xf
y y
= + = −
!W یأ3* ت f ?X* اة ب!+ ا) ا< '
'
x x
y y
= =
ی3 2
3 4
x x
y y
+ = − =
ی1
2
x
y
= − =
0ة وة f إذن ت!*
)ه 1,2)Ω − .
YZ LV( , )M x y و ( ', ')M x y +ب ( ) 'h M M=
إذن ی' 3 2
' 3 4
x x
y y
= + = −
. )'وی 1, ' 2)M x yΩ + −
ی
'(3 2 1,3 4 2)M x yΩ + + − −
3)' ی 3,3 6)M x yΩ + −
3وی (3 3,3 6)M x yΩ + −
' إذن 3M MΩ = Ω
) تآ آ fوب 1,2)Ω − !"3k و = .
#4 ا23ت )13 . (a آد آ ت h . ?"Ω +!A و B
)ی . 'B و 'Aو0$رته? ) 'h A A= إذن Ω و Aو A' ?"
)و ')AAΩ∈ . )وی ) 'h B B= إذن Ω و B و B'
)"? و ')BBΩ∈) ه تΩ PW وب ')AA و
( ')BB
(b آ"? h أ3* تی " تk ن و : هك إ
!+ ا?آ *)Ω A وDو0$رت A' .
)ی ) 'h A A= إذن 'A k AΩ = Ω
AΩ' ، و$م ب"ب
Iب
AΩ
]^ E 'A AαΩ = Ω
k و"_ أن α= سأو ? إ1 ا
A'اE!ي k MΩ = Ω ی'A
kM
Ω=Ω
.
(* +! A و B ی .'B و 'A و0$رته?
' 'A B k AB=
N` ای ا"ب P! . و
(c أن ! أن ] <I C'إذا أرد ]' 'A B +! I و A و B
)ب+ ) 'h A A= و( ) 'h B B= و ( ) 'h I I= 0aا *? " و
(5b . ] <I Cی ]AB إذن 'I C> [ ]' 'A B .
(d أن ! Ω وI و J أن ! "? یN أن
( , ) ( )kh I JΩ =.
(e د 0$رة M Dق بW ك ة : ه
(* Cی ?* ا" 'M k MΩ = Ω
<M C إذا آن *)K[ ]AB *? " (5b).
H إذا*)AM آ ABα=
*? " (5c) .
(* H ?* M إذا آ" O3 PW .(10) ت
) Mی E F∈ ) إذن ∩ ) ( ) ( )h M h E h F∈ ∩ (
(* H إذا آD2? " .ی ا<T ا22
(II ث6 ا'"آـــ&ي ا'ـــــــA( !"#ت . 'M
Ω Ω ا?V* ا?آي اي آ
Sي بـ ه$ ا!# ا Ω(ي یب Ω وا
) M آ* )P ب+M' ب
" 'M MΩ = −Ω
] <Ω C ی ]'MM . M
B( &ةا'' ( ا 12 ا$ا N و Mت ا 0$رN' و M'ت$ن ان
Sب?V* آي Ω ) إذان إذا و6'آ 'M N MN= −
.
C( ت خ)ــــV* ا?آي ?2 !"آ ت!1 0 ب0ت ا? 2 بaا P?3 P
cب$ . + ت<!@ (9) و (6) ، ا -1 بـ kت
(6 .ا?V* ا?آي یA6 12 ا?"6 ی
) إذا آن ) 'h A A= و ( ) 'h B B= 86ن ' 'A B AB=
)0$رة ااOة 9) , )C O r ا?آي *V?S ب Ω ةOه اا
'( ', )C O r . P' ( )O S OΩ=. ح/
(a ( ) 'S M MΩ = 76] <Ω C ت ]'MM.
(b ن إذا آ( ) 'S M MΩ ) و = ) 'S N NΩ 86ن =
' 'M N MN= −
.
(IIIـــــــــــــــ ازاحـــ A(!"#ت .
u
DE . DDE زا اfاu
u ه
ut ا!# اي بـ M' واي یب)
) M آ* )P M' ب
MM'"ب+ u=
M
B( &ةا'' ( ا 12 ا$ا N و M 0$رت ا N' و M'ت$ن ان
utبfزا ' إذا و6) إذا آن 'M N MN=
.
C( ت خ)ــــآ ت!1 0 ب"! gزا ، 0ت ا? 2 بaا P?3 ا (1)
: وی (13abd)و (12)و (9) و (8cde) و (6) و (4) و(3) و (2)و
A6 12 ا?"6 اfزا ت 6). (8eإذا آ )ن )D *u ی$ازي
) uی
) D3$ ـ )D ( 86ن
( ) ( )ut D D=.
)0$رة ااOة 9) , )C O r زاfutب )'ه ااOة ', )C O r .
P' ( )uO t O= .
ح/
(a ( ) 'ut M M= 76MM' ت u=
.
(b ن) إذا آ ) 'ut M M= و ( ) 'ut N N= 86ن
' 'M N MN=
.
(III'ث6 ا ري ـــــ ا'ــــ
A( !"#ت . ( ا?V* ا?$ري اي $ر ∆(?" ( )∆ ( )∆
) ه$ ا!# اي بـ )S واي یب)∆
) M آ* )P M 'M ب+M' ب
) ی$ن )∆ ]واس) ا ]'MM .
B( ت خ)ــــV* ا?$ري ، ?2 !"آ ت!1 0 ب0ت ا? 2 بaا P?3
: وی (13abd)و (9) و (8e) و (6) 5) و (4) و(3) و (2) و (1)ا
(6 6 .ا?V* ا?$ري یA6 12 ا?"(8e (* ن) إذا آ ) ( )D ⊥ ) 86ن ∆ ) ( ) ( )t D D∆ =.
)إذا آن *) ) //( )D ) 86ن ∆ ) ( ) //( )t D D∆.
)0$رة ااOة 9) , )C O r $ريا? *V?) ب )S ه ااOة ∆
'( ', )C O r . P( )' ( )O S O∆=.
ح/ (a ( ) ( ) 'S M M∆ = 76) ت )∆ ]واس) ا ]'MM .
(b ن) إذا آ ) ( )S M M∆ = 76) ت )M ∈ ∆
L"?ا( ب ∆( 0 .
ج م ع و ا
ا اء ا م ارس
.
I (
(1 AB
AC
. C
H C ( )AB
K B ( )AC K
! "AB
AC
# $ %&" ' () .AB AC
* +, -& :B H A
. .
.
. .cos( )
AB AC AB AH
AC AK
AB AC BAC∧
=
=
=
(2 /01 2"+3 41 AB
5 AC
678 . 0AB AC =
(II
(1 AB
CD
. D
'C C ( )AB
'D D ( )AB C
+*. . ' 'AB CD AB C D=
B A
:
9+0 :; .AB CD
<1 =+ &> /&?@ /01 "
+AB+, +C+AD5 E F" G + +AD5 E +# H+(0I JG K! L+.
(2 (a&" %.AB AB
%&+# 2
AB
J#& * .
(b +* 2 2AB AB=
(3 (a 6+ 2"+3 41AB
CD
678 M N(" +O :
. .AB CD AB CD=
(b 6+ 2"+3 41 AB
CD
678 6+3+ 6+M +O :
. .AB CD AB CD= −
(4 (a 61 P" AB
CD
6+ 3 6+3 41 8 41 6+Q+
( )AB ( )CD *+ . R"AB CD⊥
(b +* AB CD⊥
S8+Q . 0AB CD =
(5 2"+3 41 A B C D 678 T
. .AB CD AB CD=
D C B A
(6 (a u
v
A B C 3 UV "
AB u=
AC v=
+* :. .u v AB AC=
C v
(b u
v
: v
+*. . cos( , )u v u v u v∧
=
B u
A
(c 22u u=
u
(d 2"+3 41 u
v
678 M N(" +O :. .u v u v=
(e 6+ 2"+3 41u
v
678 6+3+ 6+M +O :
. .u v u v= −
(f u v⊥
S8+Q . 0u v =
(g. . (u v v u= ∗
.( ) . . (u v w u v u w+ = + ∗
.( ) . . (u v w u v u w− = − ∗
( ). .( ) ( . ) (u v u v u vα α α= = ∗
2 2 2( ) 2 . (u v u v u v+ = + + ∗
2 2 2( ) 2 . (u v u v u v− = + − ∗
2 2( ).( ) (u v u v u v+ − = − ∗
(III !"#
1($% & . A
( )ABC +* +WW :
2 2 2 ˆ2 . .cosBC AB AC AB AC A= + − 2 2 2 ˆ2 . .cosAC BA BC BA BC B= + − C B 2 2 2 ˆ2 . .cosAB CA CB CA CB C= + −
2('()* +,-
( )ABC +WW I TA XY [ ]AB A
+* :
22 2 22
2
BCAB AC AI+ = +
5
22 2 21
( )2 2
BCAI AB AC= + − C I B
3( ./ 01& 23 4 )* & .
(a ( )ABC Z T*% [\+B +WW A 'A XY [ ]BC H
A ( )BC . +*: 2 2 2 (AB AC BC+ = ∗ ) L^ +8 TB_ (
2 . . (BA BH BC BH BC= = ∗ A
2 . . (CA CH CB CH CB= = ∗
2 . . (AH HB HC HB HC= − = ∗ C I H B
1' (
2AA BC= ∗
(b ( )ABC*% [\+B +WW Z TA . +*: C
ˆcosBA
BBC
= ˆcosAC
BBC
=
ˆtanAC
BAB
= A B
(c ( )ABC +WW . +* : A
ˆ ˆˆsin sin sinA B C
BC AC AB= = C B
.
( ), ,o i j
.
(I
1 ( );u x y
( ),v x y′ ′
u v xx yy′ ′⋅ = +
2 2u x y= +.
2 !" ( ),A AA x y ( ),B BB x y
( ),B A B BAB x x y y− −
( ) ( )2 2
B A B AAB x x y y= − + −.
3 0u v u v⊥ ⇔ ⋅ =
4
(a ( )cos ,u v u v u v⋅ = ⋅ .
(b ( ) ( ) ( )detcos , sin ,
u vu vu v u v
u v u v
⋅⋅= =⋅ ⋅
(c ( ) ( )ˆcos cos ,AB AC AB AC
BAC AB ACAB ACAB AC
⋅ ⋅= = =⋅⋅
(d ( ) ( ) ( )det ,ˆsin sin ,
AB ACBAC AB AC
AB AC= =
⋅
.
!: (a# # $ % & ' ˆBAC
&( )ˆcos BAC
() :( ) 1ˆcos2
BAC = −
( ) 2ˆcos cos3
BACπ=
' 2ˆ3
BACπ=.
(b# # $ +% & ' ( ),AB AC
& "
( )cos ,AB AC
( )sin ,AB AC
.
() :( ) 2cos ,
2AB AC
−=
( ) 2sin ,
2AB AC
−=
.
, # $ +% & :
( ) 2cos ,
2AB AC
−=
( ) 3cos , cos
4AB AC
π=
( ) 3, 2
4AB AC k
π π= +
( ) 3, 2
4AB AC k
π π−= +
( )sin , 0AB AC ⟨
'( ) 3, 2
4AB AC k
π π−= +
( ) 3, 2
4AB AC k
π π−≡ +
5 # $ %& (a ( )D " n
# .# "n #!
-( )D& ' n - .- ( )D) ( )n D⊥.(
(b" :( ) : 0D ax by c+ + =
( ),u b a− # ( )D ( ),n a b
- #! ( )D. c(' () * (&) +, %& -, .
.-/:" # # & ( )D ( )1,2A #( )3,4n −1- #! .
&(1 .
( ) ( )
( ) ( )
, 0
1 30
2 4
3 1 4 2 0
M x y D AM n
x
y
x y
∈ ⇔ ⋅ =
− − ⇔ ⋅ = −
⇔ − − + − =
'( ) : 3 4 5 0D x y− + − = &(2 .( )3,4n −- #! ( )D# ' ( )D -
2( ) : 3 4 5 0D x y− + − = ( )1,2A' ( ) ( )3 1 4 2 0c− ⋅ + + = 5c = − ' ( ) : 3 4 5 0D x y− + − =.
(d ( )D " A n1- #! .
( )D′ " A′ n′1- #! .
(* ( ) ( )D D′⊥' !" ' n n′⊥ 0n n′⋅ =
.
(* ( ) ( )//D D′ ' !" ' nوn ′ ( )det 0n n′⋅ = .
(e " :( ) ( ): 0 : 0D a x b y c D ax by c′ ′ ′ ′+ + = + + =
(* ( ) ( )D D′⊥ ' !" ' 0aa bb′ ′+ =.
(* ( ) ( )//D D′ ' !" ' 0a b
a b=
′ ′
f(%& (&) $- . (i ( )D " A #!" .
# A- ( )D 1 $ .' ( )( ),d A D 4 ( )( ),d A D AH=5& H . !" 6 A
-( )D. (ii" ( ) : 0D ax by c+ + = #!"( )0 0,A x y
( )( ) 0 0
2 2,
ax by cd A D
a b
+ +=
+.
!:#!" # A" - ( )D # 78 6
A" !" ( )D. (g !" !#[ ]AB " 6 I48 [ ]AB AB
1- #! .
(h (* 5) ") $( )ABC9! ,!" 6 . (*5) $( )ABC9-: ,!" 6 . (*5) #!& ;< $( )ABC9! ,!" 6 . (*5) #!& ;< $( )ABC98 ,!" 6 .
(II . 1 6$ ;< Ω-2 r#- 6 M
="&M rΩ =. 2 ;< # ( )C6$ ( ),a bΩ-2 r 6
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = - # - 8& 2 "
22 2 0x y x yα β γ+ + + + =. 3 #- ( )Γ ( ) 2 2: 0x y x yα β γΓ + + + + =
#- # ! # ( )Γ"! >6 :
(1:,? 2 2
c b aβ αγ= = − = − & " 2 2a b c+ −
(* '2 2 0a b c+ − ⟨@ Γ = ∅
(* '2 2 0a b c+ − = @ ( ) ,a bΓ = Ω
(* '2 2 0a b c+ − ⟩@ ( )Γ6$ ;< ( ),a bΩ
-2 2 2r a b c= + −. (2:2 - # & " ( ) ( )2 2
x a y b k− + − =
#6 #" ! # 2 2
2
2 2X X X
α αα + = + −
.
(* '0k⟨ @ ( )Γ = ∅.
(* '0k =@ ( ) ,a bΓ = Ω.
(* ' 0k ⟩@ ( )Γ6$ ;< ( ),a bΩ
-2 r k=. 4 -0-(12 3 $, -,.
( )6!% & ;< [ ]AB# - 8& ( ) >6 "!:
(1 :#78 :( )( ) ( )( ) 0A B A Bx x x x y y y y− − + − − =
!2 : , :( ) ( ), 0
A B
A B
M x y AM BM
x x x x
y y y y
∈ ⇔ ⋅ =
− − ⇔ ⋅ − −
!: ' ( )ABC # $ <% A #!& ;< @ 5) ( )ABC6!% ;< 6 [ ]BC . 6 6$
48[ ]BC 6 -2 2
BC.
5 4- ./. ;< . )( )6$ ( ),a bΩ-2 r 6
( ) ( )cos:
sin
x a rC
y b r
θθ
θ= +
∈ = +.
6 5- .: ( )C 6$ ;< ( ),a bΩ -2 r
2 2 0x y ax by c+ + + + =#!" ( ),M α β. (* M;< AB ( ) ' !" ' :
0MΩ ⟩ 2 2 0a b cα β α β+ + + + ⟩ (* M;< B ( ) ' !" ' :
0MΩ ⟨ 2 2 0a b cα β α β+ + + + ⟨. (*( )M C∈ !" ' 'M rΩ =
2 2 0a b cα β α β+ + + + =.
7 %& 6(-&. ( )C6$ ;< Ω-2 r
2 2 0x y ax by c+ + + + =
" ( ) : 0x yα β γ∆ + + =.
,!" # ( )C ( )∆& " ( )( ),d Ω ∆.
(a9 ' ( )( ),d rΩ ∆ ⟩@ ( )∆AB ( )C :
,!"( )C. (b9 ' ( )( ),d rΩ ∆ =@ ( )∆,!" ( )C;& #!" A .
#& C'6 " ( )∆+ ( )C#!" A A + #!" .
& " + #!" - 8&
#2 2 0
0
x y ax by
x yα β γ + + + =
+ + =.
(c9 ' ( )( ),d rΩ ∆ ⟨@ ( )∆" ,!( )C!" A
B!" 9)& - 8& DA B & "
#2 2 0
0
x y ax by
x yα β γ + + + =
+ + =.
8 - -,.
( )C6$ ;< Ω-2 r
2 2 0x y ax by c+ + + + = ( )T + ( )C
#!"( )0 0,A x y. - 8&# ( )T"! >6 :
(1: #78 ( ) ( ) ( )0 0 0 0: 02 2
a bT x x y y x x y y c+ + + + + + =
(2:( )T " 6 Ω# AΩ
1- # .
!: ( )T ( )C A ' !" ' ( )T
- -( )AΩ A.
ت. ع . ب.س. و ا
ــــــــ اـــــ ء رســـــ اـــــــ
.
(I 3V ا س ا ء ا
(1 u
v و
w و
ت 3 3V و Aو BوC و D
4 AB u=
AC و v=
AD و w=
.
uل إن ات
v و
w و
ا A #ا"! إذا و إذا آ
. #ا"! D و CوBو
uل إن ات
v و
w و
ا A %$ #ا"! إذا و إذا آ
. %$#ا"! D و CوBو
(2 i
j و
k و
ت %$ #ا"! 3 3V.
ت0 /$ی! وح,ة *() '& 3V آ& ! ∗)
u x i y j z k= + +
) ل إن ا3(ث ∗) , , )B i j k=
. 3V أسس 7 ا56ء
(∗ uإذا آ x i y j z k= + +
) ;ن ا3(ث , , )x y z (#ی
3u(ث إح,اثت ا!
#<! =سس ( , , )B i j k=
و0
:( , , )u x y z
أو x
u y
z
.
(3 ( , , )B i j k=
.3V أسس 7 ا56ء
(a ا $>? : ( , , )u x y z
: و ( ', ', ')v x y z
.
:,ی ( ', ', ')u v x x y y z z+ + + +
: و ( , , )u x y zα α α α
(b ا $>? : ( , , )u x y z
: و ( ', ', ')v x y z
.
u أج& دراس! اس! ا
v و
م #ب ا,دات اC3ث!
uا#F$ج! ج,ول إح,اثت
v و
: وه7
'
'
x x
y y و
'
'
x x
z z و
'
'
y y
z z .
هIJ ا,دات اC3ث! ?,! ;ن ∗)u إذا آ
v و
# .
(∗uات %$ ?,! ;ن إح,ى هIJ ا,د إذا آ
v و
#$% .
(c ت: ?<$ ا ( , , )u x y z
: و ( ', ', ')v x y z
و
: ( ", ", ")w x y z
.
u #7 ,دت ات ∗)
v و
w و
L$ M L$ يJا?,د ا
det( , , )u v w
: وا?$ف ی(7
' "
det( , , ) ' "
' "
' " ' " ' "
' " ' " ' "
x x x
u v w y y y
z z z
y y x x x xx y z
z z z z y y
=
= − +
u تن ∗)
v و
w و
)det #ا"! إذا و إذا آن , , ) 0u v w =
#ح!
(a تن u
v و
v # إذا و إذا آن uα=
u أو vα=
(b u إذا آ
v و
0u و %$ # vα β+ =
0α ;ن β= =
(c تنu
v و
w و
!P, 0ت إح,اه #ا"! إذا و إذا آ
C3 خ$ىRا :w u vα β= +
.
(d u إذا آ
v و
wو
0u %$ #ا"! و v wα β γ+ + =
;ن
0α β γ= = = .
(IIء ا&%ـــــــــ$ اــــــــ
(1 7*7# ?( 7 ا56ء آ& ر ( , , , )O i j k
/! O ح
iا56ء و
j و
k و
ت %$ #ا"! ی?7 أسس 3 .
(2 ( , , , )R O i j k
7 ا56ء )? .
(a !/ & M !ء اOM ا56
ت0 /$ی! وح,ة *() '&
OM x i y j z k= + +
)ا3(ث . , , )x y z ی#) 3(ث
!/#<! ا?(M Sإح,اثت ا R 0و ( , , )M x y z أو
x
yMz
) #ح! , , )M x y z OM x i y j z k⇔ = + +
(b/) ?<$ ا , , )A x y z و ( ', ', ')B x y z
(∗ ) ,ی ' , ' , ' )AB x x y y z z− − −
TU ا/?! I إذا آن ∗) [ ]ABن;
' ' '
( , , )2 2 2
x x y y z zI
+ + +
(III ء ا&()'ـــــــــ$ ـــــــ اــــــــ %,ی* )1
A و !/ u
u واجM ـ Aا#S ار . !
ه
ب L$ 7ا*! ا( , )D A u
وا?$ ! ب
( , ) /D A u M E AM uα= ∈ =
( )D u
A
AM #ح!
u و
# ( , )M D A u∈ ⇔
2( $( &0/ ب را,ي &( S#) را$ي)ت3& )D ر0 ا 0 0( , , )A x y z Mواج
!( , , )u a b c
: ه
0
0
0
( ) : ( )
x x at
D y y bt t IR
z z ct
= + = + ∈ = +
3( $( ن &( ن دی2 ر د% .
( )D ر0 ا#S ا 0 0( , , )A x y zMبواج ( , , )u a b c
اR*,ادإذا آ∗) a و b و c ?,! ;ن ?د $% ( )D : ه
0 0 0x x y y z z
a b c
− − −= =
(∗ ,?C30a . إذا آن *,د واح, ?,م و*,دی %$ ≠ ، 0b و =
0c ≠ ) ;ن ?د )D : ه0 0
0 0
x x z z
a cy y
− − = − =
?, و*,د واح, %$ ?, إذا آن *,دی ∗). C30a = ، 0b =
0cو ≠ ) ;ن ?د )D : ه0
0
0
0
x x
y y
− = − =
4( 4&( . اوض ع ا5(' &(Rوضع ا#<! # ی## اس?ل ت3( أج& دراس! ا#ح!
را$ی . ?<$ ا#
0
0
0
( ) :
x x at
y y bt
z z ct
= +∆ = + = +
و
1
1
1
' '
( ') : ' '
' '
x x a t
y y b t
z z c t
= +∆ = + = +
),ی 0 ر ∆( 0 0( , , )A x y z ب Mوج( , , )u a b c
)و 1 ر ∆(' 1 1( , , )B x y z ب Mوج( ', ', ')u a b c
Z[) أج& دراس! ت ) و ∆( ')∆ !u ,راس! اس
v و
(aإذا u آ
v و
) # ;ن ) //( ')∆ )و?$ ! ه& . ∆ و ∆(
( ')∆ ن أم ازین \/?>/)^ ه& . ')A ∈ ؟ ∆
) إذا آن ∗) ')A ∈ ) ;ن ∆ ) ( ')∆ = ∆ .
) إذا آن ∗) ')A ∉ ) ;ن ∆ ) و ∆( ')∆ . ازین \/?
(b uإذا آ
v و
) %$ # ;ن ) و ∆( ن أو %$ ∆('?/
!` م & ا : #ا" ، و?$ ! أي ح! ,ی
0 1
0 1
0 1
' '
( ) ' '
' '
x at x a t
S y bt y b t
z ct z c t
+ = + + = + + = +
د وا^ & ا`! ا! ?
!3 . 7 ا3(i !`) إذا آن ( )S ن; Cح ( ) و ∆( ن و(Uل *() ∆('?[
) 7 تt &3إح,اثت /! ا]Z ?ض ) 7 تt &3' أو ∆( ')∆.
(ii !` ا) إذا آ )S ن; Cت<& ح P ( ) و ∆( . %$ #ا"∆('
(IVــــــ اـــــــــــــــ8ى ــــ ء ا&( %,ی*)1
A و !/ u
v و
u واجM ـ A ار ا#ى.
vو
ب ه ا*! ا7 L$( , , )P A u v
وا?$ ! ب
( , , ) /P A u v M E AM u vα β= ∈ = +
AM (#ح!
u و
v و
)) #ا"! , , )M P A u v∈ ⇔
&0/ ب را,ي &(8ى )2( )P ر0 ا#ى ا 0 0( , , )A x y z Mواج
( , , )u a b c
) و ', ', ')v a b c
) ت3& را$ي (#ى )P ه :
0
0
0
' '
( ) : ' ' ( , ' )
' '
x x at a t
P y y bt b t t t IR
z z ct c t
= + + = + + ∈ = + +
د دی2 ر &(8ى )3% . ( )P ر0 ا#ى ا 0 0( , , )A x y z Mواج
( , , )u a b c
) و ', ', ')v a b c
.
د! دیرت! ـ (Uل? ()* ( )P 7)ی Z> :
0
0
0
( , , ) ( ) det( , , ) 0
'
' 0
'
M x y z P AM u v
x x a a
y y b b
z z c c
∈ ⇔ =−
⇔ − =−
د! *() '& ? ()* &Uو $d0Axم By Cz D+ + + =
)ح , , ) (0,0,0)A B C ≠.
8ی4 )4) 9: ( . # اس?ل ?, دیرت Cح`! أج& دراس! ت]Z #ی ی#
: ?<$ ا#ی ( ) : 0
( ) : ' ' ' ' 0
P ax by cz d
Q a x b y c z d
+ + + =+ + + =
Z[) أج& دراس! ت )P و ( )Q ب ا,دات م #
' '
a b
a b و
' '
a c
a c و
' '
b c
b c
(a ن; !,? هIJ ا,دات اC3ث! ) إذا آ ) //( )P Q.
(b ن; !,? إح,ى هIJ ا,دات %$ ) إذا آ )P و ( )Q ن?[ ی
S#و ^ ا( )DI : ا,یرتن ه اJي ?د
0
( ) :' ' ' ' 0
ax by cz dD
a x b y c z d
+ + + = + + + =
5( $(8ى و() 9: ( . أج& دراس! ت]Z #ى و#S ی## اس?ل ?د! #ح!
S#) !>##<! (#ى وت3& را$ي . دیرت! )?<$ ا#ى ): 0P x y zα β γ δ+ + + = S#وا
0
0
0
( ) :
x x at
y y bt
z z ct
= +∆ = + = +
Z[) أج& دراس! ت )P و ( : & ا`! م ∆(
0
0
0
(1)
(2)
(3)
0 (4)
x x at
y y bt
z z ct
x y zα β γ δ
= + = + = + + + + =
د! ا,رج! z 7 (4) و yو xوذا ?ض ? ()* &U (I)
. tل واح,
(a Cد! ح0t إذا آن IJ ا? t= ن; ( )∆ Z/ی ( )P 7 !/
)? . (3) و (2) و t 7 (1)یU e& *() إح,اثت
(b ل)ا M !یP0) إذا آن IJ ا?د! ;ن =(0
( ) ( )P∆ ⊂ .
(cCت<& حP !د هIJ ا?4)" إذا آ 0)= C3 " ن; ( ) و∆( )P
. ازین \/? #ح!
(∗ ( , ) // '( , )D A u D B v
g u ت
v و
#
(∗ ( , ) // ( , , )D A u P B v w
g u ت
v و
w و
#ا"!
(∗ ( , , ) // '( , , )P A u v P B x y
g u ت
x و
y و
#ا"!
vو
x و
y و
. #ا"!
الحجوم و المسافاتحساب
الموشورالقائم-1
. محيط و مساحة قاعدته على التواليB و l ارتفاع موشور قائم و h ليكن - أ
Sالمساحة الجانبية * l h= ×
2TSالمساحة الكلية * l h B= × +
Vالحجم * B h= ×
حاالت خاصة- ب
متوازي المستطيالت-
طول و عرض و ارتفاع متوازي المستطيالتc وb وa ليكن
)المساحة الجانبية * )2 .S a b c= +
)المساحة الكلية * )2 . 2TS a b c ab= + +
.الحجم * .V ab c=
المكعب -
طول حرف المكعبa ليكن
24S المساحة الجانبية a=
26TS المساحة الكلية a=
3V الحجم a=
الهرم-2
S ارتفاع هرما رأسه h ليكن - أ
h SH= حيث Hالمسقط العمودي لـ Sعلى المستوى المتضمن للقاعدة .
. مساحة قاعدة الهرمB ليكن
المساحة الجانبية هي مساحة جميع األوجه الجانبية للهرم
1الحجم .3
V B h=
الهرم المنتظم-ب
إذا آانت قاعدة هرم على شكل مضلع منتظم و آان المسقط للرأس هو مرآز المضلع فان الهرم یسمى هرما
.منتظما
.الهرم طول و یسمى عامد في جميع المثلثات وجوه الهرم المنتظم یكون لالرتفاعات المارة من رأس الهرم نفس ال
1 المساحة الجانبية لهرم منتظم هي .2LS l c= حيث l محيط القاعدة و c عامد الهرم ( )c CH=
1 الحجم 3
V B OS= مساحة قاعدتهB رأس الهرم و S مرآز القاعدة و O حيث ×
رباعي األوجه المنتظم-ج
طول حرف رباعي األوجه منتظم a ليكن
33 المساحة الجانبية 34
S a=
32 الحجم 12
V a=
المخروط-3
) رأس مخروط و الدائرة S - أ )Cقاعدته شعاعها R
h س المخروط و المستوىمسافة بين رأ( ارتفاع المخروط
) المحدد بالقاعدة
21 حجم المخروط 3
V R hπ=
المخروطي الدوراني-ب
إذا آان المسقط العمودي لرأس مخروط هو مرآز القاعدة فان
. المخروط یسمى مخروطا دورانيا
LS المساحة الجانبية هي Rcπ=
ونقطة من الدائرةS المسافة بين c حيث
c SH=
األسطوانة-4
R و قاعدتها قرص شعاعها h حجم أسطوانة ارتفاعها - أ
2V هو R hπ=
األسطوانة القائمة-ب
إذا آان المستقيم المار من مرآز الدائرتين قاعدتي أسطوانة عمودیا على المستویين المحددین بهاتين القاعدتين فان
األسطوانة
تسمى أسطوانة قائمة
2LS المساحة الجانبية هي Rhπ=
الفلكة-5
24S هي R مساحة الفلكة التي شعاعها Rπ=
34 هيR حجم الفلكة التي شعاعها3
V Rπ=
تمرین
) معينا ضمن مستوى ABCD ليكن )P 3 حيثBD cm= 3 وAC cm=
) نقطة من المستقيم العمودي على S لتكن )P في A 8 حيثSA cm=
SABCD أحسب حجم الهرم
تمرین
21m أحسب حجم فلكة مساحتها تساوي
تمرین
3AB متوازي المستطيالت حيث ABCDEFGH ليكن cm=5 وAD cm=4 وAE cm=
ADGHأحسب حجم رباعي األوجه -1
) و المستوىD استنتج المسافة بين النقطة-2 )AGH
ب ع تو ا
ت ل اوال ارس
.
I –
1( fD x fD fx D− ∈ ( )f x−.
(* ( ) ( )f x f x− =!" f . (* ( ) ( )f x f x− = −!" f" .
2( (* # " # # .
(* ( ) ;
;
nn
n
x nx
x n
− = −
x x− =
3(f $" fC % &.
4(f$" " fC '( % )*.
II
1( f +), I :*x y I .x y⟨ ( ) ( )f y fو x. (* ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f y f x f y⟨ ≤!" f )*$0 (+),I. (* ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f y f x f y⟩ ≥!" f '0 )*$0 (+),I . (* ( ) ( )f x f y=!" f+), I.
2( f +), I :*Iyوx
.x y≠ 1 * ( ) ( ) ( );
f x f yT x y
x y
−=
−
23 ( ),T x y) % 4$5.( (* ( ), 0T x y ≥( )( ), 0T x y ⟩!" f )*$0 (+),I. (* ( )( ) ( ), 0 , 0T x y T x y⟨ ≤!" f '0 )*$0 (+),I . (* ( ), 0T x y =!" f+), I.
3( f+), I+), '0 6 I.
4(a( f . (*6 f+), I!" f+), '0 I−. (*6 f+), '0 I!" f+), I−.
b(f" . (*6 f+), I!" f+), I−. (*6 f '0 +),I!" f+), '0 I−.
c( [ ] [ ], ,I b a Iن a b− = − − =.
III
1( a( f+), D0f ≥ ( ) 0f x ≥ Dx.
b( f+), D 0f ≤ ( ) 0f x ≤ D x .
) :78 5( (*0f ≥+), D " fC'"( " . (*0f ≥+), D " fC'"( 6 .
(* )( ) 0f x ≥ 7 6# 79 8"fC'"( " .
(* )( ) 0f x ≤ 7 6# 79 8"fC'"( 6 .
: (* )( ) 0f x ≥9 [ ]1,3S =
(* )( ) 0f x ≤ ] ] [ [,1 3,S = −∞ +∞∪ (* )( ) 0f x ⟩ ] [1,3S =
2( f g≤+), D $" ( ) ( )f x g x≤ Dx.
:) 78 5( (*f g≤ $" fC6 gC. (* )( ) ( )f x g x≤8" 7 6# 79 fC
6gC .
: (* ) ( ) ( )f x g x≥ 79 : [ ]1, 2S = −.
(* )( ) ( )f x g x≤ 79 : ] ] [ [, 1 2,S = −∞ − ∪ +∞.
(* )( ) ( )f x g x> 79: ] [1, 2S = −
3( a(:$fC$ 79 ( : ( )( )0, 0A f.
b( (* :$ fC * '"( : ( ) 0f x =6 2 1x "! $ $: x ... 79و) 79
( ) ( )2 1,0 ; ,0B x A x... (** )( ) 0f x =$ $ '" 79 :fC :
'"(.
c( (* :$ 7fC gC* ( ) ( )f x g x= 62 1x "! $ $:..xو) 79 fC gC79
( )( ) ( )( )2 2 1 1, , ,B x f x A x f x.... (** )( ) ( )f x g x=:$ $ '" 79 fC gC.
IV –
1( f+), 2D, ; M. ( )f x M≤ Dx.
2( f+), 21'D, ; m.( )f x m≥ D x.
3( f+), 2D, ; m M .( )m f x M≤ ≤ Dx.
: f+), 2D , ; M .( )f x M≤ D x.
V !"
1( 7f 7" )$ '0 0 0x ( ) ( )0f x f x≤ x fD . ' 49
79( )0f x.
2( 7f0 7" )$ 0x ( ) ( )0f x f x≥ x fD . 49
79( )0f x.
fC 1
0 321
-5 5
-5
5
2 1−
gC
fC
3( 7 α)$ '0 0 f ( )f x α≤ , .0x. ( )0f x α=.
4( 7α )$ 0 f ( )f x α≥ . ,0x. ( )0f x α=.
5( 7f, '0 0 0x < I+), = 0x. ( ) ( )0f x f x≤ Ix . 49 '79 ( )0f x. ) >*(
: a(61 f 9
!" α ا یه ا ا
b( 61 إذا آن ولf9 !" α ی ا ا .ه ا
c( 61إذا آن ولf 9 !" αو ی! ه !
β دی ! .
-VI # IR$
1(( ) ( ) /f D f x x D= ∈7* ( )f D , 79 ', : 'D.
2(( )y f D∈ 7* Dx. ( )f x y=.
3( 7( )f I J=7) :
a(( )f I J⊂?5 8 x I∈ ( )f x J∈.
b(( )J f I⊂?5 8 y J∈ ( )y f I∈ . 8 ,x I∈. ( )f x y=.
VII %
1(gوf. ( )f gf D D⊂ g fο 79
+), "*fD7) ( ) ( ) ( )( )fx D g f x g f xο∀ ∈ =.
2( a(>* g fο :
7):( )f
g fg
x Dx D
f x Dο
∈∈ ⇔ ∈
b( 7g f+), "* I7) :( )f
g
I D
f I D
⊂ ⊂
3(6 gوf7) : (*f+), I
(*( )f I J⊂ !"g f+), I (*g+), J
g f 6 @f g AB . 6 '0 @f gB)?
VIII$&
1( ( ) 2f x ax bx c= + + ( )0a ≠
a( 0a >61 !" f9 7) : fC )3
<,2 2b b
fa a
− − Ω
+),( < 4* .
b( 0a <61 !" f9 7) : fC
< )3,2 2b b
fa a
− − Ω
< 4* B(.
2( ( ) ax bf x
cx d
+=+
: f
a bdD
c dc = − −
a( 0a b
c d⟩61 !" f9 7) : fC
4 9,d a
c c
− Ω
4 a dy x
c c
−= =
b( 0a b
c d⟨61 !" f9 7) : fC
4 9,d a
c c
− Ω
4 a dy x
c c
−= =
3( ( ) 3f x ax= 0a > 0a <
: ( ) 3f x ax b= + $" C' D73 AB ( )0f b=
4( ( )f x x a= + [ [,fD a= − +∞
: ( )f x x a b= + + C' D73 AB $"( )f a b− =
a (5( *( ) ( )g x f x= .gCD fC '"( " .D Cf 6
'"( '"(.
b( *( ) ( )g x f x=.gCD fC 7"[ [0,+∞( <) .
6(* ) ( )f x m=:$ $ '" 79 fC ( ) : y m∆ =.
0x α f
x
0x
α f
x
0x α f
x
β
1x
2
b
a−
( )2
bf
a− f
x
d
c−
f
x
2
b
a−
Ω
O
( )2
bf
a−
2
b
a−
( )2
bf
a−
f
x 2
b
a−
( )2
bf
a−
Ω
O
d
c−
f
x
f
x 0
0
f
x 0
0
f
x a− +∞
0
-5 5
-5
5
O -5 5
-5
5
O
a− O 5 10
5
5
5
Ω
O
5
5
Ω
O
. اوال اد ..
(I ا
1( f
fD
2( : ( )
( )( )
p xf x
Q x=
( )f x ! "# $%& "# & ( ) 0Q x ≠ . ( )* +%
( ) 0Q x = , ( -./fD = −R
3( :( ) ( )f x P x=
( )f x ! "# $%& "# & ( ) 0P x ≥ 0# 1 +%
( )P x, ) 23& 456 7(( ) 0P x ≥ fD =
(II دا زوج دا د .
1( f 89 +% fD ) : ;%89
x <fD , fx D− ∈ =>* +% ? ( )f x− .
(∗ @ "# ( ) ( )f x f x− = A&f 3@B .
(∗ @ "# ( ) ( )f x f x− = − A& f & .
C/D (a & 5 3@B 5 5 : < E .
(b ( )n
n
n
x nزوجx
x nدي
− =
− x x− =
2( f F8,( ! "# $%& "# fC G H>, )I 9
J3.
(3 f F8,( ! "# $%& "# fC ) H>, )I 9
K.(.
(III دا . ت!ات دا أو رت
1(! f - L. I M9 x y <I N3*
x y< % ( )f x ( )f y.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y≤ A& f L. I.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y< A& f L. OP I .
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y≥ A& f L. 3QP, I.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y> A& f L. OP 3QP, I.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y= A& f L. 9I I.
2( ! f - L. I M9 x y <I
N3*x y≠ RS9 - =>* +% ( ) ( )
( , )f x f y
T x yx y
−=−
T0# U.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y ≥ A& f L. I.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y > A& f L. OP I .
(∗ @ "# ( , ) 0T x y ≤ A& f L. 3QP, I.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y < A& f L. OP 3QP, I.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y = A& f L. 9I I.
3( " #$% f& -V L. I L. 3QP, : W! "# I .
'()
(a f L. I X fC Y ZQ I < [89 ,
\ 3 ] >3
(b f L. 3QP, I X fC -V Y ^B, I [89 ,
\ 3 ] >3 <
(c f L. 9II X fC G ZB K3%9> < H
-V Y )3&I.
#!* , f < )! L. [ ]1,3 [ ]5,9 L. 3QP,
[ ]3,5 4RS9 -@ L > -@ Y _ `a. .
4( ! ( )f x ax b= +
(a! "# 0a >A& fL. R
(b! "# 0a > A&fL. R
(c! "# 0a =A& fL. 9I R
(d F8, f 3%9> .
5 ( !
(a < 9f 3@B .
(∗ W! "# f L. I A& f L. 3QP, –I.
(∗ W! "# f L. 3QP, I A& f L. –I.
(b < 9f & .
(∗ W! "# f L. I A& f L. –I.
(∗ W! "# f L. 3QP, I A& f L. 3QP, –I.
(c ! "# [ ],I a b= A& [ ],I b a− = − − .
(IV رف دا# . (1 : \H : : "# f Y QP 3P )H% 0x : \H b
0( ) ( )f x f x≤ - Y I L. Z9c 0x 3% d_ Q%
0( )f x .
(2 : \H : : "# f Y 3P )H% 0x : \H b
0( ) ( )f x f x≥ - Y I L. Z9c 0x 3% d_
0( )f x .
(3 (a : \H α . QP 3P f : \H b ( )f x α≤ Y
-I< N8H 0x < I N3* 0( )f x α= .
(b : \H α . 3P f : \H b ( )f x α≥ Y
-I< N8H 0x < I N3* 0( )f x α= .
(4 4RS -@ ! "# f ) 0 L.
A&α . QP 3P f Y 0x
β 3P . f Y 1x .
(5 F8, ! "# f ) 0 L.
A&α . QP 3P f Y 0x
β . 3P f Y 1x .
(V اوال اج .
1( 2( 0) ( )a f x ax≠ =
a(! "# 0a > 4RS -@ A& f
fC de K.( ): T1: f.0
L. ] T@ d% J3 e.
b( ! "# 0a < 4RS -@ A& f
fC0 de K.( ): T1: f.
)g1 ] T@ d% J3 e .
2( ( 0) ( )a
a f xx
≠ = *fD = R
a(! "# 0a > 4RS -@ A& f
fC K.( ): d! 5_
K.( Ze d%.
b( ! "# 0a < 4RS -@ A& f
fC K.( ): d! 5_
K.( Ze d%.
3( 2( 0) ( )a f x ax bx c≠ = + +
hi# )@: <fC - Q9j ] fC. J9 _( )f x
) 0L.2( ) ( )f x a x α β= − + < %.O, ? ( )y f x= X
2( )y a x α β= − + X 2( )y a xβ α− = − kl ? X x
Y y
αβ
= − = −
mHQ ( "#2Y aX= K. Y ( , , )i jΩ
k ( , )α βΩ
4( ( )ax b
f xcx d
+=+
)@: < hi#fC Q9j ] fC. J9 _( )f x
) 0 L.( )f xx
γβα
= +−
< ;.O, ? ( )y f x= X
yx
γβα
− =−
kl ? X x
Y y
αβ
= − = −
mHQ ( "# YX
γ=
K. Y( , , )i jΩ
k ( , )α βΩ.
5( +,- . / 0 123 04!$ .
(a kn% fC O%, J3 e k (0, (0))A f.
(b (∗ F8,( kn% ] fC ( )* +% )3& e k
( ) 0f x = -.o d_ W! "# 2 1x ، x… kn%9 $% A&
1( ,0)A x b2( ,0)B x ….
(∗ ( -./ ( ) 0f x = kn% $% )3&: fC e k
)3&.
6( 5323 04!$ .
(∗ F8,( kn% ]fC
gC ( )* +%
( ) ( )f x g x= -.o d_ W! "# 2 1x ، x… kn%9 $% A&
1 1( , ( ))A x f x b 2 2( , ( ))B x f x ….
(∗ ( -./ ( ) ( )f x g x= kn% $% )3&: fC k gC
7( 5323- 673 08 .
(a \3,8, . p>, kq U fC
gC 0# 1 +%
( ) ( )f x g x−
(∗ ! "# ( ) ( ) 0f x g x− ≥ A& fC r& @
gC.
(∗ ! "# ( ) ( ) 0f x g x− ≤ A& fC W7 @
gC.
(b 8@9( -./ ( ) ( )f x g x≤ 45V 7
23&fCW7 gC
8( !- (( ) : ( )E f x m=
( -./( )E kn% $% )3&: fC K3%9>( ( ) : y m∆ =
9( 123 9!:%" ( ) ( )g x f x= !;)<% fC.
! "#( ) 0f x ≥ X fC A& )3& e r& ( ) ( )g x f x=
"#gC k ;HO,
fC.
! "#( ) 0f x ≤ X fC A& )3& e W7
( ) ( )g x f x= − "# gC )Is
fC)3& G H> .
^9gC h@ < fC& e r& @( h@ )Is )3
fC )3& G H>, )3& e W7 @( .
10( 123 9!:%" ( ) ( )g x f x= !;)<% fC.
,( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x g x− = − = = "# g 3@B
J3 G H>, )I 9 ,8, ^9 . ) ,[ [0,x ∈ +∞ :
x x=
"# ( ) ( )g x f x= T,gC k ;HO,
fC.
^9gC h@ < fC Y @( [ [0,+∞ G H>, T.Is
J3.
0
0 f x
ت ع او
لا ت وا ارس
.
I( 1( :
2 ( :
( )
a
a
a
+∞ + = +∞−∞ + = −∞+∞ + ∞ = +∞ ∈−∞ − ∞ = −∞+∞ − ∞
( )0
0
a a× ∞ = ∞ ≠∞ × ∞ = ∞
× ∞
00
00
0
a a
a
∞ ≠= ∞ = = ∞∞
∞∞
si
( )si
n n est paire
n est impaire
+∞−∞ = −∞
+∞ = +∞ 3( (a f g 0x
f g+ .f g fα 0x
0 0 0
lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f x g x f x g x→ → →
+ = +
0 0 0
lim ( ( ). ( )) lim ( ). lim ( )x x x x x x
f x g x f x g x→ → →
=
0 0
lim ( ( )) . lim ( )x x x x
f x f xα α→ →
=
0
lim ( ( )) 0x x
g x→
≠ 0
0
0
lim ( )( )lim ( )
( ) lim ( )x x
x xx x
f xf x
g x g x→
→→
=
(b ∞ . (c ∞
4 ( !"#$:
(a ( )( )lim
f x
g x∞
∞=∞
! .
(b ( ) ( )( )lim f x g x∞
+ = +∞ − ∞
(* ( )f x ( )g x $ .
(* ( )f x ( )g x ! %.
(c ( ) ( )( )0
00 lim
0 0x
f x a aa
g x
−≠ = =$ .
(d ( ) ( )( )0
0 0 00 lim
0 0x
f xa
g x
+≠ = = &' () $.
e(%& :2x x= +
2
2
; 0
; 0
x x x
x x x
= ≥
= − ≤
5 ( . ( )
( )( ) ( )
20 0 0
1 cos tan sin1lim lim 1 lim 1
2x x x
ax ax ax
ax axax→ → →
−= = =
6 (( . (a ( ) ( )f x l g x− ≤ 0x
( )0
lim 0x
g x =
(b ( ) ( )f x g x≤ 0x ( )
0
limx
f x = +∞
(c ( ) ( )f x g x≤ 0x ( )
0
limx
g x = −∞
(d ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ 0x ( ) ( )
0 0
lim limx x
g x h x l= =
II ( ) 1( * , f - 0x. / & ( )
0
limx
f x
(*f -0x 0( ) ( )0
0limx
f x f x=
(*f - 120x 0
( ) ( )0
0limx
f x f x+
=
(*f - / 120x 0( ) ( )
00lim
xf x f x
−=
(*f -0x 0 - 12 / 120x.
2( (a 12 - IR. (b )! 3 12 - . (c (* cosx x→ sinx x→ 12 - IR.
(* tanx x→ )! 3 12 - . (d f g 12 - I
f g+ .f g fα 12 -I .
g 12 &!4 I f
g 12 - I .
%& f 12 5 4 ! % 6- 73
)! 3 12 - 7387 9 . % -.
3 (" f! % 0x : , f 4 -0x &. / ( )
0
limx
f x ( )0
limx
f x l= ∈
f g -4 0x ;!
:( ) ( )( )
0
0
,g x f x x x
g x l
= ≠ =
0
0
∞∞
0∞× +∞ − ∞
( )0
limx
f x l=
( )0
limx
g x = +∞
( )0
limx
f x = −∞
( )0
limx
f x l=
. .. .
(I
(1
(a f 0x 0
0
0
( ) ( )limx x
f x f xl IR
x x→
− = ∈−
l f 0x 0'( )f x l= .
(b f 0x :
0
0
0
( ) ( )limx x
f x f xl IR
x x+→
− = ∈−
'0( )df x l= .
(c f " 0x :
0
0
0
( ) ( )limx x
f x f xl IR
x x−→
− = ∈−
'0( )gf x l= .
(d f 0x # $
0x
" 0x ' '0 0( ) ( )d gf x f x= .
(e (∗ ) f % 0x ( ⇒ ) f 0x (
(∗ ) f "& 0x ( ⇒ ) f % "& 0x (
(2 :
(a $ f 0x ' fC # ( ( )T #
0 0( , ( ))M x f x )#* )# 0'( )f x )#
0 0 0( ) : '( )( ) ( )T y f x x x f x= − + ## fC ##+, ##
(- :
(b $ f 0x ' fC . /% (
1( )T 0 0( , ( ))M x f x )* ) '0( )df x )#
'1 0 0 0( ) : ( )( ) ( )dT y f x x x f x= − + ## fC ##+, ##
:
(c " 0 * .
! (∗ $ f 0x "0x
' '0 0( ) ( )d gf x f x≠ ' f "& 0x fC 1
(M "& . 2% ( ) fC #
(- +,:
(∗ $ f 0x ' fC" "1 " # M
$f "& 0x ' fC" " " # M #
4 . (M $4 .
(3 !! "# . (a$### f ### ### ###0x ### '###
0 0 0( ) '( )( ) ( )u x f x x x f x= − + # # #25
f 0x
(b a " * 0x ' ( )u a ( " ( )f a
( ( ) ( ) )f a u a≈
(4$! % &'() '(!
(a ( f 62 (* I $
(I
(b ( f (* [ ],a b $
(* ] [,a b a " b .
(c$ f I ' ' : '( )f x f x→
(d $ 'f (* I # ' 'f 0 f # 7 4" ''f .
e( * + '(! .
( ) ' 0 (1a = 2
' '( ) ' (10
f f g g f
g g
−=
( ) ' 1 (2x = 2
1 '( ) ' (11
f
f f
−=
( ) ' (3ax a=
( ( )) ' '( ) (12f ax b af ax b+ = + 1( ) ' (4n nx nx −= (sin ) ' cos (13x x=
2
1 1( ) ' (5x x
−=
(sin( )) ' cos( ) (14ax b a ax b+ = +
1( ) ' (6
2x
x= (cos ) ' sin (15x x= −
( ) ' ' ' (7f g f g+ = +
(cos( )) ' sin( ) (16ax b a ax b+ = − +
( ) ' ' ' (8fg f g g f= + 2(tan ) ' 1 tan (17x x= +
( ) ' ' (9af af= 1( ) ' ' (18n nf nf f −= 2(tan( )) ' (1 tan ( )) (19ax b a ax b+ = + +
! (a , f $! % - ! I % . / .
&'( ,f - 0x (8 + f% "9 790x: 1 ;
(∗ $ f 79% "9 1 0x + ; '( )f x <#
x # 0x
(∗ $ f 79% "9 0x "9 ( ( ."
.
(b $ 'f ; 0x 0( '( ) 0)f x = ' fC # (
( )T 0 0( , ( ))M x f x (% - "+ 4 .
(5 0 1 f (* I .
(a f 4 I ( ) : '( ) 0x I f x∀ ∈ ≥
(b f 4 I ( ) : '( ) 0x I f x∀ ∈ ≥
7 ; -'f = .
(c f % I ( ) : '( ) 0x I f x∀ ∈ ≤
(d ### f ### ### ###% I ### ###
( ) : '( ) 0x I f x∀ ∈ ≤ 7 ; - 'f = .
(6 2!. f (* I 0x I∈ . # #f
" 0x $ 'f =" "9 ; 0x
(II ! 3!
(1 ' f (* " I.
(a fC + ( ) ( ) : ''( ) 0x I f x∀ ∈ ≥
(b fC " ( ) ( ) : ''( ) 0x I f x∀ ∈ ≤
(2 2 2'
(a f 0x( )T# . fC
0 0( , ( ))M x f x (M / fC " "9
M) fC "? ( )T: (
(b f (* " I 0x I∈
0 0( , ( ))M x f x / ''f "9 ;
="0x .
! $ 'f =" "91 ; 0x '# 0 0( , ( ))M x f x
(% - "+ 4 7 . / .
(b #+ "# " / A* + ", ''( )f x 7" .".
(3 4 " .
a( ( fC # $1#+ B#+ $ C71 " ( :
lim ( )x a
f x→
= ∞ , lim ( )x
f x b→∞
= , lim ( )x
f x→∞
= ∞.
b( 4 " 5 : 1 ( ( )lim
x af x
→= ∞
; ' ( ) : x a∆ =( " fC"* a. 2 ( ( )lim
xf x b
→∞=
' ; ( ) : y a∆ =( " fC"* ∞.
3 ( ( )limx
f x→∞
= ∞+ ; ( )limx
f x
x→∞.
(a ( )limx
f x
x→∞= ∞
' fC " ( "* "- "+ )8* *∞.
(b ( )lim 0x
f x
x→∞=
' fC"* (% - "+ )8* * " ( ∞.
(c ( )lim 0x
f xa
x→∞= ≠+ ; ( )( )lim
xf x ax
→∞−.
(i ( )( )lim f x ax b− =
' ; ( ) : y ax b∆ = +( " fC"* ∞. (ii ( )( )lim f x ax− = ∞
' fC)8* * " ( y ax="* ∞.
! ; ( ) : y ax b∆ = + # " fC "#*
∞ lim( ( ) ( )) 0x
f x ax b→∞
− + = (#
, 8 (D %? E8( ) : y ax b∆ = + ## #"
fC $ , ( )f x (# ( ) ( )f x ax b h x= + + A#
lim ( ) 0x
h x→∞
= .
(43! ! ) 3! 6, !
(a ; ( ) : x a∆ = (0 "+ fC :
(∗ ( x fD 2 fa x D− ∈
(∗ ( ) : (2 ) ( )fx D f a x f x∀ ∈ − =
(b ( , )a bΩ (0 4" fC :
(∗ ( x fD 2 fa x D− ∈
(∗ ( ) : (2 ) 2 ( )fx D f a x b f x∀ ∈ − = −
(III
(1
(a ( f " + * ; "& T F+( ) : ( ) ( )fx D f x T f x∀ ∈ + = ( T " 8 +
" f
(b T " f ( ' kT # " f ( )k ∈Z
(c * " "9%, = "? .
! (a , f * " ) + ;0 " G+H 1,
(b cos( 2 ) cos (x k xπ+ = ∗ cos( ) cos (x xπ+ = − ∗
sin( ) sin (x k xπ+ = ∗ sin( ) sin (x xπ+ = − ∗
tan( ) tan (x k xπ+ = ∗
(2 * + .
(a ( ) cos( )f x ax b= + , ( ) sin( )f x ax b= + 2T
a
π=
(b 2( ) cos ( )f x ax b= + ,2( ) sin ( )f x ax b= + Ta
π=
(c ( ) tan( )f x ax b= + Ta
π=
(d " + f g+ ( ", + f g " "9%, ?I J".
(3 .
f 8" " T . $ f # " [ ],a b '#
f " [ ],a T b T+ + " .2 7 .
(4 !
(a$ f8" " T K 2 fC ) (* T
) ?I $[ ]0, fT D∩ ( #77* # +4 )++4 ;0Ti
#7+4 )# # 7 F+ L4* 8 +4 (*,
M'T # #+ +4 ", "N G2+ 7% ,
6" T " + +4 ", (% - .
(b $ f 8" " T *4 ) " , ( K# #2
fC 0,2 f
tD
∩ ;0 "- "+ (0 K) (%,
; ( +4 ;0.
ج م ع
ا ب ا م ارس
.
(I 1(
( ), ,o i j
U
o 1.
( ) ( ) ( )1,0 , 0,1 , 1,0A B C − a ( M U . α ! " AM
(* $ !"% AOM
rad α) α (
(* $ '( !α )* + "% ,( "% .
b (: "% +AOB AOC
( - +2 2 .1 2Rπ π π= =
+ *$22π π=
" ! *$AC
π "% . AOC
π
" !AB
2π*$ "%AOC
radπ " ! AB
2
π "% *$ AOB
2π.
c ( / 0(u , , , , ,S R Q P N M1+ :
6AOM
π= 3
4AON
π= 3
3AOP
π= 3 23
AOQπ=
34
AORπ= 3 5
6AOS
π=.
2( . %4 5 " 6( + 7
:180 200x y z
π= =
1+x " 5 . y " . z " .
:
8 "% 200 ,180 ,gra radο
π.
3( . ( )C o R
,B A )* . (* % /8 9 6 :5. (* α "% AOB
l " ! AB
S, ; +8
l Rα= 212
S Rα=
II ! " #$$ % & ' ( 0 π 1()% :
x 1+ + 0 x π≤ ≤ M
U 1+ " ! AM
x
AOM xrad=. a !<( M b( .
cosx a= sinx b= sin
tancos
xx
x=
2x
π ≠
2( "*: (a 2 2cos sin 1 (*x x+ =
22
11 tan (*
cosx
x+ = !
2x
π≠
sin
tan (*cos
xx
x= !
2x
π≠
(b 1 cos 1x− ≤ ≤ 0 sin 1x≤ ≤
(c (∗ sin 0x ≥ ! 0 x π≤ ≤
(∗ *$02
xπ≤ ≤ =< cos 0x ≥
(∗ *$2x
π π≤ ≤ =< cos 0x ≥
(∗ tanx cosx
(d
A
B
C
M
O1
1
-1
A
M
1
1
-10
xa
b
2
π
π
x
− + cosx
0
0 2
π π
x
− +
+
tanx 0 2
π π
x
+ +
sinx 0
π
0
0
A
B
O
l
Rα
0
6
π 4
π
2
π
3
π
π
2
3
π
5
6
π
3
4
π
1
2 1
2−
1
2
3( %& & ' ( ! %x xπ −
( )cos cos (x x aπ − = −
( )sin sin (x x bπ − =
( )tan tan (x x cπ − = −
4( %& & ' ( ! %x 2x
π −
cos sin (2
x x aπ − =
sin cos (2
x x bπ − =
1tan (
2 tanx c
x
π − =
5( +, ' (
6( - .& #/ %
(a ( )ABC < -% >> B
ABCosA
ACBC
SinAAC
=
= BC
TanAAB
=
b( +Sinus.& #/
( )ABC >> R. + ;
2
AB AC BCR
SinC SinB SinA= = =
0
x
2
π
xπ −
π
00
x 2
xπ − 2
π
π
A B
C
A
A
B C
10-1
1
0 π 1
2
2
2
2
π
1
2
4
π
2
3
π
2
2
1
2
3
2
6
π
2
2
3
2
3
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π 5
6
π
3
4
π
2
3
π
2
π
3
π
4
π
6
π 0 x
3
2
−
22
−
1
2
− 0
1
2
2
2
3
2 1 cosx
0 1
2
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0 sinx
0 1
3− 1− 3− 3 1
1
3 0 tanx
1−
×
ب ع و ا ر
ب اا م ارس
.
I 1 ((∗ ( ), ,o i j
.U
o 1
(∗
! "# .( )1,0I.
(∗ U$%& "'$' # I.
2 (M "( U . )%*& $ )%$ +M.
,- #. I M( . α /0 )( .
(∗ )1 02 I M3* ! # α )%*& "($ M.
(∗ 02 )1 I M3* # # α− )%*& "($ M.
3 ("( " )%*4 5! $ )%$M 6 & 7 & $ (* )%*4 /0) ,- . %.& I2 M.(
02α"($ " )%*4 3* )%*4 /0 & M 4 ) $ 2kα π+ 9 k ∈.
4 ( βو α 02 (* 02 "( 7 %*& 2kα β π− = 2kα β π= − 9 k ∈ [ ]2α β π≡.
":; :1 ([ ]2 2
2
k
k
α β π α β πα β π
≡ ⇔ = +⇔ − =
βو ( α"( 7 %*& (⇔
2( (∗ [ ]2 2nα α π π≡ +
(∗[ ] [ ]2 2 2nα β π α β π π≡ ⇔ ≡ +
5 ("( " )%*4 5! M )%*& ! 0α
=0π α π− ⟨ ⟨.0α"($ # )%*4 # M ) ,- . %.& >$ )%I M.(
6 (4 2k
n
πα + 9 k ∈.
4 /0 " $%*& ( n . 2 )!&
? 7 k n" ". .? k ( )1 ,....2,1,0n − ( : $@ ( /0U.
II 1 (,v u
A ! .
" B#. )!&
"!( ),v u
!$ u
v
$ 5 :
(∗! C u
v
)%4 7 2 .
(∗! u
v
2 #
) " ( # #. .α 0 . ( D 02u
v
! # " /0 ) ) $ ) 3*2kα π+ /0 . "
( ) [ ] ( ), 2 , 2u v أو u v kα π α π≡ = +
.
( D 02u
v
# " /0 ) ) $ ) 3* !( ) 2k kα π∈ − +" /0 . .
( ) [ ] ( ), 2 , 2u v أو u v kα π α π≡ − = − +
.
2 (.
(aB#. ( ),u v
! .= 0π α π− ⟨ ≤ #
# .
(b ( ) ( ) ( ) [ ], , , 2u v u w w v π≡ +
) ) ".;.(
(c ( ) ( ) [ ], , 2u v v u π≡ − .
(dB 02 u
v
3* 7 # ( ) [ ], 0 2u v π≡
(eB 02 u
v
3* # # ( ) [ ], 2u v π π≡
(fβو α#. 02 (* 02 " 7 2kα β π− = [ ]2α β π≡.
:
1 (u
v
; 02 (* 02 # .
2 (!u
uα ) 50α⟩ ( 7 #.
3 (!u
uα ) 50α ⟨ (# #.
III 1( !"
U$%& "'$' I. ( )∆) U* I .
E( )∆>$%& $ 7 I.
(∗ x M "( %*& x
a) )%*& M b M ( ),M a b .
c5( )%*& ( )OM5 ( )∆ $ ( )∆.
tan sin cosx c x b x a= = =
2 ( (a
π 5
6
π
3
4
π
2
3
π
2
π
3
π
4
π
6
π 0 x
3
2
−
2
2
−
1
2
− 0
1
2
2
2
3
2 1 cos x
0 1
2
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0 sin x
0 1
3− 1− 3− 3 1
1
3 0 tan x
1−
×
I O
J M i
i
j
+
u
u
v
v
M(x)
Oa 0
c
b
1
-1
-1
1
1
-1
2
π
π
2
π−
I
( )∆
0
6
π 4
π 3
π 2
π
2
3
π 3
4
π
5
6
π
5
6
π−
3
4
π−
2
3
π−
2
π−
6
π−
4
π−
3
π−
1
2
2
2
2
2
1
2
− 3
2
3
2
1−
1
0
2
2
− 3
2
−
1
2
−
2
2
−
3
2
− 1−
1
2
π 1
(b ( )tan x 02 (* 02 "* 2
2
22
x k
x k
π π
π π
≠ + ≠ − +
2
x kπ π≠ +
(c 2 2 2
2
1 sin1 tan cos sin 1 tan
cos cosx
x x x xx x
+ = + = =
(d ( ) ( ) ( )tan tan sin 2 sin cos 2 cosx k x x k x x k xπ π π+ = + = + =
(e ( ) ( ) ( )tan tan sin sin cos cosx x x x x x− = − − = − − =
(f
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
cos cos cos cos
sin sin sin sin
tan tan tan tan
x x x x
x x x x
x x x x
π ππ ππ π
+ = − − = −
+ = − − =
+ = − = −
(g
cos sin cos sin2 2
sin cos sin cos2 2
1 1tan tan
2 tan 2 tan
x x x x
x x x x
x xx x
π π
π π
π π
+ = − − =
+ = − =
+ = − − =
(h ( ) : 1 cos 1 ; 1 sin 1x x x∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤
3 ( #!.
(a
cos 1 2
2cos 1 2 cos cos
2
cos 02
x x k
x kx x k x
x k
x x k
πα π
π π αα π
π π
= ⇔ == +
= − ⇔ = + = ⇔ = − +
= ⇔ = +
(b
sin 1 22
sin 1 22
sin 0
2sin sin
2
x x k
x x k
x x k
x kx
x k
π π
π π
πα π
απ α π
= ⇔ = +
= − ⇔ = − +
= ⇔ == +
= ⇔ = − +
(c tan tanx x kα α π= ⇔ = +
. 1 ( 02[ ]1,1α ∉ − 3* cos x a=sin x a=) .
2 (" ( )( )tan u x a= 02 (* 02 "* ( )
( )2
u x
u x kπ π
≠ +
3 (( ) ( ) ( )tan tan sin sin cos cosα α α α α π α− = − − = − − = −
cos sin sin cos2 2π πα α α α = − = −
4 ( ") . :(
1 (5@( ) ( )( ) ( ) ( )( )sin cosf x a u x b أو f x a u x b= + = +
(∗ 02 a b A$3* # A ( )f x * F G
" )$( ) 0f x =
(∗ 02 a b 3* # & $ ( )f x2 "'
2 ( 5@( ) ( )( ): tanf x a u x b+ ( )f x )$ * F G
"( ) 0f x =* "* A 4 * .
5 (" $
(a
( )( )( )( )
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ = −
− = +
+ = +
− = −
( )
( )
tan tantan
1 tan tantan tan
tan1 tan tan
a ba b
a ba b
a ba b
++ =− ⋅
−− =+ ⋅
(b
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
cos 2 cos sin
2cos 1
1 2sin
sin 2 2sin cos
2 tantan 2
1 tan
a a a
a
a
a a a
aa
a
= −
= −= −=
=−
(c
( )
( )
( )
2
2
1 cos 2cos
21 cos 2
sin2
1sin cos sin 2
2
aa
aa
a a a
+=
−=
=
(d
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1cos cos cos cos
21
sin sin cos cos2
1sin cos sin sin
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
= − + − −
= + + −
(e
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2cos sin2 2
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
+ −+ = ⋅
+ −− = − ⋅
+ −+ = ⋅
+ −− = ⋅
(f 5@ tan2x
t =
: .
2
2 2 2
1 2 2cos sin tan
1 1 1t t t
x x xt t t
−= = =+ + −
(g )!& )( ) cos sinf x a x b x= +$ 5 :
( )
( )( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
cos sin
cos sin
cos cos sin sin
cos cos sin sin
cos
f x a x b x
a ba b x x
a b a b
a b x x
a b x x
a b x
α α
α α
α
= +
= + +
+ +
= + +
= + +
= + −
52 2
cosa
a bα =
+
2 2sin
b
a bα =
+
"*
0
x 2
xπ −
2
xπ +
xπ −
xπ +
2
π
2
π−
x−
π
x
x−
xπ −
xπ +
ع م ج
ب ا اج-ا م ارس
.
(A 1 vوu
) (
!" . 2 AB BA= −
3 AB BC AC+ = )$% &'((.
4 0AB =
) A B=. 5 ** $+ u v+
, u
v $-.
/0+ 1 . 6 (23 ( )ABCD/0+ 1
45* & 3% :
(a AB DC=
(b AD BC=
(c AC AB AD= +
(d 3 [ ]AC [ ]BD7- .
7 I& 7- [ ]AB
(* AI IB=
(* IA IB= −
(* 1
2AI AB=
(* 1
2BI BA=
(*0IA IB+ =
:
a ( I7- [ ]AB$ 1
2AI AB=
b (+ 2 I7- [ ]AB+ 2 +
0IA IB+ =
8 ( )ABC89 9I7- [ ]BC
* ( )1
2AI AB AC= + .
9 ( )ABC989 .
I7- [ ]AB J7- [ ]AC
* 1
2IJ BC=
10 (a vوu
.
(b vوu
v uα= + u vα=
.
(c CوBوA4 & AC ABو
AB ACα=
+ AC ABα=
(d ( )AB ( )CD 4 CDوAB
.
: a ( + 2 IKوIJ
&'(
)9IJ IKα=
+ 0IJ IKα β+ =
+ .(...
:2 !IKوIJ
3; &*2
&8-. ACوAB
9 .
9 * 2IJ AB AC= −
6 3IK AB AC= −
< =
+ 3 6 3IJ AB DC IK= − =
3IK IJ= .
b (( )ABC 989 M>2 & 3MA MB=
73 3?M8 @* & 8 :
3MA MB=
( )3MA MA AB= +
3 3MA MA AB− =
2 3MA AB− =
2 3AM AB=
3
2AM AB= .
(B A $ & & ( ),A α> A 5 &
α **( .
I( . 1 ( ),A α ( ),B β .
0α β+ ≠@* & * =B GC
0GA GBα β+ =
& G ,3 ( ),A α ( ),B β +
& &" ,3( ) ( ) , , ,A Bα β
2 : & G&" ,3 ( ) ( ) , , ,A Bα β
( )1OG OA OBα β
α β= +
+
$ θ5 P.
: (a+ 2 + *3+ G&" ,3 ( ) ( ) , , ,A Bα β
+ 2 73 $ 0GA GBα β+ =
. D2 8 :
( ) ( )GA GB GA GA AB GA ABα β α β α β β+ = + + = + +
9 !
:GA
&*2 AC ABو
E .
(b G&" ,3 ( ) ( ) , , ,A Bα β: *3+ AG
+BG
+ CG
+ ...@ &-F $ .
( )1OG OA OBα β
α β= +
+
$ O PE !9 O: A
+B+ C... 3 G,3 ( ) ( ) , , ,A Bα βB G
,3( ) ( ) , , ,A k B kα β$ k * . ,3 +
!* 3; **( 8( ' + . 230 3? .
u
u
v
v
u v+
A B
CDI
A B I
A
B C I
A
B C
I J
u
v
4 G ,3 ( ) ( ) , , ,A Bα αD ( )0α ≠ G
$9 3BوA .
C2 $F *GD3 ( )( ) ,1 ,1A B
( )1
2OG OA OB= +
$ θ P$+ O A=
*1
2AC AB=
G7- [ ]AB
:&" ,3 ( )( ) ,1 ,1A B,3 ( )( ) ,1 ,1A B
7- [ ]AB.
:+ 2 + *3+ I7- [ ]AB+ 2 I
,3( )( ) ,1 ,1A B 0IA IB+ = .
5 G,3 ( ) ( ) , , ,A Bα β *
( )1OG OA OBα β
α β= +
+
$ O P .$+ O A=
*AG ABβ
α β=
+
( )G AB∈
: G,3 ( ) ( ) , , ,A Bα βB ( )G AB∈*
AG ABβ
α β=
+
.
:,3 G% *3+ G:2 ! AG
&*2 AB
+BG
&*2 BA.
6 !": G,3 ( ) ( ) , , ,A Bα β49 * G
( )
( )
1
1
G A B
G A B
x x x
y y y
α βα β
α βα β
= + + = + +
II( # . 1 :( ) ( ) ( ), , ,C B Aγ β α& >9 .
0α β γ+ + ≠@* & * =B GC :
0GA GB GCα β γ+ + =
& G ,3 ( ),A α ( ),B β( ),C γ& &" ,3 +
( ) ( ) ( ) , , ,C B Aγ β α.
2 : & G&" ,3 ( ) ( ) ( ) , , ,C B Aγ β α
:( )1OG OA OB OCα β γ
α β γ= + +
+ +
$ O
5 P : &" (I.
3 **( 8( . ' + 230 3? ,3 !* 3;.
4 G,3 ( )( )( ) , , ,A B Cα α αD ( )0α ≠.
*G,3 ( )( )( ) ,1 ,1 ,1A B C .,3 G
$9 3 & , ,C B A>89 $9 3 + ( )ABC.
:,3 ( )( )( ) , , ,A B Cα α α
,3( )( )( ) ,1 ,1 ,1A B C$9 3 ( )ABC.
5 !". G,3 ( )( )( ) , , ,A B Cα β γ49 * G
( )
( )
1
1
G A B C
G A B C
x x x x
y y y y
α β γα β γ
α β γα β γ
= + + + + = + + + +
.
6 . G,3 ( ) ( ) ( ) , , , , ,A B Cα β γ 1G ,3
( ) ( ) , , ,A Bα βB G,3 ( ) ( ) 1, , ,G Cα β γ+
32 0( 3? >9 ,3 + H8 /2.
7 ( )ABC=89 3 989 G
G,3 ( )( )( ) ,1 ,1 ,1A B C
C Bو ′Aو ′ ′4-
[ ]BC [ ]AC [ ]AB 4 8(
( ')AA ( ')BB ( ')CC 'G.
*2 2 2
3 3 3CG CC BG BB AG AA′ ′ ′= = =
III( $%& . * D23+ ,3 &3 2 73
&2 4-F .,2- > & C3 H: 7 32 0( 3? D23+ ,3
32 $ 0( + /2 /2 32 >9 0( + I /2
. .
C'
A'B C
B'
A
G
