М. Громов

Кольцо тайн: вселенная,математика, мысль

Перевод с английского Н. В. Цилевич

МоскваИздательство МЦНМО

УДК .ББК .

Г

ГГромов М.

Кольцо тайн: вселенная, математика, мысль. Пер.с англ. яз. Н. В. Цилевич. — М.: МЦНМО, . — с.

ISBN ----Перед читателем книга, написанная одним из ведущих математи-

ков наших дней, посвящённая самым различным проблемам математи-ки, физики, биологии, лингвистики, философии и истории науки и да-же педагогики.

Книга в той или иной степени доступна самому широкому кругучитателей, которые интересуются научными вопросами. Читатель по-знакомится с современными научными концепциями, изложеннымиавтором по-своему, а также с его новыми идеями в разных областях.Особый интерес представляют разбросанные по тексту увлекательныеочерки об известных научных открытиях, авторский взгляд на которыеподчас нетрадиционен. Но особую роль, объединяющую все части кни-ги вместе, играют мысли автора о Математике, о её текущем состояниии о её будущем, которое не так легко предсказать.

ББК .

ISBN ----© Громов М., .© МЦНМО, .

Об этой книге

По аналогии с широко известным произведением эту книгу можнобыло бы назвать «Что такое жизнь и что такое мысль с точки зренияматематика».

Автор обсуждает не только роль самой математики как организую-щей субстанции всей науки, не только её многочисленные проблемы,трудности и приложения, но и проблемы собственно физики, биоло-гии, наук о Жизни в целом: в каждой из них он является глубокимспециалистом. Он высказывает иногда парадоксальные точки зренияна давние и новые исторические открытия и их перспективы. Жанркниги — свободный рассказ знатока, перемежаемый массой неожидан-ных параллелей, аналогий, сравнений. Однако главной темой книгиостаётся всеобъемлющая Математика, которой автор посвящает про-никновенные, полные глубокого смысла слова:

Существование Математики в том виде, как мы её знаем, пред-ставляется столь же невероятным, как возникновение Жизни наЗемле.

А. Вершик

∗ ∗ ∗

Божественный замысел Математики для нас непостижим, но есличто-нибудь и может осветить тайны мира человеку, так это Матема-тика.

Математика заполняет своим огнём всё, что зовётся физическиминауками: облака, скрывавшие от нас то, что теперь мы пишем какзаконы природы, рассеиваются в лучах такой физики. Но свет только-только проник в царство королевы Жизнь и ещё не коснулся покрывалпринцессы Мысль — eё лик вовеки скрывается во мраке. И пока мы незнаем, что есть Мысль, нам не понять, что такое Математика.

В первой части книги рассеяны искры идей тех, кто увидел светв темноте неизвестного, — для нас это знаки на пути к пониманиюТайны Мысль. Во второй части мы прослеживаем несколько линий изматематики, вдоль которых может проходить этот путь.

Я благодарен Анатолию Вершику, предложившему идею даннойпубликации, и особенно Наталии Цилевич за её творческое превраще-ние моего Russian English в русский текст и за советы по организацииизложения. Также я хочу сказать спасибо Александру Шапиро за лите-ратурный перевод нескольких стихотворных цитат.

Миша Громов,Париж, г.

Оглавление

I. Цитаты и идеи

1. Прекрасное далёко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Наука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. Числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154. Законы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. Истина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436. Жизнь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497. Эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598. Мозг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839. Разум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910. Тайны остаются . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

II. Меморандум эрго

1. Мозг, эрго-мозг и разум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032. Проект «Эрго» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113. Формальность и универсальность — смысл, фолдинг и понимание . . 1134. Универсальность, простота и эрго-разум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235. Свобода, любопытство, интересные сигналы и обучение без цели . . . 1296. Информация, предсказания и жук, ползущий по листу . . . . . . . . . . 1337. Камни и цели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398. Эго, эрго, эмоции и эрго-настроения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439. Здравый смысл, эрго-идеи и эрго-логика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710. Эрго в нашем разуме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111. Язык и языки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15712. Смысл смысла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313. Игра, юмор и искусство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16914. Эрго в науке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17315. Неразумные люди и альтернативная история . . . . . . . . . . . . . . . . 17716. Математика и её границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18117. Числа, симметрии и категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18718. Логика и иллюзия строгости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19319. Бесконечное внутри, конечное снаружи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19920. Маленькое, большое, недоступное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20321. Вероятность: частицы, симметрии, языки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Оглавление

22. Потоки сигналов из мира в мозг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21923. Характеристические свойства лингвистических сигналов . . . . . . . . 22724. Понимание структур и структура понимания . . . . . . . . . . . . . . . . 23125. Шестнадцать правил эрго-обучающегося . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23726. Учимся понимать языки: от библиотек к словарям . . . . . . . . . . . . 24127. Библиотеки, строки, аннотации и цвета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24528. Преподавание и оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24929. Атомы структур: единицы, подобия, кофункциональности, редукции 25330. Фрагментация, сегментация и выделение единиц . . . . . . . . . . . . . . 26131. Предсинтаксические морфизмы, синтаксические категории и эн-

тропия ветвления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26532. Подобия и классификации, деревья и координатизации . . . . . . . . . 27133. Кластеризация, бикластеризация и кокластеризация . . . . . . . . . . . 275

Часть I

Цитаты и идеи

Глава

Прекрасное далёко

Round us, near us, in depth and height,Soft as darkness and keen as light.Сверху, снизу, вокруг и вслед,Мягкий мрак и глубокий свет .

Аëäæåðíîí Сóèíá¼ðí, «Лîõ-Тîððèäîí»

«Mathematiques, un depaysement soudain» («Математика, неожидан-ное путешествие») — так называлась выставка, организованная в Па-риже Фондом современного искусства Картье. Одним из её экспонатовстала «Библиотека тайн»:

òàéíà ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ,òàéíà æèçíè,òàéíà ðàçóìà,

òàéíà ìàòåìàòèêè.

Её представлял фильм Дэвида Линча, в котором с точки зрения ху-дожника осмыслялись идеи Времени, Пространства, Материи, Жизни,Разума, Знания, Математики, явленные цитатами из трудов великихучёных.

Мишель Кассе и Эрве Шандес уговорили меня попытаться проде-лать то же самое с точки зрения наивного математика — спроектиро-вать эти идеи на незримый экран нашего разума, осветив их не отра-жением блеска богини искусств, но вечным сиянием математики.

Перевод А. Шапиро.

Цитаты и идеи

Я знал, что ничего не получится, но всё же рискнул. Многое из того,что здесь написано, родилось в беседах с Джанкарло Луччини, а мойанглийский кое-где подправила Бронвин Махони. Книга представляетсобой слегка видоизменённый вариант того, во что вылилась эта по-пытка.

Глава

Наука

Не существует ничего, кроме атомов и пустоты; всёостальное — лишь мнение.

Дåìîêðèò Аáäåðñêèé (), – äî í. ý.

Все люди от природы стремятся к знанию. Мышление — это без-молвная беседа души с самой собой. Горячее желание знания есть един-ственный двигатель, привлекающий и поддерживающий исследовате-ля в его усилиях, и это знание, ⟨...⟩ постоянно ускользающее из его рук,составляет его единственное счастье и мучение. Мыслить — значитстрадать.

Большой шаг вперёд был сделан в науке тогда, когда люди убедились,что для понимания природы вещей они должны начать не с вопросао том, хороша ли вещь или плоха, ⟨...⟩ но с вопроса о том, какого онарода.

Наука — это вера в невежество экспертов. Именно то, что нам ка-жется, что мы что-то знаем, мешает нам чему-то научиться. Здра-вый смысл — это сумма предубеждений, приобретённых до восемнадца-тилетнего [восьмилетнего?] возраста.

Простое собрание фактов столь же мало является наукой, как кучакамней — домом. Факт сам по себе есть ничто: он имеет значение,лишь поскольку с ним связана идея или поскольку он служит доказа-тельством чего-либо. Тот, кто не знает, чего ищет, не поймёт и того,что найдёт. Исследователь должен иметь безграничную веру — и приэтом всё же сомневаться.

По мере того, как наука увеличивает наше могущество, она умень-шает нашу гордость собой. Тот, кто осмеливается считать себя су-дьёй в области истины и знания, будет повержен смехом богов.

Боги любят шутить — я подозреваю, что Вселенная не толькостраннее, чем мы себе представляем, но и страннее, чем мы можемсебе представить. Самое непостижимое в этом мире — то, что онпостижим.

В звучании струн заключена геометрия, а в расположении сфер —музыка. Скрытая гармония сильнее явной. Размышления о прекрасноми новом поистине божественны.

Цитаты и идеи

Самое прекрасное, что мы можем испытать, — это ощущение тай-ны. Она источник всякого подлинного искусства и науки — ветвей од-ного и того же дерева. Тот, кто никогда не испытывал этого чувства,⟨...⟩ подобен мертвецу, и глаза его закрыты.

Когда дело доходит до атомов, может быть использован толькоязык поэзии. Поэзия ближе к жизненной правде, чем история. Знаниеограничено. Воображение охватывает весь мир.

Но при входе в лабораторию снимайте воображение, как пальто.Уходя, надевайте его вновь.

Объективная реальность вещей останется вечно скрытой от нас;нам дано знать лишь отношения. Всё, что мы называем реальным, со-стоит из вещей, которые нельзя рассматривать как реальные. Насто-ящая объективная реальность есть внутренняя гармония мира.

Время и пространство не навязаны нам природой — мы сами навя-зываем их природе, потому что полагаем это удобным для себя. ⟨...⟩Различие между прошлым, настоящим и будущим — не более чем ил-люзия, хотя и весьма навязчивая.

Человек — это часть целого, которое мы называем Вселенной,часть, ⟨...⟩ ограничивающая нас миром собственных желаний и при-вязанностью к узкому кругу близких нам людей. Наша задача — осво-бодиться из этой тюрьмы, расширив сферу своего участия до всякогоживого существа, до целого мира во всём его великолепии.

Пèôàãîð Чàðëüç Дàðâèí Нèëüñ БîðГåðàêëèò Кëîä Бåðíàð Аëüáåðò ЭéíøòåéíПëàòîí Дæåéìñ Кëåðê Мàêñâåëë Дæîí ХîëäåéíАðèñòîòåëü Аíðè Пóàíêàðå Рè÷àðä Фåéíìàí

То, что думают эти люди, то, как они пишут, просвещает наш ра-зум и возвышает дух, но своей собственной жизнью эти мысли почтине живут. Не растут, не преображаются, не пускают свежие зелёныепобеги — лишь сверкают, подобно застывшим в вечности кристалламогненных цветов. Это не совсем то, что математики называют идеями,а нечто промежуточное между идеями и мнениями .

С великими научными идеями всё иначе: они живут, они наполня-ют душу восторгом, они приглашают оспаривать и опровергать себя.

Мíåíèå об X — это функция, скажем OPX =OPX (p), которая приписывает значение«äà» (согласен) или «íåò» (не согласен) каждому человеку p, рвущемуся сообщить, чтоон думает об X , например о существовании (несуществовании) вакуума. Демокрита незаботили конкретные значения функции OPX (p) — за исключением разве что случая,когда p — это его лучший друг. Однако сей философ был бы рад обнаружить корреляциюмежду OPX (p) и расстоянием от жилища персоны p до Абдеры.

. Наука

Вырвитесь из клетки обыденных представлений, дайте волю вообра-жению, начните играть с подобными идеями, как щенок со своимиигрушками, — и вы окажетесь в мире прекрасного далёка, которое на-зывается математикой.

Глава

Числа

Все применения математики в науке основаны на со-отношениях между законами, которым подчиняют-ся физические величины, и законами математики.

Дæåéìñ Кëåðê Мàêñâåëë, ã.

Между числами, упоминаемыми мной в книге, ⟨...⟩есть числа, превышающие число песчинок, которыеможно вместить не только в пространстве, равномобъёму Земли, ⟨...⟩ но и целого мира.

Аðõèìåä, «Пñàììèò, èëè Иñ÷èñëåíèåïåñ÷èíîê», ã. äî í. ý.

Архимед ⟨...⟩, жизнь которого есть целая эпоха в жиз-ни человечества и существование которого пред-ставляется одной из милостей природы.

Нèêîëà Кîíäîðñå

Архимед оценил диаметр Вселенной примерно в два световых года,т. е. ≈ 2 · 1013 км — двести тысяч миллиардов километров, — что, какнам теперь известно, составляет около половины расстояния до бли-жайших к нам звёзд, двойной системы Альфа Центавра A и B.

Затем Архимед изобрёл экспоненциальную форму записи большихчисел и оценил количество песчинок или, скорее, маковых зёрнышекразмером ≈ 0,2 мм, необходимых, чтобы эту Вселенную заполнить,числом, в современных обозначениях не превосходящим 1063. (Я взялэти числа из статьи в Википедии. На самом деле куб со стороной 2 ·1013

км имеет объём 8 ·1057 мм3, что даёт 1060 кубиков со стороной 0,2 мм.)Если бы некий философ этим не впечатлился, заявив, что

решения следует принимать на основе знания, а не чисел,

Архимед, вероятно, ответил бы, что решения следует оставить могуще-ственным правителям, числа же — хранители нашего истинного зна-ния.

Большие числа окружают нас повсюду. Даже Сократ, Платон и Ари-стотель согласились бы, что ваши знания о себе неполны без представ-ления о примерно 1014 ( миллиардах) бактерий, живущих у васвнутри, — по несколько бактерий на каждую клетку вашего собствен-ного тела.

Цитаты и идеи

(Размер бактерии составляет примерно мкм — одну тысячнуюмиллиметра = одну миллионную метра, так что по объёму она в не-сколько тысяч раз меньше ваших собственных клеток. Если бы внутрикаждой вашей клетки находилась бактерия, вы и не заметили бы это-го — к сему моменту уже благополучно скончавшись.)

Одна-единственная бактерия, имея достаточно питательных ве-ществ, способна делиться каждые – минут, так что через часаона превратится в сгусток размером в 105 мкм = см, содержащийоколо 250 = (210)5 = 10245 ≈ 10005 = 106 × 109 (миллиона миллиардов)бактерий.

Дальнейшее может подсчитать каждый школьник.День . Сгусток содержит 1015×1015=1030 бактерий и в диаметре

составляет 1010 мкм = км — примерно кг бактерий на каждыйквадратный метр поверхности Земли.

День . Сгусток увеличивается в размере до 1020 мкм = 1011 кми достигает самых отдалённых участков Солнечной системы. Он погло-щает Солнце (≈1,5×108 км от Земли) и все планеты, включая Плутон(≈6×109 км), но не охватывает орбиту Седны в самой далёкой от насточке (≈1,4×1011 км).

(Аристотель, настаивавший на том, что

небо должно иметь форму сферы,

рад был бы узнать, что бактерии по-прежнему находятся внутри сфери-ческого (гипотетического) облака Оорта — облака комет, окружающихСолнце на расстоянии примерно одного светового года.)

День . Сгусток содержит 1015×7= 10105 бактерий и в диаметре со-ставляет 105×7 мкм = 1026 км ≈ 1013 световых лет, что в сотни разпревышает диаметр видимой Вселенной (≈1011 световых лет).

. Числа

Бактерии существуют уже миллиарды дней, но имеют ли хотькакой-то смысл числа, подобные 10100000…? Ответ на этот вопрос —и да, и нет. До этих чисел нельзя добраться, считая 1, 2, 3, …, по край-ней мере в нашем пространственно-временном континууме; нельзяи представить их набором каких-либо физических объектов. Однаконереально большие (и нереально маленькие) числа играют важнуюроль в нашем понимании çàêîíîâ ïðèðîäû, которые проявляютсяв наблюдаемых свойствах объектов Вселенной.

Как природе, которая, по словам Эйнштейна, интегрирует эмпири-чески, удаётся удовлетворять этим законам?

Есть ли в её распоряжении нечто значительно большее, нежели про-странство/время (что-то вроде квантовых полей?), позволяющее инте-грировать эмпирически?

Или в неё встроена какая-то секретная логическая штуковинаи она, подобно математикам, пользуется ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèåé?

Или же она обнаружила простой логический путь, в обход при-водящий к этим законам, мы же не можем найти его, ибо обреченыдержаться мысленных путей, доступных нашему разуму?

Эти вопросы, по-видимому, не имеют смысла; как всё-таки досаднанаша неспособность сформулировать правильный вопрос!

И всё же математик может найти утешение в попытке оценить чис-ло Ncan различных логических рассуждений (мысленных путей), состо-ящих, скажем, из L слов, которые в принципе в состоянии породитьмозг разумного существа. Если бы кто-то объяснил нашему математи-ку, что означают слова «может» и «в принципе», он, вероятно, оценилбы Ncan величиной ∼ L log L или того меньше, что весьма далеко отчисла Nall∼2L всех таких рассуждений и значительно уступает возмож-ностям бактерий.

Математик мог бы почувствовать себя уязвлённым, но вскоре осо-знал бы, что его собственные логика и язык скрывают числа, оставля-ющие далеко позади самых быстроразмножающихся бактерий.

В самом деле, представим себе кота Шрёдингера. Его тело со-стоит из N ≈ 1026 молекул (воды и небольших молекулярных остат-ков/мономеров в макромолекулах). Предположим, что каждая молеку-ла может находиться в одном из двух состояний. Тогда у кота имеетсявсего S= 2N ≈ 100,3N состояний. Некоторые из них мы относим к со-стояниям живого кота, другие — к состояниям кота мёртвого. Число —назовем его, скажем, CAT — возможных суждений/мнений о коте рав-но

2S = 221026

> 10101025

.

Как же выбрать верное суждение из этого колоссального универсумавозможностей? Математики не понимают, как это происходит, но кот,

Цитаты и идеи

покуда он жив и не озабочен математикой, как-то умудряется сделатьправильный выбор и... остаётся в живых.

Храбрецы отваживаются играть и с невообразимо большими числа-ми — порождениями теоремы Гёделя о неполноте. Попадись вам такоечисло в рассуждениях о «реальном мире» — и вашу логику уже ничто неспасёт. К счастью, в «реальном мире» вы их не встретите — если самине позовёте сих уродливых монстров по имени.

Монстр STOP. Если у вашего компьютера M битов памяти, где,скажем, M = 1010, то, отвечая на любой ваш «вопрос», он либо оста-новит работу, совершив меньше 2M шагов, либо зациклится и будетработать вечно. (Вместо «шагов» можно использовать любые удобные«единицы времени»; число 21010

настолько велико, что всё равно, будутли это наносекунды или миллиарды лет.)

То, что мы называем здесь вопросом или программой, выполнитькоторую вы просите свой компьютер, — это последовательность букв,представляющих собой названия клавиш, которые необходимо нажатьна клавиатуре для запуска этой программы.

Забудем о «реальном мире» и позволим компьютеру иметь бесконеч-ную (неограниченную) память. Как и в конечном случае, компьютерможет остановиться, совершив конечное число шагов, либо же рабо-тать бесконечно долго в зависимости от вашего вопроса (а также кон-фигурации своего аппаратного и программного обеспечения), правда,работать бесконечно долго в случае бесконечной памяти не обязатель-но означает зациклиться. Например, если вы попросите компьютернайти файл под названием cell_phan_nimber_Bull_Gytes, тот либонайдёт его и остановится, либо же, если такого файла не существует,будет работать вечно.

(Ваш медленно работающий мозг, в отличие от быстро работаю-щей поисковой системы OS Windows, обладает фундаментальной спо-собностью дать на подобный вопрос почти мгновенный ответ «ТАКОГОФАЙЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ». Простой, хотя и структурно нетривиальныйпример того же рода — реакция «ГОРЬКО», возникающая на вашемязыке в ответ на всё, химически далёкое от потенциальных питатель-ных веществ, с редкими ошибками, такими как реакция «СЛАДКО» насахарин.

Можно — вместе с Робертом Гуком, Чарльзом Бэббиджем и АланомТьюрингом — строить правдоподобные догадки об архитектуре чело-веческой памяти, которая обеспечивала бы эту фундаментальную спо-собность. Экспериментальных средств для проверки нетривиальныхгипотез в этой области не существует, однако имеется математическипривлекательная теория такой памяти, предложенная Пентти Канер-вой под названием разреженная распределённая память.)

. Числа

Выберем (умеренно большое) число L и рассмотрим все програм-мы, состоящие из L букв, выполняя которые компьютер в конце концовостановится. Поскольку число этих программ конечно (меньше 100L,если при написании программ используется меньше 100 букв), наи-большее (но всё же конечное!) время исполнения такой программы,измеряемое, скажем, в годах, также конечно; назовем его STOP(L).

Несмотря на свою конечность, это число, даже для скромных зна-чений L, скажем L= 50 000 (запись программы, состоящей из букв, занимает около десятка страниц), практически неотличимо отбесконечности в некотором точном логическом смысле. Наша Вселен-ная ничтожно мала не только для того, чтобы вместить в себя что-либоподобного размера, но и для того, чтобы содержать запись явной фор-мулы или явного словесного описания такого числа, даже если буквамив этой записи будут служить атомы. (Способ, которым мы только чтоописали число STOP, не считается: требование отличать время оста-новки программы от бесконечности без указания конкретного «экспе-риментального протокола», с помощью которого это предполагаетсяделать, трудно назвать явным описанием.)

По сравнению с монстром STOP число CAT кажется крошеч-ным — соответствующая экспоненциальная формула выражается не-сколькими десятками двоичных символов (и физически записывает-ся с помощью нескольких тысяч атомов, управляемых посредствоматомно-силового микроскопа).

Если быть до конца честными, следует признать, что с нашим опре-делением числа STOP(L) не совсем всё в порядке.

Представьте, например, что память нашего компьютера всё-такисодержит строку cell_phan_nimber_Bull_Gytes, но так далеко, что до-браться до неё нельзя меньше чем за T единиц времени. Поскольку Tможно выбрать сколь угодно большим, из логики нашего определенияс неизбежностью следует, что STOP(L) равно бесконечности, дажеесли ограничить длину L допустимых программ какой-нибудь совсеммалой величиной, не превосходящей, скажем, одной тысячи букв.

Следует как-то запретить такую возможность, потребовав, чтобывсе «ячейки памяти» нашего компьютера, до которых нельзя добратьсяменьше чем, скажем, за 1010 единиц времени, были пустыми, т. е. в этих«удалённых ячейках» ничего не было записано. Более того, следуетпредполагать, что компьютер знает, когда он пересекает границу «не-пустого пространства», и не будет тратить время на поиски в пустом.

С другой стороны, в процессе вычислений компьютеру разрешаетсязаписывать данные в эти «удалённые ячейки» и стирать их; в концеконцов это может привести к тому, что объём занятых ячеек памятистанет огромным, а их чтение — мучительно долгим.

Цитаты и идеи

С этой оговоркой определение числа STOP(L) становится коррект-ным — оно действительно даёт некое конечное число, ïðè óñëîâèè,что вы точно определили, что такое «удалённые ячейки» и что значит«добраться до той или иной ячейки памяти».

Но можно ли, используя конечное число слов, явно описать бесконеч-ную память и программу поиска в этой памяти?

Общепринятое решение этой проблемы, сформулированное Тью-рингом, состоит в том, чтобы всем числам 1, 2, 3, 4, …, 1000 сопоста-вить ячейки/блоки памяти, которые снабжены метками «пусто»/«не-пусто», и считать, что в каждой «непустой» ячейке записан символ 1или 0. Тогда один шаг поиска в памяти определяется как переход отячейки i к ячейке i + 1 или i − 1, причём каждая посещённая ячейкапомечается как «непустая».

Если на вас действует магия слова «все» и вы верите, что оно насамом деле задаёт бесконечное количество чисел, вы получите «мате-матически точное» определение числа STOP(L).

И всё же с числом STOP не совсем всё в порядке: это побочныйпродукт аппарата формальной логики, а не настоящее математи-ческое число. Но около тридцати лет назад были открыты поистинеГИГАНТСКИЕ числа, как, например, время, необходимое Гераклу, что-бы расправиться с гидрой в некой математической модели этого при-скорбного происшествия. Но все эти ГИГАНТСКИЕ КРАСАВЦЫ несрав-ненно меньше уродливого монстра STOP.

В мире есть, вероятно, – математиков и логиков, которые полагают, что такиемонстры, как STOP, демонстрируют фундаментальные изъяны в наших понятиях «чи-сел», «конечности» и «бесконечности».

. Кластеризация, бикластеризация и кокластеризация

редукций представляет собой интересную «структуру более высокогопорядка» в U&V .

Более тонкую структуру языка можно извлечь также из «рассто-яния» на V , индуцированного вышеупомянутой функцией G из про-странства функций на некотором вспомогательном множестве V , при-чём существенные свойства такого «расстояния» закодированы (невполне) категорией приближённых частичных изометрий множестваU относительно этого «расстояния».

В том же духе можно продолжать бесконечно, но где-то надо оста-новиться. Крылья воображения, питаемые мощью математики, могутунести вас за пределы всего, чего можно достичь более «пешим» об-разом мыслей. Но, взмыв слишком высоко в небеса математики, вырискуете разминуться со своей конечной целью внизу на Земле.

Литература

. Acharya B. The Ecology of the Dhole or Asiatic Wild Dog (Cuon alpinus)in Pench Tiger Reserve, Madhya Pradesh (PhD Thesis). Dehradum:Wildlife Institute of India, .

. Anderesen E. , Dunlea A. The impact of input: language acquisition in thevisually impaired // First Language. . V. . P. –.

. Aronoff M. , Rees-Miller J. (eds.) The Handbook of Linguistics. BlackwellPublishing, –.

. Auerbacher I. , Schatz A. Finding Dr. Schatz: The Discovery of Strepto-mycin and A Life it Saved. iUniverse, .

. Bickel L. Florey: The Man Who Made Penicillin. Melbourne UniversityPress, .

. Brown K. Penicillin Man: Alexander Fleming and the Antibiotic Revo-lution. Sutton, .

. Calvin W. H. A stone’s throw and its launch window: timing precisionand its implications for language and hominid brains // J. Theoret. Biol.. V. . P. –.

. Cheng J.-P. The origin of probability and the problem of points; htpp://www.math.rutgers.edu/∼cherlin/History/Papers2000/cheng.html.

. Coombs C. H. , Dawes R. M. , Tversky A. Mathematical Psychology: AnElementary Introduction. Prentice-Hall, .

. Dunnill M. S. The Plato of Praed Street: The Life and Times of AlmrothWright. Royal Society of Medicine Press, .

II. Меморандум эрго

. Evans N. , Levinson S. C. The myth of language universals: Languagediversity and its importance for cognitive science //Behavioral and BrainSciences. . V. , № . P. –; https://www.princeton.edu/∼adele/LIN−106:−UCB−files/Evans-Levinson09−preprint.pdf.

. First probabilists: Galileo, Cardano, Fermat, Pascal, Huygens; http://www.bricol.net/downloads/misc/HistProb/02.First_Probabilists.pdf.

. Fisher S. E. , Marcus G. F. The eloquent ape: genes, brains and the evo-lution of language // Nature Reviews Genetics. . V. . P. –.

. Flynn E. H. (ed.) Cephalosporins and Penicillins: Chemistry and Biology.Academic Press, .

. Hald A. A History of Probability and Statistics and Their Applicationsbefore . Wiley, .

. Heatley N. G. In Memoriam, H. W. Florey: an Episode // J. Gen. Micro-biology. . V. . P. –.

. Johnson R. , Liddell S. Toward a phonetic representation of signs:sequentiality and contrast // Sign Language Studies. . V. , № .P. –. (В свободном доступе находится только первая страницаэтой статьи.)

. Kresge N. , Simoni R. D. , Hill R. L. Selman Waksman: the father of anti-biotics // J. Biol. Chem. . V. . P. e.

. Lawvere F. , Schanuel S. Conceptual Mathematics. Cambridge UniversityPress, .

. Macfarlan G. Alexander Fleming: The Man and the Myth. HarvardUniversity Press, .

. Macfarlan G. Howard Florey: The Making of a Great Scientist. OxfordUniversity Press, .

. Margineanu N. Logical and Mathematical Psychology: Dialectical Inter-pretation of Their Relations. Presa Universitara Clujeana, .

. McFadyen D. Review of Liber De Ludo Aleae (Book on Games of Chance)by Gerolamo Cardano;www.link.cs.cmu.edu/15859-s11/notes/Mcfadyen_review.pdf.

. McInerney D. M. , Liem A. D. (eds.) Teaching and Learning: InternationalBest Practice. Information Age Publishing, .

. Moberg C. L. , Cohn Z. A. Launching the antibiotic era: personal accountsof the discovery and use of the first antibiotics // Yale J. Biol. Med. .V. , № . P. –.

. Near Death Experience;http://celestial.kuriakon00.com/nde/tony_cicoria.html.

. Кластеризация, бикластеризация и кокластеризация

. Oudeyer P.-Y. , Kaplan F. , Hafner V. V. Intrinsic motivation systems forautonomous mental development // IEEE Transactions on EvolutionaryComputation. . V. , № , – (); www.pyoudeyer.com.

. Padgett J. , Seaberg M. A. Struck by Genius: How a Brain Injury MadeMe a Mathematical Marvel. Houghton Mifflin Harcourt, .

. Piore A. When brain damage unlocks the genius within;http://www.popsci.com/science/article/2013-02/when-brain-damage-unlocks-genius-within.

. Potter R. D. The race to get enough penicillin ();http://clickamericana.com/eras/1940s/the-race-to-get-enough-penicillin-1944.

. Schmidthuber J. Formal theory of creativity, fun, and intrinsic motivation(–); http://people.idsia.ch/∼juergen/ieeecreative.pdf.

. Selman Waksman and Antibiotics, Commemorative booklet producedby the National Historic Chemical Landmarks program of the AmericanChemical Society in ; http://www.acs.org/content/acs/en/education/whatischemistry/landmarks/selmanwaksman.html.

. Shafer G. , Vovk V. The sources of Kolmogorov’s Grundbegriffe // Statist.Sci. . V. , № . P. –.

. Sources in the History of Probability and Statistics;www.cs.xu.edu/math/Sources/.

. Townsend J. T. Mathematical psychology: prospects for the st century// J. Math. Psychol. . V. , № . P. –.

. Treffert D. A. The savant syndrome: an extraordinary condition.A synopsis: past, present, future // Philos. Trans. R. Soc. Lond. B Biol.Sci. . V. (). P. –.

. Treffert D. A. Extraordinary People: Understanding Savant Syndrome.iUniverse, .

. Van Epps H. L. Rene Dubos: unearthing antibiotics // J. Exp. Med. .V. , № . P. .

. Waksman S. A. My Life with the Microbes. Scientific Book Club, .. Who Saved the Most Lives in History — Science Heroes News;

http://www.scienceheroes.com/index.php?option=com−content&view=article&id=258&Itemid=27.

. Wolpert D. M. , Diedrichsen J. , Flanagan J. R. Principles of sensorimotorlearning // Nature Reviews Neuroscience. . V. . P. –.

. Zhu Q. , Binghamb G. P. Human readiness to throw: the size–weightillusion is not an illusion when picking the best objects to throw //Evolution and Human Behavior. . V. , № . P. –.

Громов Михаил

Кîëüöî òàéí: âñåëåííàÿ, ìàòåìàòèêà, ìûñëü

Подписано в печать .. г. Формат 60×90 /. Бумага офсетная.Печать офсетная. Печ. л. . Тираж экз. Заказ № .

Издательство Московского центранепрерывного математического образования.

, Москва, Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––

Отпечатано в соответствии с предоставленными материаламив ЗАО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––. E-mail: biblio@mccme.ru,

http://biblio.mccme.ru