· Web viewEn la Actividad 1 se pretende que los profesores participantes compartan con sus compañeros de grupo el uso que hacen de los planes de clase y del resto de los materiales

MÓDULO 2MATERIAL DEL PARTICIPANTE

MÓDULO 2

Los planes de clase y otros materiales de apoyo para la actividad docente

Introducción

Una de las principales dificultades que se presentan cuando se establece una propuesta curricular nueva, es que los profesores nos enfrentamos a la necesidad de introducir modificaciones en nuestras técnicas y métodos de enseñanza, que pueden ser muy diferentes a aquellas con las cuáles nosotros fuimos formados y de aquellas que hemos usado para enseñar.

Consecuentemente, es posible que no entendamos o no compartamos la filosofía que descansa detrás de las propuestas y las dinámicas que traen aparejadas. Por esa razón, aún cuando tuviéramos la posibilidad de emplear materiales didácticos de apoyo, como los planes de clase, los nuevos textos, los recursos tecnológicos modernos y otros más, su uso adecuado y permanente en el aula y, en general en nuestra actividad cotidiana, requiere de un proceso que se desarrolla con relativa lentitud.

En este segundo módulo del diplomado tendremos oportunidad de revisar algunos de esos materiales, partiendo de los denominados planes de clase, para realizar un estudio que nos proporcione mejores condiciones de emplearlos para potenciar la actividad docente que cotidianamente realiza cada profesor.

Un propósito fundamental en este sentido es que cada profesor exprese sus ideas sobre los planes de clase y el resto de materiales didácticos que en ellos se sugieren, para dar pie a una profunda reflexión sobre las posibilidades de uso, sus ventajas y sus desventajas. El énfasis de las actividades del módulo está puesto en obtener conclusiones que no se queden en el mero análisis, sino que proporcionen pautas de carácter práctico para mejorar el desempeño docente de los profesores.

El presente módulo contiene cuatro actividades. En la Actividad 1 se pretende que los profesores participantes compartan con sus compañeros de grupo el uso que hacen de los planes de clase y del resto de los materiales recomendados como apoyo a la labor docente. Esta actividad pretende ser el punto de referencia para las tres actividades restantes. La Actividad 2 está dedicada a analizar algunos planes de clase y otros materiales de apoyo de un tema elegido del eje denominado Manejo de la Información. En la Actividad 3 se analizan y valoran planes de clase del eje Forma, Espacio y Medida y en la Actividad 4, los planes de clase que se analizan corresponden al eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico.

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Actividad 1

Materiales de apoyo a la actividad docente

1. El uso de los planes de clase de matemáticas y los materiales didácticos sugeridos en los mismos.

Esta actividad tiene el propósito de que los profesores conozcan el uso que se da a los planes de clase y los materiales didácticos de apoyo a su labor docente, como un antecedente de los análisis que se llevarán a cabo en el resto del presente Módulo.

a) Haz un escrito, de no más de una cuartilla, en el que describas: Tu nivel de conocimiento de los planes de clase de matemáticas. La frecuencia con la cual apoyas tu trabajo en el aula con los planes de clase. Si utilizas un libro de texto, el título del mismo, así como el uso que le das para

apoyar tu actividad docente. El uso de calculadoras, computadoras y otros materiales didácticos propuestos

en los planes de clase para la labor didáctica en el aula.

2. Compartiendo reflexiones

a) El instructor solicitará a algunos participantes la lectura del escrito hecho en el punto anterior. Lee y/o escucha con atención, según el caso.

b) Cada participante se incorporará a una discusión grupal dirigida por el instructor, agregando elementos de análisis o contrastando sus puntos de vista con los expuestos en las lecturas. Al final el instructor precisará los puntos de concordancia a los que haya llegado el grupo en su conjunto.

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Actividad 2

Primer Grado: Bloque 1, Apartado 8

1. El subtema: Diagramas y Tablas en el Programa de Estudios de secundaria

En el Programa de Estudios de Matemáticas (p. 9) para la educación secundaria se destaca que:

“En cuanto al eje Manejo de la información se resuelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de diversas fuentes. Este trabajo se apoya fuertemente en nociones matemáticas tales como porcentaje, probabilidad, función y en general en el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales”.

a) Organizados en equipos discutan la problemática planteada en cada inciso y luego expresen su opinión en cada caso:

i) La importancia que, consideran tiene la lectura, construcción e interpretación de diagramas y tablas como tema de estudio en la educación secundaria.

ii) Revisa la página 32 del Programa de Estudios 2006 (ver anexo) y menciona la ubicación del tópico Diagramas y Tablas dentro de la estructura propuesta, los conocimientos y habilidades, así como las orientaciones didácticas.

iii) Analiza los dos “ejemplos sencillos”, planteados en la página 32 (ver anexo) y comenta sobre los aspectos que te parezcan más relevantes en cuanto al tipo de situación planteada, contenido matemático, estrategias de resolución y otras que consideres importante destacar.

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2. Resolviendo las consignas de los planes de clase

Individualmente resuelve cada una de las consignas planteadas en los planes de clase del Bloque 1 Apartado 8 (B1A8)

a) Plan de Clase (1/3) Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:Considerando las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?

Consigna 2: Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si en cada número que se forme ambas cifras deben ser distintas?

b) Plan de Clase (2/3)Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:Considerando nuevamente las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres, cuatro y cinco cifras distintas es posible formar?

c) Plan de Clase (3/3)Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5:

i)¿Cuántos números diferentes de tres cifras sin repetir se pueden formar?

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ii) De los anteriores, ¿cuántos son pares?

iii) Si se ordenan de mayor a menor, ¿qué lugar ocupa el 234?

3. Analizando planes de clase

Organizados en equipos comenten sobre cada apartado del plan de clase y respondan a los cuestionamientos que aparecen enseguida.

a) Plan de clase (1/3)

Curso: Matemáticas I Bloque: 1.8 Eje temático: MI

Conocimientos y habilidades: Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

¿Las tablas y los diagramas de árbol son “procedimientos personales”?

¿A qué “otros procedimiento personales” se refiere este apartado?

Especifica qué conocimientos se espera que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.

Especifica qué habilidades se espera que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.

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Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren algún procedimiento sistemático para resolver problemas de conteo.

¿Qué se entiende por “problema de conteo”?

¿Qué tipo de problemas de conteo?

¿Algún procedimiento sistemático en particular?

¿Se trata de generar o establecer alguna regla?

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Si se llegara a establecer la regla, el alumno deberá: ¿expresarla verbalmente?, ¿expresarla algebraicamente? Comenta.

Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:Considerando las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?

¿Consideras que en la consigna se está planteando un problema, un ejercicio o una situación problema?

¿Qué conocimientos previos se requieren para resolver esta situación?

¿Qué contenidos se integran a través de esta actividad?

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Consideraciones previas:Es muy probable que al empezar a resolver el problema los alumnos pregunten si es válido formar números con una cifra repetida, por ejemplo, 11, 33, etcétera. Hay que decir que sí se vale, puesto que en este primer problema se trata de encontrar todas las variaciones posibles. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Quizá algunos empiecen a probar con menos cifras planteándose la pregunta: ¿Qué pasaría si sólo fuera una cifra? Sólo se podría formar un número, el 11. ¿Y si fueran dos cifras? ¡Entonces serían cuatro números! ¿Y si fueran tres cifras? De esta manera encontrarán que hay una regularidad y les dará mucho gusto saber que con una simple operación pueden resolver el problema para cualquier cantidad de cifras. Pero atención: no hay que quitarles ese gusto, hay que dejar que ellos resuelvan el problema.

Una vez que los alumnos hayan resuelto el problema y que se discutan con profundidad los procedimientos utilizados, se plantea la segunda consigna: Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si en cada número que se forme ambas cifras deben ser distintas?

¿Por qué se hará la consideración acerca de que los alumnos pregunten “si es válido formar números con una cifra repetida”?

¿Qué opinión tienes de la respuesta que se propone dar a los alumnos cuando preguntan si es válido formar números con cifras repetidas?

En caso de estar de acuerdo con la respuesta sugerida para los alumnos, ¿qué argumentos darías en términos de lo planteado en la consigna?

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De acuerdo a tu experiencia docente, ¿qué tan frecuente es que los alumnos “más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros”?

De acuerdo a tu experiencia docente, ¿qué tan frecuente es que los alumnos utilicen la estrategia de simplificación del problema, es decir, “¿Qué pasaría si sólo fuera una cifra?

¿A qué números se refieren las siguientes expresiones? “¡Entonces serían cuatro números!

¿Y si fueran tres cifras?

¿Consideras que determinar la cantidad de números que se pueden formar para cada caso particular, es suficiente para asegurar que “De esta manera encontrarán que hay una regularidad…”? Argumenta.

¿Cómo utilizarías los elementos planteados en las consideraciones previas de la primera consigna, para orientar el trabajo de la segunda consigna?

En caso de que los estudiantes no formularan la pregunta inicial “es válido formar números con una cifra repetida”, ¿cómo orientarías el desarrollo de la segunda consigna?

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¿Qué modificaciones propondrías hacer al diseño de este apartado del plan de clase, tomando en cuenta los siguientes aspectos?o Redacción o Estructurao Contenidoo Orientacioneso Otros, especifica.

b) Plan de clase (2/3)



¿Sobre qué aspectos de las tablas y los diagramas de árbol está centrado este apartado del plan de clase?

¿Cuáles serían los “procedimientos personales” que esperarías utilizaran los alumnos en este apartado del plan de clase?

Especifica los conocimientos que esperas que “construyan los alumnos” al trabajar este apartado del plan de clase.

Especifica qué habilidades se espera que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.

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Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diagramas de árbol o algún procedimiento sistemático para resolver problemas de conteo.¿Se espera que los estudiantes recurran de manera espontánea al diagrama de árbol, como recurso para resolver la situación? Argumenta.

¿Qué “procedimiento sistemático” podrían utilizar los alumnos?

Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:Considerando nuevamente las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres, cuatro y cinco cifras distintas es posible formar?

¿Consideras que en la consigna se está planteando un problema, un ejercicio o una situación problema? Argumenta

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Consideraciones previas:Posiblemente los alumnos nuevamente pregunten si es válido formar números con cifras repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera, hay que decir que no, puesto que el problema no lo considera. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Es posible que algunos alumnos propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los alumnos no utilicen el diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones, el profesor puede proponer un diagrama en blanco para que vayan formando las cantidades, por ejemplo:

Además, es conveniente que el profesor plantee algunas cuestiones que les permitan los alumnos visualizar el orden que tienen los números y la cantidad de ellos que se forman, tales como:¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el primer nivel (centenas)?¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el segundo nivel (decenas)?¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el tercer nivel (unidades)?Para encontrar los números de cuatro cifras el profesor puede sugerir el uso del diagrama de árbol, para el caso de cinco cifras será conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen, obligándolos a que usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el principio fundamental de conteo: Para el caso de números de tres cifras es deseable que los alumnos multipliquen 5 x 4 x 3 = 60

Para el caso de números de cuatro cifras multipliquen 5 x 4 x 3 x 2 = 120 y para cinco cifras 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan a profundidad los procesos que siguieron los alumnos para resolver el problema.

En las consideraciones previas de plan de clase (1/3), se menciona que “se trata de encontrar todas las variaciones posibles” mientras que en el plan de clase (2/3) de este plan de clase se dice “mostrar las variaciones”, en ambos casos: ¿a qué se refiere con “variación”?

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¿Cómo esperas que tus alumnos completen el diagrama propuesto? ¿Por qué?

¿Las cuestiones planteadas permitirán a los alumnos “visualizar el orden que tienen los números” y también “la cantidad de ellos que se forman”? Argumenta

¿Por qué se recomendará tratar de que los alumnos abandonen el diagrama de árbol y a cambio se les “obligue” a que “usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama”?

¿En qué consiste el “principio fundamental del conteo”?

¿Qué papel juega el diagrama de árbol o la construcción de tablas en el establecimiento del principio fundamental del conteo?

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¿Qué modificaciones propondrías hacer al diseño de este apartado del plan de clase?o Redacción o Estructurao Contenidoo Orientacioneso Otros, especifica.

c) Plan de clase (3/3)



¿Sobre qué aspectos de las tablas y los diagramas de árbol está centrado este apartado del plan de clase?

¿Cuáles serían los “procedimientos personales” que esperarías utilizaran los alumnos en este apartado del plan de clase?

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Especifica qué conocimientos esperas que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.

Especifica qué habilidades esperas que “construyan los alumnos” con este apartado del plan de clase.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diagramas de árbol o algún procedimiento sistemático para resolver problemas de conteo.

¿Qué aspectos del diagrama de árbol se espera que utilicen los alumnos en este apartado? Argumenta.

¿Qué “procedimiento sistemático” podrían utilizar los alumnos?

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Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5:

a) ¿Cuántos números diferentes de tres cifras sin repetir se pueden formar?b) De los anteriores, ¿cuántos son pares?c) Si se ordenan de mayor a menor, ¿qué lugar ocupa el 234?

¿Consideras que en la consigna se está planteando un problema, un ejercicio o una situación problema? Argumenta



¿Qué “procedimientos personales” podrían utilizar los estudiantes?

¿Qué “procedimientos sistemáticos” podrían utilizar los alumnos?

¿Cuáles serían las habilidades que se espera desarrollen los alumnos”?

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Consideraciones previas: Posiblemente en la primera pregunta algunos alumnos cometan el error de considerar números que comiencen con cero, en tal caso será necesario que el profesor ponga a consideración del grupo dichos errores para su aclaración, pues se trata de encontrar todos los números de tres cifras sin repetir, menos los que empiezan con cero, por ejemplo 045 no es un número de tres cifras. Sería recomendable que los alumnos utilizaran lo aprendido en la clase anterior, esto es, considerar la cantidad de cifras que pueden ocupar las centenas, las decenas y las unidades.

5 de las cifras, pues nose considera al cero

5 de las cifras, puesel cero sí se incluye

4 de las cifras, puesto quede las 6 originales ya se utilizaron dos

Centenas Decenas unidades

Donde el total de números diferentes es 5 x 5 x 4 = 100

En la segunda cuestión los alumnos deberán considerar los terminados en cero, esto es 5 x 4 x 1 = 20 Más los terminados en dos, pero que no inician en cero, 4 x 4 x 1 = 16Y los terminados en cuatro, pero que no inician en cero, 4 x 4 x 1 = 16La suma de los tres resultados 20 + 16 + 16 = 52, es la cantidad de número pares.

En la última cuestión habrá alumnos que escriban todos los números hasta encontrar la posición que ocupa el 234, es conveniente que el profesor pida a los alumnos que utilicen otros procedimientos o atajos para resolverla.

Menciona cómo detectarías la presencia del error descrito y comenta a qué lo atribuyes.

Si en la clase anterior entre lo “aprendido” está el uso del diagrama de árbol, ¿por qué no sería recomendable que lo siguieran utilizando?

Menciona otras alternativas para dar respuesta al inciso b) de la consigna.

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Escribe los procedimientos alternativos que esperarías usen tus alumnos.

¿Qué modificaciones propondrías hacer al diseño de este apartado del plan de clase?o Redacción o Estructurao Contenidoo Orientacioneso Otros, especifica.

Considerando el análisis y las alternativas de modificación a cada plan de clase, ¿qué propuesta de organización harías a esta serie de planes de clase? Argumenta.

4. El libro de texto

a) Resuelve y analiza la Lección 21, Libro 1º. Matemáticas de Filloy E., et al (2009), pág. 81 (ver anexo) y comenta las características que te parezcan más relevantes en términos de los propósitos del Programa de Estudio de Matemáticas para secundaria. Entrega la lección resuelta y tus comentarios al instructor para que incorpore estas tareas al portafolio de evidencias.

b) Hacer lo mismo que en el inciso anterior, pero tomando como referencia alguna lección, relacionada con el tema de interés, del libro de texto que utilizas en clase.

Actividad 3

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Segundo Grado: Bloque 3, Apartados 3 y 4

1. Resolviendo las consignas de los planes de clase

Realicen en equipo las tareas indicadas en las consignas de los Planes de Clase correspondientes a los Apartados 4 y 5 del Bloque 3 del Programa de Secundaria para Matemáticas II.

Consignas del Apartado 4

a) Consigna (1/3): Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.

1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice. ¿Qué figuras se forman al interior del polígono?___________________

2. Completen la siguiente tabla.

Polígono Número de lados Cuántos triángulos hay

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Polígono de n lados

b) Consigna (2/3): La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le agregó una columna. Organizados en equipos, anoten los datos que faltan.

Polígono Número de lados Cuántos triángulos haySuma de los ángulos internos del polígono

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triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono


¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?

c) Consigna (3/3): Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas.

1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________

¿Por qué?_______________________________________________________

2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?______ ¿Cómo se llama?______________

3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se trata?_______________ ¿Por qué?_________________________

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono.

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¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco?__________________________

Consignas del Apartado 5

d) Consigna (1/3): Organizados en equipos, determinen si las figuras que tienen les permiten cubrir el plano sin dejar huecos, para cada caso se deben utilizar exclusivamente figuras de una sola forma. Busquen una superficie plana (el piso o una mesa) para que puedan probar. Después contesten las siguientes preguntas:

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano?

¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano?

¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué creen que se deba?

Las figuras que tienen los alumnos son los siguientes polígonos regulares:

e) Consigna (2/3): Organizados en equipos, diseñen y recorten un modelo de polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que les permita cubrir el plano. El

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polígono irregular que diseñen puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez que diseñen el modelo, tracen y recorten varias figuras iguales para que puedan mostrar que se puede cubrir el plano. Enseguida contesten la siguiente pregunta: ¿Qué características tiene el polígono que diseñaron para cubrir el plano?

f) Consigna 1 (3/3): En binas, utilizando polígonos regulares e irregulares cubran un plano, y contesten las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo son los polígonos que utilizaron?

2. ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano?

3. ¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras?

4. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice?

g) Consigna 2 (3/3): Haz, individualmente, un mosaico con las figuras que desees y coloréalo a tu gusto.

2. Planes de Clase y Programas de Estudio 2006

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Revisen las páginas de la 17 a la 20 del documento titulado Programas de estudio 2006 y respondan en equipo las preguntas siguientes:

¿En qué partes de las consignas analizadas aquí, se promueve la competencia denominada,

a) planteamiento y resolución de problemas?

b) argumentación?

c) comunicación?

d) manejo de técnicas?

Revisen la página 9 del documento titulado Programas de estudio 2006 y realicen en equipo la tarea indicada en el inciso e y respondan la pregunta formulada en el inciso f.

e) Consensen y escriban en su equipo una valoración sobre los propósitos asignados al eje forma, espacio y medida, en el documento revisado.

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f) ¿Qué parte de las consignas discutidas aquí, contribuyen a lograr los propósitos establecidos para el eje forma, espacio y medida?

3. Analizando los planes de clase de los Apartados 4 y 5

Los planes de clase del Apartado 4

a) Plan de clase (1/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.4 Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Justificación de fórmulas

Conocimientos y habilidades: Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

¿De cualquier polígono?

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren la expresión general que relaciona el número de lados de un polígono convexo con el número de triángulos que contiene, al trazar las diagonales desde un mismo vértice.

Consigna 1: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades.

1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice.

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¿Qué figuras se forman al interior del polígono?___________________

¿Es clara la consigna 1?

¿Qué es un polígono convexo?

¿No deberíamos partir de una situación problemática? (véase, por ejemplo, el Fichero de Actividades Didácticas, pp. 76-77, reproducida parcialmente en la página 104)

¿Y si el polígono no es convexo? (Véase, por ejemplo, un fragmento de lección propuesta por Filloy, E., et. al, citado en la página 142)

¿La tarea se realizará con lápiz y papel o con software?

Si se propone el uso de software, ¿qué software usarías?

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Tomado del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, (1999), SEP, pp. 76

|Tomado de: Filloy, E., et al. (2009). Matemáticas 2°, Lección 48, Mc Graw Hill

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2. Completen la siguiente tabla.

Polígono Número de lados

Cuántos triángulos hay

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono


¿Deberá incluirse el triángulo en la tabla?

¿Qué respuesta se espera en el último renglón de la tabla? (Véase, por ejemplo, un fragmento de lección propuesta por Filloy, E., et al, citado más abajo)

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Tomado de: Filloy, E., et al. (2009). Matemáticas 2°, Lección 48, Mc Graw Hill, pp. 168

Consideraciones previas: Es probable que algunos alumnos tracen triángulos al realizar la primera actividad, así que se procurará que reflexionen acerca del concepto de diagonal, para darse cuenta que en el triángulo no se pueden trazar diagonales. También es importante señalar que los polígonos no sean forzosamente regulares, pues la regla de los triángulos que se forman al interior de la figura se cumple para los polígonos regulares e irregulares. Se espera que con el llenado de la tabla los alumnos descubran la regularidad de que el número de triángulos que se forman dentro del polígono es igual al número de lados menos dos y que la puedan expresar algebraicamente. Es probable que haya necesidad de aclarar conceptos tales como polígono convexo, diagonal, ángulo.

¿Y si los alumnos no descubren el patrón?

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¿Y si descubren el patrón y no lo pueden escribir?

b) Plan de clase (2/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.4, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Justificación de fórmulas


Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan y justifiquen la fórmula para obtener la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.

¿Y qué justificación sería aceptable?

Consigna 1: La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le agregó una columna. Organizados en equipos, anoten los datos que faltan.

Polígono Número de lados Cuántos triángulos haySuma de los ángulos internos del polígono

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

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decágono


¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono? _______________________

¿Y cómo están relacionados los ángulos internos del polígono con los ángulos internos de los triángulos?

¿Se espera que la respuesta del estudiante sea algebraica? Justifica tu respuesta.

Consideraciones previas:Es probable que haya necesidad de aclarar cuáles son los ángulos internos de los polígonos para completar la tabla. Se espera que los alumnos puedan descubrir que la suma de los ángulos internos del polígono equivale a la suma de los ángulos internos de los triángulos que se forman, de manera que, en un polígono de n lados, se forman n-2 triángulos y la suma de los ángulos internos es n-2 por 180 grados, es decir, 180 (n-2). Si es necesario, hay que apoyar a los alumnos a través de preguntas para que lleguen a esta expresión, por ejemplo, ¿cuál es la relación entre el número de lados del polígono y el número de triángulos que se forman? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo? Se sugiere plantear como actividad complementaria “La suma de los ángulos interiores de un triangulo”, en EMAT, México, Sep, 2000, pp. 46, 47.

¿Y por qué no se establece por parte del profesor, como parte final de la actividad, que la suma es 180(n-2)? (Véase, por ejemplo, un fragmento de lección propuesta por Filloy, E., et al, pp. 168, reproducido en la página 109)

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En caso de que decidieras proponer a tus estudiantes la actividad complementaria sugerida: ¿en qué momento, de qué sesión, la introducirías?, ¿con qué software se haría esta actividad? (véase el fragmento de lección propuesta por Zubieta, G., et al pp. 46-47, en la página 110)


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Tomado de. Zubieta, G., et al, (2000) Geometría Dinámica, SEP, pp. 46-47

c) Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.4, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Justificación de fórmulas


Intenciones didácticas: Apliquen la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.

Consigna 1: Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas.

1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________¿Por qué?_____________________________________________________

2.Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?______ ¿Cómo se llama?______________

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3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se trata?_______________ ¿Por qué?__

. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono. ¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco?__________________________

Consideraciones previas: Es necesario que se dé tiempo suficiente para que los alumnos resuelvan cada problema y para la puesta en común de cada uno de ellos, con el fin de que los estudiantes comuniquen los diferentes procedimientos y resultados obtenidos, así como los argumentos que respalden sus procedimientos. Se puede cambiar de forma de kiosco; pentágono, hexágono, heptágono.

Si las tareas consisten principalmente en aplicar una fórmula, ¿qué procedimientos podrá describir un estudiante?, ¿qué argumentos podrá aportar?

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Los Planes de Clase del Apartado 5

d) Plan de clase (1/3)

Curso: Matemáticas 2 Apartado: 3.5, Eje temático: FEyM Tema: Formas geométricas, Subtema: Figuras planas

Conocimientos y habilidades: Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

¿Qué razones pueden dar para promover que los alumnos conozcan las características de los polígonos que permiten cubrir el plano?

¿Para qué proponer a los alumnos que realicen recubrimientos del plano?

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.Consigna 1: Organizados en equipos, determinen si las figuras que tienen les permiten cubrir el plano sin dejar huecos, para cada caso se deben utilizar exclusivamente figuras de una sola forma. Busquen una superficie plana (el piso o una mesa) para que puedan probar. Después contesten las siguientes preguntas:

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano?

¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano?

¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué creen que se deba?

¿Qué opinan de la redacción de esta consigna?

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Consideraciones previas: Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que tracen y recorten los polígonos que van a utilizar (cuadrados, triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos y octágonos regulares). Pedir dos formas diferentes por equipo, 20 figuras congruentes de cada forma.

También se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imágenes de mosaicos con diversas figuras geométricas para mostrar a sus compañeros al inicio de la sesión. Además se harán comentarios acerca de lugares donde hayan observado recubrimientos de diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zócalos, etc.

Se pueden utilizar además polígonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc. Es importante que después de la primera consigna todos los alumnos lleguen a la conclusión de que solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados, hexágonos regulares y triángulos equiláteros, debido a que la medida de sus ángulos interiores es divisor de 360.Para complementar, se puede plantear la actividad 1 de la pág. 76 del Fichero de Actividades Didácticas.

Comenten y describan una o más formas en que desarrollarían esta actividad con sus alumnos.

¿En qué momento y en qué términos pedirían a sus alumnos que trazaran y recortaran los polígonos?

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¿Cuál sería la intención de que mostraran a sus compañeros las imágenes de mosaicos que hubieran encontrado en revistas o libros?

Se plantea que es importante que todos los alumnos lleguen a la conclusión que se enuncia: ¿Qué harían para tratar de que eso sucediera y qué harían si no sucediera?

Si decidieran realizar la actividad complementaria recomendada, ¿con qué intención lo harían? (esta actividad está reproducida parcialmente en la página 108)

e) Plan de clase (2/3)



Especifiquen los conocimientos que esperan que “construyan los alumnos” al trabajar este apartado del plan de clase.

Determinen qué habilidades esperan que “desarrollen los alumnos” con este apartado del plan de clase.

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Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.

Consigna 1: Organizados en equipos, diseñen y recorten un modelo de polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que les permita cubrir el plano. El polígono irregular que diseñen puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez que diseñen el modelo, tracen y recorten varias figuras iguales para que puedan mostrar que se puede cubrir el plano. Enseguida contesten la siguiente pregunta: ¿Qué características tiene el polígono que diseñaron para cubrir el plano?

Lean y analicen esta consigna y comenten cómo está relacionada con la intención didáctica declarada en este plan de clase.



¿Cuáles serían las habilidades que se espera desarrollen los alumnos?

Consideraciones previas:Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que cuente con los materiales requeridos en el momento de la clase (cartoncillo o cartulina, tijeras, etc.). Mientras que los alumnos hacen sus trazos conviene insistir en que se trata de polígonos irregulares (no tienen todos sus lados y ángulos iguales) y durante la confrontación es importante plantear las siguientes preguntas: ¿Cómo se pasa de una pieza a una pieza contigua a través de uno de los lados? ¿Por qué un

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cuadrilátero cualquiera (convexo) siempre permite cubrir el plano? Se espera que los alumnos se den cuenta de la propiedad de la rotación y de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero.

Lean, analicen y comenten las recomendaciones y sugerencias que se hacen en este apartado. En particular contesten las siguientes preguntas:

¿En qué momento y con qué intención se debieran formular las preguntas recomendadas?

¿Creen que sea de esperarse que los alumnos se den cuenta de la propiedad de la rotación y de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero?

¿Qué harían en caso de que no se den cuenta?

f) Plan de clase (3/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.

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Consigna 1: En binas, utilizando polígonos regulares e irregulares cubran un plano, y contesten las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo son los polígonos que utilizaron?2. ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano?3. ¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras?4. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice?

Lean y analicen esta consigna y comenten cómo está relacionada con la intención didáctica declarada en el apartado anterior



¿Cuáles serían las habilidades que se espera desarrollen los alumnos?

Consideraciones previas: Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por Escher, o bien, que el profesor presente algunos de sus trabajos (al final de este plan de clase se presentan imágenes de algunos teselados elaborados por Escher, se pueden agrandar para que las imágenes sean más claras para los alumnos).Es conveniente auxiliarse de la ficha “Geometría y azulejos” que se encuentra en las páginas 76 y 77 del Fichero de Actividades Didácticas y del tema “Recubrimiento del plano por polígonos regulares” del Libro del Maestro, páginas 284 y 285.

De aceptar la sugerencia, ¿qué pedirían a los alumnos que investigaran acerca de los teselados de Escher? O si decidieran presentar algunos de sus trabajos, ¿con qué propósito lo harían?

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¿Qué uso le darían a las actividades recomendadas del Fichero de Actividades Didácticas y del Libro del Maestro?

4. Planteando algunas situaciones problemáticas

Estos planes de clase podrían requerir de otras situaciones problemáticas. Como ya se planteó antes, una de ellas podría tomarse del Fichero de Actividades Didácticas (pp. 76). Algunas otras se plantearán aquí para que las resuelvan en equipo y analicen la pertinencia de incluirlas en estos planes de clase.

a) En un pentágono regular se traza una de las diagonales, como se ve en la figura, luego se usa esta diagonal para cortar el pentágono en dos partes.

i) ¿Cuánto miden los ángulos internos de cada uno de los dos polígonos que resultaron del corte? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Qué conceptos matemáticos, contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

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iii) ¿Qué conceptos matemáticos, no contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

b) En un hexágono regular, se trazan dos de sus diagonales, como se ilustra en la figura. Si se recorta sobre las diagonales trazadas; con los dos triángulos recortados se pueden formar los cuadriláteros 1 y 2, como se muestra en la figura.

i)¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del cuadrilátero 1? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del cuadrilátero 2? Justifica tu respuesta.

iii) ¿Qué conceptos matemáticos, contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

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iv) ¿Qué conceptos matemáticos, no contemplados en el plan de clase, involucra la situación problemática planteada?

c) En un cuadrado, que tiene 10 cm por lado, se han trazado dos puntos sobre cada lado para dividirles en tres partes iguales. Luego se han aprovechado estos puntos para trazar las líneas punteadas que muestra la figura. Al recortar sobre las líneas punteadas y desechar los triángulos, nos quedaremos con un polígono.

i) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de este polígono? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Se trata de un polígono regular? Justifica tu respuesta.


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d) En un heptágono regular se han trazado las diagonales mostradas en la figura. Al recortar el heptágono sobre estas diagonales y unir los cuadriláteros recortados, se ha formado el Polígono 1.

i)¿Es regular el Polígono 1? Justifica tu respuesta.

ii) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del Polígono 1? Justifica tu respuesta.


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5. Otra versión de los planes de clase

Para finalizar esta actividad se tratará de reescribir un grupo de planes de clase, incorporando las experiencias obtenidas durante el desarrollo de la misma.

a) Selecciona uno de los apartados del Bloque 3, ya sea el apartado 4 o el 5, del segundo grado de matemáticas de secundaria.

b) Con base en los análisis y las discusiones desarrolladas a lo largo de la presente actividad, reelabora los planes de clase para el apartado seleccionado, tratando de incorporar la mayor cantidad de elementos abordados aquí.

Actividad 4

Tercer Grado: Bloque 3, Apartado 1

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1. Las Relaciones Funcionales en el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico, del Programa de Estudios de tercero de secundaria.

Esta Actividad se centrará en el análisis de materiales didácticos que corresponden al Bloque 3 de tercero de secundaria, particularmente aquellos que tratan el subtema de Relación Funcional que corresponde al tema Significado y Uso de las Literales del eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico.

En el Programa de Estudios de Matemáticas (p.9) para la educación secundaria se destaca: “En esta fase de su educación, por medio del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del álgebra con los tres usos de las literales, conceptualmente distintos: como número general, como incógnita y en relación funcional. Este énfasis en el uso del lenguaje algebraico supone cambios importantes para ellos en cuanto a la forma de generalizar propiedades aritméticas y geométricas. La insistencia en ver lo general en lo particular se concreta, por ejemplo, en la obtención de la expresión algebraica para calcular un término de una sucesión regida por un patrón; en la modelación y resolución de problemas por medio de ecuaciones con una o dos incógnitas; en el empleo de expresiones algebraicas que representan la relación entre dos variables, la cual, para este nivel, puede ser lineal (en la que la proporcionalidad es un caso particular), cuadrática o exponencial”.

a) ¿Cuál es la diferencia conceptual en el uso de las literales −como número general, como incógnita y en relación funcional (como variable)− al que se refiere este párrafo introductorio? Comenta con tus compañeros de equipo. Describe brevemente y ejemplifica.

b) Analiza las siguientes expresiones e identifica el uso que se le ha dado a las literales en cada una de ellas.

(Fórmula)

(Ecuación)

(Identidad)

(Función)

(Propiedad)

(Función)

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c) ¿Qué importancia tiene el estudio de las relaciones funcionales en la educación secundaria para darle significado al uso de las literales?

d) Revisa el Programa de Estudios y comenta con tus compañeros la ubicación del tópico Relación Funcional dentro de la estructura propuesta para el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico.

¿Cuál es el tema al que está asociado? ¿Por qué?

¿Cuáles son los conocimientos y habilidades esperados en los alumnos de tercer año de secundaria con relación a este subtema?

¿Cuáles son las orientaciones didácticas que se proponen? Describe brevemente los aspectos más relevantes en cada una de ellas.

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¿Existe correspondencia entre estos dos elementos del programa? Argumenta tu respuesta.

El tópico relación funcional vincula el Eje Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico con el Eje Manejo de la Información ¿Qué diferencia notas al abordar este tópico en cada uno de ellos? Ejemplifica.

2. Las situaciones propuestas en cada consigna de los planes de clase para el subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1.

a) Enseguida se presentan las consignas incluidas en los planes de clase oficiales publicados en la página de la SEP, que corresponden al subtema Relación Funcional para tercer año, Apartado 3.1. Con la finalidad de realizar un análisis detallado de las mismas, se iniciará con la resolución de las actividades propuestas siguiendo las indicaciones dadas en cada una de ellas.

Plan de clase (1/5)

Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PATema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional.

Consigna. Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación:

Se tiene un recipiente con agua a 20°C (temperatura ambiente). El agua se calienta, de tal manera que su temperatura aumenta 4°C por minuto. De acuerdo con esta información.

125


a) completen la siguiente tabla:

Tiempo (min) Temperatura (°C)

0 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

b) Si el calentamiento del agua continúa en la misma forma, ¿cuál será su temperatura a los 20 minutos? ______ ¿Después de cuántos minutos empezará a hervir el agua? ________ (Recuerden que el agua hierve a los 100°C)

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? _________

Plan de clase (2/5)

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Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400 litros. Al navegar, cada día consume 150 litros de combustible. Con base en la información que hay en la siguiente tabla, anoten los datos que faltan.

DIAS TRANSCURRIDOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LITROS DE COMBUSTIBLE EN

EL TANQUE

2400 2100 1200

a) ¿Cuánto combustible quedará después de 5 días?_________________ ¿Y después de 10 días?___________, ¿y después de 15 días?_____________

b) ¿Cuántos días deben transcurrir para que se agote el combustible? ____________________________________________________.

c) Escriban la expresión algebraica que relaciona la cantidad de combustible en el tanque, en función de los días transcurridos. __________________________.

Plan de clase (3/5)


Consigna. Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% por cada minuto que transcurre.

a) Representen la relación de los datos en una tabla.b) ¿En cuánto tiempo llega tener el agua una temperatura de 47.9°C)c) Escriban una expresión algebraica que modele el fenómeno.

Plan de clase (4/5)

Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PA

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Tema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional.

Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema: Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se registraron son los siguientes:

a) De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de caída Altura a la que se encuentra el automóvil

0 0 245

1 5 240

2 20

3 45

4 80

5

6

7

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del tiempo transcurrido (t)? ________ Justifiquen su respuesta.

Plan de clase (5/5)Curso: Matemáticas 3 Apartado: 3.1 Eje: SN y PATema: Significado y uso de las literales. Subtema: Relación funcional.

128

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4

Distancia de caída (m) 0 5 20 45 80


Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación

a) .Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas. ________________________

b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1.5 2.5 3.5 4.5

Área de la imagen (m2)

c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera que el área de la imagen sea de 24.01 m2.

d = ______________

b) Comenten grupalmente si hubo dificultades o conflictos en los procesos de solución de las situaciones planteadas.

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Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1 2 3

Área de la imagen en m2

4 16 361 m2 m

3 m


3. Análisis de los elementos que conforman los planes de clase para el subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1.

a) En la siguiente tabla se concentran algunos elementos de los planes de clase que se están analizando en esta actividad y que no aparecieron en los recuadros del punto anterior.

ELEMENTOS P C DESCRIPCIÓN

Conocimientos y habilidades

1/5

Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

2/5

3/5

4/5

5/5

Intenciones didácticas

1/5 Que los alumnos formulen una regla de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades que varían linealmente.

2/5 Que los alumnos relacionen dos conjuntos de cantidades que varían linealmente y expresen algebraicamente dicha relación.

3/5 Que los alumnos usen la recursividad al relacionar dos conjuntos de cantidades y expresen algebraicamente dicha relación.

4/5 Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación no lineal y encuentren la expresión que modela dicha relación.

5/5 Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación no lineal y encuentren la expresión que modela dicha relación.

Considera-ciones previas

1/5 La intención de esta actividad es que los alumnos entren en el tema que se va a estudiar. Se espera que la mayoría de los alumnos resuelva el problema sin muchas complicaciones, si así sucede, sólo habrá que centrar la atención en que la expresión algebraica esté bien formulada y

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en analizar expresiones equivalentes en caso de que surjan. Es importante dejar claro que, de acuerdo con la fórmula obtenida, la temperatura del agua, en un tiempo dado, es igual a cuatro veces el tiempo más 20. También vale la pena bosquejar la gráfica correspondiente.

2/5

Este problema no es muy distinto del que los alumnos resolvieron en la sesión anterior, puesto que también se trata de una relación lineal. Se espera que sin mucha dificultad puedan establecer que la expresión algebraica que modela esta situación es: ct = 2400 – 150t o una expresión equivalente. Dicha en palabras, esta expresión es: combustible en el tanque igual a 2400 menos 150 multiplicado por la cantidad de minutos transcurridos.

3/5

Este problema presenta una dificultad mayor que el de la sesión anterior, en primer lugar porque ya no se trata de una relación lineal sino exponencial. Al contestar las preguntas que se plantean los alumnos deben echar mano del cálculo de porcentajes y de lo que suele llamarse cálculo recursivo, que no es más que calcular un resultado a partir de un resultado anterior. En este caso, lo más probable es que calculen el 5% de 80 que es 4, por tanto la temperatura después de transcurrir un minuto será 80-4=76 grados, posteriormente hay que repetir el proceso a partir de los 76 grados para calcular la temperatura después de dos minutos y así sucesivamente.

El proceso anterior se simplifica al multiplicar la temperatura inicial (80°) por 0.95 a la x potencia, en el entendido de que 0.95 es el complemento a 100 de 0.05 (5%) y el exponente x representa los minutos transcurridos. De manera que la expresión algebraica podría escribirse así: T=80(0.95)x.

Es poco probable que los alumnos encuentren la fórmula por sí solos, pero sí pueden resolver los dos primeros incisos con ayuda de una calculadora.

Si ningún equipo encuentra la fórmula el maestro la propone y sugiere que la usen para verificar que se obtienen los mismos resultados que se obtuvieron sin ella. Después de esto se pueden calcular las temperaturas que corresponden a diferentes cantidades de minutos.

4/5

La finalidad de la pregunta del inciso b es que los alumnos, por sí solos, encuentren la relación que hay entre las dos primeras columnas de la tabla, siendo conscientes de que no es fácil encontrar dicha relación. En todo caso, el inciso c permitirá a los alumnos probar las fórmulas que se proponen y encontrar la que permite relacionar el tiempo con la distancia

de caída. Una vez encontrada la fórmula, , es necesario que los alumnos prueben que funciona en todos los casos y después explicarles que en dicha fórmula hay una constante (5) que tiene que ver con la fuerza de gravedad.

5/5 Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relación entre las variables que intervienen en este problema, puesto

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que es muy similar a la que se encontró en la sesión anterior. Para gestionar la actividad adecuadamente, es necesario que primero se encuentre la expresión algebraica, con base en la información de la primera tabla, y después se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla.

En el inciso d se trata de ver cómo los alumnos manejan la fórmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el área. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente.

b) ¿Cómo se relacionan las intenciones didácticas planteadas en cada uno de los planes de clase con los conocimientos y habilidades expresados tanto en los planes de clase como en el Programa? Comenta con los miembros de tu equipo, selecciona una de ellas y escribe tus conclusiones sobre ésta.

c) ¿Cómo se relacionan las consignas establecidas en cada uno de los planes de clase con las orientaciones didácticas expresadas en el Programa? Comenta con los miembros de tu equipo, selecciona una de ellas y escribe tus conclusiones sobre ésta.

d) Particularmente, ¿cómo se relacionan las situaciones planteadas en las consignas de cada uno de los planes de clase con las situaciones correspondientes planteadas en las orientaciones didácticas del programa? Comenta con los miembros de tu equipo, selecciona una de ellas y escribe tus conclusiones sobre ésta.

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e) Analiza las consideraciones previas expresadas en la tabla anterior, para un plan de clase de tu elección, y su relación con los demás elementos del mismo. Escribe tus observaciones así como las recomendaciones que consideres pertinentes.

f) En el texto de 3° Matemáticas, de Filloy, E., et.al.(2009), se presentan las siguientes situaciones para abordar el Apartado 3.1.

En el laboratorio de Física y con ayuda de un plano inclinado, los alumnos realizan observaciones de algunos cuerpos en movimiento. Para uno de ellos encontraron que podían calcular la velocidad de los cuerpos con “el triple del cuadrado del tiempo transcurrido”. Llegaron a esta conclusión después que elaboraron una tabla de variación de tiempo y de velocidad.

Después de esta redacción, los autores solicitan que se llene una tabla similar a la siguiente:

Tiempo (seg)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Velocidad(cm/seg)

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Posteriormente, se hace una pregunta sobre los valores presentados en la tabla y otra donde se solicita un valor que no se encuentra en la tabla. Finalmente, se les pide que escriban la fórmula algebraica que representa la velocidad de este móvil en función del tiempo.

En una segunda situación, plantea algo similar, proponiendo una fórmula empírica expresada algebraicamente, para estimar la velocidad del sonido cuando no hay

humedad: donde es la temperatura en grados Celsius o

centígrados. Se hacen preguntas sobre valores de c para valores específicos de la temperatura y se hace una pregunta para interpretar la velocidad. Finalmente, se le pide al alumno que construya una tabla a partir de la expresión dada.

i) ¿Cómo se relacionan las situaciones referidas del texto de Filloy, con las orientaciones didácticas expresadas en el Programa? Comenta con los miembros de tu equipo y escribe tus conclusiones.

ii) Comenta con tus compañeros de equipo qué diferencias significativas pueden identificar entre las situaciones referidas de este texto con respecto a las situaciones planteadas en los planes de clase. Escribe las conclusiones del equipo.

4. El tratamiento del subtema Relación Funcional de tercer año, Apartado 3.1 en nuestro libro de texto.

a) Como se menciona en el subtítulo, ahora se trata de que los análisis hechos en las actividades de este módulo te sirvan como un referente para analizar este subtema de la Relación Funcional de tercer año, apartado 3.1 en el libro de texto que utilizas. Inicialmente responde a cuestiones como las siguientes:

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i) ¿Cómo se relacionan las situaciones establecidas en el texto con las intenciones didácticas declaradas en los planes de clase?

ii) ¿Cómo se relacionan las situaciones establecidas en el texto con las orientaciones didácticas expresadas en el Programa, así como con los conocimientos y habilidades que se proponen desarrollar?

iii) Particularmente, ¿cómo se relacionan las situaciones planteadas en el texto con las situaciones correspondientes planteadas en las orientaciones didácticas del Programa, así como con las que se encuentran en los planes de clase?

iv) Expresa tus observaciones en términos de los contextos utilizados, de la redacción, de la precisión en los conceptos, de la claridad en las indicaciones, de los conocimientos previos necesarios, la secuencia de los cuestionamientos, lo apropiado de las ilustraciones, entre otros.

v) ¿Existe algún tipo de actividad en el texto que sugiera el uso de tecnología? ¿de una consulta bibliográfica? ¿de llevar a cabo algún experimento?

b) Organiza tu análisis en el formato que consideres adecuado para su entrega en archivo Word a la dirección electrónica que te indique el instructor.

5. Cierre

Para cerrar el presente módulo, deberá elaborar de forma individual un plan de clase por cada grado escolar de secundaria, con una consigna que puede extraer o adaptar de alguna lección de un libro de texto del catálogo oficial, con la recomendación de que sea diferente a las discutidas en el módulo, de preferencia del libro de texto que utilizas en tu curso.

Los planes de clase que elabores deberán contener los elementos que incluye la estructura que se propone en los planes de clase oficiales:

Identificación Conocimientos y habilidades Intenciones didácticas Consignas

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Consideraciones previas

Este plan de clase deberá enviarse en archivo electrónico al instructor del módulo de acuerdo a las especificaciones siguientes:

Presentar una portada sobria: solamente contendrá el Título del plan de clase centrado en la parte media superior de la página, y en un recuadro en la parte inferior derecha, los siguientes datos:

Nombre del Diplomado Nombre del Módulo Nombre del Participante Nombre del Instructor Nombre de la Escuela de adscripción laboral- Tipo Grado(s) de secundaria en la que imparte o supervisa cursos de matemáticas Localidad – Municipio

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ANEXO: Programa de Matemáticas Secundaria (pág. 9)

En esta fase de su educación, por medio del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del álgebra con los tres usos de las literales, conceptualmente distintos: como número general, como incógnita y en relación funcional. Este énfasis en el uso del lenguaje algebraico supone cambios importantes para ellos en cuanto a la forma de generalizar propiedades aritméticas y geométricas.

La insistencia en ver lo general en lo particular se concreta, por ejemplo, en la obtención de la expresión algebraica para calcular un término de una sucesión regida por un patrón; en la modelación y resolución de problemas por medio de ecuaciones con una o dos incógnitas; en el empleo de expresiones algebraicas que representan la relación entre dos variables, la cual, para este nivel, puede ser lineal (en la que la proporcionalidad es un caso particular), cuadrática o exponencial.

En cuanto al eje Manejo de la información se resuelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de diversas fuentes. Este trabajo se apoya fuertemente en nociones matemáticas tales como porcentaje, probabilidad, función y en general en el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales.

El eje Forma, espacio y medida favorece de modo especial el desarrollo de la competencia de argumentación. Por ejemplo, para construir, reproducir o copiar una figura, hay que argumentar las razones por las que un trazo en particular es válido o no, tomando como base las propiedades de dicha figura. Lo mismo ocurre si se trata de determinar si dos triángulos son congruentes o semejantes.

Finalmente, la comprensión de los diversos conceptos matemáticos deberá sustentarse en actividades que pongan en juego la intuición, pero a la vez favorezcan el uso de herramientas matemáticas para ampliar, reformular o rechazar las ideas previas. Así, por ejemplo, en el caso de la probabilidad los alumnos anticipan resultados, realizan actividades de simulación y exploración de fenómenos aleatorios y expresan propiedades, como la independencia, la equiprobabilidad, la complementariedad, etc. De este modo se intenta propiciar el desarrollo del pensamiento probabilístico.

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ANEXO: Bloque 1 (Pág. 25)

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.

2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.

3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.

4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan.

5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.

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ANEXO: Página 32

Eje Manejo de la información

Tema Representación de la información

Subtema DIAGRAMAS Y TABLAS

Conocimientos y habilidades

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

Orientaciones didácticas

Los alumnos han utilizado tablas y diagramas de árbol en la primaria para resolver problemas de conteo. En este grado se trata de sistematizar estos recursos y encontrar regularidades que permitan acortar caminos para encontrar soluciones. La dificultad de estos problemas tiene que ver, entre otras variables, con la cantidad y el tipo de elementos que se van a combinar. Algunos ejemplos sencillos son::

• Andrea, Bety, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las cuatro amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.

Conviene plantear variantes de este problema para que los alumnos identifiquen regularidades en os procedimientos de solución y logren hacer generalizaciones. Una variante podría ser: Si Caro es la amiga que llegó primero, determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado las otras tres.

• En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar? Una variante de este ejemplo es: ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si la primera ficha que se extrae no se regresa a la caja?

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ANEXO: Material para el análisis: Filloy, E., et al. (2009). Matemáticas 1°, Lección 20, Mc Graw Hill, pp. 168

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· Web viewEn la Actividad 1 se pretende que los profesores participantes compartan con sus compañeros de grupo el uso que hacen de los planes de clase y del resto de los materiales