UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS

Departamento de Matemática Aplicada II

Métodos de asignación de los costes de limpieza

de un río y del reparto de agua

Carlos Albert García

PROYECTO FINAL DE CARRERA

Tutora: Dra. Encarnación Algaba Durán

Sevilla, Diciembre 2012

Índice

Sumario............................................................................................................................vi

Capítulo 1..........................................................................................................................2Teoría de Juegos Cooperativos..........................................................................................2

1.1 Introducción.............................................................................................................21.2 Juegos Cooperativos................................................................................................31.3 Conceptos de solución de juegos cooperativos.....................................................12

1.3.1 El core............................................................................................................121.3.2 Valores en juegos cooperativos......................................................................17 1.3.2.1 El valor de Shapley...................................................................................20 1.3.2.2 El valor Shapley ponderado....................................................................23

1.4 Conceptos básicos sobre grafos.............................................................................24

Capítulo 2........................................................................................................................282.1 Introducción...........................................................................................................282.2 El modelo..............................................................................................................322.3 Caracterización de los métodos LRS, UES y DES.................................................37

2.3.1 Caracterización del método LRS....................................................................372.3.2 Caracterización del método UES....................................................................402.3.3 Caracterización del método DES....................................................................47

2.4 Problemas con estructura tipo línea.......................................................................542.4.1 Introducción....................................................................................................552.4.2 El modelo.......................................................................................................562.4.3 Caracterización del método LRS....................................................................582.4.4 Caracterización del método UES....................................................................602.4.5 Observación sobre el método DES.................................................................65

2.5 Comentarios...........................................................................................................652.5.1 Reconsideraciones a los métodos LRS y UES................................................652.5.2 Axiomatización sin aditividad........................................................................65

Capítulo 3........................................................................................................................683.1 Introducción...........................................................................................................683.2 El modelo..............................................................................................................713.3 Caracterización......................................................................................................723.4 Otros resultados.....................................................................................................76

Capítulo 4........................................................................................................................804.1 Introducción...........................................................................................................804.2 Israel: Río y Puerto Kishon, mar mediterráneo.....................................................81

4.2.1 Objetivo de la Aplicación...............................................................................854.2.2 Modelado del problema..................................................................................864.2.3 Resolución analítica.......................................................................................87 4.2.3.1 Resolución usando el método LRS..........................................................88 4.2.3.2 Resolución usando el método UES..........................................................89 4.2.3.3 Resolución usando el método DES..........................................................92 4.2.3.4 Resolución a través de la utilización de un sistema de pesos...................94 4.2.3.5 Resolución usando el ratio de biodegradabilidad. Sistema de pesos.......994.2.4 Comentarios de las soluciones obtenidas.....................................................1044.2.5 Alcance del proyecto....................................................................................107

4.3 Restauración del entorno ecológico del lago Bai Yang Dian..............................1134.3.1 Una breve reseña..........................................................................................1134.3.2 Soluciones analíticas....................................................................................1164.3.3 Comentarios..................................................................................................121

Capítulo 5......................................................................................................................1245.1 Introducción.........................................................................................................1245.2 El problema de reparto de agua en un río............................................................1275.3 Caracterización de las reglas de reparto secuencial............................................1295.4 Propiedades.........................................................................................................1335.5 Aplicación...........................................................................................................135

5.5.1 Presentación del problema............................................................................1355.5.2 Métodos de reparto secuencial: resolución analítica....................................136 5.5.2.1 Método de reparto proporcional (PRO)..................................................136 5.5.2.2 Método de reparto de beneficios equitativos (CEA)..............................138 5.5.2.3 Método de reparto de pérdidas equitativas (CEL)..................................139 5.5.2.4 Método de reparto de la regla del Talmud (TAL)...................................1415.5.3 Análisis de sensibilidad................................................................................143 5.5.3.1 Análisis de sensibilidad: Demanda incrementada..................................144 5.5.3.2 Análisis de sensibilidad: Dotación incrementada...................................1475.5.4 Comparación de los métodos secuenciales con sus alternativas..................150

5.5.4.1 Comparación con los problemas de reparto de Ambec y Sprumont .....150 5.5.4.2 Comparación con los problemas de bancarrota sin dotación.................1515.5.5 Análisis de resultados, discusión y conclusiones.........................................152

5.6 Estado del arte: Líneas actuales de negociación.................................................1545.6.1 Introducción..................................................................................................1545.6.2 Problemas de ríos con funciones de beneficio cóncavas..............................1565.6.3 Soluciones analíticas....................................................................................163 5.6.3.1 La solución incremental aguas abajo......................................................163 5.6.3.2 La solución incremental aguas arriba.....................................................164 5.6.3.3 La solución aguas abajo.........................................................................166 5.6.3.4 La solución aguas arriba.........................................................................1685.6.4 Comparaciones y conclusiones de las cuatro soluciones.............................172

Referencias....................................................................................................................176

Sumario

Este proyecto final de carrera es un documento basado en la conocida teoría de

juegos cooperativos y ha sido titulado “Métodos de asignación de los costes de

limpieza de un río y del reparto de agua”. Ha sido realizado bajo la dirección de Dª.

Encarnación Algaba Durán, en el Departamento de Matemática Aplicada II de la

Universidad de Sevilla.

Como es bien sabido, la teoría de juegos cooperativos es muy extensa y su

campo de aplicación encierra gran variedad de ejemplos. En este proyecto nos vamos a

centrar especialmente en dos aplicaciones. La primera va a consistir en el reparto de los

costes de limpieza de los contaminantes de un río, entre una serie de agentes que están

instalados en el curso de la red fluvial y que contribuyen a la contaminación del

afluente. No nos centraremos en las distintas formas de eliminar los residuos frente a un

tipo de contaminación u otra. Vamos a focalizar en el reparto del coste total que

conlleva la operación de limpieza de contaminantes, entre el conjunto de agentes

involucrados, para una serie de casos y siguiendo métodos diferentes. Resolveremos

este problema para estructuras típicas de un río cualquiera, la estructura tipo árbol y

particularizaremos, por su especial interés, en la de tipo línea.

En el segundo bloque del proyecto nos centraremos en el reparto del agua de un

río entre una serie de poblaciones que están instaladas en su curso que demandan una

cierta cantidad de agua para cubrir las necesidades de la población, ya sean de tipo

doméstico, destinadas a regadío o a uso industrial. En particular, estudiaremos el caso

en el que la demanda total es superior al recurso procedente del río. Es en este caso,

cuando la teoría de juegos cooperativos juega un papel primordial, para establecer un

reparto del recurso de la forma más justa posible, con el objetivo de garantizar la mejor

calidad de vida para todos los habitantes.

A continuación, describimos los diferentes aspectos a tratar en cada uno de los

cinco capítulos del presente proyecto.

En el Capítulo 1 introducimos las bases de la teoría de juegos cooperativos con

diferentes ejemplos orientativos. Destacamos los conceptos de solución que vamos a

tratar y que son el core, el valor de Shapley y el valor de Shapley ponderado. Al final

del capítulo mencionamos algunos conceptos sobre la teoría de grafos que van a ser

útiles para la mejor comprensión de éstos cuando aparezcan más adelante.

El Capítulo 2 tiene una gran relevancia dentro del proyecto. Primero veremos

una reseña sobre la situación actual en las disputas de negociación entre agentes,

explicando de forma breve cuales son las principales doctrinas o teorías que se usan. En

esta parte, nos centraremos en el estudio teórico de tres métodos de reparto. El primero

denominado Local Responsability Sharing o método LRS. El segundo método es

conocido como Upstream Equal Sharing o método UES. Por último, describiremos el

método denominado Downstream Equal Sharing o método DES. En la primera parte del

capítulo desarrollaremos el modelo del problema planteado, así como la caracterización

axiomática de cada uno de los métodos para el tipo de estructura de un río conocido

como tipo árbol. En la segunda parte del capítulo analizaremos un caso particular de

interés, la estructura de río más simple, denominada estructura tipo línea. Al igual que

realizamos con la estructura tipo árbol, para la de tipo línea estableceremos el mismo

esquema, un modelo específico y la caracterización axiomática de cada uno de los

métodos mencionados anteriormente.

En el Capítulo 3 analizaremos teóricamente un nuevo método que se diferencia

de los métodos introducidos en el Capítulo 2. Primero describiremos un modelo

específico con la correspondiente axiomatización del método. A partir de un sistema de

pesos, la asignación del vector de costes es computada fácilmente. En la última parte del

capítulo, introducimos el concepto de ratio de biodegradabilidad.

El Capítulo 4 es un tema dedicado a aplicaciones prácticas. De hecho,

analizaremos dos ejemplos reales usando los métodos anteriores. La primera aplicación

va a consistir en realizar el reparto o asignación de los costes de limpieza de

contaminantes de un río fuertemente afectado en la actualidad: el río Kishon donde la

estructura de dicho afluente es de tipo línea. Así pues, en esta aplicación vamos a

establecer un modelo aproximado del río y aplicaremos los métodos LRS, UES, DES,

sistema de pesos y el concepto de ratio de biodegradabilidad computando finalmente la

asignación de costes. La segunda aplicación considerada es un ejemplo sobre un

proyecto a cargo del Asian Development Bank (ADB) en China, con estructura tipo

árbol. El objetivo del proyecto es restaurar el entorno ecológico de un lago muy

contaminado, el lago Bai Yang Dian en la provincia de Hebei, al norte de China. Para

esta aplicación utilizaremos nuevamente todos lo métodos estudiados hasta el momento.

Al final, dada la filosofía de nuestro problema, destacaremos los métodos LRS y sistema

de pesos como los más eficientes en el reparto de costes.

En el Capítulo 5 trataremos el reparto del agua entre una serie de agentes

situados a lo largo del cauce de un río, bajo el supuesto que la oferta de agua

proporcionada por el afluente sea inferior a la cantidad de recurso demandado por las

poblaciones destinado a cubrir todas sus necesidades. Para ello, usaremos las reglas de

reparto secuencial. Así, en este capítulo, primero estudiaremos los fundamentos teóricos

sobre las reglas de reparto secuencial y nos centraremos en cuatro métodos: método de

reparto proporcional (PRO), método de reparto de beneficios equitativos (CEA), método

de reparto de pérdidas equitativas (CEL) y método de reparto de la regla del Talmud

(TAL). Analizaremos cada uno de ellos, así como las ventajas e inconvenientes que

poseen unos frente a los otros ya que, como veremos, el método CEL favorece a los

agentes que más demandan, el método CEA a los que menos necesitan y el método TAL

se encuentra en una situación intermedia. Por su parte, el método PRO asigna un reparto

proporcional a cada agente. Todo esto quedará reflejado en una aplicación ejemplo.

Finalmente, se realiza una revisión sobre el estado del arte, es decir, las líneas más

recientes o actuales sobre la negociación entre agentes en el reparto del agua de un río.

Capítulo 1

Teoría de Juegos Cooperativos

1.1 Introducción

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas relativamente moderna que

estudia problemas de decisión en los que interaccionan varios decisores. Aunque la

teoría de juegos fue fundada por von Neumann (1928), algunos matemáticos como

Zermelo (1913) o Borel (1921) ya anticiparon las bases de esta disciplina.

Concretamente, el punto de partida para la Teoría de Juegos fue la publicación del

tratado Theory of Games and Economic Behavior (1944) por el propio von Neumann

junto con el economista Morgenstern.

Todo el trabajo posterior que se ha llevado a cabo en Teoría de Juegos está

fuertemente influenciado por esta obra, en la que se definen las bases de lo que hoy en

día es conocida como Teoría de Juegos clásica. Ya en los años cincuenta, Nash

profundiza en la Teoría de Juegos estableciendo algunos de los conceptos más

importantes para una gama más amplia de juegos, y en los años setenta, investigadores

como Selten y Harsanyi (1994) desarrollan los conceptos que permitirán la aplicación

con éxito de la Teoría de Juegos a la economía y otras disciplinas. En la actualidad, los

métodos de esta disciplina se aplican con éxito a un gran número de campos como la

economía, la biología, la sociología o las ciencias políticas. El gran impacto que la

Teoría de Juegos ha tenido sobre la Economía queda reflejado en el hecho de que se le

haya concedido el Premio Nobel de economía a tres de los matemáticos que fundaron

las bases de la Teoría de Juegos aplicada a la economía: Nash, Selten y Harsanyi.

La Teoría de Juegos distingue dos modelos de juegos en su planteamiento. En los

juegos no cooperativos o competitivos, cada jugador busca su máximo beneficio,

prohibiéndose expresamente cualquier tipo de acuerdos previos entre jugadores. Esta

rama de la Teoría de Juegos estudia las diferentes estrategias que pueden emplear cada

uno de los jugadores, y en los juegos de esta categoría existe una función de pagos

asociada a cada jugador, la cual depende de las diferentes estrategias que se empleen.

En los juegos cooperativos, los jugadores disponen de mecanismos que les permiten

tomar acuerdos vinculantes previos al juego. Esto es, los jugadores pueden cooperar

formando coaliciones de jugadores con el fin de obtener mayores beneficios. En un

juego cooperativo no es necesario analizar las estrategias de los jugadores, puesto que

éstos actuarán de la forma que consigan mayor beneficio. El problema central es el

reparto de beneficios entre los jugadores que forman la coalición. Dado que los

jugadores han cooperado entre sí para obtener el máximo beneficio, el reparto de ese

beneficio ha de darse entre todos los jugadores que formaron la coalición. El objetivo

principal de la Teoría de Juegos Cooperativos es analizar la importancia o influencia

que ha tenido cada jugador en la obtención de ese beneficio, para proponer un reparto de

beneficios adecuado.

1.2 Juegos Cooperativos

Como ya comentamos en el apartado anterior, los Juegos Cooperativos se

caracterizan por el hecho de que los jugadores pueden cooperar entre ellos para buscar

un beneficio común. Una cuestión importante en la Teoría de Juegos Cooperativos es

que en el momento en que varios jugadores deciden cooperar en algún sentido, debe

formarse una coalición entre estos jugadores. Los jugadores de esta coalición, en el

momento en que se forma, actuarán buscando el máximo beneficio posible para la

coalición. Una coalición puede estar formada por cualquier grupo de jugadores de

cualquier tamaño. El pago de esta coalición, esto es, los beneficios que la coalición

obtendrá del juego, será función de la coalición, y deberá ser repartido al finalizar el

juego entre los jugadores que forman la coalición. Este pago será representado por un

número. Cuando cualquier reparto del pago entre los jugadores es posible, hablamos de

un juego de Utilidad Transferible o abreviadamente juego UT.

Definición 1.1 Un juego cooperativo de utilidad transferible en forma coalicional o

en forma de función característica está formado por:

- Un conjunto finito de jugadores denotado por N= {1,2, …, n }.

- Una función característica v :2N → R que asocia a cada subconjunto S de N (o

coalición) un número real v ( S ) (valor de la coalición), siendo v (∅ )=0.

Por tanto, denotaremos a un juego cooperativo UT como ( N , v ) donde tanto N

como v deben estar especificados. Notar que la única restricción que imponemos a la

función característica es que a la coalición formada por el conjunto vacío de jugadores

le asignemos un pago nulo.

Ejemplo 1.1 Tres empresas de una localidad deciden acudir a los servicios de una

consultora energética para poder reducir sus gastos anuales sobre consumo de

electricidad. La empresa consultora ofrece un descuento adicional si acuden a ella al

menos tres empresas de tal forma que el coste de cada una de las posibilidades lo vamos

a representar en la siguiente tabla

COALICIÓN COSTE (miles de €)

{1} 10

{2} 10

{3} 10

{1,2} 20

{1,3} 20

{2,3} 20

{1,2,3} 24

Tabla 1.1

Esta situación puede modelarse mediante un juego cooperativo de utilidad

transferible ( N ,v ), donde N={1,2,3 } y la función característica v del juego viene

expresada por:

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=v ( {1,3 } )=v ( {2,3 } )=0 ,

v ( {1,2,3 })=6.

Comentemos algunos detalles de este ejemplo. Es un juego cooperativo porque los

distintos jugadores no compiten entre ellos, sino que están dispuestos a cooperar para

obtener un beneficio común. En realidad lo que buscan es que la consulta energética

salga lo más barata posible. Por otro lado, es importante entender que la función v no

representa el gasto, sino el beneficio que los jugadores obtienen, en este caso, el ahorro

que conseguirán compartiendo la consulta, respecto al coste que tendría cada una de

forma individual. Y por último, señalar también que en ningún momento la función

característica v define cómo han de repartirse esos beneficios. En este caso parece

lógico que el reparto razonable sería que cada uno pagase 8.000€, repartiendo los

beneficios entre los tres de manera equitativa, pero vamos a ver que no siempre es tan

sencillo con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2 Consideremos el mismo caso del ejemplo anterior. En este caso, vamos a

suponer que las empresas son muy distintas unas de otras y, además, los dueños de la

empresa 1 y la consultora energética mantienen una relación de amistad ofreciéndole

siempre un descuento adicional a dicha empresa. Así pues, los costes se reflejan en la

siguiente tabla

COALICIÓN COSTE (miles de €)

{1} 10

{2} 11

{3} 14

{1,2} 20

{1,3} 21.6

{2,3} 25

{1,2,3} 32

Tabla 1.2

Esta situación puede modelarse nuevamente mediante un juego cooperativo de

utilidad transferible ( N , v ), donde N={1,2,3 } y la función característica v del juego

viene expresada por

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=1 v ( {1,3 } )=2.4 v ( {2,3 })=0 ,

v ( {1,2,3 })=3.

Vemos que ahora el caso no es tan sencillo. Suponiendo que las tres empresas

cooperen y decidan asistir a la consultora de manera conjunta, ¿cuál sería el reparto de

beneficios óptimo? Si, como en el ejemplo anterior, repartimos los beneficios entre los

tres, cada uno obtendría un beneficio de 1000€ pero, ¿Por qué deberían cooperar 1 y 3

con 2 para llevarse un beneficio de 1000€, cuando si cooperan ellos solos se llevarían

2400€ a repartir entre los dos? En este caso, la empresa 2 debe acudir a la consultora de

forma independiente obteniendo un beneficio nulo. ¿Debe la empresa 2 ceder en el

reparto de beneficios para que las empresas 1 y 3 prefieran cooperar con él, para así

llevarse al menos algo de beneficio? Como queda claro en este ejemplo, no solo la

función característica v no fija un reparto de pagos entre los jugadores de una coalición,

sino que el mayor problema de este tipo de juegos es precisamente el reparto de pagos

entre los miembros de una coalición.

Normalmente, las propiedades que tenga la función característica v

correspondiente a un juego cooperativo ( N ,v ) son las que cualifican y dan nombre al

juego. Así, dependiendo de las propiedades de sus funciones características, tenemos

una gran variedad de juegos cooperativos.

Definición 1.2 Se dice que un juego ( N ,v ) es monótono si ∀ S ,T ⊆N , con S⊆T , se

verifica que

v ( S ) ≤ v (T ) .

Es decir, un juego cooperativo es monótono cuando al crecer el número de

jugadores que forman una coalición el beneficio o pago de esta coalición no disminuye.

No hay jugadores que resten beneficios, o que hagan a la coalición obtener menos

beneficio. En la mayoría de aplicaciones de la Teoría de Juegos se les exige a los juegos

ser monótonos.

Definición 1.3 Se dice que un juego ( N ,v ) es superaditivo si ∀S ,T ⊆N , con S ∩T=∅

, se verifica que

v ( S )+v (T ) ≤ v ( S∪T ) .

Es decir, si dos coaliciones disjuntas deciden unirse para formar una coalición

mayor, el beneficio de la nueva coalición será igual o superior que la suma de los

beneficios de las coaliciones originales.

Si la desigualdad de la definición anterior se da en sentido opuesto se dice que el

juego es subaditivo. Por tanto, un juego ( N ,v ) es subaditivo si ∀ S ,T ⊆N , con

S ∩T=∅ , se verifica que

v ( S )+v (T ) ≥ v ( S∪T ) .

Definición 1.4 Se dice que un juego ( N ,v ) es convexo si ∀S ,T ⊆N , se verifica que

v ( S )+v (T ) ≤ v ( S∪T )+v (S∩T ) .

De forma más intuitiva esta inecuación se expresa de la forma

v ( S∪T )≥ v (S )+v (T )−v ( S ∩T ) .

Si la desigualdad se da en sentido opuesto se dice que el juego es cóncavo. Es

decir, un juego es cóncavo si

v ( S∪T )≤ v (S )+v (T )−v ( S ∩T ) .

Definición 1.5 Se dice que un juego ( N ,v ) es 0-normalizado si se verifica que

v ( {i } )=0 ,∀ i∈ N .

Nótese que en los juegos 0-normalizados, los jugadores están obligados a cooperar entre

ellos, porque solos obtendrán un beneficio nulo.

Presentamos a continuación dos familias de juegos muy importantes dentro de los

juegos cooperativos UT, los juegos de unanimidad y los juegos de identidad. En

general, denotamos por Γ N al conjunto de todos los juegos cooperativos de utilidad

transferible sobre N ; es decir,

Γ N={( N ,v ): v :2N → R , v (∅ )=0 } .

En este conjunto Γ N se introducen las siguientes operaciones

+: Γ N × Γ N → Γ N , ( v ,w ) → v+w ,

•: R × Γ N → Γ N , (α ,v ) → α ⋅v .

Definidas para cualquier S⊆N por

( v+w ) (S )=v (S )+w (S )( v+w ) (S )=v (S )+w (S ) .

Con respecto a estas operaciones, la terna ( Γ N ,+, • ) constituye un espacio

vectorial (2N−1 )-dimensional. Una base de este espacio vectorial está formada por el

conjunto

{uT∈Γ N :T⊆N ,T ≠∅ }.

Siendo, para cadaS⊆N , uT ( S ) definido por

uT ( S )={ 1 , si T⊆ S ,0 , en otro caso .

Estos juegos uT se denominan juegos de unanimidad. Los juegos de

unanimidad no constituyen la única base del espacio vectorial Γ N, siendo otra base la

formada por los llamados juegos de identidad, denotados, para cada T⊆N , T ≠∅ , por

δT y definidos, para cada S⊆N , por

δT (S )={ 1, siT=S ,0 , enotrocaso .

Como hemos comentado, un juego de utilidad transferible o juego UT se

caracteriza porque cualquier reparto del beneficio total de la coalición entre los

jugadores que la forman está permitido. Por tanto, al analizar un juego cooperativo, un

objetivo podría ser conocer las estrategias que deben tomar los diferentes jugadores, y

conocer el beneficio que obtendría cada jugador si decidiese formar una coalición con

otros jugadores. Este objetivo es demasiado ambicioso para cualquier juego que

pretenda modelar un problema de la vida real. En los problemas que se suelen modelar

mediante la teoría de juegos, intervienen muchos factores en la toma de decisiones, es

decir, en las coaliciones que se forman y en cómo se reparten finalmente los beneficios.

Estas decisiones dependen de variables como la capacidad de negociación, la habilidad

de los jugadores, o las presiones de tipo social. Por tanto, es muy difícil modelar

exactamente cada relación, cada afinidad de cada jugador con el resto, para encontrar un

modelo completo de una negociación.

A la hora de buscar resultados posibles, debe hacerse un reparto del pago total

v ( N ) entre los jugadores. El pago a cada jugador puede representarse mediante una

función x que a cada jugador del conjunto N le asigne un número real que represente el

pago que obtendrá ese jugador en el juego. Esta función puede expresarse mediante el

vector de pagos x=( x1 , x2 , …,x N ) donde x i representa el pago al jugador i.

A la hora de usar los juegos cooperativos UT para modelar situaciones de la vida

real, existen una serie de restricciones lógicas para el vector de pagos:

Para que los jugadores acepten la distribución de beneficios propuesta por el

vector de pagos, tienen que recibir un pago superior al que recibirían si jugasen solos.

Este es el llamado principio de individualidad racional:

x i≥ v ( {i } ) ,∀ i=1,2 ,…,n .

Una coalición o conjunto de jugadores que pudiese obtener un pago cooperando,

también exigirá de un vector de pagos un beneficio mayor al que obtendría formando la

coalición. De manera análoga al principio de individualidad racional, tenemos la

condición de racionalidad de grupo o, también llamada, condición de optimalidad de

Pareto:

∑i∈ S

x i=x (S ) ≥ v ( S ) .

Suponiendo que todos los jugadores llegan a un acuerdo, formando la gran

coalición N , el beneficio total de esa gran coalición viene representado por v ( N ). Si al

finalizar el juego reciben el vector de pagosx=( x1 , x2 , …, x N ), este vector de pagos

satisface el principio de eficiencia cuando

∑i∈N

x i=v ( N ) .

Este principio impone que, si se forma la gran coalición N , el beneficio de la

misma será repartido en su totalidad por los miembros que la forman.

Los vectores x∈ RN que cumplen el principio de eficiencia son llamados vectores

de pagos eficientes o pre-imputaciones para el juego( N ,v ).

Podemos por tanto definir el conjunto de pre-imputaciones de un juego ( N ,v )

como el conjunto de vectores de distribución de pagos

PI ( N , v )= {( x1 , x2 ,…, xn )∈Rn : x ( N )=v ( N ) },

dondex (N )=∑i∈N

xi.

Como vemos, el conjunto de pre-imputaciones no es más que el conjunto de todos

los vectores de pagos que cumplen el principio de eficiencia. Si además de este

principio, imponemos que los vectores de pagos cumplan el principio de individualidad

racional, obtenemos el conjunto de imputaciones de un juego ( N ,v )

I ( N , v )={( x1 , x2 ,…,xn )∈PI ( N , v ) : x i≥ v ( {i } ) ,∀ i=1 , …, n}

¿ {(( x1 , x2 , …, xn )∈Rn : x ( N )=v ( N ) , ) x i≥ v ( {i } ) ,∀ i=1 , …, n}.

Se dice que el juego ( N ,v ) es esencial si se verifica que I ( N , v ) ≠∅ .

1.3 Conceptos de solución de juegos cooperativos

Introducidos ya algunos conceptos propios de los juegos cooperativos, podemos

preguntarnos ahora cuál de todos los posibles vectores de pagos será aceptado por todos

los jugadores. Existen dos tipos de conceptos de solución en juegos cooperativos. Los

conceptos de solución de tipo conjunto, que limitan un conjunto de posibles valores

exigiéndole algunas propiedades, y los conceptos de solución de tipo puntual, que eligen

entre todos los posibles vectores de pago uno solo. Presentaremos a continuación uno de

los conceptos más importantes dentro de la Teoría de Juegos, el core, que es un

concepto de solución de tipo conjunto. Posteriormente, estudiaremos dos de los

conceptos de solución de tipo puntual más interesantes y utilizados en Teoría de Juegos

Cooperativos: los valores de Shapley y de Shapley ponderado.

1.3.1 El core

Aunque en un juego UT todos los vectores de pago posibles podrían ser aceptados,

suelen imponerse a las posibles soluciones algunas restricciones razonables. Si le

exigimos al vector de pagos que cumpla el principio de eficiencia, el conjunto de

posibles soluciones se reduce al conjunto de pre-imputaciones. Atendiendo a esta idea,

en las soluciones de tipo conjunto se define una solución o concepto de solución sobre

una colección no vacía de juegos como una aplicación ψ que asocia a cada juego

cooperativo ( N , v ) de dicha colección un subconjunto ψ (v ) del conjunto de pre-

imputaciones.

Dentro de los diversos conceptos de solución en la Teoría de Juegos, uno de los

más importantes es el core. Sea ( N ,v ) un juego cooperativo, donde N= {1,2, …,n }, y v

la función característica que describe el juego. Como hemos dicho, se desea extraer un

subconjunto, del conjunto de pre-imputaciones, de vectores de pagos que los jugadores

estén dispuestos a aceptar. Si, además de exigirle que cumplan el principio de eficiencia,

requerimos a los vectores de pago que cumplan el principio de racionalidad individual,

hablamos de extraer un subconjunto de vectores del conjunto de imputaciones I .

Podemos extender el principio de racionalidad individual mediante el principio de

racionalidad coalicional, llegando entonces al concepto de core de un juego

cooperativo.

Definición 1.6 El core de un juego ( N , v )es el conjunto de vectores de pagos

C ( N , v )={( x1 , x2 , …,xn )∈Rn : x ( N )=v ( N ) , x (S ) ≥ v ( S ) , ∀S⊆N } .

El core, por tanto, es el conjunto de vectores de pagos que ofrece a cada coalición

que puede formarse sobre N un beneficio, al menos, igual que el que esta coalición

puede conseguir por sí misma. Por tanto, los elementos del core son aceptables para

todas las coalicionesS⊆N . Intuitivamente, vemos que esto es una solución para el

juego( N , v ). Un reparto de pagos que satisface a todos los jugadores y a todas las

posibles coaliciones. El core de un juego cooperativo satisface, además, interesantes

propiedades matemáticas. Aunque no profundizaremos en ellas, nombramos aquí las

propiedades del core de un juego( N ,v ).:

Sea ( N ,v ) un juego cooperativo. El conjunto C ( N , v ) es cerrado, acotado y

convexo.

Esta idea del core de un juego fue introducida por Gillies (1953), y pueden darse

ejemplos de juegos en los que el core es vacío. Por lo tanto, para esos juegos, no se

podría obtener un vector de pagos con el que todos los jugadores o posibles coaliciones

se viesen beneficiados. No obstante, hay clases de juegos cooperativos de utilidad

transferible para los que el core es no vacío. Dentro de estas clases, se destaca el

conjunto de juegos convexos.

Dado que el core nos da una solución para un juego cooperativo, y que existen

juegos con el core vacío, es un objetivo importante de la Teoría de Juegos Cooperativos

caracterizar los juegos cooperativos con el core no vacío. A este respecto, Shapley

(1967) introdujo el concepto de coaliciones equilibradas y de juego equilibrado.

Definición 1.7 Dado un juego( N ,v ), una colección ( S1 , S2, …, Sm ) de subconjuntos de N

, distintos y no vacíos, se dice que es equilibrada sobre N si existen números positivos

α 1 , α 2 ,…,α m (denominados pesos) tales que, para todo i∈N ,

∑{ j∈S }

α j=1 .

Si, para cualquier colección equilibrada sobre N , se verifica que

∑j=1

m

α j v ( S j ) ≤ v (N ) ,

entonces se dice que el juego ( N ,v ) es equilibrado.

Bondareva (1963) y Shapley (1967) demostraron que la clase de juegos

equilibrados coincide con la clase de juegos con core no vacío.

Un juego ( N ,v ) se dice totalmente equilibrado si los subjuegos ( S , v S ) son

equilibrados para toda S⊆N , S ≠∅ . Aquí, se entiende por subjuego inducido ( S , v S )

aquel cuya función característica viene determinada por

vS (T )=v (T ) ,∀T ⊆S .

Ejemplo 1.3 Tres empresas papeleras tienen que limpiar el río donde van a parar sus

vertidos. Si cooperan las tres juntas con una única empresa limpiadora, se ahorran

400.000€. Si cooperan las empresas 1 y 2 por separado se ahorran 100.000€, si

cooperan 1 y 3 se ahorran 200.000€ y, finalmente, si cooperan 2 y 3 se ahorran

300.000€ Si dos de los jugadores cooperan para realizar el trabajo, el que se queda fuera

no gana nada. Esta situación puede modelarse mediante un juego cooperativo, con la

siguiente función característica. Los resultados se van a expresar en miles de euros.

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=100 v ( {1,3 } )=200 v ( {2,3 } )=300 ,

v ( {1,2,3 })=400.

Finalmente las tres emperesas deciden cooperar juntos para ahorrarse 400.000€,

pero no se ponen de acuerdo en cómo repartir los beneficios. ¿Cómo deberían repartirse

los beneficios las tres empresas? Justificar la respuesta.

Se debe verificar que x1+ x2+x3=400.

El core, en general, no nos dará un reparto único válido, pero sí acotará los

posibles valores que se podrían tomar sin que ningún jugador se viese perjudicado por la

elección.

Pertenecen al core de este juego los puntos ( x1 , x2 , x3 ) que satisfagan las siguientes

restricciones:

x1+ x2+x3=400, (principio de eficiencia)

x1≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥0, (racionalidad individual)

x1+ x2 ≥ 0 , x2+x3≥ 0 , x3+x1≥ 0, (racionalidad coalicional)

Si representamos gráficamente esas restricciones

Figura 1.1

Como vemos, el core corresponde a los puntos que caen dentro de la región

rallada. En este caso, hablamos de un core no vacío y no puntual.

Si modificamos el ejemplo con la siguiente función característica

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ({3 } )=0

v ( {1,2 } )=200 v ( {1,3 } )=300 v ( {2,3 } )=300

v ( {1,2,3 })=400.

(0,0,400)(0,400,0)

(400,0,0)

1 3 200x x 1 2 100x x

2 3 300x x

El resultado es

Figura 1.2

Con lo cual el core incluye un sólo punto, que será la solución al problema.

Reformulando las condiciones queda:

x1+ x2+x3=400 ,

x1+ x3=300→ x2=100 ,

x1+ x2=200→ x3=200 ,

x2+ x3=300→ x1=100.

Y ese es precisamente el punto que forma el core. El vector de pagos sería

x=(100,100,200 ). Cualquier pago superior a un jugador implicaría que los otros dos se

reparten menos beneficio, e incumpliría el principio de racionalidad coalicional.

Si modificamos una última vez la función característica, podemos ver un ejemplo

de juegos con core vacío.

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=300 v ( {1,3 } )=300 v ( {2,3 } )=300 ,

v ( {1,2,3 })=400.

(0,0,400)(0,400,0)

(400,0,0)

1 3 300x x 1 2 200x x

2 3 300x x

Figura 1.3

A partir de la representación gráfica del problema vemos que el core no incluye

ningún punto. Es decir, no hay ningún posible reparto de beneficios que satisfaga a

todos los jugadores. Observando la función característica, era de esperar. Las

coaliciones formadas por dos jugadores cualesquiera obtienen un beneficio de 300.

Dada la simetría entre jugadores, lo más justo, de formarse la gran coalición N , sería

repartir los beneficios en partes iguales, dando un beneficio de 133.33 para cada uno. La

suma de dos jugadores sería 266.66, y no llegaría a los 300 de beneficio de la coalición

formada por dos jugadores. De manera que no hay reparto posible en la gran coalición

que cumpla el principio de racionalidad coalicional, resultando el core vacío.

Como vemos, el core nos limita el conjunto de vectores de pagos que podemos

elegir como solución a nuestro problema, de manera que todos los jugadores acepten el

pago obtenido, pero no nos da, en general, una solución única. El caso más corriente

será el de un core no vacío pero no puntual. Ya comentamos anteriormente que el core

era un concepto de solución de tipo conjunto. En nuestro estudio nos centraremos a

partir de ahora en conceptos de solución de tipo puntual, como los que veremos a

continuación.

1.3.2 Valores en juegos cooperativos

(0,0,400)(0,400,0)

(400,0,0)

1 3 300x x 1 2 300x x

2 3 300x x

El core es uno de los conceptos más importantes de Teoría de Juegos, porque

limita el conjunto de posibles soluciones a un conjunto de vectores de pago que

cumplen una serie de restricciones razonables. Sin embargo, en la práctica, muchas

veces nos interesa conocer una solución concreta, un punto que nos sirva como posible

reparto de pagos de una función característica v. Para abordar este problema se han

definido varias reglas de reparto que eligen un único reparto de pagos. Por ejemplo, el

nucleolus, que fue introducido por Schmeidler (1969), es una regla que toma una

solución incluida dentro del core, siempre que éste no sea vacío. Existen otras reglas de

reparto que son completamente independientes del core, tanto en su definición, como en

el hecho de que no siempre pertenecen al core. Dentro de estas reglas estudiaremos las

dos más utilizadas, el valor de Shapley y el valor de Shapley ponderado.

Para ello, definiremos las soluciones de tipo puntual y algunas propiedades que

pueden cumplir las distintas soluciones de un juego UT.

Definición 1.8 Una solución sobre Γ N es una aplicación

ϕ : Γ N → Rn ,

que a cada juego ( N ,v )∈Γ N le hace corresponder un vector de Rn, donde la componente

i-ésima del vector representa el pago que recibe el jugador i.

Algunas propiedades que puede cumplir una solución son:

Eficiencia.

Una solución ϕ : Γ N → Rn es eficiente si para todo juego ( N ,v )∈Γ N, se

tiene que

∑i=1

n

ϕi ( N , v )=v (N ).

Simetría. Se dice que dos jugadores i , j∈N son simétricos si

v ( S∪ {i } )=v ( S∪ { j } ),

para cualquier coalición S⊆N ¿{i , j¿ }.

Una solución ϕ : Γ N → Rn es simétrica si para todo juego ( N ,v )∈Γ N y para

todo par de jugadores i , j∈N , simétricos en( N ,v ), se tiene que

ϕ i ( N ,v )=ϕ j ( N ,v ).

Jugador nulo.

Se dice que i∈N es un jugador nulo si v ( S∪ {i } )=v ( S ), para cualquier

coaliciónS⊆N ¿{i¿}.

Una solución ϕ : Γ N → Rn satisface la propiedad de jugador nulo si para

todo juego ( N ,v )∈Γ N y para todo jugador nulo en ( N , v ) ,i∈N se tiene

que f i ( N , v )=0.

Aditividad. Una solución ϕ : Γ N → Rn es aditiva si para todo par de juegos

( N ,v )∈Γ N y ( N , w )∈Γ N , se tiene que

ϕ ( N , v+w )=ϕ ( N ,v )+ϕ (N , w ) .

Positividad. Si para cualquier juego monótono ( N , v )∈Γ0 se tiene que

ϕ ( N , v )≥ 0.

Una coalición S se dice una coalición de socios en el juego( N ,v )∈Γ0 si

v ( R∪T )=v ( R ) , para todo T⊂S ,T ≠ S y R⊂N ¿ .

Compañerismo. Si dada una coalición de socios S en ( N ,v )∈Γ0, entonces

para todo i∈S,

ϕi ( N ,v )=ϕi(S ,(∑j∈ Sϕ j ( N , v ) uS)).

Una coalición de socios S se comporta como si fuera un único jugador

de tal forma que cualquier coalición no aumenta su utilidad si se une a

una sub coalición propia de S. El axioma de compañerismo lo que nos

indica es que la utilidad total que consiguen en el juego ( N , v ) los miembros de

cada coalición de socios, P , j∈S , (N , v ) , se la reparten los jugadores de S del

mismo modo que si jugasen el juego de unanimidad uS entre ellos solos.

Una coalición de socios S se comporta como si fuera un único jugador, de tal

forma que cualquier coalición no aumenta su utilidad si se une a una sub-coalición

propia de S. El axioma de compañerismo nos indica que la utilidad total que consiguen

en el juego ( N , v ) los miembros de cada coalición de socios, ∑j∈ S

ϕ j ( N ,v ), se la reparten

los jugadores de S del mismo modo que si jugasen el juego de unanimidad uS , entre

ellos solos.

Una vez definidas estas propiedades, ya podemos presentar el valor de Shapley y

el de Shapley ponderado, mediante sus caracterizaciones axiomáticas.

1.3.2.1 El valor de Shapley

El valor de Shapley es el concepto de solución más utilizado dentro de los juegos

cooperativos de utilidad transferible. Shapley analizó los juegos cooperativos intentando

contestar a la siguiente cuestión: dada la función característica de un juego, ¿cuál es el

pago esperado para un jugador determinado? En este concepto de solución, se trata de

buscar un reparto de pagos único que cumpla una serie de propiedades o axiomas

previamente establecidos. Shapley (1953) partió de cuatro axiomas o suposiciones que,

según él, debería cumplir el reparto de pagos óptimo, y demostró que sólo una

asignación de pagos cumplía todos los axiomas, siendo esta asignación el valor de

Shapley. Es importante destacar que el valor de Shapley es un concepto de solución

independiente del core, y al no exigirle que cumpla el principio de racionalidad

coalicional, no siempre es una solución que pertenezca al core. Sin embargo, para los

juegos convexos, el valor de Shapley sí pertenece al core del juego.

Para introducir el valor de Shapley utilizaremos la caracterización axiomática

original de Shapley (1953).

Teorema 1.1 La única solución f definida en N que satisface las propiedades de

aditividad, jugador nulo, simetría y eficiencia es el valor de Shapley. Dado un juego

( , )N v , esta solución asigna a cada jugador i N el número real

ϕi ( N , v )=∑S⊆ N

q (S ) (v (S )−v (S ¿{i¿}) ) ,

dondeq ( S )= (s−1 ) ! (n−s )!n !

y s=|S|, n=|N| representan el número de jugadores que hay

en las coaliciones S y N .

La demostración de este teorema se encuentra en Shapley (1953). Se puede

observar que el valor de Shapley está determinado, de forma exclusiva y a priori, por la

función característica del juego.

El valor de Shapley tiene distintas interpretaciones. Puede interpretarse como la

contribución marginal esperada de cada jugador al entrar en una coalición al azar. En

efecto, el factor v ( S )−v (S ¿{i¿}) es la contribución marginal efectiva de i al

incorporarse aS ¿{i¿}, mientras que el factor q ( S ) es la probabilidad de que a i le toque

incorporarse precisamente a S ¿ {i¿} y no a otra coalición. Shapley justificó este valor

bajo la suposición de que un jugador se uniría a una coalición de tamaño s, siendo los

distintos tamaños equiprobables, y una vez fijado un tamaño, se uniría a una coalición

determinada de ese tamaño también de manera equiprobable. El factor q ( S ) es el que

implementa esa suposición en la expresión del valor de Shapley.

Otra manera de interpretar el valor de Shapley es la siguiente. Se supone que los

jugadores forman la gran coalición incorporándose de uno en uno, en un orden

aleatorio. De esta forma, cada jugador consigue la cantidad con la que él contribuye a la

coalición ya formada cuando se incorpora. El valor de Shapley distribuye a cada

jugador la cantidad esperada que él obtiene por este procedimiento, suponiendo que la

gran coalición de n jugadores puede formarse, de manera equiprobable, en todos los

órdenes posibles.

Ejemplo 1.4 Calcularemos el valor de Shapley para el juego definido en el Ejemplo 1.3.

Recordemos que, en este caso, N= {1,2,3 } y el juego v venía dado por

v ( {1 } )=v ( {2 } )=v ( {3 } )=0 ,

v ( {1,2 } )=100 v ( {1,3 } )=200 v ( {2,3 } )=300 ,

v ( {1,2,3 })=400.

El conjunto 2N es

2N= {∅ , {1 } , {2 } , {3 } , {12 }, {13 } , {23 }, {123 }} .

Las coaliciones a las que pertenece cada jugador son

S (1 )= {{1 } , {1,2 } , {1,3 }, {1,2,3 }}

S (2 )= {{2 }, {1,2 } , {2,3 }, {1,2,3 }}

S (3 )= {{3 } , {1,3 }, {2,3 } , {1,2,3 }}

Los coeficientes q ( S ) valdrán

q (1 )=0 !2 !3!

=13

,

q (2 )=1 !1!3!

=16

,

q (3 )=2!0 !3 !

=13

.

Calculemos ahora el pago esperado para cada jugador:

ϕ1 (N , v )=q (1 ) [ v ( {1 } )−v (∅ ) ]+q (2 ) [v ( {1,2 } )−v (2 ) ]+q (2 ) [v ( {1,3 } )−v (3 ) ]+q (3 ) [ v ( {1,2,3 })−v (2,3 ) ]=13

[ 0 ]+ 16

[ 100 ]+ 16

[ 200 ] 13

[ 400−300 ]=83.33.

ϕ2 ( N , v )=q (1 ) [ v ( {2 })−v (∅ ) ]+q (2 ) [v ( {1,2 } )−v (1 ) ]+q (2 ) [v ( {2,3 } )−v (3 ) ]+q (3 ) [ v ( {1,2,3 } )−v (1,3 ) ]=13

[ 0 ]+ 16

[ 100 ]+ 16

[ 300 ] 13

[ 400−200 ]=133.33 .

ϕ3 ( N ,v )=q (1 ) [ v ( {3 } )−v (∅ ) ]+q (2 ) [ v ( {1,3 })−v (1 ) ]+q (2 ) [ v ( {2,3 } )−v (2 ) ]+q (3 ) [ v ( {1,2,3 } )−v (1,2 ) ]=13

[ 0 ]+ 16

[ 200 ]+ 16

[ 300 ] 13

[ 400−100 ]=183.33 .

Por lo tanto, el valor de Shapley para el juego sería

ϕ ( N ,v )=(83.33 ;133.33 ;183.33 ).

Como vemos, el valor de Shapley cumple la propiedad de eficiencia

∑i∈N

ϕi (N , v )=v ( N )=400.

En este ejemplo, hemos aplicado la expresión del valor de Shapley directamente,

por ser un ejemplo muy sencillo. Cuando se calcula el valor de Shapley en juegos

monótonos, el sumatorio se restringe a coaliciones S con valor no nulo, puesto que las

coaliciones con valor nulo tendrán un término [ v ( S )−v (S ¿{i¿}) ] igual a cero.

1.3.2.2 El valor Shapley ponderado

La propiedad de simetría es uno de los principales axiomas que caracteriza el

valor de Shapley, sin embargo en ocasiones no parece razonable exigir esta propiedad.

Pensemos por ejemplo que no siempre los esfuerzos de los jugadores son iguales a la

hora de formar una coalición o bien que a menudo los jugadores tienen diferentes

habilidades lo que supone que inicialmente partan de una situación no simétrica.

También podemos pensar en situaciones no simétricas cuando cada jugador representa a

su vez a otros agentes pudiendo ser el número o el tipo de agentes representados por

cada jugador distinto. Shapley (1953) en su tesis ya introdujo los valores de Shapley

ponderados, y a partir de este momento muchos otros han desarrollado estudios de

valores no simétricos, Owen (1968, 1972), Kalai y Samet (1987) y Hart y Mas-Colell

(1989).

Definición 1.9 El valor de Shapley ponderado con sistema de ponderaciones p= ( λ , Σ )

al que denotaremos ϕ p es un valor definido para cada juego de unanimidad

uS ( S )con S⊆N , de la siguiente forma. Sea k=max { j : S j∩ S≠∅ },

( ϕp ) i ( N , uS )={ λi

∑j∈S ∩S j

λ j

, Si i∈S∩Sk ,

0 , En otro caso .

La partición ordenada Σ divide a los jugadores en distintos niveles de forma que

los jugadores que están en el nivel más alto se reparten la unidad proporcionalmente a

sus pesos, mientras que el resto de los jugadores no obtiene ninguna utilidad.

Dado que el conjunto de juegos de unanimidad uS ( S ) , S⊆N ,con S ≠∅son una

base para Γ tenemos que,

( ϕp ) i ( N ,v )=∑S⊆N

cs (ϕ p )i ( N ,uS ).

Se deduce fácilmente que si λ i=λ j , para todo i≠ j y∑ ¿ { N } entonces el valor de

Shapley ponderado es, en particular, el valor de Shapley.

Kalai y Samet (1987) axiomatizaron el valor de Shapley ponderado utilizando

propiedades de eficiencia, jugador nulo, aditividad, positividad y compañerismo.

Teorema 1.2 Un valor ϕ en Γ satisface los axiomas de Eficiencia, Jugador Nulo,

Aditividad, Positivismo y Compañerismo si y sólo si existe un sistema de ponderaciones

p tal que ϕ = ϕ P.

1.4 Conceptos básicos sobre grafos

Vamos a definir algunos conceptos básicos sobre Teoría de Grafos que se van a

emplear a lo largo de todo el proyecto.

Un grafo G es un par ordenado G= (V , E ), donde

V es un conjunto de vértices o nodos.

E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Se llama orden del grafo G a su número de vértices, V. El grado de un vértice o

nodo a es igual al número de arcos de E que se encuentran en él. Un bucle es una arista

que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final

coinciden.

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo G= (V , E )donde:

V ≠∅ .

E⊆ {x∈ P (V ):|x|=2 } donde P (V ) es un conjunto de pares no ordenados de

elementos de V.

Un par no ordenado es un conjunto de la forma {a , b }, de manera que

{a ,b }={b ,a }. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de V de

cardinalidad 2, el cual se denota por P (V ).

Grafo dirigido

Un grafo dirigido es un grafo G= (V , E ) donde:

V ≠∅

E⊆ {(a , b )∈V ×V : a≠ b } es un conjunto de pares ordenados de elementos

de V.

Dada una arista {a , b }, a es su nodo inicial y b su nodo final. Por definición, los

grafos dirigidos no contienen bucles.

Camino. En Teoría de Grafos se llama camino a una secuencia de vértices

dentro de un grafo, tal que exista una arista entre cada vértice y el siguiente. Se dice que

dos vértices están conectados si existe un camino que vaya de uno a otro, de lo contrario

estarán desconectados. Dos vértices pueden estar conectados por varios caminos. El

número de aristas dentro de un camino es su longitud.

Árbol. En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cualesquiera dos

vértices están conectados por exactamente un camino.

Trayectoria. Una trayectoria se define como un viaje a través de los nodos que

aparecen en la secuencia, y que se origina en el nodo inicial del primer eje y finaliza en

el nodo terminal del último eje de la secuencia.

Grafo conexo. En teoría de grafos, un grafo G se dice conexo, si para cualquier

par de vértices a y b en G, existe al menos una trayectoria (una sucesión de vértices

adyacentes que no repita vértices) de a a b.

Capítulo 2

El reparto de un río contaminado

2.1 Introducción

Sea un número de agentes (por ejemplo empresas, municipios o países)

conectados entre sí por un río. Algunos de estos agentes están ubicados aguas arriba,

otros lo están aguas abajo. Los agentes situados aguas arriba contaminan toda la red del

río. Para limpiar todo esta contaminación se incurre en unos costes que son repartidos

entre los agentes. Para asignar estos costes, hay que tener en cuenta las relaciones aguas

arriba y aguas abajo entre los agentes ya que la contaminación de los agentes aguas

arriba afecta a los costes de limpieza aguas abajo. Por norma general, es muy difícil

cuantificar el coste que los agentes aguas arriba le imponen a los agentes aguas abajo.

Por otra parte, los derechos de propiedad sobre el flujo de un río no están bien

definidos. Nosotros vamos a modelar el problema como un problema de reparto de

costes con estructura de árbol con un nodo especial (al que denominaremos lago). Se

van a proponer tres métodos de reparto de costes para el problema:

o El método de Responsabilidad Local (Local Responsability Sharing)

(LRS).

o El método de reparto equitativo aguas arriba (Upstream Equal Sharing)

(UES).

o El método de reparto equitativo aguas abajo (Downstream Equal

Sharing) (DES).

Los dos primeros métodos son una generalización de los que se usaron para el

reparto de costes de contaminación introducidos por Ni y Wang (2006). El tercer

método es una generalización del valor propuesto por Littlechild y Owen (1973) para el

conocido problema sobre las tasas de aterrizaje en un aeropuerto. Mostraremos la

caracterización axiomática de los tres métodos. Para ello se introducen tres juegos

diferentes para el problema:

El juego autónomo (Stand-alone).

El juego orientado aguas arriba (Usptream-oriented).

El juego orientado aguas abajo (Downsptream-oriented).

Veremos cómo cada uno de los tres métodos propuestos coinciden con el valor de

Shapley de sus respectivos juegos. Además, probaremos que todos están en el core de

los juegos correspondientes.

Existen gran cantidad de ejemplos sobre la relevancia de establecer un reparto

adecuado de los costes de limpieza de contaminantes en la red fluvial de un río. En el

mundo, aproximadamente el 40% de los ríos son compartidos por dos o más países. Por

ejemplo el Ganges-Brahmaputra es un río internacional que pasa por la India,

Bangladesh y Nepal. Otro ejemplo conocido puede ser los Grandes Lagos que lo forman

un grupo de cinco grandes lagos entre Norte América y Canadá. En muchos de estos

ejemplos, la contaminación del agua ha dado lugar a conflictos y disputas entre

naciones. Un caso específico fue la disputa ocurrida entre Canadá y Estados Unidos

respecto a los Grandes Lagos. Por norma general, para hacer frente al problema en

muchos casos se requiere la acción internacional.

Sin embargo, en el caso de que fuera fácil llegar a un acuerdo sobre qué agentes

deben soportar los costes de limpieza de contaminantes, es difícil encontrar una

solución “aceptable” sobre el reparto de los costes. La principal dificultad es que, en la

mayoría de los casos, es muy difícil cuantificar con precisión la contribución de cada

agente en la contaminación del río.

A pesar de estas dificultades, actualmente es posible medir los costes incurridos

para mantener o limpiar la red del río. Una vez que estos costes están determinados,

necesitan ser repartidos entre los agentes. Este reparto debe llevarse a cabo de la manera

más justa y equitativa de acuerdo a ciertos principios de justicia distributiva.

En este capítulo, vamos a estudiar el reparto de la contaminación de la red de un

río. Para ello, asumimos que existe un número finito de agentes conectados a la red

fluvial. Para simplificar, supondremos que la red del río tiene una estructura tipo árbol.

Además, en cada nodo de la red hay un coste asociado a un agente. En la estructura

existe un agente especial, denominado lago al que también se le asigna un coste. El lago

juega un papel muy importante ya que crea la estructura tipo árbol.

Modelamos el problema como uno de reparto de costes con una estructura tipo

árbol con un nodo en común. Nuestro análisis depende de la relación aguas arriba-aguas

abajo entre los agentes de la red. Investigaremos la implicación de las dos teorías que

más se usan en disputas internacionales (en el contexto del problema del reparto de

costes de la red de un río contaminado):

La teoría de la soberanía territorial absoluta (Absolute Territorial Sovereignty)

(ATS)

La teoría de la integridad territorial no limitada Unlimited Territorial Integrity)

(UTI).

La teoría ATS dice que un país tiene la absoluta soberanía sobre cualquier río

situado sobre su área. La teoría UTI afirma que un país no puede alterar las condiciones

naturales dentro de su propio territorio, si ello implica perjudicar a un país vecino.

Siguiendo Ni y Wang (2006) introducimos algunos axiomas basados en las dos

teorías principales (ATS y UTI). Posteriormente, se define un juego basado en el

concepto de estructura de permisión introducido por Gilles, Owen y van den Brink

(1992).

Posteriormente describimos los métodos antes mencionados. Concretamente, el

método LRS asigna costes a los agentes basándose únicamente en sus costes autónomos,

es decir, en sus costes locales. El método UES asigna costes a los agentes basándose en

sus costes autónomos más un reparto equitativo (Upstream Symmetry) de los costes a

los agentes situados aguas abajo. El método DES asigna costes a los agentes basándose

en la suposición por la cual cada agente que está produciendo contaminación tiene el

mismo impacto sobre los agentes situados aguas abajo. Según esto, el coste de cada

agente queda repartido de forma equitativa para los agentes situados aguas abajo.

Se muestra que el método LRS está caracterizado por los axiomas de Aditividad,

Costes no nulos y Eficiencia. El método UES queda caracterizado por Aditividad,

Independencia de los costes aguas arriba, Simetría aguas arriba, Independencia de los

costes irrelevantes y Eficiencia. El método DES se caracteriza por los axiomas de

Aditividad, Independencia de los costes aguas abajo, Mismo impacto aguas abajo,

Independencia de los costes irrelevantes y Eficiencia.

Recordando cada uno de estos axiomas, Aditividad es un axioma clásico que ha

formado parte de la literatura del reparto de costes. Costes no nulos afirma que, si un

agente no impone costes externos, no se le debe penalizar. La Independencia de los

costes aguas arriba afirma que los agentes situados aguas abajo no deben soportar

ningún coste de los agentes aguas arriba siempre que ellos no sean responsables. La

Independencia de los costes irrelevantes indica que un agente no debe soportar ningún

coste del cual no sea responsable. Para entender el axioma Mismo impacto aguas abajo

se considera el siguiente escenario: Si asignamos agua de inundación a lo largo de toda

la red fluvial, queremos que el impacto (o responsabilidad) negativo sea asignado de

forma equitativa para todos los agentes aguas abajo. Este axioma requiere que un agente

aguas arriba tenga el mismo impacto que otro situado aguas abajo (es decir, que tengan

el mismo reparto de costes).

Por su interés, vamos a estudiar la relación de los tres métodos propuestos con el

valor de Shapley (Shapley, 1953). Para este propósito, vamos a considerar los tres

juegos diferentes antes mencionados: el juego autónomo (Stand-alone), el juego

orientado aguas arriba (Usptream-oriented) y el juego orientado aguas abajo

(Downsptream-oriented), mostrando que el valor de Shapley de cada juego coincide con

los métodos introducidos anteriormente.

Señalamos que los juegos orientados aguas arriba y aguas abajo guardan una

estrecha relación con el concepto de estructura de permisión introducido por Gilles,

Owen y van den Brink (1992). En un juego con estructura de permisión, algunos

agentes tienen el poder de veto sobre las acciones de otros agentes. En otras palabras,

algunos agentes necesitan el permiso de otro o más integrantes antes de que puedan

actuar o cooperar. En el problema de reparto de costes en la contaminación de la red

fluvial de un río, asumiremos que los agentes aguas arriba necesitan el permiso de los

agentes situados aguas abajo para poder emitir sus contaminantes. Esta relación entre

agentes aguas arriba y aguas abajo en la red del río conduce de forma natural a la

estructuras de permisión. Aplicaremos las soluciones propuestas en este capitulo a un

problema real.

La distribución de este capítulo va a ser la siguiente. En la Sección 2

describimos el modelo del problema de reparto de costes con una estructura tipo árbol y

propondremos los tres métodos de solución que han sido comentados anteriormente. En

la Sección 3 del capítulo se procederá a la caracterización de cada uno de los tres

métodos incluyendo sus relaciones con el valor de Shapley y el core. Finalmente,

particularizamos lo anteriormente estudiado al caso de estructura tipo línea, por su

especial interés.

2.2 El modelo

Consideremos una red fluvial en la que están ubicados una serie de agentes,

N= {1,2, …, n }, y un agente especial, L, al que denominaremos lago. Los agentes están

conectados entre sí por una serie de enlaces. Aguas arriba, cada agente vierte una

determinada cantidad de contaminantes a la red. Vamos a asumir que cada agente

necesita el permiso o la aprobación del agente situado inmediatamente aguas abajo

hacia el lago para poder verter sus contaminantes a la red. La red fluvial necesita ser

limpiada de cualquier tipo de contaminación. Supondremos los costes de limpieza de

cada enlace del río, así como loss del propio lago conocidos.

Sea N∪ { L } un conjunto de agentes y E un conjunto de enlaces sobre N∪ { L }.

Tenemos pues el grafo G=( N∪ {L } , E ) , con estructura tipo árbol, es decir, G es un

grafo sin ciclos. La función de costes asociada al grafo G viene dada por

C : E∪ { L } → R+¿ ¿ donde C ( ei )=c i es el coste de limpieza del enlace e i∈ E que está

asociado con el agente i ,i=1,2 , …, n y C ( L ) el coste asociado a L. El coste total de

todos los enlaces viene dado por C ( E )=∑i∈N

ci. Así, el problema de reparto del coste

asociado a un río contaminado es una terna ( N ∪ { L } ,G , C ). Una solución al problema

( N ∪ { L } ,G , C ) es un vector x=( x1 ,…,xn , x L)∈R+¿n+1¿ tal que ∑i

x i=C ( E )+C ( L ), donde

x i es el reparto del coste asignado al agente i∈ ( N∪ { L } ). Un método consiste en un

reparto de x que asigne a cada problema ( N∪ { L } ,G , C ) una solución x ( N∪ {L } ,G,C ).

Notar que dado el grafo G con estructura tipo árbol, las relaciones aguas arriba-

aguas abajo entre los agentes, están únicamente determinadas por el nodo L. Además

para cualquier agente, existe un único camino que conecta a los sucesivos agentes aguas

abajo con el nodo L.

En la literatura sobre estructuras de permisión, van den Brink y Gilles (1996)

consideraron situaciones en las cuales algunos agentes necesitaban permiso antes de que

pudiesen participar en actividades cooperativas. De hecho, se representa por una

asignación P : N∪ {L } →2N∪ { L }. Se asumió que los agentes j∈P (i ) tienen la aprobación

de los agentes i∈ N∪ {L } para tomar parte en las actividades cooperativas (que, en este

caso, es la emisión de contaminantes). El conjunto de todos los permisos de estructura

sobre N∪ { L } se denota por PN∪ { L }.

En la red fluvial de nuestro problema, la estructura geométrica de G proporciona

la estructura de permisión de forma natural. Dados ( N ∪ { L } ,G ,C ), el árbol G

proporciona la siguiente estructura de permisión: P : N∪ {L } →2N∪ { L },

P (i )={ j } ,

{existe un camino desde jhasta Ltal que i seael agente inmediatamente aguasabajo de j }

Asumiremos que todos los agentes j∈P (i ) necesitan la aprobación del agente

i∈ N∪ {L } para verter sus contaminantes. Naturalmente, las relaciones aguas arriba-

aguas abajo entre los agentes de la red fluvial es acíclica, es decir, ningún agente puede

ser su agente aguas arriba o aguas abajo. De esta forma, podremos centrarnos

únicamente en las estructuras de permisión acíclicas.

Ejemplo 2.1

Figura 1

Para este ejemplo tenemos la siguiente estructura de permisión P.

P (1 )=∅ , P (2 )= {1 }, P (3 )=∅ , P (4 )= {3 }, P (5 )= {2,4 } , P ( L )= {5 }.

El cierre transitivo de la estructura de permisión P∈PN∪ { L } es una estructura de

permisión P∈PN∪ { L } tal que para cada i∈ N∪{L} tenemos j∈ P (i ) si y sólo si existen

unos h1 , …, hm en N ∪ { L } tal que h1=i , hk +1∈ P ( hk ) para 1 ≤ k≤ m−1, y hm= j . Los

agentes de P ( i ) son los llamados agentes aguas arriba de i en G. Definimos para cada

S⊆N , P (S )=U i∈ S P (i ).

Así pues, es fácil comprobar que

P (1 )=∅ , P (2 )= {1 }, P (3 )=∅ , P (4 )= {3 },

P (5 )= {1,2,3,4 } , P ( L )= {1,2,3,4,5 } .

P−1 (1 )= {2,5 , L } , P−1 (2 )= {5 , L } , P−1 (3 )={4,5 , L },

P−1 (4 )= {5 , L } , P−1 (5 )= {L }, P−1 ( L )=∅ .

Bajo la estructura de permisión P∈PN∪ { L }, para cualquier coalición dada de

agentes S⊆N∪ ( L ), podemos definir tres tipos de coaliciones diferentes de agentes que

están relacionados con S.

1. El autónomo homólogo de S es él mismo.

2. El homólogo orientado aguas arriba de S es la coalición

σ ( S )=S∪ P−1 ( S ) .

3. El homólogo orientado aguas abajo de S es la coalición

α (S )=S∪ P ( S ) .

Notar que las dos coaliciones anteriores corresponden a la parte soberana y el

conjunto de autorizaciones de una coalición según van den Brink y Gilles (1996).

Basándonos en el principio ATS, la teoría de responsabilidad local requiere que cada

agente soporte su coste autónomo. Esto define el siguiente método de reparto de

responsabilidad local (LRS).

Definición 2.1 Para cualquier C∈R+¿n+1¿, el método de reparto de responsabilidad local

(LRS) viene dado por:

x iLRS (C )=ci , i=1 ,…, n , L .

Por otro lado, acorde con el principio UTI, se pueden proponer dos teorías de

responsabilidad, que darán lugar a los siguientes métodos en el reparto de costes. El

primero requiere que los agentes aguas arriba compartan la misma responsabilidad de

los costes pertenecientes a los agentes aguas abajo y, en consecuencia, definimos el

método de mismo reparto aguas arriba (UES).

Definición 2.2 Para cualquier C∈R+¿n+1 ¿, el método de mismo reparto aguas arriba

(UES) viene dado por:

φ iUES (C )= ∑

j∈ σ ( {i} )

c j

|α ( { j })|, i=1 , …,n , L .

donde |α ( { j } )| es el número de agentes en α ( { j } ).

Alternativamente, si asumimos que todos los agentes aguas abajo están

igualmente afectados por el efecto de los agentes aguas arriba, tenemos el método

denominado mismo reparto aguas abajo (Downstream Equal Sharing) (DES).

Definición 2.3 Para cualquier C∈R+¿n+1¿, el método de mismo reparto aguas abajo

(DES) viene dado por

φ iDES (C )= ∑

j∈α ({i })

c j

|σ ( { j } )|,i=1 ,…,n , L .

Para proporcionar un análisis paralelo teórico-práctico sobre cada uno de los tres

métodos, definimos tres juegos diferentes basados sobre diferentes formaciones de

coaliciones. Así, para cualquier problema ( N ∪ { L } ,G ,C ) definimos los tres juegos

siguientes

El juego autónomo (Stand-alone).

El juego orientado aguas arriba (Usptream-oriented).

El juego orientado aguas abajo (Downsptream-oriented).

Definición 2.4 Sea ( N∪ { L } ,G , C ) y P (G ) la estructura de permisión inducida por G.

Definimos el juego autónomo Ls . a . (C ) por

Ls . a . (C ) (S )=C (S ) , S⊆N ∪ {L },

donde C ( S )=∑i∈S

c i .

Definición 2.5 Sea ( N∪ { L } ,G , C ) y P (G ) la estructura de permisión inducida por G.

Definimos el juego orientado aguas arriba LU (C ) como

LU (C ) (S )=C ( σ (S ) ) , S⊆N∪ { L }.

Definición 2.6 Sea ( N∪ { L } ,G , C ) y P (G ) la estructura de permisión inducida por G.

Definimos el juego orientado aguas abajo LD (C ) como

LD (C ) (S )=C ( α (S ) ) , S⊆N∪ { L } .

Ejemplo 2.2Los juegos orientado aguas arriba y aguas abajo obtenidos a partir de la

estructura del ejemplo anterior están dados a continuación:

El juego orientado aguas arriba LU (C ):

LU (C ) (1 )=C (1,2,5 , L ) ,LU (C ) (2 )=C (2,5 , L ) , LU (C ) (3 )=C (3,4,5 , L ) ,

LU (C ) (4 )=C ( 4,5 , L ) , LU (C ) (5 )=C (5 , L ) , LU (C ) ( L )=C (L ) ,

LU (C ) (1,2 )=C (1,2,5 , L ) , LU (C ) (1,3 )=C (1,2,3,4,5, L ) ,

LU (C ) (2,3 )=C (2,3,4,5, L ) , LU (C ) (2,4 )=C (2,4,5 , L ) , LU (C ) (2,5 )=C (2,5 , L ) ,

LU (C ) (1,2,3 )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,LU (C ) (1,2,4 )=C (1,2,4,5 , L ) ,

LU (C ) (1,2,5 )=C (1,2,5 , L ) ,LU (C ) (1,3,4 )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,

LU (C ) (1,2,3,4 )=C (1,2,3,4,5 , L ) , LU (C ) (1,3,4,5 )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,

LU (C ) (1,2,3,4,5 )=C (1,2,3,4,5 , L ) , LU (C ) (1,2,3,4,5 , L )=C (1,2,3,4,5 ,L ) .

El juego orientado aguas abajo LD (C ):

LD (C ) (1 )=C (1 ) , LD (C ) (2 )=C (1,2 ) , LD (C ) (3 )=C (3 ) , LD (C ) (4 )=C (3,4 ) ,

LD (C ) (5 )=C (1,2,3,4,5 ) , LD (C ) (L )=C (1,2,3,4,5 , L ),

LD (C ) (1,2 )=C (1,2 ) , LD (C ) (1,3 )=C (1,3 ) , LD (C ) (1,4 )=C (1,3,4 ) ,

LD (C ) (1,5 )=C (1,2,3,4,5 ) , LD (C ) (1 , L )=C (1,2,5 , L ) , LD (C ) (3 , L )=C (3,4,5 , L ) ,

LD (C ) (2,5 ,L )=C (1,2,3,4,5 , L ) , LD (C ) (1,2,3 )=C (1,2,3 ) ,

LD (C ) (1,2,3 , L )=C (1,2,3,4,5 ,L ) , LD (C ) (1,2,5 )=C (1,2,3,4,5 ) ,

LD (C ) (1,2,3,4 )=C (1,2,3,4 ) , LD (C ) (1,3,4,5 , L )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,

LD (C ) (1,2,3,4,5 )=C (1,2,3,4,5 ) , LD (C ) (1,2,3,4,5 , L )=C (1,2,3,4,5 , L ) .

Es bien sabido que para un juego dado, el valor de Shapley no tiene por qué

pertenecer al core del juego, incluso si el core es distinto al vacío. Además, para un

juego cóncavo, el core es siempre distinto del vacío y, el valor de Shapley pertenece al

core.

Un juego es cóncavo si el coste marginal de un agente representa una mejora en

la coalición a la que se une, es decir, que el coste de la coalición sea menor con ese

agente que sin él. Formalmente, un juego C ( ∙ ) es cóncavo si

C ( S∪ i )−C ( S )≤ C (T∪ i )−C (T ) ,∀ S⊆T⊆N , i∉T .

En el siguiente punto veremos que los tres juegos definidos anteriormente son

todos cóncavoss. Así, sus respectivos valores de Shapley están en el core de sus juegos

correspondientes. Lo más importante es que podremos demostrar que los tres métodos

propuestos en el capítulo, coinciden con el valor de Shapley de los tres juegos

introducidos.

2.3 Caracterización de los métodos LRS, UES y DES

2.3.1 Caracterización del método LRS

Para caracterizar el método LRS, necesitamos los siguientes axiomas.

Aditividad. Para cualquier C1=(c11 , …, cn

1 , cL1 )∈R

+¿n+1 yC2=(c12 ,… ,cn

2 ,cL2 )∈ R+¿n+1 ¿¿

tenemos

x j (C1+C2 )=x j (C1 )+x j (C2 ) , para todo j∈N∪ { L } .

Aditividad es un axioma clásico en la teoría de juegos cooperativos (Shapley

1953) así, como en la literatura del reparto de costes (Moulin, 2002). Aditividad no

tiene contenido normativo, sin embargo, para nuestro problema de reparto de costes

podemos tomar la siguiente interpretación.

Imaginar que cada agente (o firma) i∈ ( N∪ { L }) tiene dos divisiones de costes,

c i1 , ci

2, respectivamente y están localizados a lo largo de dos diferentes redes fluviales.

Así pues, aditividad afirma que es lo mismo si nosotros asignamos el vector de costes

totales o los dos vectores de costes por separado para después sumarlos.

Costes no ciegos (No Blind Cost). Para cualquier i∈ N∪ {L } y cualquier C∈R+¿n+1 ,¿ si

c i=0 , entonces x i (C )=0.

El axioma de costes no ciegos establece que si un agente no contamina el

ambiente, el agente no tiene ningún coste de limpieza de contaminantes.

Eficiencia. Para cualquier C∈R+¿n+1¿ se verifica

∑j=1

n+1

x j=∑j=1

n+1

c j .

Eficiencia requiere que el reparto de costes de los agentes sume los costes

totales.

Teorema 2.1 El método de reparto de responsabilidad local (LRS) es el único método

que satisface Aditividad, Costes no ciegos y Eficiencia. Además coincide con el valor de

Shapley en el juego stand-alone (autónomo) del problema y la solución está en el core

del juego.

Demostración.

Paso 1. Es claro que el método LRS satisface los tres axiomas principales.

Vamos a comprobar que dicho método es el único que satisface estos tres axiomas.

Consideremos C k=(0 , …, 0,1,0 ,…,0 ) donde 1 representa la k-ésima componente

del vector n+1 dimensional C k ,k=1,2 , …,n+1. Por el axioma de costes ciegos,

x j (Ck )=0 , si j≠ k . Por eficiencia tenemos que

∑j=1

n+1

x j (Ck )=¿xk (C k )=∑

j=1

n+1

c jk=1 .¿

Así, x j (C k )=1 , si j=k y x j (C k )=0 , si j≠ k .

Notar que el vector de costes C k , (k=1,2 , …,n+1 ) forma una base de Rn+1.

Luego para cualquier C∈R+¿n+1¿ podemos escribir C=∑k=1

n+1

ck ∙C k=( c1 , c2 , …,cn , cL ) . El

axioma de aditividad implica que

x j (C )=x j(∑k=1

n+1

ck ∙ Ck )¿ x j(∑k=1

n+1

ck ∙ x j (Ck ))¿0+…+0+c j+0+…+0

¿c j

¿ x jLRS (C ) ,

para todo j∈N∪ { L } .

Paso 2. Para cualquierC∈R+¿n+1¿ y cualquier i∈ N∪ {L }, es obvio que la

contribución marginal del agente i en el juego Ls . a . (C ) es

Ls . a . (C ) ( S∪ {i } )−Ls . a . (C ) (S )=ci , para todo S⊂N∪ {L }¿ {i¿}. Sea s=|S| el tamaño de S,

el valor de Shapley del juego Ls . a . (C ) para el agente i es

φ i ( L s .a . (C ) )= ∑0 ≤ s≤n

s ! (n−s )!(n+1 )! ∑

S⊂ N ¿,|S|=s( Ls . a. (C ) (S∪ {i } )−Ls .a . (C ) (S ) )

¿ ∑0 ≤ s≤ n

s ! (n−s) !( n+1 )! ∑

S⊂N ¿ ,|S|=sci

¿c i ∙( ∑0≤s≤ n

s! (n−s ) !(n+1 ) !

× n!s ! (n−s )! )

¿c i ∙( ∑0 ≤s ≤ n

1n+1 )

¿c i

¿ x iLRS (C ),

para todo i∈N∪ {L }.

Paso 3. Para demostrar que el valor de Shapley está en el core, basta con mostrar que el

juego Ls . a . (C ) es cóncavo, es decir, que para todo i∈ N∪ {L } y todo S , T⊆N ¿ si S⊆T ,

entonces

Ls . a . (C ) ( S∪ {i } )−Ls . a . (C ) (S ) ≤ Ls . a . (C ) (T∪ {i } )−Ls .a . (C ) (T ) .

Pero ambos lados de la inecuación son igual a c i. Así, el juego Ls . a . (C ) es

cóncavo. ⎕

2.3.2 Caracterización del método UES

En este apartado, vamos a ver la caracterización del método de igual reparto

aguas arriba o método UES. Comprobaremos que la solución coincide con el valor de

Shapley del juego orientado aguas arriba generado desde el problema. Además, la

solución obtenida está en el core.

Recordar que, dado una función de coste C=(c1 , c2 , …, cn ,c L), el juego asociado

orientado aguas arriba queda definido por

LU (C ) (S )=C ( σ (S ) )= ∑j∈σ ( S )

c j , S⊆N∪ { L } ,

donde σ ( S )=S∪ P−1 ( S ) .

Asumimos que LU (C ) (∅ )=0. Notar que

LU (C ) ( N ∪ {L })=C (σ ( N∪ {L }))=C ( N ∪ {L } ) .

Rescribimos el método UES a continuación

φ iUES (C )= ∑

j∈ σ ( S)

c j

|α ( { j } )|,i=1, …, n , L.

donde |α ( { j } )| es el número de elementos en α ( { j } ), y α ( { j } )= { j }∪ P ( { j } ). En adelante, en

ocasiones notaremos { j } por j.

Vamos a introducir los siguientes axiomas.

Independencia de los costes aguas arriba. Para cualesquiera i∈ N∪ {L },

C , C '∈ R+¿n+1¿ tal que c l=cl' , l∈ P−1 (i ), tenemos x j (C )=x j (C ' ) , para todo j∈ P−1 ( i ).

Este axioma está basado en la idea de responsabilidad aguas abajo, e incluye la

versión de responsabilidad de la teoría sobre la integridad territorial no limitada (UTI).

Esta dice que el reparto del coste de un agente sólo depende de sus costes de

contaminación, así como de todos los costes aguas abajo, pero no sobre los costes que

se produzcan aguas arriba sobre los que no tiene ninguna responsabilidad.

Simetría aguas arriba. Para cualquieri∈ N∪ {L }, para todo j , k∈α ( {i } )= {i }∪ P (i ),

tenemos

x j (0 , …, 0 , c i , 0 , …, 0 )=xk (0 , …, 0 , c i , 0 , …, 0 ) .

La simetría aguas arriba requiere que todos los agentes situados aguas arriba

tienen la misma responsabilidad sobre los costes asociados aguas abajo. En cuanto a los

costes asociados aguas abajo, vamos a tratar con igualdad a todos los agentes aguas

arriba, porque asumiremos que la contaminación generada no es fácil de eliminar y,

además, es muy difícil ponderar la contribución a la contaminación de cada agente

situado aguas arriba, en los costes asociados aguas abajo. Así pues, el axioma implica

que cualquier agente, sin importar la lejanía con los agente aguas abajo, es responsable

de sus despojos.

Independencia de los costes irrelevantes. Para cualquieri∈N∪ {L }, para todo

j∈N∪ { L }¿( P ( i )∪σ ( {i } )¿), tenemos

x j (0 , …, 0 , c i ,0 , …, 0 )=0.

Este axioma establece que al coste de un agente i, si existe otro jugador j el cual

es irrelevante para dicho agente en su relación aguas arriba y aguas abajo y, además, no

emite ningún contaminante (o lo que es lo mismo, que no impone ningún coste), éste no

debe soportar ningún coste de limpieza.

Teorema 2.2 El método UES es el único que satisface Aditividad, Independencia de los

costes asociado aguas arriba, Simetría aguas arriba, Independencia de los costes

irrelevantes y Eficiencia. Además, éste coincide con el valor de Shapley del juego

orientado aguas arriba asociado al problema y está en el core del juego.

Demostración. La prueba se divide en tres etapas.

Paso 1. Primero veremos que el valor de Shapley, ϕ, del juego orientado aguas

arriba, LU (C ), coincide con el método UES, φ iUES.

Por definición de juego orientado aguas arriba, para cualquier

C k (0 ,…, 0,1,0 , …, 0 ) ,

donde 1 representa la k-ésima componente del vector n+1 dimensional C k. El juego

correspondiente orientado aguas arriba viene dado por

LU (Ck ) ( S )=0 , si S⊂N∪ { L }¿ ( {k } ) .

LU (Ck ) ( S )=1, enotro caso .

Claramente, todos los agentes en N ∪ { L }¿ ( {k } ) son nulos y, además, todos ellos

son simétricos en α ( {k } ). Así, el valor de Shapley del juego LU (Ck ) viene dado por

ϕi (LU ( Ck ))={ 1|α ( {k } )|

, i∈α ( {k } ) ,

0 , en ot ro caso ,

para todo i∈N∪ {L }.

El vector de costes, C k , ( k∈ {1 ,…, n , L } ) , forma una base de Rn+1, para cualquier

C∈R+¿n+1¿, entonces puede ser únicamente escrito como C= ∑k∈ N∪ { L }

ck ∙ Ck. Por definición

de juego orientado aguas arriba, para ∅ ≠ S⊆N∪ {L } tenemos

LU (C ) (S )= ∑j∈σ ( S )

c j

¿ ∑j∈σ ( S) ( ∑

k∈N ∪ {L }[ ck ∙ C k ] j)

¿ ∑k∈N∪ { L }

ck ∙( ∑j∈σ ( S )[Ck ] j)

¿ ∑j∈σ ( S)

ck ∙ LU (CK ) (S ) .

Donde [C k ] j es la componente j-ésima del vector C. Como el valor de Shapley satisface

aditividad se tiene

φ i ( LU (C ))= ∑k∈ N∪ { L }

ck ∙ x iSh ( LU (C k ))

¿ ∑k∈N∪ { L }¿ ({i })

0+ ∑k∈ σ ( {i} )

ck

|α ( {k } )|¿φ i

UES (C ) .

Para todoi∈ N∪ {L }.

Paso 2. Vamos a mostrar que el método UES es el único que satisface

aditividad, independencia de los costes asociado aguas arriba, simetría aguas arriba,

independencia de los costes irrelevantes y eficiencia.

Primero demostraremos que φUES satisface los cinco axiomas. Aditividad es

trivial. Si φUES satisface independencia de los costes aguas arriba, para cualquier

i∈ N∪ {L } y cualquier C , C '∈ R+¿n+1¿ tal que c l=cl' , l∈ P−1 (i ) entonces para todo

j∈ P−1 ( i ) tenemos

φ iUES (C )= ∑

l∈σ ({ j} )

c j

|α ( {l } )|

¿ ∑l∈ { j}∪ P−1 ( j )

c j

|α ( {l } )|

¿ ∑l∈ { j}∪ P−1 ( j )

c j '

|α ( {l } )|¿φ j

UES (C ' ) ,

ya que si j∈ P−1 ( i ) entonces P−1 ( j )⊆ P−1 (i ) .

Para ver que φUES satisface simetría aguas arriba, para cualquier i∈ N∪ {L }, para

todo j , k∈α ( {l } )= {i }∪ P ( i ) tenemos

φ iUES (0 , .. , 0 , ci ,0 , …, 0 )= ∑

l∈σ ( { j })

c j

|α ( {l })|

¿ ∑l∈ { j}∪ P−1 ( j )

cl

|α ( {l } )|

¿ci

|α ( i )|

¿ ∑l∈ { j}∪P−1 (k )

c l

|α ( {l } )|

¿ ∑l∈σ ({k })

c l

|α ( {l } )|¿φk

UES (0 , .. ,0 , ci , 0 ,…,0 ) .

Vamos a ver ahora que φUES satisface la independencia de los costes irrelevantes.

Como j∈N∪ { L }¿( P ( i )∪σ ( {i } )¿) tenemos que i∉ P−1 ( j ). Por otra parte, si i∈ P−1 ( j )

implica j∈σ (i ). Así, si C=(0 , …,0 , c i ,0 , …,0 ) entonces c l=0 , para todo

l∈ { j }∪ P−1 ( j )=σ ( j ). Así, tenemos

ϕ jUE S (C )= ∑

l∈σ ( { j })

c l

|α ( {l } )|=0.

Finalmente, en el paso 2 vamos a mostrar que φUES es el valor de Shapley del

juego orientado aguas arriba. Como el valor de Shapley satisface eficiencia, φUES

también lo satisface.

Ahora vamos a ver que el método UES es el único que satisface estos cinco

axiomas. Supongamos que un método de reparto de costes φ satisface los cinco

axiomas. Fijemos arbitrariamente una estructura de árbol que contenga n+1 nodos. Para

cualquier k∈ {1,2 , …,n , L }, sea C k=(0 , …, 0,1,0 ,…,0 ) donde uno es la componente k-

ésima del vector de dimensión n+1, C k. Por la independencia de los costes aguas arriba,

φ j (Ck )=0 , para todo j∈ P−1 (k ). Por la independencia de los costes irrelevantes,

φ j (Ck )=0 , para todo j∈N∪ { L }¿( P (k )∪σ ({k })¿). Por la simetría aguas arriba,

φ j (Ck )=φ j ' (C k )= β ≥ 0 , para todo j , j'∈α ( {k }). Por eficiencia tenemos

∑j∈ N∪ { L }

φ j ( Ck )=¿

¿ ∑j∈ P−1 ( k )

φ j (Ck )+ ∑j∈ {k }∪ P (k )

φ j ( Ck )+ ∑j∈N ∪ {L }¿(P ( k )∪ {k }∪ P−1 ( k )¿)

φ j (C k )

¿0+ ∑j∈α ( {k })

β+0

¿ β ×|α ( {k } )|¿1.

Por lo tanto,

{φ j (Ck )= 1

|α ( {k } )|, si j∈α ( {k }) ,

φ j (Ck )=0 , enotro caso .

De nuevo, cualquier C∈R+¿n+1¿ puede ser únicamente escrito como

C=(c1 , …, cn , cL )= ∑k∈N∪ { L }

ck ∙Ck. Por aditividad tenemos

φ i (C )=φ i( ∑k∈ N∪ { L }

ck ∙C k )¿ ∑

k∈ N∪ { L }ck ∙ φi (C k )

¿ ∑k∈N∪ { L }¿(P ( i)∪α ({i })¿)

0+ ∑k∈ P ( i)

0+ ∑k∈ α ( {i} )

ck

|α ( {k } )|¿φ i

UES (C ) ,

para todo i∈N∪ {L }.

Paso 3. En este paso, vamos a demostrar que el valor de Shapley está en el core.

Para ello, basta con probar que el juego orientado aguas arriba LU (C ) es cóncavo. Así,

para todo i∈ N∪ {L }, todo S , T⊆ ( N∪ { L } )¿{i¿ }y S⊆T , tenemos

LU (C ) (S∪ {i })−LU (C ) (S )≥ LU (C ) (T∪ {i } )−LU (C ) (T ) .

Suponiendo que S⊆T e i∉T . Considerar

H SU=σ (S∪ {i } )¿ (S ) y HT

U=σ (T∪ {i } )¿ (T ) . Afirmamos que HTU ⊆H S

U. En efecto,

H SU=σ (S∪ {i } )¿ (S )

¿ S∪ {i }∪ P−1 (S )∪ P−1 ( i )¿(S∪ P−1 ( S )¿)

¿ {i }∪ P−1 (i )¿ (S∪ P−1 ( S )¿) ,

además se verifica

HTU= {i }∪ P−1 (i ) ¿(T ∪ P−1 (T )¿),

y, se tiene que

T∪ P−1 (T )⊇ S∪ P−1 (S ) .

Luego,

HTU ⊆H S

U .

Por lo tanto,

LU (C ) (S∪ {i })−LU (C ) (S )= ∑j∈ ( S∪ i )

c j−∑j∈ (S )

c j

¿ ∑j∈H S

U

c j

≥ ∑j∈HT

U

c j

¿ ∑j∈ ( T∪ i)

c j−∑j∈ (T )

c j

¿ LU (C ) (T∪ {i } )−LU (C ) (T ) .

⎕

2.3.3 Caracterización del método DES

Pasamos ahora a ver el método de igual reparto aguas abajo o método DES y

vamos a demostrar que dicho método coincide con el valor de Shapley del juego

orientado aguas abajo y que, además, está en el core.

Recordando que para una función de coste dada C=(c1 , c2 ,…, cn ,c L), el juego

orientado aguas abajo viene definido por

LD (C ) (S )=C ( α (S ) )= ∑j∈α (S )

c j , S⊆N∪ {L } ,

donde α (S )=S∪ P ( S )=S∪(U j∈ S P ( i ) ) .

Asumimos que LD (C ) (∅ )=0. Notar también que

LD (C ) ( N∪ {L })=C (α ( N ∪ { L } ) )=C ( N∪ {L }) .

Recordar que

ϕiDES (C )= ∑

j∈α ( i)

c j

|σ ( { j } )|, i=1 , …, n , L .

Donde σ ( { j } )= { j }∪ P−1 ( j ) .

Para caracterizar el método DES, necesitamos definir dos axiomas adicionales

Independencia de los costes aguas abajo. Para cualquier i∈ N∪ {L } y cualesquiera

C , C '∈ R+¿n+1¿ tal que c l=cl' , l∈ P−1 (i ), tenemos x j (C )=x j (C ' ) , para todo j∈ P (i ).

El axioma de independencia de los costes aguas abajo afirma que un agente aguas

arriba no tiene el control sobre los agentes situados aguas abajo por lo que tampoco

tiene la responsabilidad de sus costes. Este axioma se podría entender mejor en

contextos de control de inundación. En este caso, un agente situado aguas arriba no

tiene responsabilidad sobre las precipitaciones de la región aguas abajo, que pueden

causar inundaciones.

Mismo impacto aguas abajo. Para cualquier i∈ N∪ {L }, para todo

j , k∈σ ( {i })={i }∪ P−1 ( i ), tenemos

x j (0 , …, 0 , c i , 0 , …, 0 )=xk (0 , …, 0 , c i , 0 , …, 0 ) .

El método DES requiere que todo agente situado aguas abajo, sea igualmente

afectado por otro agente situado aguas arriba, el cual debe tener permiso de todos sus

agentes aguas abajo de acuerdo con la estructura de permisión. En contraste con la

simetría aguas arriba, el método DES trata a todos los agentes situados aguas abajo con

igualdad, refiriéndonos a términos de responsabilidad para unos costes aguas arriba

dados. De nuevos este axioma se podría entender mejor si considerásemos el problema

del control de las inundaciones. En este caso, se requiere que la inundación deba ser

distribuida por igual entre todos los agentes situados aguas abajo. Además, este axioma

implica que cualquier agente, sin importar su distancia con los agentes situados aguas

arriba, sea afectado por igual. Esta es una forma alternativa a la teoría de

responsabilidad derivada de la teoría sobre la integridad territorial no limitada o teoría

UTI.

Se presenta a continuación una caracterización con estas propiedades del método

introducido.

Teorema 2.3 El método DES es el único método que satisface Aditividad,

Independencia de los costes aguas abajo, Mismo impacto aguas abajo, Independencia

de los costes irrelevantes y eficiencia. Además, éste coincide con el valor de Shapley del

juego orientado aguas abajo que está en el core del juego.

Demostración. La prueba de este teorema es similar al Teorema 2.2.

Análogamente, el proceso lo vamos a dividir en tres pasos.

Paso 1. Primero, veremos que el valor de Shapley del juego orientado aguas

abajo coincide con el método DES, ϕ DES (C ).

Por la definición del juego orientado aguas abajo, para cualquier

C k (0 ,…, 0,1,0 , …, 0 ) ,

donde 1 representa la k-ésima componente del vector n+1 dimensional C k. El juego

correspondiente orientado aguas abajo viene dado por

LD ( Ck ) ( S )=0 , si S⊂N∪ { L }¿ ( {k } ) ,

LD ( Ck ) ( S )=1 , enotro caso .

Claramente, todos los agentes en N∪ { L }¿ ( {k } ) son nulos y todos ellos son

simétricos en α ( {k } ). Así el valor de Shapley del juego LD ( Ck ) viene dado por

ϕi (LD (Ck ))={ 1|σ ( {k })|

, i∈σ ( {k }) ,

0 , en otro caso .

Para todo i∈ N∪ {L }.

El vector de costes, C k , ( k∈ {1 ,…, n , L } ) , forma una base de Rn+1, para cualquier

C∈R+¿n+1¿, puede ser únicamente escrito como C= ∑k∈ N∪ { L }

ck ∙ C k. Por la definición del

juego orientado aguas abajo, para ∅ ≠ S⊆N∪ {L } tenemos

LD (C ) (S )= ∑j∈ α ( S )

c j

¿ ∑j∈α ( S ) ( ∑

k∈N ∪ { L }[ck ∙ C k ] j)

¿ ∑k∈ N∪ { L }

ck ∙( ∑j∈α ( S )[Ck ] j)

¿ ∑j∈σ ( S)

ck ∙ LD (CK ) ( S ) ,

donde [C k ] j es la componente j-ésima del vector C. Como el valor de Shapley verifica

aditividad tenemos

ϕi ( LD (C ) )= ∑k∈N∪ {L }

ck ∙ x iSh (LD ( Ck ))

¿ ∑k∈ N∪ { L }¿ ({i })

0+ ∑k∈ α ( {i })

ck

|σ ( {k } )|¿ϕi

DES (C ) ,

para todoi∈ N∪ {L }.

Paso 2. Vamos a mostrar que el método UES es el único que satisface los cinco

axiomas.

Aditividad es trivial. Si ϕ DES satisface independencia de los costes aguas abajo,

para cualesquiera i∈ N∪ {L } y C ,C '∈ R+¿n+1¿ tal que c l=cl' , l∈ P (i ) entonces para todo

j∈ P ( i ) tenemos

ϕiDES (C )= ∑

l∈α ( { j })

c j

|σ ( {l } )|

¿ ∑l∈ { j}∪ P ( j )

c j

|σ ( {l } )|

¿ ∑l∈ { j}∪P ( j )

c j '

|σ ( {l } )|¿ϕ i

DES (C ' ) ,

ya que j∈ P (i )implica que P ( j )⊆ P ( i) .

Para ver que ϕ DES satisface la igualdad en el impacto aguas abajo, para cualquier

i∈ N∪ {L }, para todo j , k∈σ (i )={i }∪ P−1 ( i ) tenemos

ϕ iDES ( 0 ,.. , 0 , c i , 0 , …, 0 )= ∑

l∈ α ( { j })

c j

|σ ( {l })|

¿ ∑l∈ { j}∪ P ( j )

c l

|σ ( {l } )|

¿ci

|σ ( {i } )|

¿ ∑l∈ { j}∪ P ( k )

c l

|σ ( {l } )|

¿ ∑l∈α ({ k })

c l

|σ ( {l } )|¿ϕk

DES ( 0 ,.. , 0 , ci , 0 , …, 0 ).

Vamos a ver ahora que ϕ DES satisface la independencia de los costes irrelevantes.

Para cualesquiera i∈ N∪ {L }, C=(0 , …,0 , c i ,0 , …,0 ) y j∈N∪ { L }¿( P (i )∪σ ( {i } )¿)

tenemos

ϕ jDES (C )=0.

Ahora probamos que el método DES es el único que satisface estos cinco

axiomas. Supongamos que un método de reparto de coste ϕ satisface los cinco axiomas.

Fijemos arbitrariamente una estructura tipo árbol que contenga n+1 nodos. Para

cualesquiera k∈ {1,2 ,…,n , L }, sea C k=(0 ,…, 0,1,0 , …, 0 ) donde uno es la componente

k-ésima del vector de dimensión n+1, C k. Por la independencia de los costes aguas

abajo, ϕ j (C k )=0 , para todo j∈ P (k ). Por la independencia de los costes irrelevantes,

ϕ j (C k )=0 , para todo j∈N∪ { L }¿( P (k )∪σ ( {k })¿)=N∪ {L }¿( P (k )∪ {k }∪ P−1 (k )¿). Por

la igualdad del impacto aguas abajo, ϕ j (Ck )=ϕ j ' (C k )=β ≥ 0 , para todo

j , j'∈σ ( {k } )=P−1 (k )∪ {k }. Por eficiencia tenemos

∑j∈N∪ { L }

ϕ j (C k )=¿

¿ ∑j∈ P (k )

ϕ j (C k )+ ∑j∈ { k }∪ P−1 (k )

ϕ j (Ck )+ ∑j∈N ∪ { L }¿(P ( k )∪ {k }∪ P−1 ( k ) ¿)

ϕ j (Ck )

¿0+ ∑j∈σ ( {k })

β+0

¿ β|σ ( {k })|¿1.

Por lo tanto,

{ϕ j (C k )= 1|σ ( {k })|

, si j∈σ (k ) ,

ϕ j ( Ck )=0 , en otrocaso .

Cualquier C∈R+¿n+1¿ puede ser únicamente escrito como

C=(c1 , …, cn , cL )= ∑k∈N∪ { L }

ck ∙Ck. Por aditividad tenemos

ϕi (C )=ϕi( ∑k∈N∪ {L }

ck ∙C k )¿ ∑

k∈ N∪ { L }ck ∙ ϕ i ( Ck )

¿ ∑k∈N∪ { L }¿(P−1 (i)∪α ( {i}) ¿)

ck ∙ ϕi (Ck )+ ∑k∈ P−1 ( i)

ck ∙ ϕi (C k )+ ∑k∈α ({i })

ck ∙ ϕi (Ck )

¿ ∑k∈α ({ i})

ck

|σ ( {k } )|¿ϕi

DES (C ),

para todo i∈N∪ {L }.

Paso 3. En este paso vamos a demostrar que el valor de Shapley está en el core.

Para ello, basta con probar que el juego orientado aguas abajo LD (C ) es cóncavo. Así,

para todo i∈ N∪ {L }, todo S , T⊆ ( N∪ { L } )¿{i¿ }y S⊆T , tenemos

LD (C ) (S∪ {i } )−LD (C ) ( S )≥ LD (C ) (T ∪ {i })−LD (C ) (T ) .

Sean

H SD=α (S∪ {i })¿ ( S )=S∪ {i }∪ P ( S )∪ P (i ) ¿(S∪ P (S )¿),

y

HTD=α (T∪ {i } )¿ (T )=T∪ {i }∪ P (T )∪ P (i ) ¿(T ∪ P ( S )¿) ,

Tenemos

H SD=S∪ {i }∪ P (S )∪ P ( i ) ¿(S∪ P (S )¿)={i }∪ P ( i )¿(S∪ P (S )¿) ,

y

HTD=T ∪ {i }∪ P (T )∪ P ( i ) ¿(T∪ P ( S )¿)= {i }∪ P ( i ) ¿(T∪ P (T )¿) .

Luego,

T∪ P (T )⊇ S∪ P ( S ) .

Teniendo pues

HTD⊆H S

D .

Por lo tanto,

LD (C ) (S∪ {i } )−LD (C ) ( S )= ∑j∈α ( S∪ {i })

c j− ∑j∈α ( S)

c j

¿ ∑j∈H S

D

c j

≥ ∑j∈HT

D

c j

¿ ∑j∈α ( T∪ {i })

c j− ∑j∈ ( αT )

c j

¿ LD (C ) (T∪ {i } )−LD (C ) (T ) . ⎕

2.4 Problemas con estructura tipo línea

Hasta ahora hemos visto tres métodos para tratar el problema de reparto de los

costes de limpieza de un río, entre una serie de agentes instalados en su cauce. Este río

tenía una estructura tipo árbol como ya se ha comentado a lo largo del capítulo. En la

práctica, la mayoría de los ríos existentes en el mundo tienen una estructura

denominada tipo línea, sin bifurcaciones, que es un caso de especial interés dentro de las

estructuras tipo árbol.

En esta sección, nos vamos a centrar en particularizar los conceptos anteriores

para caracterizar, en este caso, cada uno de los tres métodos que hemos visto hasta el

momento. Esto se aplicará posteriormente, en el Capítulo 4 del proyecto donde veremos

una aplicación sobre el río Kishon.

2.4.1 Introducción

Existen 148 ríos en todo el mundo que pasan por dos países, 30 atraviesan tres, 9

recorren cuatro y 13 van a lo largo de cinco o más (ver Ambec y Sprumont (2002);

Barret (1994)). Estos ríos proporcionan a las personas de los distintos países el uso del

agua como recurso pero puede existir contaminación, en el caso de que el afluente lleve

agentes contaminantes. Este mismo problema también ocurre en distintas regiones del

mismo país y que son atravesadas por un río. Notar, por ejemplo, que un río al que se le

eleva la temperatura un par de grados a causa de la contaminación, puede presentar

ventajas y desventajas para las personas que viven en su curso.

Desde el lado del beneficio, Ambec y Sprumont (2002) desarrollaron un modelo

para estudiar cómo unos agentes (que pueden ser ciudades, regiones o países) que viven

a lo largo de un río comparten el recurso del agua. Ellos se basaron en las dos

principales doctrinas nombradas anteriormente, ATS y UTI.

La búsqueda sobre el reparto de costes de contaminación está basada en Ambec

y Sprumont (2002), sin embargo, nuestro problema es diferente y debemos mirar las

doctrinas ATS y UTI, desde una perspectiva diferente. Existe una relación dual entre

derechos y responsabilidades. Consideramos las responsabilidades como contrapartidas

de los derechos. Por lo tanto, debemos interpretar las doctrinas ATS y UTI en términos

de responsabilidad en la asignación de los costes de contaminación.

Así pues, la doctrina ATS, generalizada para nuestro contexto, puede entenderse

como una declaración según la cual, la persona que vive en el segmento j-ésimo tiene

absoluto poder de contaminar en dicho segmento lo que desee si y sólo si se

compromete a pagar todos los costes necesarios para la limpieza de los elementos

contaminantes que ha producido. Análogamente, la segunda doctrina UTI también

extiende su objetivo sobre las responsabilidades de los que contaminan. Según esta

doctrina, las personas del segmento j tienen el derecho de poder contaminar en dicho

segmento, así como todos los que contaminan aguas arriba deben pagar el coste de

limpieza de contaminantes.

Para poder definir el problema, primero debemos ver cuál es la cantidad del

importe de los costes de limpieza que se va a dividir entre los agentes responsables de la

contaminación. Para ello, asumimos que cada segmento usa la forma más eficiente para

eliminar las sustancias contaminantes. Así, los costes de limpieza de todos los

segmentos están en su nivel más bajo determinado por los requisitos ambientales

correspondientes.

2.4.2 El modelo

Consideremos un río divido en n segmentos numerados i =1,2,…,n siendo 1 el

punto más alto y n el más bajo. Hay n empresas situadas a lo largo del río, cada una de

ellas está establecida en su segmento. Así, la empresa número tres estará en el segmento

tercero. Asumiremos que cada empresa genera un tipo de contaminante que debe ser

evitado a la hora de arrojarlo al río. En cada segmento i (i=1,2,…,n) la autoridad

medioambiental establece una norma sobre el grado de contaminación que cada agente i

requiere gastando ci para limpiar la contaminación en el segmento i y por lo tanto,

conseguir alterar de forma mínima todo el ecosistema. Queremos encontrar un método

para asignar los costes totales de limpieza de contaminantes (c1+c2+…+cn ) entre todas

las empresas. Desde el punto de vista de la responsabilidad, el problema de la

asignación de coste se puede entender como la división del coste total entre las n

empresas ya que son las responsables de la contaminación del río.

Formalmente N= {1, …, n } es un número finito de agentes (por ejemplo,

empresas industriales). El vector C=( c1 ,…,cn )∈ R+¿n¿ representa los costes de

contaminación, donde ci representa el coste imputado al agente i ∈N . El problema de

reparto de los costes de contaminación viene dado por (N,C). Cuando el número de

agentes es fijo (N fijo) el problema pasa a conocer el vector C. Una solución al

problema (N,C) es el vector x=( x1 , …, xn )∈R+¿n¿ tal que ∑i

x i=∑i

c i, donde xi es el

reparto de coste asignado al agente i. El método consiste en una aplicación x que asigna

a cada problema (N,C) una solución x(N,C).

Definición 2.7 Para cualquier C∈R+¿n¿, el método LRS viene dado por

x iLRS (C )=ci, i=1,…,n.

Definición 2.8 Para cualquier C∈R+¿n¿, el método UES viene dado por

x iUES (C )=1

ic i+

1i+1

ci+1+…+ 1n

cn, i=1,…,n.

Con el objetivo de proporcionar un análisis teórico para cada uno de los dos

métodos (es decir, su conexión con el valor de Shapley y el core) vamos a definir los

dos juegos siguientes basados en los principio LR y DR, respectivamente.

Sea N= {1, …,n } el grupo de agentes, suponemos que cada agente mantiene su

posición fija. Sea S⊂N cualquier coalición formada a partir de las n industrias.

Denotaremos min S el elemento más pequeño de S, es decir, la fábrica aguas más arriba

de la coalición S.

Bajo el principio LR, cada miembro de S es responsable únicamente de los

costes de limpieza de contaminantes en su propio segmento y, la responsabilidad total

de la coalición S es simplemente la suma de las responsabilidades locales de cada

miembro. Así, para cualquier C∈R+¿n¿ el coste total de la coalición S se puede escribir

como

vC ( S )=∑i∈S

c i.

Por otra parte, bajo el principio DR, cada miembro de S tiene la responsabilidad

de los costes de limpieza de contaminantes no sólo de su propio segmento sino además

de todos los costes asociados a los agentes de los segmentos aguas abajo. Así, para

cualquier C∈R+¿n¿ el coste total de la coalición S se puede escribir como

wC ( S )= ∑i=minS

n

c i.

Asumimos que vC (∅ )=wC (∅ )=0. Ahora, para cualquier C∈R+¿n¿, hemos

generado dos juegos, ( N ,vc ) y ( N ,w c) , respectivamente. En los dos puntos siguientes

del capítulo, nos vamos a centrar en la asignación de costes de acuerdo a los métodos

LRS y UES. Veremos como ambos métodos coinciden con el valor de Shapley de los

juegos ( N ,vc ) y ( N ,w c) , respectivamente y, ambos están en el core del juego

correspondiente.

2.4.3 Caracterización del método LRS

En esta sección, primero proporcionaremos la caracterización axiomática del

método LRS. Posteriormente, investigaremos su relación con el valor de Shapley, así

como con el core del juego ( N ,vc ).

Teorema 2.4 El método LRS es el único que satisface Aditividad, costes no ciegos y

Eficiencia.

Demostración. Sabemos que el método LRS satisface los tres axiomas anteriores. A

continuación se va a demostrar que dicho método es el único capaz de hacerlo.

Consideremos C k=(0 , …, 0,1,0 , …, 0 ) donde 1 es la k-ésima componente del vector n-

dimensional C k, para k=1,2 ,…,n. Por el axioma de costes no ciegos, si j ≠ k, x j (Ck )=0.

Por Eficiencia, tenemos lo siguiente

∑j=1

n

x j (Ck )= xk (C k )=∑

j=1

n

c jk=1.

Así, x j (C k )=1 , si j=k ,

x j (C k )=0 , si j ≠ k .

Notar que los vectores de costes, C k , (k=1,2 , …,n ) forman una base de Rn. Así,

para cualquier C∈R+¿n¿, podemos escribir C=∑k=1

n

ck ∙C k=( c1 , c2 , …,cn ). Además,

Aditividad implica que

x j (C )=x j(∑k=1

n

ck ∙ Ck ) ¿∑

k=1

n

ck ∙ x j (Ck )

¿0+…+0+c j+0+…+0

¿c j

¿ x jLRS (C ),

para todo j ϵ N .

⎕

Nota. El método LRS indica que a todas las empresas se le realiza un trato justo, en el

sentido de no imponer coste alguno a dicha empresa si no tiene toda la responsabilidad

local. Además, los costes de distribución son anónimos, incluso si la empresa cambia su

localización, el reparto de costes no cambia. Estas dos características junto a los

axiomas de Aditividad y Eficiencia nos recuerdan que existen conexiones entre el

método LRS y el valor de Shapley de ciertos juegos inducidos por el problema. En

realidad, la siguiente proposición nos muestra que la solución LRS coincide con el valor

de Shapley ϕ del juego ( N , vC ) para todo C∈R+¿n¿.

Recordando que valor de Shapley de un juego ( N ,v ) se definía como

ϕi (v )= ∑0≤ s ≤ n−1

s ! (n−s−1 ) !n ! ( ∑

S⊂N ¿,|S|=sv ( S∪ {i } )−v (S )) .

Tenemos la siguiente proposición.

Proposición 2.1 Para todo C∈R+¿n¿ y vC tenemos x iLRS (C )=ϕi ( vC ) , para todoi∈N

Demostración. Para cualquier C∈R+¿n¿ y cualquier i∈ N , la contribución marginal de

la empresa i es vC ( S∪ {i } )−vC ( S )=c i , para todo S⊂N ¿{i¿} (incluyendo el vacío). Sea

s=|S| el tamaño de S, entonces el valor de Shapley del juego ( N ,vC ) de la empresa i es

ϕi (vC )= ∑0 ≤s ≤ n−1

s ! (n−s−1 ) !n ! ( ∑

S⊂ N ¿ ,|S|=svC (S∪ {i } )−vC (S ))

¿ ∑0≤ s≤ n−1

s ! (n−s−1 )!n ! ( ∑

S⊂ N ¿ ,|S|= sc i)

¿c i( ∑0 ≤ s≤n−1

s ! ( n−s−1 )!n!

(n−1 ) !s ! (n−s−1 ) ! )

¿c i( ∑0 ≤ s ≤n−1

1n )

¿c i

¿ x iLRS (C ) ,

para todo i∈N . ⎕

Por otra parte, la siguiente proposición nos muestra que el valor de Shapley, y

por lo tanto la solución del método LRS, están en el core del juego ( N ,vC ) .

Proposición 2.2 Para todo C∈R+¿n¿, el valor de Shapley del juego ( N , vC ) está en el

core, es decir, para cualquier S⊂N , ∑i∈ S

ϕi ( vC )=∑i∈ S

x iLRS (C ) ≤ vC (S ).

Demostración. Para ello debemos probar que el juego ( N ,vC ) es cóncavo, es decir, que

para todo i∈N , todo S ,T⊂N ¿, si S⊂T , entonces

vC ( S∪ {i } )−vC ( S ) ≥ vC (T∪ {i } )−vC (T ) .

Por definición del juego, ambos miembros de la expresión anterior son iguales a

c i. Así, el juego ( N , vC ) es cóncavo.

⎕

2.4.4 Caracterización del método UES

En esta sección, primero vamos a demostrar la caracterización axiomática del

método UES. Luego, nos vamos a centrar en la relación con el valor de Shapley y el

core. Para comenzar, vamos a ver el siguiente teorema.

Teorema 2.5 El método UES es el único que satisface Aditividad, Independecia de los

Coste aguas arriba, Simetría aguas arriba y Eficiencia.

Demostración. Es fácil de comprobar que el método UES satisface los cuatro axiomas.

Vamos a demostrar que es el único método que satisface los cuatro axiomas.

Para cualquier k=1,2 , …,n consideramos C k=(0 ,…, 0,1,0 , …, 0 ) donde 1 es la

k-ésima componente del vector de orden n, C k. Según el axioma de Independencia de

los costes aguas arriba, x j (Ck )=x j (0 , …, 0 )=0 , para todo j>k. Por el axioma de

Simetría aguas arriba, x j (Ck )=x j ' (Ck )=α , para todo j , j ' ≤ k donde α es algún número

no negativo. Por el axioma de Eficiencia tenemos

∑j=1

n

x j (Ck )=kα=1.

Así, x j (C k )=1k

, si j≤ k , x j (C k )=0 , si j>k.

A partir del vector de costes, C k , (k=1,2 , …,n ), formamos una base de Rn, para

cualquier C∈R+¿n¿, que puede ser escrita como C=∑k=1

n

ck ∙C k=( c1 , c2 , …,cn ). Luego el

axioma de Aditividad implica que, para todo jϵN ,

x j (C )=x j(∑k=1

n

ck ∙Ck )¿∑

k=1

n

ck ∙ x j (Ck )

¿ 1j

c j+1

j+1c j+1+…+ 1

ncn

¿ x jUES (C ) .

⎕

Nota. La solución UES requiere que, para el coste de la componente i-ésima c i (1<i ≤ n ),

todos los agentes aguas arriba deben soportar la misma responsabilidad para ese coste.

Por ejemplo, todas las empresas tienen el mismo reparto (1/n ) de cn. Si hay una empresa

j que no necesita pagar ningún coste de limpieza del agua en el segmento j, de acuerdo a

la norma de supervisión medioambiental local (es decir, para esta empresa c j=0), se

podría argumentar que esta empresa no debería entrar en el reparto de los costes de

limpieza del río. Esto parece cuestionar la imparcialidad de la asignación de costos

sugerida por el método UES. Sin embargo, la empresa j afirma que la contaminación

causada provoca un impacto social sobre las casas aguas abajo incluso si pasan los test

de limpieza de las autoridades locales. Si el principio DR es aceptado como una pauta

para dividir los costes totales de contaminación, se deben tomar algunas

responsabilidades para los costes de limpieza aguas abajo.

La siguiente proposición nos muestra que, bajo el principio DR, el método UES

divide el coste total de limpieza de contaminantes en el río de la misma forma sugerida

por el valor de Shapley.

Proposición 2.3 Para todo C∈R+¿n y wC¿ definido anteriormente, tenemos

x iUES (C )=ϕi (wC ) ,i∈N .

Demostración. Considerar C k=(0 , …,0,1,0 , …, 0 ) , donde 1 es la k-ésima componente

del vector de dimensión n, C k ,k=1,2 , …,n. El juego correspondiente a

C k , (k=1,2 , …,n ) viene dado por

wCk

( S )=0 , si min S>k ,

wCk

( S )=1 , en otro caso.

Claramente, para el juego (N ,wCk ), todos los agentes i >k son nulos y todos los agentes

i≤ k son simétricos. Así, el valor de Shapley del juego (N , wCk ) es

ϕi (wCk )=0 , si i >k,

ϕi (wCk )=1k

, en otro caso.

Notar que para cualquier C∈R+¿n¿, escribimos C=∑k=1

n

ck ∙C k. Por la definición

del juego (N ,wCk ), tenemos, para todo ∅ ≠ S⊂N ,

wC ( S )= ∑j=min S

n

c j

¿ ∑j=min S

n

(∑k=1

n

[ ck ∙ C k ] j)¿∑

k=1

n

ck ( ∑j=min S

n

[Ck ] j)¿∑

k=1

n

ck wCk

( S ) .

Donde [ C ] j es la componente j-ésima del vector C. Por el axioma de Aditividad y

teniendo en cuenta la expresión anterior, tenemos

ϕi (wC )=∑k=1

n

ck ϕi (wCk )

¿ 1i

c i+1

i+1c i+1+…+1

ncn

¿ x iUES (C ) ,

para todo i∈N . ⎕

La siguiente proposición muestra que el valor de Shapley del juego (N ,wCk ), es

decir, la solución del método UES, es una asignación del core.

Proposición 2.4 Para todo C∈R+¿n¿, el valor de Shapley del juego (N ,wCk ) está en el

core, es decir, para cualquier S⊂N ,∑i∈ S

ϕ i ( wC )=∑i∈S

xiUES (S ) ≤ wC (S ) .

Demostración. Para ello, tenemos que mostrar que el juego (N ,wCk ) es cóncavo. Para

cualesquiera S , T⊂N , S⊆T , i∉T , se denota por

∆1=wC ( S∪ {i } )−wC (S ),

∆2=wC (T ∪ {i })−wC (T ) ,

∆3=wC ( S∪ {i } )−wC (T∪ {i } ) ,

∆4=wC (S )−wC (T ).

Claramente, la concavidad del juego (N ,wCk ) es equivalente a ∆1−∆2≥ 0 o

∆3−∆4 ≥ 0.

Puesto que S⊂T⊂N ¿, tenemos min S ≥ minT . Luego, para cualquier i∈ N ,i∉T

existen tres posibilidades:

1. i≤ min T ≤ min S ,

2. min T< i≤ min S,

3. min T<min S≤ i.

Ahora, vamos a comprobar la concavidad del juego(N ,wCk ) en cada uno de los

tres casos:

Caso 1. Suponemos que i≤ min T ≤ min S. En este caso,

min T∪ {i }=¿min S∪ {i }=i. Por la definición de wC, tenemos ∆3=0 y ∆4 ≤0 . Por

lo tanto, ∆3−∆4 ≥ 0 .

Caso 2. Suponemos que min T< i≤ min S. En este caso,

min T∪ {i }=¿min T ,i=min S∪ {i }≤ min S . Por la definición de wC, tenemos

∆1≥ 0 y ∆2=0 . Por lo tanto, ∆1−∆2≥ 0 .

Caso 3. Suponemos que min T<min S ≤ i. En este caso,

min T∪ {i }=¿min T ,min S∪ {i }=min S. Por la definición de wC, tenemos ∆1=0 y

∆2=0. Por lo tanto, ∆1−∆2=0 .

Resumiendo, hemos visto que para cualesquiera S , T⊂N , S⊆T , i∉T ,

wC ( S∪ {i } )−wC (S ) ≥ wC (T∪ {i } )−wC (T ) ,

Así, el juego (N ,wCk ) es cóncavo. ⎕

Nota 4. Al igual que en la Nota 2, las Proposiciones 3 y 4 muestran que el método UES

y el valor de Shapley de un cierto juego, presentas ciertas similitudes en sus propiedades

y, como en la asignación del core, cumplen con el axioma independiente, en el

problema de reparto de la contaminación del río se acepta el principio DR. Por otro

lado, el método UES trata a las empresas aguas arriba de forma “injusta”. Por ejemplo,

la empresa 1 tiene un coste asignado generalmente mucho mayor que el coste local c1.

Discutimos que la asignación del método UES puede estar justificada por la teoría del

equilibrio de localización de Tiebout (1956) donde se dice que las personas

voluntariamente eligen la mejor situación para cubrir sus necesidades incluso si pudiese

acarrear un alto coste. Lo mismo se verifica para las empresas. Por ejemplo, las

tecnología (producción) de las empresas aguas arriba deben operar con agua más limpia

y ellas están dispuestas a pagar grandes cantidades de dinero en el reparto de los costes

de limpieza de contaminantes.

2.4.5 Observación sobre el método DES

Cuando aplicamos el método DES al caso de la estructura tipo línea, éste

coincide con el famoso problema sobre las tasas de aterrizaje en un aeropuerto dado

por Littlechild (1974), y Littlechild y Owen (1973).

2.5 Comentarios

2.5.1 Reconsideraciones a los métodos LRS y UES

La primera observación respecto al método LRS es que para cualquier C∈R+¿n¿,

el juego vC es de tipo aditivo o no esencial. Un juego UT, v es no esencial si existen

números α i∈ R ,i∈N , tal que v ( S )=∑i∈S

α i para todo S⊆N . A partir de ahora, dado vC ,

denotaremos un juego UT no esencial por α=( α1 , …, αn )∈R❑n . Claramente, cualquier

juego vC de un río contaminado es un juego no esencial con α i=c i ,i∈N y,

reversiblemente, cualquier juego no esencial con valores no negativos puede ser

obtenido como un juegovC de un río contaminado.

2.5.2 Axiomatización sin aditividad

Se pueden mostrar formas alternativas para la caracterización de los métodos

LRS y UES. Consideremos primero el método UES. Young (1984) caracterizó el valor

de Shapley en la clase de todos los juegos UT por los axiomas de eficiencia, simetría y

fuerte monotonicidad, pero sin el uso del axioma de aditividad.

Van den Brink (2004) mostró que este axioma también caracteriza el valor de

Shapley para la clase de juegos de subasta ya que ningún método de asignación de

costes dado por x (C )=f (wC ) satisface independencia de los costes aguas arriba cuando

f cumple fuerte monotonicidad e independencia de los costes aguas arriba

xUES (C )=ϕ ( wC ). Además, esto proporciona la caracterización axiomática del método

UES sin aditividad. Para ello, se define una nueva propiedad denominada simetría de

costes.

Simetría de costes. Para cualquier i∈ N yC∈ R+¿n¿ se tiene que x j (C )=xk (C )

para todo j , k ≤i cuando c j=0 para todo j<i.

Aunque el método LRS también satisface independencia de los costes aguas

arriba, en la sección no se usó este axioma para la caracterización del método LRS. Así

pues, nosotros hemos usado cuatro axiomas para caracterizar el método UES pero sólo

tres para el método LRS. Sin embargo, se puede caracterizar el método LRS

sustituyendo el axioma de costes no ciegos por la propiedad de simetría de costes.

Con todo esto, se pueden demostrar los siguientes teoremas.

Teorema 2.6 El método UES es el único que satisface eficiencia, simetría de

costes e independencia de los costes aguas arriba.

Teorema 2.7 El método LRS es el único que satisface eficiencia, simetría de

costes e independencia de los costes aguas abajo.

Capítulo 3

El reparto de un río contaminado

usando tasas medioambientales

3.1 Introducción

En los capítulos anteriores hemos considerado una red fluvial dividida en n

segmentos. En cada segmento hemos supuesto un agente que arroja algún tipo de

residuo al río. La autoridad medioambiental debe repartir el coste total de limpieza de la

red portadora de agua entre todos los agentes instalados en su curso.

En este capítulo vamos a proponer nuevas reglas, para distribuir los costes de

limpieza entre todos los agentes. Además, de forma análoga al capítulo anterior,

veremos la caracterización axiomática de estas reglas usando propiedades basadas en las

tasas o impuestos del agua.

La contaminación del aire y del agua fueron el foco inicial que muchas políticas

medioambientales introdujeron en los países de la OECD (Organization for Economic

Co-operation and Development) en la década de los 70. Esto supuso una motivación

para la percepción por la cual, el medio natural se iba degradando cada vez con mayor

rapidez, dando lugar a adversas consecuencias para el medioambiente y la salud del ser

humano.

Un número de países (entre ellos España, Australia o Francia) se apuntaron a

gestionar los recursos de agua y la descarga de contaminantes en común. Un importante

desarrollo en este área fue la creación de la directiva en el marco del agua de la Unión

Europea que logró integrar estos principios en los ríos situados en el área de los

distintos países europeos en 2009. Debido a la integración de estas políticas, se aclaró la

relación entre el uso del agua y la contaminación de ésta, cuyo objetivo trataba de

mejorar la eficiencia de los recursos. Por ejemplo, por ellos se permiten la comparación

entre los costes de limpieza del agua, aguas abajo antes de que se suministre, con los

costes de la desalentadora contaminación aguas arriba. Esta política también facilita los

costes de recuperación. Cuando las autoridades tienen acceso al coste de tratamiento de

agua para las operaciones de suministro, esto les da diversa información sobre los costes

de la contaminación aguas arriba. Ellos pueden usar una estimación y ver qué

contaminante debe ser eliminado. La gestión de los ríos también facilita la asignación de

agua entre los distintos usos, así como el control de todas las transferencias internas.

Gómez-Rúa (2008) desarrolla un modelo para estudiar el problema desde el

punto de vista teórico. En él se considera un río divido en n segmentos. Hay n agentes

situados a lo largo del río generando residuos. Se proponen algunas reglas para repartir

el coste de limpieza total entre todos los agentes. Además, para cada regla se propone la

caracterización axiomática usando las propiedades basadas en los impuestos sobre el

agua.

En este capítulo vamos a proponer alguna regla para repartir el coste total de

limpieza entre todos los agentes siguiendo los estudios de Gómez-Rúa (2008). Además,

proporcionaremos la caracterización axiomática usando propiedades basadas en las

tasas de agua.

Pensamos que los axiomas de Eficiencia, Independencia de los costes aguas

arriba e independencia de los costes irrelevantes son unas propiedades muy interesantes

o atractivas. Sin embargo, vamos a introducir una nueva propiedad en este contexto que

tiene en cuenta las ideas proporcionadas por los dos últimos axiomas. Llamaremos a

esta propiedad Independencia de los costes sin responsabilidad, y asegura que el reparto

de los costes de los agentes sólo depende de sus propios residuos, así como, de todos los

costes aguas abajo, pero no sobre los costes asociados con algún otro segmento del cual

no se tiene ninguna responsabilidad.

El axioma de Aditividad ha sido usado en diversas situaciones. Por ejemplo, en

juegos cooperativos con utilidad transferible, el valor de Shapley (Shapley (1953)) que

es considerado como el valor más importante en esta clase de juegos, es caracterizado

con esta propiedad. Moulin (1987) y Chun (1988) usaron mucho este axioma en

problemas de superávit de asignación respectivamente. Este axioma también fue usado

en los problemas de reparto de costes (Moulin (2002)). Moulin y Sprumont (2005) se

centraron en la regla de aditividad para problemas de reparto de coste con demanda. En

problemas de minimización de costes Bergantiños y Vidal-Puga (2007) caracterizaron

una regla y proporcionaron una detallada discusión de esta propiedad.

Algunas veces, los residuos arrojados al río son biodegradables y su

contaminación acaba desapareciendo con el tiempo. Algunos ejemplos son restos de

comida orgánica, residuos de los bosques, de las granjas, etc. En muchos casos es

posible conocer el rango de biodegradación de los residuos, denominado δ . Así pues,

parece razonable afirmar que el coste que un agente debe pagar para la limpieza de un

área contaminada depende de este índice. Vamos a introducir una nueva propiedad en

este contexto denominada ratio de biodegradación.

En muchos países existen muchas alternativas en el diseño de las tasas de agua.

Además, en muchos casos, existe una diferencia entre los ratios aplicados a los usos

domésticos y los ratios aplicados a los usos industriales. Por lo tanto, hay una

componente variable que depende de diversos factores como puede ser el volumen de

agua consumida, la carga de contaminación, la población del municipio, el tipo de

residuo, etc. Este es el caso de Australia, Canadá, Finlandia, Francia, Alemania, Suecia,

España, Corea, USA,… entre muchos otros (Gago et al. (2006), OECD (2006)).

La última parte del capítulo trata con una aproximación de un juego teórico. En

el artículo de Gómez-Rúa (2008), también se introduce un juego UT y vamos a probar

que una de las reglas que se van a proponer, coincide con el valor de Shapley ponderado

de ese juego. Generalizaremos este resultado al nuevo contexto.

Así pues el capítulo se distribuye de la siguiente forma. En la Sección 2 vamos a

introducir el modelo. En la Sección 3 procederemos a la caracterización axiomática de

las reglas propuestas. En la Sección 4 vamos a introducir el ratio de biodegradabilidad.

Finalmente, probaremos que una de las reglas introducidas coincide con el valor de

Shapley ponderado de un juego cooperativo particular.

3.2 El modelo

Vamos a seguir el modelo presentado por Dong et al. (2007). Consideremos

pues, una red fluvial en la que se instalan una serie de agentes, N= {1,2, …, n }, y un

agente especial, L, denominado lago. Los agentes están conectados los unos a los otros

mediante una serie de enlaces. Los agentes situados aguas arriba vierten una cierta

cantidad de contaminantes a la red. El río contaminado necesita ser limpiado. El coste

de limpieza de cada enlace y del agente lago son conocidos y deben ser repartidos entre

todos los jugadores.

Sea N '=N ∪ {L } el grupo formado por una serie de agentes y sea E una serie de

enlaces sobre N’, asumiremos que E tiene una estructura en forma de árbol, es decir, que

todos los agentes conectados por E no formen ningún ciclo.

La función de coste (del árbol E) es C : N∪ { L }→ R+¿¿ donde para cada

i∈N ,C ( i)=c i denota el coste asociado al agente i (por ejemplo, el coste asociado al

enlace entre el agente i y su sucesor hacia L) y C ( L ) es el coste asociado a L.

Denotaremos

C ( N )=∑i∈N

c i .

Dado el árbol E, las relaciones aguas arriba y aguas abajo entre los agentes,

queda únicamente determinada por el nodo L. También, para cada agente, hay una única

forma de conectar un secuencia de agentes aguas abajo sucesivamente a L.

Ahora vamos a introducir alguna notación relacionada con la estructura del

grafo. Dado ( N ' , E ,C ), Definimos los siguientes conjuntos.

U (i )≔ { j∈N :existenh1, h2 , …, hm enN ' tal queh1=i , hk+1U ( hk ) paratodo 1≤ k ≤ m−1 y hm= j }.

Los agentes de U ( i ) se denominan agentes aguas arriba de i en E.

D (i )≔ { j∈N ' : i∈U ( j ) }.

Los agentes de D ( i ) se denominan agentes aguas abajo de i en E.

Dados i , j∈N ' definimos un conjunto

d ( i , j )≔ {l∈N ' : l es elúnico camino de i hacia j }. La distancia geodésica desde i hasta j es

el cardinal de d ( i , j ), es decir, |d ( i , j )|.

3.3 Caracterización

Recordemos que Dong et al. (2007) caracterizaron el método UES con cinco

axiomas: Aditividad, Eficiencia, Independencia de los costes aguas arriba,

Independencia de los costes irrelevantes y Simetría aguas arriba. Este último asegura

que todos los agentes situados aguas arriba tienen la misma responsabilidad para unos

costes dados de contaminación aguas abajo. Sin embargo, existen situaciones donde este

axioma no puede ser aplicado. En Gómez-Rúa (2008) nos podemos adentrar más en este

asunto.

La propiedad de independencia de los costes irrelevantes asegura que para el

coste de un agente i, cualquier otro agente que no pertenezca a su área aguas arriba o

aguas abajo y que no vierta ningún contaminante no debe soportar ningún coste de

limpieza.

En esta sección vamos a caracterizar el conjunto de reglas que satisfacen tres

propiedades: Eficiencia, Aditividad y una nueva propiedad que recoge las ideas de

independencia de los costes aguas arriba e independencia de los costes irrelevantes. A

esta propiedad se le denominará Independencia de los costes sin responsabilidad.

Vamos a recordar e introducir formalmente los tres axiomas.

Aditividad. Para cualesquiera C1=(c11 , …,cn

1 )∈ R+¿n +1¿ y C2=(c12 ,…,cn

2)∈ R+¿n +1¿

tenemos x j (C1+C2 )=x j (C1 )+x j (C2 ) , para toda j∈N ' .

Eficiencia. Eficiencia requiere que el reparto de costes de todos los agentes sumen

el coste total.

∑j=1

n

x j=∑j=1

n

c j.

Independencia de los costes sin responsabilidad. Sean i∈ N ' y C , C '∈R+¿n+1¿

talque c j=c j' para todo j∈D (i )∪ {i }, entonces, x i (C )=xi ( C' ) .

Aditividad, Eficiencia e Independencia de los costes sin responsabilidad

aseguran que el reparto de costes de un agente sólo depende de su propia

contaminación, así como, de todos los costes aguas abajo, pero no sobre los costes

asociados con algún otro segmento. Es decir, si la contaminación causada por el agente i

no alcanza ese segmento, entonces dicho agente no debe soportar ningún coste de

limpieza para ese tramo.

Ahora vamos a pasar a presentar la familia de reglas que satisfacen los tres

axiomas anteriores. Estas reglas dividen el coste de cada segmento j (c j ) entre los

agentes responsables de ello (i∈U ( j )∪ { j } ) proporcionalmente al vector p j' ∈R+¿n+1. ¿

Teorema 3.1 Una regla x satisface los axiomas de Eficiencia, Aditividad e

Independencia de los costes sin responsabilidad si y sólo si para cada j=1 ,…,n , L

existe un sistemas de pesos ( pij )i∈N '∈R+¿n+1¿ tal que pi

j=0 cuando i∈ N ' ¿(U ( j )∪ { j }¿),

∑i∈N '

p ij=1 y

x i (C )=∑j∈N '

pij c j ,

para todoC∈R+¿n+1¿ y todo i∈ N ' .

Demostración. Para ello debemos probar que x satisface los tres axiomas:

Veamos primero que x satisface Eficiencia.

∑i∈N '

x i (C )=∑i∈N '

∑j∈N '

pij c j=( ∑j∈N '

c j)(∑i∈N 'p i

j)=∑j∈N '

c j .

Comprobamos que x satisface Aditividad.

Sean C , C '∈ R+¿n+1¿ e i∈ N ', así

x i (C+C ' )=∑j∈ N '

x ij (C+C ' )

¿ ∑j∈ N '

pij (c j+c j ' )

¿ ∑j∈ N '

pij c j+∑

j∈N '

pij c j '

¿ x i (C )+x i (C ' ) .

La regla x satisface Independencia de los costes sin responsabilidad.

Sean C ,C '∈R+¿n+1¿ e i∈N 'tal que c j=c j ' para todo j∈D ( i )∪ {i }. Ya que pij=0 , cuando

i∈ N ' ¿(U ( j )∪ { j }¿)

x i (C )=∑j∈N '

pij c j= ∑

j∈D ( i)∪ {i}pi

j c j= ∑j∈D ( i)∪ {i }

pij c j '=∑

j∈N 'pi

j c j '=xi (C ' ) .

Ahora vamos a demostrar el recíproco. Para ello, asumimos que x es una

solución que cumple eficiencia, aditividad e independencia de los costes sin

responsabilidad. Para cada j∈N ' , sea 1 j=( y1 ,…, yn , yL )∈ R+¿n +1¿ tal que y j=1 e y j=0

cuando i≠ j. Vamos a definir p j=x (1 j ).

Sea xP la regla inducida por el sistemas de pesos ( p j )i∈N '. Probaremos que x=x p

en algunos casos, que fueron demostrados por Bergantiños y Vidal-Puga (2004).

Caso 1. Sea ( p j )i∈ N ' un sistema de pesos.Ya que x satisface Eficiencia,

∑i∈N '

x i (1 j )=1. Por la definición de solución x i (1 j )∈R+¿n+1 ¿. Sean i , j∈N ' tal que

i∈ N ' ¿(U ( j )∪ { j }¿). Debido a que x satisface la independencia de los costes sin

responsabilidad, x i (1 j )=x i (0 , …,0 ). Ya que x i (0 , …, 0 )∈R+¿n+1¿ y ∑l∈N '

xl (0 ,…,0 )=0,

x i (0 , …, 0 )=0.

Caso 2. Sea c j∈Q+¿¿ (un número racional positivo), entonces

x i ( 0 ,… ,c j ,…,0 )=c j x i (0 , …, 1 ,… ,0 ) .Sea c j=1/q, donde q∈N . Por aditividad

x i (0 , …, 1 ,…,0 )=∑k=1

x i(0 , …, 1q

,…, 0)=q xi(0 , …, 1q

,…,0). Así,

x i(0 ,…, 1q

, …, 0)= x i (0 ,…,1 ,…,0 )q

=c j x i (0 , …,1 , …, 0 ) .

Sea c j∈Q+ ¿¿, decimos que c j=pq . Por aditividad,

x i(0 ,…, pq

, …,0)=p xi(0 ,…, 1q

, …, 0) .

Que junto a la expresión anterior.

x i(0 ,…, pq

, …,0)= pq

x i (0 ,…,1 , …, 0 ) .

Caso 3. Sea c j∈R ¿ (un número irracional positivo), entonces

x i ( 0 ,… ,c j ,…,0 )=c j x i (0 , …, 1 ,… ,0 ) . Sea c j∈R ¿. Entonces existe {b l }l=1∞ tal que

b l∈Q+¿,bl <c j ¿ y liml → ∞bl=c j.

Sea l∈N . Debido a que x ( 0 , …,c j−b l ,…, 0 )∈R+¿n+1¿ y

∑i∈N '

x i (0 , …, c j−bl , …,0 )=c j−bl,

0 ≤ xi (0 ,…, c j−bl ,…,0 ) ≤c j−bl .

Por aditividad,

x i ( 0 ,… ,c j ,…, 0 )=x i (0 , …, c j−bl , …,0 )+x i ( 0 , …,b l , …, 0 ) ,

0 ≤ xi (0 , …,c j ,…, 0 )−x i (0 ,…, bl ,…, 0 ) ≤c j−bl .

Ya que b l∈Q+¿¿,

x i ( 0 ,… ,b l , …, 0 )=bl x i (0 , …, 1 , …,0 ).

0 ≤ xi (0 , …, c j , …, 0 )−bl x i (0 , …,1 , …, 0 ) ≤ c j−b l .

Así,

0≤ liml→ ∞

[ x i (0 , …,c j ,…,0 )−b l xi (0 ,… ,1 ,…,0 ) ] ≤ liml→ ∞

[c j−bl ] ,

0≤ xi (0 , …, c j ,…,0 )−cl x i (0 , …, 1 , …,0 )≤ 0 ,

x i ( 0 ,… ,c j ,…,0 )=c j x i (0 , …, 1 ,… ,0 ) .

Caso 4. Dado i∈ N ' y C∈R+¿n+1¿, x i ( c1 ,…, cn, c L)=∑j∈N '

xi (0 , …, 0 , c j , 0 , …,0 )

Debido a que x ip ( c1 ,…, cn ,c L)=∑

j∈N '

p ij c j y por los Casos 2 y 3

x i ( 0 ,… ,c j ,…,0 )=c j x i (0 , …, 1 ,… ,0 )=c j pij , para todo j∈N ' y todo c j∈R+¿❑¿, esta

claro que x=x p .

⎕

3.4 Otros resultados

En esta sección vamos a proporcionar la caracterización de las nuevas reglas,

añadiendo una propiedad diferente basada en las tasas medioambientales reales. Esta

propiedad es una generalización de la introducida en Gómez-Rúa (2008).

Como ya se ha comentado a lo largo del capítulo, en muchos casos no todos los

agentes arrojan el mismo tipo de residuos. Además, si los residuos son biodegradables,

su contaminación desaparecerá con el paso del tiempo. En muchas ocasiones es posible

conocer el grado de biodegradabilidad mediante el índice δ . Si esto ocurre, los costes

que los agentes pagan por la contaminación de un área deben depender de este ratio.

Vamos ahora a introducir una nueva propiedad siguiendo esta línea.

Ratio de biodegradación (BR). Dado j∈N ' , para cualquier i , k∈ (U ( j )∪ { j } ) tal que

|d (i , j )|≥|d (k , j )|,

x i ( 0 ,… ,0 , c j , 0 ,…, 0 )=δ|d (i , j)|−|d ( k , j )|xk (0 , …,0 , c j ,0 , …,0 ) .

Asumiremos que 0≤ δ ≤ 1. Notar que un valor de δ=0 , significa que el residuo

del agente i sólo afecta a su propia área. En este caso, el ratio de biodegradación indica

que cada agente paga el coste correspondiente a su propia área, llamándolo x i (C )=ci ,

para todo C , i∈ N '. Por otro lado, un valor de δ=1 , significa que los residuos no son

biodegradables. En este caso, el axioma de ratio de biodegradación coincide con la

simetría aguas arriba.

En el siguiente teorema vamos a estudiar los efectos de añadir el ratio de

biodegradación a las propiedades en el Teorema 1

Teorema 3.2 Una regla x satisface los axiomas de Eficiencia, Aditividad,

Independencia de los costes sin responsabilidad y ratio de biodegradación si y sólo si

para cada j=1 ,…,n , L existe un sistema de pesos ( pij )i∈N '∈R+¿n+1¿ tal que pi

j=0 cuando

i∈ N ' ¿(U ( j )∪ { j }¿),∑i∈N

p ij=δ|d (i , j)|−|d ( k , j)| pk

j , para cualquier i∈U ( j ) , k∈U ( j )∪ { j } tal

que |d ( i , j )|≥|d (k , j )|,∑i∈N '

p ij=1 y

x i (C )=∑j∈N

p ij c j ,

para todoC∈R+¿n+1¿ y todo i∈ N ' .

Demostración. Para ello, debemos probar que x satisface el ratio de biodegradación.

Sean i , j , k∈N ' tal que i∈U ( j ) , k∈U ( j )∪ { j } y |d ( i , j )|≥|d (k , j )|. Sea

(0 ,…,c j , …, 0 )∈R+¿n+1¿. Entonces

x i ( 0 ,… ,c j ,…,0 )=∑l∈N

p il cl=p i

j c j=δ|d (i , j)| p jj c j

¿δ|d (i , j )|δ|d (i , j )|−|d (k , j)| p jj c j=δ|d (i , j)|−|d ( k , j )| pk

j c j

¿δ|d (i , j )|−|d (k , j)| xk (0 ,…, c j , …, 0 ) .

Ahora vamos a demostrar el recíproco. Para ello, asumimos que x es una

solución que cumple eficiencia, aditividad, independencia de los costes sin

responsabilidad y ratio de biodegradación. Por el Teorema 1, para cada j=1 ,…, n , L

existe un sistema de pesos ( pij )i∈ N '∈R+¿n+1¿ tal que pi

j=0 cuando i∈ N ' ¿(U ( j )∪ { j }¿),

∑i∈N '

p ij=1 y x i (C )=∑

j∈N 'pi

j c j , para todo C∈R+¿n+1 ¿ y todo i∈ N ' . Vamos ahora a

demostrar que pij=δ|d (i , j )|−|d (k , j)| pk

j, para cualquier i∈U ( j ) , k∈U ( j )∪ { j } tal que

|d (i , j )|≥|d (k , j )|.

Para probar el Teorema, p j=x (1 j ). Debido a que x satisface el ratio de

biodegradación,

pij=x i (1 j )=δ|d ( i , j )|x j (1J )=δ|d ( k , j )|δ|d (i , j )|−|d (k , j )| x j ( 1J )

¿δ|d (i , j )|−|d (k , j)| xk (1J )=δ|d ( i , j )|−|d (k , j )| pkj .

⎕

Capítulo 4

Aplicaciones

4.1 Introducción

En este capítulo nos vamos a centrar en la parte más práctica del proyecto. Hasta

ahora hemos visto tres capítulos muy teóricos en los cuales se han presentado diferentes

formas de abordar el problema de reparto de costes de limpieza de los contaminantes de

un río. Ahora vamos a ver dos aplicaciones sobre casos reales. En cada una de ellas,

vamos a poner en práctica todos los conocimientos adquiridos hasta el momento.

En el primer caso, realizaremos una aplicación real basada en la limpieza del río

Kishon. Veremos y analizaremos los distintos métodos de reparto aplicados a una

estructura tipo línea.

En el segundo caso, consideraremos un ejemplo sobre un proyecto a cargo del

Asian Development Bank (ADB) en China. El objetivo del proyecto asignado es

restaurar el entorno ecológico de un lago muy contaminado, el Bai Yang Dian en la

provincia de Hebei, al norte de China. Esta aplicación tiene una estructura tipo árbol.

4.2 Israel: Río y Puerto Kishon, mar mediterráneo.

Vamos a presentar uno de los mayores desafíos a nivel mundial, en lo que a

rehabilitación de los ríos se refiere. Así, el río Kishon es conocido por ser el río más

contaminado de Israel. Dicho afluente, con algo más de 70 kilómetros de largo, ocupa

una superficie de 1.100 kilómetros cuadrados. Nace en el Valle de Jezreel y desemboca

al mar en la bahía Haifa. Dado que corre por el principal centro industrial del país, el río

se ha convertido en un gran recipiente de contaminantes tóxicos procedentes de las

refinerías de petróleo, las industrias

petroquímicas y las plantas de

pesticidas de Haifa. Los análisis

que se han realizado de los

sedimentos del río han mostrado

altas concentraciones de metales

pesados, originados en los

efluentes industriales que han sido

arrojados al río durante décadas.

La contaminación era tan

mala que el personal de la Armada

de Israel que se había entrenado en el río durante los años 1970 y 1980 provocó que un

número desproporcionado de ellos desarrollaran cáncer con el paso del tiempo. Como

resultado, 92 buzos serán compensados por los gastos relacionados con las

enfermedades que se pueden conectar a las toxinas de Kishon. A continuación se

muestra una tabla con la composición del agua en distintos puntos de la bahía de Haifa

en una muestra tomada en el año 1998.

Parámetro estación Rompeolas Club náutico Astillero

Muro de

piedra

Dique flotante

Muelle pesquero entrada

Muelle pesquero

pHConductividad eléctricamS/cmN H3mq /lTotal N, mg/lN O3, mq/lSST, mg/lDOB, mg/lDOC, mg/lDetergentes, mg/lAceites, mg/l

3.2838.418.423.7403063900.71

3.8543.114.319.427.6192960

0.89<1

2.8232.619.726.449.11677

1500.86

5

2.343121

31.361.91778

1950.94

2

4.9644.213.320.21813<5580.8<1

2.1523.317.933.158.81672

1980.88

4

3.4836.619.525.637.62249

1050.94<1

Hace varios años se detectó contaminación por efluentes industriales ácidos y

descomposición de desechos agrícolas y municipales, los cuales provocaron demasiada

corrosión en los navíos de pesca y las instalaciones de acero del puerto y del astillero.

Durante 1997-2000, la corrosión se incrementó debido a la extrema acidez llegando a

niveles de pH en el rango de 2 a 4, al elevado contenido y actividad de H2S (1 a 4 mg/l)

y otros factores corrosivos.

El estado de deterioro del Río Kishon se debatió por primera vez en la Knéset

en 1978. Si bien, el llamado a un proyecto de rehabilitación y a la aplicación de

estrictas medidas para cesar la descarga de sustancias contaminantes al río puede

remontarse a ese año, desde entonces no se han realizado progresos significativos. Los

esfuerzos se han centrado principalmente en aumentar la supervisión, la inspección y

la aplicación de la ley, y en recopilar información actualizada sobre descargas de

efluentes. En los últimos años se cavaron túneles superficiales a lo largo de las orillas

del río que se cubrieron con láminas de polietileno selladas para depositar en ellos

temporalmente grandes cantidades de sedimentos extraídos del río, hasta que se

encuentre una solución permanente para el tratamiento de estos sedimentos. Aguas

arriba, antes de que el Kishon entre en la zona industrial de Haifa, una franja de tres

kilómetros se ha transformado en un hermoso lugar. Aquí, en la zona de Kiriat Tivón,

que anida entre los valles de Jezreel y Zevulún, una descuidada sección del río se ha

convertido en un parque público, como se puede apreciar en la siguiente fotografía.

Este primer parque fue inaugurado en el 2001 junto a una bahía de pescadores. En el

futuro se pretende agregar secciones adicionales para formar finalmente un único

parque a lo largo de todo el curso del río.

Debido a la complejidad del proceso de rehabilitación, un requisito previo

esencial es una comprensión más clara del ecosistema del río Kishon y de la bahía de

Haifa. Con tal propósito, la Asociación Ambiental Regional de Haifa en cooperación con

el Ministerio de Calidad Ambiental inició una investigación sobre la capacidad de

arrastre de la bahía de Haifa y del río Kishon. El estudio, que fue financiado por el

Banco de Inversiones Europeo e implementado por un consorcio de compañías

israelíes y danesas, desarrolló un enfoque integrativo de la descarga de efluentes en la

zona que toma en cuenta no solamente la cantidad y calidad de los efluentes

industriales y de alcantarillado, sino también el destino de dichos contaminantes en el

entorno marino. Basándose en dicho estudio, se desarrollaron nuevas normas para la

descarga de aguas servidas y efluentes industriales en la zona de la bahía de Haifa.

Pero, ¿pueden estos esfuerzos garantizar la rehabilitación total de la severa

contaminación del río Kishon? La respuesta a esta pregunta es que no, pero si es

verdad que se está avanzando en buena dirección para conseguir este propósito. La

mayor esperanza la ofrece la Autoridad del Río Kishon creada en 1994. Esta autoridad

se dedica a rehabilitar el río y transformarlo en una atracción regional. El esquema de

rehabilitación habla de suspender todas las descargas de aguas servidas, extracción y

tratamiento de los sedimentos, mejora del paisaje a las orillas del río, protección de

inundaciones y equipamiento de instalaciones recreativas, deportivas y turísticas.

Hasta ahora, se han completado un estudio ecológico global sobre el Kishon y un plan

maestro. La planta de tratamiento de aguas servidas de Haifa ha sido mejorada y una

comisión interministerial para determinar la calidad del agua y establecer normas de la

descarga de efluentes presentó sus recomendaciones. Asimismo, se trazaron planes

para cesar el arrojo de efluentes industriales al río hasta finales de 2011. Es de esperar

que los esfuerzos del pasado se combinen con los esfuerzos del presente para

proporcionar también a este río una nueva vida.

Con el propósito de la rehabilitación total, el gabinete aprobó en Julio de 2011

un reforma de 220 millones de NIS (unos 62 millones de dólares aproximadamente)

destinados a la limpieza del río Kishon en Haifa. El proyecto de tres años de duración

fue presentado por el ministro de Medio Ambiente, Gilad Erdan.

Dicho estudio incluye la desviación de las secciones del río y el dragado de las

piscinas de lodo a una profundidad de 2,5 metros de largo de un tramo de siete

kilómetros. El lodo, como ya se ha indicado, contiene metales pesados, fósforo, cadmio

y arsénico, que se han acumulado durante décadas. La nueva tecnología será utilizada

para purificar el área cercana al lugar de trabajo, y así poder conseguir un parque

continuo a lo largo del río rehabilitado.

La propuesta de Erdan incluye 60 millones de NIS de asignación por el

Ministerio de Hacienda para financiar parte del proyecto, con el argumento de que el

gobierno tiene la responsabilidad histórica de la contaminación del río Kishon, ya que

las fábricas contaminantes fueron propiedad del gobierno durante años. El Ministerio de

Hacienda se opuso a la asignación, insistiendo en que el Ministerio de Protección del

Medio Ambiente debe financiar el proyecto de su presupuesto actual. El gabinete

finalmente resolvió la controversia al decidir que los cuatro cuerpos a compartir la

financiación serían el Ministerio de Finanzas, el Ministerio de Protección del Medio

Ambiente, el Ministerio de Agricultura, y la Autoridad de los ríos.

A pesar de que el gobierno acepta la decisión, los conflictos permanecen. Tanto

el Ministerio de Protección del Medio Ambiente como las autoridades locales

reconocen la necesidad de rehabilitar el río Kishon y están preparados para ayudar a

financiar el proyecto. El Ministerio dice, sin embargo, que Haifa Chemicals es la única

empresa que se niega a poner el dinero que se le exige, 28 millones de NIS, y que la

compañía está ofreciendo sólo la décima parte del importe. Un comité de expertos

independiente, encargado por el Ministerio de Protección del Medio Ambiente,

recomienda la limpieza del río Kishon sobre la base del perfil de la contaminación se

encuentra, que incluye los derivados de combustibles y metales pesados, que son

característicos de la contaminación por derivados del petróleo, y esto no es un negocio

de Productos Químicos de Haifa. La compañía es la responsable de un insignificante

2,8% de la contaminación y se notificó al ministerio hace seis meses que se trataba de

compartir el costo de la limpieza sobre la base de la proporción de la contaminación,

determinada por el comité de expertos, e incluso financiar una mayor proporción del

costo del proyecto de limpieza, con base en la parte proporcional de la empresa de la

financiación total.

Cuando el proyecto esté terminado, el río Kishon será diferente. Va a estar más

limpio, el lecho del río se descontaminará y se hará más profundo para evitar las

inundaciones de la Krayot, y, además, su curso será modificado; Una franja de 1,5

kilómetros de refinerías de petróleo se desviará a un canal alternativo de medio punto

que, básicamente, dan la vuelta al sitio donde se realizará el dragado de lodos vertidos y

descontaminados, con extensos tratamientos biológicos. Los microorganismos

eliminarán las toxinas. Este es el plan de la División de Agua y Ríos del Ministerio de

Protección del Medio Ambiente. El dragado y descontaminación se llevará a cabo por

una empresa que será elegida mediante licitación internacional.

El gabinete también aprobó un plan para los suelos contaminados en la década

de 1990 que se almacena en piscinas temporales a lo largo de las orillas del río Kishon.

280.000 metros cúbicos de lodos tóxicos fueron dragados en el momento, la mayoría

de los cuales nunca han sido descontaminados. 150.000 metros cúbicos de estos lodos

serán descontaminados.

4.2.1 Objetivo de la Aplicación

A continuación, vamos a describir brevemente cual es el objetivo de esta

aplicación basada sobre el río Kishon. Empezaremos con una descripción del modelo

que vamos a usar. Utilizaremos una estructura de tipo línea la cual estará dividida en

varios segmentos, en cada uno de los cuales se situará un agente.

Una vez detallado el modelo procederemos a resolver el problema de forma

analítica usando los distintos métodos que hemos estudiado a lo largo de todo el

proyecto. Primero resolveremos la aplicación siguiendo el método LRS (Local

Responsability Sharing). Después veremos la aplicación desde el punto de vista del

método UES (Upstream Equal Sharing). El tercer método que vamos a usar es el DES

(Downstream Equal Sharing). También veremos la resolución del río Kishon utilizando

métodos de reparto que hacen uso de sistemas de pesos, tal como se describe en el tercer

capítulo. Para finalizar introduciremos el concepto de ratio de biodegradabilidad en el

método de reparto de los costes de contaminantes usando un sistema de pesos.

Una vez vistos todos los métodos anteriores con sus correspondientes soluciones

procederemos al análisis y comparación de los resultados, estableciendo cuando se debe

usar un método y no otro, a qué agentes le puede interesar uno y a cuales otros etc.

Por último, explicaremos el alcance de esta aplicación para la gran mayoría de

problemas de reparto de costes sobre ríos.

4.2.2 Modelado del problema

A continuación presentamos el modelo del problema. Para ello disponemos de la

siguiente representación.

Como se puede apreciar en la imagen, hemos asociado al río Kishon una

estructura tipo línea. Dicha estructura se ha divido en seis segmentos donde, en cada

uno de ellos se encuentra localizado un agente. Así pues, tenemos un conjunto de seis

agentes instalados en el curso del río, siendo el agente uno el situado aguas más arriba y

el agente seis el más cercano a la Bahía de Haifa.

Estos agentes representan varias industrias que son diferentes entre sí. Así, el

agente dos es una industria de productos químicos. Los agentes uno, tres y seis se

pueden agrupar en un conjunto de industrias petroquímicas. Por último, los agentes

cuatro y cinco son dos refinerías de petróleo.

Para cada agente aparecen dos variables c i , xi , siendo la primera de ellas el coste

de limpieza asociado al segmento i. La segunda variable representa la asignación del

reparto del coste correspondiente para el agente i. Dicha variable será la solución

proporcionada por los distintos métodos que se van a usar.

La operación de rehabilitación del río representa una suma total de 220 millones

de NIS. De este total, 60 millones de NIS quedan asignados a los cuatro ministerios ya

comentados: el Ministerio de Finanzas, el Ministerio de Protección del Medio

Ambiente, el Ministerio de Agricultura, y la Autoridad de los ríos. Los 160 millones de

NIS restantes van a ser los destinados a repartir entre todos los agentes que contribuyen

a la contaminación del río.

Notar que en la representación gráfica sólo aparecen las empresas que realizan

vertidos contaminantes al río sin tener en cuenta aquellas empresas “limpias” que no

suponen daño alguno para el río.

En el siguiente punto, se va a proceder a la resolución analítica del problema

para cada uno de los distintos métodos que se han indicado anteriormente. La resolución

consiste, básicamente en la obtención del vector de costes asignados que, como ya se ha

indicado, representa el valor, en millones de NIS, que cada empresa debe soportar para

realizar la operación de rehabilitación del río. Debido a la complejidad del ejemplo, se

van a estimar los datos de partida de la forma más lógica y admisible posible. Así, para

resolver la aplicación a través de los métodos LRS, UES y DES se va a suponer un

vector de costes de limpieza de todos los segmentos que forman la estructura del río. De

forma análoga, para los otros dos métodos restantes se va a asumir una matriz de pesos

cuadrada de orden seis y una matriz sobre ratios de biodegradabilidad para la resolución

del último método. Como ya veremos más adelante, a partir de la matriz de ratios de

biodegradación se obtendrá la matriz de pesos correspondiente y, una vez realizado esto,

procederemos de forma análoga a la realizada en el cuarto método.

4.2.3 Resolución analítica

Pasamos ahora a la resolución analítica de cada uno de los cuatro métodos ya

propuestos describiendo detenidamente como se han realizado cada uno por separado

hasta conseguir la asignación del vector de costes donde aparece la cantidad, en

millones de NIS, que cada agente debe afrontar para la rehabilitación del río.

4.2.3.1 Resolución usando el método LRS

Comenzamos con el método Local Responsability Sharing o método LRS. Este

método es el más simple de todos ya que implica una matemática muy sencilla. Como

consecuencia de esto, puede provocar una resolución en la asignación lejana a la

realidad, dando lugar a un posible reparto injusto entre todos los agentes.

Como ya indicamos anteriormente, los datos de partida van a ser estimados de la

forma más lógica y admisible posible. De esta forma, se supone conocido el siguiente

vector de costes de limpieza de contaminantes.

Agente

C i

(Coste de limpieza del

segmento correspondiente, en

millones de NIS)

%

(Respecto los 160 millones de

NIS)

1 40 25

2 6 3,7

3 40 25

4 17 10,625

5 17 10,625

6 40 25

Total 160 100

Así pues, C ( i )= (40,6,40,17,17,40 ) .

Como podemos apreciar en la tabla anterior, las empresas que más intervienen

en la contaminación del río son las industrias petroquímicas cuyos vertidos son los que

más hacen variar la composición de las aguas del río Kishon. Por esta razón el coste de

limpieza de su segmento es el más elevado, siendo 40 los millones necesarios para

limpiar los segmentos de río asociados a los agentes unos, tres y seis. El segundo tipo de

empresas que más contamina el río son las refinerías de petróleo. En este caso, se le han

asociado unos costes de 17 millones de NIS para la limpieza de los segmentos

correspondientes a los agentes cuatro y cinco. Ya por último, el agente dos,

correspondiente a la industria de los agente químicos es el que menos repercute sobre la

variación en el entorno medioambiental del río. Con este motivo, la asignación del coste

de limpieza de los contaminantes de su segmento es de 6 millones de NIS.

La resolución y, por lo tanto, la obtención del vector de asignación de costes

para el método LRS es muy sencilla. Para realizarla únicamente hay que tener en cuenta

que dicho método consiste en la asignación del coste de cada agente, es decir, se basa

única y exclusivamente en lo que cada agente ensucia o contamina. En otras palabras, la

asignación a cada agente corresponde a los costes de limpieza que cada agente debe

aportar para la rehabilitación del río.

Con este pretexto obtenemos la siguiente tabla de solución.

Agente

Asignación de coste

x iLRS

(millones de NIS)

1 40

2 6

3 40

4 17

5 17

6 40

Total 160

Por lo tanto, el vector solución de asignación es

X LRS=(40,6,40,17,17,40 ) .

Así pues, los agentes uno, tres y seis deben afrontar un pago cada uno de ellos de

40 millones de NIS, los agentes cuatro y cinco deben pagar 17 millones de NIS cada

uno y, finalmente, el agente dos debe aportar 6 millones de NIS.

4.2.3.2 Resolución usando el método UES

El segundo método de resolución es el Upstream Equal Sharing o método UES.

Este proceso también se construye a partir de una matemática sencilla. Como ya vimos

en el Capítulo 2, el método UES asigna costes a los agentes basándose en los costes

autónomos (que eran los únicos en los que se basaba el método LRS, los costes de

limpieza del segmento) más el reparto equitativo de los costes a los agentes situados

aguas abajo. En otras palabras, sea el agente tres con su correspondiente coste de

limpieza del segmento tres. Usar el método UES implica decir que el segmento tres está

contaminado de igual forma por los agentes situados aguas arriba que, en este caso,

serían los agentes uno y dos. Análogamente, la contaminación del segmento número

cuatro de nuestro ejemplo estará producida por los agentes uno, dos, tres y cuatro con

una implicación del 25% cada uno de ellos. Estos conceptos se consideran para cada

uno de los agentes de la red fluvial.

La expresión formal del método UES sería la siguiente:

x iUES (C )=1

ic i+

1i+1

ci+1+…+ 1n

cn, i=1,…,n.

Los datos de partida del proceso van a ser los mismos que para el caso anterior.

Así pues, se vuelven a usar las mimas estimaciones para el vector de costes de limpieza

de cada segmento:

Agente

C i

(Coste de limpieza del

segmento correspondiente, en

millones de NIS)

%

(Respecto los 160 millones de

NIS)

1 40 25

2 6 3,7

3 40 25

4 17 10,625

5 17 10,625

6 40 25

Total 160 100

Así pues, C ( i )= (40,6,40,17,17,40 ) .

Una vez que tengamos el vector de costes C (i ), ya somos capaces de desarrollar

el método UES y conseguir la asignación del vector de costes para cada agente. De esta

forma:

x1UES=C1+

C2

2+

C3

3+

C4

4+

C5

5+

C6

6=70,65 millones de NIS ,

x2UES=

C2

2+

C3

3+

C4

4+

C5

5+

C6

6=30,65 millones de NIS ,

x3UES=

C3

3+

C4

4+

C 5

5+

C6

6=27,65 millones de NIS ,

x4UES=

C4

4+

C5

5+

C6

6=14,31 millones de NIS ,

x5UES=

C5

5+

C6

6=10,01 millones de NIS ,

x6UES=

C6

6=6,67 millones de NIS .

Obteniendo la siguiente tabla solución:

Agente

Asignación de coste

x iUES

(millones de NIS)

1 70,65

2 30,65

3 27,65

4 14,31

5 10,01

6 6,67

Total 160

Por lo tanto el vector solución de asignación es

XUES=(70,65;30,65 ;27,65 ;14,31;10,01 ;6,67 ) .

Como se puede apreciar, este vector solución implica una asignación tanto

mayor cuando el agente este situado aguas más arriba, es decir, las empresas aguas

abajo tienen un coste aplicado mucho menor que las industrias situadas aguas arriba.

Este razonamiento esta acorde a las bases sobre las que se establece el método UES.

Así, el mayor costo asignado le pertenece al agente número uno ya que para todos los

segmentos del río aguas abajo (del segmento dos al seis) queda implicado de forma

equitativa.

4.2.3.3 Resolución usando el método DES

El tercer método de resolución es el Downstream Equal Sharing o método DES.

Este proceso también se construye a partir de una matemática sencilla. Como ya se

estudió en el Capítulo 2, el método DES asigna costes a los agentes basándose en los

costes autónomos (que eran los únicos en los que se basaba el método LRS, los costes de

limpieza del segmento) más el reparto equitativo de los costes a los agentes situados

aguas arriba. En otras palabras, sea el agente tres con su correspondiente coste de

limpieza del segmento tres. Usar el método DES implica decir que el segmento tres está

afectando de igual forma a los agentes situados aguas abajo que, en este caso, serían los

agentes cuatro, cinco y seis. Análogamente, la contaminación del segmento número

cuatro de nuestro ejemplo estará producida por los agentes cinco y seis con una

implicación del 33% cada uno de ellos. Estos conceptos se consideran para cada uno de

los agentes de la red fluvial.

La escritura formal del método DES sería la siguiente:

ϕ iDES (C )= ∑

j∈α ( {i })

c j

|σ ( { j })|, i=1 , …,n .

Los datos de partida del proceso van a ser los mismos que para el caso anterior.

Así pues, se vuelven a usar las mimas estimaciones para el vector de costes de limpieza

de cada segmento:

Agente

C i

(Coste de limpieza del

segmento correspondiente, en

millones de NIS)

%

(Respecto los 160 millones de

NIS)

1 40 25

2 6 3,7

3 40 25

4 17 10,625

5 17 10,625

6 40 25

Total 160 100

Así pues, C ( i )= (40,6,40,17,17,40 ) .

Una vez que tengamos el vector de costes C (i ), ya somos capaces de desarrollar

el método DES y conseguir la asignación del vector de costes para cada agente. De esta

forma:

x1DES=

C1

6=6,67millonesde NIS ,

x2DES=

C1

6+

C2

5=7,87 millones de NIS ,

x3DES=

C1

6+

C2

5+

C3

4=17,87 millonesde NIS ,

x4DES=

C1

6+

C2

5+

C3

4+

C4

3=23,53 millones de NIS ,

x5DES=

C1

6+

C2

5+

C 3

4+

C4

3+

C5

2=32,03 millonesde NIS ,

x6DES=

C1

6+

C2

5+

C3

4+

C4

3+

C5

2+C6=72,03 millones de NIS .

Obteniendo la siguiente tabla solución:

Agente

Asignación de coste

x iDES

(millones de NIS)

1 6,67

2 7,87

3 17,87

4 23,53

5 32,02

6 72,02

Total 160

Por lo tanto, el vector solución de asignación es

X DES=(6,67 ;7,87 ;17,87 ;23,53 ;32,02;72,02 )

Como se puede apreciar, este vector solución implica una asignación tanto

mayor cuando el agente esté situado aguas más abajo, es decir, las empresas aguas

arriba tienen un coste aplicado mucho menor que las industrias situadas aguas arriba.

Este razonamiento esta acorde a las bases sobre las que se establece el métodos DES.

Así, el mayor costo asignado le pertenece al agente número seis ya que para todos los

segmentos del río aguas arriba (del segmento uno al cinco) queda implicado de forma

equitativa.

4.2.3.4 Resolución a través de la utilización de un sistema de pesos

Vamos a ver ahora el cuarto método de resolución para nuestra aplicación. Este

método, junto al siguiente son completamente diferentes a los tres vistos hasta el

momento. Estos procesos se basan en la obtención de un sistema de pesos a través del

cual podremos calcular el vector solución de asignación.

Pasamos a estudiar detenidamente todos los pasos necesarios para obtener el

vector solución. Para ello, utilizamos la estructura, tipo línea, que hemos usado en los

casos anteriores y que representamos a continuación:

Los datos de partida necesarios para desarrollar el proceso ahora son dos

conjuntos. El primero de ellos, es el mismo que hemos visto en los métodos anteriores,

el vector de costes de limpieza de los distintos segmentos de río. Al igual que antes,

dicho vector ha sido estimado de la forma más lógica y admisible posible. De esta

forma, volvemos a tener el siguiente conjunto de datos:

Agente

C i

(Coste de limpieza del

segmento correspondiente, en

millones de NIS)

%

(Respecto los 160 millones de

NIS)

1 40 25

2 6 3,7

3 40 25

4 17 10,625

5 17 10,625

6 40 25

Total 160 100

Así pues, C ( i )= (40,6,40,17,17,40 ) .

El segundo conjunto de datos necesario para el desarrollo del método es un

sistema de pesos, ( pij ). Dicho sistema de pesos está formado por una matriz cuadrada de

orden n, donde n representa el número de agentes instalados en el curso del río que, para

nuestro caso es seis. Así pues, nuestro sistema de pesos va a consistir en una matriz

cuadrada de orden seis.

Expliquemos ahora el sentido físico de cada variable que forma la matriz. Como

ya hemos indicado, al disponer de una matriz cuadrada de orden seis, vamos a trabajar

con un total de 36 pesos o variables. De forma genérica, la variable pij representa el

peso de la contaminación del segmento j, debida única y exclusivamente al agente i. De

esta forma, un valor de p13=0,05 significa que el 5% de la contaminación sufrida en el

segmento tres es causada exclusivamente por el agente uno.

Debido a la elevada complejidad que supondría disponer de cada uno de los 36

pesos necesarios, se ha realizado una estimación sobre los posibles pesos a lo largo de

toda la red fluvial.

De esta forma, hemos conseguido un sistema de pesos que viene representado

por la siguiente matriz:

( pij )=(

1,00 0,00 0,000,12 0,86 0,000,05 0,10 0,85

0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00

0,03 0,03 0,090,02 0,03 0,040,01 0,01 0,01

0,85 0,00 0,000,08 0,87 0,000,02 0,02 0,93

) .

Donde la primera fila representa la repercusión de cada agente sobre la

contaminación del segmento uno. Así, podemos afirmar que la contaminación sufrida en

el segmento uno es debida 100% al agente uno. La suma total de la fila representa el

100% de la contaminación de dicho segmento. El razonamiento para las demás filas es

totalmente análogo. Si queremos ver el significado por columnas, para la primera

columna de la matriz se puede apreciar que el 100% de la contaminación del segmento

uno recae sobre su propio agente, el 12% de la contaminación del segundo segmento, el

5% de la contaminación del tercer segmento, el 3% del cuarto, el 2% del quinto y el 1%

del sexto, todos ellos recaen sobre el agente uno. El razonamiento para el resto de las

columnas se realizaría de forma análoga.

Notar que el sistema de pesos tiene varios elementos nulos, de hecho, la matriz

es triangular inferior. Esta asignación es totalmente razonable ya que, como el sentido

de la corriente de agua es siempre el mismo, (el agua siempre va río abajo) los vertidos

de cualquier agente no pueden contaminar segmentos situados aguas arriba. Es decir, los

vertidos del agente tres, por ejemplo, nunca podrán afectar a los segmentos unos o dos,

lógicamente.

Hay que tener en cuenta que la complejidad de este método, tanto la resolución

matemática como la propia obtención de datos crece de forma exponencial cuanto

mayor sea el número de agentes situados a lo largo del curso del rio. Por ejemplo si en

lugar de trabajar con 6 agentes (y por lo tanto 36 variables en el sistema de pesos)

trabajásemos con 10, necesitaríamos un total de 100 variables para poder definir nuestro

sistema de pesos. Si es verdad que, a pesar de la mayor complejidad, hoy en día no

representa mucha dificultad pues, este método se puede implementar fácilmente en

cualquier programa de resolución numérica como Matlab, por ejemplo.

Una vez obtenidos los dos conjuntos de datos de partida, ya podemos calcular el

vector solución de asignación de costes. Para ello, simplemente tenemos que realizar la

multiplicación matricial entre el vector de costes dato y el sistema de pesos, es decir

X (i )=C (i ) ∙( p ij ) .

De esta forma:

X1=(C 1∙ p11)+(C2 ∙ p1

2 )+(C3 ∙ p13 )+(C4 ∙ p1

4 )+(C5 ∙ p15 )+(C6 ∙ p1

6 )=¿ 43,97 millones de NIS ,

X2=(C 1∙ p21)+(C2 ∙ p2

2 )+(C3 ∙ p23 )+(C4 ∙ p2

4 )+(C5 ∙ p25 )+(C6 ∙ p2

6)=¿10,58 millones de NIS ,

X3=(C 1∙ p31 )+(C2∙ p3

2 )+(C3 ∙ p33 )+(C4 ∙ p3

4 )+(C5 ∙ p35 )+(C6 ∙ p3

6 )=¿36,61 millonesde NIS ,

X 4=(C1 ∙ p41 )+(C2∙ p4

2 )+(C 3∙ p43 )+ (C4 ∙ p4

4 )+(C 5 ∙ p45 )+(C6 ∙ p4

6 )=¿16,61 millones de NIS ,

X5=(C 1∙ p51 )+(C2∙ p5

2 )+(C3 ∙ p53 )+(C4 ∙ p5

4 )+(C5 ∙ p55 )+(C6 ∙ p5

6 )=¿15,59 millones de NIS ,

X L=(C1 ∙ p61 )+(C2 ∙ p6

2 )+(C3 ∙ p63 )+(C4 ∙ p6

4 )+(C5 ∙ p65 )+(C6 ∙ p6

6 )=¿37,2millones de NIS .

Obteniendo la siguiente tabla solución:

Agente

Asignación de coste

x i

(millones de NIS)

1 43,97

2 10,58

3 36,61

4 16,61

5 15,59

6 37,2

Total 160

Por lo tanto, el vector solución de asignación es

X pij

= (43,97 ;10,58 ;36,61;16,61 ;15,59;37,2 ) .

Este vector, nos ofrece una nueva solución cuya asignación depende de los

valores de las variables que forman nuestro sistema de pesos.

4.2.3.5 Resolución usando el ratio de biodegradabilidad. Sistema de pesos

Pasamos ahora a estudiar el último método de resolución para nuestra aplicación

sobre el río Kishon. En este proceso, se va a obtener el vector de asignación asociado a

nuestra aplicación teniendo en cuenta los efectos de aplicar el ratio de biodegradación δ

. Dicho concepto se introdujo en el Capítulo 4 del presente proyecto como una solución

alternativa introducida por Gómez-Rúa (2008).

El ratio de biodegradabilidad es un factor acotado entre cero y la unidad. La

limitación inferior se interpreta como un contaminante biodegradable, es decir que

desaparece por completo con el paso del tiempo. La limitación superior implicará que el

contaminante no es biodegradable.

En realidad, este método podría no haberse considerado como un cuarto proceso

de resolución. Dicho método puede ser entendido como una modificación del cuarto

donde, a partir de un sistema de pesos y unas consideraciones sobre la matriz asociada

al ratio de biodegradabilidad, vamos a obtener un sistema de pesos modificado con el

que, finalmente, obtendremos el vector solución de asignación.

Así pues, el primer conjunto de datos necesario va a ser el mismo que para cada

proceso ya visto. El vector de costes de limpieza de cada tramo de la red fluvial es:

Agente

C i

(Coste de limpieza del

segmento correspondiente, en

millones de NIS)

%

(Respecto los 160 millones de

NIS)

1 40 25

2 6 3,7

3 40 25

4 17 10,625

5 17 10,625

6 40 25

Total 160 100

Con lo que, C ( i )= (40,6,40,17,17,40 ) .

Para continuar, vamos a considerar la modificación del sistema de pesos

asociado al caso anterior, es decir, las modificaciones oportunas al tener en cuenta los

efectos producidos por una matriz que definiremos más adelante sobre los diferentes

tipos de contaminantes con distintos ratios de biodegradabilidad.

Rescribimos el sistema de pesos del tercer caso que era:

( pij )=(

1,00 0,00 0,000,12 0,86 0,000,05 0,10 0,85

0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00

0,03 0,03 0,090,02 0,03 0,040,01 0,01 0,01

0,85 0,00 0,000,08 0,87 0,000,02 0,02 0,93

) .

Donde el significado de cada una de las variables quedo definido en el punto

anterior.

El siguiente paso consiste en definir la matriz de biodegradación, δ j−i . Al igual

que la matriz del sistema de pesos, va a consistir en una matriz cuadrada de orden n,

siendo n el número de agentes que contribuyen a la contaminación de la red fluvial. Por

lo tanto, vamos a volver a tener un total de 36 variables nuevas asociadas a cada agente

y a cada segmento. Para cualquier variable δ j−i, su significado físico es “el ratio de

biodegradabilidad asociado al segmento j por el agente i”.

Debido a la gran complejidad para poder determinar dicha matriz de

biodegradabilidad, hemos asumido la siguiente solución admisible.

(δ j−i )=(1,00 0,00 0,001,00 0,50 0,001,00 0,50 1,00

0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00

1,00 0,50 1,001,00 0,50 1,001,00 0,50 1,00

0,80 0,00 0,000,80 0,80 0,000,80 0,80 1,00

) .

Como podemos apreciar, la matriz de ratios de biodegradabilidad tiene una

forma un poco característica. Esta matriz, como se muestra arriba, es triangular inferior

por los mismos motivos que lo era el sistema de pesos ya que, como el sentido de la

corriente del agua es siempre el mismo, (el agua siempre va río abajo) los vertidos de

cualquier agente no pueden contaminar segmentos situados aguas arriba. Cada columna

de la matriz está asociada a un agente mientras que cada fila representa un segmento.

Por ese motivo, los elementos de cada columna (distinto de cero) tienen el mismo valor.

Así, por ejemplo, los valores de la columna uno representan que la contaminación

vertida por el agente uno a la red fluvial no es biodegradable. La explicación para el

resto de las columnas es totalmente análoga. Debido a que todas las empresas no son del

mismo tipo, aparecen valores distintos en la matriz. Hemos considerado tres grupos

diferentes de empresas. Para las industrias petroquímicas (correspondientes a las

columnas una, tres y seis) hemos considerado un ratio de biodegradabilidad igual a la

unidad, es decir, no son biodegradables. Por otra parte, las refinerías de petróleo

(correspondientes con las columnas cuatro y cinco) tienen un ratio de biodegradabilidad

de 0,8. Por último, hemos considerado un ratio de biodegradabilidad de 0,5 para las

industrias químicas.

Una vez que disponemos de la matriz de ratios de biodegradación, podemos

calcular un sistema de pesos modificado (pero no definitivo) mediante la siguiente

relación,

( pij )¿=δ j−i ∙( p i

j ) .

Operando

obtenemos

Así pues,

( pij )¿=(

1,00 0,00 0,001,06 0,43 0,001,11 0,53 0,85

0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00

1,13 0,55 0,921,15 0,58 0,951,16 0,59 0,96

0,68 0,00 0,000,74 0,70 0,000,76 0,72 0,93

).Este sistema de pesos no es el definitivo ya que no cumple una de las

propiedades características de un sistema de pesos, la suma por filas ha de ser la unidad

en cada una de ellas. De este modo, volvemos a realizar una modificación al sistema de

pesos ponderando cada una de las filas obteniendo finalmente:

( pij )

¿∗¿=(1,00 0,00 0,000,71 0,29 0,000,45 0,21 0,34

0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00

0,34 0,17 0,280,28 0,14 0,230,22 0,12 0,19

0,21 0,00 0,000,18 0,17 0,000,15 0,14 0,18

).¿

Una vez tengamos el sistema de pesos modificado definitivo, ya podemos

calcular el vector solución de asignación de costes. Para ello, simplemente tenemos que

realizar la multiplicación matricial entre el vector de costes dato y el sistema de pesos,

es decir,

X (i )=C (i ) ∙ ( p ij )¿∗¿ .¿

De esta forma,

Obteniendo la siguiente tabla solución:

Agente

Asignación de coste

x iBR

(millones de NIS)

1 82,60

2 20,21

3 29,87

4 12,63

5 8,49

6 7,20

Total 160

Por lo tanto, el vector solución de asignación es

X B R=(82,60 ;20,21;29,87 ;12,63 ;8,49 ;7,20 ) .

Este vector, nos ofrece una nueva solución cuya asignación depende de los valores de

las variables que forman nuestro sistema de pesos considerando los efectos asociados al

ratio de biodegradabilidad.

4.2.4 Comentarios de las soluciones obtenidas

Hasta ahora hemos visto cinco formas diferentes de realizar el reparto de los

costes de limpieza entre todos los agentes instalados en el curso de un río y que

intervienen en la contaminación del mismo.

Primero hemos estudiado el método LRS (Local Responsability Sharing). Dicho

método se basaba en hacer responsables a cada agente de su propia contaminación. El

segundo método estudiado fue el UES (Upstream Equal Sharing). En esta alternativa,

para un segmento cualquiera, se le asociaba un coste al agente teniendo en cuenta un

reparto equitativo entre todos las industrias aguas arriba. El tercer método estudiado fue

el DES (Upstream Equal Sharing). Es un método muy similar al anterior. Ahora, para

un segmento cualquiera, se le asocia un coste al agente teniendo en cuenta un reparto

equitativo entre todos las industrias aguas abajo. En el cuarto método introdujimos el

concepto de sistema de pesos y lo aplicamos para obtener un reparto en la asignación de

costes. Por último, hemos estudiado un método basado en la creación de un sistema de

pesos a partir de consideraciones tomadas según el ratio de biodegradabilidad, concepto

creado para diferenciar de algún modo los distintos tipos de residuos que se vierten al

río.

Presentamos a continuación una tabla resumen donde aparecen todas las

asignaciones asociadas a cada método de reparto propuesto.

Agentes

contaminantes

LRS

Coste

repartidos

(MNIS)

UES

Coste

repartidos

(MNIS)

DES

Coste

repartidos

(MNIS)

S. Pesos

Coste

repartidos

(MNIS)

BR

Coste

repartidos

(MNIS)

1 40 70,65 6,67 43,97 82,60

2 6 30,65 7,87 10,58 20,21

3 40 27,65 17,87 36,61 29,87

4 17 14,31 23,53 16,61 12,63

5 17 10,01 32,02 15,59 8,49

6 40 6,67 72,02 37,2 7,20

Total 160 160 160 160 160

Comentemos ahora los resultados de cada proceso viendo qué agentes pueden

estar interesados en cada uno de ellos y a quienes les podría perjudicar en exceso.

Empecemos con el método LRS. Como indicamos en la resolución, este método

es el más simple pues a cada agente le asignamos única y exclusivamente un coste que

sólo considera la cantidad que vierte al río. La ventaja de este método es que podemos

obtener rápidamente un reparto para cada uno de los agentes que contaminan el río. La

desventaja principal es que, si consideramos este método, no estamos teniendo en

cuenta la porción de río que contamina cada agente. De esta forma, si suponemos un

caso donde dos agentes, uno situado en la zona más alta del río y otro en la zona media

del mismo, que contaminan por igual, la aplicación de este método implicaría el mismo

reparto para cada uno de los dos agentes. Sin embargo, como se puede apreciar, el

agente situado aguas más arriba del río esta contaminando muchos más territorio que el

agente situado en una zona intermedia. Por tanto, este reparto puede beneficiar a los

agentes situados aguas más arriba mientras que a los agentes situados en las zonas mas

bajas del río se le asignarían unos costes más elevados de los que realmente les

pertenecen.

El segundo método es el método UES. En este método, ya empezamos a tener en

cuenta la porción de río que cada agente contamina. La forma por la cual empezamos a

tener en cuenta dicho aspecto es la más simple posible. Así, la asignación del coste

asociado a cualquier agente dependerá del reparto equitativo de la limpieza de su

segmento entre él y todos los agentes situados aguas abajo. Por ejemplo, el coste

asignado al agente tres será la tercera parte del coste de limpieza del tercer segmento

(pues a dicho segmento le llega contaminación de los agentes uno, dos y tres) más la

cuarta parte del coste de limpieza del cuarto segmento más… así sucesivamente hasta

llegar al agente situado aguas más abajo. Este método, ofrece un reparto más justo para

nuestro caso donde se penalizan más a los agentes situados aguas arriba con unos costes

asociados más altos de los producidos mientras que, por otro lado, se benefician los

agentes situados en las zonas más bajas.

El tercer método es el método DES. En este método también tenemos en cuenta

la porción de río que cada agente contamina. La forma por la cual se tiene en cuenta

dicho aspecto es igual al caso anterior. Así, la asignación del coste asociado a cualquier

agente dependerá del reparto equitativo de la limpieza de su segmento entre él y todos

los agentes situados aguas arriba. Por ejemplo, el coste asignado al agente tres será la

sexta parte del coste de limpieza del primer segmento más la quinta parte del coste de

limpieza del segundo segmento más la cuarta parte del coste de limpieza del tercer

segmento.. Para nuestro caso, se penalizarán más a los agentes situados aguas abajo con

unos costes asociados más altos de los producidos mientras que, por otro lado, se

benefician los agentes situados en las zonas más altas.

El cuarto método es el basado en la creación de un sistema de pesos para la

obtención del vector solución de asignación. Por lo tanto, este método puede ser

considerado una mejora del anterior donde ya no se limita a imponer un reparto

equitativo en la contaminación de cada segmento a manos de los agentes situados aguas

arriba. Ahora, en cambio, este reparto de pesos viene determinado por una matriz de

pesos donde se tiene en cuenta la proporción o el peso, en cada segmento, ocasionado

por cada agente. Es decir, en esta matriz aparece la información necesaria para saber la

repercusión de cada agente en la contaminación de cada segmento. La solución obtenida

será pues más precisa que la proporcionada por el caso anterior aunque hay que tener en

cuenta que todo depende de la toma de datos y, por lo tanto, de la obtención de la matriz

de pesos. Así, una matriz de pesos muy imprecisa proporcionará una solución en el

reparto injusta mientras que una matriz muy cercana a la realidad proporcionará un

mejor reparto. La solución obtenida en nuestro caso penaliza ligeramente a los agentes

situados aguas arriba mientras que beneficia un poco al resto de empresas.

Por último, el quinto método de resolución, como indicamos anteriormente,

puede ser considerado como una modificación del anterior. En este caso, se tiene en

cuenta la influencia de considerar empresas de distintos tipos, cuyos vertidos no tienen

por qué afectar de la misma forma en el territorio ya que, habrá empresas que

contaminen más que otras. Con este pretexto, definimos la matriz de ratios de

biodegradación que, junto con una matriz de pesos como la del cuarto método se

utilizan para obtener una matriz de pesos finales donde la información que aparece es la

misma que para el caso anterior con la diferencia de que, en ésta se han tenido en cuenta

los efectos asociados al ratio de biodegradación. La precisión de los resultados

dependerá, por tanto, de la precisión de los datos tanto para la matriz del sistema de

pesos como la correspondiente al ratio de biodegradabilidad.

Por tanto, todos los métodos tienen ventajas y desventajas ya que los términos de

precisión y complejidad siguen distintas trayectorias y, por ello, un método muy

sencillo de computar será bastante impreciso mientras que un método de gran

complejidad (matemática o simplemente en la toma de datos) de ejecución tendrá mayor

precisión. La solución de compromiso es una opción intermedia que en nuestro caso,

podría ser la segunda o cuarta opción dependiendo siempre de la aplicación a tratar y de

la toma de datos. Notar que la mejor aplicación para el tercer método es en problemas

de reparto de costes de inundación ya que nuestra aplicación se centra en el reparto de

los costes de limpieza de contaminación de un río, dicho método no debe tenerse en

cuenta pues no representará nunca una solución justa en la asignación de los diversos

costes.

4.2.5 Alcance del proyecto

A lo largo del proyecto hemos estudiado el reparto en estructuras tipo árbol. En

particular, nos hemos centrado en, la estructura tipo línea y la estructura en forma de Y,

que disponía de un nodo especial al que denominamos nodo lago. En la actualidad, se

han desarrollado métodos para tratar una gran diversidad de estructuras con hasta

múltiples ramificaciones. En el proyecto no se han profundizado en este tipo de

estructuras ya que nos hemos centrado en la resolución del problema de reparto de los

costes de limpieza de un río contaminado. Por este motivo hemos realizado una

búsqueda que recopila diversa información sobre los ríos más contaminados del planeta.

Vamos a ver como la estructura de la gran mayoría de esos río son tipo línea

justificando la resolución de nuestra aplicación sobre el río Kishon con una estructura

tipo línea.

Comentemos brevemente las características principales de alguno de los ríos

más contaminados del planeta.

El primer río del que nos ocupamos es el río Ganges. El río nace en el Himalaya

occidental, en el estado indio de Uttarakhand, y tras 2510 km de recorrido desemboca

formando, con el río Brahmaputra el mayor delta del mundo, el delta del Ganges, en el

golfo de Bengala. La polución del río Ganges se ha incrementado de forma alarmante en

los últimos años. Los productos que lo contaminan incluyen restos de las cremaciones

humanas, esqueletos de animales, aguas residuales y desperdicios de las fábricas. A esto

hay que añadirle incluso de que no es extraño encontrar cadáveres enteros de personas y

animales flotando en sus aguas. Han existido diversos intentos de limpiar el Ganges

pero, hasta el momento, todos han fracasado o han ocasionado problemas mayores. Su

trazado geográfico se aprecia en la siguiente imagen donde su estructura se puede

modelar como una de tipo línea.

A continuación nos ocupamos del río Colorado. El río Colorado cruza el suroeste de

los Estados Unidos y noroeste de México. Su longitud es aproximadamente de 2333 km.

Irriga gran parte de las llanuras desérticas de los estados de Colorado, Utah, Arizona,

Nevada, California, Baja California y Sonora, estos dos últimos en México. Nace al pie

de las Montañas Rocosas en el estado de Colorado. Este río esta contaminado por

diferentes factores, algunos de ellos son hidrocarburos, desechos de cloaca y desechos

de refrigerantes. También esta  ligeramente contaminado por derrames de petróleo. Otra

causa, aunque muy extraña, es el exceso de sal. Por último, otro problema es también la 

minería de potasio y otros químicos contaminantes. Su estructura se puede modelar

como tipo línea tal como se puede apreciar en la siguiente imagen.

Otro caso interesante es el río Lerma. El río Lerma es un largo río de México, el

más largo de los ríos interiores. Se origina en los manantiales de Almoloya del Río, en

el estado de México, atraviesa hacia el noroeste del Valle de Toluca, y desagua en el

lago de Chapala. Tiene una longitud de 708 km y drena una cuenca de 47 116 km. El

Río Lerma ha sido materia de exhaustivas investigaciones, algunas de ellas realizadas

por especialistas, quienes reconocieron la existencia de metales pesados como el plomo.

Además, se detectaron grandes cantidades de desechos fecales de distintos tipos de

ganado. También se encontró grandes cantidades de hidrocarburos, metales pesados,

fertilizantes pesticidas bases y compuestos orgánicos. En la siguiente imagen aparece el

emplazamiento geográfico del río.

Otro de los ríos más

contaminados del

mundo es el río Bogotá. El

río Bogotá es uno de los ríos

más importantes del departamento de Cundinamarca, a pesar de no ser un río navegable

ni especialmente caudaloso, es uno de los afluentes del Magdalena. La cuenca del

Bogotá alberga cerca de nueve millones de personas, incluidos los ocho millones y

medio de habitantes de la ciudad de Bogotá. Tiene una longitud aproximada de 380 km.

Si bien el río Bogotá no es el más contaminado del mundo, sí tiene muy altos niveles de

sustancias contaminantes y a su paso por la ciudad de Bogotá es un río muerto. Entre los

contaminantes que lleva su curso están el cadmio, el cromo, el mercurio, el zinc, el

arsénico y el plomo. El punto máximo de contaminación del río está en sectores de

Bogotá donde el nivel de residuos sólidos puede alcanzar hasta 400 mg/L. Este río

vuelve a tener una estructura tipo línea como se puede apreciar en la siguiente imagen.

El siguiente río del que vamos a hablar es el río Salween. El río Salween es un

río bastante largo que discurre por el Sureste Asiático. Nace al este del Tíbet, fluyendo

generalmente hacia el sur durante casi 2400 km a través de la provincia de Yunnan,

China, y al este de Birmania, desembocando en el golfo de Martaban del mar de

Andamán en Mawlamyaing. Este rio está contaminado por sustancias tóxicas como el

azufre y también de desechos de cloaca. Otras sustancias contaminantes de este río son

los desechos materiales de las fábricas y de las industrias textiles. El rio Salween es  el

único que supera en contaminación al rio de la plata. A continuación vemos un mapa de

su situación geográfica.

El último río del que vamos a hablar es el río Amarillo. El río Amarillo es, con

5464 km, el segundo curso fluvial más largo de China, sólo superado por el Yangtsé, y

el sexto de la Tierra. El río Amarillo  está sufriendo una seria contaminación. El 60 por

ciento de sus aguas es utilizado en  actividades humanas y económicas. Sabiendo que el

límite reconocido  internacionalmente es de un coeficiente del 40 por ciento para el

uso de las aguas de ríos, el río Amarillo está altamente contaminado por desechos

orgánicos y humanos, lo que  hace que el afluente tome ese color amarillento.

Toda la información relacionada con el río Kishon ha sido obtenida de

diferentes fuentes. A continuación se exponen los enlaces consultados.

Información para la Sección 4.2

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://www.explainthatstuff.com/

waterpollution.html&ei=Ke40T62EBIiu8AOC9L2fAg&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=8&ved=0CGUQ7gEwBw&prev=/

search%3Fq%3Driver%2Bpolluted,%2Bcleaner%2Bcost%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-

ES:official%26channel%3Dnp%26biw%3D1920%26bih%3D866%26prmd%3Dimvns

http://en.wikipedia.org/wiki/Kishon_River

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Kishon_River&ei=Sfc0T9HHCoXT-

gbbotX0AQ&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=1&ved=0CD0Q7gEwAA&prev=/search%3Fq%3Dkishon%2Briver%26hl

%3Des%26client%3Dfirefox-a%26hs%3Dgs9%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Dnp%26prmd%3Dimvns

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://www.biblewalks.com/Sites/KishonRiver.html&ei=Sfc0T9HHCoXT-

gbbotX0AQ&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=2&ved=0CEYQ7gEwAQ&prev=/search%3Fq%3Dkishon%2Briver%26hl

%3Des%26client%3Dfirefox-a%26hs%3Dgs9%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Dnp%26prmd%3Dimvns

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://www.israel21c.org/environment/kishon-river-from-poison-to-

pristine&ei=Sfc0T9HHCoXT-gbbotX0AQ&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=7&ved=0CGEQ7gEwBg&prev=/search%3Fq

%3Dkishon%2Briver%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26hs%3Dgs9%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Dnp

%26prmd%3Dimvns

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://www.haaretz.com/print-edition/news/kishon-river-clean-up-project-

lacking-funding-1.407500&ei=9Pg0T6-

dN8Gq8QOAvsiXCQ&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=2&ved=0CEEQ7gEwAQ&prev=/search%3Fq%3Dkishon%2Briver

%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26sa%3DX%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26channel%3Dnp%26biw

%3D1920%26bih%3D866%26tbs%3Dqdr:m%26prmd%3Dimvns

http://www.deisrael.com/contentid-52.html

Información para la Sección 4.2.5:

http://stylusa.com.over-blog.es/article-30374971.html

4.3 Restauración del entorno ecológico del lago Bai Yang Dian

El propósito de esta sección esaplicar de nuevo los métodos de reparto de costes

propuestos anteriormente a un problema del mundo real. Para ello, consideraremos un

ejemplo sobre un proyecto a cargo del Asian Development Bank (ADB) en China. El

objetivo del proyecto asignado es restaurar el entorno ecológico de un lago muy

contaminado, el Bai Yang Dian en la provincia de Hebei, al norte de China.

En este ejemplo, aplicaremos nuestros modelos de reparto de costes sobre una

estructura tipo árbol a problemas sobre grafos acíclicos. Esta consideración es

importante porque en muchas aplicaciones del mundo real los agentes no pueden ser

conectados por una estructura tipo árbol pero, raramente no puede ser conectado en los

grafos de este tipo (acíclicos). Por ejemplo, en la red fluvial, un agente situado aguas

arriba puede disponer de dos canales del río que fluye hacia el lago. Con mayor

importancia, en un grafo acíclico, no tenemos la necesidad de crear el nodo especial

denominado Lago pues este ya no es necesario. En realidad, todo lo que necesitamos

está bien definido por las relaciones aguas arriba y aguas abajo. Para los grafos

acíclicos, estas relaciones están bien especificadas.

4.3.1 Una breve reseña

La actuación del ADB pretende proporcionar una ayuda a los municipios y

países locales en el reparto de los costes de limpieza de la contaminación del lago en la

provincia de Hebei, al norte de China. La responsabilidad puede ser propiamente

distribuida entre todos los gobiernos locales una vez que el coste sea asignado.

Específicamente, el interés del proyecto pretende conservar el medioambiente en

la zona del lago de China. Este lago solía ser muy grande pero debido a la explotación

de agua que ha sufrido por parte de los afluentes y del propio lago, esta ha permanecido

casi seco desde 1980 hasta 1987. Después de esto, el lago fue víctima de severas sequías

y el Ministerio Chino sobre los recursos de agua tuvo que intervenir ordenando a los

gobiernos locales a descargar agua de reservorios aguas arriba con el objetivo de

mantenerlo.

El siguiente diagrama muestra la estructura geográfica del proyecto.

Figura 2

En la figura, los nodos 1 y 3 son reservorios y los nodos 2,4 y 5 son ciudades. El

nodo L es el lago Bai Yang Dian.

Además de la sequía de agua, el lago sufre una seria contaminación. Con un

rápido crecimiento económico de las áreas perimetrales, particularmente con el aumento

de la industria del cuero, se incrementa la generación de potencia y la fabricación de

papel. Los residuos generados por estas industrias no reciben un tratamiento necesario

siendo arrojados directamente a los ríos o incluso a los lagos.

En 2003, el lago estaba seriamente contaminado, los peces morían por la

contaminación del agua, atrayendo la atención de los medios causando grandes críticas.

Ante esta situación, el gobierno desplazo 150 millones de metros cúbicos de agua

procedentes de los reservorios 1 y 3 para poder diluir los contaminantes. Sin embargo,

en lugar de obtener una mejora del lago, más peces seguían apareciendo muertos porque

la corriente de agua de la rama formada por los nodos 1,2,5 arrastró gran parte de los

residuos estancados hacia el lago, dañándolo más todavía. Si no se hubiese realizado

esta acción, los residuos del nodo 2 hubiesen sido absorbidos por la tierra dañando esta

y no el lago.

Sin embargo, si el gobierno usa únicamente el agua procedente del reservorio

situado en el nodo 3, no sería una buena solución ya que es relativamente pequeño y

solo puede abastecer al municipio de Baoding, nodo 4 del diagrama. Además, en el

ramal 1-2-5 tiene jurisdicción el municipio de Shijiazhuang, luego el uso de agua no

puede ser controlado por el nodo 4.

Con todos estos hechos, el gobierno de Baoding (situado sobre el nodo 4)

propuso un proyecto de enlace para conectar los dos reservorios de los nodos 1 y 3 y así

el reservorio 1 podría ser usado para diluir la contaminación del lago y satisfacer por

completo la demanda de agua al mismo tiempo.

El coste del proyecto ascendería a 24 millones de dólares. Sin embargo los

beneficios ayudarían a disminuir la contaminación del lago con el agua procedente del

ramal 1-3-4-5, así como ofrecer una mayor garantía del abastecimiento de agua a la

ciudad de Baoding. Si el canal de enlace no se fabricase, otra alternativa podría ser la

construcción de una planta de tratamiento de aguas en el nodo 2 lo que pararía la

contaminación del lago por el ramal 1-2-5. Sin embargo, la construcción de esta planta

es costosa (mucho mayor que la construcción del canal de enlace) y, lógicamente, la

ciudad situada sobre el nodo 2 no quiere soportar estos costes de la EDAR.

Para resolver el problema de reparto de costes del lago se deben considerar las

siguientes recomendaciones. El proyecto del canal de enlace que conecta los reservorios

1 y 3 debe ser construido y sus costes de construcción deben ser tratados como costes de

limpieza de contaminantes y estos deben ser repartidos entre todas las ciudades que

están involucradas. Además, los costes asociados con todos los canales del río, así

como, los costes de limpieza del lago deben ser repartidos entre todos los agentes de la

red fluvial.

De aquí, el problema puede ser modelado como un problema de reparto de

costes sobre un grafo acíclico. En este problema, tenemos una estructura de permisión P

tal que,

P (1 )=∅ , P (2 )= {1 }, P (3 )={1 } ,

P (4 )= {3 }, P (5 )={2,4 }, P ( L )={5 } .

Los juegos autónomos son los siguientes,

P (1 )=∅ , P (2 )= {1 }, P (3 )={1 } ,

P (4 )= {1,3 } , P (5 )={1,2,3,4 }, P (L )={1,2,3,4,5 } .

P−1 (1 )= {2,3,4,5 , L }, P−1 (2 )= {5 , L } , P−1 (3 )= {4,5 , L },

P−1 (4 )= {5 , L } , P−1 (5 )= {L }, P−1 ( L )={∅ }.

Además del juego autónomo, podemos definir los dos juegos siguientes. Notar

que en estos juegos algunos valores de las coaliciones, no van a aparecer en la lista pero

pueden ser deducidos fácilmente.

El juego orientado aguas arriba LU (C )

LU (C ) (1 )=C (1,2,3,4,5 , L ) , LU (C ) (2 )=C (2,5, L ) , LU (C ) (3 )=C (3,4,5 , L ) ,

LU (C ) (4 )=C ( 4,5 , L ) , LU (C ) (5 )=C (5 , L ) , LU (C ) ( L )=C (L ) ,

LU (C ) (1,2 )=C (1,2,3,4,5 , L ) , LU (C ) (1,3 )=C (1,2,3,4,5, L ) ,

LU (C ) (2,3 )=C (2,3,4,5 , L ) , , LU (C ) (2,5 )=C (2,5 , L ) ,

LU (C ) (1,2,3 )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,LU (C ) (1,2,4 )=C (1,2,4,5 , L ) ,

LU (C ) (1,2,3,4 )=C (1,2,3,4,5 , L ) , LU (C ) (1,2,3,4,5 )=C (1,2,3,4,5 , L ) .

El juego orientado aguas abajo LD (C )

LD (C ) (1 )=C (1 ) , LD (C ) (2 )=C (1,2 ) , LD (C ) (3 )=C (1,3 ) , LD (C ) (4 )=C (1,3,4 ) ,

LD (C ) (5 )=C (1,2,3,4,5 ) , LD (C ) (L )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,

LD (C ) (1,2 )=C (1,2 ) , LD (C ) (1,5 )=C (1,2,3,4,5 ) , LD (C ) (1 , L )=C (1,2,3,4,5 , L ) ,

LD (C ) (1,2,4 )=C (1,2,3,4 ) , LD (C ) (2,3,5 )=C (1,2,3,4,5 ) ,

LD (C ) (3,4,5 )=C (1,2,3,4,5 ) , LD (C ) (3,5 , L )=C (1,2,3,4,5, L ) ,

LD (C ) (1,2,3,4 )=C (1,2,3,4 ) , LD (C ) (1,2,3,4,5 , L )=C (1,2,3,4,5 , L ).

4.3.2 Soluciones analíticas

Para resolver el problema de reparto de costes descrito, vamos a proponer cuatro

métodos. Por simplicidad, asumiremos que los siguientes costes, todos ellos en millones

de dólares, vienen determinados para la red fluvial.

c12=1 , c13=24 ,C1=c12+c13=25 , C2=c25=3 ,

C3=c34=1 ,C 4=c45=2, C5=c5 L=1 ,C L=20.

El método LRS proporciona la siguiente solución (en millones de euros).

x1LRS=C1=25 ,

x2LRS=3 ,

x3LRS=1 ,

x4LRS=2 ,

x5LRS=1 ,

xLLRS=20.

El método UES proporciona la siguiente solución (en millones de euros).

x1UES= ∑

{1,2,3,4,5 , L }

c j

α ( j )=c12+c13+

C2

2+

C3

2+

C4

3+

C5

5+

CL

6

¿25+ 32+ 1

2+2

3+ 1

5+ 20

6

¿ 1565

=31,2.

x2UES= ∑

{2,5 ,L }

c j

α ( j )=

C2

2+

C5

5+

C L

6=3

2+ 1

5+20

6= 151

30=5,03.

x3UES= ∑

{3,4,5 , L}

c j

α ( j )=

C3

2+

C 4

3+

C5

5+

CL

6=1

2+ 3

2+ 1

5+ 20

6=47

10=4,7.

x4UES= ∑

{ 4,5 , L }

c j

α ( j )=

C4

3+

C5

5+

CL

6=2

3+ 1

5+ 20

6=21

5=4,2.

x5UES=∑

{5 , L }

c j

α ( j )=

C5

5+

CL

6=1

5+ 20

6=53

15=3,53 ,

xLUES=∑

{ L }

c j

α ( j )=

CL

6=20

6= 10

3=3,33.

Se puede comprobar fácilmente que

x1+ x2+x3+x4+x5+x L=52.

El método DES proporciona la siguiente solución (en millones de euros).

x1DES=∑

l∈ {1}

C j

σ ( j )=

c12

4+

c13

5=1

4+ 24

5=101

20=5,05.

x2DES= ∑

l∈ {1,2}

C j

σ ( j )=

c12

4+

C2

4=1

4+ 3

3=5

4=1,25.

x3DES= ∑

l∈ {1,3 }

C j

σ ( j )=

c13

5+

C 3

4=24

5+ 1

4=101

20=5,05.

x4DES= ∑

l∈ {1,3,4 }

C j

σ ( j )=

c13

5+

C3

4+

C4

3=24

5+ 1

4+ 2

3=343

60=5,72.

x5DES= ∑

l∈ {1,2,3,4,5 }

C j

σ ( j )

¿c12

4+

c13

5+

C2

3+

C3

4+

C4

3+

C5

2

¿ 14+ 24

5+ 3

3+ 1

4+ 2

3+ 1

2

¿ 11215

=7,47.

xLDES= ∑

l∈ {1,2,3,4,5, L }

C j

σ ( j )

¿c12

4+

c13

5+

C2

3+

C3

4+

C4

3+

C5

2+CL

¿ 14+ 24

5+ 3

3+ 1

4+ 2

3+ 1

2+20

¿ 41215

=27,47.

Es fácil de comprobar que

x1+ x2+x3+x4+x5+x L=52.

Pasamos a estudiar el método que usa el sistema de pesos. Vamos a resolverlo de

forma análoga a la comentada en la aplicación anterior. El vector de costes de limpieza

de cada tramo de la red fluvial esta dada por

Agente

C i

(Coste de limpieza del

segmento correspondiente, en

millones de €)

1 25

2 3

3 1

4 2

5 1

6 20

Total 52

Con lo que, C=(20,3,1,2,1,20 ) .

El sistema de pesos viene representado por la siguiente matriz,

( pij )=(

1,00 0,00 0,000,1 0,9 0,000,1 0,00 0,9

0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00

0,1 0,00 0,10,05 0,1 0,050,05 0,05 0,05

0,8 0,00 0,000,1 0,7 0,00

0,05 0,05 0,75).

Donde el significado de las variables es exactamente el mismo que el comentado

anteriormente. Una vez que disponemos del vector de costes asociados y del sistema de

pesos ya podemos calcular el vector solución de asignación de costes. Para ello,

simplemente tenemos que realizar la multiplicación matricial entre el vector de costes

dato y el sistema de pesos, es decir

X ( i )=C (i ) ∙( p ij )

De esta forma,

X1pi

j

=(C1 ∙ p11 )+ (C 2∙ p1

2)+(C3∙ p13 )+(C4 ∙ p1

4 )+ (C 5∙ p15 )+(C6 ∙ p1

6 )=¿26,65 millones de euros ,

X2pi

j

=(C1 ∙ p21 )+ (C 2 ∙ p2

2 )+(C3 ∙ p23 )+(C4 ∙ p2

4 )+ (C5 ∙ p25 )+(C6 ∙ p2

6 )=¿3,8 millones de euros ,

X3pi

j

=(C1 ∙ p31 )+(C2 ∙ p3

2 )+(C3 ∙ p33 )+(C4∙ p3

4 )+(C5 ∙ p35 )+(C6 ∙ p3

6 )=¿2,15 millones de euros ,

X 4pi

j

=(C1 ∙ p41 )+(C2 ∙ p4

2 )+(C3 ∙ p43 )+(C4 ∙ p4

4 )+(C5 ∙ p45 )+(C6 ∙ p4

6 )=¿2,7 millones deeuros ,

X5pi

j

=(C1 ∙ p51 )+(C2 ∙ p5

2 )+(C 3 ∙ p53 )+(C4∙ p5

4 )+(C 5∙ p55 )+(C6 ∙ p5

6 )=¿1,7 millones deeuros ,

X Lpi

j

=(C1 ∙ p61 )+(C2∙ p6

2 )+(C3 ∙ p63 )+(C4 ∙ p6

4 )+(C5 ∙ p65 )+ (C6 ∙ p6

6 )=¿15 millones deeuros .

Obteniendo la siguiente tabla solución,

Agente

Asignación de coste

C i

(millones de €)

1 26,65

2 3,8

3 2,15

4 2,7

5 1,7

6 15

Total 52

Por lo tanto, el vector solución de asignación es

X pij

= (26,65;3,8 ;2,15 ;2,7 ;1,7 ;15 ) .

Este vector nos ofrece una nueva solución cuya asignación depende de los

valores de las variables que forman nuestro sistema de pesos.

4.3.3 Comentarios

En esta aplicación, hemos analizado cuatro formas diferentes de realizar el

reparto de los costes de limpieza entre todos los agentes instalados en el curso de un río

y que intervienen en la contaminación del mismo.

Primero hemos estudiadoel método LRS (Local Responsability Sharing). Dicho

método se basaba en hacer responsables a cada agente de su propia contaminación. El

segundo método estudiado fue el UES (Upstream Equal Sharing). En esta alternativa,

para un segmento cualquiera, se le asociaba un coste al agente teniendo en cuenta un

reparto equitativo entre todos las industrias aguas arriba. El tercer método estudiado fue

el DES (Upstream Equal Sharing). Es un método muy similar al anterior. Ahora, para

un segmento cualquiera, se le asocia un coste al agente teniendo en cuenta un reparto

equitativo entre todos las industrias aguas abajo. En el último método usamos el

concepto de sistema de pesos y lo aplicamos para obtener un reparto en la asignación de

costes.

Vamos a representar una tabla resumen donde aparezcan todos los repartos

asociados a cada método de reparto. De esta forma hemos obtenido

Agentes

contaminantes

LRS

Coste

repartidos

(MNIS)

UES

Coste

repartidos

(MNIS)

DES

Coste

repartidos

(MNIS)

S. Pesos

Coste

repartidos

(MNIS)

1 25 31,2 5,05 26,65

2 3 5,03 1,25 3,8

3 1 4,7 5,05 2,15

4 2 4,2 5,72 2,7

5 1 3,53 7,47 1,7

6 20 3,33 27,47 15

Total 52 52 52 52

Comentamos ahora los resultados de cada proceso viendo que agentes pueden

estar interesados en cada uno de ellos y a quien le podría perjudicar en exceso.

Las conclusiones serían las mismas que para la aplicación del río Kishon. Todos

lo métodos tienen ventajas y desventajas, ya que los términos de precisión y

complejidad siguen distintas trayectorias y por lo tanto un método muy sencillo de

realizar será bastante impreciso mientras que un método con gran complejidad

(matemática o simplemente en la toma de datos) de ejecución tendrá mayor precisión.

La solución de compromiso es una opción intermedia que en nuestro caso podrían ser la

segunda o cuarta opción dependiendo siempre de la aplicación a tratar. Generalmente,

los agentes situados aguas arriba prefieren el método DES mientras que los agente

situados aguas abajo eligen el método UES. Algunos agentes, situados en un lugar

intermedio, pueden decantarse por el método LRS.

En la práctica, el método que debe ser usado depende más bien del contexto del

problema. Por ejemplo, en la asignación de los costes de contaminación, debemos usar

el método UES. Alternativamente, en problemas para solventar costes relacionados con

las inundaciones de agua, debemos usar el método DES. Esto se debe a que, en el caso

anterior, los agentes situados aguas arriba no pueden soportar una gran cantidad de agua

la cual supone un gran peligro para los agentes situados aguas abajo. Esto tiene que

realizarse de una manera equitativa. En otros casos, si a algunos agentes le son

asignados un coste mayor que a otros, estos agentes deben librarse tarde o temprano del

agua inundada. De hecho, la asignación de la inundación al último agente aguas abajo es

totalmente inaceptable.

Para finalizar con este capítulo vamos a hacer un comentario. Como se puede

apreciar, para la resolución de la segunda aplicación no hemos aplicado el concepto de

ratio de biodegradabilidad ya que, tras intentarlo de varias formas no conseguimos

ningún reparto capaz de asignar la cantidad total del coste incurrido. Esto es así, debido

a que ésta es una aplicación un poco específica donde se puede dividir la estructura en

un conjunto de agentes donde algunos de ellos son ficticios, ya que no vierten ningún

residuo a la red fluvial. En realidad los únicos emisores de vertidos son los agentes

situados en los nodos dos y cuatro por lo que la matriz de ratio de biodegradabilidad

sería nula menos 5 variables distintas de cero. Así pues, podemos concluir que dicho

método lo aplicamos siempre y cuando el conjunto de agentes situados a lo largo de la

red fluvial viertan una cierta cantidad de residuo como pasaba por ejemplo en la primera

aplicación.

Capítulo 5

Asignación del agua de un río

mediante reglas de reparto

secuencial

5.1 Introducción

En este capítulo, nos vamos a centrar en la redistribución de un recurso entre una

serie de agentes que reclaman una cierta cantidad del mismo para cubrir sus

necesidades. El conjunto de agentes va a estar localizado de forma lineal y ordenada. Un

conocido ejemplo de esta situación particular es el conocido problema de reparto del

agua de un río. Aprovechándonos de la ordenación lineal en la situación de los agentes,

vamos a transformar el problema original de reparto de un río en otro tipo de problema

formado por una secuencia de pequeños problemas de reparto entre dos agentes. Esta

actuación se traduce en la transformación matemática hacia un tipo de problema

equivalente denominado problema de bancarrota y pueden ser resueltos usando todas

las reglas asociadas a este tipo de problemas. Vamos a proponer una clase de

soluciones, que denominaremos reglas de reparto secuencial, resolviendo el problema

de reparto de un río. Nuestras suposiciones abarcan la literatura de bancarrota para

establecer con una estructura secuencial de agentes el reparto de un recurso cualquiera.

En este capítulo, primero vamos a caracterizar una clase de reglas de reparto

secuencial. Además, analizamos estas reglas de reparto secuencial basadas en cuatro

reglas clásicas de los problemas de bancarrota, estableciendo sus propiedades y

comparándolos con algunas de las soluciones típicas de los problemas de reparto de un

río.

Vamos a analizar la redistribución de un recurso entre una serie de agentes que

reclaman una cierta cantidad, estando ordenados de forma lineal. Un ejemplo típico es

el problema de reparto del agua de un río (Ambec y Sprumont (2002), Parrachino et al.

(2006), Carraro et al. (2007)). En los problemas de reparto de un río, los agentes vienen

representados por ciudades (o demandantes de agua), ordenados de forma lineal a lo

largo de un río. Sobre el territorio de cada agente el nivel de agua se ve incrementado

por la aportación de los afluentes y de la lluvia sobre el territorio. Esto da lugar a la

dotación del agente al flujo del río. Además, cada ciudad reclama una cantidad de agua

para cubrir sus necesidades. Estas cantidades pueden estar establecidas por cualquiera

de los principales principios en el reparto de agua. Los dos principios más usados son

los que ya hemos visto hasta el momento. Por un lado, tenemos el principio ATS

(Absolute Territorial Sovereignty) y por otro tenemos el ATI (Absolute Territorial

Integrity). Aunque estos principios extremos no se usan con frecuencia, la cantidad de

recurso que requiere cada agente es muchas veces superior a los que aporta.

En este ejemplo, la redistribución del recurso de agua puede ser deseada, por

ejemplo, cuando algunos agentes tienen grandes aportaciones pero demandan muy poca

cantidad de recurso. Tenemos en cuenta la ordenación lineal de los agentes para

determinar la redistribución, usando aproximaciones axiomáticas. Aplicando dos

requerimientos muy naturales, el orden de los agentes nos permite transformar el

problema de reparto de un río en una secuencia de problemas de reparto formada

únicamente por dos agentes. Los problemas reducidos de reparto de un río son

matemáticamente equivales a los problemas de bancarrota (Aumann anda Maschler

(1985), Young (1987) Moulin (2002)). Así pues, podemos usar reglas de reparto

basadas en la literatura de los problemas de bancarrota para resolver estos problemas

reducidos de reparto de un río. En cada uno de estos problemas de reparto reducidos, el

derecho de agua está asignado al agente y al conjunto de sus vecinos aguas abajo. Al

igual que en los problemas de bancarrota, vamos a proponer unas clases de soluciones, a

la que vamos a denominar reglas de reparto secuencial, basadas en las exigencias de los

agentes. Las reglas de reparto secuencial están construidas por la aplicación recursiva de

las reglas de bancarrota a una secuencia de problemas de reparto de un río reducidos.

En los problemas de bancarrota, el recurso puede dividirse perfectamente y va a

ser repartido sobre un conjunto de agentes con exigencias superpuestas. Una solución a

los problemas de bancarrota es una regla de reparto basada en las exigencias de recurso

de cada agente. Vamos a analizar varias aproximaciones axiomáticas para la

construcción de las reglas de reparto.

En un problema de reparto de un río, los agentes van a estar ordenados

linealmente, caracterizados por una dotación inicial de recurso y una demanda para

cubrir sus necesidades. Las demandas pueden ser mayores o menores a las dotaciones.

Al igual que en los problemas de bancarrota, vamos a asumir escasez de recurso. Los

problemas de reparto de un río se diferencian de los problemas de bancarrota en dos

aspectos fundamentales. El primero de ellos es que existe una diferencia en la posición

de los agentes. En el problema estándar de bancarrota, todos los agentes tienen la misma

posición. En los problemas de reparto de un río, los agentes están ordenados

linealmente, reflejando la dirección de la corriente fluvial. Por lo tanto, las demandas de

los agentes tienen una estructura secuencial, uniendo los problemas de reparto de un río

a los problemas de bancarrota con prioridad de orden. El segundo aspecto es que existe

una diferencia en el estado inicial del recurso. En los problemas de bancarrota,

inicialmente el recurso está totalmente separado de los agentes. En los problemas de

reparto de un río, los agentes inicialmente tienen una dotación de recurso. Esta dotación

de recurso enlaza nuestras aproximaciones a la reasignación de problemas. Ambas

diferencias son muy importantes a la hora de construir la clase de reglas de reparto

secuencial.

Hay dos motivos o razones para resolver los problemas de reparto de un río

usando las reglas de bancarrota. El primero de ellos es el que hemos indicado

anteriormente. Ambos tipos de problemas tienen muchas cosas en común. Debido a que

las propiedades de los problemas de bancarrota están muy bien definidas, estas reglas

son buenas candidatas para ser aplicadas a los problemas de reparto de un río. La

segunda razón está basada en las actuales prácticas en la asignación de agua. Muchas

disputas entre dos agentes sobre los derechos de agua se resuelven usando varias reglas

de bancarrota, por ejemplo las reglas de mismo reparto para cada agente o de reparto

proporcional en base a cualquier criterio. Frecuentemente, estas soluciones están

explícitamente propuestas por terceras partes pero estas son también un resultado de las

negociaciones entre agentes. En este capítulo, vamos a mostrar una extensión lógica de

las reglas de reparto para los problemas de reparto de un río con más de dos agentes.

Así pues, primero vamos a extender las aproximaciones de la literatura de

bancarrota para establecer una estructura secuencial de los agentes y del recurso a

repartir. Después vamos a proporcionar fundamentos axiomáticos para una clase de

solución de los problemas de reparto de un río que satisfacen ciertas propiedades.

5.2 El problema de reparto de agua en un río

Consideremos un conjunto N ordenado de agentes, con n>2, localizados a lo

largo del río, con el agente 1 el situado aguas más arriba y el agente n el situado aguas

más abajo. Un agente cualquiera i está situado aguas arriba de j si se cumple que i< j.

Denotaremos U i= { j∈ N : j<i } al conjunto de agentes aguas arriba de i, y llamaremos

Di= { j∈N : j>i } al conjunto de agentes aguas abajo de i. Sobre el territorio de i, las

lluvias o las entradas procedentes de los afluentes incrementan el flujo del río total por

e i≥ 0 ;e=( e1 , …, en ) . Las entradas del río e i pueden ser consideradas como la dotación

de i. Esto no implica que el agente i tenga derecho de propiedad de e i . Los derechos

están asignados en un solución del problema de reparto del río, como se ha discutido

anteriormente. Además de la entrada al río e i, cada agente está caracterizado por una

demanda de agua c i ≥0 ;c=(c1 , …,cn ) de la corriente del río. Nosotros no imponemos

que porción de la demanda de un agente viene directamente de e1 ,e2 , …,en.

Toda está información es suficiente para definir nuestro problema de reparto de

agua de río.

Definición 5.1 (El problema de reparto de un río). Un problema de reparto de un río

está compuesto por la triada w= ⟨ N ,e , c ⟩ , con N un conjunto ordenado de un

número finito de agentes, e∈ R+¿n yc∈ R+¿n¿ ¿.

Para establecer la configuración de los problemas de reparto de un río vamos a usar

la siguiente representación gráfica.

Figura 5.1 El problema de reparto de un río para 4 agentes

Notar que en la Figura 5.1, los nodos representan a los agentes y las flechas

indican los flujos de agua. El agua sobre el territorio del agente i viene definida por

Ei=ei+ ∑j∈U i

( e j−x j ) .

Donde x=( x1 , …, xn ) es el vector de asignación de los derechos del agua. Esta es la

suma de todas las entradas del río sobre el territorio del agente i y el agua del río aguas

arriba no asignada. Para el problema de reparto del río vamos a realizar las siguientes

suposiciones.

Suposición 5.1 El agente n siempre va a demandar más agua que la que él tiene

disponible, es decir, cn>En.

Esta suposición implica que cn>en, y por tanto, se asegura que se va a disputar el

agua del río. Sin esta suposición, el agente n podría satisfacer su demanda

completamente y, por tanto, no existiría ningún problema.

Denotaremos Ω al conjunto de problemas de reparto del río que satisfacen la

suposición 5.1. Las reglas de reparto asignarán los derechos del agua a cada agente.

Definición 5.2 (Regla de reparto). Una regla de reparto es una aplicación F:Ω → R+¿n¿

que asigna a cada problema de reparto de un río w∈Ω un vector de asignación de

los derechos de agua x=( x1 , …,xn ) , x∈R+¿n ,¿ tal que

a) ∑i∈N

x i=∑i∈N

e i ,

b) 0≤ xi ≤ ci ,

c) x i≤ e i+ ∑j∈U i

e j ,∀ i∈N .

La asignación de los derechos de agua del agente i es F i (w )=x i. El primer

requerimiento de la regla de reparto es eficiencia, es decir, los derechos del agua no

quedan sin asignar. El segundo requerimiento implica que la asignación destinada a

cada agente esté siempre acotada por un valor máximo y cero. Para finalizar, la última

restricción representa la limitación de viabilidad.

5.3 Caracterización de las reglas de reparto secuencial

Las soluciones procedentes de la literatura de bancarrota no pueden ser

directamente aplicadas a los problemas de reparto de un río. El orden lineal de los

agentes situados a lo largo del río y la uni-direccionalidad del flujo del agua nos

permite, sin embargo, representar el problema del reparto del río como una secuencia de

problemas de reparto reducidos formados cada uno de ellos únicamente por dos agentes.

Estos problemas de reparto reducidos son matemáticamente equivalentes a los

problemas de bancarrota. Esto lleva a la definición de los problemas de reparto y a la

caracterización de una clase de reglas de reparto secuencial usando estas definiciones.

Únicamente n sobrepasa la demanda de materia. Para cada problema de reparto de

un río w= ⟨ N ,e , c ⟩ , y cada problema relacionado w '= ⟨ N , e ' , c ' ⟩ tal que

e '=(e1 ,…,en−1 , en' ) y c '=(c1, …, cn−1 , cn

' ) , con en' =0 y cn

' =cn−en, tenemos que

F i (w )=F i ( w ' ) ,∀ i∈N .

Esta propiedad nos indica que la asignación de agua, aguas arriba no debe estar

afectada por la parte de la demanda del agente n que puede estar satisfecho con la

dotación del agente n. En otras palabras, únicamente el agente n sobrepasa la demanda

cn−en. Este hecho, es un leve requerimiento ya que n no está confrontada con ninguna

demanda procedente de los agentes aguas abajo. Además, no hay ninguna alternativa de

uso para en de su asignación a n; la dotación en esta destinada al agente n. De esta

forma, parece natural que en se use para satisfacer parcialmente a cn.

Sin ventajas en las mezclas aguas abajo. Para cada problema de reparto de un río

w= ⟨ N ,e , c ⟩ , y cada problema relacionado w '= ⟨ N , e ' , c ' ⟩ tal que N '=N ¿ {n¿} y

e '=(e1 ,…,en−2 , en−1' ) con c '=(c1 ,…,cn−2 , cn−1

' ) y en−1' =en−1+en y cn−1

' =cn−1+cn,

tenemos que F i (w )=F i ( w ' ) ,∀ i<n−1.

Esta propiedad permite la posibilidad que los agentes n y n-1 consoliden sus

demandas y dotaciones y se presenten conjuntamente como un demandante único. El

axioma indica que la asignación de los agentes situados aguas arriba no está afectada

por este comportamiento.

Estas dos definiciones que acabamos de ver, de forma conjunta proporcionan

que el flujo del río aguas abajo se usa primero para satisfacer las demandas de los

agentes situados aguas abajo. Únicamente las demandas en exceso del flujo del río

aguas abajo pueden afectar a la asignación de agua de los agentes situados aguas arriba.

Así pues, las soluciones que podemos usar para el exceso de demanda aguas abajo, que

denotaremos como c Di, vienen dadas por la siguiente expresión.

c Di=∑j∈Di

(c j−e j ).

Consecuentemente, la dotación correspondiente aguas abajo es eDi=0.

Únicamente n sobrepasa la demanda de materia y Sin ventajas en las mezclas aguas

abajo son el primer paso para aproximar el problema de reparto del río usando las reglas

de bancarrota, asumiendo que los agentes situados aguas abajo no pueden demandar

algo que ya poseen.

Usando la expresión anterior, los dos axiomas llevan directamente a la

representación del problema de reparto del río w como una secuencia ( w1 ,…, wn ) de

problemas de reparto del río reducidos w i.

Definición 5.3 (Problema de reparto de un río reducido). Un problema de reparto de

un río reducido esta compuesto por la triada w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩, con dos agentes

N i= {i , Di }, quienes tienen unas demandas C i={c i , cDi }, en un recurso Ei.

Notar que, en un abuso de notación, vamos a llamar al segundo agente del

problema de reparto de un río reducido como Di. Este conjunto de agentes son tratados

como un demandante único. En cada problema de reparto reducido w i, el flujo del río

disponible Ei es distribuido o repartido entre i y Di. Pasamos ahora a ver el siguiente

teorema sobre la disputa del agua.

Teorema 5.1 En cada problema de reparto reducido las sumas de las demandas excede

siempre a la cantidad de agua disponible: Ei<c i+c Di∀ i∈N

El Teorema 5.1 asegura que un problema de reparto de un río reducido es un

problema de reparto, de acuerdo con la Definición 5.1, compuesto por dos agentes y sin

ninguna dotación de agua, aguas abajo. Así pues, una regla de reparto asigna a cada

problema de reparto reducido w i , un vector de asignación de los derechos del agua

x=( x i , x Di )=Ei.

Un problema de reparto reducido es matemáticamente equivalente al problema de

bancarrota. De esta forma, las reglas de bancarrota pueden ser aplicadas a cualquier

problema de reparto reducido. Para poder resolver un problema de reparto de un río, las

reglas de bancarrota son aplicadas a la secuencia ( w1 ,…, wn ) de problemas reducidos.

Debido a la expresión Ei, el problema reducido y sus soluciones dependen unas de otras.

Ya que E1=e1 , por definición, w1 es el único problema reducido cuyas salidas no

dependen de las salidas de otros problemas reducidos. Su solución (la asignación x1 al

agente 1) determina E2 con la formulación correspondiente y proporcionando la

solución w2, etc. Así, la secuencia de problemas reducidos puede ser resulto

recursivamente en el orden lineal de los agentes situados a lo largo del curso del río.

Todo esto queda reflejado en la siguiente proposición.

Proposición 5.1 Para cada problema de reparto de un riow= ⟨ N ,e , c ⟩ y

sucorrespondiente secuencia de problemas de reparto reducidos ( w1 ,…, wn ), tenemos

que F i (w )=F i ( wi )∀ i∈N .

Los derechos de agua asignados a cada agente, son igual para la solución del

problema de reparto de un río y para la resolución recursiva de la secuencia de los

distintos problemas de reparto reducidos. Dado el vector de demandas y dotaciones, la

asignación del agente i es independiente del número de agentes en Di, la distribución de

sus demandas (c i+1, …, cn ) y la distribución de sus dotaciones (e i+1 , …,en); únicamente

depende de las demandas agregadas ∑j∈Di

c j y las dotaciones de materia ∑j∈Di

e j.

Antes de aplicar estas reglas en un ejemplo, vamos a ver cuatro reglas de reparto

secuencial, basadas en cuatro reglas básicas de la literatura de bancarrota. Estas cuatro

reglas clásicas son la regla proporcional, la limitación por premios iguales, la limitación

por pérdidas iguales y la regla del Talmud.

Regla proporcional (PRO). Para cada problema de reparto de un río reducido

w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iPRO= λc i y xDi

PRO= λ cDi.

PRO asigna a cada agente un reparto del recurso proporcional a la demanda del

agente.

Limitación de premios iguales (CEA). Para cada problema de reparto de un río

reducido w i=⟨ N i ,E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iCEA=min (c i , λ ) y

xDiCEA=min (cDi , λ ).

CEA asigna a cada agente un reparto equitativo de un recurso, sujeto a que

ningún agente reciba más de lo que demanda.

Limitación de pérdidas iguales (CEL). Para cada problema de reparto de un río

reducido w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iCEL=max (0 , ci−λ ) y

xDiCEL=max (0 , cDi−λ ).

CEL asigna a cada agente un reparto de un recurso tal que sus pérdidas

comparadas a sus demandas sean iguales, sujeto a que ningún agente reciba un reparto

negativo.

Regla del Talmud (TAL). Para cada problema de reparto de un río reducido

w i=⟨ N i , E i ,Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que

x iTAL={min {1

2 c i , λ}, si E i≤12 ( c i+cDi ) ,

ci−min {12

c i , λ},en otro caso .

xDiTAL={min {1

2 c Di , λ}, si Ei ≤12 (c i+c Di) ,

ci−min {12

c Di , λ}, enotro caso .

La regla TAL asigna a cada agente su reparto no impugnado del recurso

dividiéndolo en dos partes iguales.

5.4 Propiedades

Estudiamos ahora algunas propiedades que se van a dar en los problemas de

reparto reducidos. Estas propiedades van a ser las demandas monótonas, el recurso

monótono, la invariancia de escala y la consistencia.

Demandas monótonas. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i∈N , y cada problema relacionado w '=⟨ N , e , (ci' , c i )⟩ tal que c i

'>c i , tenemos

F i (w ' )≥ F i ( w ).

Esta propiedad indica que para un agente i, su reparto no debe empeorar si su

demanda se ve incrementada por cualquier motivo.

Recurso monótono. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i∈N , y cada problema relacionado w '=⟨ N , (e i' , ei ) , c ⟩ tal que e i

'>e i , tenemos

F ( w ' ) ≥ F (w ).

Esta propiedad nos dice que la asignación de un agente no debe empeorar

cuando un agente cuenta con una dotación mayor por cualquier motivo.

Invariancia de escala. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i∈N , todo λ>0 y cada problema relacionado w '=⟨ N , λ e , λc ⟩ , tenemos F ( w ' )= λF (w )

.

Esta propiedad nos dice que escalando las dotaciones y las demandas de todos

los agentes, esta acción no afectará a la solución de ninguno de los agentes.

Consistencia. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i , j∈N ,i ≠ j , y cada problema relacionado w '=⟨ N ' , e ' , c ' ⟩ tal que

N '=N ¿ { j¿}, c '=c ¿ {c j¿}, y e'=(e1' ,…,e j−1

' , e j+1' , …,en

' ) , con e ' factible y eficiente tal

que ∑i≤ k

(e i'−e i )≤0 , ∀ k< j y ∑

k∈N '(ek

' −ek )=e j−x j, tenemos F i (w )=F i ( w ' ).

Vemos ahora la siguiente proposición.

Proposición 5.2 Las siguientes relaciones entre las propiedades de los problemas de

bancarrota y sus correspondientes reglas de reparto secuencial se satisfacen

a) Si una regla de bancarrota satisface las demandas monótonas, su

correspondiente regla de reparto secuencial satisface las demandas monótonas.

b) Si una regla de bancarrota satisface el recurso monótono, su correspondiente

regla de reparto secuencial satisface el recurso monótono.

c) Si una regla de bancarrota satisface invariancia de escala, su correspondiente

regla de reparto secuencial satisface invariancia de escala.

d) Si una regla de bancarrota satisface las demandas monótonas y recurso

monótono, entonces existe un vector e ' tal que su correspondiente regla de

reparto secuencial satisface consistencia.

Debido a que PRO, CEA, CEL y TAL satisfacen Demandas monótonas, Recurso

monótono e Invariancia de escala, esta proposición lleva inmediatamente al siguiente

corolario.

Corolario 5.1 Las reglas de reparto secuencial basadas en PRO, CEA, CEL y TAL

satisfacen Demandas monótonas, Recurso monótono, Invariancia de escala y

Consistencia.

5.5 Aplicación

5.5.1 Presentación del problema

Vamos a pasar a ver una aplicación donde podamos ilustrar todos los conceptos

teóricos que hemos visto hasta ahora a lo largo del capítulo. En esta sección,

presentamos un problema ejemplo sobre el reparto del agua de un río que atraviesa

cierto número de ciudades que demandan cantidades diferentes de agua. Así, vamos a

presentar el siguiente ejemplo. Sea un río que desea satisfacer la demanda de cuatro

ciudades instaladas en su curso, siendo la ciudad 1 la situada aguas más arriba y la

ciudad 4 la situada aguas más abajo. Cada una de las ciudades reclama una cierta

demanda de agua para cubrir sus necesidades y que viene representada por el siguiente

vector de demanda c= (50,10,20,90 ). La suma de todas las demandas representa un total

de 170 unidades de agua. Además, a cada municipio o nodo de nuestro problema le

debemos añadir su dotación que nos es más que la suma de las cantidades de agua de los

distintos afluentes que pueda tener el río más la cantidad de agua procedente de las

lluvias en los distintos periodos del año. La dotación de cada agente va estar

representada por el siguiente vector e=(80,10,10,10 ). La suma de las cantidades de agua

disponibles para el reparto es de 110 unidades de

agua.

En la siguiente imagen

representamos de manera esquemática la

situación que vamos a utilizar para resolver nuestro

problema de reparto de agua de un río entre una

serie de agentes. El problema se centra básicamente en repartir las 110 unidades de agua

de la manera más justa posible ante una demanda 60 unidades superior a la oferta, es

decir, que no hay agua para que todos los agentes puedan cubrir el 100% de sus

necesidades.

Primero nos centramos en resolver el problema de forma analítica usando los

cuatro métodos que hemos visto en este capítulo. Estos métodos son el PRO, el CEA, el

CEL y el TAL. Vamos a ver como realizan el reparto cada uno de ellos. Después de ver

los cuatro métodos por separado vamos a realizar dos análisis de sensibilidad. Primero

veremos como afecta la asignación de cada uno de los cuatro métodos cuando se realiza

un incremento de la cantidad de demanda de recurso por un agente, es decir, como varía

la asignación al incrementar la demanda de un agente cualquiera. El segundo análisis de

sensibilidad va a consistir en ver cómo varía la asignación de cada uno de los cuatro

métodos al incrementar la oferta de un agente una cierta cantidad. Una vez realizados

los análisis de sensibilidad pasaremos a comparar los métodos de reparto que hemos

visto a lo largo del capítulo. Para finalizar, realizaremos una serie de discusiones y

conclusiones sobre todos los resultados obtenidos en los distintos estudios.

5.5.2 Métodos de reparto secuencial: resolución analítica

Pasamos ahora a ver como se van a resolver cada uno de los cuatro métodos de

reparto secuencial que se han propuesto a lo largo del capítulo. Estos métodos son el

PRO, el CEA, el CEL y el TAL. Vamos a centrarnos en cada uno de ellos de manera

individual, viendo cuales son los criterios que usan para establecer un buen reparto.

5.5.2.1 Método de reparto proporcional (PRO)

El método PRO asigna a cada agente un reparto del recurso proporcional a la

demanda del agente. Así, los agentes que más demandan tendrán una asignación mayor

pero, a todos ellos se le va a asignar la misma cantidad proporcional. Es un método muy

sencillo matemáticamente aunque, como ya se ha comentado, establece un reparto

únicamente usando como criterio la creación de la variable lambda.

Para cada problema de reparto de un río reducido, w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, el método

PRO establece que existe un valor λ>0, tal que x iPRO= λ c i y xDi

PRO= λ cDi. Donde el valor

de lambda viene dado por la siguiente expresión λ=Ei

c i+cDi .

Para desarrollar tanto este método como los demás, nos centramos en la

siguiente tabla explicando paso a paso la obtención de cada término.

i ei ci Ei cDi xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 A B D E F

2 10 10 G H J K L

3 10 20 M N O P Q

4 10 90 R S U V W

Vamos a explicar el significado de cada una de las columnas de la tabla anterior

antes dela obtención de todos los valores necesarios. La primera columna representa la

ciudad, es decir, la fila 1 se refiere a la ciudad situada aguas más arriba mientras que la

ciudad 4 es la situada agua más abajo. La segunda columna muestra la dotación que

cada ciudad puede aportar. En la tercera columna aparecen las demandas de cada una

de las ciudades. Las tres primeras columnas son los datos de nuestro problema, a partir

de ellos, debemos ser capaces de obtener el resto de los valores de la tabla. La cuarta

columna representa la cantidad de agua disponible en cada nodo. Esta variable ya se ha

explicado anteriormente y su obtención se realiza a través de la expresión Ei. Notar que,

al igual que comentamos antes, para el agente 1, E1=e1=80 por ser el situado aguas

más arriba. La quinta columna representa el exceso de demanda aguas abajo de cada

nodo. Para la obtención de esta variable hacemos uso de la expresión de c j que ya

hemos visto antes en el desarrollo teórico del capítulo. La variable lambda, como

comentamos antes, viene dada por la expresión λ=Ei

c i+cDi . La sexta y séptima

columnas representan la cantidad de agua asignada a cada ciudad y la asignación de

agua aguas abajo, respectivamente. Esta variables, para el caso de la resolución del

método PRO vienen dadas por las siguiente expresiones x iPRO= λc i y xDi

PRO= λ cDi. Por

último, en la octava columna se representa (en tanto por uno) la porción de demanda

que queda cubierta con la asignación a cada una de las ciudades, es decir, Pi=x i

ci .

Una vez explicadas todas las variables de la tabla, procedemos a calcular cada

una de las variables mediante el método PRO.

E1=80 λ1=80

50+90=0,57 x1=28,5 xD 1=51,3 P1=0,57

E2=61,5 λ2=61,5

10+90=0,62 x2=6,2 xD 2=55,8 P2=0,62

E3=65,3 λ3=65,3100

=0,65 x3=13 xD 3=52 P3=0,65

E4=62,3 λ4=62,390

=0,69 x4=62,1 xD 4=−−¿ P4=0,69

Trasladando todos los valores a la tabla tenemos,

i ei ci Ei cDi λ xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 80 90 0,57 28,5 51,3 0,57

2 10 10 61,5 90 0,62 6,2 55,8 0,62

3 10 20 65,3 80 0,65 13 52 0,65

4 10 90 62,3 - 0,65 62,1 - 0,65

Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método PRO

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, unas 110 unidades de

agua.

5.5.2.2 Método de reparto de beneficios equitativos (CEA)

El método CEA es un método basado en la igualdad pero respetando siempre los

limites superiores máximos que podemos alcanzar con cada agente. Lo que se hace con

este método es repartir de forma equitativa toda la oferta, entre todo el conjunto de

agentes del problema de reparto reducido, sin sobrepasar en ningún caso la cantidad

demandada por cada agente. Si realizando esta actuación sobra recurso, porque puede

ocurrir que haya agentes que demanden menos cantidad que la partición equitativa de la

demanda, el sobrante se vuelve a repartir entre todos los agentes que aún no hayan

llegado al nivel máximo de su demanda.

Para este método vamos a utilizar la siguiente tabla,

i ei ci Ei cDi xiCEA xDi

CEA PiCEA

1 80 50 A B C D E

2 10 10 F G H I J

3 10 20 K L M N O

4 10 90 P Q R S T

El vector de demandas es c= (50 ;10 ;20 ;90 ) y la suma de la cantidad de oferta

que disponemos es de 110 unidades de agua. Dividimos la cantidad de oferta entre los

cuatro agentes, siendo la asignación teórica de 27,5 unidades de agua. Realizamos la

primera asignación, teniendo en cuenta la máxima demanda posible de cada agente,

obteniendo x=(27,5 ;10 ;20 ;27,5 ). Aún faltan por asignar un total de 25 unidades de

agua que repartido entre los dos agentes que aún no han llegado a su limite superior

caben a 12,5 u.a. por agente. De esta forma la asignación final es la siguiente

x=[ 40 ;10 ;20 ;40 ]. Los demás valores de la tabla son

Agente 1 2 3 4

E 80 50 50 60

c D 90 90 80 --

xD 40 40 50 --

P 0,8 1,00 1,00 0,44

La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,

i ei ci Ei cDi xiCEA xDi

CEA PiCEA

1 80 50 80 90 40 40 0,8

2 10 10 50 90 10 40 1,00

3 10 20 50 80 20 50 1,00

4 10 90 60 -- 40 -- 0,44

Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método CEA

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, 110 unidades de agua.

5.5.2.3 Método de reparto de pérdidas equitativas (CEL)

El método CEL tiene el mismo espíritu que el método CEA con la diferencia de

que este se centra en las pérdidas que incurren los demandantes. De esta forma, el

método CEL consiste en asignar la misma cantidad de pérdidas a todos los demandantes

sujetos a que ninguno de ellos reciba una cantidad negativa. Este método consiste

básicamente en tomar el sumatorio de la demanda total, ver la cantidad de recurso que

falta por cubrir con la cantidad de oferta disponible. Esa cantidad necesitada se divide

entre los cuatro agentes y se le resta a su demanda máxima. Si alguna es inferior a cero,

se le asignará cero y producirá un nuevo sobrante que se asignará en la siguiente

iteración. El método finalizará cuando no sobre demanda por restar. De esta forma

vamos a tener la siguiente tabla,

i ei ci Ei cDi xiCEL xDi

CEL PiCEL

1 80 50 A B C D E

2 10 10 F G H I J

3 10 20 K L M N O

4 10 90 P Q R S T

Como se puede comprobar tiene exactamente la mima estructura que la tabla que

usamos con el método CEA.

Para resolver el problema, lo primero es calcular la suma de demandas de

nuestro problema c= (50 ;10 ;20 ;90 ). Esta cantidad es de 170 unidades de agua. Por

otra parte, la oferta de nuestro problema es de 110 unidades de agua. Por lo tanto,

tenemos un exceso de demanda de 60 unidades de agua. Dicho exceso, se va a repartir

entre los cuatro agentes, resultando un exceso por agente de 15 unidades de agua. La

primera asignación se realiza restando a cada agente 15 unidades de la demanda

máxima permitida. Si esta cantidad es inferior a cero se le asignará el limite inferior, es

decir, cero unidades de agua. La primera asignación proporciona el vector

x=(35 ;0 ;5 ;75 ) en el que tenemos un exceso de demanda de tan solo 5 unidades de

agua. Esta cantidad se va a repartir entre los tres agentes que aún no han alcanzado su

límite inferior. De esta forma, para la segunda iteración se restan 5 unidades de agua

entre los tres agentes proporcionando un reparto final de x=(33,33 ;0 ;3,33 ;73,33 ).

Dicho reparto, ya no tiene ninguna unidad de exceso de demanda. Las demás variables

se han calculado de forma análoga al caso anterior, obteniendo los siguientes resultados.

Agente 1 2 3 4

E 80 56,67 66,67 73,34

c D 90 90 80 --

xD 46,67 56,67 63,34 --

P 0,66 0 0,16 0,81

La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,

i ei ci Ei cDi xiCEA xDi

CEA PiCEA

1 80 50 80 90 33,33 46,67 0,66

2 10 10 56,67 90 0 56,67 0,00

3 10 20 66,67 80 3,33 63,34 0,16

4 10 90 73,34 -- 73,33 -- 0,81

Notar que el sumatorio de las asignaciones proporcionadas por el método CEL

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, unas 110 unidades de

agua.

5.5.2.4 Método de reparto de la regla del Talmud (TAL)

Pasamos ahora a ver el último de los cuatro métodos que vamos a usar para resolver

nuestro problema de reparto de un río. El método TAL define dos regímenes basados en

las semisumas de las demandas. Si dicha cantidad es inferior a la cantidad a repartir, se

aplica el método CEA. En caso contrario, cada agente recibe la mitad de su demanda y

se aplica el método CEL a la cantidad sobrante. Notar que estamos usando la mitad de

las demandas y no la demanda entera. De esta forma vamos a tener la siguiente tabla,

i ei ci Ei cDi xiCEL xDi

CEL PiCEL

1 80 50 A B C D E

2 10 10 F G H I J

3 10 20 K L M N O

4 10 90 P Q R S T

Como podemos comprobar, tiene exactamente la mima estructura que las tablas

que hemos usado en los métodos CEA y CEL. Para resolver nuestro problema, lo

primero que debemos hacer es comprobar que nuestra oferta es mayor a la semisuma de

las demandas. Así, para nuestro caso tenemos una oferta de 110 unidades de agua

mientras que la semisuma de las demandas es de 85 unidades de agua. Por lo tanto se

cumple que la oferta sea mayor que la semisuma de las demandas. Aplicamos entonces

el método CEA a un vector formado por la mitad de la demanda c= (25;5 ;10 ;45 ).

Como ya hemos visto, tenemos una oferta de 110 unidades de agua que repartida entre

los cuatro agentes corresponde a 27,5 unidades de agua por agente. Realizando la

asignación mediante el método CEA obtenemos x1=(25 ;5 ;10;27.5 ). Dado que el

sumatorio de la semi-demanda es de 85 y la primera asignación otorga 67,5 unidades de

agua, tenemos un sobrante de 85-67,5=17,5 unidades de agua que, cediéndolas al único

agente que aún no ha llegado a su limitación máxima de demanda, obtenemos una

asignación final de x1=(25 ;5 ;10; 45 ).

En este primer paso, hemos asignado ya 85 unidades de agua de las 110

correspondientes. Ahora debemos aplicar el método CEL pero, ¿qué cantidad de

pérdidas debemos considerar? La semisuma de las demandas suman 85 unidades de

agua, luego nos falta aún por asignar 110-85=25 unidades más. Así pues, la cantidad de

pérdidas que debemos considerar para que la segunda semisuma de las demandas sea 25

unidades de agua es de 85-25=60 unidades de agua en pérdidas. Aplicamos entonces el

método CEL con 60 unidades de agua en pérdidas. Para ello, repartimos estas pérdidas

entre todos los agentes, es decir, cada agente acarrea unas pérdidas de 15 unidades de

agua cada uno. Realizando la primera asignación obtenemos x2=(10 ;0 ;0 ;30 ). El

sumatorio de esta asignación es de 40 unidades de agua, por lo que tenemos un sobrante

de 40-25=15 unidades de agua. Repartiendo estas 15 unidades de agua entre los dos

agentes que aún no han llegado a su límite inferior, obtenemos finalmente la siguiente

asignación x2=(2.5 ;0 ;0 ;22,5 ).

Para concluir, sólo queda sumar las dos asignaciones obtenidas por este método

x=x1+x2=(25 ,5 , 10 ,45 )+ (2.5,0,0,22 .5 )=(27.5 , 5 ,10 ,67.5 ). Las demás variables se han

calculado de forma análoga a los casos vistos anteriormente.

Agente 1 2 3 4

E 80 62,5 67,5 67,5

c D 90 90 80 --

xD 52,5 57,5 57,5 --

P 0,34 0,50 0,50 0,75

La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,

i ei ci Ei cDi xiTAL xDi

TAL PiTAL

1 80 50 80 90 27,5 52,5 0,34

2 10 10 62,5 90 5 57,5 0,50

3 10 20 67,5 80 10 57,5 0,50

4 10 90 67,5 -- 67,5 -- 0,75

Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método TAL,

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, 110 unidades de agua.

5.5.3 Análisis de sensibilidad

Una vez visto la resolución del problema de reparto de agua de un río entre un

conjunto de agentes situados a lo largo de su curso, pasamos ahora a ver dos análisis de

sensibilidad aplicados a cada uno de los métodos introducidos hasta ahora. El primero

de los análisis va a consistir en incrementar la demanda de uno de los agentes que

participan en el reparto. De esta forma, en el primer caso incrementaremos la demanda

del agente dos en veinte unidades de agua, es decir, c2 va a pasar de valer 10 unidades a

30 unidades de agua. Estableceremos el reparto de acuerdo a los cuatro métodos ante

esta variación en la demanda y comprobaremos que se cumple la propiedad de

Demandas monótonas introducida en la parte teórica del capítulo. El segundo análisis

de sensibilidad que realizamos va a consistir en la variación en la dotación de un agente

cualquiera que participa en el reparto. De esta forma, resolveremos el problema de

reparto utilizando los cuatro métodos al incrementar la dotación proporcionada por el

agente dos. Así, e2 va a pasar de valer 10 unidades a 30 unidades de agua. Además,

podremos comprobar que se cumple la propiedad de recurso monótono que

introducimos anteriormente.

Notar que, para la representación de los resultados, se van a presentar

únicamente las tablas ya que la resolución de cada método es totalmente análoga a la

que hemos explicado en la sección anterior.

5.5.3.1 Análisis de sensibilidad: Demanda incrementada

Método PRO

i ei ci Ei λ cDi xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 80 0,5 110 25 55 0,5

2 10 30 65 0,54 90 16 48,6 0,54

3 10 20 59 0,59 80 12 47,2 0,59

4 10 90 57 0,63 -- 57 -- 0,63

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 28,5 25 -3,5

x2 6,2 16 +9,8

x3 13 12 -1,0

x4 62,1 57 -5,1

p1 0,57 0,5 -0,07

p2 0,62 0,54 -0,08

p3 0,65 0,59 -0,06

p4 0,65 0,63 -0,02

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Método CEA

i ei ci Ei cDi xiCEA xDi

CEA PiCEA

1 80 50 80 110 30 50 0,60

2 10 30 60 90 30 70 1,00

3 10 20 80 80 20 80 1,00

4 10 90 90 -- 30 -- 0,33

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 40 30 -10,0

x2 10 30 +20,0

x3 20 20 +0,00

x4 40 30 -10,0

p1 0,8 0,60 -0,20

p2 1,00 1,00 +0,00

p3 1,00 1,00 +0,00

p4 0,44 0,33 -0,11

Método CEL

i ei ci Ei cDi xiCEL xDi

CEL PiCEL

1 80 50 80 110 30 50 0,60

2 10 30 60 90 10 50 0,33

3 10 20 60 80 0 60 0,00

4 10 90 70 -- 70 -- 0,78

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 33,33 30 -3,33

x2 0 10 +10,0

x3 3,33 0 -3,33

x4 73,33 70 -3,33

p1 0,66 0,60 -0,06

p2 0,00 0,33 +0,33

p3 0,16 0,00 -016

p4 0,81 0,78 -0,03

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Método TAL

i ei ci Ei cDi xiTAL xDi

TAL PiTAL

1 80 50 80 110 25 55 0,50

2 10 30 65 90 15 60 0,50

3 10 20 70 80 10 60 0,50

4 10 90 70 -- 60 -- 0,67

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 27,5 25 -2,5

x2 5 15 +10,0

x3 10 10 +0,0

x4 67,5 60 -7,5

p1 0,34 0,50 +0,16

p2 0,50 0,50 +0,00

p3 0,50 0,50 +0,00

p4 0,75 0,67 -0,08

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Como se puede apreciar en todos los casos el sumatorio de la cuantía total

asignada es exactamente la misma que la asignación en el caso base, es decir, de 110

unidades de agua ya que la cantidad de oferta no se ha visto modificada.

Además, podemos comprobar como se cumple la propiedad sobre las Demandas

monótonas ya que, en todos los casos, el porcentaje de agua asignada al agente dos se ve

incrementado al aumentar la cantidad demandada por él mismo.

5.5.3.2 Análisis de sensibilidad: Dotación incrementada

Método PRO

i ei ci Ei λ cDi xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 80 0,67 70 33,33 46,9 0,67

2 30 10 76,67 0,77 90 7,67 69,3 0,77

3 10 20 79 0,79 80 15,8 63,2 0,79

4 10 90 73 0,81 -- 73 -- 0,81

Caso BaseDotación

incrementada

x1 28,5 33,33

x2 6,2 7,67

x3 13 15,8

x4 62,1 73

p1 0,57 0,67

p2 0,62 0,77

p3 0,65 0,79

p4 0,65 0,81

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Método CEA

i ei ci Ei cDi xiCEA xDi

CEA PiCEA

1 80 50 80 70 50 30 1,00

2 30 10 60 90 10 50 1,00

3 10 20 60 80 20 60 1,00

4 10 90 70 -- 50 -- 0,55

Caso BaseDotación

incrementada

x1 40 50

x2 10 10

x3 20 20

x4 40 50

p1 0,8 1,00

p2 1,00 1,00

p3 1,00 1,00

p4 0,44 0,55

Método CEL

i ei ci Ei cDi xiCEL xDi

CEL PiCEL

1 80 50 80 70 40 40 0,80

2 30 10 70 90 0 70 0,00

3 10 20 80 80 10 70 0,50

4 10 90 80 -- 80 -- 0,89

Caso BaseDotación

incrementada

x1 33,33 40

x2 0 0

x3 3,33 10

x4 73,33 80

p1 0,66 0,80

p2 0,00 0,00

p3 0,16 0,50

p4 0,81 0,89

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Método TAL

i ei ci Ei cDi xiTAL xDi

TAL PiTAL

1 80 50 80 70 37,5 42,5 0,75

2 30 10 72,5 90 5 67,5 0,50

3 10 20 77,5 80 10 67,5 0,50

4 10 90 77,5 -- 77,5 -- 0,86

Caso BaseDotación

incrementada

x1 27,5 37,5

x2 5 5

x3 10 10

x4 67,5 77,5

p1 0,34 0,75

p2 0,50 0,50

p3 0,50 0,50

p4 0,75 0,86

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Como se puede apreciar en todos los casos la suma de la cuantía total asignada

ya no es la misma que en el caso base. Ahora, ya que la dotación del agente dos ha sido

incrementada en veinte unidades, todas las asignaciones propuestas ya no suman 110

unidades de agua sino 130. Este es el motivo por el cual se ha suprimido la última

columna de la comparación entre el caso base y el caso de la dotación incrementada.

Además, podemos comprobar como se cumple la propiedad sobre el Recurso

monótono ya que en todos los casos el agente dos que ha tenido un incremento de la

dotación nunca se ve afectado por un reparto inferior que en el caso base, siendo

siempre su asignación mayor o igual.

5.5.4 Comparación de los métodos secuenciales con sus alternativas

En esta sección vamos a comparar nuestra solución con un par de alternativas

que pueden ser aplicadas para resolver los problemas de reparto de agua de un río. La

primera comparación la vamos a realizar con la propuesta por Ambec y Sprumont

(2002). La segunda comparación va a ser únicamente importante para el caso especial

donde toda la dotación del agua del río que se va a repartir viene a cargo del agente uno

mientras que el resto de los agentes no tiene dotación alguna. En este caso, las reglas de

bancarrota pueden ser aplicadas de forma directa, mientras se mantenga el tratamiento

de las dotaciones y el orden lineal de los agentes.

Aunque estas alternativas poseen una serie de ventajas, en esta sección veremos

las desventajas frente a las soluciones mostradas en este capítulo. En el primer caso, esta

solución va a favorecer notablemente a los agentes situados aguas abajo mientras que en

el segundo caso, esa solución es únicamente válida para un caso especial de los

problemas de reparto de agua de un río.

5.5.4.1 Comparación con los problemas de reparto de Ambec y Sprumont

Ambec y Sprumont propusieron en 2002 una solución axiomática basada en las

teorías ATS y ATI. Estos dos principios son usados como un límite inferior y superior en

la aspiración sobre el bienestar de una coalición de agentes. Ambec y Sprumont (2002)

demostraron que hay una única distribución de beneficio tal que proporciona una

solución de compromiso entre estos dos principios. El agua queda asignada de tal

manera que el bienestar de cada agente sea igual a su contribución marginal a la

coalición compuesta por todos los agentes aguas arriba.

La comparación de los problemas de reparto secuencial con la solución

propuesta por Ambec y Sprumont (2002) no es sencilla ya que su solución se basa en

términos de bienestar mientras que la literatura de bancarrota proporciona una solución

en términos de recurso distribuido. La comparación es posible únicamente si asumimos

que los beneficios son lineales al uso del agua. En este caso, la solución propuesta por

Ambec y Sprumont (2002) cae en la clase de problemas de reparto secuencial. De

hecho, es un caso extremo de este tipo de problemas con x i=e i ,∀ i∈N . La solución

asigna a cada agente el derecho de su propia dotación. Obviamente, esta solución es

independiente del vector de demandas ya que Ambec y Sprumont (2002) no consideran

demandas en su modelo.

Esta alternativa puede ser un compromiso atractivo entre las teorías ATS y ATI

pero nos vamos a cuestionar su aplicabilidad por dos razones. La primera es que Ambec

y Sprumont (2002) encontraron una solución al problema de reparto de un río usando

una combinación de límites inferiores y superiores del bienestar. De esta forma, se

asume que los agentes situados aguas arriba no aspiran a un nivel de bienestar más alto

que el que se pueden asegurar ellos mismos. La segunda razón es que la solución

proporcionada por Ambec y Sprumont (2002) asigna todas las ganancias procedentes de

la cooperación a los agentes situados aguas abajo sin que sea muy convincente.

5.5.4.2 Comparación con los problemas de bancarrota sin dotación

Si todo el agua que se va a repartir entre un serie de agentes se origina en la

cabeza del río, es decir, e i=0 ∀ i>1, y el orden de los agentes no se considera, entonces

las reglas de bancarrota pueden ser directamente aplicadas a esta clase tan especial de

problemas de reparto de un río.

Como primer comentario, esta aproximación parece no estar relacionada con las

reglas de reparto secuencial. Hay una serie de reglas, sin embargo, para estas

aproximaciones aplicadas a las reglas de reparto secuencial. Esta clase de reglas

incluyen a todas las de bancarrota que satisfacen ventajas de la fusión o la división

(O`Neill (1982), Thomson (2003)). La regla PRO es una de las reglas de bancarrota

perteneciente a esta clase. Así, la solución proporcionada por la aplicación de la regla de

reparto secuencial basada en PRO corresponde con la solución dada por este método

PRO aplicada a los problemas de reparto de un río. Esto queda reflejado en la siguiente

proposición.

Proposición 5.3 La regla de reparto secuencial basada en el método PRO satisface la

siguiente propiedad. Si e i=0 , ∀ i>1 , entonces piPRO=

e1

∑j∈N

c j

,∀ i∈ N .

Esta proposición nos indica que para esta clase de problemas de reparto de un

río, las propiedades que caracterizan al método PRO, también lo hacen para su

correspondiente regla de reparto secuencial. Consecuentemente, cada agente recibe la

misma proporción de su demanda. De esta forma, las diferencias entre las soluciones

inducidas por PRO y su correspondiente regla de reparto secuencial vienen dadas por la

distribución de las demandas sobre los agentes. Estas diferencias no son como resultado

del orden lineal de los agentes.

Este resultado implica que la solución proporcional de un problema de

bancarrota iguala la solución proporcional a una secuencia de problemas de bancarrota

reducidos. Por lo tanto, esta clase de problemas de reparto de un río son una

generalización de los problemas de bancarrota. Notar, sin embargo, que desde la

perspectiva del reparto de un río esta clase de problemas reflejan un caso muy especial

debido a la específica suposición sobre el abastecimiento del agua del río.

5.5.5 Análisis de resultados, discusión y conclusiones

Empezamos analizando las distintas soluciones que nos han proporcionado cada

uno de los métodos usados en el problema de reparto del agua de un río. Para ello,

representamos en la siguiente tabla todas las soluciones obtenidas.

PRO CEA CEL TAL

x1 28,5 40 33,33 27,5

x2 6,2 10 0 5

x3 13 20 3,33 10

x4 62,1 40 73,33 67,5

p1 0,57 0,8 0,66 0,34

p2 0,62 1,00 0,00 0,50

p3 0,65 1,00 0,16 0,50

p4 0,65 0,44 0,81 0,75

Como podemos apreciar en la tabla anterior, mostramos cuatro soluciones

diferentes dadas por cada uno de los métodos anteriores. De esta forma, el método PRO

se centra en realizar un reparto en el cual todos los agentes cubran un porcentaje de su

demanda muy similar unos de otros. Así, aplicando el método PRO y con dotaciones de

partida se consigue que cada agente, independientemente de su demanda, cubra

aproximadamente el sesenta por ciento de su demanda. El segundo método que

resolvimos fue el CEA. Este método intenta repartir a cada agente la misma cantidad de

agua hasta llegar al límite máximo de cada agente. Para nuestro caso, como el límite de

los agentes dos y tres es inferior al de los agente uno y cuatro, su demanda se satisface

por completo a consta de perjudicar la del último agente. El tercer método es el CEL.

Este método restaba una cantidad constante a cada agente procedente del reparto de la

cantidad de agua que faltaba para cumplir con toda la demanda, sin que la asignación

sea nunca negativa. De esta forma y dado los límites de cada agente, los agentes que

menos demandan son los que menos perciben mientras que los agentes que más

demandan son los que más agua reciben. En nuestro caso, el agente dos se queda sin

reparto alguno, el agente tres cubre muy poca parte de su demanda pero, sin embargo

los agentes uno y cuatro cubren gran parte de su demanda, en especial el agente cuatro

que es el que más agua demanda de todo el conjunto de agentes. El último de los

métodos que aplicamos fue el método TAL. Este método es el más complejo de todos y

posiblemente es el que de un reparto más “justo” frente a sus alternativas. Con este

método todos los agentes cubren un buen porcentaje de su demanda siendo el menos

beneficiado el agente uno al no llegar a un cuarenta por ciento de su demanda.

Un tema sobre el que podemos discutir es cuando un problema reducido de

reparto de un río, aunque matemáticamente equivale a un problema de bancarrota,

pueda ser de hecho interpretado como tal. La respuesta de esta cuestión depende de la

interpretación de Ei, el recurso que va a ser distribuido entre i y Di. En los problemas de

bancarrota, el recurso está separado de los agentes. En un problema reducido de reparto

de un río, Ei es el flujo de agua disponible al agente i. Si no se consideran las demandas,

la dotación podría ser interpretada como la propiedad de derechos, es decir, la dotación

de cada agente es la cantidad de agua de la que dispone.

En nuestra interpretación, la superposición de las demandas implica que las

dotaciones no representen derechos de propiedad. Así, una regla de reparto necesita ser

introducida como un derecho. El flujo disponible del agente i, Ei , no se interpreta como

un derecho de propiedad, pero si como un recurso cuyo nivel puede influenciar la

solución del reparto del agua de un río, dependiendo de la regla de reparto usada. En

este caso, Ei es separada de los agentes y, por lo tanto, un problema reducido de reparto

de un río es completamente equivalente al problema de bancarrota. Aunque esta

interpretación proporciona un apoyo adicional al uso de reglas de reparto secuencial, no

podemos afirmar que esta interpretación sea más convincente que las alternativas.

En este capítulo hemos analizado los problemas de reparto de un río con un

orden lineal de los agentes quienes poseen una dotación y demanda de recurso. Hemos

construido una clase de reglas de reparto secuencial mediante la transformación del

problema de reparto del río a una secuencia de problemas reducidos de reparto de un

río. Estos problemas reducidos son matemáticamente equivalentes a los problemas de

bancarrota y, por lo tanto, pueden ser resueltos usando las reglas de bancarrota.

Los resultados de este capítulo pueden ser perfectamente adaptados a

aplicaciones sobre la negociación en reparto del agua de un río a nivel nacional o

internacional. La suposición a seguir es estar de acuerdo en una regla de reparto que

asigne el derecho de agua a cada uno de los agentes.

5.6 Estado del arte: Líneas actuales de negociación

En esta última sección, vamos a exponer las líneas más novedosas de

negociación en este contexto basada en la teoría de juegos cooperativos. Para ello,

consideraremos el problema del reparto de agua entre unos agentes situados a lo largo

de un río. Cada agente, tiene preferencias cuasi-lineales sobre el agua del río y el dinero,

donde el beneficio sobre el consumo de una cantidad de agua viene proporcionado por

una función de beneficio continua y cóncava. Una solución eficiente del problema

repartirá el agua del río entre todos los agentes sin malgastar dinero. Introducimos

varios axiomas para caracterizar cuatro soluciones distintas.

5.6.1 Introducción

Consideramos el problema de reparto del agua entre varios agentes, que pueden

ser pueblos, ciudades, industrias, etc., ubicados a lo largo de un río. Dado que el número

de agentes involucrados en el reparto del agua de un río es normalmente pequeño y que,

los intercambios de agua son escasos, el comercio de agua del río tiene lugar por la

firma de contratos entre las partes involucradas. Estos contratos directamente

especifican la cantidad de agua a repartir, así como, la cantidad de dinero que debe ser

pagada por el agua. El objetivo de la teoría de juegos cooperativos es el de proporcionar

el resultado de la elección de un agente, que depende de decisiones tomadas por otros,

siendo los agentes que toman decisiones, los encargados de firmar contratos vinculantes

bilaterales o multilaterales para hacer cumplir dicha cooperación. Por este motivo, la

teoría de juegos cooperativos es una de las principales herramientas usadas para el

modelado de problemas hidráulicos.

Ambec y Sprumont (2002) presentaron un modelo en el que una serie de agentes

están situados a lo largo de un río simple, de un sólo flujo desde aguas arriba hasta

aguas abajo. Cada agente, suponemos que tiene preferencias cuasi-lineales sobre el

agua del río y el dinero, donde el beneficio del consumo de una cantidad de agua viene

dado por una función de beneficio diferencial, estrictamente creciente y estrictamente

cóncava. La asignación de reparto del agua entre todos los agentes es eficiente cuando

ésta maximiza la suma total de beneficio. A fin de mantener una asignación de agua

eficiente, los agentes pueden ser compensados cada uno por el pago de transferencias

monetarias. Cada asignación de agua y transferencia proporciona una distribución de

bienestar, donde la utilidad de un agente es equivalente a su beneficio del consumo de

agua más su transferencia monetaria, que puede ser negativa. Mediante la derivación de

un juego cooperativo a partir de su modelo, Ambec y Sprumont (2002) encontraron la

forma de cómo el agua del río debe asignarse a los agentes y proponen que las

transferencias monetarias se deben realizar a fin de lograr una distribución justa del

bienestar. Ellos propusieron la solución incremental aguas abajo como la distribución

de bienestar que satisface tanto los límites inferiores como los limites superiores de la

aspiración. Dicha solución, puede ser considerada como el vector de contribución

marginal de su juego cooperativo correspondiente al orden de los agentes ubicados a lo

largo del río, desde aguas arriba hasta aguas abajo.

Ambec y Ehlers (2008), Khmelnitskaya (2010), van den Brink, van der Laan y

Moes (2010) y Wang (2011) generalizaron el modelo de Ambec y Sprumont (2002) de

una forma específica. Ambec y Ehlers (2008) permitieron que la función de beneficio de

cada agente fuese diferenciable y estrictamente cóncava, pero no necesariamente

incremental. Khmelnitskaya (2010) consideró ríos con estructura de tipo árbol

permitiendo múltiples salidas o deltas. Van den Brink, van der Laan y Moes (2010)

estudiaron ríos con múltiples salidas y propusieron una nueva clase de solución basada

en la distribución de agua según el principio conocido como Territorial Integration of

all Basin States (TIBS). Finalmente, Wang (2011) propuso una solución al modelo

original tipo línea en donde el comercio de agua está restringido a parejas de agentes

vecinos.

En este apartado, primero, vamos a tomar la suposición de Ambec y Ehlers

(2008) sobre que la función de beneficio únicamente se le exija continuidad y

concavidad. La segunda consideración consiste en caracterizar dos soluciones existentes

mediante el modelo de flujo único, introduciendo algunos axiomas. La última

consideración es proponer y caracterizar dos nuevas soluciones para el modelo de flujo

único usando nuevos axiomas.

En contraste con los documentos mencionados anteriormente, en este apartado

evitamos el desvío de modelar la situación del río como un juego cooperativo. En su

lugar, vamos a imponer inmediatamente axiomas sobre la clase de todos los problemas

de distribución del agua del río. Esto tiene como principal ventaja que los axiomas que

proponemos directamente pueden ser interpretados en términos de asignación de agua

(Beneficio).

Mientras que la mayoría de los axiomas utilizados en la literatura también

derivan de los principios de distribución de agua, ellos son axiomas sobre juegos

cooperativos y no problemas de asignación de agua. Esto a menudo induce a error

cuando se trata de interpretar los axiomas de juego cooperativos en términos de

asignación de agua.

5.6.2 Problemas de ríos con funciones de beneficio cóncavas

En el trabajo “Sharing a river”, Ambec y Sprumont (2002) consideraron el

problema de encontrar una distribución justa del bienestar resultante a la asignación de

flujos de agua a lo largo de un río internacional a los agentes situados en su cauce. Sea

N= {1, …,n } un conjunto de agentes, que supusieron países, a lo largo del río,

numerados sucesivamente desde aguas arriba hasta aguas abajo, y sea e i≥ 0 las entradas

de agua sobre el territorio del agente i, i=1 , …, n. Para cada agente i, se va a suponer

una función de utilidad cuasi-lineal asignada a cada pareja ( x i ,t i ) con x i∈R+¿¿ una

cantidad de agua asignada a i y t i∈R+¿¿ una compensación monetaria a i, la utilidad

vi ( x i ,t i )=b i ( x i )+t i,

donde b i : R+¿→ R ¿ es una función continua dando un beneficio b i ( x i ) al agente i del

consumo x i de agua. En lo siguiente, denotaremos una situación del río por la terna

( N ,e ,b ), donde N es el conjunto de agentes, e∈ R+¿n¿ es el vector de las entradas no

negativas y b=(b i) i∈N es el conjunto de las funciones de beneficio.

Por la uni-direccionalidad del flujo de agua desde aguas arriba hasta aguas abajo,

a cada agente se le puede asignar la entrada de agua a su territorio y su agente aguas

arriba, pero la entrada de agua de algunos agentes aguas abajo no puede ser asignada a

este agente. De esta forma, una asignación de agua x∈ R+¿n¿ asigna una cantidad de agua

x i al agente i ,i=1 , …, n, bajo la restricción

1. ∑i=1

j

x i ≤∑i=1

j

ei , j=1 ,…, n.

Es decir, x∈ R+¿n¿ es una asignación de agua si, para cada agente j, la suma de las

asignaciones de agua x1 , …, x j es como máximo igual a la suma de las entradas e1 ,…, e j

. Los rendimientos totales de bienestar de una asignación de agua x son ∑i=1

n

bi ( x i ). Un

esquema de compensación t∈ Rn proporciona una compensación monetaria t i al agente

i ,i=1 , …, n, bajo la restricción

∑i=1

n

t i ≤0 .

Como se mencionó anteriormente, una pareja ( x ,t ) de una asignación de agua x y

un esquema de compensación t proporcionan utilidades v ( x i ,t i ) dado por la expresión

anterior para cada i=1 ,…,n. Una pareja ( x ,t ) es Pareto eficiente si no se malgasta ni

agua ni dinero, es decir, ( x ,t ) es Pareto eficiente si y sólo si x∈ Rn maximiza el

beneficio del problema Dado por

max∑i=1

n

b i ( x i ) s .t .∑i=1

j

x i ≤∑i=1

j

ei , j=1 , …, n y x i≥ 0 , i=1 ,…, n ,

y el esquema de compensación t∈ Rn está en el balance del presupuesto: ∑i=1

n

t i=0.

En Ambec y Sprumont (2002) se asume que cada función de beneficio es una

función incremental y estrictamente cóncava, que es diferenciable para cada x i>0 , cuya

derivada tiende a infinito cuando x i tiende a cero. Bajo esta suposición, el problema de

maximización anterior tiene una única solución x¿. Decimos que z∈ Rn , es una

distribución de beneficio si existe una pareja Pareto eficiente ( x¿ , t ) tal que

z i=b i ( x i¿)+ ti , i=1 ,…,n .

Así, una distribución de bienestar z distribuye el máximo beneficio disponible

entre todos los agentes de la asignación x i¿ al agente i ,i=1 ,…,n, e implementando un

balance en el presupuesto monetario del esquema de compensación t. Inversamente, se

puede apreciar que para la asignación optima x¿ , cada balance del presupuesto del

esquema de compensación t, induce a una distribución de bienestar.

En Ambec y Sprumont (2002) el problema de encontrar un balance del

presupuesto del esquema de compensación “justo” o, equivalentemente una justa

distribución del beneficio, está modelada por un juego cooperativo de utilidad

transferible. Así, se propone una solución para el juego cooperativo tomando en

cuenta dos principios para un reparto justo de bienestar dados en Kilgour y Dinar

(1995). Estos principios son los que ya hemos visto a lo largo de todo el proyecto y que

vamos a recordar ahora. El principio ATS (Absolute Territorial Sovereignty) consideraba

que cada país no tiene limitaciones sobre el uso de sus propios recursos naturales.

Para un río internacional estas leyes sobre la doctrina de Harmon, declaran que un país

tiene absoluta soberanía sobre las entradas a un río situado en su propio territorio y

así, cada agente es el dueño legal de sus propias entradas de agua. Este principio,

favorece los países situados aguas arriba mediante la implantación que, para cada

j=1 ,…, n, la coalición {1 , …, j } del primer país j aguas arriba tiene derecho a usar las

entradas totales de agua en sus propios territorios sin tener en cuenta las

consecuencias que puedan tener para los países agua abajo. Por otra parte, el principio

de Territorial Integration of all Basin States (TIBS) favorece a los países aguas abajo

declarando que todas las entradas de agua pertenecen a todos los países juntos, sin

importar en que parte del río se tome. Esto convierte a todos los países dueños legales

de todas las entradas de agua, sin considerar a su propia contribución de flujo.

Teniendo en cuenta la uni-direccionalidad de flujo de agua desde aguas arriba hasta

aguas abajo, la interpretación del principio TIBS viene dada por el principio de

Unlimited Territorial Integrity (UTI), puntualizando que, sin restricciones usadas por un

país en sus propios recursos naturales, se permite únicamente si no causa daño alguno

a la soberanía de otros países. Este principio implica que un país j tiene derecho a usar

todas las entradas de agua situadas en su propio territorio y en los territorios de todos

sus países situados aguas arriba. Como consecuencia, esto lleva a situaciones de

conflicto en el sentido de que la entrada e i al territorio del país i , tiene derecho hacia

cada país j ≥ i.

Como se argumenta en Ambec y Sprumont (2002), la doctrina Harmon implica

estabilidad en el sentido que para cada i y cada j ≥ i el bienestar total que el conjunto de

los países consecutivos {i ,i+1 , …, j } , entiende que una pareja de Pareto eficiente ( x¿ , t )

debe ser al menos igual a la suma de beneficios que esos países pueden garantizar por si

mismos, mediante la asignación óptima de sus propias entradas e i ,…, e j. En el caso

j=i , esta noción de estabilidad se reduce a racionalidad individual, imponiendo que el

pago de un país i debe ser al menos igual al beneficio b i (e i ) de la entrada de agua en su

propio territorio. Sea i=1 y j ≥ i, la estabilidad implica estabilidad aguas arriba,

significando que para cada conjunto de países consecutivos situados aguas arriba

{1 ,…, j }, j=1 ,…, n, el total de beneficio del primer país j aguas arriba en la pareja

de Pareto eficiente ( x¿ , t ) debe ser al menos igual al máximo que estos países puedan

garantizar por sí mismos, mediante la resolución del siguiente problema de

maximización del beneficio

max∑i=1

n

b i ( x i ) s .t .∑i=1

k

x i ≤∑i=1

k

ei , k=1 ,…, j y x i ≥0 , i=1 , …, j .

Bajo la suposición tomada sobre la función de beneficio en Ambec y Sprumont

(2002), para cada j este problema de maximización tiene una única solución. Vamos a

llamar esta solución como x j=( x1j ,…, x j

j ) y el beneficio total correspondiente por

v j=∑i=1

j

bi ( xij ). Notar que x i

n=x i¿ , i=1 ,…,n y vn∑

i=1

n

b i (x i¿ ). Esto lleva a que la estabilidad

aguas arriba requiera que ∑i=1

j

zi ≥ v j , para cada j=1 ,…, n.

Por un lado, basándose en el principio UTI favoreciendo a los países aguas

abajo, Ambec y Sprumont (2002) impusieron la condición que para cada coalición

aguas arriba {1 , …, j }, j=1 ,…,n, el beneficio total de estos países esta limitado como

mucho por su nivel de aspiración, siendo el máximo beneficio que ellos pueden obtener

la distribución de sus propias entradas de agua. Así, el propio nivel de aspiración

requiere que para cada j el beneficio total ∑i=1

j

zi del primer país j situado aguas arriba es

al menos igual al beneficio obtenido de resolver el problema de maximización de

beneficio, es decir, ∑i=1

j

zi ≤ v j para cada j=1 ,…, n. Esto proporciona que los

requerimientos de la estabilidad aguas arriba y la propiedad del nivel de aspiración

juntos necesiten que ∑i=1

j

z i=v j para cada j=1 ,…, n, y así, determinar la única

distribución de beneficio z i=v i−v i−1 ,i=1, …, n, con v0 definido como igual a cero. La

correspondiente solución incremental aguas abajo asignan a cada problema de río

( N ,e ,b ), la distribución de beneficio d ( N ,e ,b )∈Rn dada por

d i ( N ,e , b )=vi−v i−1 , i=1 ,…,n .

Aunque esta distribución de beneficio quede determinada por los requerimientos

de estabilidad aguas arriba y por la propiedad del nivel de aspiración, es también estable

para cada coalición {i ,i+1 , …, j } ,1 ≤i ≤ j≤ n de agentes consecutivos.

Ambec y Ehlers (2008) generalizaron el juego básico de un río descrito

anteriormente por la permisión de saciar o satisfacer a los agentes. Esto significa que

ellos debilitan la consideración sobre los beneficios en Ambec y Sprumont (2002)

mediante la eliminación de requerimientos para que la función de beneficios vaya

estrictamente incrementándose. Ellos asumieron para cada función de beneficio

b i : R+¿→ R ,¿ una función estrictamente cóncava, diferenciable para cada x i>0 , cuya

derivada tiende a infinito cuando x i tiende a cero. Bajo esta suposición, es posible que

para algunos puntos c i>0, llamados puntos de saciedad del agente i, el beneficio va

incrementándose desde x i=0 hasta c i, alcanzando su máximo valor en c i, y decreciendo

para x i>c i. La existencia de puntos de saciedad tiene una seria consecuencia para el

correspondiente juego cooperativo. Sin el punto de saciedad, únicamente las coaliciones

de agentes consecutivos pueden operar, con el objetivo de maximizar su beneficio de

unión mediante la asignación óptima de sus propias entradas de agua entre cada una de

ellas (bajo el principio ATS, diciendo que los agentes en cada coalición tienen el

derecho de usar sus propias entradas de agua). Una coalición no consecutiva de dos

subconjuntos de agentes no pueden nunca transferir agua desde la parte aguas arriba

hasta la parte aguas abajo ya que la función incremental de beneficio podría hacer que

toda el agua enviada desde los agentes aguas arriba hasta los agentes aguas abajo sea

tomada por los agentes situados en una posición intermedia. A cambio, bajo la débil

suposición de Ambec y Ehlers (2008), podría ser rentable para una coalición de agentes

no consecutivos el transferir aguas desde aguas arriba hacia aguas abajo cuando todos

los agentes situados en una posición intermedia tienen un punto de saciedad. Aunque

algunos de estos flujos puedan tomarse por los agentes en situación intermedia, estos

agentes únicamente podrán coger agua de los puntos de saciedad. Cuando el flujo es

demasiado grande, una parte será destinada a los agentes aguas abajo, posibilitando la

cooperación entre las dos partes de la coalición. Este fenómeno podría causar

externalidades positivas sobre los agentes situados entre las dos partes de la coalición no

consecutiva. Como resultado, en el correspondiente juego cooperativo, la ganancia que

puede ser obtenido por la coalición depende del comportamiento del resto de los

agentes, dando lugar a un modelo más complicado, denominado juego con función

particionada. Sin embargo, parece claro que para cada j, la coalición aguas arriba

{1 ,…, j } tiene externalidades libres, es decir, el máximo beneficio que cada coalición

puede obtener por la asignación de sus propias entradas de agua óptimamente repartidas

entre ellas mismas, no depende del comportamiento de los agentes después de j, y ese

máximo nivel de bienestar viene dado por los valores v j , j=1 , …,n, de la solución de

problemas donde se maximiza el beneficio anterior. Así, la solución incremental aguas

abajo d ( N , e , b ) queda bien definida para los problemas de rio ( N ,e ,b ) con puntos de

saciedad, y en Ambec y Ehlers (2008) se muestra que también para situaciones de rio

con agentes saciables esta solución está únicamente determinada por el requerimiento

de la estabilidad aguas arriba y la propiedad de nivel de aspiración. Aunque ellos

modelaron el problema del río con agentes de saciedad como un juego en una función

partitiva, algunas veces caracterizan una solución la cual únicamente usa los niveles de

beneficio que pueden ser obtenidos por coaliciones consecutivas que contengan al

agente 1. Estos niveles son externalidades libres. Bajo la suposición de e i≤ ci para cada

i, la solución es también estable para cada coalición {i ,i+1 , …, j } ,1 ≤i ≤ j≤ n, de agentes

consecutivos.

Vamos a debilitar las suposiciones de Ambec y Ehlers (2008), y Ambec y

Sprumont (2002), mediante la imposición a la función de beneficio de ser cóncava en

lugar de estrictamente cóncava.

Suposición 5.2 En una situación de río (N , e , b), cada función de beneficio b i : R+¿→ R ¿

es cóncava y continua para x i>0.

La suposición dice que b i puede no estar decreciendo, pero además permite que

exista un intervalo [c i , c i ] , c i ≥ ci tal que b i este incrementándose para x i<c i, constante

para x i∈ [c i ,ci ], y decreciendo cuando x i>ci. En el último caso, el punto c i es el punto

de saciedad del agente i. El agente i alcanza su mayor beneficio en c i. Todo el nivel del

consumo de agua entre c i y c i también alcanza su máximo beneficio, pero el consumo

de agua mayor a c i proporciona un menor beneficio. Asignamos que para c i=0 y c i=∞

(significando que b i es constante para x i≥ c i≥ 0). En particular, esta asigna a

b i ( x i )=bi (0 ) , para cada x i≥ 0.

Bajo esta suposición, el problema de maximización anterior no tiene por qué

tener una única solución, aunque sigue estando bien definido. Sea X j un conjunto de

soluciones del problema de maximización para un país j, j=1 ,…, n, para cada solución

x j∈X j tenemos que v j=∑i=1

j

bi ( xij ) y para cada xn∈ Xn, la pareja de presupuesto ( xn ,t )

proporciona una distribución de beneficio

z i=b i (x in )+ ti , i=1 ,…, n ,

Con la suma de las cuotas igual a el beneficio total de Pareto eficiente

vn=∑i=1

n

bi (x in ).

Bajo esta suposición, el correspondiente juego cooperativo no esta bien definido

a menos que hagamos una suposición adicional sobre el consumo de agua de agentes

que tengan una función de beneficio cóncava pero no estrictamente cóncava.

Consideremos de nuevo una coalición no consecutiva formada por partes consecutivas

aguas arriba y partes consecutivas aguas abajo. Si algún agente j situado entre estas dos

partes tiene una función de beneficio con un punto de saciedad c j y un punto c j>c j tal

que su beneficio sea constante entre c j y c j y decreciendo a partir de ese punto, entonces

el juego cooperativo no está bien definido sin una suposición adicional sobre el

consumo de agua del agente j en caso de flujo de agua enviado desde aguas arriba hasta

aguas abajo llegando a ser tan grande que la disponibilidad de agua del agente j exceda

su punto de saciedad c j. En lugar de hacer tal suposición impondremos más adelante

axiomas relacionados directamente a la situación de río ( N . e , b ) y a partir de estos

obtendremos soluciones únicas para un problema de distribución de bienestar sin

modelar la situación del río como un juego cooperativo. Haciendo esto no

necesitaremos una suposición adicional.

5.6.3 Soluciones analíticas

Vamos a estudiar cuatro soluciones para este tipo de problemas. Para cada una

de ellas se van a definir una serie de axiomas (nueve en total) para poder caracterizar las

cuatro soluciones.

5.6.3.1 La solución incremental aguas abajo

El primer resultado es que en la clase W N de problemas de río ( N ,e , b ) la

solución incremental aguas abajo d esta caracterizada por los cuatro axiomas que se van

a definir a continuación:

Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que

∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).

Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río

( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e ,b )≥ bi (0 ) para todo i∈N .

Nivel de propiedad débil en la aspiración. Para cualquier problema de río ( N ,e , b )

tenemos que f i ( N , e , b )≤ maxx i ≤∑

j∈Ne j

bi ( xi ) para todo i∈N .

Independencia de los beneficios aguas abajo. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N , e , b ' ) tal que b j=( b' ) j , para todo j ≤ i, tenemos que

f i ( N ,e , b )=f i ( N , e , b ' ).

Teorema 5.2 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la solución

incremental aguas abajo d si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las

propiedades compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración e independencia de

los beneficios aguas abajo.

El axioma de independencia es usado en el Teorema 5.2 y en su caracterización.

Notar que la solución está totalmente determinada por los niveles de bienestar obtenidos

mediante la resolución de problemas de maximización de beneficio y que estos

problemas están bien definidos cuando la función de beneficios satisface la suposición

de la Sección 3. Así pues, no tenemos necesidad de tomar una suposición adicional

correspondiente a agentes con una función de beneficio cóncava pero no estrictamente

cóncava.

5.6.3.2 La solución incremental aguas arriba

Como se vio en la sección anterior, la propiedad del nivel de aspiración pone un

límite superior sobre la cuota total a los miembros de una coalición aguas arriba

{1 ,…, j } , j=1 ,…,n. Además, acorde a la solución incremental aguas abajo todas las

ganancias en beneficios obtenidas cuando algunas de las entradas a los territorios de las

coaliciones aguas arribas {1 , …, j }, quedan asignadas a sus agentes aguas abajo i ,i> j,

yendo desde los agentes aguas abajo en el sentido que una coalición aguas arribas es

únicamente compensada por su pérdida de beneficio total. Alternativamente, van der

Brink, van der Laan y Vasil’ev (2007) introdujeron la solución incremental aguas

arriba. De acorde a esta solución todas las ganancias en beneficios que ocurren cuando

algunas de las entradas a los territorios de una coalición aguas arriba {1 , …, j } están

asignadas a sus agentes aguas abajo i ,i> j, que van desde los agentes aguas arriba

teniendo en cuenta que la cuota total a la coalición aguas abajo { j+1 ,…,n } es

exactamente igual al beneficio total que ellos pueden lograr mediante la asignación de

sus propias entradas óptimamente repartidas entre ellos. En van den Brink, van der Laan

y Moes (2010) unaxioma denominada justa-TIBS es introducido, junto a eficiencia,

proporciona la solución incremental aguas abajo y las solución incremental aguas arriba

en los casos extremos.

Para definir la solución incremental aguas arriba, vamos a considerar para cada

j=1 ,…, n, el problema de maximización de bienestar

max∑i= j

n

b i ( x i ) s .t .∑i= j

k

x i ≤∑i= j

k

ei , k=1 , …, n y x i ≥0 , i= j ,…, n .

Es decir, para el agente j el óptimo del problema de maximización asigna las

entradas e j , …, en entre todos los agentes en la coalición { j , j+1 ,…,n }, dado la uni-

direccionalidad del flujo. Bajo la suposición de la sección tres, estos problemas de

maximización no tienen una solución única aunque estén bien definidos. Para una

solución y j=( y jj , …, yn

j ) del problema de maximización para el agente j, llamaremos

w j (e , b )=∑i= j

n

b i ( yij ) como el máximo beneficio que los agentes en { j , j+1 ,…,n } pueden

obtener mediante la distribución de sus propias entradas. Notar que para j=1 el

problema de maximización actual es equivalente al problema anterior, ya que

w1 (e , b )=vn (e , b ) es el beneficio total máximo que puede ser obtenido cuando se

asignan todas las entradas de forma óptima entre todos los agentes. Para cada solución

y1 el balance presupuestado de la pareja ( y1 , t ) proporciona una distribución de

beneficio

z i=b i ( yi1 )+ ti , i=1 ,…, n .

Con la suma de las cuotas igual al beneficio total Pareto eficiente

w1 (e , b )=∑i= j

n

bi ( y i1 ).

La solución incremental aguas arriba asigna a cada agente i su contribución

marginal al beneficio cuando los agentes entran posteriormente desde los agentes

situados aguas más abajo hasta los agentes emplazados aguas más arriba. Así, la

solución incremental aguas arriba asigna a cada situación de río ( N ,e ,b ) la distribución

de beneficio u ( N , e , b )∈Rn dada por

ui ( N , e ,b )=wi (e , b )−w i+1 (e ,b ) , i=1 , …,n .

Con wn+1 (e , b )=0.

El siguiente teorema, en la clases W N de problemas de río ( N , e , b ) , la solución

incremental aguas arriba u está caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.

Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) , tenemos que

∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).

Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río

( N ,e ,b ) , tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .

Propiedad de sequía. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) con e j=0, para todo

j ≤ i, tenemos que f i ( N , e , b )≤ bi (0 ).

Independencia de las entradas aguas arriba. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que e j=e ' j para todo j ≥ i, tenemos que f i ( N ,e , b )= f i ( N , e ,b ' ).

Teorema 5.3 Una solución f de la clase W Nde problemas de río es igual a la solución

incremental aguas arriba u si y sólo si satisface los axiomas de eficiencia, disminución

de las propiedades compartidas, la propiedad de sequía y la independencia de los flujos

aguas arriba.

Notar que la solución está completamente determinada por los niveles de

bienestar, obtenidos mediante la resolución de los problemas de maximización. Así,

según la definición de la solución incremental aguas arriba satisface estabilidad para

cada coalición aguas abajo {i ,i+1 , …, n }. Al igual que la solución incremental aguas

abajo, esta también cumple los requerimientos de estabilidad para cada coalición de

agentes consecutivos, tal como aparece en los documentos de van den Brink, van der

Laan y Vasil’ev (2007).

5.6.3.3 La solución aguas abajo

Como se ha mencionado antes, las soluciones incrementales aguas arriba y aguas

abajo satisfacen estabilidad para cada coalición de agentes consecutivos y, por tanto,

ambas están acorde a la doctrina de Harmon afirmando que cada agente es el dueño

legal de su propia entrada de agua. Bajo esta doctrina la solución incremental aguas

abajo favorece a los agentes situados aguas abajo en todo lo posible. La solución

incremental aguas arriba favorece pues a todos los agentes situados aguas arriba.

Como se discutió anteriormente, la doctrina Harmon entraba en conflicto con el

principio TIBS el cual toma a todos los agentes como dueños legales de todas las

entradas de agua. Por ejemplo, de acorde con el principio TIBS todos los agentes tienen

derecho a obtener un reparto de las entradas de agua e i en el territorio del agente uno.

Siguiendo el principio TIBS en su forma más extrema, un posible argumento

comprende que la mayoría de los agentes situados aguas abajo tienen derecho a recibir

todas las entradas de agua. Bajo esta condición, los agentes aguas arriba tienen la

posibilidad de “comprar” agua para compensar a la mayoría de los agentes situados

aguas abajo por su pérdida de agua. Teniendo en cuenta este punto de vista sobre los

derechos del agua, vamos a definir la solución aguas abajo s, la cual asigna a una

situación de rio (N , e , b)∈W N la distribución de beneficio s ( N , e , b )dada por

si ( N ,e , b )=wi (e , b )−w i+1 ( e , b ) , i=1 ,…,n .

Donde wn+1 (e , b )=0 y w j (e , b )=∑i= j

n

b i ( yij ) , j=1 , …, n con y j=( y j

j , …, ynj ) una

solución del problema de maximización de beneficio,

max∑i= j

n

b i ( x i ) s .t .∑i= j

k

x i ≤∑i= j

k

ei , k= j ,…, n y xi ≥ 0 ,i= j , …,n .

Hablemos de las diferencias entre los dos últimos problemas de maximización.

En el primero, los agentes en una coalición aguas abajo { j , j+1 ,…,n } pueden

únicamente consumir su propia entrada de agua, mientras que en el último, dichos

agentes pueden usar sus propias entradas de agua y también todas las entradas de agua

en su territorio de cualquier agente aguas arriba. Así, para una coalición { j , j+1 ,…,n } el

problema de maximización actual optimaliza la asignación de entradas e1 ,…, en entre

los agentes en la coalición, dada la uni-direccionalidad del flujo de agua. Notar que para

j=1 el problema de maximización es de nuevo igual al problema que le precede. Así

pues, w1 (e , b )=vn (e , b ) es el beneficio total máximo que puede ser obtenido cuando la

asignación de todas las entradas ha sido optimizada entre todos los agentes. Debido a

que ∑i=1

n

s i ( N ,e ,b )=w 1 (e ,b )=vn (e , b ), también la solución aguas abajo distribuye el

máximo beneficio total alcanzable entre todos los agentes y así, esta solución es también

eficiente.

Resulta que la solución aguas abajo puede ser caracterizada, análogamente a

como se hizo con la solución incremental aguas abajo en el Teorema 5.2, pero ahora la

independencia de los beneficios aguas abajo es remplazada por la independencia de los

beneficios aguas arriba.

En el siguiente teorema, en las clases W N de problemas de río ( N ,e , b ) la

solución aguas abajo s esta caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.

Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que

∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).

Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río

( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .

Nivel de propiedad débil en la aspiración. Para cualquier problema de río ( N ,e , b )

tenemos que f i ( N , e , b )≤ maxx i ≤∑

j∈Ne j

bi ( xi ) , para todo i∈N .

Independencia de los beneficios aguas arriba. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que b j=( b' ) j para todo j ≥ i, tenemos que f i ( N , e , b )=f i ( N ,e , b ' )

.

Teorema 5.4 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la

solución aguas abajo si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las propiedades

compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración e independencia de los

beneficios aguas arriba.

Notar que en los problemas de maximización de beneficio, los agentes en la

coalición aguas abajo { j , …,n } tienen derecho a obtener el agua total de la entrada ∑i∈N

ei.

Cuando alguna cantidad de agua es asignada a otros agentes, de acorde con la solución

aguas abajo la mayoría de los agentes situados aguas abajo están completamente

compensados por sus pérdidas de beneficios mediante la compensación económica de

los otros agentes. Esto es una interpretación extrema del principio TIBS.

Consecuentemente, la solución aguas abajo nos satisface estabilidad aguas arriba y, por

lo tanto, viola la doctrina de Harmon: claramente todos los derechos de agua les son

otorgados a la mayoría de los agentes situados aguas abajo.

5.6.3.4 La solución aguas arriba

Como se ha visto en puntos anteriores, la solución incremental aguas arriba

favorece a los agentes situados aguas arriba en todo lo posible bajo la restricción de

estabilidad para las coaliciones aguas abajo. Al igual que la solución aguas abajo

homóloga, ahora vamos a introducir la solución aguas arriba r la cual favorece a los

agentes aguas arriba tanto como sea posible dada la uni-direccionalidad del flujo de

agua. Esto toma parte en el principio de Harmon en su forma más extrema mediante el

requerimiento de los agentes desde aguas arriba hasta aguas abajo en recibir el mayor

beneficio adicional alcanzable de sus entradas de agua dado que las entradas de sus

agentes aguas arriba han sido también distribuidas.

Para definir la solución aguas arriba, primero vamos a reconsiderar la

distribución de beneficio acorde con la solución incremental aguas arriba. Esta solución,

proporciona una cuota un ( N , e , b )=wn (e ,b ) al último agente n, donde wn ( e , b ) es el

máximo beneficio que el agente n puede lograr por el consumo de únicamente sus

propias entradas de agua. Después, el agente n−1 recibe

un−1 ( N ,e ,b )=wn−1 (e , b )−wn (e ,b ), donde wn−1 (e ,b ) es el beneficio total que los agentes

n−1 y n pueden conjuntamente conseguir mediante la distribución de sus aguas

óptimamente. De esta forma el agente n−1 recibe su contribución marginal al beneficio

total desde su entrada de agua en−1 hasta la entrada de agua en, teniendo en cuenta todas

las entradas situadas aguas arriba igual a cero. En general el agente i recibe su

contribución marginal al beneficio total de su entrada de agua e i a las entradas situadas

aguas abajo e j , j>i, teniendo en cuenta todas las entradas situadas aguas arriba e j , j>i,

igual a cero.

Al igual que hicimos con la solución incremental aguas arriba, la solución aguas

arriba puede ser definida de otra manera, empezando con el agente 1. Cuando todas las

entradas son cero, cada agente tiene una cuota b i (0 ) , i=1 , …, n. Ahora, sea la mayor

entrada aguas arriba e1 de tal forma que esté distribuida óptimamente entre todos los

agentes. Así, el agente uno recibe además de b1 (0 ) una cuota igual a la contribución

marginal del beneficio total cuando distribuyendo sus entradas e1 óptimamente entre

todos los agentes y asumiendo todas las demás entradas igual a cero, es decir, la

solución aguas arriba r proporciona al agente uno un pago r1 ( N , e , b )= v1 ( e , b ), donde

v1 (e ,b )=b1 (0 )+∑j=1

n

(b j ( y j1 )−b j (0 ))=b1 ( y1

1 )+∑j=2

n

(b j ( y j1)−b j (0 ) ) .

Con y1=( y11 , …, yn

1 ) una solución del problema de maximización de beneficio

max∑j=1

n

b j ( x j ) s .t .∑j=1

n

x j≤ e1 , x j ≥0 , j=1 , …,n .

A continuación, las entradas e1 y e2 están distribuidas óptimamente sobre todos

los agentes asumiendo todas las demás entradas igual a cero, y el agente dos recibe su

pago inicial b2 (0 ) más el beneficio total adicional que la distribución de su entrada e2

genera al beneficio obtenido de e1. Consecuentemente, para el agente i todas las

entradas e j , j ≤i están distribuidas óptimamente sobre todos los agentes asumiendo

todas las entradas a los agentes situados aguas abajo j>i,igual a cero, y el agente i

recibe su cuota inicial b i (0 ) , más el beneficio total adicional que la distribución de su

entrada e i genera al beneficio obtenido desde e i hasta e i−1. En general, la solución aguas

arriba r asigna a la situación del río ( N ,e , b )∈W N , la distribución de beneficio

r ( N , e ,b ) dada por

r i ( N ,e ,b )= v i (e , b )−v i−1 ( e ,b ) , i=1 ,… ,n .

Donde v0 (e ,b )=0 y vi (e ,b )=∑j=1

i

b j ( y ji )+ ∑

j=n+1

n

(b j ( y ji )−b j (0 ) ), i=1 , …, n , con

y i=( y1i ,…, yn

i ) una solución del problema de maximización de beneficio

max∑j=1

n

b j ( x j ) s .t .{ ∑j=1

n

x j≤∑j=1

i

e j ,

∑j=1

k

x j ≤∑j=1

k

e j , k=1 , …,i−1

x j≥ 0 , j=1, …, n .

Notar que este problema de maximización optimiza la distribución de entrada de

agua de los agentes en {1 ,…,i } sobre todos los agentes, teniendo en cuenta que para

cada agente k<i el consumo total de los primeros k agentes es al menos igual a la suma

de sus propias entradas. Los pagos de la distribución de beneficio r ( N , e , b ) puede ser

también escrita como

ri ( N , e , b )= v i (e ,b )−v i−1 ( e , b )

¿∑j=1

i

b j ( y ji )+ ∑

j=i+1

n

(b j ( y ji )−b j (0 ) )−(∑j=1

i−1

b j ( y ji−1)+∑

j=1

n

(b j ( y ji−1 )−b j ( 0 ) ))

¿bi (0 )+∑j=i

n

(b j ( y ji )−b j ( y j

i−1 )) ,i=1 ,…, n .

Para j=n, el problema de maximización anterior vuelve a ser igual al problema

inicial, siendo vn (e , b )=vn ( e ,b ) , el beneficio total máximo que puede ser obtenido

cuando se asigna todas las entradas de agua entre los agentes. Debido a que

∑i=1

n

ri ( N , e ,b )=vn (e ,b )=vn (e , b ), también la solución aguas arriba distribuye el bienestar

total máximo alcanzable que los agentes pueden conseguir juntos y, por lo tanto también

se considera una solución eficiente. Resulta que la solución aguas arriba puede ser

caracterizada de forma similar a como se realizó en la solución incremental aguas arriba

mediante los axiomas de eficiencia y de la disminución de propiedades compartidas,

pero ahora se van a cambiar un par de propiedades. La propiedad de sequía va a ser

sustituida por la propiedad de no contribución y el axioma de independencia de las

entradas aguas arriba se va a remplazar por la independencia de las entradas aguas

abajo.

El siguiente teorema establece que en la clase W N de problemas de río ( N ,e , b )

la solución aguas abajo s esta caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.

Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que

∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).

Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río

( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .

La propiedad de no contribución. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) donde

i∈N con e i=0, tenemos que f i ( N ,e , b )≤ bi (0 ).

Independencia de los beneficios aguas abajo. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que b j=( b' ) j para todo j ≤ i, tenemos que f i ( N , e , b )=f i ( N ,e , b ' )

.

Teorema 5.5 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la solución

aguas arriba r si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las propiedades

compartidas, la propiedad de no contribución y la independencia de las entradas aguas

abajo.

Acorde a la solución aguas arriba, cada coalición aguas arriba {1 , …, j } recibe el

beneficio total que puede ser alcanzado mediante la asignación óptima de las entradas

de agua a cada coalición sobre todos los agentes. Claramente, el bienestar de una

solución del correspondiente problema de maximización anterior, es al menos tan alto

como el bienestar de una solución del problema de maximización inicial de beneficio en

donde las entradas de una coalición {1 , …, j } están distribuidas óptimamente entre ellas.

Así pues, la solución aguas arriba ciertamente satisface estabilidad para las coaliciones

aguas arriba y, además, también satisface el principio de Harmon para las coaliciones

aguas arriba. Sin embargo, la solución aguas arriba no suele satisfacer estabilidad por lo

general. Por ejemplo, el agente n recibe un beneficio marginal de vn (e , b )− vn−1 (e ,b ),

siendo la diferencia entre el beneficio total de los consumos de agua yn e yn−1. No se

puede decir nada sobre esta diferencia y el beneficio bn ( en ) que el agente n puede

obtener mediante el consumo de su propia agua. Además, es posible que ocurra que

rn ( N ,e , b )<bn ( en ), violando la racionalidad individual y, por tanto, estabilidad. Sin

embargo, podríamos decir que para cada coalición {i ,i+1 , …, j } de agentes consecutivos

la solución aguas arriba refleja una débil similitud al principio de Harmon en el sentido

de que cada coalición recibe lo máximo posible bajo la limitación del pago total a sus

coaliciones aguas arriba, siendo igual al bienestar total máximo alcanzable de todos los

países que pueden estar involucrados en la asignación de sus entradas e1 ,…, e i−1.

5.6.4 Comparaciones y conclusiones de las cuatro soluciones

Hemos considerado el problema del reparto de agua entre agentes situados a lo

largo de un río. Hemos adaptado el modelo de Ambec y Sprumont (2002) mediante una

débil suposición de la función de beneficio de los agentes. Usando nueve axiomas

diferentes hemos sido capaces de caracterizar cuatro soluciones para este modelo. La

solución incremental aguas abajo, originalmente sugerida por Ambec y Sprumont

(2002), puede ser caracterizada por eficiencia, disminución de las propiedades

compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración y la independencia de los

beneficios aguas abajo. La solución incremental aguas arriba, originalmente sugerida

por van der Brink, van der Laan y Vasil’ev (2007), puede ser caracterizada por

eficiencia, disminución de las propiedades compartidas, la propiedad de sequía y la

independencia de las entradas aguas arriba. La nueva solución aguas abajo puede ser

caracterizada por eficiencia, disminución de las propiedades compartidas, nivel de

propiedad débil en la aspiración y la independencia de los beneficios aguas arriba. Por

último, la nueva solución aguas arriba puede ser caracterizada por eficiencia,

disminución de las propiedades compartidas, la propiedad de no contribución y la in-

dependencia de las entradas aguas abajo.

La taxonomía se muestra en la siguiente tabla (donde, para cada solución, los

cuatro “si” en negrita proporcionan la axiomatización de la respectiva solución.

Como se puede apreciar en la tabla, ninguna de las cuatro soluciones satisface

simultáneamente la propiedad de nivel débil de aspiración y la independencia de las

entradas aguas arriba. Análogamente ninguna de las cuatro soluciones satisface a la vez

la propiedad de no contribución y la independencia de beneficios aguas abajo. Además,

la independencia de los beneficios aguas abajo queda únicamente satisfecha por la

solución incremental aguas abajo y la independencia de entradas aguas arriba es

satisfecha sólo por la solución incremental aguas arriba.

Ante los axiomas elegidos, parece que la independencia de los beneficios aguas

abajo, proporcionan una baja compensación a los países situados aguas arriba,

comparados con la independencia de las entradas aguas arriba. Las otras dos

propiedades de independencia son satisfechas por dos soluciones. La independencia de

los beneficios aguas arriba queda satisfecha por la solución aguas abajo y la solución

incremental aguas arriba, la independencia de las entradas aguas abajo queda satisfecha

por la solución aguas abajo y la solución incremental aguas abajo.

Finalmente, consideremos un caso donde aplicamos las cuatro soluciones a

un caso particular, donde cada agente tiene un beneficio marginal constante de más de

un punto de saciedad y un beneficio marginal de cero para lo posterior. En este caso,

únicamente la solución incremental aguas abajo y la solución aguas abajo pueden ser

implementadas sin transferencia monetaria entre los agentes. Esto significa que, cuando

los países situados a lo largo de un río internacional que únicamente demandan el agua

del río y que no están dispuestos a transferir dinero a cada uno, de las cuatro soluciones

presentadas en este capítulo sólo pueden usarse dos.

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