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Vol.xx, No.xx , 20xx, pp.xxx -xxx
1
A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.12
~ Calculations of Inverse Laplace Transform by means of Residue Theorem ~
by
Kenshi KIDA*1 ( received on Nov. 28, 2017 & accepted on Jan. 11, 2018 )
Abstract
As important items in applied mathematics studied in the first grade, we give lectures on Laplace transforms and their applications. As a method for calculating inverse Laplace transforms, we sometimes use means of partial fraction decompositions. In this paper, we give an explanation of calculus for inverse Laplace transform by residues. Furthermore, we present an application to initial value problems of systems of ordinary differential equations.
Keywords: Inverse Laplace Transform, Residue Theorem, System of Ordinary Differential Equations
( )tf ( )∞,0 ( )τστσ ,is +=
( ) ( ) ( ) ( )TdttfedttfesFT st
T
st ∫∫ −
∞→
∞ − ==00
lim
( )tf ( )tf ( )sF( )sF ( )tf ( )[ ]tfL
( ) ( )[ ] ( )∫∞ −==0
dttfetfLsF st
( )sF ( )tf
Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus, Associate Professor
東海大学紀要 情報通信学部 Vol.xx, No.xx , 20xx, pp.xxx -xxx
― 1 ―
大学初年次における数学教材の提案（その 12）
～留数定理を利用した逆ラプラス変換の計算～
貴田 研司*1
A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.12
~ Calculations of Inverse Laplace Transform by means of Residue Theorem ~
by
Kenshi KIDA*1 ( received on Nov. 28, 2017 & accepted on Jan. 11, 2018 )
あらまし
大学初年次で学ぶ応用数学の中の重要な項目として，ラプラス変換とその応用がある．その逆変換の計算方法とし
て部分分数分解を用いるものがある．この論文では，複素関数論で学ぶ留数を用いた逆ラプラス変換の解法について
述べ，連立常微分方程式の初期値問題への応用についても紹介する．
Abstract
As important items in applied mathematics studied in the first grade, we give lectures on Laplace transforms and their applications. As a method for calculating inverse Laplace transforms, we sometimes use means of partial fraction decompositions. In this paper, we give an explanation of calculus for inverse Laplace transform by residues. Furthermore, we present an application to initial value problems of systems of ordinary differential equations.
キーワード：逆ラプラス変換，留数定理，連立常微分方程式 Keywords: Inverse Laplace Transform, Residue Theorem, System of Ordinary Differential Equations
1. はじめに
大学初年次においてラプラス変換とその逆変換（逆ラプラス変換）について学ぶ．まずは，ラプラス変換と逆
ラプラス変換について述べることとする．
定義
tf が ,0 で定義され，任意の有限区間で積分可能とする．複素数 は実数 ,is に対
して
は正の定数TdttfedttfesFT st
T
st
00
lim
のことを tf のラプラス積分といい，これが収束するとき， tf に sF を対応させる写像をラプラス変換と
いう．また，この関数 sF のことを元の関数 tf のラプラス変換，または像関数と呼び， tfL と表す．す
なわち
0
dttfetfLsF st
である．像関数 sF に対し， tf を原関数という．
*1 高輪教養教育センター 准教授 Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus, Associate Professor
トピックス
－ 33－
東海大学紀要情報通信学部Vol.10,No.2,2017,pp.33-40
トピックス
3
( ) ( )( )ω
ωω
ωωω
,
sin,cos,122
122
11
a
teas
LteasasLe
asL atatat =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
( )[ ] ( ) ( )tteteteetfsFL tttt sincos21sincos21 −+−=−+−== −−−−−
( )tf 0>t ( )tf ′ β
( ) ( )[ ] ( ) β>= stfLsF Re,
( ) β>sRe s
( )∫∞ −
0dttfe st
σ
( ) ( ) ( )βσπ
σ
σ>= ∫
+
−∞→
Ti
Ti
st
TdssFe
itf
21lim
( )[ ] ( ) ( )βσπ
σ
σ>= ∫
∞+
∞−
− i
i
st dssFei
sFL211
s ( )sF ( )sF σ
ksss ,,, 21 0=s Rs = s
M
( ) ( )1>nRMsF n
( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kststst ssFessFessFe
sFLtf,Res,Res,Res 21
1
+++=
= −
( )sg a ( )[ ]asg ,Res
2
0>α ( )∫ =α
00dttN ( )tN
( ) ( )tftf 21 , ( )[ ] ( )[ ]tfLtfL 21 =
( ) ( )tftf 21 −
( )sF
( )sF ( )tf
( )sF ( )[ ] ( )tfsFL =−1
( )( )( )221
8+−
+=
ssssF
( )( ) ( ) ( ){ }22 2
122
111
212
21
11
−−⋅−
−−−
−=
+⋅−
+−
−=
sssssssF
( )( )ate
asLe
asL atat =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−2
11 1,1
( )[ ] ( ) ( ) ttttt eteteeetfsFL 2221 212 −−−− +−=−−==
( ) ( )( )2211
2
2
+++−+
=sss
sssF
( )
( ) ( )
( )( )
( ){ } ( ){ } 2222
2222
2
111
1112
11
111
1112
11
2212
11
+−−−
+−−−−
⋅+−−
−=
++−
+++
⋅++
−=
+++
++−
=
sss
s
sss
s
sss
ssF
－ 34－
大学初年次における数学教材の提案（その 12）～留数定理を利用した逆ラプラス変換の計算～
3
( ) ( )( )ω
ωω
ωωω
,
sin,cos,122
122
11
a
teas
LteasasLe
asL atatat =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
( )[ ] ( ) ( )tteteteetfsFL tttt sincos21sincos21 −+−=−+−== −−−−−
( )tf 0>t ( )tf ′ β
( ) ( )[ ] ( ) β>= stfLsF Re,
( ) β>sRe s
( )∫∞ −
0dttfe st
σ
( ) ( ) ( )βσπ
σ
σ>= ∫
+
−∞→
Ti
Ti
st
TdssFe
itf
21lim
( )[ ] ( ) ( )βσπ
σ
σ>= ∫
∞+
∞−
− i
i
st dssFei
sFL211
s ( )sF ( )sF σ
ksss ,,, 21 0=s Rs = s
M
( ) ( )1>nRMsF n
( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kststst ssFessFessFe
sFLtf,Res,Res,Res 21
1
+++=
= −
( )sg a ( )[ ]asg ,Res
― 3 ―
である．そこで，逆ラプラス変換の公式
は定数
,
sin,cos,122
122
11
a
teas
LteasasLe
asL atatat
を利用すると
tteteteetfsFL tttt sincos21sincos21
が得られる．
上述の，部分分数分解を用いた計算方法がよく使われるが，本論文では，留数定理を用いた手法を紹介する 1)2)4)5)．
2. 留数定理を用いた逆ラプラス変換の計算方法 さらに，逆ラプラス変換の計算方法の一つとして，次のことが知られている．
定理
tf は範囲 0t で定義された連続関数で， tf は区分的に連続であるとする．また を定数として」
stfLsF Re,
とする．さらに， sRe であるような sに対して
0dttfe st
は有限確定であるとする．このとき を定数として
Ti
Ti
st
TdssFe
itf
21lim
であり
i
i
st dssFei
sFL211
と書き表すのが普通である．
今，複素変数 sの関数 sF は有限個の極を除いて正則であるとする．また， sF の極でその実部が より小
さいものを ksss ,,, 21 とする．さらに，原点 0s を中心とする，半径の十分大きい円 Rs 上の点 sで，
正の定数M に対して
1nRMsF n≦
であるとする．このとき
kststst ssFessFessFe
sFLtf,Res,Res,Res 21
1
が成り立つ．
ただし，複素関数 sg の極 aにおける留数を，記号 asg ,Res で表した．
－ 35－
貴田研司
5
( ) ( ) 10,100222
: =−=⎩⎨⎧
=++′+′=+′+′ −
zyzyzy
eyzy t
( )tf ( )[ ] ( )sFtfL =
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )00 fsFsftfLstfL −=−=′
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )sZtzLsYtyL == ,( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )0,0 zssZtzLyssYtyL −=′−=′
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−+−+
=+−+−
0220201100
sZsYzssZyssYs
YzssZyssY
( ) ( ) 10,10: =−= zy
( ){ } ( ){ } ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−+++
=+−++
0221211111
sZsYssZssYs
sYssZssY
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++
=++
1122111
sZssYss
ssZSYs
( ) ( )sZsY ,
( ) ( )
( )( ){ } ( ){ } ,11
222
2
1221
12111
2 isiss
sss
sssss
ss
sY−−−+−−
+−=
+++−
=
+++
++
=
4
α ( )zf( )[ ] ( ) ( )zfzzf
zαα
α−=
→lim,Res
α ( )zf k ( )2k
( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }tfzdzd
kzf k
k
k
zαα
α−
−= −
−
→ 1
1
lim!1
1,Res
( )( )( )221
8+−
+=
ssssF
( )( )( )
stst ess
sesF 2218+−
+= 2,1 −=s
2,1 −=s
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
,28lim
2181lim1lim 21211
tst
s
st
s
st
see
sse
ssssesFs =
++
=+−
+⋅−=−
→→→
( ) ( ) ( ){ } ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) t
tt
stst
s
st
s
st
s
st
s
ettee
tesse
sss
ess
dsd
ess
ssdsdesFs
dsd
2
22
22
2
22
2
212
12
2
212
18
181lim
18lim
2182lim2lim
!121
−
−−
−→
−→
−→−
−
−→
+−=
−−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×−+
+−
+−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−+
⋅+=+−
( )[ ] ( )[ ] ( ) tsttst etesFeesF 2212,Res,1,Res −+−=−=
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ttstst eteesFesFsFL 21 212,Res1,Res −− +−=−+=
― 4 ―
留数の計算方法について，以下のことが知られている．
定理5)
点 が zf の1位の極であるとき
zfzzfz
lim,Res
点 が zf の k 位 2≧k の極であるとき
tfzdzd
kzf k
k
k
z
1
1
lim!1
1,Res
が成り立つ．
3. 逆ラプラス変換の計算例とその応用
例題 12)
ラプラス変換 221
8
ssssF の逆ラプラス変換を求める．
（解答）
まず，
stst ess
sesF 2218
の孤立特異点は， 2,1 s である．
さて， 2,1 s はそれぞれ 1 位，2 位の極であり
,28lim
2181lim1lim 21211
tst
s
st
s
st
see
sse
ssssesFs
t
tt
stst
s
st
s
st
s
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s
ettee
tesse
sss
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dsd
2
22
22
2
22
2
212
12
2
212
18
181lim
18lim
2182lim2lim
!121
であるから
tsttst etesFeesF 2212,Res,1,Res
となることがわかる．
したがって
ttstst eteesFesFsFL 21 212,Res1,Res
である．
【解答終】
― 4 ―
留数の計算方法について，以下のことが知られている．
定理5)
点 が zf の1位の極であるとき
zfzzfz
lim,Res
点 が zf の k 位 2≧k の極であるとき
tfzdzd
kzf k
k
k
z
1
1
lim!1
1,Res
が成り立つ．
3. 逆ラプラス変換の計算例とその応用
例題 12)
ラプラス変換 221
8
ssssF の逆ラプラス変換を求める．
（解答）
まず，
stst ess
sesF 2218
の孤立特異点は， 2,1 s である．
さて， 2,1 s はそれぞれ 1 位，2 位の極であり
,28lim
2181lim1lim 21211
tst
s
st
s
st
see
sse
ssssesFs
t
tt
stst
s
st
s
st
s
st
s
ettee
tesse
sss
ess
dsd
ess
ssdsdesFs
dsd
2
22
22
2
22
2
212
12
2
212
18
181lim
18lim
2182lim2lim
!121
であるから
tsttst etesFeesF 2212,Res,1,Res
となることがわかる．
したがって
ttstst eteesFesFsFL 21 212,Res1,Res
である．
【解答終】
－ 36－
大学初年次における数学教材の提案（その 12）～留数定理を利用した逆ラプラス変換の計算～
5
( ) ( ) 10,100222
: =−=⎩⎨⎧
=++′+′=+′+′ −
zyzyzy
eyzy t
( )tf ( )[ ] ( )sFtfL =
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )00 fsFsftfLstfL −=−=′
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )sZtzLsYtyL == ,( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )0,0 zssZtzLyssYtyL −=′−=′
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−+−+
=+−+−
0220201100
sZsYzssZyssYs
YzssZyssY
( ) ( ) 10,10: =−= zy
( ){ } ( ){ } ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−+++
=+−++
0221211111
sZsYssZssYs
sYssZssY
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++
=++
1122111
sZssYss
ssZSYs
( ) ( )sZsY ,
( ) ( )
( )( ){ } ( ){ } ,11
222
2
1221
12111
2 isiss
sss
sssss
ss
sY−−−+−−
+−=
+++−
=
+++
++
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－ 37－
貴田研司
7
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
( )ttetete
teiiteii
titeititeiiesYiesYsYLty
t
tt
tt
tt
stst
sin3cossin3cos
sin23
23cos
231
231
sincos231sincos
231
1,Res1,Res1
+−=
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
−−=
−+−
++−−
=
−−++−==
−
−−
−−
−−
−
( ) stesZ is ±−−= 1,1 is ±−−= 1,1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ }
t
t
st
s
st
s
st
s
e
eii
eisis
ss
eisiss
sssesZs
−
−
−→
−→−→
−=
×−−
=
−−−+−−−+
=
−−−+−−+−+
⋅+=+
111
1lim
11111lim1lim
2
1
2
11
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }
( ) ( ){ }( )( ) ( ){ }
( )( ){ } ( ) ( ){ }
( )
( )titei
eiii
eiii
i
eisssss
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ss
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ssisesZis
t
tit
ti
st
is
st
is
st
is
st
is
sincos2222
111131
11322lim
111lim
11111lim1lim
1
2
1
2
1
2
11
++
=
×−−
=
−−−+−+−−+−−
=
−−−+−−++
=
−−−+−+
=
−−−+−−+−+
⋅+−−=+−−
−
+−
+−
+−→
+−→
+−→+−→
6
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( )
( )
( )( ) ( ) ( ){ } ( ){ }isissss
sssss
sssss
ssss
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s
sZ
−−−+−−+−+
=+++
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++⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
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1111
2211
221
121
1221
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2
2
2
2
( ) ( )sZsY ,
( ) stesY is ±−= 1 is ±−= 1
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( )( )
( ) ( )( )
( ) ,sincos231
23
1121
12lim
1121lim1lim
1
1
11
titei
eii
eii
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sisesYis
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st
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23
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( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )titeiiesYtiteiiesY tsttst sincos2311,Res,sincos
2311,Res −
+−=−−+
−−=+− −−
－ 38－
大学初年次における数学教材の提案（その 12）～留数定理を利用した逆ラプラス変換の計算～
7
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
( )ttetete
teiiteii
titeititeiiesYiesYsYLty
t
tt
tt
tt
stst
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sin23
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sincos231sincos
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2
1
2
11
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111131
11322lim
111lim
11111lim1lim
1
2
1
2
1
2
11
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=
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⋅+−−=+−−
−
+−
+−
+−→
+−→
+−→+−→
－ 39－
貴田研司
Vol.xx, No.xx , 20xx, pp.xxx -xxx
1
A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.13 ~ Solutions of Linear Differential Equations by Jordan Standard Form ~
by
Kenshi KIDA*1
( received on Nov. 28, 2017 & accepted on Jan. 11, 2018 )
Abstract
As important items in linear algebra, we teach the concepts of eigen values and eigen vectors, diagonalization, and Jordan standard forms. In this paper, we explain the solution spaces and methods of solution by Jordan standard forms of constant homogeneous linear differential equations.
Keywords: Jordan Standard Form, Linear Differential Equation, Companion Matrix
n
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−
=
−
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1
2
2
1
0
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0010001000
n
n
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A
( ) 011
1 axaxaxxf nn
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( )0a−
Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus, Associate Professor
8
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }
( ) ( ){ }( )( ) ( ){ }
( )( ){ } ( ) ( ){ }
( )
( )
( )titei
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st
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sincos22
22
111131
11322lim
111lim
11111lim1lim
1
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1
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11
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tst
tst
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ttt
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sincos22sincos
22
1,Res1,Res1,Res1
−+−=
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⎜⎝⎛ −−
+−
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⎜⎝⎛ −
++
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−−
+++
+−=
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−
−−−
−−−
−−−
−
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大学初年次における数学教材の提案（その 12）～留数定理を利用した逆ラプラス変換の計算～
