第九章 第九章 振动振动vibrationvibration

本章要点：本章要点： 1. 1. 简谐振动的定义及描述方法简谐振动的定义及描述方法 .. 2. 2. 简谐振动的能量简谐振动的能量 3. 3. 简谐振动的合成简谐振动的合成

物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。振动是一种普遍而又特殊的枝的摇曳等，这些都是振动。振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。除机械振动外，自然界中还存在着各式被称为机械振动。除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。今日的物理学中，振动已不再局限于机械运各样的振动。今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某的范畴。广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。个数值附近作周期性变化，都叫振动。

9.1 9.1 简谐振动简谐振动simple harmonic vibrationsimple harmonic vibration

9.1.1 9.1.1 简谐振动实例简谐振动实例 simple harmonic vibration samplesimple harmonic vibration sample 在振动中，最简单最基本的是简谐振动，在振动中，最简单最基本的是简谐振动，

一切复杂的振动都可以看作是由若干个简一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。在忽略阻力的情况下，谐振动合成的结果。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。振动都是简谐振动。

1. 1. 弹簧振子弹簧振子 质量为质量为 mm 的物体系于一端固定的轻弹簧的物体系于一端固定的轻弹簧 (( 弹簧的质量相弹簧的质量相

对于物体来说可以忽略不计对于物体来说可以忽略不计 )) 的自由端，这样的弹簧和物体的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。如将弹簧振子水平放置，如图系统就称为弹簧振子。如将弹簧振子水平放置，如图 9-19-1 所所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置此时物体所在的位置 OO 就是其平衡位置。在弹簧的弹性限度就是其平衡位置。在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力物体便向左运动。当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，被压缩。弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。在忽略一为零。之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置切阻力的情况下，物体便会以平衡位置 OO 为中心，在与为中心，在与 OO点等距离的两边作往复运动。点等距离的两边作往复运动。

图中图中 ,, 取物体的平衡位置取物体的平衡位置 OO 为坐标原点，物体的运动轨迹为为坐标原点，物体的运动轨迹为 xx 轴，轴，向右为正方向。在小幅度振动时，由胡克定律可知，物体所受的弹性向右为正方向。在小幅度振动时，由胡克定律可知，物体所受的弹性力力ＦＦ与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移 xx 成正比，弹性力的方成正比，弹性力的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置。即向与位移的方向相反，总是指向平衡位置。即

ＦＦ＝－＝－ kkxx 式中式中 kk 是弹簧的劲度系数是弹簧的劲度系数 ,, 它由弹簧本身的性质它由弹簧本身的性质 (( 材料、形状、大小材料、形状、大小

等等 )) 所决定，负号表示力与位移的方向相反。所决定，负号表示力与位移的方向相反。 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 F F = = mama 和和 aa = = ，物体的加速度为，物体的加速度为 　 即　　　　　 　　 （　 即　　　　　 　　 （ 9-19-1 ）） 对于一个给定的弹簧振子，对于一个给定的弹簧振子， kk 与与 mm 都是常量，而且都是正值，故我们都是常量，而且都是正值，故我们

可令可令 　　　　　　 　　　　　　　 （　　　　　　 　　　　　　　 （ 9-29-2 ）） 代入上式得　 　 　　　　 　　　 　　　 （代入上式得　 　 　　　　 　　　 　　　 （ 9-39-3 ））

这一微分方程的解是 （这一微分方程的解是 （ 9-49-4 ）） 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　

2

2d xdt2

2F kx d xam m dt

2

2 0d x k xmdt

2k ωm

2

22 0d x ω x

dt

cosx A ωt φ （ ）

式中 是 积分常数，它们的物理意义将在后面讨论。由上式中 是 积分常数，它们的物理意义将在后面讨论。由上式可知，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦式可知，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数关系随时间变化，我们把具有这种特征的运（或正弦）函数关系随时间变化，我们把具有这种特征的运动称为简谐振动。动称为简谐振动。

根据速度和加速度的定义，将（根据速度和加速度的定义，将（ 9-49-4）分别对时间求一阶导）分别对时间求一阶导和二阶导，可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度：和二阶导，可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度：

　　　 　　 （　　　 　　 （ 9-49-4aa） 　） 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　

（（ 9-49-4bb）） 上述各式中，（上述各式中，（ 9-39-3）揭示了简谐振动中的受力特点，故称）揭示了简谐振动中的受力特点，故称

之为简谐振动的动力学方程，而（之为简谐振动的动力学方程，而（ 9-49-4）反映的是简谐振动）反映的是简谐振动的运动规律，故称为简谐振动的运动学方程。的运动规律，故称为简谐振动的运动学方程。

sindxv = = ωA ωt φdt

（ ）

22

2 cosd xa ω A ωt φdt

－ （ ）

A φ和

2. 2. 单摆 单摆 如图如图 9-29-2 所示，一根不会伸缩的细线上端固定，下端所示，一根不会伸缩的细线上端固定，下端悬挂一个体积很小质量为悬挂一个体积很小质量为 mm 的重物。细线静止地处于铅直的重物。细线静止地处于铅直位置时，重物在其平衡位置位置时，重物在其平衡位置 OO 处。处。

把重物从平衡位置略为移开后放手，重物就在平衡位把重物从平衡位置略为移开后放手，重物就在平衡位置附近来回摆动置附近来回摆动 , , 这种装置称为单摆。这种装置称为单摆。

设在某时刻设在某时刻 , , 单摆的摆线与竖直方向的夹角为单摆的摆线与竖直方向的夹角为 θ θ ，忽，忽略一切阻力时，重物受到重力略一切阻力时，重物受到重力 GG 和线的拉力和线的拉力 TT 作用。重作用。重力的切向分量 决定重物沿圆周的切向运动。设摆线力的切向分量 决定重物沿圆周的切向运动。设摆线长为长为 ll ，沿逆时针方向转过的，沿逆时针方向转过的 θ θ 为正，根据牛顿运动定律为正，根据牛顿运动定律得得

当当 θ θ 很小时， ≈ 很小时， ≈ θθ ，所以 ，所以

2

2 0gd θ θ

dt 　

sinθ

mg sin θ

2

2sin d θmg θ mldt

－

式中令 。式中令 。 与式（与式（ 9-39-3 ）相比较可知）相比较可知 , , 单摆在摆角很小单摆在摆角很小

时的振动是简谐振动。时的振动是简谐振动。

2 gω

l

3. 3. 复摆 复摆 个可一绕固定轴个可一绕固定轴 OO转动的刚体称为复摆。如图转动的刚体称为复摆。如图 9-39-3 所所

示。示。 平衡时，摆的重心平衡时，摆的重心 CC 在轴的正下方，摆动到任意时刻在轴的正下方，摆动到任意时刻 , , 重心与轴重心与轴

的连线的连线 OCOC偏离竖直位置一个微小角度偏离竖直位置一个微小角度 θ θ ，我们规定偏离平，我们规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。设复摆对轴衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。设复摆对轴 OO 的的转动惯量为转动惯量为 JJ ，复摆的质心，复摆的质心 CC 到到 OO 的距离的距离 OCOC==hh 。。

复摆在角度复摆在角度 θ θ 处受到的重力矩为处受到的重力矩为 MM = = －－ mgh mgh sin sin θ θ , , 当当摆角很小时， 摆角很小时， ,, 所以所以 MM = = －－ mgθ hmgθ h ，由转动定律得 ，由转动定律得

即即

式中令 ，与式（式中令 ，与式（ 9-39-3）相比较可知）相比较可知 , , 复摆在摆角很小复摆在摆角很小时的振动是简谐振动 时的振动是简谐振动

2

2d θmghθ Jdt

2

2 0mghd θ θ

Jdt＋

2mgl

ωJ

sin θ θ

例例 9-1. 9-1. 一远洋海轮，质量为一远洋海轮，质量为ＭＭ，浮在水面时其水平截面积为，浮在水面时其水平截面积为ＳＳ。。设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图 9-49-4 所示。试证明此所示。试证明此海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。

解 选择解 选择ＣＣ点代表船体。当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与点代表船体。当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与重力相平衡，即重力相平衡，即

FF = ρ = ρgShgSh = = MgMg 式中式中 ρρ 是水的密度，是水的密度， hh 是船体是船体Ｃ Ｃ 以下的平均深度。以下的平均深度。 取竖直向下的坐标轴为取竖直向下的坐标轴为 yy 轴，坐标原点轴，坐标原点ＯＯ与与ＣＣ点在水面处重合。设船点在水面处重合。设船上下振动的任一瞬时，船的位置即上下振动的任一瞬时，船的位置即ＣＣ点的坐标为点的坐标为 yy （（ yy 即是船相对水即是船相对水面的位移，可正可负），此时船所受浮力面的位移，可正可负），此时船所受浮力

= = ρgSρgS ( (hh++gg)) 则作用在船上的合力 则作用在船上的合力 由 得： 由 得： 　　　　

即 即 式中式中 MM 、、 SS 、、、、 gg 皆为正，故可令，皆为正，故可令， 则 则

= =F Mg F ρgSy

Σ =2

2

d yF M

dt

2

2

d yM ρgSy

dt－

02

2

d y ρgSy

Mdt

2 ρgSω

M

2 02

2

d yω y

dt

可见，描写船位置的物理量可见，描写船位置的物理量 yy满足简谐振动的动力学满足简谐振动的动力学方程，故船在水中所作的小幅度的竖直自由振动是简谐振方程，故船在水中所作的小幅度的竖直自由振动是简谐振动。动。

作简谐振动的物体，通常称为谐振子。这个物体，连作简谐振动的物体，通常称为谐振子。这个物体，连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为谐振系统。谐振系统。

简谐振动是一种理想的运动过程。严格的简谐振动是简谐振动是一种理想的运动过程。严格的简谐振动是不存在的，但对处于稳定平衡的系统，当它对平衡状态发不存在的，但对处于稳定平衡的系统，当它对平衡状态发生一微小的偏离后所产生的振动，在阻力很小而可以忽略生一微小的偏离后所产生的振动，在阻力很小而可以忽略时，就可以近似地看作是简谐振动。因此，谐振子是一个时，就可以近似地看作是简谐振动。因此，谐振子是一个重要的理想模型。重要的理想模型。

例 由电容例 由电容ＣＣ、电感、电感ＬＬ所组成的一个回路，如图所组成的一个回路，如图 9-59-5 所示。所示。若给 若给

电容器充上一定的电荷电容器充上一定的电荷ＱＱ，在忽略阻力的情况下，就能形，在忽略阻力的情况下，就能形成在电路内周期性往返流动的电流，并引起电容器内的电成在电路内周期性往返流动的电流，并引起电容器内的电场和电感线圈中的磁场的周期性变化，导致无阻尼电磁振场和电感线圈中的磁场的周期性变化，导致无阻尼电磁振荡。进一步的定量研究表明，在无阻尼的电磁振荡过程中，荡。进一步的定量研究表明，在无阻尼的电磁振荡过程中，电容器极板上的电荷电容器极板上的电荷ＱＱ和电路中的电流强度 和电路中的电流强度 I I 皆满足式皆满足式（（ 9-39-3）的微分方程。此 ）的微分方程。此 LC LC 电路系统遵循谐振动的规律，电路系统遵循谐振动的规律，故亦可称为谐振子。 故亦可称为谐振子。

另外，对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的另外，对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的模型进行研究，像分子、原子、电子的振动等。模型进行研究，像分子、原子、电子的振动等。

由此可见，谐振动的规律不仅出现于力学范畴，它还由此可见，谐振动的规律不仅出现于力学范畴，它还出现于电磁学、原子物理学、光学及其它领域。因此，一出现于电磁学、原子物理学、光学及其它领域。因此，一个物理系统，若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式个物理系统，若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式（（ 9-39-3），皆可广义地称为谐振子。），皆可广义地称为谐振子。

9.1.2 9.1.2 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法the way of describingthe way of describing to to simple simple

harmonic vibrationharmonic vibration 简谐振动的运动学方程（简谐振动的运动学方程（ 9-49-4 ）即 ）即

反映了简谐振动的运动规律。下面我们逐反映了简谐振动的运动规律。下面我们逐个分析方程中出现的量。　个分析方程中出现的量。　

cosx A ωt φ （ ）

1. 1. 振幅 振幅 在简谐振动（在简谐振动（ 9-49-4 ）的表式中，因余弦）的表式中，因余弦（或正弦）函数的绝对值不会大于１，所（或正弦）函数的绝对值不会大于１，所以物体的振动范围在以物体的振动范围在 ++AA 和－和－ AA 之间．我们之间．我们把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值位移的绝对值 AA 叫做振幅。它描述了振动叫做振幅。它描述了振动物体往返运动的范围和幅度。这是个反映物体往返运动的范围和幅度。这是个反映振动强弱的物理量。振动强弱的物理量。

2. 2. 周期和频率 周期和频率 振动的特征之一是运动具有周期性。我们把振动的特征之一是运动具有周期性。我们把完成一次完整全振动所经历的时间称为周期，用完成一次完整全振动所经历的时间称为周期，用TT 来表示。单位是来表示。单位是 ss 。因此，每隔一个周期，振动。因此，每隔一个周期，振动状态就完全重复一次。状态就完全重复一次。

设某时刻设某时刻 tt 物体的位置为物体的位置为 xx ，在，在 tt ＋＋ TT 时刻时刻物体到达位置　物体到达位置　

由周期性，　 即　 上式方程由周期性，　 即　 上式方程中中 TT 的最小值应满足　　 所以的最小值应满足　　 所以

　　　或　　　 （　　　或　　　 （ 9-59-5））

x

cosx A ωt φ （ ） cos[ + ]x = A ω t +T φ

x x cos[ + ]A ω t +T φ cosA ωt φ （ ）

2ωT π

2πTω

2πωT

单位时间内物体完成全振动的次数称为频率，单位时间内物体完成全振动的次数称为频率，用或用或 ff 表示。它的单位是赫兹，符号是表示。它的单位是赫兹，符号是 HzHz 。显然，。显然，频率与周期的关系为频率与周期的关系为

或 （或 （ 9-69-6）） 可见振动方程中的是一个与振动的周期有关可见振动方程中的是一个与振动的周期有关

的物理量。表示物体在的物理量。表示物体在 ss 的时间内所作的完全振的时间内所作的完全振动次数，称为振动的角频率，也称圆频率。它的动次数，称为振动的角频率，也称圆频率。它的单位是单位是 radrad ／／ ss 。。

周期和频率都是反映振动快慢的物理量。 周期和频率都是反映振动快慢的物理量。

12ωυ

T π 1

2ωυ

T π

对于弹簧振子， ，所以弹簧振子的周期和频率分别对于弹簧振子， ，所以弹簧振子的周期和频率分别为为

　　　　　 （　　　　　 （ 9-79-7）） 由于弹簧振子的质量由于弹簧振子的质量 mm 和劲度系数和劲度系数 kk 是其本身固有的是其本身固有的

性质，所以周期和频率完全由振动系统本身的性质所决定，性质，所以周期和频率完全由振动系统本身的性质所决定，因此被称为固有周期和固有频率。因此被称为固有周期和固有频率。

对于单摆， ，所以单摆的周期和频率分别为对于单摆， ，所以单摆的周期和频率分别为 　　　　　 　　　　　

单摆的振动周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，单摆的振动周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度即决定于重力加速度 gg 和摆长和摆长 ll ，因此也是固有周期和固，因此也是固有周期和固有频率，并且周期和频率还与摆球的质量无关。在小摆角有频率，并且周期和频率还与摆球的质量无关。在小摆角的情况下，单摆的周期又与振幅无关，所以单摆可用作计的情况下，单摆的周期又与振幅无关，所以单摆可用作计时。单摆为测量重力加速度时。单摆为测量重力加速度 gg提供了一种简便方法。提供了一种简便方法。

2 mT πk

2k ωm

12

kυπ m

2g

ωl

2 lT πg

12

gυ

π l

对于复摆，　 所以复摆的周期和频率分别为对于复摆，　 所以复摆的周期和频率分别为 　　　　 　　　　 上式表明，复摆的振动周期和频率同样完全由振动系统本上式表明，复摆的振动周期和频率同样完全由振动系统本

身的性质所决定，因此也是固有周期和固有频率。由复摆的身的性质所决定，因此也是固有周期和固有频率。由复摆的周期公式可知，如果测出摆的质量周期公式可知，如果测出摆的质量 mm ，重心到转轴的距离，重心到转轴的距离 hh ，，以及摆的周期以及摆的周期 TT ，就可以求得此物体绕该轴的转动惯量，就可以求得此物体绕该轴的转动惯量 JJ 。。有些形状复杂物体的转动惯量，用数学方法进行计算比较困有些形状复杂物体的转动惯量，用数学方法进行计算比较困难，有时甚至是不可能的，但用振动方法可以测定。难，有时甚至是不可能的，但用振动方法可以测定。

对于长为对于长为 ll 、可绕过其一端的轴转动的细杆， ，所以绕、可绕过其一端的轴转动的细杆， ，所以绕杆端轴线摆动的周期和频率分别为杆端轴线摆动的周期和频率分别为

　　　　　　　　　　　　

2mgh

ωJ

2 JT πmgh

12

mghυ

π J

213

J ml

22π3

lTg

31υ

2π 2gl

3. 3. 相位和初相 相位和初相 由（由（ 9-9-４）式可知，当角频率和振幅Ａ已知时，振动物４）式可知，当角频率和振幅Ａ已知时，振动物

体在任一时刻体在任一时刻 tt 的运动状态（位置、速度、加速度等）都由（ 的运动状态（位置、速度、加速度等）都由（ ）决定。（ ）是决定简谐振动运动状态的物理量，称为 ）决定。（ ）是决定简谐振动运动状态的物理量，称为振动的相位。显然是振动的相位。显然是 tt ＝０时的相位，称为初相位，简称初相。＝０时的相位，称为初相位，简称初相。

在振动和波动的研究中，相位是一个十分重要的概念。在振动和波动的研究中，相位是一个十分重要的概念。物体的振动，在一个周期之内，每一时刻的运动状态都不相物体的振动，在一个周期之内，每一时刻的运动状态都不相同，这相当于相位经历着从同，这相当于相位经历着从 00 到到 22 的变化。例如图的变化。例如图 9-19-1 所示的所示的弹簧振子，我们用余弦函数表示的简谐振动，若某时刻（ 弹簧振子，我们用余弦函数表示的简谐振动，若某时刻（ ） ） = 0= 0 ，即相位为零，则可决定该时刻，即相位为零，则可决定该时刻 xx = = AA ，， vv = 0 = 0 ，表示，表示物体在正位移最大处而速度为零；当相位（ ）物体在正位移最大处而速度为零；当相位（ ） == 时，时， xx = 0 = 0 ，，vv = = ，表示物体在平衡位置并以最大速率向，表示物体在平衡位置并以最大速率向 xx 轴负方向即向左轴负方向即向左运动；而当相位（ ）运动；而当相位（ ） == 时，时， xx = 0 = 0 ，， vv = = ，这时物体也在，这时物体也在平衡位置，但以最大速率向平衡位置，但以最大速率向 xx 轴 轴

ωt φωt φ

ωt φ

ωt φ

ωt φ

正方向即向右运动。可见，不同的相位表示不同的运正方向即向右运动。可见，不同的相位表示不同的运动状态。凡是位移和速度都相同的运动状态，它们所动状态。凡是位移和速度都相同的运动状态，它们所对应的相位相差或的整数倍。由此可见，相位是反映对应的相位相差或的整数倍。由此可见，相位是反映周期性特点，并用以描述运动状态的重要物理量。周期性特点，并用以描述运动状态的重要物理量。

相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在“步调”上的差异。设有两个同频率的简谐振动，间在“步调”上的差异。设有两个同频率的简谐振动，它们的振动表式为它们的振动表式为

它们的相位差为它们的相位差为

1 1 1cos +x = A ωt φ（ ）1 1 1cos +x = A ωt φ（ ）

2Δφ ωt φ ωt φ φ φ １ ２ １（ ）－（ ＋ ）＝ －

即它们在任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差。当 即它们在任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差。当 等于零或 的整数倍时，这时两振动物体将同时到达各自同 等于零或 的整数倍时，这时两振动物体将同时到达各自同方向的位移的最大值，同时通过平衡位置而且向同方向运动，方向的位移的最大值，同时通过平衡位置而且向同方向运动，它们的步调完全相同，我们称这样的两个振动为同相。当 等它们的步调完全相同，我们称这样的两个振动为同相。当 等于 或者 的奇数倍时，则一个物体到达正的最大位移时，另于 或者 的奇数倍时，则一个物体到达正的最大位移时，另一个物体到达负的最大位移处，它们同时通过平衡位置但向一个物体到达负的最大位移处，它们同时通过平衡位置但向相反运动，即两个振动的步调完全相反。我们称这样的两个相反运动，即两个振动的步调完全相反。我们称这样的两个振动为反相。振动为反相。

当 为其它值时当 为其它值时 , , 如果 如果 > 0> 0 ，我们称第二个简谐振动超，我们称第二个简谐振动超前第一个简谐振动 ，或者说第一个简谐振动落后于第二个前第一个简谐振动 ，或者说第一个简谐振动落后于第二个简谐振动 。以此来表达它们振动步调上的差别。简谐振动 。以此来表达它们振动步调上的差别。

引入相位差的概念，不仅仅是为了描述两个同频率简谐引入相位差的概念，不仅仅是为了描述两个同频率简谐振动之间的步调上的差异，后面将看到，当一个物体同时参振动之间的步调上的差异，后面将看到，当一个物体同时参与两个或两个以上同频率的简谐振动时，合振动的强弱将取与两个或两个以上同频率的简谐振动时，合振动的强弱将取决于这几个振动之间的相位差。在波动理论和波动光学中，决于这几个振动之间的相位差。在波动理论和波动光学中，相位差这一概念也将继续发挥重要的作用。相位差这一概念也将继续发挥重要的作用。

φ φ２ １－

Δφ 2

Δφ

Δφ

Δφ

4. 4. 常数常数 AA 和和 φφ 的确定 的确定 如上所述，谐振动方程中的角频率是如上所述，谐振动方程中的角频率是

由振动系统本身的性质所决定的。在角频由振动系统本身的性质所决定的。在角频率已经确定的条件下，如果知道在率已经确定的条件下，如果知道在 tt = 0 = 0 时时的物体相对平衡位置的位移的物体相对平衡位置的位移 xx 0 0 和速度和速度 vv 0 0 ，，就可以确定谐振动的振幅就可以确定谐振动的振幅 AA 和初相和初相 φφ 。由。由式（式（ 9-49-4 ）和（）和（ 9-49-4aa ）可得）可得

由上两式可得由上两式可得 AA 、、 φφ 的唯一解是 的唯一解是

}} （（ 9-89-8 ））

0 =x Acosφ 0v ωA sin φ－

202

0 2

0

0

vA xω

vφ arctgωx

＝ ＋

－＝

其中其中 φφ 所在象限可由所在象限可由 xx00 及及 vv00 的正负号确定。的正负号确定。 物体在物体在 tt = 0 = 0 时的位移时的位移 xx 0 0 和速度和速度 vv 0 0 叫做初叫做初始条件。上述结果说明，对一定的弹簧振子（即始条件。上述结果说明，对一定的弹簧振子（即为已知量），它的振幅为已知量），它的振幅 AA 和初相和初相 φφ 是由初始条件是由初始条件决定的。由于谐振动的振幅不随时间而变化，故决定的。由于谐振动的振幅不随时间而变化，故简谐振动是等幅振动。简谐振动是等幅振动。

例例 9-2 9-2 如图如图 9-19-1 所示，一轻弹簧的劲度系数所示，一轻弹簧的劲度系数 kk = = 50 50 ，今将质量为，今将质量为 2 2 kgkg 的物体，从平衡位置向右拉的物体，从平衡位置向右拉长到长到 xx 0 =0.02 0 =0.02 mm 处，并以处，并以 vv 0 = 0 = 的速度开始运动，的速度开始运动，试求：试求：

(1)(1) 谐振动方程； 谐振动方程； (2)(2) 物体从初位置运动到第一次经过 物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度。处时的速度。

解 （解 （ 11）要确定物体的谐振动方程，需要确定角频率、振）要确定物体的谐振动方程，需要确定角频率、振幅幅 AA 和初相和初相 φφ三个物理量。三个物理量。

角频率 振幅和初相由初始条件角频率 振幅和初相由初始条件 xx 0 0 及及 vv00决定，决定，已知已知 xx 0 =0.04 0 =0.04 mm ，， v0v0 = = 由式（由式（ 9-89-8）得 ）得

据题意据题意 xx00 为正，为正， vv00 为负，为负，

150 52

kω rad sm

2A

1310

m s －

2202 2

0 2 2

0

0

3100.02 0.04

5

310 3

5 0 02

vA x m

ω

vφ arctg arctg arctg

ωx .

（－ ）＝ ＋

－＝

3πφ 故

将将 AA 、 代入谐振动方程 中，可得 、 代入谐振动方程 中，可得 　　　　　　　　　　

（ （ 22 ）欲求）欲求 xx = = 处的速度，需先求出物体处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达处的相位。从初位置运动到第一次抵达处的相位。

由 得由 得

ω φ、 cosx A ωt φ （ ）

=0.04cos 53πx t m（ ）

cosx A ωt φ （ ） cos t3πA ω （ ）

2 423 2 3 3

Aπ x π πωt arccos arccos arccos

A A

- １＝ ＝ （- ）＝ （或 ）

按按题意，物体由初位置题意，物体由初位置 XX0 = 0.02 0 = 0.02 mm 第一次运第一次运动到动到 xx = = 处的相位 将处的相位 将 AA 、 的值代入、 的值代入速度公式，可得速度公式，可得

负号表示速度的方向沿负号表示速度的方向沿 xx 轴负方向。轴负方向。

2A

3πωt ω ωt和

3sin 0.04 5 sin 0.1733 3 10π π πv Aω ωt m s －１－ （ ）＝－ （ ）＝－ －

３

5. 5. 简谐振动的矢量图示法 简谐振动的矢量图示法 为了直观地领会简谐振动中为了直观地领会简谐振动中 AA 、 、 三个物理量的意义，并为后面讨论简谐振三个物理量的意义，并为后面讨论简谐振动的叠加提供简捷的方法，我们介绍简谐动的叠加提供简捷的方法，我们介绍简谐振动的旋转矢量表示法。振动的旋转矢量表示法。

ω φ和

如图如图 9-69-6 所示，一长度为所示，一长度为 AA 的矢量绕的矢量绕 OO 点以恒角速度 点以恒角速度 沿逆时针方向转动，这个矢量称为振幅矢量，以沿逆时针方向转动，这个矢量称为振幅矢量，以 AA 表示。表示。在此矢量转动过程中，矢量的端点在此矢量转动过程中，矢量的端点 MM 在在 OXOX 轴上的投影点轴上的投影点PP 便不断地以便不断地以 OO 为平衡位置往返振动。在任意时刻，投影为平衡位置往返振动。在任意时刻，投影点在点在 XX 轴上的位置由方程 确定，这正是简谐振动轴上的位置由方程 确定，这正是简谐振动的表式。因而，作匀速转动的矢量的表式。因而，作匀速转动的矢量 AA ，其端点，其端点 MM 在在 xx 轴轴上的投影点上的投影点 PP 的运动是简谐振动。在矢量的运动是简谐振动。在矢量 AA 的转动过程中，的转动过程中，MM 点作匀速圆周运动，通常把这个圆称为参考圆。矢量点作匀速圆周运动，通常把这个圆称为参考圆。矢量 AA转一圈所需的时间就是简谐振动的周期。也就是说，一个转一圈所需的时间就是简谐振动的周期。也就是说，一个简谐振动可以借助于一个旋转矢量来表示。它们之间的对简谐振动可以借助于一个旋转矢量来表示。它们之间的对应关系是：旋转矢量的长度应关系是：旋转矢量的长度 AA 为投影点简谐振动的振幅；为投影点简谐振动的振幅；旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频率 ；而旋转矢旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频率 ；而旋转矢量在量在 tt 时刻与时刻与 OXOX 轴的夹角（ ）便是简谐振动运动方轴的夹角（ ）便是简谐振动运动方程中的相位；程中的相位； φφ 角是起始时刻旋转矢量与角是起始时刻旋转矢量与 OXOX 轴的夹角，轴的夹角，就是初相位。就是初相位。

ω

cosx A ωt φ （ ）

ωt φ

由此可见，简谐振动的旋转矢量表示法把描由此可见，简谐振动的旋转矢量表示法把描写简谐振动的三个特征量非常直观地表示出来了。写简谐振动的三个特征量非常直观地表示出来了。必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是旋转矢量端点在旋转矢量端点在 OXOX 轴上的投影点在作谐振动。轴上的投影点在作谐振动。

利用旋转矢量图，可以很容易地表示两个简利用旋转矢量图，可以很容易地表示两个简谐振动的相位差。谐振动的相位差。

在简谐振动过程中在简谐振动过程中 ,, 相位 随时间线性变相位 随时间线性变化，变化速率为角频率 。即在时间间隔内，相位化，变化速率为角频率 。即在时间间隔内，相位变化为 。把握住这一点，配合旋转矢量图，变化为 。把握住这一点，配合旋转矢量图，就可以巧妙地解决一些看来似乎困难的问题。就可以巧妙地解决一些看来似乎困难的问题。

ωt φω

Δ Δφ ω t

例例 9-3 9-3 用旋转矢量法求解上例中的初相用旋转矢量法求解上例中的初相 φφ 及及物体从初位置运动到第一次经过 处时的时间。物体从初位置运动到第一次经过 处时的时间。

解 （解 （ 11）根据初始条件画出振幅矢量的初始）根据初始条件画出振幅矢量的初始位置如图位置如图 9-79-7

由图可得 由图可得 （（ 22）从振幅矢量图）从振幅矢量图 9-89-8 可知：从初位置可知：从初位置 xx0 0 运动运动到第一次经过到第一次经过 xx = = 处时，旋转矢量 处时，旋转矢量

转过的角度是 ，这就是两者的相位差，由于转过的角度是 ，这就是两者的相位差，由于振幅矢振幅矢

量的角速度为 ，所以可得到所需的时间量的角速度为 ，所以可得到所需的时间

2A

0 0 02 10 04 2 3

x . πφ arccos arccos arccosA .

2A

23 3π ππ -

Δ 3Δ 0.2095 15

πφ πt

ω＝ ＝ ＝

ω

6. 6. 振动曲线 振动曲线 简谐振动的位置简谐振动的位置 xx 随时间随时间 tt 的变化关系的变化关系曲线叫做振动曲线，又称曲线叫做振动曲线，又称 xx – – tt 图。由式图。由式 9-49-4可知，它是一条余弦（或正弦）曲线。可知，它是一条余弦（或正弦）曲线。 xx– – tt图和前面讨论过的旋转矢量图一样，是描图和前面讨论过的旋转矢量图一样，是描述简谐振动的一种几何工具，它形象而直述简谐振动的一种几何工具，它形象而直观地反映出一个特定的谐振动的运动规律，观地反映出一个特定的谐振动的运动规律，还可方便地对几个谐振动作出比较。还可方便地对几个谐振动作出比较。

例例 9-4 9-4 质量为质量为 0.1 0.1 kgkg 的物体悬于弹簧的的物体悬于弹簧的下端。把物体从平衡位置向下拉下端。把物体从平衡位置向下拉 0.1 0.1 mm 后释放，后释放，测得其周期为测得其周期为 2 2 ss ，见图，见图 9-99-9 （（ aa）。试求）。试求

（（ 11）物体的振动方程；）物体的振动方程； （（ 22）物体首次经过平衡位置时的速度；）物体首次经过平衡位置时的速度； （（ 33）第二次经过平衡位置时的速度；）第二次经过平衡位置时的速度； （（ 44）物体从平衡位置下方）物体从平衡位置下方 0.05 0.05 mm 处向上运处向上运

动到平衡位置上方动到平衡位置上方 0.05 0.05 mm 处所需的最短时间处所需的最短时间

图 9-9 （ a） 图 9-9 （ b） 图 9-9 （ c） 图 9-9 （ d）

解 以弹簧挂上物体后的平衡位置为坐标原点，向上作为解 以弹簧挂上物体后的平衡位置为坐标原点，向上作为 YY 轴轴的正方向。的正方向。

已知已知 T T = 2 s= 2 s ，则 以释放物体时作起始时刻，有 ，则 以释放物体时作起始时刻，有 t t = 0= 0 时，时，yy0 = 0 = －－ 0.1 0.1 mm ，， vv0 = 0 0 = 0 ， 则 ， 则

所以 或 因为所以 或 因为 yy00 为负值，故 得弹簧振动的振动为负值，故 得弹簧振动的振动方程为 方程为

YY = 0.1 = 0.1 cos cos （（ π t + ππ t + π）（）（ mm）） 若向下作为若向下作为 YY 轴的正方向，轴的正方向， yy00 为正值，为正值， φφ应取应取 00 ，弹簧的振动，弹簧的振动

方程则为方程则为 YY = 0.1 = 0.1 cosπ t cosπ t （（ mm）） 可见，对于同一个简谐振动，选取不同的坐标系，将会有不同形可见，对于同一个简谐振动，选取不同的坐标系，将会有不同形

式的运动方程 式的运动方程

2πω πrad sT

／

2 200

0

0

0 1

0

vA y . m

ωv

tgφy ω

（ ）

0φ φ π φ π

(1)(1) 由旋转矢量图由旋转矢量图 9-99-9 （（ bb）可知，物体首）可知，物体首次经过平衡位置的相位为（次经过平衡位置的相位为（ ωt +φωt +φ ）） = = ，，此时的速度为此时的速度为

速度的方向向上，与坐标正方向相同。速度的方向向上，与坐标正方向相同。 (2)(2) 由旋转矢量图由旋转矢量图 9-99-9 （（ cc）可知，物体第二）可知，物体第二次经过平衡位置上方次经过平衡位置上方 55cmcm 处的相位为处的相位为

（（ ωt +φωt +φ ）） = = ，此时的加速度为，此时的加速度为 负号表示加速度负号表示加速度

的方向与的方向与 YY 轴正方向相反，即指向中心轴正方向相反，即指向中心 OO 。。

13ω 0 3142

v A sin π Aω . m s

2 2 20 4933 2πa Aω cos Aω . m s １- - -

32

π

3π

（（ 44） 由旋转矢量图） 由旋转矢量图 9-99-9 （（ dd）可知，在平）可知，在平衡位置下方衡位置下方 55cmcm 处并向上运动时的相位为处并向上运动时的相位为

（（ ωtωt1 + 1 + φφ ）） = = ，当物体第一次经过平衡，当物体第一次经过平衡位置上方位置上方 55cmcm 处时的相位为（处时的相位为（ ωtωt2 + 2 + φφ ）） = = ，，

在此过程中物体经历的相位变化为在此过程中物体经历的相位变化为 即 （即 （ ωtωt2 + 2 + φφ）－（）－（ ωtωt1 + 1 + φφ ）） = =

所所需要的时间为需要的时间为

5 4 1Δ3 3 3

φ π π π

53

π

43

π

2 1

Δ0.33

φt t s

ω

3π

9.1.3 9.1.3 简谐振动的能量简谐振动的能量simple harmonic vibration energysimple harmonic vibration energy

现在我们以图现在我们以图 9-19-1 的水平弹簧振子为例来说明振的水平弹簧振子为例来说明振动系统的能量。动系统的能量。

设在某一时刻，物体的位置是设在某一时刻，物体的位置是 xx ，速度为，速度为 vv ，由，由（（ 9-49-4）及（）及（ 9-49-4aa），我们知道振子的位置），我们知道振子的位置 xx 及及速度速度 vv分别为分别为

此时系统除了具有动能以外，还具有势能。振此时系统除了具有动能以外，还具有势能。振动物体的动能为动物体的动能为

EkEk = = （（ 9-99-9）） 如果取物体在平衡位置的势能为零，则弹性势能如果取物体在平衡位置的势能为零，则弹性势能

为为 EpEp = = （（ 9-109-10））

cos +x = A ωt φ（ ） sinv = ωA ωt φ－ （ ）

2 2 2 21 12 2

mv mω A sin ωt φ （ ）

2 21 12 2

kx kA 2cos ωt φ（ ）

式（式（ 9-99-9 ）和式（）和式（ 9-109-10 ）说明物体作简谐）说明物体作简谐振动时，其动能和势能都是随时间振动时，其动能和势能都是随时间 tt 作周期作周期性变化。位移最大时，势能达最大，动能性变化。位移最大时，势能达最大，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达最大值。由于在运动过程中，弹簧动能达最大值。由于在运动过程中，弹簧振子不受外力和非保守内力的作用，其总振子不受外力和非保守内力的作用，其总的机械能守恒的机械能守恒

EE = = EkEk + + EpEp = + = + 以以式（式（ 9-29-2 ）： 代入，则上式简化为）： 代入，则上式简化为

2 2 212

mω A sin ωt φ（ ） 212

kA 2cos ωt φ（ ）

2k ωm

212

E kA

上式说明：谐振系统在振动过程中，系统的动能和势上式说明：谐振系统在振动过程中，系统的动能和势能也都分别随时间发生周期性变化，它们之间在不断地相能也都分别随时间发生周期性变化，它们之间在不断地相互转换。但在任意时刻动能和势能的总和即总的机械能在互转换。但在任意时刻动能和势能的总和即总的机械能在振动过程中却始终保持为一个常量。即系统的总机械能是振动过程中却始终保持为一个常量。即系统的总机械能是守恒的。简谐振动系统的总能量和振幅的平方成正比，这守恒的。简谐振动系统的总能量和振幅的平方成正比，这一结论对于任一谐振系统都是正确的。如图（一结论对于任一谐振系统都是正确的。如图（ 9-109-10）。）。

上面我们是从简谐振动的运动学方程出发得出谐振系上面我们是从简谐振动的运动学方程出发得出谐振系统的总机械能守恒这一结论的，这一结论我们也可以用简统的总机械能守恒这一结论的，这一结论我们也可以用简谐振动的动力学方程导出。谐振动的动力学方程导出。

由式由式 9-19-1有有 两边乘以两边乘以 dxdx ，得，得

2

2d xm kxdt

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 或 或 即 即 mvdvmvdv = = －－ kxdxkxdx 设初始时刻振子的位置是设初始时刻振子的位置是 xx00 ，速度是，速度是 vv00 ，对上，对上

式两边积分到任一时刻的位置式两边积分到任一时刻的位置 xx 和速度和速度 vv ，即，即 得 得

等式右边两项之和就是初始时刻振子系统的总 等式右边两项之和就是初始时刻振子系统的总机械能机械能 EE ，即，即

式中 是弹簧振子的动能， 是弹簧振子的弹性势式中 是弹簧振子的动能， 是弹簧振子的弹性势能。把式能。把式 9-49-4 和式和式 9-49-4aa代入即可得代入即可得

+ = + = EE 再代以 ，即得 再代以 ，即得

2

2d xm dx kxdxdt

dvm dx kxdxdt

0 0

v x

v xmvdv kxdx

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2 2

mv kx mv kx

2 21 12 2

mv kx E

212

mv21

2kx

2 2 212

mω A sin ωt φ（ ） 212

kA2cos ωt φ（ ）

2k ωm

212

E kA

9.1.4 9.1.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 simple harmonic vibration resultantsimple harmonic vibration resultant

在实际问题中，常会遇到一个质点同时参与在实际问题中，常会遇到一个质点同时参与几个振动的情况。例如，当两列声波同时传播到几个振动的情况。例如，当两列声波同时传播到空间某一处，则该处空气质点就同时参与这两个空间某一处，则该处空气质点就同时参与这两个振动。根据运动叠加原理，这时质点所作的运动振动。根据运动叠加原理，这时质点所作的运动实际上就是这两个振动的合成。就是说，物体在实际上就是这两个振动的合成。就是说，物体在任意时刻的位置矢量为物体单独参与每个分振动任意时刻的位置矢量为物体单独参与每个分振动的位置矢量之和，即的位置矢量之和，即

rr = = rr11 + + rr2 +2 + rr3 +…3 +… 一般的振动合成问题比较复杂，下面我们只一般的振动合成问题比较复杂，下面我们只研究几种特殊情况的谐振动合成。研究几种特殊情况的谐振动合成。

1. 1. 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点在一直线上同时参与两个独立的同设一质点在一直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动。现在取这一直线为频率的简谐振动。现在取这一直线为 xx 轴，以质点轴，以质点的平衡位置为原点，由于它们的角频率的平衡位置为原点，由于它们的角频率 ωω 相同，相同，故在任一时刻故在任一时刻 tt ，这两个振动的位移分别为，这两个振动的位移分别为

式中式中 AA11 、、 AA22 和和 φφ11 、、 φφ22分别表示这两个振动的分别表示这两个振动的振幅和初相位。既然振幅和初相位。既然 xx11 和和 xx22 都是表示在同一直线都是表示在同一直线方向上、距同一平衡位置的位移，所以合位移方向上、距同一平衡位置的位移，所以合位移 xx仍仍在同一直线上，而为上述两个位移的代数和，即在同一直线上，而为上述两个位移的代数和，即

xx = = xx1 + 1 + xx2 = +2 = +

1 1 1cos +x = A ωt φ（ ） 2 2 2cos +x = A ωt φ（ ）

1 1cos +A ωt φ（ ）2 2cos +A ωt φ（ ）

应用三角函数的等式关系将上式展开，可应用三角函数的等式关系将上式展开，可以化成以化成

式中式中 AA 和和 φφ 的值分别为的值分别为 （（ 9-119-11 ）） （（ 9-129-12 ））

cosx A ωt φ （ ）

2 21 2 1 2 2 12 cosA A A A A φ φ （ ）

1 1 2 2

1 1 2 2

A sin φ A sin φφ arctg

A cos φ A cos φ

这说明合振动仍是简谐振动，其振动方向和这说明合振动仍是简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个振动相同。 频率都与原来的两个振动相同。 应用旋转矢量图，可以很方便地得到上述两 应用旋转矢量图，可以很方便地得到上述两简谐振动的合振动。如图简谐振动的合振动。如图 9-119-11 所示，所示， AA11 和和 AA2 2 为代表两简谐振动的振幅矢量，由于它们以相同为代表两简谐振动的振幅矢量，由于它们以相同的角速度的角速度 ωω 绕绕 OO 点沿逆时针转动，因此它们之间点沿逆时针转动，因此它们之间的夹角（的夹角（ φφ2 2 －－ φφ11）保持恒定，所以在旋转过程）保持恒定，所以在旋转过程中，矢量合成的平行四边形的形状保持不变，因中，矢量合成的平行四边形的形状保持不变，因而合矢量而合矢量 AA 的长度保持不变，并以同一角速度的长度保持不变，并以同一角速度 ωω匀速旋转。合矢量匀速旋转。合矢量 AA 就是相应的合振动的振幅矢就是相应的合振动的振幅矢量，而合振动的表达式可从合矢量量，而合振动的表达式可从合矢量 AA 在在 xx 轴上的轴上的投影给出，投影给出， AA 和和 φφ也可以由图简便地得到。也可以由图简便地得到。

现在来讨论振动合成的结果。从式（现在来讨论振动合成的结果。从式（ 9-119-11 ）可以看出，）可以看出，合振动的振幅合振动的振幅 AA 除了与原来的两个分振动的振幅有关外，除了与原来的两个分振动的振幅有关外，还取决于两个振动的相位差（还取决于两个振动的相位差（ φφ2 2 －－ φφ11）。下面讨论两个）。下面讨论两个特例，将来在研究声、光等波动过程的干涉和衍射现象时，特例，将来在研究声、光等波动过程的干涉和衍射现象时，这两个特例常要用到。这两个特例常要用到。

（（ 11）两振动同相，即相位差（）两振动同相，即相位差（ φφ2 2 －－ φφ11 ）） = 2= 2kπ kπ ，， kk = 0 = 0 ，，这时这时 coscos （（ φφ2 2 －－ φφ11 ）） = 1. = 1. 按式按式 9-119-11 得 得

即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和，显然，这即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和，显然，这是合振动可能达到的最大值。是合振动可能达到的最大值。

如图如图 9-12(9-12(aa))

2 21 2 1 2 1 22A A A A A A A

（（ aa ）） φ2φ2 －－ φ1=2kπ A=A1+A2 φ1=2kπ A=A1+A2 （（ bb ）） φ2φ2 －－ φ1=φ1= （（ 2k +12k +1 ）） π A=A1π A=A1 －－ A2A2

（（ cc）任意相位差）任意相位差

图图 9-12 9-12 初相位差不同的两个简谐振动的合成初相位差不同的两个简谐振动的合成

（（ 22）两振动反相，即相位差（）两振动反相，即相位差（ φφ2 2 －－ φφ11 ）） = = （（ 22kk + 1 + 1 ）） π π ，， kk = 0 = 0 ，这时，这时 coscos （（ φφ2 2 －－ φφ11 ）） = = －－ 1. 1. 按式按式 9-119-11 得得

即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值。（振幅在性质上是正量，所以在上式中绝对值。（振幅在性质上是正量，所以在上式中取绝对值）显然，这是合振动可能达到的最小值。取绝对值）显然，这是合振动可能达到的最小值。如图如图 9-12(9-12(bb)) 。如果。如果 AA1 = 1 = AA2 2 ，则，则 AA = 0 = 0 ，就是说，就是说振动合成的结果使质点处于静止状态。振动合成的结果使质点处于静止状态。

在一般情形下，相位差在一般情形下，相位差 φφ22 －－ φφ11 是其他任意值时，是其他任意值时，合振动的振幅在 与合振动的振幅在 与 AA1 +1 +AA22 之间。如图之间。如图 9-129-12（（ cc）。）。

2 21 2 1 2 1 22A A A A A A A

1 2A A

2. 2. 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成 当一个质点同时参与两个不同方向的当一个质点同时参与两个不同方向的

振动时，质点的位移是这两个振动的位移振动时，质点的位移是这两个振动的位移的矢量和。在一般情况下，质点将在平面的矢量和。在一般情况下，质点将在平面上作曲线运动。质点的轨道可有各种形状，上作曲线运动。质点的轨道可有各种形状，轨道的形状由两个振动的周期、振幅和相轨道的形状由两个振动的周期、振幅和相位差来决定。位差来决定。

设两个同频率的简谐振动分别在设两个同频率的简谐振动分别在 xx 轴轴和和 yy 轴上进行，振动表式分别为轴上进行，振动表式分别为

cos +x xx = A ωt φ（ ） cos ω +y yy A t φ （ ）

在任意时刻在任意时刻 tt ，质点的位置是（，质点的位置是（ xx ，， yy）。）。 tt改变改变时，（时，（ xx ，， yy）也改变。所以上列两方程就是用）也改变。所以上列两方程就是用参量参量 tt 来表示的质点运动轨道的参量方程。如果来表示的质点运动轨道的参量方程。如果把时间参量把时间参量 tt消去，就得到轨道的直角坐标方程消去，就得到轨道的直角坐标方程

（（ 9-139-13）） 一般地说，上述方程是椭圆方程。因为质点的位一般地说，上述方程是椭圆方程。因为质点的位

移移 xx 和和 yy 在有限范围内变动，所以椭圆轨道不会在有限范围内变动，所以椭圆轨道不会超出以超出以 22AA11 和和 22AA22 为边的矩形范围。椭圆的具体为边的矩形范围。椭圆的具体形状，则由相位差形状，则由相位差 φφ2 2 －－ φφ11 来决定。下面选择几来决定。下面选择几个特殊的相位差进行讨论。个特殊的相位差进行讨论。

222

2 2

2cos siny x y x

x yyx

y xyx φ φ φ φA AAA

（ ） （ ）

(1)(1) 当相位差当相位差 φφ2 2 －－ φφ1 = 01 = 0 ，即两振动同相。这，即两振动同相。这时式时式 9-139-13 变为 即 变为 即 合振动的轨迹是一条通过坐标原点的直线，其斜合振动的轨迹是一条通过坐标原点的直线，其斜率为这两个振动振幅之比率为这两个振动振幅之比 [[ 图图 9-13(9-13(aa)])] 。在任意。在任意时刻时刻 tt ，质点离开平衡位置的位移 ，质点离开平衡位置的位移

所以所以合振动也是简谐振动，振动频率与分振动的频率合振动也是简谐振动，振动频率与分振动的频率相同。振幅为 相同。振幅为 A= A= (2) (2) 当相位差当相位差 φφ2 2 －－ φφ1= 1= ，这时式，这时式 9-139-13 变变为 为

合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿顺时针方合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿顺时针方向运行的正椭圆向运行的正椭圆 [[ 图图 9-13(9-13(bb)] )]

2 0x y

yxA A

（ ） y

x

Ay x

A

2 2 2 2 cosx ys x y A A ωt φ （ ）

2 2x yA A

22

2 2 1yx

yxAA

2π

(3)(3) 当相位差当相位差 φφ2 2 －－ φφ1 = 1 = π π ，即两振动反，即两振动反相。这时式相。这时式 9-139-13 变为 变为

合振动的轨迹也是一条通过坐标原点的直合振动的轨迹也是一条通过坐标原点的直线，其斜率为这两个振动振幅之比的负值线，其斜率为这两个振动振幅之比的负值[[ 图图 9-13(9-13(cc)])] 。也是简谐振动，振动频率与。也是简谐振动，振动频率与分振动的频率相同。振幅也为 分振动的频率相同。振幅也为 A=A=

y

x

Ay x

A

2 2x yA A

(4)(4) 当相位差当相位差 φφ2 2 －－ φφ1= 1= ，这时合，这时合 振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿逆时针方向运振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿逆时针方向运 行的正椭圆行的正椭圆 [[ 图图 9-13(9-13(dd)])] 。。 当两个等幅（当两个等幅（ AA1 = 1 = AA22）的振动相位差为）的振动相位差为 φφ2 2 －－ φφ1= 1= 时，椭圆将变为圆时，椭圆将变为圆 [[ 图图 9-14(9-14(aa)) 、、 ((bb)])] 。。 总之总之 , , 两个相互垂直的同频率的简谐振动合成两个相互垂直的同频率的简谐振动合成 时时 ,, 合运动的轨道是椭圆。椭圆的性质视两个振动合运动的轨道是椭圆。椭圆的性质视两个振动 的相位差的相位差 φφ2 2 －－ φφ11 而定。图而定。图 9-159-15 表示不同相位差的表示不同相位差的 合成图形。合成图形。

32 2

ππ 或

2π

图图 9-14 9-14 两个等幅的、相位差为 的相互两个等幅的、相位差为 的相互垂直的同频率的简谐振动的合成垂直的同频率的简谐振动的合成

**9.2 9.2 阻尼振动阻尼振动 damped vibration damped vibration

前面所讨论的简谐振动，振动系统都是在没有阻力作用下振动的，前面所讨论的简谐振动，振动系统都是在没有阻力作用下振动的，系统的机械能守恒，振幅不随时间而变化。就是说，这种振动一经发系统的机械能守恒，振幅不随时间而变化。就是说，这种振动一经发生，就能够永不停止地以不变的振幅振动下去。一个振动物体不受任生，就能够永不停止地以不变的振幅振动下去。一个振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。这是一种理想的情况。实际上，振动物体总是要受到阻力作用的。以这是一种理想的情况。实际上，振动物体总是要受到阻力作用的。以弹簧振子为例，由于受到空气阻力等的作用，它围绕平衡位置振动的弹簧振子为例，由于受到空气阻力等的作用，它围绕平衡位置振动的振幅将逐渐减小，最后，终于停止下来。如果把弹簧振子浸在液体里，振幅将逐渐减小，最后，终于停止下来。如果把弹簧振子浸在液体里，它在振动时受到的阻力就更大，这时可以看到它的振幅急剧减小，振它在振动时受到的阻力就更大，这时可以看到它的振幅急剧减小，振动几次以后，很快就会停止。当阻力足够大，振动物体甚至来不及完动几次以后，很快就会停止。当阻力足够大，振动物体甚至来不及完成一次振动就停止在平衡位置上了。在回复力和阻力作用下的振动称成一次振动就停止在平衡位置上了。在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。为阻尼振动。

在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种：一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力能量损失的原因通常有两种：一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力使振动系统的能量逐渐转变为热运动的能量，这叫摩擦阻尼。另一种使振动系统的能量逐渐转变为热运动的能量，这叫摩擦阻尼。另一种是由于振动物体引起邻近质点的振动，使系统的能量逐渐向四周射出是由于振动物体引起邻近质点的振动，使系统的能量逐渐向四周射出去，转变为波动的能量，这叫辐射阻尼。去，转变为波动的能量，这叫辐射阻尼。

实验指出，当物体以不太大的速率在粘实验指出，当物体以不太大的速率在粘滞性的介质中运动时，物体受到的阻力与滞性的介质中运动时，物体受到的阻力与其运动的速率成正比，即其运动的速率成正比，即

ff rr = = 式中的称为阻力系数，它的大小式中的称为阻力系数，它的大小由物体的形状、大小和介质的性质来决定。由物体的形状、大小和介质的性质来决定。对弹簧振子，在弹性力对弹簧振子，在弹性力 FF = — = —kxkx 及阻力及阻力 ff rr的作用下运动，物体的运动方程为的作用下运动，物体的运动方程为

dxγv γdt

2

2d x dxm kx γ

dtdt

对一给定的振动系统，对一给定的振动系统， mm 、、 kk 及均为常量。及均为常量。令 ， ，则上式可写成令 ， ，则上式可写成

（（ 9-149-14 ）） 式中 是无阻尼振动系统的固有角频率，式中 是无阻尼振动系统的固有角频率， β β

称为阻尼因子。在称为阻尼因子。在 ββ<<ωω00 的条件下，即阻尼的条件下，即阻尼较小的情况下，这个微分方程的解是较小的情况下，这个微分方程的解是

（（ 9-159-15 ）） 式中 式中

20

k ωm

2γ

βm

2202 2 0d x dxβ ω x

dtdt

0ω

0 cosβtx A e ω t φ （ ）2 20ω ω β

AA00 和和 φφ 为积分常数，由初始条件决定。为积分常数，由初始条件决定。图图 9-169-16 是阻尼振动的位移时间曲线。从图是阻尼振动的位移时间曲线。从图中可以看出，阻尼振动的振幅 是随时间中可以看出，阻尼振动的振幅 是随时间tt 作指数衰减的，因此阻尼振动也叫减幅振作指数衰减的，因此阻尼振动也叫减幅振动，不是谐振动。阻尼越大，振幅衰减得动，不是谐振动。阻尼越大，振幅衰减得越快。但在阻尼不大时，可近似地看作是越快。但在阻尼不大时，可近似地看作是一种振幅逐渐减小的振动，它的周期 一种振幅逐渐减小的振动，它的周期 。即有阻尼时的自由振动周期。即有阻尼时的自由振动周期 TT大于无阻大于无阻尼时的自由振动周期尼时的自由振动周期 TT00 （（ = = ）。）。

βtAe

2 20

2 2π πTω ω β

0

2πω

就是说，由于阻尼，振动变慢了。若阻尼很就是说，由于阻尼，振动变慢了。若阻尼很大，即大，即 β β > > ωω00 ，式，式 9-159-15 不再是式不再是式 9-149-14 的解，此的解，此时物体以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置，时物体以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置，这种情况称为过阻尼。若阻尼满足这种情况称为过阻尼。若阻尼满足 β β = = ωω00　，则　，则振动物体将刚好能平滑地回到平衡位置，这种情振动物体将刚好能平滑地回到平衡位置，这种情况称为临界阻尼。在过阻尼状态和减幅振动状态，况称为临界阻尼。在过阻尼状态和减幅振动状态，振动物体从运动到静止都需要较长的时间，而在振动物体从运动到静止都需要较长的时间，而在临界阻尼状态，振动物临界阻尼状态，振动物

体从静止开始运动回复到平衡位置需要的时间却体从静止开始运动回复到平衡位置需要的时间却最短的。因此当物体偏离平衡位置时，如果要它最短的。因此当物体偏离平衡位置时，如果要它不发生振动下，最快地恢复到平衡位置，常用施不发生振动下，最快地恢复到平衡位置，常用施加临界阻尼的方法。加临界阻尼的方法。

在生产实际中，可以根据不同的要求，在生产实际中，可以根据不同的要求，用不同的方法改变阻尼的大小以控制系统用不同的方法改变阻尼的大小以控制系统的振动情况。如在灵敏电流计内，表头中的振动情况。如在灵敏电流计内，表头中的指针是和通电线圈相连的，当它在磁场的指针是和通电线圈相连的，当它在磁场中运动时，会受到电磁阻力的作用；若电中运动时，会受到电磁阻力的作用；若电磁阻力过大或过小，会使指针摆动不停或磁阻力过大或过小，会使指针摆动不停或到达平衡点的时间过长，而不便于测量读到达平衡点的时间过长，而不便于测量读数，所以必须调整电路电阻，使电表在数，所以必须调整电路电阻，使电表在 β β = = ωω00 　的临界阻尼状态下工作。　的临界阻尼状态下工作。

**9.3 9.3 受迫振动 共振 受迫振动 共振 forced vibrationforced vibration

9.3.1 9.3.1 受迫振动 受迫振动 forced vibrationforced vibration

在实际的振动系统中，阻尼总是客观存在的。在实际的振动系统中，阻尼总是客观存在的。所以实际的振动物体如果没有能量的不断补充，所以实际的振动物体如果没有能量的不断补充，振动最后总是要停止下来的。要使振动持续不断振动最后总是要停止下来的。要使振动持续不断地进行，须对系统施加一周期性的外力。这种系地进行，须对系统施加一周期性的外力。这种系统在周期性外力持续作用下所发生的振动，叫受统在周期性外力持续作用下所发生的振动，叫受迫振动。如声波引起耳膜的振动、马达转动导致迫振动。如声波引起耳膜的振动、马达转动导致基座的振动等等。这种周期性的外力称为驱动力。基座的振动等等。这种周期性的外力称为驱动力。

为简单起见，假设驱动力有如下的形式为简单起见，假设驱动力有如下的形式 FF = = FF0 0 cosωtcosωt

式中式中 FF00 是驱动力的幅值，是驱动力的幅值， ωω 为驱动角频率。为驱动角频率。物体在弹性力、阻力和驱动力的作用下，物体在弹性力、阻力和驱动力的作用下，其运动方程为其运动方程为

仍令 ， ，则上式可写成仍令 ， ，则上式可写成 （（ 9-169-16 ）） 在阻尼较小的情况下，该方程的解是在阻尼较小的情况下，该方程的解是 （（ 9-179-17 ））

2

02 cosd x dxm kx γ F ωtdtdt

20

k ωm

2γ

βm

202

02 2 cosFd x dxβ ω x ωtdt mdt

2 20 0cos cosβtx A e ω β t φ A ωt φ （ ）

即受迫振动是由阻尼振动 和谐振即受迫振动是由阻尼振动 和谐振动 合成的。动 合成的。

实际上，在驱动力开始作用时受迫振动的实际上，在驱动力开始作用时受迫振动的情况是相当复杂的，经过不太长的时间，情况是相当复杂的，经过不太长的时间，阻尼振动就衰减到可以忽略不计，即式阻尼振动就衰减到可以忽略不计，即式 9-9-1717 右方第一项趋于零，受迫振动达到稳定右方第一项趋于零，受迫振动达到稳定状态。这时，振动的周期即是驱动力的周状态。这时，振动的周期即是驱动力的周期，振动的振幅保持稳定不变。于是受迫期，振动的振幅保持稳定不变。于是受迫振动为谐振动。其振动表式为振动为谐振动。其振动表式为

2 20 0cosβtx A e ω β t φ

cosx A ωt φ （ ）

cos +x = A ωt φ（ ）

应该指出，稳态时的受迫振动的表式虽然和无阻应该指出，稳态时的受迫振动的表式虽然和无阻尼自由振动的表式相同，都是简谐振动，但其实尼自由振动的表式相同，都是简谐振动，但其实质已有所不同。首先，受迫振动的角频率不是振质已有所不同。首先，受迫振动的角频率不是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率；其次，子的固有角频率，而是驱动力的角频率；其次，受迫振动的振幅和初相位不是决定于振子的初始受迫振动的振幅和初相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。据理论计算可得动力的特征。据理论计算可得

（（ 9-189-18）） （（ 9-199-19））

0

2 2 2 2 20 4

FA

m ω ω β ω

（ ）

2 20

2βωtgφ

ω ω

9.3.2 9.3.2 共振共振 resonance resonance

由式（由式（ 9-189-18）可知，稳定状态下受迫振动的一个重要）可知，稳定状态下受迫振动的一个重要特点是：振幅特点是：振幅 AA 的大小与驱动力的角频率的大小与驱动力的角频率 ωω有很大的关系。有很大的关系。图图 9-179-17 是对应于不同是对应于不同 β β 值的值的 AA--ωω曲线。图中 曲线。图中 ωω00 是振动是振动系统的固有角频率。当驱动力的角频率系统的固有角频率。当驱动力的角频率 ωω 与振动系统的固与振动系统的固有角频率有角频率 ωω00 相差较大时，受迫振动的振幅相差较大时，受迫振动的振幅 AA 比较小，而比较小，而当当 ωω 与与 ωω00 相接近时，振幅相接近时，振幅 AA逐渐增大，在逐渐增大，在 ωω 为某一定值 为某一定值 时，振幅时，振幅 AA达到最大。我们把驱动力的角频率为某一定值达到最大。我们把驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振。共振时的时，受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振。共振时的角频率叫做共振角频率，以 表示。由式（角频率叫做共振角频率，以 表示。由式（ 9-189-18）求导数，）求导数，并令 ，即可得到共振角频率并令 ，即可得到共振角频率

（（ 9-209-20））0dA

dω

rω

2 20 2rω ω β

因此。系统的共振频率是由固有频率因此。系统的共振频率是由固有频率 ωω00 和和阻尼系数阻尼系数 β β 决定的，将式（决定的，将式（ 9-209-20 ）代入式）代入式（（ 9-189-18 ）可得共振时的振幅）可得共振时的振幅

（（ 9-219-21 ）） 由上式可知，阻尼系数越小，共振角频率由上式可知，阻尼系数越小，共振角频率越接近系统的固有角频率越接近系统的固有角频率 ωω00 ，同时共振的，同时共振的振幅也越大。若阻尼系数趋于零，则 趋近振幅也越大。若阻尼系数趋于零，则 趋近于于 ωω00 ，振幅将趋于无穷大。，振幅将趋于无穷大。

0

2 202

rFA

mβ ω β

rω

rω

本章小结：本章小结： 1. 1. 振动中最简单、最基本的振动是简谐振振动中最简单、最基本的振动是简谐振

动。描写振动物体位置的物理量动。描写振动物体位置的物理量 xx 满足微分满足微分方程 的振动为简谐振动。方程 的振动为简谐振动。

2. 2. 简谐振动的运动规律 简谐振动的运动规律

其中常数其中常数 AA 和和 φφ 分别为 分别为

22

2 0d x ω xdt

cos +x = A ωt φ（ ）

sindxv = = ωA ωt φdt

（ ）2

22

d xa ω Acos ωt φdt

－ （ ）

202

0 2

0

0

vA xω

vφ arctgωx

＝ ＋

－＝

3. 3. 简谐振动的周期 简谐振动的周期 4. 4. 简谐振动的旋转矢量表示法 一个简谐振动可简谐振动的旋转矢量表示法 一个简谐振动可

以借助于一个旋转矢量来表示。它们之间的对应以借助于一个旋转矢量来表示。它们之间的对应关系是：旋转矢量的长度关系是：旋转矢量的长度 AA 为投影点简谐振动的为投影点简谐振动的振幅；旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频振幅；旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频率；而旋转矢量在率；而旋转矢量在 tt 时刻与时刻与 OXOX 轴的夹角（ ）轴的夹角（ ）便是简谐振动运动方程中的相位；便是简谐振动运动方程中的相位； φφ 角是起始时角是起始时刻旋转矢量与刻旋转矢量与 OXOX 轴的夹角，就是初相位。利用轴的夹角，就是初相位。利用旋转矢量图，可以很容易地表示两个简谐振动的旋转矢量图，可以很容易地表示两个简谐振动的相位差。相位差。

2π mTk

5. 5. 简谐振动的能量 简谐振动的能量 物体作简谐振动时，其动能和势能都 物体作简谐振动时，其动能和势能都是随时间是随时间 tt 作周期性变化。位移最大时，势作周期性变化。位移最大时，势能达最大，动能为零；物体通过平衡位置能达最大，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达最大值。由于在运时，势能为零，动能达最大值。由于在运动过程中，弹簧振子不受外力和非保守内动过程中，弹簧振子不受外力和非保守内力的作用，故其总的机械能守恒力的作用，故其总的机械能守恒

212

E kA

6. 6. 简谐振动的合成简谐振动的合成 （（ 11 ） 同方向同频率的两个简谐振动的合成） 同方向同频率的两个简谐振动的合成 合振动仍是简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个振动相同。合振动仍是简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个振动相同。 AA. . 当两振动同相，即相位差（当两振动同相，即相位差（ φφ2 2 －－ φφ11 ）） = 2= 2kπ kπ 时，（时，（ kk = 0 = 0 ， ， ），）， AA = = AA1 + 1 + AA22

合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和。这是合振动可能达到的合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和。这是合振动可能达到的最大值。最大值。

BB. . 当两振动反相，即相位差（当两振动反相，即相位差（ φφ2 2 －－ φφ11 ）） == （（ 22kk + 1 + 1 ）） π π ，（，（ kk = = 00 ， ），， ），

AA = = 合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值。这是合振合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值。这是合振动可能达到的最小值。动可能达到的最小值。

CC. . 在一般情形下，相位差（在一般情形下，相位差（ φφ22 －－ φφ11 ）是其他任意值时，合振动的）是其他任意值时，合振动的振幅在 与振幅在 与

AA1 + 1 + AA22 之间。之间。

1 2 ， ，

1 2 ， ，

1 2A A

（（ 22） 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成） 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成 合振动的轨迹是一椭圆，椭圆的具体形状，由相合振动的轨迹是一椭圆，椭圆的具体形状，由相

位差位差 φφ22 －－ φφ11 来决定。来决定。 **7. 7. 阻尼振动 在回复力和阻力作用下的振动称阻尼振动 在回复力和阻力作用下的振动称

为阻尼振动。为阻尼振动。 **8. 8. 受迫振动 系统在周期性外力持续作用下所受迫振动 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动，叫受迫振动。发生的振动，叫受迫振动。

**9. 9. 共振 稳定状态下受迫振动的一个重要特共振 稳定状态下受迫振动的一个重要特点是：振幅点是：振幅 AA 的大小与驱动力的角频率的大小与驱动力的角频率 ωω有很大有很大的关系，驱动力的角频率为某一定值时，受迫振的关系，驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振。动的振幅达到极大的现象叫做共振。

习 题习 题 9-1 9-1 如本题图所示，在电场强度为如本题图所示，在电场强度为 EE 的匀强电场的匀强电场

中，放置一电偶极矩中，放置一电偶极矩 pp = =qqll 的电偶极子，的电偶极子， ++qq 、－、－qq 相距相距 ll ，且，且 ll 不变。若一外界扰动使这对电荷偏不变。若一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直于电场并通过于电场并通过 ll 的中点的中点 oo 的直线为转轴来回摆动。的直线为转轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量为周期。设电荷的质量为 mm ，重力忽略不计。，重力忽略不计。

9-2 9-2 设地球是一个半径为设地球是一个半径为 RR 的均匀球体，并沿直的均匀球体，并沿直径凿通一条隧道。若有一质量为径凿通一条隧道。若有一质量为 mm 的质点在此隧的质点在此隧道内可作无摩擦运动。道内可作无摩擦运动。

9-2 9-2 设地球是一个半径为设地球是一个半径为 RR 的均匀球体，并沿直的均匀球体，并沿直径凿通一条隧道。若有一质量为径凿通一条隧道。若有一质量为 mm 的质点在此隧的质点在此隧道内可作无摩擦运动。道内可作无摩擦运动。

（（ 11）证明此质点的运动是谐振动；（）证明此质点的运动是谐振动；（ 22）计算）计算其周期。地球密度其周期。地球密度 ρρ 取 取 9-3 9-3 一物一物体沿体沿 xx 轴作谐振动，振幅为轴作谐振动，振幅为 0.06 0.06 mm ，周期为，周期为 2 2 ss ，，当当 tt = 0 = 0 时位移为时位移为 0.03 0.03 mm ，且向，且向 xx 轴正方向运动，轴正方向运动，求求

（（ 11） 初相位；（） 初相位；（ 22） ） tt =0.5 =0.5 ss 时，物体的位移、时，物体的位移、速度和加速度；（速度和加速度；（ 33）从）从 xx = = －－ 0.03 0.03 mm 、且向、且向 xx轴负方向运动这一状态回到平衡位置所需的时间轴负方向运动这一状态回到平衡位置所需的时间

3 35.5 10 kg m

9-4 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 AA = 2.0×10-2 = 2.0×10-2mm ，，周期周期 TT = 0.50 = 0.50ss 。当。当 tt = 0 = 0 时，求以下各种情况的振动方程时，求以下各种情况的振动方程

（（ 11）物体在正方向的端点；（）物体在正方向的端点；（ 22）物体在负方向的端点；）物体在负方向的端点；（（ 33）物体在平衡位置，向负方向运动；（）物体在平衡位置，向负方向运动；（ 44）物体在平）物体在平衡位置，向正方向运动；（衡位置，向正方向运动；（ 55）物体在）物体在 xx =1.0×10-2 =1.0×10-2mm 处，处，向负方向运动；（向负方向运动；（ 66）物体在）物体在 xx = = －－ 1.0×10-21.0×10-2mm 处，向正处，向正方向运动方向运动

9-5 9-5 原长为原长为 0.500.50mm 的弹簧，上断固定，下断挂一质量为的弹簧，上断固定，下断挂一质量为0.100.10kgkg 的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为 0.600.60mm 。若。若将砝码向上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，则砝码作将砝码向上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，则砝码作上下振动。上下振动。

（（ 11）证明砝码的上下振动是简谐振动；（）证明砝码的上下振动是简谐振动；（ 22）求此谐振）求此谐振动的振幅、角频率和频率；（动的振幅、角频率和频率；（ 33）若从放手时开始计算时）若从放手时开始计算时间，求此谐振动的运动方程（正向向下）间，求此谐振动的运动方程（正向向下）

9-6 9-6 质量质量 mm = 0.01 = 0.01 kgkg 的质点沿的质点沿 xx 轴作谐振动，振轴作谐振动，振幅幅 AA = 0.24 = 0.24 mm ，周期，周期 TT = 4 = 4 ss ，， tt = 0 = 0 时质点在时质点在 xx0 = 0 = 0.12 0.12 mm 处，且向处，且向 xx负方向运动。求：负方向运动。求：

（（ 11 ）） tt = 1.0 = 1.0 ss 时质点的位置和所受的合外力；时质点的位置和所受的合外力；（（ 22）由）由 tt = 0 = 0 运动到运动到 xx = = －－ 0.12 0.12 mm 处所需的最短处所需的最短时间时间

9-7 9-7 当重力加速度当重力加速度 gg改变改变 dgdg 时，单摆的周期时，单摆的周期 TT 的的变化变化 dTdT 是多少？找出 之间的关系式。是多少？找出 之间的关系式。

一只摆钟（单摆），在一只摆钟（单摆），在 gg = 9.80 = 9.80mm··ss-2-2 处走时准确，处走时准确，移到另一地点，每天快移到另一地点，每天快 10 10 ss ，问该地点的重力加，问该地点的重力加速度为多少？速度为多少？

dgdTT g

与

9-8 9-8 有一个弹簧振子，振幅有一个弹簧振子，振幅 AA = 2×10-2 = 2×10-2 mm ，周期，周期 TT = 1 = 1 ss ，，初相 。初相 。

（（ 11）试写出它的振动方程；（）试写出它的振动方程；（ 22）利用旋转矢量图，作）利用旋转矢量图，作出出 xx--tt 图，图， vv--tt 图和图和 aa--tt 图图

9-9 9-9 两质点沿同一直线作同振幅、同频率的谐振动。在振两质点沿同一直线作同振幅、同频率的谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并作旋转矢量表示之。方向相反。求它们的相位差，并作旋转矢量表示之。

9-10 9-10 质量为质量为 0.10 0.10 kgkg 的物体，以振幅的物体，以振幅 1.0×10-2 1.0×10-2 mm 作谐振动，作谐振动，其最大加速度为其最大加速度为 4.0 4.0 mm··ss-2-2 ，求：，求：

（（ 11）振动的周期；（）振动的周期；（ 22）通过平衡位置时的动能；）通过平衡位置时的动能；（（ 33）总能量；（）总能量；（ 44）物体在何处其动能与势能相等？）物体在何处其动能与势能相等？

34πφ

9-11 9-11 一个一个 0.1 0.1 kgkg 的质点作谐振动，其运动方程为的质点作谐振动，其运动方程为 xx = 6×10-2 = 6×10-2sinsin （（ 55tt －－ π π /2/2 ）） mm 。求：。求：

（（ 11 ）振动的振幅和周期；（）振动的振幅和周期；（ 22 ）起始位移和起始位置时所受的力；）起始位移和起始位置时所受的力；（（ 33 ）） tt = =π sπ s 时刻质点的位移、速度和加速度；（时刻质点的位移、速度和加速度；（ 44 ）动能的最大值）动能的最大值

9-12 9-12 一质点同时参与两同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程一质点同时参与两同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程分别为分别为

xx1 = 6 1 = 6 coscos （（ 22tt ＋＋ π π /6/6 ） ） cmcm xx2 = 8 2 = 8 coscos （（ 2 2 tt －－ π π /3/3 ） ） cmcm 试用旋转矢量法求出合振动方程试用旋转矢量法求出合振动方程 9-13 9-13 有两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为有两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 0.2 0.2 mm ，合，合

振动的相位与第一个振动的相位之差为振动的相位与第一个振动的相位之差为 π π /6/6 ，若第一个振动的振幅为，若第一个振动的振幅为0.173 0.173 mm ，求：，求：

（（ 11 ）第二个振动的振幅；（）第二个振动的振幅；（ 22 ）第一、第二两振动的相位差）第一、第二两振动的相位差

9-14 9-14 试用最简单的方法求出下列两组简谐试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅振动合成后所得合振动的振幅

第一组： 第二第一组： 第二组： 组：

9-15 9-15 示波管的电子束受到两个互相垂直的示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用。若电子在两个方向上的位移电场的作用。若电子在两个方向上的位移分别为分别为 xx = = AcosωtAcosωt 和和 yy = = AcosAcos （（ ωtωt + +φφ ），），求在求在 φφ= 0= 0 ，， φφ=30°=30° ，， φφ=90°=90° 各情况下，电各情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程子在荧光屏上的轨迹方程

1 0.05cos 38πx t m （ ）（ ） 2

70.05cos 38πx t m （ ）（ ）

1 0.05cos 33πx t m （ ）（ ）

240.05cos 33πx t m （ ）（ ）