Funcioneselementales....Rectas Laparábola Lahipérbola Funcionesconradicales Lafunciónexponencial Lafunciónlogarítmica Funcionestrigonométricas Lafuncióninversa índicedecontenidosII

RectasLa parábolaLa hipérbola

Funciones con radicalesLa función exponencialLa función logarítmica

Funciones trigonométricasLa función inversa

Funciones elementales.

David Matellano

Departamento de matemáticas. IES Ángel Corella. (Colmenar Viejo)

2 de abril de 2017

Activar el modo de presentaciónDavid Matellano Funciones elementales.




índice de contenidos I1 Rectas

La función linealLa función afínLa función constante

2 La parábolaCaracterísticas de la parábola.Gráficas

Traslaciones del vértice

3 La hipérbolaLa función de proporcionalidad inversaTraslaciones de la hipérbola

4 Funciones con radicalesLa raíz de x

David Matellano Funciones elementales.




índice de contenidos IILa raíz enésima de x

5 La función exponencialCaracterísticas de la función exponencial.Gráficas

6 La función logarítmicaCaracterísticas de la función logarítmica.Gráficas

7 Funciones trigonométricasLa función senoCaracterísticas de la función seno.GráficasLa función coseno





índice de contenidos IIICaracterísticas de la función coseno.Gráficas

Comparativa seno-cosenoLas funciones sen(kx), cos(kx)

La función tan(x)Características de la función tangente.Gráficas

8 La función inversa






La función linealDefinición

La función lineal

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = mx, ∀m 6= 0






La función linealDefinición

La función linealEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = mx, ∀m 6= 0






CaracterísticasLa función lineal

La función lineal

1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que pasa por el origen.

4 El término m es la pendiente: m = ∆y∆x







La función lineal1 Dominio: x ∈ R

2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que pasa por el origen.








La función lineal1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R

3 Gráfica: Es una recta oblicua que pasa por el origen.








La función lineal1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que pasa por el origen.








La función lineal1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que pasa por el origen.







Gráficas de la función lineal

Veamos algunos ejemplos

f(x) = −2xf(x) = −xf(x) = x

f(x) = 2x

gráficas:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

m = −2







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2x

f(x) = −xf(x) = x

f(x) = 2x

gráficas:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

m = −2







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2xf(x) = −x

f(x) = x

f(x) = 2x

gráficas:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

m = −2m = −1







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2xf(x) = −xf(x) = x

f(x) = 2x

gráficas:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

m = −2m = −1m = 1







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2xf(x) = −xf(x) = x

f(x) = 2x

gráficas:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

m = −2m = −1m = 1m = 2






La función afínDefinición

La función afín

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = mx+ n, ∀m,n 6= 0






La función afínDefinición

La función afínEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = mx+ n, ∀m,n 6= 0






CaracterísticasLa función afín

La función afín

1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que NO pasa por el origen.


5 El término n es la ordenada en el origen: f(0) = n







La función afín1 Dominio: x ∈ R

2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que NO pasa por el origen.









La función afín1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R

3 Gráfica: Es una recta oblicua que NO pasa por el origen.









La función afín1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica: Es una recta oblicua que NO pasa por el origen.


























Gráficas de la función afín


f(x) = x− 2f(x) = x− 1f(x) = x+ 1f(x) = x+ 2Todas son paralelas a la rectay = x

gráficas de f(x) = x+ n:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2







Veamos algunos ejemplosf(x) = x− 2

f(x) = x− 1f(x) = x+ 1f(x) = x+ 2Todas son paralelas a la rectay = x


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2







Veamos algunos ejemplosf(x) = x− 2f(x) = x− 1

f(x) = x+ 1f(x) = x+ 2Todas son paralelas a la rectay = x


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1







Veamos algunos ejemplosf(x) = x− 2f(x) = x− 1f(x) = x+ 1

f(x) = x+ 2Todas son paralelas a la rectay = x


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 1







Veamos algunos ejemplosf(x) = x− 2f(x) = x− 1f(x) = x+ 1f(x) = x+ 2

Todas son paralelas a la rectay = x


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 1n = 2







Veamos algunos ejemplosf(x) = x− 2f(x) = x− 1f(x) = x+ 1f(x) = x+ 2Todas son paralelas a la rectay = x


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 0n = 1n = 2






La función constanteDefinición

La función constante

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = n, ∀n ∈ R






La función constanteDefinición

La función constanteEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = n, ∀n ∈ R






CaracterísticasLa función constante

La función constante

1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y = n

3 Gráfica: Es una recta horizontal que corta al eje y en el punto (0, n)4 El eje x tiene como ecuación f(x) = 0







La función constante1 Dominio: x ∈ R

2 Recorrido: y = n








La función constante1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y = n









3 Gráfica: Es una recta horizontal que corta al eje y en el punto (0, n)

4 El eje x tiene como ecuación f(x) = 0














Gráficas de la función constante


f(x) = −2f(x) = −1f(x) = 0f(x) = 1f(x) = 2Todas son rectas horizontales.

gráficas de f(x) = n:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2

f(x) = −1f(x) = 0f(x) = 1f(x) = 2Todas son rectas horizontales.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2f(x) = −1

f(x) = 0f(x) = 1f(x) = 2Todas son rectas horizontales.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2f(x) = −1f(x) = 0

f(x) = 1f(x) = 2Todas son rectas horizontales.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 0







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2f(x) = −1f(x) = 0f(x) = 1

f(x) = 2Todas son rectas horizontales.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 0n = 1







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2f(x) = −1f(x) = 0f(x) = 1f(x) = 2

Todas son rectas horizontales.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 0n = 1n = 2







Veamos algunos ejemplosf(x) = −2f(x) = −1f(x) = 0f(x) = 1f(x) = 2Todas son rectas horizontales.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

n = −2n = −1n = 0n = 1n = 2





Características de la parábola.Gráficas

La función cuadráticaDefinición

La función cuadrática

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = ax2 + bx+ c, ∀a 6= 0






La función cuadráticaDefinición

La función cuadráticaEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = ax2 + bx+ c, ∀a 6= 0






CaracterísticasLa función cuadratica

Concavidad-convexidad

1 Si a > 0⇒ f(x) es cóncava vista desde arriba.2 Si a < 0⇒ f(x) es convexa vista desde arriba.

Vértice

1 El vertice tiene como abscisa: xv = − b

2a2 Su ordenada es: yv = a · x2

v + b · xv + c

Si a > 0⇒ La parábola tiene un mínimo absoluto en el vértice.Si a < 0⇒ La parábola tiene un máximo absoluto en el vértice.







Concavidad-convexidad1 Si a > 0⇒ f(x) es cóncava vista desde arriba.

2 Si a < 0⇒ f(x) es convexa vista desde arriba.

Vértice



v + b · xv + c








Concavidad-convexidad1 Si a > 0⇒ f(x) es cóncava vista desde arriba.2 Si a < 0⇒ f(x) es convexa vista desde arriba.

Vértice



v + b · xv + c









Vértice


2a

2 Su ordenada es: yv = a · x2v + b · xv + c









Vértice



v + b · xv + c









Vértice



v + b · xv + c

Si a > 0⇒ La parábola tiene un mínimo absoluto en el vértice.

Si a < 0⇒ La parábola tiene un máximo absoluto en el vértice.








Vértice



v + b · xv + c







CaracterísticasLa función cuadrática.

La función cuadrática

1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido:

Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]

3 Gráfica: Es una parábola cuyo eje de simetría es la recta x = xv

4 El parámetro a da la forma de la parábola







La función cuadrática1 Dominio: x ∈ R

2 Recorrido:

Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]









La función cuadrática1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido:

Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]










Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)

Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]3 Gráfica: Es una parábola cuyo eje de simetría es la recta x = xv









Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]










Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]










Si a > 0⇒ y ∈ [yv,∞)Si a < 0⇒ y ∈ (−∞, yv]








Gráficas de la función cuadrática

Veamos algunos ejemplos si variamos a

f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2

Todas son cóncavas vistas desdearriba.

gráficas de f(x) = ax2, a > 0:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4








f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4








f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4a = 1/2








f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4a = 1/2a = 1








f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4a = 1/2a = 1a = 2








f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4a = 1/2a = 1a = 2a = 3








f(x) = 14x

2

f(x) = 12x

2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

f(x) = 3x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = 1/4a = 1/2a = 1a = 2a = 3








f(x) = −2x2

f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

Si a > 0⇒ Cóncavas desdearriba.Si a < 0⇒ Convexas desdearriba.

Concavidad-convexidad según a:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2







Veamos algunos ejemplos si variamos af(x) = −2x2

f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2








f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2a = −1








f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2a = −1a = 1








f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2a = −1a = 1a = 2








f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2

Si a > 0⇒ Cóncavas desdearriba.

Si a < 0⇒ Convexas desdearriba.


−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2a = −1a = 1a = 2








f(x) = −x2

f(x) = x2

f(x) = 2x2



−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

a = −2a = −1a = 1a = 2






Traslaciones de la gráfica de una parábolaCoordenadas del vértice

Traslaciones horizontales del vértice

1 La gráfica de f(x) = a(x− x0)2

es la gráfica de f(x) = ax2

desplazada x0 unidades a laderecha.

2 La gráfica de f(x) = a(x+ x0)2


desplazada x0 unidades a laizquierda.

3 Ejemplos:

f(x) = (x+ 2)2

f(x) = (x− 2)2

Traslación horizontal de y = x2

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2







Traslaciones horizontales del vértice1 La gráfica de f(x) = a(x− x0)2






3 Ejemplos:

f(x) = (x+ 2)2

f(x) = (x− 2)2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2













3 Ejemplos:

f(x) = (x+ 2)2

f(x) = (x− 2)2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2













3 Ejemplos:

f(x) = (x+ 2)2

f(x) = (x− 2)2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2













3 Ejemplos:f(x) = (x+ 2)2

f(x) = (x− 2)2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2

y = (x+ 2)2













3 Ejemplos:f(x) = (x+ 2)2

f(x) = (x− 2)2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2

y = (x+ 2)2

y = (x− 2)2







Traslaciones verticales del vértice

1 La gráfica de f(x) = ax2 + y0 esla gráfica de f(x) = ax2

desplazada y0 unidades haciaarriba.

2 La gráfica de f(x) = ax2 − y0 esla gráfica de f(x) = ax2

desplazada y0 unidades haciaabajo.

3 Ejemplos:

f(x) = x2 + 2f(x) = x2 − 2

Traslación vertical de y = x2

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2







Traslaciones verticales del vértice1 La gráfica de f(x) = ax2 + y0 es

la gráfica de f(x) = ax2




3 Ejemplos:

f(x) = x2 + 2f(x) = x2 − 2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2












3 Ejemplos:

f(x) = x2 + 2f(x) = x2 − 2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2












3 Ejemplos:

f(x) = x2 + 2f(x) = x2 − 2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2












3 Ejemplos:f(x) = x2 + 2

f(x) = x2 − 2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2

y = x2 + 2












3 Ejemplos:f(x) = x2 + 2f(x) = x2 − 2


−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

y = x2

y = x2 + 2y = x2 − 2







Traslaciones oblicuas del vértice

1 Podemos combinar ambosdesplazamientos:

2 La gráfica def(x) = a(x− x0)2 + y0 es lagráfica de f(x) = ax2 desplazadax0 unidades a la derecha e y0unidades hacia arriba.

3 Ejemplos:

Traslación de f(x) = x2 4unidades a la derecha y 3 haciaabajo: f(x) = (x− 4)2 − 3

Traslación oblicua de y = x2

−2 2 4 6 8

−2

2

4

6

x

y

y = x2







Traslaciones oblicuas del vértice1 Podemos combinar ambos

desplazamientos:

2 La gráfica def(x) = a(x− x0)2 + y0 es lagráfica de f(x) = ax2 desplazadax0 unidades a la derecha e y0unidades hacia arriba.

3 Ejemplos:



−2 2 4 6 8

−2

2

4

6

x

y

y = x2








desplazamientos:2 La gráfica def(x) = a(x− x0)2 + y0 es lagráfica de f(x) = ax2 desplazadax0 unidades a la derecha e y0unidades hacia arriba.

3 Ejemplos:



−2 2 4 6 8

−2

2

4

6

x

y

y = x2









3 Ejemplos:



−2 2 4 6 8

−2

2

4

6

x

y

y = x2









3 Ejemplos:Traslación de f(x) = x2 4unidades a la derecha y 3 haciaabajo: f(x) = (x− 4)2 − 3


−2 2 4 6 8

−2

2

4

6

x

y

y = x2









3 Ejemplos:Traslación de f(x) = x2 4unidades a la derecha y 3 haciaabajo: f(x) = (x− 4)2 − 3


−2 2 4 6 8

−2

2

4

6

x

y

y = x2

y = (x− 4)2 − 3





La función de proporcionalidad inversaTraslaciones de la hipérbola

La función de proporcionalidad inversaDefinición

Definición

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = K

x∀K 6= 0






La función de proporcionalidad inversaDefinición

Definición

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = K

x∀K 6= 0






CaracterísticasLa función de proporcionalidad inversa

La función de proporcionalidad inversa

1 Dominio: x 6= 02 Recorrido: y 6= 03 Gráfica: Es una hipérbola.

Si K > 0⇒ cuadrantes impares.Si K < 0⇒ cuadrantes pares.

4 Tiene como asíntotas los ejes de coordenadas.







La función de proporcionalidad inversa1 Dominio: x 6= 0

2 Recorrido: y 6= 03 Gráfica: Es una hipérbola.









La función de proporcionalidad inversa1 Dominio: x 6= 02 Recorrido: y 6= 0

3 Gráfica: Es una hipérbola.









La función de proporcionalidad inversa1 Dominio: x 6= 02 Recorrido: y 6= 03 Gráfica: Es una hipérbola.










Si K > 0⇒ cuadrantes impares.

Si K < 0⇒ cuadrantes pares.4 Tiene como asíntotas los ejes de coordenadas.
























Gráficas de la función de proporcionalidad inversa:


gráficas de f(x) = K

x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y







Veamos algunos ejemplosSi K > 0


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y








f(x) = 12x


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = 1/2








f(x) = 1x


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = 1/2k = 1








f(x) = 2x


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = 1/2k = 1k = 2







Veamos algunos ejemplosSi K < 0


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = 1/2k = 1k = 2








f(x) = − 12x


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = −1/2








f(x) = −1x


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = −1/2k = −1








f(x) = −2x


x:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

k = −1/2k = −1k = −2






Traslaciones de la hipérbola f(x) = K

xCaracterísticas

Definición

Sea P (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.Sea Q(x) un polinomio de grado igual a 1.Sean ambos polinomios primos entre sí.

La función f(x) = P (x)Q(x) es una hipérbola.







xCaracterísticas

DefiniciónSea P (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.

Sea Q(x) un polinomio de grado igual a 1.Sean ambos polinomios primos entre sí.








xCaracterísticas

DefiniciónSea P (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.Sea Q(x) un polinomio de grado igual a 1.

Sean ambos polinomios primos entre sí.








xCaracterísticas

DefiniciónSea P (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.Sea Q(x) un polinomio de grado igual a 1.Sean ambos polinomios primos entre sí.








xCaracterísticas

DefiniciónSea P (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.Sea Q(x) un polinomio de grado igual a 1.Sean ambos polinomios primos entre sí.








xCaracterísticas de f(x) = P (x)

Q(x)

Características

Sea x0 la raíz del polinomio Q(x).El dominio de f(x) es: x 6= x0

Sea L = lımx→∞

f(x)

El recorrido de f(x) es: y 6= L

La asíntota vertical es x = x0

La asíntota horizontal es y = L








Q(x)

CaracterísticasSea x0 la raíz del polinomio Q(x).

El dominio de f(x) es: x 6= x0

Sea L = lımx→∞

f(x)











Q(x)

CaracterísticasSea x0 la raíz del polinomio Q(x).El dominio de f(x) es: x 6= x0

Sea L = lımx→∞

f(x)











Q(x)


Sea L = lımx→∞

f(x)











Q(x)


Sea L = lımx→∞

f(x)











Q(x)


Sea L = lımx→∞

f(x)











Q(x)


Sea L = lımx→∞

f(x)











Q(x)

Método alternativo:

Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b

El dominio de f(x) es: x 6= a

El recorrido de f(x) es: y 6= b

La asíntota vertical es x = a

La asíntota horizontal es y = b

La gráfica es la de la hipérbola f(x) = K

xdesplazada a unidades a la derecha y b

unidades hacia arriba.








Q(x)


Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b















Q(x)


Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b















Q(x)


Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b















Q(x)


Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b















Q(x)


Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b















Q(x)


Sea P (x)Q(x) = K

x− a+ b







unidades hacia arriba.David Matellano Funciones elementales.





Ejemplo:Traslación de la hipérbola y = 1/x

Traslación de y = 1x

3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) = 1x− 3 + 2

Asíntotas

f(x) = 1x






Ejemplo:Traslación de la hipérbola y = 1/x

Traslación de y = 1x

3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) = 1x− 3 + 2

Asíntotas

f(x) = 1x





La raíz de xLa raíz enésima de x

Funciones con radicalesLa función raíz de x

f(x) =√x

Dominio: x ≥ 0Recorrido: y ≥ 0Es una función estrictamentecreciente.Es una semiparábola.

Gráfica:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) =√x







f(x) =√x

Dominio: x ≥ 0

Recorrido: y ≥ 0Es una función estrictamentecreciente.Es una semiparábola.

Gráfica:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) =√x







f(x) =√x

Dominio: x ≥ 0Recorrido: y ≥ 0

Es una función estrictamentecreciente.Es una semiparábola.

Gráfica:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) =√x







f(x) =√x

Dominio: x ≥ 0Recorrido: y ≥ 0Es una función estrictamentecreciente.

Es una semiparábola.

Gráfica:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) =√x







f(x) =√x

Dominio: x ≥ 0Recorrido: y ≥ 0Es una función estrictamentecreciente.Es una semiparábola.

Gráfica:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f(x) =√x






Funciones con radicalesLa función raíz enésima de x

f(x) = n√x

Dominio:{

Si n es par: x ≥ 0Si n es impar: x ∈ R

Recorrido:{


Es una función estrictamente creciente.Todas pasan por los puntos (0, 0) y (1, 1).Si n es impar, son funciones impares:f(x) = −f(−x)

Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{


Es una función estrictamente creciente.

Todas pasan por los puntos (0, 0) y (1, 1).Si n es impar, son funciones impares:f(x) = −f(−x)

Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{


Es una función estrictamente creciente.Todas pasan por los puntos (0, 0) y (1, 1).

Si n es impar, son funciones impares:f(x) = −f(−x)

Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y

f(x) =√x







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y

f(x) =√x

f(x) = 4√x







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y

f(x) =√x

f(x) = 3√xf(x) = 4√x







f(x) = n√x

Dominio:{


Recorrido:{



Gráfica:

−3 −2 −1 1 2 3

−2

2

x

y

f(x) =√x

f(x) = 3√xf(x) = 4√xf(x) = 5√x





Características de la función exponencial.Gráficas

La función exponencialDefinición

La función exponencial

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = ax ∀a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞)






La función exponencialDefinición

La función exponencialEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = ax ∀a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞)






CaracterísticasLa función exponencial.

La función exponencial

1 Dominio: x ∈ R; Recorrido: y ∈ (0,∞)2 Gráfica:

Si 0 < a < 1⇒ Es una función estrictamente decreciente.Si a > 1⇒ Es una función estrictamente creciente.

3 Todas cortan el eje y en el punto (0, 1)4 Límites:

Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞







La función exponencial1 Dominio: x ∈ R; Recorrido: y ∈ (0,∞)

2 Gráfica:



Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞







La función exponencial1 Dominio: x ∈ R; Recorrido: y ∈ (0,∞)2 Gráfica:



Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞








Si 0 < a < 1⇒ Es una función estrictamente decreciente.

Si a > 1⇒ Es una función estrictamente creciente.3 Todas cortan el eje y en el punto (0, 1)4 Límites:

Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞









3 Todas cortan el eje y en el punto (0, 1)

4 Límites:

Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→−∞

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = 0

Si a > 1⇒{

lımx→−∞

f(x) = 0lım

x→∞f(x) =∞






Gráficas de la función exponencial

Gráfica de la función exponencial

Si 0 < a < 1

f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x

gráficas de f(x) = ax:

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

y







Gráfica de la función exponencialSi 0 < a < 1

f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

y








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = (1/4)x








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = (1/4)x

f(x) = (1/3)x








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = (1/4)x

f(x) = (1/3)x

f(x) = (1/2)x








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

y








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = 2x








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = 2x

f(x) = 3x








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x








f(x) =(

14

)x

f(x) =(

13

)x

f(x) =(

12

)x

Si a > 1f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x


−6 −4 −2 2 4 6

20

40

60

x

y

f(x) = (1/4)x

f(x) = (1/3)x

f(x) = (1/2)x

f(x) = 2x

f(x) = 3x

f(x) = 4x





Características de la función logarítmica.Gráficas

La función logarítmicaDefinición

La función logarítmica

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = loga x, ∀a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞)






La función logarítmicaDefinición

La función logarítmicaEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = loga x, ∀a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞)






CaracterísticasLa función logarítmica.

La función logarítmica

1 Dominio: x ∈ (0,∞)2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica:


4 Todas cortan el eje x en el punto (1, 0)5 Límites:

Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞







La función logarítmica1 Dominio: x ∈ (0,∞)

2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica:



Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞







La función logarítmica1 Dominio: x ∈ (0,∞)2 Recorrido: y ∈ R

3 Gráfica:



Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞







La función logarítmica1 Dominio: x ∈ (0,∞)2 Recorrido: y ∈ R3 Gráfica:



Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞








Si 0 < a < 1⇒ Es una función estrictamente decreciente.

Si a > 1⇒ Es una función estrictamente creciente.4 Todas cortan el eje x en el punto (1, 0)5 Límites:

Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞









4 Todas cortan el eje x en el punto (1, 0)

5 Límites:

Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞










Si 0 < a < 1⇒{

lımx→0+

f(x) =∞lım

x→∞f(x) = −∞ ; Si a > 1⇒

{lım

x→0+f(x) = −∞

lımx→∞

f(x) =∞






Gráficas de la función logarítmica

Gráfica de la función logarítmica

Si 0 < a < 1

f(x) = log1/4 xf(x) = log1/2 x

Si a > 1

f(x) = log2 xf(x) = log4 x

gráficas de f(x) = loga x:

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

y







Gráfica de la función logarítmicaSi 0 < a < 1


Si a > 1



0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

y








f(x) = log1/4 x

f(x) = log1/2 x

Si a > 1



−6 −4 −2 2 4 6

−1

1

2

x

y

f(x) = log 14x









Si a > 1



−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

x

y

f(x) = log 14x

f(x) = log 12x









Si a > 1



0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

y









Si a > 1f(x) = log2 x

f(x) = log4 x


−6 −4 −2 2 4 6

−4

−2

2

x

y

f(x) = log2 x









Si a > 1f(x) = log2 xf(x) = log4 x


−6 −4 −2 2 4 6

−4

−2

2

x

y

f(x) = log2 x

f(x) = log4 x









Si a > 1f(x) = log2 xf(x) = log4 x


−6 −4 −2 2 4 6

−4

−2

2

4

x

y

f(x) = log 14x

f(x) = log 12x

f(x) = log2 x

f(x) = log4 x





La función senoCaracterísticas de la función seno.GráficasLa función cosenoCaracterísticas de la función coseno.GráficasLa función tan(x)Características de la función tangente.Gráficas

La función senoDefinición

La función seno

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = sen x






La función senoDefinición

La función senoEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = sen x






CaracterísticasLa función seno.

La función seno

1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]3 Límites:

@ lımx→−∞

sen x@ lım

x→∞sen x







La función seno1 Dominio: x ∈ R

2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]3 Límites:

@ lımx→−∞

sen x@ lım

x→∞sen x







La función seno1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]

3 Límites:

@ lımx→−∞

sen x@ lım

x→∞sen x







La función seno1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]3 Límites:

@ lımx→−∞

sen x@ lım

x→∞sen x








@ lımx→−∞

sen x

@ lımx→∞

sen x








@ lımx→−∞

sen x@ lım

x→∞sen x






Gráfica de la función seno

Gráfica de la función f(x) = sen x

Es una función periódica: T = 2πCorta el eje x infinitas veces:x0 = k · π, ∀k ∈ ZTiene infinitos máximos ymínimos relativos y absolutos:

xmax = π

2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = 3π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

gráfica de f(x) = sen x:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x







Gráfica de la función f(x) = sen xEs una función periódica: T = 2π

Corta el eje x infinitas veces:x0 = k · π, ∀k ∈ ZTiene infinitos máximos ymínimos relativos y absolutos:

xmax = π

2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = 3π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x







Gráfica de la función f(x) = sen xEs una función periódica: T = 2πCorta el eje x infinitas veces:x0 = k · π, ∀k ∈ Z

Tiene infinitos máximos ymínimos relativos y absolutos:

xmax = π

2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = 3π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x







Gráfica de la función f(x) = sen xEs una función periódica: T = 2πCorta el eje x infinitas veces:x0 = k · π, ∀k ∈ ZTiene infinitos máximos ymínimos relativos y absolutos:

xmax = π

2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = 3π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x








xmax = π

2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = 3π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x








xmax = π

2 + 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = 3π2 + 2kπ, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x






La función cosenoDefinición

La función coseno

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = cosx






La función cosenoDefinición

La función cosenoEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = cosx






CaracterísticasLa función coseno.

La función coseno

1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]3 Límites:

@ lımx→−∞

cosx@ lım

x→∞cosx







La función coseno1 Dominio: x ∈ R

2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]3 Límites:

@ lımx→−∞

cosx@ lım

x→∞cosx







La función coseno1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]

3 Límites:

@ lımx→−∞

cosx@ lım

x→∞cosx







La función coseno1 Dominio: x ∈ R2 Recorrido: y ∈ [−1, 1]3 Límites:

@ lımx→−∞

cosx@ lım

x→∞cosx








@ lımx→−∞

cosx

@ lımx→∞

cosx








@ lımx→−∞

cosx@ lım

x→∞cosx






Gráfica de la función coseno

Gráfica de la función f(x) = cosx

Es una función periódica: T = 2πCorta el eje x infinitas veces:x0 = (2k − 1) · π2 , ∀k ∈ Z


xmax = 2kπ, ∀k ∈ Z

xmin = (2k − 1)π, ∀k ∈ Z

gráfica de f(x) = cosx:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = cosx







Gráfica de la función f(x) = cosxEs una función periódica: T = 2π

Corta el eje x infinitas veces:x0 = (2k − 1) · π2 , ∀k ∈ Z



xmin = (2k − 1)π, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = cosx







Gráfica de la función f(x) = cosxEs una función periódica: T = 2πCorta el eje x infinitas veces:x0 = (2k − 1) · π2 , ∀k ∈ Z



xmin = (2k − 1)π, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = cosx










xmin = (2k − 1)π, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = cosx










xmin = (2k − 1)π, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = cosx










xmin = (2k − 1)π, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = cosx






Comparativa seno-cosenoGráficas de ambas funciones

A partir de sus gráficas deducimos:

1 Si sen(x) = ±1⇒ cos(x) = 02 Si cos(x) = ±1⇒ sen(x) = 03 Traslación de gráficas:

sen(x) = cos(x− π

2

)cos(x) = sen

(x+ π

2

)

gráficas de f(x) = cosx g(x) = sen(x):

−2π −π π 2π

−1

1

x

y

f(x) = sen xf(x) = cosx







A partir de sus gráficas deducimos:1 Si sen(x) = ±1⇒ cos(x) = 0

2 Si cos(x) = ±1⇒ sen(x) = 03 Traslación de gráficas:


2

)cos(x) = sen

(x+ π

2

)


−2π −π π 2π

−1

1

x

y








A partir de sus gráficas deducimos:1 Si sen(x) = ±1⇒ cos(x) = 02 Si cos(x) = ±1⇒ sen(x) = 0

3 Traslación de gráficas:


2

)cos(x) = sen

(x+ π

2

)


−2π −π π 2π

−1

1

x

y








A partir de sus gráficas deducimos:1 Si sen(x) = ±1⇒ cos(x) = 02 Si cos(x) = ±1⇒ sen(x) = 03 Traslación de gráficas:


2

)cos(x) = sen

(x+ π

2

)


−2π −π π 2π

−1

1

x

y










2

)

cos(x) = sen(x+ π

2

)


−2π −π π 2π

−1

1

x

y










2

)cos(x) = sen

(x+ π

2

)


−2π −π π 2π

−1

1

x

y







La función y = sen(kx) y = cos(kx)Variación del periodo

Variación del periodo según k

Sea la función f(x) = sen(k · x)

Su periodo será: T = 2πk

Ejemplos:

y = sen(x/2)y = sen(x)y = sen(2x)

Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y







Variación del periodo según kSea la función f(x) = sen(k · x)


Ejemplos:


Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y









Ejemplos:


Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y









Ejemplos:


Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y









Ejemplos:y = sen(x/2)

y = sen(x)y = sen(2x)

Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y

sen(x/2)









Ejemplos:y = sen(x/2)y = sen(x)

y = sen(2x)

Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y

sen(x/2)sen(x)









Ejemplos:y = sen(x/2)y = sen(x)y = sen(2x)

Gráficas:

−2π −π π 2π

−1

1

x

y

sen(x/2)sen(x)sen(2x)






La función tangenteDefinición

La función tangente

Es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = tan x






La función tangenteDefinición

La función tangenteEs aquella cuya expresión matemática es: f(x) = tan x






CaracterísticasLa función tangente.

La función tan(x)

1 Dominio: x 6= (2k − 1) · π2 , ∀k ∈ Z2 Recorrido: y ∈ (−∞,∞)3 Límites:

@ lımx→−∞

tan x@ lım

x→∞tan x







La función tan(x)

1 Dominio: x 6= (2k − 1) · π2 , ∀k ∈ Z

2 Recorrido: y ∈ (−∞,∞)3 Límites:

@ lımx→−∞

tan x@ lım

x→∞tan x







La función tan(x)

1 Dominio: x 6= (2k − 1) · π2 , ∀k ∈ Z2 Recorrido: y ∈ (−∞,∞)

3 Límites:

@ lımx→−∞

tan x@ lım

x→∞tan x







La función tan(x)


@ lımx→−∞

tan x@ lım

x→∞tan x







La función tan(x)


@ lımx→−∞

tan x

@ lımx→∞

tan x







La función tan(x)


@ lımx→−∞

tan x@ lım

x→∞tan x






Gráfica de la función tangente

Gráfica de la función f(x) = tan x

Es una función periódica: T = π

Corta el eje x infinitas veces:x0 = k · π, ∀k ∈ ZTiene infinitas asíntotas verticales:

lımx→(2k−1)·π2 −

tan(x) =∞, ∀k ∈ Z

lımx→(2k−1)·π2 +

tan(x) = −∞, ∀k ∈ Z

gráfica de f(x) = tan x:

−2π −π π 2π

-8

-4

4

8

x

y







Gráfica de la función f(x) = tan xEs una función periódica: T = π


lımx→(2k−1)·π2 −

tan(x) =∞, ∀k ∈ Z

lımx→(2k−1)·π2 +

tan(x) = −∞, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

-8

-4

4

8

x

y








Corta el eje x infinitas veces:x0 = k · π, ∀k ∈ Z

Tiene infinitas asíntotas verticales:

lımx→(2k−1)·π2 −

tan(x) =∞, ∀k ∈ Z

lımx→(2k−1)·π2 +

tan(x) = −∞, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

-8

-4

4

8

x

y









lımx→(2k−1)·π2 −

tan(x) =∞, ∀k ∈ Z

lımx→(2k−1)·π2 +

tan(x) = −∞, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

-8

-4

4

8

x

y









lımx→(2k−1)·π2 −

tan(x) =∞, ∀k ∈ Z

lımx→(2k−1)·π2 +

tan(x) = −∞, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

-8

-4

4

8

x

y









lımx→(2k−1)·π2 −

tan(x) =∞, ∀k ∈ Z

lımx→(2k−1)·π2 +

tan(x) = −∞, ∀k ∈ Z


−2π −π π 2π

-8

-4

4

8

x

y





La función inversaDefiniciones

La función inversa

Función inyectiva: f(x1) = f(x2)⇔ x1 = x2, ∀x1, x2 ∈ Dom f(x)∃f−1(x)⇔ f(x) es inyectiva:

f−1(f(x))

= f(f−1(x)

)= x

Dom(f) = Re(f−1)Re(f) = Dom(f−1)






La función inversaFunción inyectiva: f(x1) = f(x2)⇔ x1 = x2, ∀x1, x2 ∈ Dom f(x)

∃f−1(x)⇔ f(x) es inyectiva:

f−1(f(x))

= f(f−1(x)

)= x







La función inversaFunción inyectiva: f(x1) = f(x2)⇔ x1 = x2, ∀x1, x2 ∈ Dom f(x)∃f−1(x)⇔ f(x) es inyectiva:

f−1(f(x))

= f(f−1(x)

)= x








f−1(f(x))

= f(f−1(x)

)= x








f−1(f(x))

= f(f−1(x)

)= x

Dom(f) = Re(f−1)

Re(f) = Dom(f−1)







f−1(f(x))

= f(f−1(x)

)= x






Ejemplos:

Ejemplos

Gráficas:





Ejemplos:

Ejemplosf(x) = x2, x ≥ 0⇒ f−1(x) =√x

Gráficas:

−1 1 2 3 4 5 6

2

4

6

x

y

f(x) = x2

, x ≥ 0

f−1(x) =

√x

y = x





Ejemplos:

Ejemplos

f(x) = ex ⇒ f−1(x) = ln(x)

Gráficas:

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

f−1(x) = ln x

f(x) = ex

y = x





Ejemplos:

Ejemplos

f(x) = sen(x), x ∈[−π2 ,

π

2

]⇒

f−1(x) = arc sen(x)

Gráficas:

−π −π2π

2π

−1

1

x

y

f(x) = sen x

f−1(x) = arc sen(x)

y = x





Ejemplos:

Ejemplosf(x) = cos(x), x ∈ [0, π]⇒f−1(x) = arc cos(x)

Gráficas:

−π −π2−1 1 π

2π

−1

1

2

π

x

y

f(x) = cos x

f−1(x) = arc cos(x)

y = x





Ejemplos:

Ejemplos

f(x) = tan(x), x ∈[−π2 ,

π

2

]⇒

f−1(x) = arctan(x)

Gráficas:

−2π −π π 2π

−2π

−π

π

2π

x

y

f(x) = tan x

f−1(x) = arctan x

y = x


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