Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
الباب الرابع
القطوع المخروطية
المخالقطع روطConic Section
نيدائرينيهوالشكلالناتجعنتقاعمستوىمامعخمرط:القطعاملخرطكليهماأطأحدمها،حبيثالميراملست .وىابلرأسقائمنيمتقابلنيابلرأس،
يةالقطعاملكافئطالقطعالزائدطالقطعالناقصطالدائرةأمثلةللق .طوعاملخرط
يا؟هلالشكلاملظللابلرسمميثلقطع اخمرط
ندسالالمحل Locus
اليتحتققهوالشكلالذيينتجعنجمموعةالنقاط:احمللالندس.خاصيةهندسيةمعينة
ااثبت االدائرةهاحمللالندسجملموعةنقاطاملستوىاليتت بعدبوعد .عننقطةمعلومةتسمىاملركز
:صحأمخطأعالنقاطاليتاملستقيماملوازيملستقيممعلومهواحمللالندسجلمي
ااثبت اعناملستقيميفاملستوىنفسه .تبعدبوعد
كافئالقطعالموParabola
نبوعدكلمنهاعنهواحمللالندسجملموعةنقاطاملستوىاليتيكو:القطعاملكافئدائم البعدهاعنمستقيممعلوميسمى(البؤرة)نقطةاثبتة .الدليلمساطي
.طعاملكافئاملسارالذيتتحركفيهاملقذطفاتمثالعلىالق
.مكافئ احتتالصورةاليتيظهرفيهاقطع ا()ضععالمة
ةالب وؤرFocus
𝒄نالرأسمسافةهنقطةاثبتةتقععلىحمورالتماثلللقطع،طتبعدع:البؤرة.طتكونمساطيةلبعدالرأسعنمستقيماثبتيسمىالدليل
𝑭طةبؤرةالقطعاملكافئاملمثلبيانياهالنق 𝟔,𝟏𝟒.
:أكملالفراغاجملاطرإحداثيابؤرةالقطعاملكافئيفالتمثيل البياين
.............مها
لي لالدDirectrix
هعنأينقطةهومستقيمعموديعلىحمورالتماثلحبيثيكونبوعد:الدليللبوعدهذهالنقطةعنالبؤرة .تقععلىالقطعمساطي
𝒙اهمعادلةالدليلللقطعاملكافئاملمثلبياني = 𝟓.
.اخت راإلجابةالصحيحةاجملاطرهيفالتمثيلالبيمعادلةالدليلللقطعاملكافئ :اين
ሻ𝟏 𝒙 = 𝟔 ሻ𝟐 𝒚 = 𝟏𝟔
ماثولالتحمورAxis of Symmetry
.املارابلبؤرةهواملستقيمالعموديعلىالدليلط:حمورالتماثل
𝐲:اهمعادلةحمورالتماثلللقطعاملكافئاملمثلبياني = −𝟓
:أكملالفراغمثيلالبياين معادلةحمورالتماثلللقطعاملكافئيفالت
..........اجملاطره
الرأسVertex
.لتماثلهونقطةتقاعالقطعاملكافئمعحمورا:الرأس
:أكملالفراغاجملاطرإحداثيارأسالقطعاملكافئيفالتمثيلا لبياين
...........مها
𝑽رأسالقطعاملكافئاملمثلبيانياهو 𝟐, − 𝟓.
ؤريالب والوترLatus Rectum
ورالتماثل،طيقعهوالقطعةاملستقيمةاملارةابلبؤرةطالعموديةعلىحم:الوترالبؤريولالوترالبؤرييساطي.رفاالوترالبؤريعلىالقطعاملكافئ 𝟒𝒄ط
.املسافةبنيالبؤرةطالرأسcحيث
:انيايساطيولالوترالبؤريللقطعاملكافئاملمثلبي𝟒𝒄 = 𝟒 × 𝟐 = 𝟖
:أكملالفراغتمثيلالبياين ولالوترالبؤريللقطعاملكافئيفال
.........يساطياجملاطر
صناقالالقطعEllipse
جمموعبعديهاهواحمللالندسجملموعةنقاطاملستوىاليتيكون:القطعالناقص.𝟐𝒂يساطيمقدار ااثبت اطهو(البؤرتني)عننقطتنياثبتتني
.هالبعدبنيالرأسطاملركز𝒂حبيث
.قصالنجومطالكواكبتتحركيفمداراتعلىشكلقطعان
.اانقص احتتالصورةاليتيظهرفيهاقطع ()ضععالمة
نالب وؤراتFoci
:أكملالفراغثيلالبياين لقطعالناقصيفالتمإحداثياتالبؤرتنيل
.............اجملاطره
𝑭𝟏ط𝑭𝟏:يفالقطعالناقصاجملاطرالبؤراتنمهاكان 𝑷𝑭𝟏:منالرسمإذا + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟏𝟎
𝑴𝑭𝟏:فإن +𝑴𝑭𝟐 = 𝟏𝟎
طيكونجمموع𝟐𝒄مهانقطتانتقعانعلىاحملوراألكربطاملسافةبينهما:البؤراتن.ت ابوعديهماعنأينقطةعلىمنحىنالقطعالناقصيساطيمقدار ااثب
.هالبعدبنيإحدىالبؤرتنيطاملركز𝒄حبيث
كرباألالمحورMajor Axis
قيمةاليتحتويهوحمورمتاثلللقطعالناقصطهوالقطعةاملست:احملوراألكربوله .𝟐𝒂البؤرتنيطتقعهنايتاهاعلىمنحىنالقطعالناقص،ط
.البعدبنياملركزطأحدالرأسني𝒂حيث
:أكملالفراغمثيلالبياين معادلةاحملوراألكربللقطعالناقصيفالت
............اجملاطره
𝒚:معادلةاحملوراألكربللقطعالناقصاجملاطره = 𝟒.
رصالمحوراألMinor Axis
ةمعاحملوراألكرب،هوالقطعةاملستقيمةاليتمترابملركزطاملتعامد:احملوراألصروله .𝟐𝒃طتقعهنايتاهاعلىمنحىنالقطعالناقص،ط
.هالبعدبنياملركزطأحدالرأسنياملرافقني𝒃حبيث
𝒙معادلةاحملوراألصرللقطعالناقصاجملاطره = 𝟏.
:صحأمخطأمثيلالبياين معادلةاحملوراألصرللقطعالناقصيفالت
𝒚اجملاطره = 𝟑
زالمركCenter
.رهونقطةاملنتصفللمحوريناألكربطاألص:املركز
.𝟏,𝟒إحداثيامركزالقطعالناقصاجملاطرمها
:أكملالفراغالبياين إحداثيامركزالقطعالناقصيفالتمثيل
...............اجملاطرمها
انالرأسVertices
.كربمهانقطتاهناييتاحملوراأل:الرأسان
جملاطرإحداثياتالرأسنيللقطعالناقصا𝟒,𝟒−:ه , 𝟔,𝟒
:أكملالفراغتمثيلإحداثياتالرأسنيللقطعالناقصيفال
اجملاطره ...................البياين
انمورافقالرأسانالCo-Vertices
.وراألصرمهانقطتاهناييتاحمل:الرأساناملرافقان
صاجملاطرإحداثياتالرأسنياملرافقنيللقطعالناق𝟏,𝟖:ه , 𝟏,𝟎
:أكملالفراغالتمثيلإحداثياتالرأسنياملرافقنيللقطعالناقصيف
اجملاطر ......................هالبياين
ختالف ي المركزاالEccentricity
تقعهذه،طهومدىدائريةأطاتساعالقطعالناقص:االختالفاملركزي.1ط 0القيمةدائم ابني
:صحأمخطأكانتقيمة فإنالقطع1منتقرتباالختالفاملركزيللقطعالناقصإذا
.الناقصيقرتبمناخلطاملستقيم
زيإىلصفرصورخمتلفةلالختالفاملركزي،طعندماتصلقيمةاالختالفاملرك.يصبحالقطعالناقصدائرة
ائدالقطعالزHyperbola
وىطاليتيكونهواحمللالندسجلميعالنقاطالواقعةيفاملست:القطعالزائدتسميان)اثبتتنيبنيبوعديهاعننقطتني(القيمةاملطلقةللفرق)الفرقاملطلق
.𝟐𝒂يساطيمقدار ااثبت ا،هو(البؤرتني.البعدبنياملركزطأحدالرأسني𝒂حيث
.قطعزائدالظلعلىاجلدارالذييصنعهاملصباحميثل
.د احتتالصورةاليتيظهرفيهاقطع ازائ()ضععالمة
اتنالب وؤرFoci
بوعديهماعنأيمهانقطتانتقعانعلىاحملورالقاعطالفرقاملطلقبني:البؤراتن.نقطةمننقاطمنحىنالقطعالزائديساطيمقدار ااثبت ا
:اطرهإحداثياتالبؤرتنيللقطعالزائداجمل−𝟑, 𝟑 , −𝟑,−𝟕
:أكملالفراغتمثيلالبياين إحداثياتالبؤرتنيللقطعالزائديفال
....................اجملاطره
زالمركCenter
.لبؤرتنيهونقطةمنتصفاملسافةبنيا:املركز
,𝟑−إحداثيامركزالقطعالزائداجملاطرمها − 𝟐.
:أكملالفراغ𝟐−إحداثيامركزالقطعالزائدالذيبؤراته , − 𝟔 , −𝟐 ,𝟒
...................................مها
نالرأساVertices
نيالبؤرتنيمعمهانقطتاتقاعالقطعةاملستقيمةالواصلةب:الرأسان.كلمنفرعاملنحىن
:اطرهإحداثياتالرأسنيللقطعالزائداجمل−𝟑, 𝟐 , −𝟑,−𝟔
:أكملالفراغلالبياين إحداثياتالرأسنيللقطعالزائديفالتمثي
..........................اجملاطره
عالمحورال قاTransverse Axis
ةاملستقيمةهوأحدحموريمتاثلالقطعالزائدطهوالقطع:احملورالقاع.الواصلةبنيالرأسنيطميرابملركز
:معادلةاحملورالقاعللقطعالزائداجملاطره𝒙 = −𝟑.
:أكملالفراغيلالبياين معادلةاحملورالقاعللقطعالزائديفالتمث
...........اجملاطره
مورافقالمحورالConjugate Axis
عةاملستقيمةهوأحدحموريمتاثلالقطعالزائدطهوالقط:احملوراملرافق.العموديةعلىاحملورالقاعطميرابملركز
:معادلةاحملوراملرافقللقطعالزائده𝒚 = −𝟐.
:صحأمخطأتمثيلالبياين معادلةاحملوراملرافقللقطعالزائديفال
𝒙اجملاطره = −𝟐