העדפות והצבעות מבוסס על : Peter Tannenbaum, Excursions in Modern Mathematics

והצבעות העדפות

על :מבוססPeter Tannenbaum, Excursions in

Modern Mathematics

Voting Video

Preference Ballot

מדרג • מהבוחרים אחד כל שבו הצבעה תהליךהעדיפויות סדר לפי לבחירה המועמדים את

שלו

דוגמה• , הטלביזיה החלה השמונים שנות במחצית

פרפר " התוכנית כוכבי את לתגמל החינוכיתלמשכורת" כתחליף במניות נחמד

• , עד בחברה אחיזה הכוכבים צברו לאט לאטנציג למנות בכוונתם כי הודיעו אחד שיום

בדירקטוריון מטעמםלבחור • הוחלט פנימית בהתייעצות

באמצעות הנציג אתpreference ballot – בה הצבעה

המתמודדים את מדרגים המצביעיםההעדפה- סדר פי על

) המשך ) דוגמה

•: הבאות התוצאות התקבלו שקיימו בהצבעה

21 15 12 7 מצביעים מספר

שבי נולי אוזה בץ ראשונה עדיפות

בץ בץ נולי אוזה שניה עדיפות

נולי אוזה בץ נולי שלישית עדיפות

אוזה שבי שבי שבי רביעית עדיפות

ואלימינציה טרנזיטיביות

– מעדיף אם טרנזיטיביות הן המצביע העדפות- Aמועמד פני - Bואת Bעל פני אזי, Cעל- Aמעדיף פני Cעל

יצביע מועמד לאיזה לדעת נרצה אם כלומר , מדורג מי לבדוק פשוט ניתן מועמדים שני מבין

שלו בבחירה יותר גבוה מן פורש המועמדים שאחד במקרה גם

אינן, הבוחר של היחסיות ההעדפות המירוץמשתנות

- פי על Pluralityבחירה

• - ה קיבל pluralityבשיטת אשר המועמד זוכהבמיקום קולות של ביותר הרב המספר את

) ראשונה ) בעדיפות הראשוןהרוב )• קונספט של בהרחבה majorityמדובר

rule - זוכה( מועמדים שני בין בבחירה פיו עלהקולות ) רוב עם (:majorityהמועמד

–Majority Criterion – מסויימת בחירה אםמירב ) את במקום( majorityמקבלת ההצבעות

בבחירות הזוכה היא זו בחירה אזי בבחירות הראשון

- ה Majorityקריטריון

רוב מקבלת מסויימת בחירה ( majority)אםאזי זוכה לא אולם ראשון במקום הצבעות של

- ה מופר majorityקריטריון - ה שיטת קריטריון pluralityהאם את מקיימת

?majorityה- ( .רוב עם שלמועמד מכיוון של( majorityכן

מסוג רוב גם בהכרח יש ראשונה בעדיפות קולותplurality

- ה עיקרון של העיקרית הבעיה מה אזplurality?


•: הבאות התוצאות התקבלו שקיימו בהצבעה






- ה Condorcetקריטריון

בזוגות שבהשוואה בחירה קיימת אם(head-to-head )בחירה כל מנצחת

להיות צריכה זו בחירה אזי אחרתבבחירות המנצחת

השוואת בכל הזוכה head-to-headמועמדנקרא האחרים המועמדים כל מול

Condorcet candidate - ה - pluralityשיטת ה עיקרון את מקיימת לא

condorcet

marquis de Condorcet (17 September 1743 – 28 March 1794)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Marquis_de_condorcet_hd.jpg

- ה Borda Countשיטת

דירוג – • לכל נקודות הקצה - ranking)הרעיון ב( ballot

זוכה • ביותר הגבוה הנקודות מספר עם המועמדבבחירות

הטובה • הפשרה הוא שהזוכה מבטיחה השיטהביותר

עם • בחירות לנו יש , Nאם נקודה ניתן מועמדים , האחרונה הלפני 2להעדפה להעדפה נקודות

.' תקבל ראשונה עדיפות וכו נקודות Nהאחרונה

) המשך ) דוגמה21 15 12 7 מצביעים מספר


נקודות 4


נקודות 3


נקודות 2


נקודה 1

: הנקודות את נסכום

118( = 1)7( +1)12( + 1)15( + 4)21שבי160( = 4)7( + 2)12( + 3)15( + 3)21בץ

152( = 2)7( + 3)12( + 4)15( + 2)21נולי120( = 3)7( + 4)12( + 2)15( + 1)21אוזה

- ה (Borda Countשיטת המשך )

•? בשיטה הבעיה מה6 18 9 בוחרים מספר

דודלי חביתוש רגע ראשונה עדיפות

נקודות 4

פיסטוק רגע דודלי שניה עדיפות

נקודות 3

רגע דודלי פיסטוק שלישית עדיפותנקודות 2

חביתוש פיסטוק חביתוש רביעית עדיפות

אחת נקודה

87( = 1)9( + 1)6( + 4)18 חביתוש102( = 2)6( + 3)18( + 4)9רגע

- ה (Borda Countשיטת המשך )

•? בשיטה הבעיה מה• - ה את majority criterionמפרה• - ה... את condorcet criterionוגם

Runoff Voting

רוב • את לקבל המועמד נדרש מקרים בהרבה- majority)הקולות להיבחר( מנת על

• , הרבה הדבר מועמדים משני יותר יש כאשרלהוציא הוא לרוב והפיתרון קורה לא פעמים

/ / קולות פחות הכי ו שקיבל ים המועמד אתולקיים ראשונה runoff electionבעדיפות

תהליך • לרוב הוא בחירות תהליך שקיום מכיוון - ב, להשתמש ניתן preference ballotsיקר - ה- את לשפר מנת runoffעל

Instant Runoff Voting

גם • נקראת plurality-with-elimination methodהשיטהכל – • של הראשונה ההעדפה הצבעות את ספור ראשון שלב

רוב. ) יש למועמד אם עדיפות( majorityמועמד הצבעות של , . הכי עם המועמד את הוצא אחרת המנצח הוא אזי ראשונה

. ראשונה עדיפות הצבעות פחות• . הראשונה – העדיפות קולות את מחדש ספור שני שלב

רוב ) בעל מועמד וקיים עדיפות( majorityבמידה הצבעות של , . עם, המועמד את הוצא אחרת כמנצח עליו הכרז ראשונה

. ראשונה עדיפות הצבעות פחות הכי• - ' , מועמד שיימצא עד התהליך על חזור וכו ארבע שלוש שלב

רוב ) .majorityבעל ראשונה( עדיפות הצבעות של

דוגמה21 15 12 7 מצביעים מספר





לפחות – להשיג יש ראשון הצבעות 28סיבובלצורך מועמד עבור ראשונה .majorityעדיפות

, הצבעות של כזו כמות עם מועמד שאין מכיווןהמועמדים מרשימת בץ את נוריד


שבי נולי אוזה אוזה ראשונה עדיפות

נולי אוזה נולי נולי שניה עדיפות

אוזה שבי שבי שבי שלישית עדיפות

לפחות – להשיג יש שני עדיפות 28סיבוב הצבעותלצורך מועמד עבור מכיוון. majorityראשונה

, את נוריד הצבעות של כזו כמות עם מועמד שאיןהמועמדים מרשימת נולי


שבי אוזה אוזה אוזה ראשונה עדיפות

אוזה שבי שבי שבי שניה עדיפות

לאוזה – כעת שלישי עדיפות 34סיבוב של קולותבבחירות זוכה והיא ראשונה

Plurality-with-Elimination

•? בשיטה הבעיה מה

• - ה שיטת יש plurality with eliminationלפישל ברוב את 15צורך נוציא Rולכן

Number of voters 7 8 10 41st choice A R C A

2nd choice R C A C

3rd choice C A R R

Number of voters 7 8 10 41st choice A C C A

2nd choice C A A C

Plurality-with-Elimination• - ש נניח להצביע 4כעת שהתכוונו מהמצביעים

- Aל- ש מגלים ראשונה לנצח Cבעדיפות הולךהראשונה העדיפות הצבעת את משנים ולכן

- ל Cשלהם

• - ה שיטת יש plurality with eliminationלפישל ברוב את 15צורך נוציא Aולכן

Number of voters 7 8 10 41st choice A R C A

2nd choice R C A C

3rd choice C A R R

4C

A

R

Number of voters 7 8 10 41st choice R R C C

2nd choice C C R R

Plurality-with-Elimination

בבחירות • זכה Rכעת• - ה את סותר The Monotonicityהדבר

Criterion:הבחירה – מה Xאם וכל בבחירות לזכות צפויה

- ב הבוחרים ballotשמשתנה במספר גידול הואאזי Xשמעדיפים ראשונה צריך Xבעדיפות

המנצחת הבחירה להישאר

• - ה, עיקרון גם מתקיים Condorcetבנוסף לא) בץ) במקום נבחרה אוזה

Pairwise Comparisons

טורניר – • קיים כל round-robinהרעיון שבו - ב אחר מועמד כל מול מתמודד -oneמועמד

on-oneהתמודדות • תיקרא one-on-oneכל כזאת

pairwise comparisonשמועדף one-on-oneבהתמודדות • מי זוכה

בוחרים- יותר אצל השני פני עלניצחון • המועמד one-on-oneכל את מזכה

) נקודה ) בחצי מזכה תיקו בנקודה

Pairwise Comparisons21 15 12 7 מצביעים מספר





בץ – נגד בנקודה – 34מול 21שבי זוכה בץנולי – נגד בנקודה – 34מול 21שבי זוכה נולי

אוזה – נגד זוכה – 34מול 21שבי אוזהבנקודה

נולי – נגד בנקודה – 27מול 28בץ זוכה בץאוזה – נגד בנקודה – 12מול 43בץ זוכה בץ

אוזה – נגד בנקודה – 19מול 36נולי זוכה נולי

נקודות 3בץ – נקודות 0שבי – נקודות 2נולי –

אחת – נקודה אוזה

Pairwise Comparisons

•: מקיימת השיטה The Majority Criterion The Condorcet Criterion The Monotonicity Criterion

•? בשיטה הבעיה מה

דוגמהNumber of votes

4 12 8 2 2 8 8

1st Choice A B B C C D E

2nd Choice D A A B D A C

3rd Choice C C D A A E D

4th Choice B D E D B C B

5th Choice E E C E E B A

A versus B: 14 votes to 30 votes. B gets 1 point.A versus C: 32 votes to 12 votes. A gets 1 point.A versus D: 26 votes to 18 votes. A gets 1 point.A versus E: 36 votes to 8 votes. A gets 1 point.B versus C: 20 votes to 24 votes. C gets 1 point.B versus D: 22 votes to 22 votes. B and D get 1/2 point.B versus E: 28 votes to 16 votes. B gets 1 point.C versus D: 24 votes to 20 votes. C gets 1 point.C versus E: 20 votes to 24 votes. E gets 1 point.D versus E: 36 votes to 8 votes. D gets 1 point.

A - 3 pointsB - 2 1/2 pointsC - 2 pointsD - 1 1/2 pointsE - 1 point

. . .and A is the winner of the election


• - ש נניח מהמירוץ Cכעת לפרוש החליט : סיומו לקראת

Number of votes

4 12 8 2 2 8 8

1st Choice A B B B D D E

2nd Choice D A A A A A D

3rd Choice B D D D B E B

4th Choice E E E E E B AA versus B: 14 votes to 30 votes. B gets 1 point.A versus D: 26 votes to 18 votes. A gets 1 point.A versus E: 36 votes to 8 votes. A gets 1 point.B versus D: 22 votes to 22 votes. B and D get 1/2 point.B versus E: 28 votes to 16 votes. B gets 1 point.D versus E: 36 votes to 8 votes. D gets 1 point.

A - 2 pointsB - 2 1/2 pointsD - 1 1/2 pointsE - 0 points

The Independence-of-Irrelevant-Alternatives Criterion

בחירה • או ) Xאם ואחת בבחירות הזוכה היא - וה( נפסלת האחרות מהבחירות ballotיותר

, אזי מחדש המנצח Xנספר להיות צריך עדייןבבחירות

- Pairwise Comparisonsה- • ה את מקיים לאIndependence-of-Irrelevant-Alternatives

Criterion

עם Rankingsבחירות

של • כללי לדירוג גם חשיבות יש קרובות לעיתים , למפלגה ) בפריימריז למשל המועמדים

- ול הממשלה לראש מועמד יהיה 30הראשון) לכנסת להיבחר סיכוי יש בדירוג הבאים

אפשר • עכשיו עד שלמדנו השיטות כל את - ל גם rankingלהרחיב

Extended Plurality Method

ראש • לתפקידים מצביעים שאנחנו נניח: ' האוצר, ושר הממשלה ראש ס ממשלה






הצבעותמועמדמקוםמשרהממשלה 21שביראשוןראש

ממשלה' ראש 15נולישניסאוצר 12אוזהשלישישר

תפקיד 7בץרביעיללא

Extended Borda Count Method

נקודותמועמדמקוםמשרהממשלה 160בץראשוןראש


תפקיד 118שבירביעיללא

הצבעותמועמדמקוםמשרהממשלה 21שביראשוןראש


תפקיד 7בץרביעיללא

Extended Plurality-with- Elimination (Instant-Runoff)

• - בסיס על מועמדים מוצאים מתינדרג הםמהמירוץ

היא • מהמירוץ שנוציא הראשונה הבחירה' , וכו בדירוג בסיבוב מועמדמקוםמשרההאחרונה יצא

ממשלה ---אוזהראשוןראשממשלה' ראש שלישישבישניס

אוצר שנינולישלישישרתפקיד ראשוןבץרביעיללא

Extended Pairwise Comparison Method

•: - הנקודות מספר פי על יהיה הדירוגניקודמועמדמקוםמשרה

ממשלה 3בץראשוןראשממשלה' ראש 2נולישניס

אוצר 1אוזהשלישישרתפקיד 0שבירביעיללא

Recursive Ranking Methods

• - מ אחת בכל להשתמש השיטות 4ניתןבצורה- מועמדים לדרג מנת רקורסיביתעל

מסויימת – • בדרך משתמשים אנו אם הרעיון , נוכל המנצח קביעת לאחר המנצח לקביעת

המנצח את ולמצוא מההצבעה להוציאו ." " בהצבעה המנצח חדשה ה בהצבעה

. עד התהליך על נחזור שני ידורג החדשההמועמדים כל שדורגו

Recursive Plurality Method







בץ נולי אוזה בץ ראשונה עדיפות

נולי בץ נולי אוזה שניה עדיפות

אוזה אוזה בץ נולי שלישית עדיפות


נולי נולי אוזה אוזה ראשונה עדיפות

אוזה אוזה נולי נולי שניה עדיפות

Recursive Plurality-with-Elimination Method

כשהוצג – ) • שקיבלנו תוצאה אוזה ראשון מקוםPlurality-with-Elimination)

נולי - • שני מקום21 15 12 7 מצביעים מספר

שבי נולי נולי בץ ראשונה עדיפות

בץ בץ בץ נולי שניה עדיפות

נולי שבי שבי שבי שלישית עדיפות


שבי נולי נולי נולי ראשונה עדיפות

נולי שבי שבי שבי שניה עדיפות

Recursive Plurality-with-Elimination Method

בץ – • שלישי מקום21 15 12 7 מצביעים מספר

שבי בץ בץ בץ ראשונה עדיפות

בץ שבי שבי שבי שניה עדיפות

Weighted Voting Systems

שווים • הקולות שכל הנחנו כה one voter)עדone vote)

של • מצב מתקיים מקרים weightedבהרבהvoting( שווה משקל שונים למצביעים oneשבו

voter – x votes)נקראת • זה מסוג weighted votingמערכת

systemבהם • במצבים נתרכז הניתוח פשטות לשם

לבחירה מועמדים שני רק עומדים

Weighted Voting Systems

•: מ מורכבתהמצביעים – – קבוצת שחקנים

P1,…,PN

שחקן(( – weightsמשקלות – כל שבשליטת הקולות מספרw1,…,wN

–Quota (q) – לצורך הנדרשים קולות של המינימלי המספרהבחירה:

•: כ המערכת את לייצג ניתן [q : w1 , w2 , w3 , . . . , wN ]

2/11

N

ii

N

ii wqw

דוגמאות:1דוגמה • מניות - בעלי ארבעה מסויימת לחברה

[2/3 :8 ,4 ,2 ,1 ]

:2דוגמה • מניות - בעלי ארבעה מסויימת לחברה [1/2 :6x , 2x , x , x ]

" P1שחקן, 2בדוגמה • שהוא " משום דיקטטור יכונהשירצה החלטה כל להעביר יכול

• , לפחות לו שיש שחקן פורמאלי ממשקל qבאופן" דיקטטור " יכונה הקולות

ללא • השחקנים יתר כל את הופך הדיקטטור קיום(dummyרלוונטיים )

Veto Power

שחקן 1מדוגמה • תמיכת שללא לראות P1ניתןהחלטה להעביר ניתן לא

•P1 עוד שלפחות שיצטרך משום דיקטטור איננושיבחר בהחלטה מלבדו אחד שחקן

• , כל לחסום יכול אולם דיקטטור שאיננו לשחקןהוטו, ) כוח את יש (veto powerהצבעה

לכוח הקולות כמות בין הקשר

• - מ הנבחרים בית מורכב מסויימת 100במדינה . שווה הצבעה זכות בעלי נבחרים

• - של רוב פי על מתקבלתות 51החלטות•55 ,' א למפלגה שייכים 45מהנבחרים

' ב למפלגה• - ש נניח ' 6כעת מחליטים א ממפלגה נבחרים

:' , ג מפלגה חדשה מפלגה ולהקים לערוק [51 : 49 ,45 ,6]

• , ' - ' קולות יותר יש ב ו א שלמפלגות למרות... ' הכוח אותו את לפחות יש ג שלמפלגה נראה

- להעביר מנת על לחבור יכולים שחקנים אלוהחלטה?

[ 51 : 49, 45, 6 ]

• P1 and P2 (This group controls 94 votes).



• P1 , P2 and P3 (This group controls all of the votes).

טרמינולוגיה

לצורך – • כוחות המאחדים שחקנים קבוצת קואליציההצבעה

הקואליציה • מספר( weight of the coalition)משקל - הקואליציה ידי על הנשלט הכולל הקולות

•winning coalitions – להעביר המסוגלות הקואליציותהחלטה

•Losing coalitions – להעביר מסוגלות שאינן הקואליציותהחלטה

•grand coalition – השחקנים מכל המורכבת קואליציה•critical player - ה – שבלעדיו winning coalitionשחקן

להיות losing coalitionהופכת

דוגמה

Coalition Weight Win/Lose Critical Players

1 {P1} 49 Lose N/A

2 {P2} 45 Lose N/A

3 {P3} 6 Lose N/A

4 {P1 ,P2} 94 Win P1 ,P2

5 {P1 ,P3} 55 Win P1 ,P3

6 {P2 ,P3} 51 Win P2 ,P3

7 {P1 ,P2 ,P3} 100 Win None

[ 51 : 49, 45, 6 ]

הוא שחקן כל שלנו קואליציות critical-playerבמקרה בשתימתוך ) (, )6מנצחות " הכוח ולכן כ הוא( powerבסה שחקן כל של

1/3

The Banzhaf Power Index

• - : ה המרכזי פרופורציונאלי powerהרעיון שחקן שלקריטי הוא בהן הקואליציות למספר

חישוב:•האפשריות – הקואליציות כל רשימת את צורהן – קואליציות אלו winning coalitionsקבעלכל – קריטיים שחקנים הם שחקנים אלו winning coalitionקבעשחקן = Bחשב – שבהן הקואליציות קריטי Pמספר הואהיה = Tחשב – כלשהו שחקן שבהם הכולל הפעמים מספר

קריטי שחקןשל Banzhaf Power Indexה- – כחלוקה - Bמתקבל .Tב

• - ה נקראת powerרשימת השונים השחקנים שלBanzhaf power distribution

דוגמה

[10 : 6 ,5 ,4] 1 {P1}

2 {P2}

3 {P3}

4 {P1 ,P2}

5 {P1 ,P3}

6 {P2 ,P3}

7 {P1 ,P2 ,P3}

Winning Coalitions

Critical Players

{P1 ,P2} P1 ,P2

{P1 ,P3} P1 ,P3

{P1 ,P2 ,P3

}P1

The Banzhaf Power Index for each player is:

P1 : 3/5 P2 : 1/5 P3 : 1/5

Shapley-Shubik Power Index

הכוח • בשיטת( power)חישוב קואליציה שלBanzhaf Index השחקנים בו בסדר מתחשב לא

מצביעים- }P1 ,P2}כלומר, – קואליציה{ P2 ,P1ו{ אותן הן

מדד הוא Shapley-Shubik Power Indexה- • - ל שמתאים קואליציות ) sequential coalitionsכוח

) לקואליציה השחקנים מצטרפים שבו הסדר שבהןשחקנים, – שלושה לנו יש כאשר הרי P1 ,P2 ,P3לדוגמה

לנו אפשריות sequential coalitions 6שיש– , עבור כללי יש Nובאופן N! sequentialשחקנים

coalitions


כל • - winning sequential coalition עבור ה את נגדירpivotal player ,את הפך שבהצטרפותו שחקן

מנצחת לקואליציה מפסידה מקואליציה הקואליציה• - ה - pivotal playerבאמצעות ה -Shapleyיחושב

Shubik Power Index

[ 4, 5, 6: 10דוגמה: ]• Sequential Coalition Pivotal Player

P1 , P2, P3 P2

P1 , P3, P2 P3

P2 , P1, P3 P1

P2 , P1, P3 P1

P3 , P1, P2 P1

P3 , P2, P1 P1

Shapley-Shubik

Power P1 : 4/6P2 : 1/6P3 : 1/6


שחקן • עבור האינדקס :Pחישוב–- ה כל של רשימה sequential coalitionsצור

שחקנים Nהמכילים - sequential coalitionלכל – ה את pivotalקבע

player– - ב ששחקן Sנסמן הפעמים מספר - Pאת ה הוא

pivotalלשחקן – : Pהאינדקס כ S/(N!)יחושב

• - ה נקרא Shapley-Shubik Power IndicesסטShapley-Shubik power distribution

Fair-Division

מסוג • מהאלמנטים fair-divisionמשחק מורכבהבאים:

לחלוקה – – המשאבים :Sקבוצת• ( ) זכויות ) למשל מוחשי לא או פיצה מוחשי אובייקט

) שידור/ קידוח•) בית ) שיעורי למשל שלילי או חיובי ערך בעלי

שחקנים – P1 , P2, P3 , . . . , , PNקבוצת

את • לחלק המטלה מוטלת Sעליהם

שחקן – לכל משאב כל ערך

של • חלוקה עם יסתיים פרק Sהמשחק לאחרצעדים של סופי זמן

Fair-Division

•: השחקנים התנהגות על הנחותשל – השווי את להעריך מסוגל שחקן חלק Sכל וכל

) שלו) אפשרי נתחלהשתתף – – מסכימים השחקנים פעולה שיתוף

, שחקנים אין המשחק חוקי את ומקבלים במשחק) ממשלה ) או שופט למשל חיצוניים

לחלוטין – – רציונליים השחקנים רציונאליות– " לגבי – " פנימי מידע שום אין לשחקנים פרטיות

, המשחק, ומהלכי שווי הערכות העדפות התנהגותהאחרים השחקנים של הבאים

של • החלוקה על בהחלטה שווה זכות Sלשחקנים

Fair-Division

• : חלוקה שיטת למצוא האולטימטיבית המטרה(fair)הוגנת

• " ההנחות " תחת אם הוגנת תיקרא חלוקה שיטתלקבל הזדמנות תהיה שחקן לכל כי מובטח לעיל

הוגן ) Sשל( fair shareנתח, N בהינתן : fair shareהגדרת• נתח sשחקנים

כהוגן )Sמתוך שוויו Pלשחקן( fairיחשב אםלפחות הוא של N/1לשחקן הכולל - Sמהשווי Pל

מערך – קטן הבדידים הנתחים ערך סכום כאשר בעייתיכולה העוגה

Fair-Division Games

של • סוגים שלושה fair-divisionישנםgames:

הסט – – דרכים Sרציפים באינסוף חלוקה בר הוא) , , פיצה) עוגה אדמה

הסט – – ניתנים Sבדידים שאינם מאוביקטים מורכב) , , למופעים ) כרטיסים תכשיטים ממתקים לחלוקה

– - ב – מהאוביקטים חלק , Sמעורבים רציפים הם) ירושה ) בדידים אחרים בעוד

דוגמה•. עוגה ביניהם לחלק צריכים שחקנים שלושה• - ל מחולקת שהעוגה : 3נניח s1, s2, s3חלקים

העוגה ) • ושל מהחלקים אחד כל של הערךבטבלה( נתון מהשחקנים אחד לכל כולה

הוא • החלקים מכל כל fair shareאיזה עבור? מהשחקנים אחד

העוגה כולה

s1 s2 s3

1שחקן $12.00

$3.00 $5.00 $4.00

2שחקן $15.00

$4.00 $4.50 $6.50

3שחקן $13.50

$4.50 $4.50 $4.50

The Divider-Chooser Method

"הרעיון:• אבחר " ואני תחתוך אתה• , יקבל השחקנים אחד שחקנים שני בהינתן

של של dividerתפקיד תפקיד chooserוהאחרהסט dividerה- • את חלקים Sיחלק לשניכרצונו chooserה- • החלקים אחד יבחר

שחקן • שכל מבטיח רציפים משחקים עבורלפחות fair shareיקבל

דוגמהוחצי ) • פטריות תוספת עם חצי בפיצה זכו ואליס בוב

בצל(ומעריך • מידה באותה התוספות סוגי שני את אוהב בוב

- ב כולה הפיצה דולר 8אתהמכוסה • החלק כל ומבחינתה בצל סובלת לא אליס

- . ב כולה הפיצה את מעריכה היא אפס שווה 5בצלדולר

) המשך ) דוגמה• - ה להיות נבחר שבוב :dividerנניח

– , לו יבטיחו גודל באותו חלקים שני כל בוב ערך, fair shareמבחינת קרידולר 4של

– - - ו בבצל מכוסה החלקים מאחד ¾ ש כך הפיצה את חילק שבוב נניחבבצל מכוסה האחר מהחלק ¼

– , , עבורה והערך פטריות יותר בו שיש החלק את תבחר אליס זה במקרה(3.75הוא עבורה ) כולה הפיצה מערך מחצי יותר

השיגו – הצדדים fair shareשני

) המשך ) דוגמהבצל • כולו היה אחד שחצי כך מחלק היה בוב אם

,) ובוב) יותר מרויחה היתה אליס פטריות כולו והשניכלל נפגע היה לא

• - ל רלבנטי לא להבטיח ) fair shareזה מנסים לארק אלא אופטימלית (fairnessחלוקה

• - ה להיות נבחרת היתה אליס אם קורה היה מהdivider?

את ) – לא אבל אפשריות חלוקות הרבה מבין אחת חלוקה בוחרת היתה )! לה שמבטיחות ביצע שבוב fair shareהחלוקה

לאליס – שמבטיחה בדיוק fair shareחלוקה מכיל חלק שכל כזאת היאכולה בפיצה הפטריות מתוספת חצי

– - - , ש – פיצה ¾ ו בפטריות כולו המכוסה פיצה רבע אפשרית חלוקהבפטריות 1/3 מכוסה ממנו

הוא – שלו מהחלק בוב של הערך כזה הוא 6במקרה לאליס .2.5והערך

) המשך ) דוגמה• - שה מהדוגמה לראות בדיוק dividerניתן מקבל תמיד

- ה - fair shareאת - chooserוה מ יותר fareמקבלshare

• - להיות, מנת על לבחור fairכלומר יש האפשר ככל - ה את רנדומלי (dividerבאופן , מטבע ) הטלת למשל

The Lone-Divider Methodשל • כהרחבה - divider chooserהוצע 1943ב

י" " Steinhausע י, ע הורחב - Kuhnובהמשך Nל שחקנים

הרעיון:•– - ה להיות אקראי באופן ייבחר השחקנים אחד

divider ( יסומןD )יהיו האחרים השחקנים ושניchoosers( C1 - (C2ו

The Lone-Divider Method:1שלב •

- dividerה- – ל העוגה את : 3מחלק ,s1, s2)חלקים and s3 .)

:2שלב •– - ה משלוש choosersשני איזה במקביל מכריזים

הוא יותר ) fair shareהחלקים להיות יכול עבורםלכל אחד (chooserמחלק

– - , כ מסווג חלק כל ההכרזה C-pieceבעקבות - לפחות) ידי על - chooserהוכרז ) ו U-pieceאחד

- - מה) אחד אף ידי על הוכרז (choosersלא

The Lone-Divider Method:3שלב •

–:' א אפשרותיותר • או שתיים יש מהן, C-piecesכאשר שתיים נותנים

( chooserל- והחלק ) ביניהם להחלפה אפשות עם - ל dividerהנותר

fair divisionמבטיח •

–:' ב אפשרותיש • יש C-pieceכאשר בלבד אחת

שני שאז משום בעיה לנו - באותו choosersה רואים

- ה את fair shareחלק

The Lone-Divider Method–:) ( ' המשך ב אפשרות

• - ל ניתן כל קודם כזה dividerבמקרהנבחרו שלא החלקים אחד את

שנשארו • החלקים שני את נחבר כעתאחד – חלק Bונקבל

- Bאת • ה בשיטת divider-chooserנחלק•? הוגנת חלוקה מבטיח האם- fair shareקיבל Dכן. • ה שהיה זה מעצם

divider .חילקו האחרים השחקנים שניהחלק את יותר Bביניהם כולו שווה היה שמבחינתם

- . ל שביצעו החלוקה מהעוגה שליש fairהיתה Bמשניdivision

ה, בשיטת עוגה ביניהם מחלקים ושר סינדי -דיילlone-divider. - להחליט מנת על קוביה מטילים הם

ה יהיה דייל divider -מי זה יהיה כי ונקבע

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 1)

Step 1 (Division)

- ל העוגה את מחלק s1, s2, s3חלקים 3דייל

אחד כל בעיני חלק כל של הערך את לייצג ניתןטבלה באמצעות מהשחקנים

Step 2 (Bidding)

ה טבעי יהיה bid -באופן שר ושל סינדי {s1, s3} של


Step 3 (Distribution)

s3 -ו s1 הם c-pieces -ה

חלקים של האפשריות ההקצאות משתי אחת כללגיטימית היא שתיהן בין אלו

את יקבל s2 דייל


Step 2 (Bidding)

ה יהיה bid -הפעם סינדי שר s2 של s1 ושל


ערך הפעםהחלקים

דייל שחילקשונה


רק – קיימת לחלוקה ביותר הפשוט המצב זהוישימה אחת חלוקה


Step 2 (Bidding)

ה יהיה bid -הפעם ושר סינדי s3 של


ערך, שובהחלקים

דייל שחילקשונה


. ל ניתן מסובכת יותר החלוקה את divider -הפעםנבחרו שלא החלקים .(s1 למשל) אחד

החלקים שני את ליצור- s3-ו s2 נאחד מנת -Bעלpiece ה שיטת באמצעות ושר סינדי בין -שתחולקdivider-chooser , עוגה חלק תקבל סינדי האחרון השלב לאחר

לפחות עבורה כולה 40%ששווה מהעוגה משום ) לה B-piece -שה 80%שווה לפחות ( תקבל ושר45% ( שה לה B-piece -משום 90%שווה )


- ל שחקנים Nהרחבה

שינוי – • ללא הראשונים השלבים שני- 1שלב • - dividerה – ל ,s1, s2חלקים Nמחלק

s3, ..., sN לעצמו fair shareומבטיחהם chooserכל – 2שלב • חלקים אלו fairמכריז

share עבורו:3שלב •

– - – ' ה הכרזות לפי ניתן אם א לחלק chooserאפשרותאחד עם, ) fair shareלכל כזאת חלוקה מתבצעת

- ) וה בסוף החלפה אחרון dividerאפשרות מקבל


:3שלב •– – ' לנו יש ב מסוג kאפשרות chooserשחקנים

- מ פחות של קבוצה באותה כולם חלקים kשבחרוהקבוצה • משאר יופרדו אלו שחקנים• - ה את יקבלו השחקנים שלהם fair shareיתרמחדש • יחל והתהליך יאוחדו שנשארו החלקים

We have one divider, Demi, and three choosers, Chan, Chloe, and Chris.

Lone Divider with 4 Players (Case 1)

Step 1 (Division)


The bid lists are opened. It is clear that for starters Chloe must get s3 – there is no other option. This forces the rest of the distribution: s1 must then go to Chan, and s4 goes to Chris. Finally, we give the last remaining piece, s2, to Demi.


Step 2 (Bidding)

Chan’s bid list is {s1, s3}; Chloe’s bid list is {s3} only; Chris’s bid list is {s1, s4}.

Once again, we will let Demi be the divider and Chan, Chloe, and Chris be the three choosers (same players, different game).


Step 1 (Division)


The bid lists are opened, and the players can see that there is a standoff brewing on the horizon–Chan and Chris are both bidding for s4. The first step is to set aside and assign Chloe and Demi a fair share from s1, s2, and s3. Chloe could be given either s2 or s3. (She would rather have s2,of course, but it’s not for her to decide.)


Step 2 (Bidding)

Chan’s bid list is {s4}; Chloe’s bid list is {s2, s3} only; Chris’s bid list is {s4}.


A coin toss is used to determine which one. Let’s say Chloe ends up with s3 (bad luck!). Demi could be now given either s1 or s2. Another coin toss, and Demi ends up with s1. The final move is ... you guessed it!– recombine s2 and s4 into a single piece to be divided between Chan and Chris using the divider-chooser method.



Since (s2 + s4) is worth 60% to Chan and 58% to Chris (you can check it out in Table 3-5), regardless of how this final division plays out they are both guaranteed a final share worth more than 25% of the cake.

Mission accomplished! We have produced a fair division of the cake.


The Lone-Chooser Method

• - ידי על שהוצעה חלוקה בשנת A.M.Finkשיטת1964

• , תפקיד את משחק השחקנים אחד זו בשיטההאחרים chooser (C)ה- השחקנים שני בעוד

- ה את - dividers( D1משחקים (D2ו אקראית • בצורה נבחרים התפקידים


:1שלב •–D1 and D2 את באמצעות Sמחלקים חלקים לשני

divider-chooser ביניהם– - ב שמקבל s1נסמן החלק דבר D1את של בסופו

של s2וב- החלק D2את


:2שלב •: dividerכל – חלקים לשלושה שלו החלק את מחלק

•D1 את : s1מחלק s1a, s1b, and s1cלחלקים

•D2 את : s2מחלק s2a, s2b, and s2cלחלקים


:3שלב •של chooserה- – מהחלקים אחד בוחר ואחד D1כעת

של D2מהחלקים

– - מה אחד החלקים dividersכל את בידו משאירנבחרו שלא


זה • ?Sשל fair shareמדוע–D1 עם מסיים דבר של .s1של 2/3בסופושעבור – של D1, s1מכיוון הכולל מהסך חצי לפחות שווה

S - ש, - 2/3הרי הכולל s1מ מהסך שליש לפחות הוא

לגבי" – ל D2כנ

– - ה מעריך, chooserלגבי שהוא משהו קיבל הוא כי ידוע- 1/3כלפחות - s1מ מ שליש s2ולפחות

שסכום )– - s1 + s2מכיוון ל( לפחות, Sשווה שקיבל הרי1/3 - Sמ

David, Dinah, and Cher are dividing an orange-pineapple cake using the lone-chooser method. The cake is valued by each of them at $27, so each of them expects to end up with a share worth at least $9. Their individual value systems (not known to one another, but available to us as outside observers) are as follows:

Lone Chooser with 3 Players

■ David likes pineapple and orange the same.■ Dinah likes orange but hates pineapple.■ Cher likes pineapple twice as much as she likes

orange.


After a random selection, Cher gets to be the chooser and thus gets to sit out Steps 1 & 2.


Step 1 (Division)David and Dinah start by dividing the cake between themselves using the divider-chooser method. After a coin flip, David cuts the cake into two pieces.

Step 1 (Division) continued

Since Dinah doesn’t like pineapple, she will take the share with the most orange.


Step 2 (Subdivision)David divides his share into three subshares that in his opinion are of equal value (all the same size).

Step 2 (Subdivision) continued

Dinah also divides her share into three smaller subshares that in her opinion are of equal value. (Remember that Dinah hates pineapple. Thus, she has made her cuts in such a way as to have one-third of the orange in each of the subshares.)


Step 3 (Selection)It’s now Cher’s turn to choose one sub-share from David’s three and one subshare from Dinah’s three. She will choose one of the two


pineapple wedges from David’s subshares and the big orange-pineapple wedge from Dinah’s subshares.

Step 3 (Selection)The final fair division of the cake is shown. David gets a final share worth $9, Dinah gets a final share worth $12, and Cher gets a final share worth $14. David is satisfied, Dinah is happy, and Cher is ecstatic.



•: הכללי במקרה- Chooserמגדירים – ו מסוג N-1אחד ,…,divider (D1, D2שחקנים

DN–1)(chooserה- – ביותר ) הטוב הוא מצבו כי אקראית בצורה נבחר

הסט fair divisionמבצעים : 1שלב • D1, D2,…, DN–1בין Sאת( – Cכאילו) לפחות מקבל שחקן כל כלומר קיים N)/1לא

–1 - Sמ( - dividerכל: 2שלב • ל שלו החלק של חלוקה Nמבצע

חלקים- 3שלב • - Chooser (C)ה: מה אחד מכל אחד חלק בוחר

dividersלכולם fair shareמבטיח •

The Last-Diminisher Method

• - ידי על - Banachהוצע - Knasterו 1940ב • , הסט במשחק שלב שבכל הרעיון על מחולק Sמבוסס

, השחקנים – לאחד שמוקצה חלק חלקים לשני - השחקנים שאר ידי על במשותף המוחזקת והיתרה

•: המשחק מהלך– , הטלת ) באמצעות לדוגמה אקראית משחק סדר קביעת

קוביה(מספר – ששחקן נניח , 1אנו ראשון '.2משחק וכו שנישחקן – יש סבב כל בסוף כאשר בסבבים מתנהל המשחק

מתוך לחלוקה והיתרה פחות קטנה Sאחד

The Last-Diminisher Method:1סיבוב •

בגודל P1שחקן – חלוקה - N/1מציע עצמו Sמ עבורבדיוק • תהיה - N/1החלוקה החלק את יקבל שאם מנת על

לא אחר שמישהו אז יקבל לא ואם יפסיד שלא אז הזהיותר יקבל

לבצע 2שחקן – או יכול את passבתורו להפחית אולגודל N/1החלק

– , החלק של החדש לבעלים הופך הוא והפחית במידההמופחת

The Last-Diminisher Method(:1סיבוב • המשך )

שחקן" – עם מתבצע ל ' 3כנ לשחקן עד Nוכוושחקן – לעשות Nבמידה החלק passהחליט הופך

יוצא והשחקן שחתך האחרון לשחקן שייך להיותמהמשחק

שחקן – הוא Nאם שהחלק לו fair shareמאמין יש אזמהחלק אפס להוריד אינטרס

– ( , השחקנים בעיני לחלוקה נשאר דבר של בסופו( - מ( יותר ?<N-1/)Nשנשארו למה >

The Last-Diminisher Method:2סיבוב •

עם – צורה באותה ממשיך שחקנים N-1המשחקשל – לגודל שחקן כל חותך (N-1/)1הפעם

בסיבוב • עצמו על חוזר '4, 3התהליך וכו • , הם שחקנים שני לבסוף נשארים כאשר

- ה בשיטת שנשאר מה את ביניהם מחלקיםdivider chooser

A new reality TV show called The Castaways is making its debut this season. In the show five contestants (let’s call them P1, P2, P3, P4, and P5) are dropped off on a deserted tropical island in the middle of nowhere and left there for a year to manage on their own. After one year, the player who has succeeded and prospered the most wins the million-dollar prize. (The producers are counting on the quarreling, double-crossing, and backbiting among the players to make for great reality TV!)

The Castaways

In the first episode of the show, the players are instructed to divide up the island among themselves any way they see fit. Instead of quarreling and double-dealing as the producers were hoping for, these five players choose to divide the island using the last-diminisher method. This being reality TV, pictures speak louder

The Castaways

Round 1 The Castaways








The Final Division of the IslandThe Castaways

Continuous versus Discrete

• , אם ) למשל כרצוננו לחלק יכולנו עכשיו Sעדרציף(

בו • ניתנים Sמצב בלתי שהם מפריטים מורכבמורכב( indivisibleלחלוקה ) יותר הוא

– , , ממתקים: תכשיטים אומנות פריטי דוגמההחלוקה – בתהליך גמישות פחות יוצר–Fair division הנחות תחת מובטח להיות יכול

מאוד מחמירות

Sealed Bids

• - ידי על לראשונה - Hugo Steinhausהוצע ו Bronislaw Knaster 1948בשנת

, נכדיה לארבעת סבתא השאירה שלה בצוואה , , , פריטים: שלושה ודייב קרלה בטי ארט האהובים , : רויס רולס מכונית בהרים נופש ביקתת ערך יקרי

, פיקאסו של וציור אספנות .מדגםיחולקו שהפריטים הוא הצוואה של העיקרי התנאי, fair division בצורת לא ) קרי הנכדים בידי ויישארויימכרו(

, ה שיטת מהווה כזה דרך sealed bids -במקרהלחלוקה .אלגנטית

Settling Grandma’s Estate

Step 1 (Bidding)יעביר מהשחקנים אחד כל (בדולרים) bid כל עבור

ההערכה את המייצג מהפריטים אחדעבורו הפריט לשווי שלו האוביקטיבית

- , מנת ועל כאן חשובה מאוד הפרטיות סוגייתלא שחקן שאף חשוב המנגנון פעולת את להבטיח

ה את לפני bids -יראה האחרים השחקנים שלה את קובע ) שלו bid -שהוא ב להשתמש -ניתן

sealed envelopes)


Step 1 (Bidding)ה אחד bids -להלן כל עבור הנכדים שנתנו

מהפריטים


Step 2 (Allocation)שהציע לשחקן ינתן הפריטים משלושת אחד כל

ה תיקו ) bid -את של במקרה עבורו ביותר הגבוה) מטבע להטיל .ניתן

, , את דייב הביקתה את מקבלת בטי שלנו בדוגמהמקבלת, לא וקרלה הפיקאסו את ארט המכוניתאף ) יקבל לא ששחקן ייתכן זו בשיטה פריט אףאו אחד מפריט יותר יקבל אחר שחקן ואילו פריט) הפריטים כל את אפילובין הכספיות ההעברות לשלב עוברים כעתהצדדים


Step 3 (First Settlement) , או לשלם יצטרך הוא שחקן זכה בהם לפריטים בהתאם

המרכזית מהקופה כסף לקבלמחשבים לקבל צריך או חייב שחקן כמה לקבוע מנת על

ה את הפריטים – fair-dollar share -תחילה סכום של - ה סכימת ידי על נעשה לכל bids -החישוב השחקן של

השחקנים במספר וחלוקה הפריטים


Step 3 (First Settlement)

ה הוא bids -סכום ארט שה 540,000$של כך - fair-dollar share הוא 135,000$שלו

, נתן עבורו הפיקאסו ציור את מקבל שארט מכיווןbid את, 280,000$של לשלם שיצטרך הרי

המרכזית לקופה ההפרשמקבל ארט כי מובטח זו fair share בצורה

כולה מהירושה


Betty

הוא fair-dollar share -ה בטי את. 130,000$של מקבלת היאהוא, עבורה ששוויה לשלם 250,000$הביקתה צריכה היא ולכן

המרכזית 120,000$לקופה .לבטי גם מובטח כולה fair share בכך מהירושה

Carla

הוא fair-dollar share -ה קרלה כלום. 123,000$של מקבלת לא היא - - ב המרכזית הקופה ידי על מפוצה להיות צריכה ולכן מהירושה

123,000$לבטי גם מובטח כולה fair share בכך מהירושה

Dave

, דבר של בסופו לקבל צריך דייב דומה מהקופה 58,000$באופןהמרכזית


, קיבל היורשים מארבעת אחד כל זה fair בשלבshare

בקופה כסף לנו נשאר אולם : לנו" נשאר כ 84,000$בסה :

145k+120k-123k-58k=84kכולם בין שווה באופן היתרה לחלק .ניתן


להתגרש מחליטים וברי .אלהבית הוא שלהם המשותף הרכוש

המשפט לבית העניין ולהעביר דין עורכי לשכור במקוםה בשיטת להשתמש מסכמים .sealed bids -הם

נותן וברי 340,000$של bid אל הבית 364,000$על . לפיכך fair-dollar shares -ה הם הבית - 170,000$של ו

182,000$ . , את מקבלת היא יותר הגבוה המציע היא שברי מכיווןהבית

ה- פי למרכז fair share -על לשלם צריכה היא ברי שללאל 170,000$מתוכם 182,000$ תשלום לצורך ישמשו

בסך , 12,000$היתרה אחד שכל כך שניהם בין תחולק " של " רווח עם יוצא 6000$מהם

Splitting Up the House

The Method of Markers

• - ל חלוקה - Sשיטת ידי על שהוצעה דיסקרטיLucas 1975בשנת

שמעורב – • חיצוני כסף אין השיטה יתרוןבחלוקה

•: כאשר, רק יעילה השיטה מנגדשחקנים – מאשר לחלוקה פריטים יותר הרבה ישבערכם – לשני אחד קרובים הפריטים

The Method of Markers

אקראי • בסדר הפריטים כל את sequenced)מסדריםarray)

מבצע • מהשחקנים אחד כל בצורה biddingכעת - ) ב ) פריטים על לאחרים ובמקביל arrayעצמאית

•Bid - ה של מחלוקה רציפים arrayמורכב לסגמנטים ) השחקנים ) כמספר הסגמנטים מספר פריטים של

מהווה סגמנט שכל הפריטים fair shareכך שלהשחקן מבחינת

אחד, • את מקבל מהשחקנים אחד כל לסיוםשלו החלוקה מתוך הסגמנטים

, את, ביניהן לחלק רוצות ודנה קרלה ביאנקה אליס . יש להן שנשארו " 20הממתקים כ בסה ממתקיםשל, אקראית בחירה אבל אחד 4לחלוקה לכל ממתקים

, מזה זה שונים הפריטים שכן זה במקרה תעבוד .לא

Dividing the Halloween Leftovers

,) ' ' מציעה ) ונס ג הגב שלהן המורה , אבל הממתקים את עבורן לחלקבשיטת להשתמש מעדיפות הבנות

באינטרנט- קראו עליה markersה

כ 20 יסודרו :array -הממתקים


) , באחרות ) תלות וללא במקביל תרשום ילדה כלה שלושת את לשים מעוניינת היא בדיוק -היכן

markers שלה


A=AliceB=BiankaC=CarlaD=Dana

ה – את נסרוק ההקצאה לשלב עוברים array -כעת) ביאנקה ) של המרקר הראשון המרקר למציאת עד

שלה החלק לקבל הראשונה תהיה ביאנקה) הראשון) הסגמנט


, וה, סיימה משביאנקה , markers -כעת הוסרו שלההשני המרקר למציאת הסריקה את ממשיכים

מהן אחת של .הראשון

קרלה של זה הוא נעצור בו .המרקר


, שלה בבחירה השני הסגמנט את תקבל קרלהיוסרו שלה והמרקרים


המרקר, חיפוש בעת תיקו מסתמן בהמשך) לדנה ) אליס בין השלישיאת יקבל מי להכריע מנת על מטבע נטיל אנו) , אליס ) שלנו במקרה שלו הסגמנט


הרביעי, הסגמנט את מקבלת דנה ולבסוףשלה בחלוקה


, קיבלה מהבנות אחת כל זה - fair share בשלב ה מתוך20 , עודפים ממתקים נשארו עדיין אולם ממתקים

!לחלוקהלהגריל הוא שנשאר מה את לחלק ביותר הקלה הדרך , , מהן אחת מכל ולבקש למשתתפים אקראי סדר

, שנשארו- מהממתקים אחד לבחור זה סדר פי על


• לכל הקודמת מהדוגמה הרעיון את להכליל ניתןיחסית בקלות שחקנים של מספר

• את לימין M נסדר משמאל הפריטים• ה – את מחלק במקביל שחקן כל ראשון array -שלב

הצבת N -ל באמצעות כאשר N-1 markers סגמנטיםמייצג סגמנט השחקן fair share כל לדעת

• שני :שלב– ה את , array -סורקים ה לאיתור עד לימין marker -משמאל

.הראשון – ה משוייך אליו הסגמנט marker -השחקן את מקבל

) מטבע ) נטיל תיקו של במקרה שבחר הראשון– וה מהמשחק יוצא מוסרים markers -השחקן שלו

The Method of Markers Generalized

• ) המשך ) שני :שלב– ה בסריקת ממשיך עד array -המשחק לימין משמאל

ה המרקר ) marker -למציאת כלומר הראשון השני) השחקנים אחד של שני כמרקר ששימש הראשון

– ה משוייך אליו הסגמנט marker -השחקן את מקבלשלו בחלוקה השני

– והוא בלבד אחד שחקן שנשאר עד ממשיך התהליךשלו האחרון הסגמנט את מקבל

• - סדר – פי על מסודרים השחקנים שלישי שלבאחד, פריט בתורו לוקח מהם אחד וכל אקראיכך > עבדנו לא מדוע לחלוקה שנשאר ממה<?מלכתחילה

The Method of Markers Generalized

השיטה מגבלות

• - , ההנחה ידי על מוגבל המודל פשטותו למרות - ה את לחלק מסוגל שחקן כל בצורה arrayכי

בשבילו Nשתתן שווים ערכים בעלי חלקיםמהווה) אחד (fair shareשכל

• - ו לפטופ זו בשיטה לחלק בין 50נסו 5סוכריותמשתתפים...

The Mathematics of Apportionment • = Apportionmentהקצאה• The verb apportion means

– “Assign to as a due portion.”

– “To divide into shares which may not be equal.”

• Apportionment problems arise when what is being divided cannot be divided into fractional parts.

• , - ומאורגן מתוכנן באופן פרופורציוני בסיס על נעשית החלוקה

• The apportionment problem is to determine a method for rounding a collection of numbers so that: – The numbers are rounded to whole numbers.

– The sum of the numbers is unchanged.

The Mathematics of Apportionment

State A B C D E F Total

Population 1,646,000 6,936,000 154,000 2,091,000 685,000 988,000 12,500,000

: בעולם מסויימת ברפובליקה למחוזות התושבים חלוקת נתונה

שיש . 250נניח בין לחלקם יש כיצד בפרלמנט מושבים? השונים המחוזות

. טובה מדידה יחידת למצוא יש ראשון בשלב. המושבים לכמות כולה האוכלוסיה בין היחס למשל

נקרא standard divisor SD = P/MהיחסSD = 12,500,000/250 = 50,000


State A B C D E F Total

Population 1,646,000 6,936,000 154,000 2,091,000 685,000 988,000 12,500,000

Standard quota 32.92 138.72 3.08 41.82 13.70 19.76 250

Standard Quotas for Each State (SD = 50,000)

For example, take state A. To find a state’s standard quota, we divide the state’s population by the standard divisor: Quota = population/SD = 1,646,000/50,000 = 32.92

טרמינולוגיה• “states” – המעורבים השחקנים את מתאר• “seats” – סט את האוביקטים M מתאר

) בין) לחלק שיש הומוגניים N ה- states• “populations” - של סט מספרים N מתאר

ה של לחלוקה כבסיס שישמשו -חיובייםseats ל- states


• Upper quotas – ה- quota כלפי המעוגלת) מעלה ב (U -יסומן

• Lower quotas – ה- quota כלפי המעוגלת) מטה ב (L -יסומן

• ה שבו הוא quota -מקרה שלם מספר הואה כאשר נדיר גדולה population -יחסית

Hamilton’s Method and the Quota Rule

Hamilton’s שיטת• לכל את state חשב

standard quota - ה• לכל state הקצה

ה lower quota -אתשלו

State Population Step1Quota

Step 2Lower Quota

A 1,646,000 32.92 32

B 6,936,000 138.72 138

C 154,000 3.08 3

D 2,091,000 41.82 41

E 685,000 13.70 13

F 988,000 19.76 19

Total 12,500,000 250.00 246

139

Hamilton’s Method and the Quota Rule

• השבר, עם למדינות העודף את חלק לבסוףביותר הגדול

State Population Step1Quota

Step 2Lower Quota

Fractionalparts

Step 3Surplus

Hamiltonapportionment

A 1,646,000 32.92 32 0.92 First 33

B 6,936,000 138.72 138 0.72 Last 139

C 154,000 3.08 3 0.08 3

D 2,091,000 41.82 41 0.82 Second 42

E 685,000 13.70 13 0.70 13

F 988,000 19.76 19 0.76 Third 20

Total 12,500,000 250.00 246 4.00 4 250

140

The Quota Rule

• לכל לחלק ה state יש את lower -לפחותquota מה יותר .upper quota -ולא

• ל ומוקצה מה state -במידה lower -פחותquota מתרחש lower-quota violation אזי

• ל ומוקצה מה state -במידה upper -יותרquota מתרחש upper-quota violation אזי

141

The Alabama and Other Paradoxes

• בשיטת העיקרית ידועה Hamilton's הבעיה.Alabama paradox בשם

• שיש המושבים בסך גידול כאשר קורה הדברל גורם אחד state -להקצות את להפסיד

מלכתחילה לה שהוקצו המושבים

142

דוגמהWith M = 200 seats and SD = 100, the :apportionment under Hamilton’s method

State Population Step 1 Step 2 Step 3 Apportionment

Bama 940 9.4 9 1 10

Tecos 9,030 90.3 90 0 90

Ilnos 10,030 100.3 100 0 100

Total 20,000 200.0 199 1 200

143

) המשך ) דוגמהWith M = 201 seats and SD = 99.5, the apportionment under Hamilton’s method

State Population Step 1 Step 2 Step 3 Apportionment

Bama 940 9.45 9 0 9

Tecos 9,030 90.75 90 1 91

Ilnos 10,030 100.80 100 1 101

Total 20,000 201.00 199 2 201

144

Other Paradoxes

• כדי תוך להתגלות שעשויים נוספים פרדוקסיםבשיטת :Hamilton שימוש

– the population paradox – state A מושב מפסידהשל state B -ל שהאוכלוסיה גדלה state A למרות

יותר גבוה של (higher rate) בקצב state B מזה– the new-states paradox – של state התוספת

ל המתאימים המושבים עם ביחד state -חדשה , לשינוי מביאה החלוקה שיטת לפי החדשה

ה של למושבים האחרות states -בחלוקה

Example 2• A country has 3 states and 100 seats in the

legislature.• Show that the population paradox occurs

when Hamilton’s method is used.

Example 2, cont’d

• Solution: Note that states A and B grew, while the population of state C remained the same.

• Find the rates of increase for states A and B.

Example 2, cont’d• Solution, cont’d: • The rate of increase for state A is:

• The rate of increase for state B is:

• State A is the faster-growing state.

9651 9555 961.0047%

9555 9555

19740 19545 1950.9977%

19545 19545

Example 2, cont’d

• Solution, cont’d: Calculate the standard divisor for the old population: – D = 100,000/100 = 1000

• The standard quotas are shown in the table below.

Example 2, cont’d• Solution, cont’d: The integer parts of the

standard quotas apportion 98 seats.• The two remaining seats go to states C and

A, which have the largest fractional parts. • The final apportionment for the old

population is State A: 10 seats; State B: 19 seats; and State C: 71 seats.

Example 2, cont’d• Solution, cont’d: Next, find the apportionment for

the new population totals.• The standard divisor is D = 100,291/100 =

1002.91.• The standard quotas are shown below.

Example 2, cont’d• Solution, cont’d: As before, the integer parts

of the standard quotas apportion 98 seats.• The remaining 2 seats are assigned to states

C and B, which have the largest fractional parts.

• The final apportionment for the new population totals is State A: 9 seats; State B: 20 seats; and State C: 71 seats.

Example 2, cont’d• Solution, cont’d: Before the census state A

had 10 seats in the legislature, but after the census it had only 9 seats.

• After the census, the fastest-growing state A lost a seat to the slower-growing state B.

• This is an example of the population paradox.

Example 3• A country has 2 states and 100 seats in the

legislature.• The current apportionments under Hamilton’s

method are shown in the table below.

Example 3, cont’d• Show that if a third state with a population of

10,400 is added, the new-states paradox occurs.

• Solution: Since the old standard divisor was 1000, the new state’s standard quota would have been Q = 10,400/1000 = 10.4.– We assume that 10 new seats should be added

to the legislature.

– A total of 110 seats will now be apportioned to the 3 states.

Example 3, cont’d• Solution, cont’d: The total population is now

110,400.– The new standard divisor is D = 110,400/110 =

1003.6364.

• The new standard quotas are shown below.

Example 3, cont’d• Solution, cont’d: A total of 109 seats are

apportioned according to the integer parts of the standard quotas.

• The 1 leftover seat is assigned to state A, which has the largest fractional part.

Example 3, cont’d• Solution, cont’d: After the new state, C,

was added:– State C received 10 seats, as expected.

– State A lost a seat to State B.

• The change in apportionment among the old states is an example of the new-states paradox.

158

Jefferson’s Method

• Step 1. Find a “suitable” divisor D. [ A suitable or modified divisor is a divisor that produces and apportionment of exactly M seats when the quotas (populations divided by D) are rounded down.

159

Jefferson’s Method• Step 2. Each state is apportioned its lower

quota.State Population Standard Quota

(SD = 50,000)Lower Quota Modified Quota

(D = 49,500)Heffersonapportionment

A 1,646,000 32.92 32 33.25 33

B 6,936,000 138.72 138 140.12 140

C 154,000 3.08 3 3.11 3

D 2,091,000 41.82 41 42.24 42

E 685,000 13.70 13 13.84 13

F 988,000 19.76 19 19.96 19

Total 12,500,000 250.00 246 250

160

Jefferson’s method

Bad News- Jefferson’s method can produce upper-quota violations!

• To make matters worse, the upper-quota violations tend to consistently favor the larger states (by dropping the fractional part, the large state gives up only a small part of its entitlement whereas a small state may give up a major part)

161

Adam’s Method

Adam’s Method• Step 1. Find a “suitable”

divisor D. [ A suitable or modified divisor is a divisor that produces and apportionment of exactly M seats when the quotas (populations divided by D) are rounded up.

State Population Quota(D = 50,500)

A 1,646,000 32.59

B 6,936,000 137.35

C 154,000 3.05

D 2,091,000 41.41

E 685,000 13.56

F 988,000 19.56

Total 12,500,000

162

Adam’s Method• Step 2. Each state is apportioned its upper quota.

State Population Quota(D = 50,500)

Upper Quota (D = 50,500)

Quota(D = 50,700)

Adam’sapportionment

A 1,646,000 32.59 33 32.47 33

B 6,936,000 137.35 138 136.80 137

C 154,000 3.05 4 3.04 4

D 2,091,000 41.41 42 41.24 42

E 685,000 13.56 14 13.51 14

F 988,000 19.56 20 19.49 20

Total 12,500,000 251 250

163

Adam’s method

Bad News- Adam’s method can produce lower-quota violations!We can reasonably conclude that Adam’s method is no better (or worse) than Jefferson’s method– just different.

164

Webster’s Method

• Step 1. Find a “suitable” divisor D. [ Here a suitable divisor means a divisor that produces an apportionment of exactly M seats when the quotas (populations divided by D) are rounded the conventional way.

165

Webster’s MethodStep 2. Find the apportionment of each state by

rounding its quota the conventional way.State Population Standard Quota

(D = 50,000)NearestInteger

Quota(D = 50,100)

Webster’sapportionment

A 1,646,000 32.92 33 32.85 33

B 6,936,000 138.72 139 138.44 138

C 154,000 3.08 3 3.07 3

D 2,091,000 41.82 42 41.74 42

E 685,000 13.70 14 13.67 14

F 988,000 19.76 20 19.72 20

Total 12,500,000 250.00 251 250

166


• Balinski and Young’s impossibility theoremAn apportionment method that does not violate the quota rule and does not produce any paradoxes is a mathematical impossibility.

Documents

העדפות והצבעות מבוסס על : Peter Tannenbaum, Excursions in Modern Mathematics