수명분포및신뢰도의 통계적추정 - promoim.co.kr¶„포추정(전치혁).pdf · IE, POSTECH 수명분포및신뢰도추정 Minitab 분석결과– Weibull, Uncensored

수명분포수명분포 및및 신뢰도의신뢰도의통계적통계적 추정추정

포항공과대학교포항공과대학교 산업공학과산업공학과

전치혁전치혁

2001. 11.2001. 11.

IE, POSTECH IE, POSTECH 수명분포수명분포 및및 신뢰도신뢰도 추정추정

수명수명 및및 수명분포수명분포

•• 수명수명

- “고장”까지의 시간

- 확률변수로 간주

- 통상 잘 알려진 분포를 따른다고 가정

•• 수명수명 분포분포

- 확률밀도함수 또는 (누적)분포함수로 표현

- 신뢰도, 고장률, MTTF 등 신뢰성지표는 수명분포로부터 도출

- 수명분포 추정은 분포함수관련 모수의 추정


•• 누적분포함수누적분포함수(cumulative distribution function) – 어떤 특정 확률 변수가 특정 값 t 보다 작을 확률

– 확률변수 X 의 누적분포함수 F(.) 는 모든 실수 t 에 대하여다음과 같이 정의된다.

– 구간에 대한 확률 정의

•• 확률밀도함수확률밀도함수(Probability Density Function)

– 위의 함수 f(x)가 존재한다고 할 때 이 함수 f(x)를 확률변수X의 확률밀도함수라 한다.

누적분포함수누적분포함수 및및 확률밀도함수확률밀도함수

)()( tXPtF ≤=

).()(}{}{}{ aFbFaXPbXPbXaP −=≤−≤=≤<

∫=<<=≤≤b

adxxfbXaPbXaP )(}{}{


누적분포함수의누적분포함수의 성질성질

•• 누적누적 분포함수와분포함수와 확률밀도함수와의확률밀도함수와의 관계관계

– 누적분포함수를 알면 미분을 통해 확률밀도함수를 알수 있다.

– 전구간에 대해 확률밀도함수를 적분하면 1이 된다.

)()( xFdxdxf =

∫ ∞−=≤=

tdxxftXPtF )()()(

∫∞

∞−==∞ 1)()( dxxfF

x

f(t)

t

F(t)


누적분포함수누적분포함수 및및 확률밀도함수의확률밀도함수의 예예

• 어떤 설비의 수명을 나타내는 확률변수 X의 누적 분포함수가 다음과 같은 형태라 하자.

0,1)(2

≥−= − tetF t

0,2)()(2

≥== − t tedttdFtf

0183.03679.0)1()1(

)1()2(}21{14 −=−=

−=≤<−− -e-e

FFXP


신뢰도신뢰도 함수와함수와 고장률고장률

• 신뢰도함수와 고장률

–– 신뢰도함수신뢰도함수(Reliability function) : R(t)⇒시간의 함수로서 특정한 시간까지 고장없이 주어진 임무

를 수행할 확률

–– 고장률고장률(failure rate or hazard rate) :⇒ 시간의 함수로서 시간 t에서의 고장률은 시간 t까지 고장

이 없다가 시간 t 직후 고장을 일으킬 단위시간당 빈도를의미

⇒ λ(t)∆t 는 시간 t까지 고장이 없다가 (t, t+ ∆t )사이에 고장을 일으킬 확률로 해석

)(1)()( tFtXPtR −=≥=

)(1)(

)()()(

tFtf

tXPtft

−=

≥=λ


수명의수명의 기대치와기대치와 분산분산

•• 기대치기대치(또는 평균평균) (expectation; mean)– 확률변수가 취하는 평균적인 값

•• 분산분산(variance)– 평균을 기준으로 퍼져있는지를 판단하는 척도

where

•• 표준편차표준편차(standard deviation)– 분산의 제곱근

MTTFdxxxfXE == ∫∞

0)(][

222 ])[(][]])[([][ XEXEXEXEXVar −=−=

∫= ∞0

22 )(][ dxxfxXE

][)( XVarXstd =


지수분포지수분포

•• 지수분포지수분포– 수명분포로 가장 널리 이용

–– 확률밀도함수확률밀도함수

–– 누적분포함수누적분포함수

–– 신뢰도신뢰도 함수함수

–– 고장률고장률

0,)( ≥= − tetf tλλ

tt xt edxedxxftF λλλ −− −=∫=∫= 1)()( 00

tetFtR λ−=−= )(1)(

λλλ λ

λ

==−

= −

−

t

t

ee

tFtft

)(1)()(

지수분포의 모수: λ

-> 고장률, 평균수명의 역수


지수분포지수분포: =2: =2 일때일때

0,2)( 2 ≥= − tetf t tetF 21)( −−=

tetFtR 2)(1)( −=−= λλ == −

−

t

t

eet 2

22)(

확률밀도함수확률밀도함수 누적분포함수누적분포함수

신뢰도신뢰도 함수함수 고장률고장률

λ


와이블와이블 분포분포

•• 와이블분포와이블분포– 고장률이 노후 등으로 시간에 따라 커지는 경우에 사용

–– 확률밀도함수확률밀도함수

–– 누적분포함수누적분포함수

–– 신뢰도신뢰도 함수함수

–– 고장률고장률

0 ,)()( )(1 ≥= −− tettf t αλαλαλ

αλ )(

01)()( ttedxxftF −−== ∫

αλ )()(1)( tetFtR −=−=

1)(

)(1)()(

)(1)()( −

−

−−

==−

= αλ

λαλαλλαλλ α

α

te

ettFtft

t

t

와이블분포의 모수

α: 형태모수(shape parameter)

λ: 척도모수(scale parameter)


와이블와이블 분포의분포의 확률밀도함수확률밀도함수

α=0.5

α =1

α =3

α =1.5

0 ,)()( )(1 ≥= −− tettf t αλαλαλ


와이블와이블 분포의분포의 고장률고장률

α =0.5

α =1

α=3

α =1.5

11

1)()( −= αλαλλ ttα>1: increasingα=1: constantα<1: decreasing


수명분포와수명분포와 MTTFMTTF

• 수명 X 가 지수분포를 따른다고 할 때

• 수명 X가 와이블분포를 따른다고 할 때

λλ λ 1 )(][

00 ∫∫∞ −∞

==== dxexdxxxfXEMTTF x

Γ==

ααλ11][XEMTTF

)1()1()(0

1 −Γ−==Γ ∫∞ −− βββ β dxex x


• 어떤 부품의 수명이 α=2, λ=0.0001 의 와이블분포를 따른다고 하자. - 평균 수명

– t=10,000 (시간)에서의 신뢰도

– t=10,000 (시간)에서의 고장률

– t=20,000 (시간)에서의 고장률

와이블와이블 분포의분포의 예예

27.88625000 )5.0()0002.0/1(][ ==Γ== πXEMTTF

3679.0)10000( 110000

)0001.0( 2=== −

=− eeR t

t

0002.0)1(0002.0)10000( 12 == −λ

0004.0)2(0002.0)20000( 12 == −λ


분포함수의분포함수의 추정추정

•• 추정추정– 고장데이터를 바탕으로 수명분포의 모수값들을 정하는 것

•• 검정검정– 고장데이터들이 주어진 분포에 잘 맞는지 여부를 통계적으로

판단하는 것

•• 추정추정 방법방법

–– 확률지확률지에 의한 방법

– 모멘트 방법

– 최우추정법: 우도함수를 최대화하는 모수값 결정

2][;][ sXVarXXE ==

F(t)

t

F(t)

t

x축 Y축의 척도조정


와이블와이블 확률지확률지

-2.3 0 2.3 4.6

)(11lnlntF

Y−

=

tX ln=

0.1 1 10 100

Y=063%

10%

0

-2

-2

-4

2

X=0

1

F(t)

t

X=1,Y=01

T

)(ˆ TF

m̂ m̂

η̂

)/11(/10 mt m +Γ=µ { } 2/12/1

0 )/11()/21( mmt m +Γ−+Γ=σ

mt /10=η0/1)( ttmetF −−=

ηµ

ησ


수명시험과수명시험과 고장데이터고장데이터 종류종류

• n 개의 부품을 시간 0에 시험 시작

•완전고장데이터

•정시고장데이터 (type I censored data)

12…n

0

t1t2

tn

12…n

0

t1t2

tn

T•정수고장데이터 (type II censored data)

n개의 부품이 모두고장날때까지 시험

주어진 시간 T까지

시험

정수 r개의 부품이고장날때까지 시험

12…n

0

t1t2

tnyr


최우추정법최우추정법 ((Maximum Likelihood Estimation)Maximum Likelihood Estimation)

• 확률밀도함수 f(t; θ), θ: parameter(s)• Data:

• 우도함수 (likelihood function)

• 최우추정법: 우도함수를 최대화하는 모수 θ 값 결정

),...,,( 21 nttt

);();();();( 21 θθθθ ntftftfdataL L=

L(θ)

θθ*


데이터데이터 종류와종류와 우도함수우도함수

• 완전고장데이터 (complete or uncensored data)

);();(1

θθ ∏=

=n

iitfdataL

• 정시고장데이터 (type I censored data)

[ ] rnr

ii TRtfdataL −

=∏= );();();(

1

θθθ

• 정수고장데이터 (type II censored data)

(r: T까지의 고장 부품수)

[ ] rnr

r

ii yRtfdataL −

=∏= );();();(

1

θθθ ( : r번째 부품의 고장시간)ry


지수분포지수분포 모수의모수의 최우추정최우추정

0 ,);( ≥= − tetf tλλλ

• 완전고장데이터

∑=

−

=

− == ∏n

ii

i

tn

n

i

t eedataL 1

1

);(λ

λ λλλ

∑=

−=n

iitndataL

1

ln);(ln λλλ

0ln

1

=−=∂

∂ ∑=

n

iit

nLλλ

tt

nn

ii

1ˆ

1

==

∑=

λ


지수분포지수분포 모수의모수의 최우추정최우추정 ((계속계속))


( ) ∑=

−−−

=

−−− == ∏r

ii

i

trTrn

r

i

trnT eeeedataL 1)(

1

);(λ

λλλ λλλ

∑=

−+−−=r

iitrTrnL

1

ln)(ln λλλ

0)(ln

1

=−+−−=∂

∂ ∑=

r

iit

rTrnLλλ

∑=

−+

= r

ii Trnt

r

1

)(λ̂

• 정수고장데이터 (type II censored data)

∑=

−+

= r

iri yrnt

r

1

)(λ̂

=고장수/총시험시간λ̂


α=0.1, 0.2, … 에 대해

산출

lnL이 최대가 되는 (α, λ) 결정

와이블분포와이블분포 모수의모수의 최우추정최우추정

0 ,)(),;( )(1 ≥= −− tettf t αλαλαλλα

• 완전고장데이터∑

== =−

=

−

=

−− ∏∏

n

ii

itn

ii

nnn

i

ti etetdataL 1

1

1

1

)(1)();,(αα

α λααλα λαλαλλα

∑∑==

−−++=n

ii

n

ii ttnnL

11ln)1(lnlnln ααλαλαα

0ln

0lnlnlnlnln

1

1

111

=−=∂

∂

=−−++=∂

∂

∑

∑∑∑

=

−

===n

ii

i

n

ii

n

ii

n

ii

tnL

ttttnnL

αα

αααα

αλλα

λ

λλλλαα

∑= α

αλitnˆ

∑=

= n

iit

n

1

ˆα

αλ


와이블분포와이블분포 모수의모수의 최우추정최우추정 ((계속계속))


ααα

λλ

ααλαλα ))((

1

1 1);,( Trntr

ii

rr eetdataL

r

ii −−

−

=

−∑

= =∏

αααα λλαλαα TrnttrrLr

ii

r

ii )(ln)1(lnlnln

11−−−−++= ∑∑

==

αααα αλαλλα

λTrntrL r

ii

1

1

1 )(ln −

=

− −−−=∂

∂∑

∑=

−+= r

ii Trnt

r

1)(

ˆαα

αλ


MinitabMinitab에서의에서의 분석분석


MinitabMinitab에서의에서의 분석분석 ((계속계속))

Weibull, uncensored Case


Minitab Minitab 분석분석 결과결과 –– WeibullWeibull, Uncensored Case, Uncensored Case

AD* 1.488Goodness of Fit

1000 10000

1

5

10

20

304050607080909599

Weibull Probability

Per

cent

0 5000 10000 15000

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

Pro

babi

lity

0 5000 10000 15000

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

Hazard Function

Rat

e

0 5000 10000 15000

0.00000

0.00005

0.00010

Probability Density Function

Overview Plot for F-timeML Estimates - Complete Data

ShapeScale

MTTF

FailureCensor

2.10317576.4

6710.3

80


Censoring OptionsCensoring Options


Minitab Minitab 분석결과분석결과 –– WeibullWeibull, type I censored, type I censored


1000 10000

1

5

10

20

304050607080909599

Weibull Probability

Per

cent

0 10000 20000

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

Pro

babi

lity

0 10000 20000

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

Hazard Function

Rat

e0 10000 20000

0.00000

0.00005

0.00010


Overview Plot for F-timeML Estimates - Type 1 (Time) Censored at 10000

ShapeScale

MTTF

FailureCensor

1.58168614.4

7731.9

62


Minitab Minitab 분석결과분석결과 –– WeibullWeibull, type II censored, type II censored


1000 10000

1

5

10

20

304050607080909599

Weibull Probability

Per

cent

0 10000 20000

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

Pro

babi

lity

0 10000 20000

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

Hazard Function

Rat

e

0 10000 20000

0.00000

0.00005

0.00010


Overview Plot for F-timeML Estimates - Type 2 (Failure) Censored at 7

ShapeScale

MTTF

FailureCensor

1.58168614.4

7731.9

62

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