РАЗВЕДОЧНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮProbabilistic Chaotic Deterministic Signal . Proceedings of International Conference RelStat’03 Vol. 2 119 коротких

Transport and Telecommunication Vol.5, N 2, 2004

118

РАЗВЕДОЧНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮ

ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Александр Граковский, Александр Александров, Роман Кивленок

Институт транспорта и связи Ломоносова 1, Рига, LV 1019, Латвия

Тел: (+371)-7100651. Факс: (+371)-7100660. E-mail: [email protected]

Ключевые слова: фракталы, кривые, сигналы, фрактальная размерность

Разведочный анализ сигналов – это первичная обработка результатов наблюдений и экспериментальных данных с целью представления и графического изображения структуры динамики наблюдаемых процессов. Динамические системы характеризуются своими выходными сигналами. Чаще всего эти сигналы – есть динамические временные ряды, зависящие от многих факторов и внешне не содержащие в себе признаков периодичности или другого вида упорядоченности (закономерности). Такие временные ряды часто встречаются в задачах прогноза различных экономических показателей [1]. В зависимости от внутренних свойств динамической системы – источника наблюдаемых сигналов, их можно классифицировать как детерминированные, случайные или хаотические (Рис. 1). Причем, в каждом отдельном случае, в зависимости от класса сигнала, для его анализа необходимо будет использовать соответствующее теоретическое описание, модели и методы обработки.

Рис. 1. Классификация сигнала динамических систем

Обычно для анализа и прогноза таких процессов используются статистические

методы, основанные на концепции равновесной системы и теории случайных блужданий. Такой подход и основанные на нем прикладные пакеты показали свою полную неспособность прогноза реальной экономической ситуации. Эксперты подсчитали, что, начиная с 70-х годов, прогнозисты допускали серьезные ошибки в каждом из поворотных моментов экономического развития, причем, все вместе. Наиболее корректные предсказания отражали действительность только в очень

Chaotic Probabilistic Deterministic

Signal

Proceedings of International Conference RelStat’03 Vol. 2

119

коротких промежутках времени. Однако, обратив внимание на экологию живого мира, можно сделать вывод, что природа, наоборот, избегает равновесия, и достигает устойчивых состояний вдали от состояния равновесия. Такие системы, существенно нелинейные и иерархические, описываются теорией детерминированного хаоса [2]. Детерминированный хаотический (псевдо-случайный) процесс – это внешне похожий на случайный, но имеющий жесткий закон управления, процесс. Рассмотрим для примера два очень похожих временных ряда (Рис. 2a), один из которых подчиняется так называемому «логистическому» отображению

)x(xrx kkk −⋅⋅=+ 11 , где 40 << r и 10 0 << x . (1)

Параметр r выбран равным 3.99, что соответствует режиму «глубокого» хаоса [3].

Рис. 2. Сравнительный анализ случайного и детерминированного хаотического сигналов

Другой временной ряд – случайный процесс с нормальным законом распреде-

ления, взятый от генератора случайных чисел. Оба этих процесса очень похожи друг на друга во временной и спектральной областях (Рис. 2b). Стандартная характеристика случайных процессов – функция автокорреляции, также делает эти ряды практически неразличимыми (Рис. 2c). Таким образом, разделение случайного и детерминирован-ного сигнала во временной, спектральной и автокорреляционной областях оказывается

a) Time Series

c) AutoCorrelation Function d) Pseudo Phase Domain

b) Furier Spectrum


120

практически невыполнимым. Однако эти процессы однозначно классифицируются в псевдофазовом пространстве [2], где случайный и детерминированный характер процессов становится очевидным (Рис. 2d).

Поскольку в этом примере закон для детерминированного сигнала (логистическое отображение) был известен, то и порядок псевдофазового пространства, где видно различие между сигналами, тоже был изначально определен. В общем же случае для этого используется фрактальная размерность кривых [5]. Для этих целей существует бесконечное множество размерностей, основанных на емкостной мере – покрытии точек кривой гиперсферами различного радиуса (Рис. 3).

Рис. 3. Емкостная (фрактальная) размерность в трехмерном псевдофазовом пространстве

Зависимость количества гиперсфер, необходимых для покрытия всех точек кривой, от их радиуса и определяет емкостную (фрактальную) размерность фазового пространства [3]. Наиболее удобной для вычисления является корреляционная размерность [4-6]. Экспериментальное определение корреляционной размерности сводится к вычислению величины, которую называют корреляционной суммой или корреляционным интегралом (2):

( )rsrangethewhere),j,i(pairsofNumberN

lim)r(C ijN<=

∞→ 2

1 , (2)

Теоретическая значимость корреляционной размерности обусловлена «корреляционной функцией» фрактального множества, то есть вероятностью найти на расстоянии от данного элемента множества другой элемент того же множества (3):

( ) ( )

<>

=−−= ∑∑== ≠∞→ 00

01111

2 s,s,

sHwhere,xxrHN

lim)r(CN

jji

N

i jiN (3)

Практическая полезность заключается в существовании алгоритма вычисления корреляционной размерности Dc по величине корреляционного интеграла (4):

rlog

)r(CloglimDrC 0→

= . (4)

Метод определения фрактальной размерности анализируемых сигналов с помощью вложения их в пространство подходящей размерности и позволяющий отличить детерминированный хаос от случайного шума, реализован в виде приложения (Рис.4).


121

Рис. 4. Интерфейс программы FRACTAL_DIMENSION

Прикладная программа последовательно подвергалась тестированию на анализе случайных, хаотических и детерминированных сигналов (Рис. 5–8).

Рис. 5. Анализ детерминированных сигналов – синусоиды (слева) и линейного (справа)


122

Разведочный анализ исходных сигналов позволяет ответить на следующие вопросы. Экспериментальные данные – это случайный шум или детерминированный хаос, порожденный хаотическим процессом?

Рис. 6. Анализ случайного сигнала – «белый» шума (слева) и хаотического детерминированного сигнала – «логистического» отображения при r = 3,99 (справа)

Рис. 7. Анализ отображения Эннона D=1,227 (слева) и модели Лоренца D=1,83 (справа)


123

Чтобы сделать это, необходимо построить из интервалов, равноотстоящих друг от друга по времени, векторы данных и определить для полученного конечномерного точечного множества корреляционную размерность. Для детерминированной системы (Рис. 5) вычисленная корреляционная размерность перестает возрастать, как только корреляционная размерность сигнала оказывается меньше так называемой размерности вложения [5]. Если заданные сигналы случайные (Рис. 6), то при возрастании размерности построенного точечного множества вычисленная корреляционная размерность также возрастает. Наоборот, для хаотических детерминированных сигналов, таких как «логистическое» отображение, отображение Эннона, или модель Лоренца [4] (Рис. 6–7), имеет место «насыщение» корреляционной размерности на уровне дробной величины. Это свидетельствует о хаотической детерминированной природе процесса.

Рис. 8. Анализ корреляционной размерности радиолокационного сигнала подповерхностного зондирования (слева) и тока обратного удара молнии в основании канала (справа)

Тогда, обратившись к анализу фрактальной размерности реальных сигналов

(Рис. 8–9) мы приходим к следующим выводам. Сигналы, соответствующие отдельным геофизическим явлениям или процессам (Рис. 8) уникальны и зависят от окружающей среды, т. е. их можно классифицировать как случайные и применять для их анализа статистические методы обработки.

С другой стороны, временные ряды в экономике, такие как отношения курсов валют в суточной динамике (Рис. 9), дают установившееся значение корреляционной (фрактальной) размерности. Это означает, что для них существуют скрытые законы управления соответствующего порядка (4-го для отношения DM/USD и 3-го – для отношения RUR/USD). Порядок, или размерность псевдофазового пространства, в котором «живет» аттрактор такой системы, определяется по правилу N = int(D + 1) + 1, где int означает операцию взятия целой части [6]. В свою очередь, наличие аттрактора


124

системы в N-мерном псевдофазовом пространстве означает существование отобра-жения N-го порядка, иными словами, закона управления процессом.

Рис. 9. Анализ корреляционной размерности экономических временных рядов – суточных валютных курсов – DM/USD за 1994-1996 г. (слева) и RUR/USD за 1999-2000 г. (справа)

Таким образом, разведочный анализ сигналов с помощью фрактальной

размерности помогает не только в классификации сигналов и, соответственно, выборе методов их обработки, но и в определении порядка нелинейной дискретной модели самого сигнала, если он относится к хаотическим детерминированным. References 1. Grakovski A.V., Barinov Y.G., Aleksandrov A.I. Problems of Processing of the

Information in Transport Telematics Systems. // “Transport and Telecommunication”. – Riga, TTI, 2002. – p. 20 – 25.

2. E.Peters, Chaos and order in the capital markets. A new view of cycles, prices, and market volatility, John Wiley & Sons, Inc., New York – Chichester – Brisbane – Toronto - Singapore, 1996

3. J.S.Nicolis, Dynamics of Hierarchical Systems. An Evolutionary Approach, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg – New York – Tokyo, 1986

4. F.Moon, Chaotic vibrations. An introduction for applied Scientists and engineers, John Wiley & Sons, Inc., New York – Chichester – Brisbane – Toronto - Singapore, 1987

5. Tricot C. Curves and Fractal Dimension. Springer-Verlag, New York, 1995. 6. Schroeder M.R. Fractals, Chaos, Power Laws. Freeman, New York, 1991.


125

ГОМОМОРФНОЕ ПОДАВЛЕНИЕ ШУМОВ В ИМПУЛЬСНЫХ

СИГНАЛАХ НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ВОЛНАМ

Ю. А. Краснитский

Институт транспорта и связи

ул. Ломоносова, 1, Рига, LV-1019, Латвия Тел.: (+371)-7100650. Факс: (+371)-7100660

Предложена процедура последовательного подавления аддидитивных, а также сверточных (конволюционных) и мультипликативных шумов путем приведения их к аддитивным с помощью соответствующих гомоморфных преобразований. В разложении сигнала по элементарным волнам (вейвлетам) аддитивный шум отождествляется с детализирующим компонентом этого разложения. Установлено, что в качестве базисных функций целесообразно использовать вейвлеты Добеши 4-го порядка. Обсуждаются особенности выбора порогов при подавлении шумов. По результатам численных экспериментов обнаружено, что основную роль в формировании атмосфериков играет конволюционный шум.

Ключевые слова: атмосферик, шумы, вейвлеты

1. Введение При пассивном дистанционном зондировании молниевых разрядов одна из

важных задач состоит в оценке параметров импульса тока I(z, t), протекающего в основании (z = 0) канала молнии, по результатам анализа электромагнитного импульса (атмосферика), который излучен этим каналом.

В точке наблюдения чаще всего ограничиваются регистрацией вертикальной составляющей Еz(t) электрического поля атмосферика. В рамках линейной модели ее можно описать зависимостью

)(),0()( thtItEz ∗= , (1)

где символ ∗ означает операцию свертки, а h(t) – импульсная характеристика (ИХ) воображаемого четырехполюсника, который преобразует ток в основании канала в электрическое поле, наблюдаемое в точке приема атмосферика. В свою очередь, рассматривая канал как дискретную совокупность элементарных электрических диполей, получим

)()()()( tracechanelem thththth ∗∗= , (2)

где

)}1(1{F)}({F)( 321

elem1

elem rk

kri

riHth +−+== −− ω (3)

– ИХ одного из этих диполей, представляющая собой обратное преобразование Фурье F-1 его частотной характеристики. Выражение для этой характеристики записано в фигурных скобках (k = ω /c, r – расстояние до точки наблюдения). Функция h chan описывает ИХ дискретной антенной решетки, которая образована неоднородностями структуры канала.

Функция h trace(t) – это ИХ трассы распространения атмосферика. Если r не превышает нескольких десятков километров, то для хорошо проводящей почвы и при


126

ограничении спектра атмосферика сверху частотами порядка 200–500 кГц можно считать h trace(t) постоянной величиной, близкой к 2.

Таким образом, вид атмосферика (1) в основном определяется результатом свертки импульса I(0, t) тока с ИХ излучения h chan.(t) канала, отображающей сведения о его геометрической и электрофизической структуре [1].

Однако в реальных условиях анализируемый сигнал (1) дополнительно содержит шумовые компоненты, и их присутствие затрудняет решение обратной задачи, состоящей в оценке формы и параметров импульса тока по результатам анализа зарегистрированного атмосферика.

Появление этих компонентов может быть вызвано различными физическими причинами. В работе рассматриваются шумы трех видов:

а) аддитивные nadd(t), относительно которых обычно можно считать, что при регистрации атмосфериков в диапазоне частот ниже 1 МГц они обусловлены в основном мировым фоном, т. е. суммарным потоком импульсов с небольшими амплитудами, всегда существующим в любой точке регистрации в результате электромагнитного излучения дальних гроз [2];

б) конволюционные (сверточные) nconv(t), порождаемые мелкими неоднород-ностями, хаотически расположенными вдоль канала, которые при воздействии на них волны тока создают множественные отражения малого уровня, приводящие к так называемому явлению размножения волн (попутному потоку) [3];

в) мультипликативные nmult(t), вызываемые, например, модуляцией проводимости канала за счет случайного изменения электронной концентрации плазмы по его длине [4].

Таким образом, с учетом влияния факторов, рассмотренных выше, модель исследуемого сигнала вместо (1) может быть представлена выражением

)()()]()([)(ˆaddconvmult tntntntEtE zz +∗⋅= . (4)

2. Оценка индукционной составляющей атмосферика

Очевидно, что с током в основании канала наиболее простым соотношением

(прямой пропорциональной зависимостью) связана индукционная составляющая напряженности поля, излучаемого каналом молнии. Если расстояние r от точки наблюдения до молниевого разряда считать известным, то ее нетрудно выделить из зарегистрированного атмосферика, показанного на рис. 1а, используя обратную фильтрацию. Это дает (рис. 1b)

}1)(

)}(ˆ{F{F)(ˆ

2elem

1-ind riH

tEtE z

ω= , (5)

где F и F-1 – операторы прямого и обратного преобразования Фурье. Аналогичным способом можно оценить и другие компоненты напряженности поля, в частности, радиационную (рис. 1c)

})(

)}(ˆ{F{F)(ˆ

elem

1-rad r

kiiHtE

tE z

ω= , (6)

которая определяется величиной производной тока по времени. На рис. 1а-с справа вверху указан идентификатор исследуемого сигнала.


127

3. Устранение аддитивного шума Один из перспективных методов снижения уровня шумов в сигнале основан на

применении разложения по элементарным волнам, или вейвлетам. Вейвлетом называют некоторый пробный сигнал с конечной энергией, задаваемый функцией, главные свойства которой состоят в равенстве нулю ее среднего значения и компактности носителя [5].

Следует отметить, что в литературе по обработке сигналов, выпускаемой на русском языке, вместо перевода соответствующих англоязычных терминов часто используют их кальки. Не избежал этой участи и термин “wavelet”, хотя в этом случае можно бы было обратиться к прецедентам из геофизики, где исходное английское слово давно переводят понятием “элементарная волна”, отражая тем самым физи-ческую сущность рассматриваемого явления как структурной ячейки более сложного процесса. Перевод этого слова термином “всплеск”, что иногда встречается [6] в математической литературе, не представляется удачным.

С помощью соответствующего масштабирования и сдвигов для большинства из часто применяемых вейвлетов удается построить полную ортонормированную систему функций. Разложение исследуемого сигнала по элементарным волнам, называемое также вейвлет-преобразованием, сводится к вычислению сверток этого сигнала с указанными функциями.

Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) определяется соотношением

ts

ttEs

st

d)()(||

1),CWT(0

τψτ −= ∫ , (7)

где ψ(⋅) – некоторый вейвлет. Таким образом, (7) представляет собой функцию двух переменных – масштабного коэффициента s, величина которого определяет соответствующее растяжение или сжатие вейвлета, и сдвига τ вейвлета вдоль оси времени t. Широко применяется также дискретное вейвлет-преобразование (ДВП), когда переменные s и τ проходят значения, задаваемые по некоторым правилам, например, в виде геометрической прогрессии со знаменателем, равным 2.

В результате этих преобразований осуществляется отображение сигнала E(t) на плоскость “время - масштаб”. Благодаря изменению масштаба s в некотором диапазоне значений вейвлет-преобразования позволяют обнаруживать различия характеристик сигнала на разных масштабных шкалах и оценивать их степень. В области малых s возможно наблюдение быстрых (мелкомасштабных) вариаций функции (7), несущих сведения о деталях строения сигнала E(t). И наоборот, при больших значениях s выделяется область медленных, или крупномасштабных, изменений, которые отобра-жают основные особенности его поведения. Наконец, перемещение вейвлета вдоль всей области определения функции E(t) посредством введения сдвига τ позволяет провести анализ локальных свойств исследуемого сигнала в разные моменты времени.

При реализации описанных преобразований выбор вейвлета ψ(t) должен учитывать свойства анализируемого сигнала и представляет серьезную и трудно формализуемую задачу. Критерием оптимальности здесь может служить простота полученного разложения. Предварительные вычислительные эксперименты с материалами регистрации излучения молниевых разрядов позволили придти к выводу, что анализ атмосфериков целесообразно проводить с использованием в качестве базисных функций вейвлетов Добеши. Их характеристики описаны в [7]. Для продолжения исследований был выбран вейвлет 4-го порядка.


128

Результаты применения НВП (7) к индукционной (5) и радиационной (6) состав-ляющим атмосферика, изображенным на рис. 1b и рис. 1с, представлены на рис. 1d и рис. 1е. Они получены с помощью программы cwt.m [8], позволяющей не только выполнить необходимые вычисления, но и визуализировать их результаты. При рассмотрении этих графиков следует помнить, что на них отображается не сама функция (7), а ее модуль, возрастание которого передается путем увеличения яркости изображения. Таким образом, темные линии можно интерпретировать как геометрические места точек со значениями НВП, близкими к нулю.

Рис. 1d и е показывают, как изменяется характер информации о сигнале при увеличении масштаба. В области малых масштабов (s < 40) выявляются быстрые вариации с небольшими амплитудами, содержащие сведения о деталях строения атмосферика. Они могут быть отождествлены с отображением аддитивных шумов, учитываемых моделью (4), на плоскость “время–масштаб”. НВП для сигнала (6), как и следовало ожидать, оказывается более зашумленным.

Ослабление шумов этого вида базируется на соответствующей фильтрации функции (7) с последующим применением обратного вейвлет-преобразования, что

позволяет восстановить некий аналог исследуемого сигнала по новым значениям его НВП. Например, обработав (7) окном, т. е. ограничивая область изменения s только промежутком [s1 , s2] и считая, что вне него CWT(s, τ) = 0, получим

20],[

dd)(),(CWT1)(2

121ssts

CtE

s

ssss

τψτ

τ

ψ∫ ∫=

∈, (8)

где нормализующий коэффициент принимает значение

∫+∞

∞−

= |x|d|)(| 2 xxC ψψ . (9)

Рис. 1


129

Для ускорения вычислений и повышения их точности в качестве основы алгоритма подавления аддитивного шума целесообразно использовать дискретное вейвлет-преобразование, которое состоит в нахождении вектора коэффициентов

Ew ˆW= (10)

где W – ортонормальная матрица размера N N, а N – длина сигнала. Последнюю чаще всего выбирают так, чтобы N = 2 j при целочисленном j. Структура матрицы и значения ее элементов определяются типом используемого вейвлета.

Процедура (10) позволяет осуществить декомпозицию сигнала, основанную на том, что вектор w содержит коэффициенты двух видов - аппроксимирующие, которые описывают сигнал в грубом приближении, и детализирующие, которые отображают тонкие особенности его строения. Таким образом, аддитивный шум передается в детализирующем компоненте разложения, а его подавление состоит в пороговой фильтрации вектора (10), сводящейся к ослаблению влияния членов с малыми величинами коэффициентов.

Описанный выше алгоритм (8) взвешивания сигнала с использованием окна представляет собой разновидность порогового фильтра с так называемым жестким порогом. Для обработки атмосфериков был применен один из многочисленных возможных вариантов фильтрации с мягким порогом [8], когда n-му отсчету детализирующего компонента в (10) присваивается значение

≤>−

=,||,0,||),||()sign(

ˆ n δδδ

n

nnn

wwww

w (11)

и если шум предполагается гауссовым с дисперсией, равной σ2, то в качестве порога в (11) выступает величина

)log(2 2 Nσδ = . (12)

В [8] рекомендуется проводить дополнительную коррекцию порога (12) с учетом медианного значения med[d(n)], вычисленного для ряда d(n), который образован детализирующими коэффициентами. Величина скорректированного порога будет

6745,0)]([medc ndσδ = . (13)

Последний этап состоит в восстановлении модифицированного сигнала

wE ˆW~ T= , (14)

который по сравнению с исходным будет обладать пониженным уровнем шума. Последовательное применение дискретного вейвлет-

преобразования (10) с использованием на каждом этапе аппроксимирующего компонента в качестве входного сигнала позволяет выполнить многоуровневую декомпо-зицию. Кривая 1, которая приведена на рис. 2, показы-вает, как влияет число уровней разложения атмосферика (5) на величину нормы восстановленного сигнала (13). Степень ее уменьшения может быть принята в качестве меры подавления аддитивного шума.

Рис. 2


130

4. Подавление конволюционного и мультипликативного шума с использованием гомоморфных преобразований

Гомоморфное преобразование представляет собой такую последовательность

операций, производимых над входным сигналом, в результате которой последний отображается в область, где его компоненты становятся аддитивными и могут быть разделены средствами линейной фильтрации. Результаты разделения могут быть возвращены в исходную область с помощью обратного преобразования [9].

Применительно к задаче снижения уровня шума гомоморфную фильтрацию целесообразно использовать для выполнения операций над сигналами, которые содержат конволюционный и мультипликативный шумы.

Из (4) следует, что при обработке сверточного, или конволюционного, шума гомоморфное преобразование состоит в последовательном переходе от исходного сигнала сначала к его комплексному спектру посредством вычисления прямого преобразования Фурье, а затем – к логарифмическому спектру

Im

L

Re

LLL )]()([arg)(|)(|)}](ˆLn[F{)(ˆ ωωωωω ϕniSiniStEiS +++== , (15)

где символом Ln обозначена операция вычисления комплексного логарифма. Как и при нахождении комплексного кепстра, вычисление мнимой части в (15) должно включать развертывание фазовой кривой arg SL, что необходимо для устранения разрывов фазового спектра, и удаление линейного компонента последнего.

Из (15) следует, что описанное выше преобразование позволяет производить фильтрацию шумов nL(ω) и nϕ(ω), аддитивных соответственно по отношению к действительной и мнимой частям логарифмического спектра, по отдельности.

На рис. 3а и 3с приведены графики действительной и мнимой составляющих

логарифмического спектра атмосферика (5), а ниже – результаты применения к ним непрерывного вейвлет-преобразования (7). Обращает на себя внимание, что структуры амплитудного шума nL(ω) (рис. 3b) и фазового шума nϕ(ω) (рис. 3d) не только близки, но и демонстрируют определенные признаки, которые характерны для фрактальных процессов.

Аддитивность к соответствующим компонентам логарифмического спектра позволяет проводить фильтрацию (10)–(14) для амплитудного и фазового шума раздельно. Ее результаты иллюстрируются кривыми 2 и 3, показанными на рис. 2.

Последовательность действий, которая превращала бы мультипликативный шум, учитываемый моделью (4), в аддитивный, должна быть гомоморфной по отношению к

Рис. 3


131

операции умножения. Соответствующий алгоритм можно построить путем перехода к комплексному логарифму аналитического сигнала, что дает

Im

mL

Re

mALL )]()([arg)(|)(|)}](ˆHb{)(ˆLn[)(ˆ tntAitntAtEitEtA ϕ+++=+= , (16)

где Hb – символ преобразования Гильберта, nmA(t) – амплитудная составляющая мультипликативного шума, n mϕ(t) – мультипликативный фазовый шум. Как и в предыдущем случае, вычисление мнимой части в (16) должно включать операции развертывания кривой, описывающей поведение мгновенной фазы, и удаления из нее линейного компонента. Подавление амплитудного nmA(t) и фазового nmϕ(t) шумов иллюстрируется кривыми 4 и 5, приведенными на рис. 2.

Рис. 4 демонстрирует влияние последовательного подавления шума на форму радиационной составляющей (6) исследуемого атмосферика. На рис. 4а повторен сигнал, представленный ранее на рис. 1с. На рис. 4b–d изображены результаты применения процедуры (10)–(14) для подавления аддитивного, конволюционного и мультипликативного шумов соответственно. При этом сигнал, который является выходным на предыдущем этапе, служит входным для последующего и т. д.

Таким образом, в рамках применимости модели (4) для описания шумового содержания атмосфериков конволюционный и мультипликативный компоненты играют более заметную роль, чем аддитивный. В свою очередь, конволюционный шум проявляет себя сильнее, чем мультипликативный, а при сравнении вкладов амплитудных и фазовых шумов большее влияние на структуру атмосфериков оказывают фазовые шумы. Подавление шумов, имеющих различную физическую природу, позволяет добиться существенного сжатия сигнала. Литература

[1] Krasnitsky Yu.A. J. Geophys. Res., 1994, v. 99, No D5, 10.723 - 10.725 [2] Volland H. Atmospheric Electrodynamics. – Berlin: Springer Verlag, 1984. – 205 pp. [3] Харкевич А.А. Основы радиотехники. – М.: Связьиздат, 1963. – 559 с. [4] Райзер Ю.П. Физика газового разряда. – М.: Наука, 1987. – 592 с. [5] Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. – Academic Press, 1997. – 575 pp. [6] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. УМН, 1998, т. 53, № 6, 9 - 13 [7] The Transforms and Applications Handbook / Ed. A.D. Poularikas. – CRC Press, 1996.

– 1102 pp. [8] Wavelet Toolbox User's Guide. – MathWorks, 1997. – 626 pp. [9] Применение цифровой обработки сигналов / Под ред. Э. Оппенгейма. – М.: Мир,

1980. – 552 с.

Рис. 4


132

РЕКУРСИВНЫЕ ПОЛИФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ ФИЛЬТРАЦИИ

Эдуард Матосов

Институт транспорта и связи

ул. Ломоносова, 1, Рига, LV-1019, Латвия Тел. (+371)-919-25-85. E-mail: [email protected]

Введение В статье рассматриваются проблемы построения многоканальных полифазных

систем фильтрации равномерного ДПФ на основе фильтров с БИХ. Частотно-избирательные системы такого типа имеют ряд значительных отличий от систем с КИХ. Одно из преимуществ «БИХ фильтрации» возможность построения фильтров с амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) оптимальными в некоторых смыслах, как-то бесселевские, золоторевские, чебышевские фильтры.

Однако при построении многоканальных фильтров с БИХ на НЧ фильтр-прототип накладываются дополнительные условия, что усложняет предварительный расчет такого фильтра, но за счет некоторого ряда новых свойств, обнаруженных в этих фильтрах, дает ряд преимуществ в построении многоканальной полифазной системы фильтрации равномерного ДПФ.

В статье показывается способ преобразования НЧ фильтра-прототипа с БИХ в полифазную форму для использования в многоканальных системах фильтрации. Описываются свойства и особенности полифазного НЧ фильтра-прототипа с БИХ. Предлагается новая структура такого фильтра на основе каскадного соединения элементарных звеньев, полученных из корней полинома числителя.

Обозначения, используемые в статье: АЧХ – амплитудно-частотная характеристика, БИХ – бесконечная импульсная характеристика, ДПФ – дискретное преобразование Фурье, КИХ – конечная импульсная характеристика, НЧ – низкочастотный, ФЧХ – фазово-частотная характеристика.

Длительное время полифазные многоканальные системы фильтрации на основе

рекурсивных фильтров оставались нереализуемы. При построении такого фильтра на основе рекурсивного прототипа, без дополнительных ограничений, характеристики канальных фильтров разваливались. Дополнительное условие, которому должен соответствовать рекурсивный фильтр-прототип, накладывается на знаменатель многоканального фильтра с БИХ [1, 2]:

целоеKгдеzazQK

k

kMk −= ∑

=

,)(0

F. 1

То есть степени z всех слагаемых знаменателя должны быть кратны M – максимальному числу субполос многоканального фильтра.

Для выполнения этого условия необходимо преобразовать знаменатель произвольного фильтра-прототипа (например, с чебышевской характеристикой) к виду F. 1.


133

Пусть, существует НЧ фильтр-прототип с БИХ, удовлетворяющий заданным условиям избирательности. Тогда его передаточную функцию всегда можно привести его к виду:

∏ ++++

⋅++

⋅== −−

−−

−

−

k kk

kkk

zazabzbzb

zabzbH

zQzPzH

11)()()( 1

12

2

01

12

21

1

01

10 , F. 2

заменим 1−z на x . Тогда передаточная характеристика фильтра-прототипа будет выглядеть следующим образом:

∏ −−

++⋅

−+

⋅=k kk XxXx

xxbbXx

xbHzH kk

))(()( *

11

2''

00

'0'

010 , F. 3

где *1100 ,, kk XXX – корни соответствующих полиномов. Для того чтобы выполнялось

условие F. 1, необходимо каждый из сомножителей вида )( kmXx − привести к виду

)( Mkm

M Xx − , а затем умножить числитель передаточной функции на корректирующий полином )(xT .

1. Рассмотрим 00

'0

Xxxb

−+ , где корень знаменателя 00X – вещественное число.

Необходимо получить )()(

)()()()(

000

0'0

00

0'0

xTXxxTxb

XxxTxb

MM −+

=−

+ . Из этого соотношения получить

)(0 xT не составляет труда:

∑−

=

−−⋅=−−

=1

0

100

00

000 )(

M

k

kMkMM

xXXxXxxT . F. 4

2. Рассмотрим биквад))(( *

11

2''10

kk XxXxxxbb

kk

−−

++, у которого, как видно из формулы,

корни знаменателя комплексно сопряжены. Необходимо получить

MMkk

kMM

k

kkkk

k

kk

xxccxTxxbb

XxXxxTxxbb

xTXxxTXxxTxxbb

XxXxxxbb

kkkk

kkkk

210

2''

21

2''

2*111

2''

*11

2''

)()())(()()(

)]())][(()[()()(

))((

1010

1010

++

++=

−−

++=

=−−

++=

−−

++

,

где )()()( 21 xTxTxT kkk = , а kk cc 10 , – вещественные коэффициенты. Найти полиномы )(1 xT k и )(1 xT k не составляет труда по их корням, которые для

полинома )(1 xT k будут равны:

)2)(arg(

111 n

MXj

knkeXX

π+

⋅= , F. 5

где 1,1 −= Mn . А для полинома )(2 xT k – комплексно сопряжены с корнями полинома )(1 xT k . Таким образом, передаточная характеристика фильтра-прототипа будет

представлять собой следующее:


134

)()(

)()(

)()(

)()()(

1

1

0

0

zQzP

zTzT

zTzT

zQzPzH

kk

kk

=⋅=∏∏

, F. 6

а структура многоканального полифазного фильтра будет выглядеть, как показано на Рис.1.

Рис. 1. Полифазная форма построения многоканального рекурсивного цифрового фильтра

Рассмотрим распределение корней, а также АЧХ НЧ фильтра-прототипа с БИХ, имеющего чебышевскую характеристику первого рода, на примере 6-ти полосного многоканального фильтра со следующими характеристиками:

N = 5; % порядок НЧ фильтра-прототипа с БИХ R = 0.01; % дБ – неравномерность в полосе пропускания Wn = 0.5/12; % частота среза

Распределение корней показано в Приложении 1. Как видно из рисунков корни знаменателя равномерно размножаются вокруг центра координат комплексной плоскости, что согласуется с F. 5. При этом, как видно из рисунков, автоматически сохраняется условие устойчивости фильтра – корни полинома знаменателя не выходят за пределы единичной окружности.

Фазово-частотная характеристика НЧ фильтра-прототипа и полифазного НЧ фильтра-прототипа с БИХ ничем примечательным на наш взгляд не обладает и в данной статье не приводится. В Приложении 2 показаны АЧХ числителя и знаменателя НЧ фильтра-прототипа и полифазного НЧ фильтра-прототипа с БИХ. Как видно из рисунков АЧХ НЧ фильтра-прототипа в его полифазной версии многократно повторяется (пропорционально удвоенному числу каналов в многоканальной системе фильтрации; в нашем случае 2*6=12 раз). Такое «размножение» АЧХ знаменателя прототипа незначительно ухудшает частотную избирательность канальных фильтров в многоканальной системе фильтрации. Поэтому исходный прототип рекомендуется задавать с некоторым запасом (~3 дБ) в полосе подавления. Общая АЧХ много-канального фильтра показана в Приложении 3.

Если внимательно проанализировать числитель передаточной функции многока-нального полифазного фильтра с БИХ, то можно заметить, что корни M – кратно децимированных полифазных компонент вещественны. Используя это свойство, многоканальный фильтр можно построить как показано на Рис. 2. Как видно из рисунка полифазные ветви фильтра состоят из каскадного соединения «элементарных звеньев» - задержки на М – тактов и коэффициента (на рисунке показано на темном фоне). Такая форма построения многоканального полифазного фильтра имеет преимущества по


135

сравнению с формой, показанной на Рис.1. Устойчивость к округлению коэффициентов у такого фильтра намного выше.

Рис. 2. Полифазная форма построения многоканального рекурсивного цифрового фильтра

с модифицированными полифазными компонентами

Литература

1. Markku Renfors, Tapio Saramäki “Recursive Nth-Band Digital Filters – Part I: Design and Properties”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. CAS-34, No. 1 January 1987, pp. 24-38.

2. H. G. Martinez and T. W. Parks, “A class of infinite-duration impulse response digital filters for sampling rate reduction”, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process., vol. ASSP-27, pp. 154-162 Apr. 1979.

3. Еремеев В. П., Матосов Э. В., Тимонин С. Г. “Полифазные цифровые фильтры”, методическое пособие, TSI, Рига 2001.


136

Приложение 1

Рис. 1 Распределение корней числителя НЧ фильтра-прототипа с БИХ

Рис. 2 Распределение корней знаменателя НЧ фильтра-прототипа с БИХ

Рис. 3 Распределение корней числителя полифазного НЧ фильтра-прототипа с

БИХ

Рис. 4 Распределение корней знаменателя полифазного НЧ фильтра-прототипа с БИХ

Re Re

Re Re

Im Im

Im Im


137


Рис. 0 АЧХ НЧ фильтра-прототипа с БИХ

Рис. 0 АЧХ знаменателя НЧ фильтра-прототипа

с БИХ

Рис. 0 АЧХ числителя НЧ фильтра-прототипа с

БИХ

Рис. 4 АЧХ знаменателя полифазного НЧ

фильтра-прототипа с БИХ

Рис. 5 АЧХ числителя полифазного НЧ фильтра-

прототипа с БИХ

|H|

|P(z)|

|Q(z)|

|P1(z)|

|Q1(z)|

f / fНайквиста

f / fНайквиста f / fНайквиста

f / fНайквиста f / fНайквиста


138


АЧХ шести-канального полифазного фильтра с БИХ

Documents

РАЗВЕДОЧНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮProbabilistic Chaotic Deterministic Signal . Proceedings of International Conference RelStat’03 Vol. 2 119 коротких