Embed Size (px)
Citation preview
83
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
( )p x ( )q x
1- )4(
xابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته و سپس دو نقطة x و 0= = را جداگانـه بررسـي ) ها با توجه به گزينه (2
): شود توجه كنيد كه غير عادي يا تكين بودن هر دو نقطه آشكارا ديده مي( كنيم مي
( )( ) ( )
( ) ( )
x x
x x y x x y y y y yx x x x
÷ −
′′ ′ ′′ ′− − − + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =− −
2 322 3 2
2 3
1 12 2 0 0
2 2
xبررسي نقطة =0
x . غيرعادي منظم است0=
( )( )
( )( ) ( )
x x x
x x x
x
p x p xx x x
xq x q x
x x x
lim lim lim
lim lim lim
→ → →
→ → →
⎫= = − = − = ⎪− − ⎪
⇒⎬⎪= = = = −⎪− − ⎭
0 0 0
0 0 0
0
2
2
0 2 2 3
1 1
2 2 2
1 1
82 2
xبررسي نقطة = 2:
( ) ( )( )x x x
x
p x p xx x x
lim lim lim→ → →
−
= − = − = − = −
−2 2 2
0
2 1 12
2 2
. وجود ندارد ( )
( ) ( )( ) ( )x x x
x
q x q x
x x x x
lim lim lim→ → →
−
= − = = =
− −2 2 2
2
2
0 2 3 2
2 12
2 2
xبنابراين = . است، غيرعادي نامنظم 2
2 - )2(
xيعني(ابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته و سپس نقطة موردنظر =0
: كنيم را بررسي مي) 1
( )x x
x y y x x y y y yxx
÷ −′′ ′ ′′ ′+ + − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =
22 2
2
2 12 0 0
)از آنجا كه توابع )p x
x
=
2
2) و )
x
q xx
−
=
1x هر دو در =
0 تعريف شـده و تحليلـي هـستند، بنـابراين ايـن 1
. ، يك نقطة عادي استهنقط
3 - )4(
xابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته و سپس نقطةها، با توجه به گزينه : كنيم را بررسي مي0=
( )x sin x
x y sin x y y y y yx x
÷
′′ ′ ′′ ′+ − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + − =
22
2 2
3 23 2 0 0
)ضح است كه توابع وا )p x و ( )q x در نقطه x xانـد، بنـابراين ناپيوسته و در نتيجه غير تحليلـي 0= يـك 0=
: كنيم را بررسي ميمنظم يا نامنظم بودن اين نقطه در ادامه . معادله است) يا منفرد(نقطة غيرعادي
( )x x x
x sin x sin xp x p x
xxlim lim lim→ → →
= = =
0 0 0
0 2
3 33
فرم استاندارد
( )p x( )q x
فرم استاندارد
( )p x( )q x
ارزي هم
معادلات ديفرانسيل 84
( )x x
x
q x q x
x
lim lim→ →
−
= = = −
0 0
2
2
0 2
22
xچون هر دو حد فوق موجود و متناهي شدند، پس درنهايت، با تشكيل معادلة . يك نقطة منفرد منظم است 0=
: آوريم دست مي هاي آن را به ة معادله، فرم كلي جوابصمشخ
( ) ( )m m p m q m m m− + + = ⇒ − + − =0 0
1 0 1 3 2 معادلة مشخصه : 0
,m m m m m
− ±⇒ + − = ⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ = − + = − −
2
1 2
2 122 2 0 1 3 1 3
2
)چون معادلة مشخصه دو ريشة متمـايز بـا اخـتلاف غيرصـحيح )m m− = ∉1 2
2 3 هـاي دارد، پـس جـواب �
: اي معادله برابرند با پايه
,
n n
n n
n n
m y x a x m y x b x∞ ∞
− + − −
= =
= − + ⇒ = = − − ⇒ =∑ ∑1 3 1 3
1 1 2 2
0 0
1 3 1 3
4 - )4(
aاز آنجاكه فقط مقدار4
xضريب (را خواسته، از رابطة) 4
( )( )
!
n
n
ya
n=
0
: كنيم استفاده مي
(*)( ) ( )( ) ( )
! !
n
n
n
y ya a
n
=
= ⎯⎯⎯→ =
44
4
0 0
4
y xy y y xy y y′′ ′ ′′′ ′′ ′ ′− + = ⎯⎯→ − − + =2 0 2 معادلة داده شده : 0
( )y xy y y xy y y′′′ ′′ ′ ′′′ ′′ ′′⇒ − + = ⎯⎯→ − − + =
40 0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )y xy y y y′′′ ′′′⇒ − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − × = ⇒ =4 4 4
0 0 0 0 0 0 0
!
a⎯⎯→ = =4
0
0
4
5- )1(
xها، بايد جواب معادله را به صورت يك سري حول نقطة با توجه به گزينه دست آوريم، براي همين منظور به0=
xابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته و نوع نقطة : كنيم را بررسي مي 0=
( )x x
x y xy x y y y yx x
÷ −
′′ ′ ′′ ′− + − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =
22
2
1 11 0 0
x ) ريشة مخرج توابع0= )p xو ( )q x در ادامه داريم. استبراي معادله و در نتيجه يك نقطة غيرعادي :
x .نقطة غيرعادي منظم است0=
( )
( )( )
x x
x x
x
p x p xx
x xq x q x
x
lim lim
lim lim
→ →
→ →
⎫= = − = − ⎪
⎪⇒⎬
− ⎪= = =⎪⎭
0 0
0 0
0
2
2
0 2
1
11
: بنابراين داريم
,
( )p q
m m p m q m m m=− =
− + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − + =0 0
1 1 2
0 01 0 1 معادلة مشخصه : 0
ش دلتارو
مشتق
مشتق
xجايگذاري =0
(*)
( )p x ( )q x
85
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
)ريشة مضاعف )m m m m m⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = =2 2
1 22 1 0 1 0 1
صـورت هاي پايـة معادلـه بـه دست آمدند، پس يكي از جواب صورت مضاعف به هاي معادلة مشخصه به چون ريشه
ها، كافي اسـت كـه جـواب فروبنيوسـي ا توجه به گزينه بدر اينجا . صورت لگاريتمي است فروبنيوسي و ديگري به
yيعني (معادله1
: را به دست آوريم)
( )mm n n n
n n n
n n n
y x a x a x y n a x
∞ ∞ ∞
= +
= = =
′= ⎯⎯→ = +∑ ∑ ∑111 1
1 1
0 0 0
1
( )
( ) n
n
x y xy x yn
y n n a x
∞
−
′′ ′− + − ==
′′⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→∑ 2
1
11 0
1
1
( ) ( )n n n n
n n n n
n n n n
x n n a x x n a x a x x a x
∞ ∞ ∞ ∞
− + +
= = = =
+ − + + − =∑ ∑ ∑ ∑2 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0
( ) ( )n n n n
n n n n
n n n n
n n a x n a x a x a x
∞ ∞ ∞ ∞
+ + + +
= = = =
⇒ + − + + − =∑ ∑ ∑ ∑1 1 1 2
1 0 0 0
1 1 0
(( ) ( ) ) n n
n n n n
n n
n na n a a x a x a x a x
∞ ∞
+ +
−
= =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + + − + − =∑ ∑1 1
0 0 1
1 1
1 1 0
(*)( ( ) ) n n
n n n n n
n
a
n n n a a x n a a a
n
∞
+ −
− −
=
⇒ + − − + − = ⇒ − = ⇒ =∑2 1 2 1
1 1 2
1
1 1 0 0
( !)
n a a
a a=
⎯⎯⎯→ = = =1 0 0
1 0 21 1
(*)
( !)
n a a a
a=
⎯⎯⎯→ = = =1 1 0 0
2 24 4 2
(*)
( !)
n a a a
a=
⎯⎯⎯→ = = =×
1 2 0 0
3 29 4 9 3
(*)
( ) ( !)
n n
n
a a a
a
n n n n
− −
= = = =
−
1 2 0
2 2 2 21
�
�
: بنابراين داريم
( !) ( !)
n
n n
n
n n
a xy a x x y
n n
∞ ∞ +
+ +
= =
= = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ∑∑ ∑1
1 10
1 12 2
0 0
6 - )2(
را بـا انـديس زوج چنـد جملـة اول پـس انـد، هـاي زوج مطـرح فقط انـديس توان ديد كه ميها با توجه به گزينه
: پي ببريم ضرايباز اين دسته نويسيم تا به رابطة كلي مي
مشتق
مشتق
جايگذاري در معادله
xسازي توان يكسان
ها و انديس پايين در سري
aبا فرض =0
1
n2
معادلات ديفرانسيل 86
n
nn
n
n
a
a
aa a
a a
n
a a
a
=
=
+
=
⎧⎯⎯⎯→ =⎪
⎪⎪
= ⇒ ⎯⎯⎯→ = =⎨+ ×⎪
⎪⎯⎯⎯→ = =⎪ × ×⎩
00
2
2 2 0
2 4
4 4 0
6
1
1 3 1 3
5 1 3 5
: ايد زير شدهكلي احتمالاً شما هم متوجه روند دست آمده، با توجه به نتايج به
... ( )n
a
a
n
=
× × × −
0
21 3 2 1
7 - )3(
: كنيم ه را در معادله جايگذاري كرده و رابطة بازگشتي موردنظر را محاسبه ميجواب داده شد
( )n n n
n n n
n n n
y a x y na x y n n a x
∞ ∞ ∞
− −
= = =
′ ′′= ⇒ = ⇒ = −∑ ∑ ∑1 2
0 1 2
1
( )
( ) ( )n n n
n n n
x
y p y n n n
n n a x p a x a x
∞ ∞ ∞
− +
′′+ + − = = = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + − =∑ ∑ ∑2
2 2
10 2 0 0
2 4
1 11 0
2 4
( )( ) ( )n n n
n n n
n n n
n n a x p a x a x
∞ ∞ ∞
+ −
= = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + + − =∑ ∑ ∑2 2
0 0 2
1 12 1 0
2 4
( )( ) ( )n n
n n
n n
n n a x a a x p a x
∞ ∞
+
= =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + + + + +∑ ∑2 2 3
2 2
12 1 2 6
2
( )( ) n
n
n
p a a x a x
∞
−
=
+ + − =∑0 1 2
2
1 10
2 4
(( )( ) ( ) ) ( )( )n
n n n
n
n n a p a a x a a x p a a x
∞
+ −
=
⇒ + + + + − + + + + + =∑ 2 2 2 3 0 1
2
1 1 12 1 2 6 0
2 4 2
( )( ) ( )n n n
n n a p a a+ −
⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + + − =2 2
1 12 1 0
2 4
8- )3(
كنيم تا رابطـة بازگـشتي بـين ضـرايب را و تلاش مي كنيم جواب مورد نظر را در معادلة داده شده جايگذاري مي
: دست آوريم به
( )n n n
n n n
n n n
y a x y na x y n na x
∞ ∞ ∞
− −
= = =
′ ′′= ⇒ = ⇒ = −∑ ∑ ∑1 2
0 1 2
1
( ) n n
n ny xy
n n
n na x a x
∞ ∞
− +
′′− =
= =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − =∑ ∑2 1
0
2 0
1 0
جايگذاري در معادله
ها توانسازي يكسان
ها سازي انديس يكسان
رابطة بازگشتي
جايگذاري در معادله
87
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
( )( ) n n
n n
n n
n n a x a x
∞ ∞
+ −
= =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − =∑ ∑2 1
0 1
1 2 0
( )( ) n n
n n
n n
n n a x a a x
∞∞
+ −
= =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + − =∑ ∑2 2 1
1 1
1 2 2 0
(( )( ) ) n
n n
n
n n a a x a
∞
+ −
=
⇒ + + − + =∑ 2 1 2
1
1 2 2 0
( )( )( )( )
n
n n n
a
n n a a a
n n
−
+ − +⎯⎯⎯⎯→ + + − = ⇒ =
+ +
1
2 1 21 2 0
1 2
( )( ) ( )( )
n n n n nn
n n
aa
a a
n n n n
→ + → + +
+ +⎯⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯⎯→ =
+ + + +
1 1 1
3 42 3 3 4
هـا روابطـي براسـاس هـا نبـود، چـون در گزينـه دست آمده در گزينه توجه كنيد كه وقتي رابطة اولية به na
+3 و
ياna
+4 . را افزايش داديمnداشت، بنابراين براي رسيدن به گزينة صحيح نيز وجود
9 - )2(
: آوريم دست مي ابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته و سپس نقاط منفرد منظم آن را به
( )( ) ( )
( )( )
x x
x xy xy x y y y yx xx
÷ −
′′ ′ ′′ ′− + + − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =−−
22 22
2
3 12 2 3 2 0 0
2 22 2
xتوان ديد كه نقاط به سادگي مي x و0= = )هاي مخرج توابع ريشه (2 )p xو ( )q x( نقاط غيرعـادي معادلـه ،
: كنيم در ادامه منظم يا نامنظم بودن آنها را بررسي مي. هستند
x . يك نقطة غيرعادي منظم است0=
( )( )
( )( )
x x
x x
x
p x p x
xx
xq x q x
x
lim lim
lim lim
→ →
→ →
⎧= = =⎪
−⎪= ⇒ ⇒⎨
⎪ = = =⎪ −⎩
0 0
0 0
0 2
2
0
30
2 20
02 2
).د نداردوجو ) ( )( )x x
x p x p xx
lim lim→ →
= ⇒ = − = =−2 2
0
32 2
2 2
xبنابراين = هـاي معادلـة مشخـصة درنهايت، بنا به خواسـتة مـسئله، ريـشه . يك نقطة غيرعادي نامنظم است 2
xمتناظر با : كنيم را محاسبه مي) نقطة غيرعادي منظم (0=
( ) ( ) ,p q
m m p m q m m m m= =
− + + = ⎯⎯⎯⎯→ − = ⇒ = =0 0
0
0 0 1 21 0 1 0 1 معادله مشخصه : 0
10 - )2(
: نويسيم را به فرم استاندارد مية داده شدهابتدا معادل
ها سازي توان يكسان
ها سازي انديس يكسان
رابطة بازگشتي
( )p x( )q x
فرم استاندارد
را nها نداريم، پس در گزينه
. دهيم يك واحد افزايش مي
را nها نداريم، پس در گزينه
. دهيم افزايش ميديگر يك واحد
معادلات ديفرانسيل 88
x
xy y y y y yx x
÷
′′ ′ ′′ ′+ + = ⎯⎯⎯→ + + =4 1 1
4 2 0 02 4
xواضح است كه تنها نقطة غيرعادي معادله، نقطة : كنيم پس منظم يا نامنظم بودن آن را بررسي مي است، 0=
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = =
0 0
0
1
2 2
( )x x
x
q x q xx
lim lim→ →
= = =
0 0
2
2
00
4
: آوريم دست مي هاي آن را به و ريشهة متناظر با اين نقطهدر ادامه معادلة مشخص
( ) ( )m m p m q m m m− + + = ⇒ − + + =0 0
11 0 1 0 0
2 معادلة مشخصه :
( ) ,m m m m m m⇒ − = ⇒ − = ⇒ = =2
1 2
1 1 10 0 0
2 2 2
11 - )1(
: نويسيم مشابه تست قبل، ابتدا معادله را به فرم استاندارد مي
( )x x
x y xy x y y y yx x
÷ +′′ ′ ′′ ′− + + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =
222
2
1 12 1 0 0
2 2
xبينيم كه به سادگي مي ) ريشة مخرج توابع 0= )p x و ( )q x است و در نتيجه يـك نقطـة غيرعـادي معادلـه
: كنيم حال منظم يا نامنظم بودن آن را بررسي مي. است
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = − = −
0 0
0
1
2 2
( )
( )x x
x x
q x q x
x
lim lim→ →
+= = =
0 0
2
2
0 2
1 1
22
: كنيم هاي آن را محاسبه مي در ادامه، معادلة مشخصه و ريشه
,
( )p q
m m p m q m m m
=− =
− + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − + =0 0
1 1
22 2
0 0
1 11 0 0
2 2 معادلة مشخصه :
( )( ) ,m m m m m m⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ = =2
1 2
3 1 1 10 1 0 1
2 2 2 2
12- )1(
pمشابه تست قبل، ابتدا با استانداردسازي معادله، مقادير0
q و0
xدر نقطة : كنيم را محاسبه مي 0=
( )x x
x y x x y y y y yx x
÷ −
′′ ′ ′′ ′+ − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =
222 2
2
2 1 12 2 0 0
2 2
( )x x
xp x p xlim lim
→ →
−
= = = −
0 0
0
2 1 1
2 2
( )p x ( )q x
( )p x ( )q x
فرم استاندارد
استانداردسازي
( )p x ( )q x
89
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
( )p x ( )q x
( )p x ( )q x
( )x x
x
q x q x
x
lim lim→ →
= = =
0 0
2
2
0 2
1
22
: كنيم هاي آن را محاسبه مي در ادامه، معادلة مشخصه و ريشه
,
( ) ( )p q
m m p m q m m m
=− =
− + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − + =0 0
1 1
2 2
0 0
1 11 0 1 0
2 2 ة مشخصهمعادل :
( )( ) ,m m m m m m⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ = =2
1 2
3 1 1 10 1 0 1
2 2 2 2
13 - )2(
xصورت يك سري حول بينيم كه جواب داده شده به به سادگي مي ايـن نقطـه يـك نقطـة از طرفـي . اسـت 0=
: غيرعادي منظم معادله است
( )( )
x x
x x y xy y y y yx x x
÷ −
′′ ′ ′′ ′− − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =− −
22
2
1 10 0
1 معادلة داده شده :
xنقاط x و 0= x تنهـا نقطـة ،، نقاط غيرعادي معادله هستند، ولي با توجه به صورت سـؤال 1= را بررسـي 0=
بنـابراين . مشخصه اسـت ةهاي معادل همان ريشه ) rمقدار يعني (توجه كنيد كه در واقع خواستة مسئله . كنيم مي
pابتدا مقادير0
q و0
:آوريم دست مي هاي آن را به را محاسبه و سپس با تشكيل معادلة مشخصه، ريشه
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = − =
−0 0
0
0
1
( )x x x
x x
q x q xxx x
lim lim lim→ → →
= = = =
−
−
0 0 0
2
2
0 20
1
( ) ( ) ,p q
m m p m q m m m m= =
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯→ − = ⇒ = =0 0
0
0 0 1 21 0 1 0 1 0
14- )3(
pمقاديرسپس و ابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته 0
q و0
x نقطة را در : كنيم محاسبه مي0=
( ) ( )x x x
x y x x y x y y y yx x
÷ − +′′ ′ ′′ ′+ − − + = ⎯⎯⎯⎯→ + − =
222 2
2
3 2 12 3 2 1 0 0
2 2
: پس داريم
( )x x
x
p x p xlim lim→ →
−
= = =
0 0
0
3 2 3
2 2
( )x x
x
q x q xlim lim→ →
+= = − = −
0 0
2
0
1 1
2 2
,
( )p q
m m p m q m m m
= =−
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + − =0 0
3 1
22 2
0 0
3 11 0 0
2 2
( )( ) ,m m m m m m⇒ + − = ⇒ − + = ⇒ = = −2
1 2
1 1 1 10 1 0 1
2 2 2 2
معادله مشخصه
فرم استاندارد
معادله مشخصه
فرم استاندارد
معادلات ديفرانسيل 90
15 - )2(
: كنيم ابتدا معادله را به فرم استاندارد تبديل مي
( )( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x y x y y y y yx x x x
÷ −
−
′′ ′ ′′ ′− + − + = ⎯⎯⎯⎯→ + + =− −
1 3 1 11 3 1 0 0
1 1
pكنيم تا با محاسبة در ادامه تلاش مي 0
q و 0
x در نقطة هـاي آن را در ايـن نقطـه مشخصه و ريشه ، معادلة 0=
: دست آوريم به
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
−
= = =
−0 0
0
3 11
1
( )x x
x
q x q xx
lim lim→ →
= = =
−
0 0
2
0
0
1
,
( )p q
m m p m q= =
⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯→0 0
1 0
0 0
1 0
( )m m m m m m m m m− + + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = =2 2
1 21 0 0 0 0 0
. بنابراين، معادلة مشخصه، ريشة مضاعف صفر دارد
16- )2(
: كنيم استاندارد تبديل ميقبل، ابتدا معادله را به فرم مشابه تست
( )( )
x x
x x y xy y y y yx x x
÷ −
′′ ′ ′′ ′− − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =− −
22
2
1 10 0
1
pدر ادامه موارد0
q و0
xهاي آن را در نقطة ، معادله مشخصه و ريشه : آوريم دست مي به0=
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = − =
−0 0
0
0
1
( )x x
x
q x q xx
lim lim→ →
= = =
−
0 0
2
0
0
1
( ) ( ) ,p q
m m p m q m m m m= =
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⇒ = =0 0
0
0 0 1 21 0 1 0 0 0 1 0
17 - )1(
xصورت يك سري تواني حول ها به همة گزينه هـاي پايـة معادلـة داده هستند، بنابراين كافي است كه جواب0=
xصورت يك سري حول شده را به كنيم تا معادلة مشخـصه و ا تلاش ميابتدبراي اين منظور، . دست آوريم به0=
xدر نقطههاي آن ريشه : را محاسبه كنيم0=
( )x x
x y xy x y y y yx x
÷ +′′ ′ ′′ ′+ − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + − =
222
2
1 12 1 0 0
2 2
معادلة داده شده :
xبينيم كه به سادگي مي : در ادامه داريم. يك نقطة غيرعادي است0=
( )p x ( )q x
معادله مشخصه
( )p x ( )q x
صهمعادله مشخ
فرم استاندارد
فرم استاندارد
( )p x ( )q x
فرم استاندارد
91
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = =
0 0
0
1
2 2
( )x x
x
q x q xlim lim→ →
+= = − = −
0 0
2
0
1 1
2 2
,
( )p q
m m p m q m m m
= =−
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + − =0 0
1 1
22 2
0 0
1 11 0 0
2 2
( )( ) ,m m m m m m⇒ − − = ⇒ − + = ⇒ = = −2
1 2
1 1 1 10 1 0 1
2 2 2 2
)چون دو ريشة متمايز با اختلاف غيرصحيح )m m− =1 2
3
2 : هاي پاية معادله برابرند با دست آمد، جواب به
,
m mn n n n
n n n n
n n n n
y x a x x a x y x b x x b x∞ ∞ ∞ ∞
−
= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑1 2
1
21 2
0 0 0 0
18 - )3(
xدر نقطـه بتدا معادله را بـه فـرم اسـتاندارد نوشـته و معادلـة مشخـصة آن مشابه تست قبل، ا دسـت را بـه 0=
:آوريم مي
x
xy y y y y yx x
÷
′′ ′ ′′ ′+ + = ⎯⎯⎯⎯→ + + =4 3 3
4 3 3 0 04 4
: بنابراين داريم
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = =
0 0
0
3 3
4 4
( )x x
x
q x q xx
lim lim→ →
= = =
0 0
2
2
0
30
4
,
( )p q
m m p m q
= =
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯→0 0
30
4
0 01 0
( ) ,m m m m m m m− + + = ⇒ − = ⇒ = =2
1 2
3 1 10 0 0 0
4 4 4
: هاي پايه برابرند با ، پس جواب دارددو ريشه با اختلاف غيرصحيحمعادلة مشخصه
,
m mn n n n n
n n n n n
n n n n n
y x a x x a x y x b x x b x b x∞ ∞ ∞ ∞ ∞
= = = = =
= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑1 2
1
041 2
0 0 0 0 0
19- )3(
: كنيم مشابه تست قبل، ابتدا معادله را به فرم استاندارد تبديل مي
x
x y xy x y y y yx
÷
′′ ′ ′′ ′+ + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =
22 2 2 1
3 2 0 03 3
pدر ادامه با محاسبة0
q و0
: آوريم دست مي هاي آن را به ، معادلة مشخصه و ريشه
معادلة مشخصه
فرم استاندارد
( )p x ( )q x
معادلة مشخصه
( )p x ( )q x
فرم استاندارد
معادلات ديفرانسيل 92
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = =
0 0
0
2 2
3 3
( )x x
x
q x q xlim lim→ →
= = =
0 0
2
2
0
0
3
,
( )p q
m m p m q m m m
= =
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + =0 0
20
23
0 0
21 0 0 0
3
( ) ,m m m m⇒ − = ⇒ = =1 2
1 10 0
3 3
: هاي پاية معادله برابرند با بدست آمد، پس جوا دو ريشه با اختلاف غير صحيح به
m
m n n
n n
n n
mm n n n
n n n
n n n
y x a x x a x
y x b x x b x b x
∞ ∞=
= =
∞ ∞ ∞=
= = =
=
= =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
1
1
22
11
33
1
0 0
00
2
0 0 0
20- )1(
: نويسيم مشابه تست قبل، ابتدا معادله را به فرم استاندارد مي
x
xy y xy y y yx
÷
′′ ′ ′′ ′+ + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =2 1 1
2 0 02 2
pدر ادامه با محاسبة مقادير0
q و0
: آوريم دست مي هاي آن را به يشه، معادلة مشخصه و ر
( )x x
xp x p x
xlim lim→ →
= = =
0 0
0
1
2 2
( )x x
xq x q xlim lim
→ →
= = =
0 0
2
2
00
2
,
( ) ( )p q
m m p m q m m m
= =
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + =0 0
10
2
0 0
11 0 1 0 0
2
( ) ,m m m m m m m⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = =2
1 2
1 1 10 0 0
2 2 2
: هاي پاية معادله برابرند با دست آمد، پس جواب دو ريشه با اختلاف غيرصحيح به
m
m n n
n n
n n
y x a x x a x
∞ ∞=
= =
= ∑ ∑1
1
11
22
1
0 0
m
m n n n
n n n
n n n
y x b x x b x b x
∞ ∞ ∞=
= = =
= =∑ ∑ ∑2
20
0
2
0 0 0
معادلة مشخصه
فرم استاندارد
( )p x ( )q x
معادلة مشخصه
93
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
21- )2(
xصورت يك سري تواني حول ها به همة گزينه اي معادلـة داده شـده را هاي پايـه هستند، بنابراين بايد جواب0=
xحول نقطة : نويسيم يابتدا معادله را به فرم استاندارد مبراي اين منظور، . دست آوريم به0=
( )x x
x y xy x y y y yx x
÷ −
′′ ′ ′′ ′+ + − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =
2 2
2 2
2
1 11 0 0
: بنابراين داريم
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = =
0 0
0
1
( ) ( )x x
q x q x xlim lim→ →
= = − = −
0 0
2 2
0
1 1
,
( ) ( )p q
m m p m q m m m= =−
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + − =0 0
1 1
0 01 0 1 1 0
,m m m m m m⇒ − + − = ⇒ = ⇒ = = −2 2
1 21 0 1 1 1
)دو ريشة متمايز با اختلاف صحيح )m m− = ∈1 2
2 : اي برابرند با پايهيها به دست آمده پس جواب�
mm n n
n n
n n
y x a x a x
∞ ∞=
+
= =
= ∑ ∑11
1 1
1
0 0
( )m
m n n
n n
n n
y y ln x x b x y ln x b xλ λ
∞ ∞=−
−
= =
= + +∑ ∑2
21
1
2 1 1
0 0
yاز آنجاكه 1
تـوانيم اينگونـه در نظـر بگيـريم كـه مـي براي رسيدن به گزينـة صـحيح، ها وجود ندارد، در گزينه
λاگر n باشد، آنگاه0=
n
n
y b x∞
−
=
= ∑1
0
. تواند جوابي از معادله باشد مي
)؟( - 22
rدانيم كه اگر با توجه به درسنامه، مي 1
r و 2
xدر نقطه با اختلاف صحيح معادلة مشخصه دو ريشه متمايز x=0
rبا فرض اينكه(ند با هاي پاية معادله برابر باشند، جواب1
): ريشة بزرگتر است
( ) ( )r n
n
n
y x x a x x∞
=
= − −∑11 0 0
0
))جواب مورد نظر( ) ( ) ( )r n
n
n
y y ln x x x x b x xλ
∞
=
= − + − −∑22 1 0 0 0
0
λبينيم كه اگر به سادگي مي y باشد، جواب 0≠2
λدهد و اگر ، هر دو جواب را مي y باشد، خود 0=2
همچنـان
yيك جواب از معادله است، ولي ديگر 1
توانيم چنين بگوييم كه جواب متناظر بـا ريـشة بنابراين مي . دهد را نمي
بينـيم كـه همـة هـا مـي با نگاهي به گزينه . دده يك جواب را مي حداقل يا و دهد كوچكتر، يا هر دو جواب را مي
. گزينه نادرستند
( )p x ( )q x
معادلة مشخصه
فرم استاندارد
معادلات ديفرانسيل 94
23 - )4(
xاي معادله را حول نقطة هاي پايه توان دريافت كه بايد جواب ها مي با توجه به گزينه براي اين . دست آورد به 0=
: نويسيم ابتدا معادله را به فرم استاندارد ميمنظور،
( )x x
x y xy x y y y yx x
÷ +′′ ′ ′′ ′+ − + = ⎯⎯⎯→ + − =
282
2
10 18 10 1 0 0
8 8
: بنابراين داريم
( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
= = =
0 0
0
10 5
8 4
( )x x
x
q x q xlim lim→ →
+= = − = −
0 0
2
0
1 1
8 8
,
( )p q
m m p m q m m m
= =−
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + − =0 0
5 1
24 8
0 0
5 11 0 0
4 8
( )( ) ,m m m m m m⇒ + − = ⇒ − + = ⇒ = = −2
1 2
1 1 1 1 1 10 0
4 8 4 2 4 2
: هاي پاية معادله برابرند با دو ريشه با اختلاف غيرصحيح به دست آمد، پس جواب
m
m n n
n n
n n
y x a x x a x
∞ ∞=
= =
= ∑ ∑1
1
1 1
4 41
0 0
m
m n n
n n
n n
y x b x x b x∞ ∞
=− −
= =
= ∑ ∑2
2
1 1
2 22
0 0
24 - )1(
xحولمعادلة داده شده اي هاي پايه براي تعيين جواب مشابه تست قبل را به فرم استاندارد تبـديل آن ابتدا ، 0=
: كنيم مي
( )( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x y x y xy y y yx x x
÷ + +′′ ′ ′′ ′+ + + − = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + − =
+ +
2 1 3 12 1 3 0 0
2 1 2 1
xبه سادگي مي بينيم كه نقاط x و 0= = همـانطور كـه ابتـداي حـل ، نقاط غيرعادي معادله هـستند، ولـي 1−
xحولاي هاي پايه ها، بايد جواب گفتيم، با توجه به گزينه : براي اين منظور داريم. دست آوريم را به0=
( )( )x x
x
p x p xx
lim lim→ →
+= = =
+0 0
0
3 3
2 1 2
( )( )x x
x
q x q xx
lim lim→ →
−
= = =+
0 0
2
2
0
0
2 1
,
( )p q
m m p m q m m m
= =
⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + =0 0
30
22
0 0
31 0 0 0
2
( )p x ( )q x
معادلة مشخصه
( )p x ( )q x
فرم استاندارد
معادلة مشخصه
فرم استاندارد
95
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
( ) ,m m m m⇒ + = ⇒ = = −1 2
1 10 0
2 2
: هاي پاية معادله برابرند با بنابراين جواب،دو ريشه با اختلاف غيرصحيح به دست آمده
mm n n
n n
n n
y x a x a x
∞ ∞
=
= =
= ∑ ∑11
0
1
0 0
m
m n n
n n
n n
y x b x x b x∞ ∞
=− −
= =
= ∑ ∑2
2
1 1
2 22
0 0
25- )2(
xتوجه كنيد كه nمعادلة داده شده است، پس كافيست كه جـواب براي عادي يك نقطة 0=
n
n
y a x
∞
=
= ∑0
را
در معادله جايگذاري و ضرايبnaرا محاسبه كنيم :
( )n n n
n n n
n n n
y a x y na x y n n a x
∞ ∞ ∞
− −
= = =
′ ′′= ⎯⎯→ = ⎯⎯→ = −∑ ∑ ∑1 2
0 1 2
1
( ) n n n
n n ny xy y
n n n
n n a x x na x a x
∞ ∞ ∞
− −
′′ ′− − =
= = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − − =∑ ∑ ∑2 1
0
2 1 0
1 0
( )( ) n n n
n n n
n n n
n n a x na x a x
∞ ∞ ∞
+
= = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − − =∑ ∑ ∑2
0 1 0
2 1 0
(( )( ) ) n
n n n
n
a n n a na a x a
∞
+
=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + − − − =∑2 2 0
1
2 2 1 0
, ( )( ) ( )( )( )n n n n
n
a a n n a n a a a
n n+ +
+⇒ − = + + − + = ⇒ =
+ +2 0 2 2
12 0 2 1 1 0
1 2
...
n
n
n
n n
n
a a
a a a
a a a a a
n
a a
n
=
=
=
+
⎧⎯⎯⎯→ =⎪
⎪⎪ ⎯⎯⎯→ = =
×⎪⎪⎨⇒ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ = =⎪+ × ×⎪⎪⎪
=⎪ × × × ×⎩
0
2 0
2
4 2 0
4
2 6 2 0
2 0
1
2
1 1
4 2 4
1 1 1
2 6 2 4 6
1
2 4 6 2
�
( ... ) !n n
n n
a a a a
n n
⇒ = ⇒ =
× × × ×
2 0 2 0
1 1
2 1 2 3 2
مشتق مشتق
جايگذاري در معادله
ها سازي توان يكسان
ها سازي انديس يكسان
هاي nها، فقط با توجه به گزينه
. كنيم زوج را بررسي مي
معادلات ديفرانسيل 96
: برابر است با) هاي زوج جواب متناظر با توان(هاي معادله بنابراين يكي از جواب
!
!
nn
a an
nn
n a n
n n
x
y a x y
n
=
∞ ∞
=
= =
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =∑ ∑2 0
0
1
222
1 2 11
0 02
26 - )1(
پـس . تقسيم شـده اسـت x است كه بر 19لة داده شده همان معادلة تست توان فهميد كه معاد با كمي دقت مي
. را ببينيد19كافي است يك بار ديگر حل تست
27 - )4(
: آوريم ابتدا معادله را به فرم استاندارد نوشته و نقاط غيرعادي آن را به دست مي
( )( ) ( ) ( )
x x
x x y x y x y÷ −
′′ ′− + − + − = ⎯⎯⎯⎯⎯→
212
1 4 3 0
( ) ( )
x x
y y y
x x x x
− −
′′ ′+ + =
− −2 2
4 30
1 1
xكه نقاط واضح است x و 0= xبنابراين چون . نقاط غيرعادي معادله هستند 1= = نقطة عادي معادله است، 3
: را نيز بررسي كنيم3 و 2، نبايد عجله كنيم و بايد دو گزينة )4(صحيح است، ولي به دليل گزينة ) 1(گزينة
( ) ( )
( )( )( ) ( )
x x
x x
x
p x p x
x
x xq x q x
x
lim lim
lim lim
→ →
→ →
−⎧= − = =⎪⎪ −
⇒ ⎨− −⎪ = − = =
⎪ −⎩
1 1
1 1
0 2
2
0 2
41 3
3 11 0
xنقطة =1
xچون هر دو حد، موجود و متناهي هستند، پس تواند جوابي به يك نقطة غيرعادي منظم است و معادله مي1=
)فرم ) ( )r n
n
n
y x a x
∞
=
= − −∑0
1 تـوان ن جـا مـي همـي (نيز صحيح اسـت ) 2( داشته باشد و در نتيجه گزينة 1
xدر نهايت نقطة). است) 4(نتيجه گرفت كه جواب تست گزينة . كنيم را بررسي مي0=
).وجود ندارد )( )x x
x
x p x p xx x
lim lim→ →
−
= ⇒ = = =−
0 0
0
40
1
xبنابراين nتواند داراي جوابي به فرم يك نقطة غيرعادي نامنظم است و معادله نمي 0=
n
n
y a x
∞
=
=∑0
باشـد و
. است) 4(نيز صحيح است، پس پاسخ تست گزينة ) 3(درنتيجه گزينة
28- )1(
از رابطةخواهد، بهتر است كه از آنجاكه تنها پنج جمله از سري جواب را مي( )( )
!
n
n
ya
n
=
0
: استفاده كنيم
(*)( )x y xy y′′ ′+ + + =2
1 ده شدهمعادلة دا : 0
( ) , ( )y y a′= − =0 1 شرايط اوليه : 0
( )p x( )q x
97
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
: بنابراين داريم
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) , , , ,! ! ! !
y y y ya y a a a a a
′ ′′ ′′′
= = − = = = = =
4
0 1 2 3 4
0 0 0 0
0 11 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!
x
y y y y y a=
′′ ′ ′′⎯⎯⎯→ + + × + = ⇒ = − = ⇒ =0
2
11 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2(*)
( )xy x y y xy y′′ ′′′ ′ ′′ ′⎯⎯⎯→ + + + + + =2
2 1 0(*)
( ) ( ) ( )x
x y xy y y y a=
′′′ ′′ ′ ′′′ ′⇒ + + + = ⎯⎯⎯→ = − = −02
1 3 2 0 0 2 0 2
. تواند صحيح باشد مي) 1(تنها گزينة !
a aa
−⇒ = = − ⇒
3
2
3 3
( )( ) ( )x
x y xy y x y xy y=
′′′ ′′ ′ ′′′ ′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + = ⎯⎯→ + + + = ⎯⎯⎯→02 2 4
1 3 2 0 1 5 5 0
( )( ) ( )!
y y a′′= − = − ⇒ = −4
4
50 5 0 5
4
: بنابراين داريم
...
!
a
y a a x a x a x a x ax x x x= + + + + + = − + + − −2 3 4 2 3 4
0 1 2 3 4
1 51
2 3 4
29 - )4(
با توجه به رابطه( )( )
!
n
n
ya
n
=
0
: داريم
( )( ) ( )
! !
n
n
n
y ya a
n
=′′′
= ⎯⎯⎯→ =3
3
0 0
3
) كهپس كافي است )y ′′′ : را محاسبه كنيم0
( ) ( ) ( )x
y y y y y y=
′′ ′ ′′ ′⇒ − + = ⎯⎯⎯→ − + =0
2 5 6 0 2 0 5 0 6 0 معادلة داده شده0
( ) , ( )( ) ( )
y yy y
′= =′′ ′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − × + × = ⇒ =
0 1 0 42 0 5 4 6 1 0 0 7
: به همين ترتيب داريم
( ) ( ) ( )x
y y y y y y=
′′′ ′′ ′ ′′′ ′′ ′⎯⎯⎯→ − + = ⎯⎯⎯→ − + =0
2 5 6 0 2 0 5 0 6 0 معادلة داده شده0
( ) , ( )( ) ( )
y yy y
′ ′′= =′′′ ′′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − × + × = ⇒ =
0 4 0 7 112 0 5 7 6 4 0 0
2
: آيد دست مي بنابراين به
( )( )
!
yy
a
′′′ =′′′
= =×
110
2
3
0 11 11
3 2 6 12
30- )1(
) تاكنيم مشابه تست قبل، تلاش مي )y ′′′ : را محاسبه كنيم0
( ) ( )xyy cos xy e I′ = معادلة داده شده : −
( )y =0 شرط اوليه : 1
مشتق
مشتق
مشتق
ارائه جواب كامل
معادلات ديفرانسيل 98
( )( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )yI y cos y e cos e y
×′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ = × − = − = ⇒ =
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) xyI y y xy sin xy y xy e′′ ′ ′⎯⎯→ = − + − +
( )( ( ) ) ( )xyy y xy sin xy e II′′ ′⇒ = − + +
( )( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ( )) ) ( )( )yII y y y sin y e e
×′′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ = − + × × + = − + +
0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
( )y ′′⇒ = −0 1
( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ( ) )xy xyII y y xy sin xy e y xy cos xy e′′′ ′ ′′ ′⎯⎯→ = − + + − + +
22
( ) ( ( ) )( ) ( ( ) ) ( ( ) )y y e y cos e′′′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ = − + + − + +0 2 0
0 2 0 0 0 0 0 0
( )
!( )
ya
y a
′′′=
−
′′′⇒ = − ⎯⎯⎯⎯⎯→ = = −3
0
3
3
2 10 2
6 3
)توجه كنيد كه براي محاسبة )y ′′′ )، نيازي به دانستن0 )y ′′ . توانستيم آن را محاسبه نكنيم نبود و مي0
31 - )4(
)بايد ) ( )y4
: را محاسبه كنيم، براي اين منظور داريم0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y cos x y sin x y y y sin x y y cos x y′ ′′ ′ ′= + + + ⎯⎯→ = − + + + + +1 1
( )( ( ) ( )) ( )y y cos x y sin x y I′′ ′⇒ = + + − +1
( )( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) )y y cos x y sin x y y sin x y cos x y′′′ ′′ ′⎯⎯⎯→ = + + − + − + + + +2
0 1
( ( ) ( )) ( ) ( )y y cos x y sin x y y y II′′′ ′′ ′ ′⇒ = + − + − +2
1
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )y y cos x y sin x y y y sin x y cos x y′′′ ′′ ′⎯⎯⎯→ = + − + − + + + +4
1
( ) ( )( )y y y y y′′ ′ ′ ′′ ′− + − × +2
1 2 1
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )y y cos x y sin x y y y y y y y y y III′′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′⇒ = + − + − + − + − +4 2
1 1 2 1
)حال، ابتدا )y ′ : آوريم دست مي را به0
( )
( ) ( ) ( ) ( )y
y cos sin y=
′ ′⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = + = ⇒ =0 0
0 0 0 1 0 معادلة داده شده1
) ادامه،رد )y ′′ : برابر است با0
( ) , ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )y y
I y cos sin y′= =
′′ ′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = + − = ⇒ =0 0 0 1
0 1 1 0 0 2 0 2
)حال، )y ′′′ : كنيم مي را محاسبه0
( ) , ( ) , ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )y y y
II y cos sin′ ′′= = =
′′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − − + = − = −2
0 0 0 1 0 2
0 2 0 0 1 1 1 2 4 2
( )y ′′′⇒ = −0 2
)در نهايت )( )y4
: آوريم را به دست مي0
( ) , ( ) , ( )
( )y y y
III′ ′′ ′′′= = =−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→0 1 0 2 0 2
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )y cos sin= − − − × + − + − × × +4 2
0 2 0 0 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )!
yy y a
− −
⇒ = − − − − ⇒ = − ⇒ = = =
4
4 4
4
0 22 110 2 4 8 8 0 22
4 24 12
xجايگذاري =0
مشتق
xجايگذاري =0
مشتق
xجايگذاري =0
0 1 1 11
مشتق
مشتق
y ′
مشتق
y ′
xجايگذاري =0
xجايگذاري =0
xجايگذاري =0
xاريجايگذ =0
99
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
0 1
32 - )4(
)بايد مواردها، با توجه به گزينه )y ′′ ) و0 )y ′′′ ): ها در اين دو ضريب است تفاوت گزينه (دست آوريم را به0
, ( ) , ( )x
y y e y y y′′ ′ ′⇒ + = = =2 3
0 1 0 معادلة داده شده2
( ) , ( )( ) ( ( )) ( )
y yy y e y
′= =′′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
0 1 0 22 0 30 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y y I′′ ′′+ = × ⇒ = −2 2
0 2 1 1 0 3
( ) , ( ) , ( )
x x
y y yy y y e y e y y
′ ′′= = =−
′′′ ′ ′′ ′⎯⎯→ + = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→3 2
0 1 0 2 0 32 معادلة داده شده3
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y e e y y II′′′ ′′′ ′′′+ − = + ⇒ − = + ⇒ =0 3 0 2
0 2 2 3 1 3 1 2 0 12 1 6 0 19
بنابراين با توجه به رابطة( )( )
!
n
n
ya
n
=
0
( )y a= ⇒ =0
0 1 1
( )y a′ = ⇒ =1
0 2 2
( )!
y a−
′′ = − ⇒ = = −2
3 30 3
2 2
( )!
y a′′′ = ⇒ = =3
19 190 19
3 6
:آيد دست مي پس به
...y x x x= + − + +2 33 19
1 22 6
33- )1(
ه به رابطةبا توج( ) ( )
!
ya =
3
3
0
3)بايد، )y ′′′ : براي اين منظور داريم. را محاسبه كنيم0
, ( ) ( )x
y y sin x e y y y′′ ′ ′⇒ + + = = =0 0 0 معادلة داده شده1
( ) ( )
( ) ( ) ( )y y
y sin e y′= =
′′ ′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + × + × = ⇒ = −0
0 0 10 1 0 1 0 0 1
( ) ( ) , ( )
x x
y y yy y sin x y cos x e y e y
′ ′′= = =−
′′′ ′′ ′ ′⎯⎯→ + + + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→0 0 1 0 1
معادلة داده شده0
( ) ( ) ( ) ( )y sin cos e e y′′′ ′′′+ × + × + × + × = ⇒ = −0 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0 3
: بنابراين داريم
( ) ( )
! !
ya
−
⇒ = = = −
3
3
0 3 1
3 3 2
xجايگذاري =0
xجايگذاري =0
xجايگذاري =0
xجايگذاري مشتق =0
0 1 1 1
مشتق
معادلات ديفرانسيل 100
34 - )1(
)توان دريافت كه ها مي با توجه به گزينه ) ( )y y′′ ′′′= =0 0 كافي است و ديگر نيازي به محاسبة آنها نيست و تنها 0
)است كه ) ( )y4
) و0 ) ( )y5
: كنيم را محاسبه 0
, ( ) ( )y k x y y y′′ ′⇒ + = = =2 2
0 0 0 معادلة داده شده1
( )y k xy x y′′′ ′⎯⎯⎯→ + + = ⎯⎯⎯→2 22 معادلة داده شده0
(*)( ) ( )( ) ( )y k y xy xy x y y k y xy x y′ ′ ′′ ′ ′′+ + + + = ⇒ + + + =4 2 2 4 2 2
2 2 2 0 2 4 0
( )( ) ( ) , ( )
( ) ( )y y y
y k′ ′′= = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + × + × × + × =4 2
0 0 1 0 00 2 1 4 0 1 0 0 0
( )( ) ( )
( )!
ky ky k a a
−
⇒ = − ⇒ = = ⇒ = −
24 2
4 2
4 4
20
0 24 24 12
aدر ادامه،5
: كنيم را محاسبه مي
( ) ( )y k y y xy xy x y′ ′ ′′ ′′ ′′′⎯⎯⎯→ + + + + + =5 2 2
2 4 4 2 0(*)
( )( ) ( ) , ( ) ( )
( ) ( )y y y y
y k′ ′′ ′′′= = = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + × + × + × × + × × + × =5 2
0 0 1 0 0 00 2 1 4 1 4 0 0 2 0 0 0 0 0
( )
( ) ( )( )
!
ky ky k a
−
⇒ = − ⇒ = = = −
25 2
5 2
5
600 6
5 120 20
: بنابراين داريم
...k k
y x x x⇒ = + − − +
2 2
4 51
12 20
35- )1(
)بايد )y ′′′ : براي اين منظور داريم. را محاسبه كنيم0
, ( ) , ( )x
y y e y y y′′ ′ ′⇒ + + = = =5 6 0 0 1 0 معادلة داده شده4
( ) , ( )
( ) ( )y y
y e y′= =
′′ ′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + × + × × = ⇒ = −0
0 1 0 40 5 4 6 1 0 0 26
( ) , ( ) , ( )
( )x
y y yy y e y y
′ ′′= = =−′′′ ′′ ′⎯⎯⎯→ + + + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
0 1 0 4 0 265 6 معادلة داده شده0
( )
( ) ( ) ( ) ( )!
yy e y a
′′′
′′′ ′′′+ × − + × × + = ⇒ = ⇒ = = =0
3
0 100 500 5 26 6 1 4 0 0 100
3 6 3
مشتق مشتق
xجايگذاري =0
مشتق
xجايگذاري =0
xجايگذاري =0
مشتق
xجايگذاري =0
101
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
36 - )4(
)جاي حل معادله، كافيست مقادير به )y ′ ) و 0 )y ′′ )از آنجاكه . دست آوريم را به 0 )y x′ نزديكي مبـدأ كرانـدار در
xاست، براي خوش تعريف بـودن معادلـة داده شـده در )، بايـد مقـدار 0= )y ′ چـرا كـه . برابـر بـا صـفر باشـد 0
)اگر )y ′ ≠0 x باشد، آنگاه با جايگذاري 0 )ه، به عبارت تعريف نشدة در معادلة داده شد 0= )y ′ 0
0
. خـوريم بر مـي
)در ادامه براي محاسبة )y ′′ : گيريم حد ميمعادلة داده شده ، از دو طرف 0
( )( )
x x x
sin x sin xy y xy y x
x x x xlim lim lim→ → →
′ ′
′′ ′′⇒ + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + =
0 0 0
( )( )
x x
cos xy xy lim lim
→ →
′′
′′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + =
0 0
0
1 1
( )( ) ( ) ( )
! ( !)
yy y y a
′′
′′ ′′ ′′⇒ + = ⇒ = ⇒ = =2
1 0 10 0 1 0
2 2 2 2
: به محاسبات بيشتر نيستي و ديگر نيازتوان گزينة صحيح را تشخيص داد ميهمين جا در
.... تواند صحيح باشد مي) 4(تنها گزينة ( !)
y x⇒ = + + ⇒21
12 2
37- )2(
y : كنيم جايگذاري مية داده شده را محاسبه و در معادل′′
y ux y u x ux−
′ ′= ⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯→
1 1 1
2 2 21
2
y u x u x u x ux y u x u x ux− − − − −
′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′= + + − ⇒ = + −
1 1 1 3 1 1 3
2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 4 4
( )
( ) ( )x y x y
x u x u x ux x ux
− −
′′+ + =
′′ ′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + + =2 2
1 1 3 1
2 22 2 2 2
10
4
1 10
4 4
u x u x ux ux ux′′ ′⇒ + − + + =
5 3 1 5 1
2 2 2 2 21 1
0
4 4
( )x
x u xu x u x u xu x u
−
×
′′ ′ ′′ ′⎯⎯⎯⎯→ + + = ⇒ + + − =
1
22 2 2 2 2
0 0 0
→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯.دست آمده، معادلة بسل از مرتبة صفر است معادلة به
38- )3(
yابتدا موارد y و′ : كنيم را محاسبه و در معادلة داده شده جايگذاري مي′′
u xu u u uy y
x xx x
′ ′−
′= ⎯⎯⎯→ = = − ⎯⎯⎯→2 2
xحد گيريم مي0→
=مبهم
0
0
حدوددر محاسبة y
x
′
وsin x
x از
. كنيم قاعدة هوپيتال استفاده مي
مشتق
مشتق
جايگذاري در معادلة داده شده
)معادلة بسل )x y xy x v y′′ ′+ + − =2 2 2
0
مشتق مشتق
معادلات ديفرانسيل 102
xy y xy
x u xu u uxu u uy
xx x x x′′ ′+ + =
′ ′′′ ′ ′′−−
′′ = − = − + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
2
2 4 2 3 3 0
2 2 2
( ) ( ) ( )u u u u uu u u u u
x x u u
x x x x xx x x x x
′ ′′′ ′ ′
′′− + + − + = ⇒ − + + − + =2 3 2 2 2
2 2 2 2 33 0 3 0
( )xu u
u u x u xu x u
xx
×′
′′ ′′ ′⇒ + − + = ⎯⎯⎯→ + + − =
22 2
20 1 0
: است، پس جواب آن برابر است با1دست آمده، يك معادلة بسل از مرتبة معادلة به
( ) ( ) ( ) ( )
uy x u
xu c J x c Y x y c x J x c x Y x
−
= =
− −
= + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = +
1
1 1
1 1 2 1 1 1 2 1
39 - )1(
: ها را جداگانه بررسي مي كنيم گزينه
): 1(گزينة
( ( )) ?m
P cos t sin t dtπ
=∫2
0
, ,
x cos t
x cos t dx sin t dt
t xπ=
= ⇒ = −⎧⎪⎨
= ⎯⎯⎯⎯→ = −⎪⎩ 0 1 1
تغييرمتغير :
: بنابراين داريم
( ( )) ( ( )) ( )m m
P cos t sin t dt P x dxπ −
−∫ ∫1
2 2
0 1
( ( ))mP x dx
m− +∫1
2
1
2
2 1
. صحيح است) 1(بنابراين گزينة
ها را ديد، ولي براي اطمينـان بيـشتر، از توان غلط بودن ساير گزينه دست آمده به سادگي مي با توجه به نتيجة به
: كنيم مثال نقض استفاده مي
): 2(گزينة
, ( )( ( ))
( )
m P x
mP cos t sin t dt sin t dt cos t= =
− −
−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − = ≠ =+∫ ∫0
11 1
0 12
1 11
20 2
2 0 1
sinدر اين گزينه اگر ضريب): 3(گزينة tت است ولي به شكل فعلي نادرست است به انتگرال اضافه شود درس .
) : 4(گزينة
( ) , ( )
( ) ( ) ( )m n
m np x p x x
p cos t p cos t dt cos t dt sin t sin= ≠ =
− −= =−
= = ≠∫ ∫0 1
10 11 1
1 111
2 1 0
يگذاري در معادلة داده شدهجا
خاصيت انتگرال معين تغييرمتغير
اي لژاندر خاصيت تعامد چند جمله
103
سومهاي فصل تستتشريحي پاسخ
40- )4(
)با توجه به اينكه )P x x=1
: ، داريم
( )
( ) ( ) ( )
( )
P x x
n n
n
x P x dx P x P x dxn
=
− −
≠⎧⎪⎨
= =⎪ +⎩∫ ∫
11 1
11 1
0 1
2 21
2 1 1 3
: صورت زير است هاي لژاندر به اي خاصيت تعامد در چند جمله:يادآوري
( ) ( )n m
m n
P x P x dxm n
m−
≠⎧⎪
= ⎨=⎪ +⎩
∫1
1
0
2
2 1
41- )2(
: استnبينيم كه معادلة داده شده، يك معادلة بسل از مرتبة به سادگي مي
( )x y xy x n y′′ ′+ + − =2 2 2
معادلة داده شده : 0
)هـاي پايـة معادلـه، ، عددي صـحيح اسـت، پـس جـواب �∋nاز آنجاكه )n
J x و ( )n
Y x دانـيم مـي . هـستند
)كه )n
J x در صفر كراندار و ( )n
Y x نادرسـت و 4 و 3هـاي بنابراين گزينـه . است) يا نامحدود (كران در صفر بي
نـدار نهايت، كرا در بي ) بسل نوع اول و نوع دوم توابع (دانيم كه هر دو جواب همچنين مي . صحيح است ) 2(گزينة
براي درك بهتر، نمودارهاي توابع بسل نـوع اول و نـوع دوم (نيز نادرست است ) 1(و محدودند و در نتيجه گزينة
). بار ديگر ببينيد در درسنامه را يك 290صفحة در
42 - )2(
xاگرچه نقطة ن فهميد كه كافي اسـت كـه توا ها، مي ، يك نقطة غيرعادي معادله است، ولي با توجه به گزينه 0=
nجواب
n
n
y a x
∞
=
= ∑0
را در معادله جايگذاري كرده و ضرايبnaرا تعيين كنيم :
( )n n n
n n n
n n n
y a x y na x y n n a x
∞ ∞ ∞
− −
= = =
′ ′′= ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→ = −∑ ∑ ∑1 2
0 1 2
1
( ) n n n
n n nxy y xy
n n n
x n n a x n a x x a x
∞ ∞ ∞
− −
′′ ′+ + == = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + =∑ ∑ ∑2 1
02 1 0
1 0
( ) n n n
n n n
n n n
n n a x na x a x
∞ ∞ ∞
− − +
= = =
⇒ − + + =∑ ∑ ∑1 1 1
2 1 0
1 0
( ) ( )n n n
n n n
n n n
n na x n a x a x
∞ ∞ ∞
+ + −
= = =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + + =∑ ∑ ∑1 1 1
1 0 1
1 1 0
(( ) ( ) ) n
n n n
n
n na n a a x a
∞
+ + −
=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + + + + =∑ 1 1 1 1
1
1 1 0
خاصيت تعامد
مشتق مشتق
جايگذاري در معادله
ها سازي توان يكسان
سازي انديس پايين يكسان
معادلات ديفرانسيل 104
( ( ) ( ) ) ,n n
n n n a a a+ −
⇒ + + + + = =1 1 1
1 1 0 0
(*)( ) ( )
n n
n n n na a a a
n n
→ +
+ − +
− −
⇒ = ⎯⎯⎯⎯→ =
+ +
1
1 1 22 2
1 1
1 2
.... ، همگي صفرندxهاي فرد ضرايب توان ...
ka a a a+
= ⎯⎯→ = = = = =1 3 5 2 1
0 0
كنيم تا فرمول تلاش مي(*) در ادامه به كمك رابطة na دست آوريم را به و در نتيجه جواب معادله .
n
a a=
−
⎯⎯⎯→ =0
2 02
1
2
(*)
n
a a a= −
⎯⎯⎯→ = =
×
2
4 2 02 2 2
1 1
4 2 4
(*)
n
a a a= − −
⎯⎯⎯→ = =
× ×
4
6 4 02 2 2 2
1 1
6 2 4 6
(*)
: صورت زير است توان فهميد كه رابطة كلي به همين ترتيب، مي به
( )
( ) ( )...... ( )
n
n
na a a
nn
−
= = −
× × ×× × ×
2
2 0 02 2 2
1 11
2 4 22 4 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ... ) ! ( !)
n
n n
nn n n
a a a a
n n n
−
= − = − ⇒ =
× × × ×
2 2
0 0 2 02
1 1 11 1
2 1 2 2 4
aضدر نهايت با فر =0
: ، جواب معادله برابر است با1
( )
( !)
n
n n
nn
n n
y a x x
n
∞ ∞
= =
−
= ∑ ∑2
2
0 0
1
4
43 - )4(
}هـاي اي كنيم كه مجموعة چند جملـه يادآوري مي ( ), ( ),...}A a x a x=1 2
) متعامـد بـا تـابع وزنـي )xω روي
]بازة , ]a bرابطة زير برقرار باشد هستند، هرگاه :
( ) ( ) ( )( )
b
m na
m n
a x a x x dxn m n
ω
α
≠⎧= ⎨
≠ =⎩∫
0
0
: هاي لژاندر داريم اي ند جمله، با توجه به خاصيت تعامد در چاز طرفي
( ) ( ) ( ) ( )m n m n
m n
P x P x dx P x P x dxm n
n− −
≠⎧⎪
× × = = ⎨=⎪ +⎩
∫ ∫1 1
1 1
0
1 2
2 1
]ها روي بازة اي بينيم كه اين چند جمله مي , ]−1 ) با تابع وزني1 )r x . متعامد هستند1=
( )n +2
1
هاي فرد همگي صفرند ضريب توان
تابع وزني
تابع وزني
(*)
![1/3 CAPITULO III: DETERMINACIÓN DEL PELIGRO ( ] } µ YXX](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/617a2a8800c50b02970f0a48/13-capitulo-iii-determinacin-del-peligro-yxx.jpg)
