1

НАНО МАТЕРИАЛЫ МЕТОДЫ, ИДЕИ

СБОРНИК НАУЧНЫХ СТАТЕЙ

ВОЛГОГРАД 2007

2

Наноматериалы методы, идеи : Сборник научных статей. — Волгоград: Издательство ВПО НОУ ВИБ 2007. — с, 1-е изд. Под ред. проф. Белоненко М.Б. ББК В343.4 В344.3

ISBN Представленный в сборнике материал является

сборником оригинальных научных статей в которых представлены основные идеи и методы используемые в нанотехнологиях и при изучении явлений, происходящих в наномасштабах пространства.

Книга может быть полезна для студентов старших курсов, магистрантов и аспирантов, научных работников, занимающихся изучением и применением кластерных методов квантовой химии, исследованием физико-химических, в том числе нелинейных и оптических, свойств углеродных материалов, метаматериалов, кластеров и кластерных явлений.

3

Nanotechnology and Nanoscience: Science and Engineering in the 21st Century Jingyue Liu and Thomas F. George Center for Nanoscience, Department of Chemistry & Biochemistry and Department of Physics & Astronomy, University of MissouriSt. Louis St. Louis, Missouri 63121, USA

Nanotechnology is dubbed to provide solutions to the world’s 21st century demands: alternative energy, clean environment, un-met medical needs, and sustainable development and manufacturing. The societal and economic impact of nanotechnology is enormous. The U.S. National Science Foundation stated in its report on “Societal Implications of Nanoscience and Nanotechnology” that the nanotechnology market could reach about $1 trillion by 2015 and that millions of scientists, engineers and technologists would be needed in this new field [1]. The intensive development of nanoscale technologies is going to generate many disruptive technologies which will replace the current technologies and manufacturing practices. Nanotechnology opens up new opportunities for improving the performance of existing products, provides new nanoscale materials with novel or exceptional properties, and enriches our knowledge of nature and life [2]. Applications include optoelectronics and electronic components, ultra-sensitive sensors, pharmaceuticals and medicine, agricultural and food chains, and protecting the environment.

Nanoscience is the study of fundamental phenomena on the nanometer scale (~ 1-100 nanometers). Nanotechnology, on the other hand, refers to creating and controlling building blocks on the nanometer scale with the ultimate goal of fabricating systems that have specific desired properties or functions. Nanoscience provides a critical bridge between physical and life sciences; at the nanoscale, all natural sciences converge. For example, atoms and molecules, the fundamental building blocks of nature with dimensions on the nanometer scale, are the focus of research in chemistry and related fields [3,4]. Promising materials include various forms of carbon, like nanotubes and diamondoids [5].

Perhaps the newest frontier in nanoscience/technology is in biology and medicine. The proper self-assembly of atoms and

4

molecules on the nanometer scale, however, provides the biological function of complex systems that nature has created to support life on earth. The fundamental understanding of self- or assisted-assembly of atoms and molecules thus provides insights into the nature of biology. The possibility to exploit structures and processes of biomolecules and nanoscale biosystems for novel functional materials, biosensors, bioelectronics and medical applications has created a rapidly-growing field of nanobiotechnology. Applications of new micro- or nano-systems and devices to understanding biological functions at a subcellular or molecular level will have a profound impact on biological research, disease diagnostics and therapeutics, and medical procedures. Nanoscience has the potential to improve the current understanding of nature and life and is a prerequisite of nanotechnology which can help develop new manufacturing tools, new medical procedures, and, to a certain degree, even new ways of defining societal relationships.

Although the impact of nanoscience and nanotechnology on the quality of life is undoubtedly positive, one should also pay due attention to the possible negative impact of nanotechnology. For example, the toxicity and environmental issues of new nanoscale materials should be thoroughly investigated before any large-scale manufacturing occurs. The long-term impact of novel nanomaterials on nature and life should be considered and evaluated. [1] M. C. Roco and W. S. Bainbridge, Editors, Nanoscience,

Engineering and Technology Workshop Report on “Societal Implications of Nanoscience and Nanotechnology,” (National Science Foundation, Arlington, Virginia, 2001), 280 pages; http://www.wtec.org/loyola/nano/NSET.Societal.Implications.

[2] G. A. Mansoori, Principles of Nanotechnology (World Scientific, Singapore, 2005), 357 pages.

[3] G. A. Mansoori, T. F. George, L. Assoufid and G. P. Zhang, Editors, Molecular Building Blocks for Nanotechnology: From Diamondoids to Nanoscale Materials and Applications (Springer, New York, 2007), Topics in Applied Physics, Volume 109, 440 pages.

[4] L. Tilstra, S. A. Broughton, R. S. Tanke, D. Jelski, V. A. French, G. P. Zhang, A. K. Popov, A. B. Western and T. F. George, The

5

Science of Nanotechnology: An Introductory Text (Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2007), in press.

[5] G. A. Mansoori, T. F. George, G. P. Zhang and L. Assoufid, “Structure and Opto-Electronic Behavior of Diamondoids, with Applications as MEMS and at the Nanoscale Level,” in Nanotechnology Research Advances (Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2007), in press

6

Coherent control of light via plasmon driven electromagnetic fields Maxim Sukharev and Tamar Seideman Department of Chemistry, Northwestern University 2145 Sheridan Road, Evanston, IL 6028-3113, USA Abstract

Several concepts of coherent control are extended to manipulate light propagating along metal nano-particle arrays. A phase-polarization control strategy is proposed and applied to control the electromagnetic energy transport via nano-array constructs with multiple branching intersections, leading to an optical switch or inverter far below the diffraction limit. The proposed schemes are also used to better understand the physics underlying the phenomenon of electromagnetic energy transport via metal nano-constructs. Several applications of the phase-polarization strategy are considered.

1. Introduction Optical waveguide technology such as optical fiber communication

systems, planar waveguides, and photonic crystals are well-understood constructs that can efficiently guide an electromagnetic (EM) energy at optical frequencies in the microscale. Further miniaturization of optical devices as required by emerging technologies, however, require the manipulation of EM radiation in length scales well below the diffraction limit. Control of light propagation in the nano-domain is a rewarding challenge, due to both the new fundamental questions involved and the variety of potential applications of optical and optoelectronic nano-devices [1-4]. A method to that end was proposed several years ago [5], based on the combination of the surface plasmon resonance (SPR) phenomenon and the strong EM coupling between closely spaced metal nano-particles (NPs). Noble metal NPs are known to exhibit SPR in the visible region [6]. The underlying principles trace back to the early work of Mie [7], in which he considered the scattering of EM radiation by small spherical particles. The extinction cross section in the quasi-static regime (R<<λ) is described by the following expression [8]:

7

3 3/ 2

ext 2 2

Im~ ,

Re 2 Imm

m

R

(1)

where R denotes the particle radius, m is the dielectric constant of the embedding medium, λ is the wavelength of the incident field, and

Re and Im are the real and imaginary parts of the dielectric function of the particle material, respectively. The cross section (1) exhibits a resonance at a wavelength λSPR, when the first term in the denominator vanishes, Re 2 m , (the Fröhlich condition). The physical picture responsible for the SPR is well-understood [8]. Due to the small size of a metal particle in comparison with the incident wavelength, conduction electrons are excited and oscillate in phase throughout the particle volume, resulting in the accumulation of polarization charges on the particle surface. This leads to large induced polarization currents and, hence, strong EM fields localized on a surface of a particle. In the case of a metal NP array, propagation of the excitation along the construct is due to near-field coupling between closely spaced particles [9].

The Fröhlich condition for SPR clearly depends on a wide range of parameters such as the shape of individual NPs, their material, environment, and incident field characteristics. Tremendous progress in the development of fabrication methods of nano-constructs achieved during last decade allows these parameters to be tuned with the high precision [3, 10, 11]. This invites the application of coherent control techniques to manipulate light propagation along NP arrays through phase interference.

Coherent control method [12 – 14] have been successfully applied to systems ranging from atomic physics and femtochemistry, through solid-state physics and semiconductor device technology, to solution chemistry and biology. One approach of specific interest is the optimal control scheme proposed by Judson and Rabtiz [15], where iterative buildup of the spectral composition of the laser pulse is applied to drive a quantum system to a pre-specified target state [16]. Genetic and evolutionary algorithms, widely used in such experiments as black box strategies for searching for optimal solutions, often contain new insights

8

regarding the system dynamics. Optimal control techniques can be applied, at least in principle, also to classical systems such as optical devices. Genetic algorithm (GA) optimization procedures along with Monte Carlo technique and simulated annealing have been applied to problems in fields ranging from economics to engineering and artificial intelligence as well as electromagnetics [17]. Successful applications of GA to the design of antenna design and of layered electromagnetic devices, for instance, has been reported [18, 19]. The coherence properties of lasers, however, the property underlying the success of the field of quantum coherent control [12 – 14] has not been utilized in electromagnetics as yet.

Here we propose and illustrate numerically the application of phase and polarization control approach to guide light in the nanoscale via metal NP arrays. We illustrate the possibility to efficiently control the EM energy transfer along metal NP arrays using only the phase and polarization of an incident field. Utilizing the fact that SPR is a fully coherent phenomenon, we show that in nano-arrays with multiple intersections a controllable superposition of longitudinal and transverse plasmons can be excited, leading to control over the branching of the electromagnetic energy at the array intersections with high efficiency.

2. Computational Approach The EM energy transport is simulated using a finite-difference time-

domain method (FDTD) (Yee’s scheme) [20] to solve the Maxwell equations:

eff

0

rot ,

rot ,

,

E H Jt

H Et

J J Et

(2)

where E

and H

are the electric and magnetic fields, respectively, and J

denotes the current density. The parameters eff 0 ,

D , 20 D describe the metallic frequency-dependent

9

dielectric permittivity, , within the Drude model [21]. In all simulations we consider silver nano-particles in vacuum. In the

wavelength range considered (∼ 300 −500 nm) the dielectric constant of

silver is described by the following set of parameters: 8.926, 11.585D eV, 0.203D eV [22]. The

radius of the spheres is 25 nm, the semiaxes of the ellipsoids are 35 and 25 nm, and the center-to-center distance between spherical particles is 75 nm. We use the cylindrical symmetry of the experiment in mind to restrict attention to two (x and y) E

-components and one (z) H

-

component (TEz-mode). As an incident source we implement a pointwise elliptically polarized electric field:

cos cos sin sin ,2 2x yE f t e t e t

(3)

here f t is the pulse envelop, ( )x ye is a unit vector along the x(y)-axis, is the optical frequency, and specify the polarization vector ( reduces to ellipticity for 0 ). A pulse duration of 15 fs is used in the calculations below. Since our approach is based on resonance effects, control improve with , saturating as converges to the resonance lifetime. In order to prevent numerical reflections of waves from the boundaries of the finite spatial grid, we implement PML absorbing boundary conditions. In all simulations we use two-dimensional grids ranging from (x, y) = −850 nm to 850 nm. The results are converged to within 0.5% with spatial grid steps dx = dy = 1.1 nm and a temporal step dt=dx/(31/2c), where c denotes the speed of light in vacuum.

Within Yee’s scheme, space is first divided into squares, assumed, for simplicity, to be of equal size [20]. This discretization of space leads to a representation of the Maxwell equations (2) by a set of finite-difference equations. Time propagation of these equations is performed by a leapfrogging technique,20 where all electric field and current

10

density components in the modeled space are calculated and stored in memory at each time step using previously stored H

-data. With

knowledge of the E

-components, all H

-components are computed and stored in memory for use in the next time step. The time-stepping process is continued until a predetermined final time has been reached. The calculations are performed in parallel, uniformly distributed among the available processors with respect to the second index j of each component of the EM field and current density. We follow the domain decomposition technique and use message passing interface (MPI) subroutines. All simulations have been performed on distributed memory parallel computers at the National Energy Research Scientific Computing Center and San Diego Supercomputer Center.

3. Phase-Polarization Control Approach In this section we illustrate the possibility to guide the EM energy

into one or the other of two branches of symmetric T- and X-junctions solely by wave interference. The inset of Fig. 1 depicts schematically the T-junction, showing the spatial positions of the incident source (LS) and two detectors (D1, D2). The main frame of Fig. 1 shows (on a logarithmic scale) the ratio of the time averaged EM energies, W1/W2, detected at the upper (D1) and lower (D2) detection points as a function of the polarization parameters, and , at the incident wavelength corresponding to the one of two SPRs (λSPR =300 nm). We note here that the transmission spectrum of the system (the time averaged EM energy at a detector Dn as a function of the incident wavelength) exhibits a double-peak behavior for the elliptically polarized excitation, which the widely used model of interacting Hertzian dipoles [21] does not predict, suggesting the significance of quadrupole interactions between NPs.

In the case of linear polarized source, W1/W2= 1, while nonlinear polarization of LS allows efficient (by two orders of magnitude for the pulse of 15 fs) control over the branching ratio. The physics underlying the phase and polarization control can be understood by study of the time evolution of the EM energy propagation. Essential to our finding is the excitation of a coherent superposition of transverse and longitudinal plasmon modes, whose relative phase and spatial distribution are adjusted by the polarization parameters, and , of the incident field.

11

The elliptical polarization enables bending about the the corner with little losses. The optical phase affords a way of breaking the symmetry so as to funnel the energy into one or the other of the T-junction branches. To check the sensitivity of the control results to deviation from perfect regularity, we introduce random size and location deviation of 2 nm for each particle. The sensitivity of the results to the particle size was checked by varying the NP’s radii in the 25 to 30 nm range. Simulations show that, while the details of Fig. 1 are not invariant, the extent of control is not affected by either deviation from perfect regularity of small size modifications.

Fig. 1. Phase-polarization control of EM energy transport through

the T-structure depicted schematically in the inset. Logarithm of the ratio W1/W2 of the time averaged EM energies in the upper (D1) and lower (D2) ends of a T-structure (see inset) as a function of the laser polarization parameters, and . The incident pulse is centered at a plasmonic resonance wavelength, λ=300 nm.

To quantify the effect of losses, we have computed the power transmission coefficient, defined as the ratio of the time-averaged EM

12

energy at the center of the NP closest to the incident source NP to the time-averaged EM energy at detection points, D1 and D2. We found a power transmission coefficient of 2.6 (that is about 50 times smaller than the controlled branching ratio shown in Fig. 1). Whereas the control ratio, W1/W2, improves with increasing duration of the incident pulse, the power transmission coefficient is at most essentially independent on the pulse duration.

We found that the phase-polarization control is equally effective in larger T-structure consisting of two interacting linear chains of NPs of 900 nm length each. The results of Fig. 1 suggest a potential nano-scale plasmonic switch or inverter with an operational time comparable to the incident pulse duration of tens of fs.

Fig. 2. Phase-polarization control of EM energy transport through

the X-structure depicted schematically in the inset. Logarithm of the ratio W1/W2 of the time averaged EM energies in the upper (D1) and lower (D2) detectors of the X-structure (see inset) as a function of relative phases, 1 and 2 (for 1 2 1/ 2 in (3)), of the two

13

incident sources, LS1 and LS2. The incident pulses are centered at the plasmon resonance, λ=435 nm.

Figure 2 suggests the potential of a different coherent control concept, based on the interference between two EM waves propagating towards the array intersection. The two sources strategy is exemplified here by an X-structure, as shown in the inset of Fig. 2, where LS1 and LS2 indicate the location of the two phase-locked laser sources. The main frame of Fig. 2 presents (on a logarithmic scale) the ratio of the time averaged EM energies, W1/W2, detected in two symmetrically placed detectors, D1 and D2. We set 1 2 1/ 2 , corresponding to equal magnitudes of the x- and y-components of both sources, and vary

1 and 2 (or, equivalently, the relative phases of LS1 and LS2 in the x-field components). Similar to the case of the T-junction, the branching ratio can be varied over a significant range by choice of the relative phases of the excitation sources. Phase-polarization control of plasmonic devices is a general effect that we found also in other constructs and which was not recognized before.

4. Conclusion We proposed the extension of the tools of optical control to

manipulate the transport of EM energy in the nano-scale and to derive new insights into nano-plasmonic physics. The phase and polarization properties of laser sources are shown to provide interesting tools in nano-plasmonics, capable of driving plasmon excitations to desired spatial locations, potentially making nano-scale optical switches and inverters.

Potential applications are many and varied. For instance, colloidal NPs and synthetic nanomaterials (such as dented and striped multi-layer nanorods) with engineered optical properties have attracted much interest in recent years [10], due to the rapid progress of fabrication techniques such as template electrochemical synthesis physical/chemical vapor deposition, and chemical lithography [3]. Controllability over the properties of such systems translates into control over their dielectric constant and therefore over the EM wave dispersion and plasmon resonances. This suggests an opportunity for coherent control strategies, with which a variety of desired targets (e.g., minimization of losses, enhancement of a given mode, sensitivity to a given species etc.) could

14

be potentially attained by adjusting the width and length of different layers of individual NPs, and selecting different materials ranging from noble metals to insulating solids.

Both experimental and theoretical work on nanoplasmonics have focused on the case of nanostructures in vacuum or rare gases. One might expect, however, optical nonlinearities of the embedding media to lead to interesting phenomena. Second harmonic generation, self-focusing and four-wave mixing induced by a Kerr medium, for instance, can play a significant role in EM energy enhancement, localization and transport. Other potential applications of phase and polarization control in nanoplasmonics include optimization of the EM field enhancement in single molecular spectroscopy, where properly shaped NPs could noticeably improve the sensitivity, and design of laser-assisted 3D atom probe experiments.

5. References 1. W. L. Barnes, A. Dereux, and T. W. Ebbesen, “Surface plasmon

subwavelength optics,” Nature 424, p. 824, 2003. 2. S. Link and M. A. El-Sayed, “Optical properties and ultrafast

dynamics of metallic nanocrystals,” Annu. Rev. Phys. Chem. 54, p. 331, 2003.

3. E. Hutter and J. H. Fendler, “Exploitation of localized surface plasmon resonance,” Adv. Mat. 16, p. 1685, 2004.

4. G. P. Wiederrecht, “Near-field optical imaging of noble metal nanoparticles,” Eur. Phys. J. Appl. Phys. 28, p. 3, 2004.

5. M. Quinten, A. Leitner, J. R. Krenn, and F. R. Aussenegg, “Electromagnetic energy transport via linear chains of silver nanoparticles,” Opt. Lett. 23, p. 1331, 1998.

6. T. Klar, M. Perner, S. Grosse, G. V. Plessen, W. Spirkl, and J. Feldmann, “Surface-plasmon resonances in single metallic nanoparticles,” Phys. Rev. Lett. 80, p. 4249, 1998.

7. G. Mie, “Beitrage zur optik truber medien, speziell kolloidaler metallosungen,” Ann. Phys. Leipzig 25, p. 377, 1908.

8. U. Kreibeg and M. Vollmer, Optical Properties of Metal Clusters, Springer, Berlin, 1995.

9. S. A. Maier, M. L. Brongersma, P. G. Kik, S. Meltzer, A. A. G. Requicha, and H. A. Atwater, “Plasmonics - a route to nanoscale optical devices,” Adv. Mat. 13, p. 1501, 2001.

15

10. “Nanoscale materials special issue,” In Acc. Chem. Res. 32, pp. 387—454, 1999.

11. S. A. Maier and H. A. Atwater, “Plasmonics: Localization and guiding of electromagnetic energy in

12. metal/dielectric structures,” J. Appl. Phys. 98, p. 011101, 2005. 13. S. A. Rice and M. Zhao, Optical Control of Molecular

Dynamics, John Wiley and Sons, 2000. 14. M. Shapiro and P. Brumer, Principles of the Quantum Control

of Molecular Processes, Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003.

15. H. Rabitz, R. de Vivie-Riedle, M. Motzkus, and K. Kompa, “Whither the future of controlling quantum phenomena?,” Science 288, p. 824, 2000.

16. R. Judson and H. Rabitz, “Teaching lasers to control molecules,” Phys. Rev. Lett. 68, p. 1500, 1992.

17. T. Brixner and G. Gerber, “Quantum control of gas-phase and liquid-phase femtochemistry,” ChemPhysChem 4, p. 418, 2003.

18. D. S. Weile and E. Michielssen, “Genetic algorithm optimization applied to electromagnetics: A review,” IEEE Trans. on Ant. and Prop. 45, p. 343, 1997.

19. M. J. Buckley, “Linear array synthesis using a hybrid genetic algorithm,” Proc. IEEE Ant. Prop. Soc. Int. Symp. , p. 584, 1996.

20. K. Aygun, D. S. Weile, and E. Michielssen, “Design of multilayered strip gratings by genetic algorithm,” Microwave Opt. Tech. Lett. 42, p. 81, 1997.

21. Taflove and S. C. Hagness, Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Artech House, Boston, 2000.

22. F. Bohren and D. R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley, New York, 1983.

16

Low-temperature crossover of the lattice thermal transport in

nanowires

Alexander V. Zhukov Department of Chemistry, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, USA and Department of Optics, Palacky University, 17. listopadu 50, 77200 Olomouc, Czech Republic (Dated: July 27, 2007)

Abstract We propose a theory of low temperature thermal transport in nano-

wires in the regime where a competition between phonon and flexural modes governs the relaxation processes. Starting with the standard kinetic equations for two different types of quasiparticles we derive a general expression for the coefficient of thermal conductivity. The underlying physics of thermal conductance is completely determined by the corresponding relaxation times, which can be calculated directly for any dispersion of quasiparticles depending on the size of a system. We show that if the considered relaxation mechanism is dominant, then at small wire diameters the temperature dependence of thermal conductivity experiences a crossover from 2/1T to T3-dependence. Quantitative analysis shows reasonable agreement with resent experimental results. PACS numbers: 63.20.Kr 63.22.+m 65.40.-b

Low-dimensional materials have attracted considerable attention in

recent years, particularly, in view of their potential applications in electronic devices [1, 2]. Many theoretical and experimental studies of nanowires and nanotubes are centered on the properties of electronic transport. However it is realized now that the thermal properties of nanomaterials are also important for applications [3-5]. It is of special

17

interest to increase thermal conductance in the micro and nanodevices [1, 6, 7]. In this paper study thermal transport in nonmetallic systems, in which heat is transported by thermal excitations only. In addition to practical importance of such studies, thermal transport in nanowires is interesting from fundamental point of view. Recent theoretical [8] and experimental [9] findings proved the existence of the quantum of thermal conductance in ballistic regime, which is similar to the quantum of electronic conductance. The state of experimental and theoretical understanding of thermal transport in nanoscale systems is comprehensively discussed in the review [10]. Recently D, Li et al [11] reported an accurate measurement of lattice thermal conductivity in silicon nanowires for a wide range of temperatures and wire diameters. They demonstrated the significant influence of the system size not only on the magnitude of the thermal conductivity coefficient, but also on its temperature dependence. It is well known that for large enough diameters of the wire and diffusive phonon - boundary scattering, thermal conductivity coefficient at low temperatures is proportional to

3T . But for small values of the wire diameters experiment [11] shows clear crossover from cubic to near linear dependence on the temperature. In the present paper we consider one particular relaxation mechanism which can explain the observed crossover.

Recently Mingo [12] carried out an accurate numerical study of thermal conductance of silicon nanowires to explain the decrease of the thermal conductivity coefficient with wire diameter observed in the experiment. He assumed that all the effects can be explained by the reconstruction of the phonon dispersion, where realistic phonon modes obtained from MD simulations were applied to general expression of the thermal conductivity coefficient. His numerical analysis shows excellent quantitative agreement with the experiment [11] for large enough diameters at high temperatures. As the system size becomes smaller, the approach fails to describe a sharp decrease of thermal conductance as well as qualitative change of its temperature dependence. This is likely because the Matheissen's rule has been used for evaluation of the phonon lifetime, which has rather restricted range of applicability (see e.g. [13] and references therein). As it was noted in Ref. [14], decrease of t h e temperature increases the characteristic phonon wavelength and reduces the scattering probability

18

at the boundary surface. This leads to a modification of the phonon spectrum. For ideal wires it is represented by a set of branches with energies proportional to ID momentum directed along the wire. So the standard theory of thermal conductance in dielectrics and semiconductors has to be modified to account for low dimensionality effects as well as phonon spectrum modification at low temperatures. Thus, to understand thoroughly the physical processes occurring inside the nanowires with decreasing sizes, we need an analytical theory to account for different mechanisms explicitly, such as dispersion reconstruction and restricted geometry.

To approach the problem we consider low enough temperatures, where the quasiparticles states of "acoustic" branches are thermally populated 0( when 0p ). The corresponding acoustic branches have the following dispersion relations [14, 15]:

,111 pu ,2

222 apu (1)

where i stands for the energy of a quasiparticles, ip is the corresponding momentum, a is the wire diameter, 1u and 2u are the characteristic velocities. The first expression in Eq. (1) is the phonon dispersion and the second expression is the dispersion of flexural mode. The nature of flexural modes conies from the fact they are analogous to bending modes of classical elasticity theory, or the antisymmetric Lamb waves of a free plate [16]. Appearance of such a mode is just a direct consequence of restricted geometry, and under some conditions it can be considered as the only size effect in thermal transport properties. Strictly speaking there are two modes for each type of dispersion, but we do not account for them separately since their contributions are qualitatively the same. Consequently, we have to solve the kinetic problem for two-component gas of quasiparticles. It is well known [13, 17-20] that using simple Callaway formula, to estimate the thermal conductivity coefficient in two-component systems sometimes leads to serious confusions. Simple summation of the relaxation rates, as is done in the majority of theoretical works, is questionable under many physical conditions. The dependence of the kinetic coefficients on different relaxation times is much more complicated in reality. Accurate method for calculation of the diffusion coefficient in two-component

19

gas of quasiparticles was proposed in Ref. [20]. Here we extend this formalism to thermal conductance problem. To start, we consider a system of two types of quasiparticles. Their kinetics is described by equations for corresponding distribution functions f i :

,, 3

2

1iiji

jij

ii fCffC

zf

.2,1i (2)

where Cij(f i ,fj) is the collision integral of thermal excitations, and C 3i (f i ) is the collision integral describing the scattering processes between quasiparticles and scatterers. In general the latter includes all the processes leading to the non-conservation of the total energy. Vi = d i /d i i is the group velocity of the corresponding thermal excitation. The main purpose of our theory is to obtain analytic expressions of thermal conductance, which are applicable to quasiparticles with arbitrary dispersion relations. In other words, the explicit dispersion relations in Eq. (1) are needed only at the last stage when calculating corresponding relaxation times and thermodynamic quantities. As usual, we seek a perturbative solution of the system (2) in the form

,0iii fff (3)

where 0if is the local equilibrium Bose-function and 0

ii ff represents small deviation from the equilibrium. The perturbation term can be conveniently chosen to be iiii fgf /)0( with gi the new target functions. After the standard linearization procedure, Eq. (2) can be written in the following matrix form:

,1 gCzT

Tk

(4)

where

,11

22

k .

1

2

g

gg

The 2D collision matrix С can be decomposed into a sum of three terms,

corresponding to different relaxation mechanisms:

USJC where

20

J with matrix elements ,1 ikCCJ ijijijikij (к ф г), describes the relaxation due to interaction between quasiparticles of

different types; ijCSS iiij

describes collisions between identical

quasiparticles, and ijCUU iij 3

describes all the other relaxation mechanisms, which do not conserve total energy of the quasiparticle system. U includes scattering on defects, boundaries, umklapp processes etc. [21] Here dj represent linearized collision operators. Let us define the scalar product of two-dimensional bra- and ket-vectors as follows [20]:

kk

k

kkk

kkk dГf

)0(

2,1

*

2,1

| (5)

where (ф k | and | k ) are the correspondent one-component vectors, dГ is the element of phase volume. Under this condition, the collision operator С becomes hermitian. System (4) is the system of nonuniform linear integral equations. According to the general theory of integral equations the target solution |g must be orthogonal to the solution of

corresponding uniform equations uniC |

. It is therefore convenient to write the formal solution of (4) so that the orthogonality condition is imposed explicitly in the solution. For this purpose we define the projection operator Vn onto the subspace orthogonal to the vector \фиПг), Vn = 1 — Vc, Vc = \Фипг)(Фипг\- As a res unig ult, the formal solution of the system (4) can be written in the form

zT

TPCPg kn

11

(6)

The heat flux density due to the thermal excitations of different types is given by the expression kkkk k dГfQ

2,1

Using relation (3)

and definition of scalar product (5), Q can be rewritten as Q=(фк|g). On the other hand, the effective thermal conductivity coefficient is defined

21

by the relation ./ zTQ eff Comparing the above two expressions for <2, and using the formal solution (6) we obtain

.||1 1

kkeff CT

k

(7)

To derive an exact and analytical expression for thermal conductivity coefficient (7) it is necessary to introduce a complete set of orthonormal two-dimensional vectors | п) (п = 1,2,3,...) belonging to the infinite-dimensional Hilbert space with scalar product (5). In principle, the particular choice of the basis is not essential, but for the convenience of calculations it is useful to specify at least four of them. It's convenient to chose the first of them to correspond to the total momentum of quasiparticles and the second one to be orthogonal, but still linear in momentum [20]:

,1 1

2

1

p

p ,1 12

21212

(8)

where p i =( p i |p i ) is the normal density of the zth component, p = p1 + p2. The third and the fourth vectors correspond to the energy flux:

,1 1

013

k

kN

,1 0

24

2kkN (9)

where

,1

j

j

jfjkj p

pTS

T (10)

and kjkjkjN | is the corresponding normalization coefficient. Partial entropy of quasiparticle subsystem Sj in eq. (10) is given by the relation

.|1jjjj p

TS (11)

Formally, the kinetic problem of two-component quasiparticles system can be solved in the above basis set. The inversion of the operator matrix С in Eq. (7) is similar to the procedure described in Ref. [20]. The final result contains infinite dimensional non-diagonal matrices. To

22

obtain closed form expressions we must use some approximations, correct r-approximation [19] or Kihara approximation [20, 22, 23]. In some physical situations we are able to obtain closed analytical expressions. It is rigorously proved in [20] that in case of quasi-equilibrium within each subsystem of quasiparticles, the corresponding transport coefficient can be obtained in close analytical form. This is a reliable approximation when the low temperature relaxation is mainly governed by the defect scattering processes. The approximation formally implies that all the matrix elements of matrix S in eq. (7) tend to infinity. The thermal conductivity coefficient in this case can be obtained in the form: DFeff . Here we separate the flux part of

thermal conductivity coefficient /2TSFF with S = S 1 + S 2 , which approaches infinity when the quasiparticles do not interact with scatterers, and the diffusive part TTSTSDD /// 212211 The corresponding relaxation times are given by

,1

121

112

113

2123

1

D (12)

and

1113

121

123

112

123

113

21

211

121

1321

231

SS

SS

DF (13)

Relaxation times contained in formulas (12) - (13) are defined by

.||11jkjj

kkj C

(14)

We-emphasize that they are not actual scattering times, which are momentum dependent, but are relaxation times associated with corresponding scattering mechanisms. Once we obtain the particular scattering rate V kj (p k ) from standard scattering theory, we can replace

true collision operator Ck with V kj (p k ), so that the corresponding relaxation time can be calculated by

23

kk

kkkjkkkj dГf

)0(

211 (15)

As can be seen from the derived formulas, the coefficient of thermal conductivity contains different relaxation times in rather non-trivial combination. If drop out one component (say set 2S =0, p 2 =0) we

recover the usual result ./ 12113

)1( TSF For phonons with linear dispersion = vp 1 ,k F reduces to the well-known result

,3/132 ph

phF C , where phph SC 3 is the heat capacity of phonon

gas. The main advantage of our approach is its universality. In fact till now we have not restricted ourselves to any particular dimensionality of the system or any quasiparticles dispersion. All the necessary information is contained in the corresponding relaxation times and thermodynamic quantities. This formalism allows us to analyze contributions from different relaxation mechanisms to the total thermal conductivity coefficient. Given the dispersion relations of quasiparticles, we can easily calculate all the quantities contained in (12) - (13). With Eqs. (12) - (13) we are able to address the competition between relaxation processes of the flexural and phonon modes. Glavin [14] noted that such a competition can be essential at extremely low temperatures if the dominant relaxation mechanism is elastic scattering on defects, where he argued that thermal conductivity coefficient would scale as T1/2. Our approach allows us to study this competition comprehensively. Particularly, we predict the strong dependence of the temperature scaling exponent on the wire diameter. The standard Fermi golden rule approach [14] gives the momentum dependent scattering

rates for different modes ,2/331

2/1

1313 aupW ,1

332

2323 apuW where

Wkj are the corresponding scattering amplitudes, which depend on the physical properties of particular material. Using Eq. (15) it is easy to show, that the corresponding relaxation times scale as

,2/12/3113 Ta .2/12/51

23 Ta (16)

Different temperature dependence of relaxation times lead to a strong competition between two physically different mechanisms of thermal

24

conductivity, flux and diffusive. The dominance of one over the other strongly depends on the wire diameter at a given temperature. To make some specific conclusions let us summarize the approximations done and specify the range of validity of the proposed theory. We consider a situation when thermal excitations are multiply scattered elastically while being transferred through the wire, so that other scattering mechanisms are strongly suppressed by interaction with defects. Only for this case we were able to drop relaxation within each subsystem of identical quasiparticles to obtain closed expressions (12), (13). The influence of boundary is accounted in the dispersion of flexural mode and in the dimensionality of the system. The range of temperature is supposed to satisfy the relation T , where a/1~ is the characteristic value of the frequency gap between the adjacent phonon branches. For larger temperature we cannot use the acoustic modes (1) only, but need to account higher branches.

In Figure 1 we compare our theoretical results with the experimental data from [11]. We have chosen the unknown parameters

454413 102.1 smW and 4544

23 109.0 smW to fit data for a = 22nm. Deviations from the experimental data for large diameters and temperatures show the restriction of applicability of our initial approximations. They arise from the Debye approximation and simplified dispersion expression.

Temperature (К)

FIG. 1: Thermal conductivity coefficient calculated from Eqs. (12) and (13) for different values of nanowire diameter. Experimental data are from Ref. [11].

25

Additionally, when the diameter of the wire increases, the mechanism we consider becomes less dominant. To be more precise we need to include higher excitation branches as well as another relaxation mechanisms. However our approach allows to understand the physics of the processes in the region under consideration. Clearly, observed crossover is the result of competition between f Т1/2 and KD Т3.

For smaller diameters, f is strongly dominant in the wide range of temperatures as shown on Figure 2 for wire diameter a = 2nm.

Temperature (K)

FIG. 2: Comparative contribution from flux and diffusive parts of thermal conductivity for a 2nm wire.

Figure 3 demonstrates a complete crossover from T1//2 to T3

dependence for the nanowire of a = 30nm. It can be seen that the T dependence between 20K and 40K is nearly linear, which was observed in the experiment [11]. It should be noted that T3 dependence of

D cannot be interpreted in simple analogy with the bulk case. It comes not from a specific heat directly, but from different sources including competition of the relaxation times in Eqs. (12), (13).

26

In summary, we derived the general analytical expressions (12) -

(13), to explicitly calculate the contributions of different scattering mechanisms to the total relaxation of the system. The simple expressions clarify the essential effects leading to the observed behavior of thermal conductivity coefficient. It is clear that the particular dispersion laws (and their reconstruction) affect scattering rates and thermodynamic quantities. Restricted geometry and low dimensionality lead to additional scattering mechanisms. When applied to the regime, where phonon modes compete with flexural ones, our theory agrees favorably with available experimental data. Furthermore, we showed that the thermal conductivity coefficient changes from approximately 2/1T -dependence to T3-dependence with increasing temperature. In view of our theoretical results it is useful to investigate smaller diameters or lower temperatures with fixed diameters in experiment to better reveal the crossover from T3 to T1/2 dependence.

We would like to thank Prof. Peidong Yang and Dr. Deyu Li for providing us the experimental data. This research was supported by the Czech Ministry of Education under the project Centre of Modern Optics (LC06007) and the NSF Career Award.

[1] M. A. Ratner, B. Davis, M. Kemp, V. Mujica, A. Roitberg, and S. Yaliraki, Ann. NY Acad. Sci. 852, 22 (1998).

27

[2] V. Pouthier, J. C. Light, and С Girardet, J. Chem. Phys. 114, 4955 (2001). [3] D. M. Leitner and P. G. Wolynes, Phys. Rev. E 61, 2902 (2000). [4] A. Buldum, D. M. Leitner, and S. Ciraci, Europhys. Lett. 47, 208 (1999). [5] L. Hui, B. L. Wang, J. L. Wang, and G. H. Wang, J. Chem. Phys. 120, 3431 (2004). [6] Y. Cui, Z. Zhong, D. Wang, W. U. Wang, and С. М. Lieber, Nano Letters 3, 149 (2003). [7] P. Poncharal, С Berger, Y. Yi, Z. L. Wang, and W. A. de Heer, J. Phys. Chem. В 106, 12104 (2002). [8] L. G. C. Rego and G. Kirczenow, Phys. Rev. Lett. 81, 232 (1998). [9] H. Schwab, E. A. Henriksen, J. M. Worlock, and M. L. Roukes, Nature 404, 974 (2000). [10] D. G. Cahill, W. K. Ford, K. E. Goodson, G. D. Mahan, A. Majumdar, H. J. Maris, R. Merlin,and S. R. Phillpot, Appl. Phys. Lett. 83, 2934 (2003). [11] D. Li, Y. Wu, P. Kim, L. Shi, P. Yang, and A. Majumdar, Appl. Phys. Lett. 83, 2934 (2003). [12] N. Mingo, Phys. Rev. В 68, 113308 (2003). [13] I. N. Adamenko, K. E. Nemchenko, A. V. Zhukov, C. I. Urn, T. F.

George, and L. N. Pandey, J. Low Temp. Phys. 111, 145 (1998). [14] В. A. Glavin, Phys. Rev. Lett. 86, 4318 (2001). [15] N. Nishiguchi, Y. Ando, and M. N. Wybourne, J. Phys. Condens. Matt. 9, 5751 (1997). [16] B. A. Auld, Acoustic Fields and Waves in Solids (Wiley, New York, 1973). [17] I. N. Adamenko, A. V. Zhukov, and К. Е. Nemchenko, Fiz. Nizk. Temp. 22, 1470 (1996). [18] I. N. Adamenko and К. Е. Nemchenko, Fiz. Nizk. Temp. 22, 995 (1996). [19] I. N. Adamenko, К. Е. Nemchenko, and A. V. Zhukov, J. Low Temp. Phys. 111, 387 (1998). [20] A. V. Zhukov, Phys. Rev. E 66, 041208 (2002). [21] L. Hui, F. Pederiva, G. H. Wang, and B. L. Wang, J. Chem. Phys. 119, 9771 (2003). [22] T. Kihara, Imperfect Gases (Asakusa Bookstore, Tokyo, 1949). [23] E. A. Mason, J. Chem. Phys. 27, 782 (1957).

28

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОКОВЫЕ ДОМЕНЫ В ПУЧКАХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК

М.Б. Белоненко*), Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев

Волгоградский государственный университет, пр-т Университетский, 100, г. Волгоград, 400062, Россия, E-mail: nikolay.lebedev@volsu.ru, *) Лаборатория Нанотехнологий ВПО НОУ ВИБ, ул. Южно-Украинская, 2, г. Волгоград, 400064, Россия E-mail: mbelonenko@yandex.ru

В работе исследуется динамика распространения

периодических электромагнитных волн и индуцируемого ими тока в пучках углеродных нанотрубок. Рассмотрение проводится на основе анализа связанных уравнений на классическую функцию распределения электронов углеродных нанотрубок и уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Получено эффективное уравнение, описывающее динамику электромагнитного поля. Выявлены периодические изменения формы электромагнитной волны при распространении в углеродной среде. Соответствующие области тока, протекающего через углеродные нанотрубки, образуют периодическую доменную структуру. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-03-96604).

Введение Развитие современных технологий предъявляет все более

высокие требования к научным разработкам, в особенности в области явлений наномасштабных структур [1]. Уникальные свойства углеродных нанотрубок (УНТ) [2] привели к их широкому изучению и применению в рамках нелинейной оптики. Одним из основных и наиболее перспективных направлений в этой области является исследование распространения в УНТ ультракоротких импульсов света (оптических солитонов) [3 - 5]. В качестве одной из основных целей современной оптики является создание полностью оптических приборов, в которых светом можно управлять с помощью света [5]. Это привело к тому, что в последнее время наблюдается бурный рост исследования

29

оптических эффектов, связанных с взаимодействием электромагнитных солитонов. Этот интерес стимулируется как успешными экспериментами, в которых получены многомерные оптические солитоны (устойчивые локализованные световые структуры), так и появлением новых материалов, являющихся достаточно перспективными для построения полностью оптических приборов. Поскольку нелинейные свойства УНТ в оптическом диапазоне широко известны [3, 4, 6], задача поиска оптических солитонов в УНТ представляется достаточно важной и актуальной. Все вышесказанное и стимулировало данную работу.

Модель Исследование электронной структуры УНТ приведено в

достаточно большом количестве работ [2] и, как правило, проводится в рамках анализа динамики π-электронов в приближении сильной связи. Так, закон дисперсии, который описывает электронно-энергетические свойства графена, имеет вид:

)/ap(cos)/apcos()apcos()p(E yyx 34341 2

,

где γ ≈ 2.7 эВ, 23 /ba , 1420.b нм – расстояние между соседними атомами углерода в графене, )p,p(p yx

. Для УНТ

типа «zig-zag» (m,0) дисперсионное уравнение имеет вид:

)m/s(cos)m/scos()apcos()p(E z 2441, (1)

где квазиимпульс p задается как )s,p( z , .m...,s 21 При построении модели распространения ультракороткого

оптического импульса в пучках нанотрубок, в случае геометрии, представленной на рисунке 1, будем описывать электромагнитное поле импульса классически, на основании уравнений Максвелла

[7]. Так, в калибровке tA

cE

1 уравнения Максвелла с учетом

диэлектрических и магнитных свойств УНТ можно записать как

0412

2

22

2

jct

Acx

A

, (2)

30

причем здесь пренебрегается дифракционным расплыванием лазерного пучка в направлениях, перпендикулярных оси распространения. Вектор-потенциал A

считается имеющим вид

))t,x(A,,(A z00

.

Рис. 1. Геометрия задачи Для определения тока воспользуемся полуклассическим

приближением [8], взяв закон дисперсии (1) из квантово механической модели и описывая эволюцию ансамбля частиц классическим кинетическим уравнением Больцмана в приближении времен релаксации:

fF

pf

tA

cq

tf

z

z 0 , (3)

где 0F – равновесная функция распределения Ферми. Время релаксации можно оценить согласно [9] как

примерно 310–13 с. Отметим также, что при записи уравнения (3) пренебрегалось эффектами, связанными с неоднородностью электромагнитного поля вдоль оси нанотрубки.

Уравнение (2) легко решается методом характеристик [10]:

31

td)))t(A)t(A(cqp(Fee))t(A

cqp(Ff zz

t/)tt(/t

zz

00

1

(4) и можно с учетом вышесказанного записать выражение для плотности тока )j,,(j z00

:

s

zzz fvdpqj

, (5)

где, как и обычно: z

z p)p(Ev

.

Выражения (2), (3), (5) составляют основную систему уравнений, описывающую рассматриваемую модель.

Эффективное уравнение для вектор–потенциала Учтем, что время релаксации мало, это позволяет

пренебречь первым слагаемым в (4). После замены

))t(A)t(A(cepp zz выражение для плотности тока

примет вид:

s

t q

q

/)tt(zzzzz e)p(F)))t(A)t(A(

cqp(vdptdqj

0

00

,

где интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна и

bq

32

0

. Функцию )x(vz представим в виде ряда Фурье:

m

msz )mxsin(a)x,s(v ,

dx)mxsin()x,s(va zms

1.

Коэффициенты разложения msa (табл. 1) убывают с ростом m, и можно ограничиться первыми несколькими неисчезающими слагаемыми. Тогда плотность тока:

32

ms

t

q

qzz

ttzz

msz

pFmapdp

etAtAc

maqtdaqj 0

0

)()cos(

))()((sin(

0

/)(

.

Таблица 1. Коэффициенты msa для нанотрубки (6,0) в единицах параметра γ.

s=1 s=2 s=3 s=4 s=5 s=6

m=1 –0.956 –0.849 0 0.849 0.956 0.967 m=2 0.263 0.339 0 0.339 0.263 0.233 m=3 –0.111 –0.218 0 0.218 0.111 0.086 m=4 0.052 0.162 0 0.162 0.052 0.035 m=5 –0.026 –0.127 0 0.129 0.026 0.015

m=6 0.013 0.106 0 0.106 0.013 0.007 m=7 –0.007 –0.091 0 0.091 0.007 0.003

Для исследования, интеграла содержащего временную

экспоненту, воспользуемся широко известным в теории полупроводниковых сверхрешеток приемом [11, 12], согласно которому после замены переменных tt временной интеграл можно свести к виду:

)exp()())(sin(0

wwdtAc

maqz .

Таким образом, эффективное уравнение можно записать в виде:

mzm

zz tAc

maqcqtA

cxA

0))(sin(12

2

22

2

,

s

msmsm bac ,

0

0

0

q

qzzms )p(F)mapcos(dpb

. (6)

Как показали результаты численных расчетов,

33

коэффициенты msb сильно убывают с ростом m при любых температурах. При температурах порядка комнатных, в силу того, что γ ≈ 2.7 эВ, можно воспользоваться низкотемпературным пределом для функции распределения Ферми.

Все вышесказанное приводит к тому, что, вследствие убывания коэффициентов mc с ростом m в сумме в уравнении (6), можно ограничится первыми двумя неисчезающими слагаемыми и получить широко применяемое в приложениях, но не интегрируемое методом обратной задачи рассеяния, двойное уравнение sine-Gordon [13]. Важным достоинством данного уравнения есть то, что из него следует теорема площадей, а именно: устойчивы по отношению к изменению формы только импульсы, имеющие определенную «площадь» («площадь»

импульса )t( определена как

dt)t( ). Импульсы, имеющие

большую «площадь», стремятся уменьшить ее до фиксированной, а те, которые имеют меньшую «площадь», наоборот, увеличивают ее. Второе, что неоднократно [14, 15] отмечалось исследователями двойного уравнения sine-Gordon, это то, что в случае быстро убывающих граничных условий характер взаимодействия импульсов и, главное, характер распада одиночного импульса сильно зависит от его скорости. При увеличении скорости импульсы начинают взаимодействовать все более и более упруго, и меньшая часть их энергии уходит в колебательные моды.

Электромагнитный импульс в пучках углеродных

нанотрубок Особенный интерес представляют результаты исследования

динамики импульса электромагнитного поля в нанотрубках разного диаметра. Исследуемые уравнения (2), (3), (5) решались численно при помощи прямой разностной схемы типа крест [16]. Шаги разностной схемы уменьшались последовательно в два раза, то тех пор пока решение не изменялось в 8-ом значащем знаке. На рис. 2а представлены результаты исследования изменения формы электромагнитного импульса в зависимости от диаметра УНТ (m, 0). Изменения формы импульсов тока представлены на

34

рис. 2б.

а) б) Рис. 2. Формы электромагнитных импульсов (а) и формы импульсов тока (б) при распространении в пучках нанотрубок (m, 0) для момента времени t = 5τ.

35

Отметим и уменьшение суммарного тока, протекающего через систему нанотрубок при прохождении электромагнитного импульса, при увеличении атомов вдоль окружности нанотрубки, что представлено на рис. 3. Данный эффект никак не связан с хиральными свойствами УНТ. Это еще можно объяснить тем, что при увеличении диаметра нанотрубки растет число типов колебаний электронов (мод), описываемых (1). Обмен энергией между колебаниями электронов (модами) приводит к изменению формы импульса и появлению дополнительных «пиков» в импульсе. Дополнительным свидетельством в пользу такого механизма является изменение формы импульсов электромагнитного поля при изменении времени релаксации в уравнении (3), что представлено на рис. 4.

Рис. 3. Суммарный ток, текущий через пучок нанотрубок, как функция времени. Нормировано на максимальное значение тока для нанотрубки (6,0).

36

Рис. 4. Изменение формы импульсов электромагнитного поля при изменении времени релаксации (уменьшено в 2 раза по сравнению с рис. 2) для функции распределения электронов. Уменьшение времени релаксации приводит к тому, что электронная подсистема отслеживает изменения в амплитуде электромагнитного поля более быстро, а значит, следует за этими изменениями, не успевая испытать дисперсионное «расплывание» мод, следующее из закона дисперсии (1). Вследствие этого форма электромагнитного импульса имеет меньше «колебаний» при уменьшении времени релаксации, что отображено на рис. 4. Заметим, что при увеличении числа атомов вдоль окружности нанотрубки форма электромагнитного импульса меньше зависит от начальной групповой скорости импульса. Подобное поведение опять-таки связано с тем, что изменение формы импульса определяется числом электронных колебаний, описываемых законом дисперсии (1).

Токовые домены Исследована динамика распространения периодических

0.0 10.0 20.0 30.0

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

37

электромагнитных волн в пучках углеродных нанотрубок «zig-zag» типа. При построении модели распространения цуга ультракоротких оптических импульсов в системе нанотрубок использована геометрия, представленная на рисунке 1. Распространение периодического цуга импульсов при разных начальных условиях представлено на рис. 5.

38

а) б) Рис. 5. Распространение импульса электромагнитного поля в системе УНТ: а) и б) - разные начальные условия. Яркость выражена в процентах от амплитуды начального импульса, по оси х отложено расстояние в мкм, по оси у – время в единицах τ. Здесь видно, что в процессе распространения, на начальном этапе, происходит появление и исчезновение «лишних» максимумов, т.е. начальное возмущение, имевшее два максимума (рис. 5а), в ходе эволюции приобретает дополнительный максимум, который в дальнейшем исчезает. Данное поведение можно связать с обменом энергией между разными модами, которые характеризуются разными периодами. Взаимодействие между такими модами и приводит, на наш взгляд, к наблюдаемой картине. Также заметим, что подобное поведение можно связать и с периодическими решениями уравнения sine–Gordon, которые выражаются через

39

функции Вейерштрасса [17]. Взаимодействие между такими решениями, вследствие неинтегрируемости системы, и дает картину приведенную выше. Последовательная эволюция формы периодического электромагнитного импульса при распространении в системе нанотрубок приведена на рис. 6, а эволюция соответствующего импульса тока на рис. 7. Моменты времени на рисунках одинаковы.

Рис. 6. Эволюция формы электромагнитного импульса при распространении в пучке нанотрубок (здесь и далее по оси абсцисс за единицу принят 1 мкм) для моментов времени: 0t (сплошная линия), 5,0t (длинный пунктир), 5,1t (точка тире),

5,2t (две точки тире), 4t (короткий пунктир).

40

Рис. 7. Эволюция формы импульса тока при распространении в пучке нанотрубок. Здесь необходимо обратить внимание на то, что динамика импульсов тока также отстает от электромагнитного поля, что объяснялось ранее.

Отметим, что в ходе эволюции импульсы тока приняли регулярную периодическую структуру, характеризующуюся наличием областей с различным направлением тока. Хотя ток внутри таких областей и испытывает периодические изменения, как по величине, так и по направлению с течением времени, деление на области сохраняется. Так, различные области могут характеризоваться, например, различными амплитудами тока в них. Исходя из этого, можно сделать заключение, что в процессе распространения электромагнитной волны в пучке углеродных нанотрубок возникает периодическая структура токов, которая может быть названа доменной. Домены тока здесь возникают из-за взаимодействия периодической электромагнитной волны с системой неравновесных электронов в углеродных нанотрубках.

41

Заметим, что никаких особенностей эволюции электромагнитного импульса в зависимости от того, с какой групповой скоростью он начинал свое движение в системе нанотрубок, не наблюдалось. На наш взгляд, это связано с независимостью системы уравнений на функцию распределения электронов от скорости в явном виде и с Лоренц-инвариантностью уравнений Максвелла.

При варьировании начальных условий, т.е. при изменении формы цуга электромагнитных импульсов входящих в систему УНТ, наблюдалась эволюция начальных состояний подобно приведенной на рис. 6. Отметим явную аналогию получившихся осциллирующих состояний с бризерными решениями уравнения sine-Gordon. Особенно сильно характер эволюции зависел, как показали результаты численных расчетов, от времени релаксации функции распределения электронов к равновесному значению. Заключение Из проведенного исследования можно сделать следующие выводы: 1. Получена система уравнений, описывающая динамику одиночного ультракороткого лазерного импульса и их периодической последовательности в пучках углеродных нанотрубок, и описаны основные приближения. 2. Получено эффективное уравнение для динамики электрического поля в пучке углеродных нанотрубок, которое имеет вид аналогичный двойному уравнению sine-Gordon. Оценены вклады высших гармоник, которые вносят возмущение в эффективное двойное уравнение sine-Gordon. 3. Суммарный ток, индуцируемый в нанотрубках, определяется временем релаксации функции распределения электронов к равновесному значению. 4. Периодический цуг электромагнитных импульсов при прохождении системы углеродных нанотрубок проходит в ходе своей эволюции стадии аналогичные поведению бризеров уравнения sine-Gordon. 5. Импульсы тока генерируются с запаздыванием по отношению к инициирующим импульсам электромагнитного поля, что связано с описанием динамики электронов в рамках классического кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.

42

6. В ходе распространения периодической электромагнитной волны возникают области с различным значением амплитуды тока в них, которые могут быть интерпретированы как домены тока. Литература 1. Ч. Пул, Ф. Оуэнс, Нанотехнологии, Москва: Техносфера, 2004. 2. П. Харрис, Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века, Москва: Техносфера, 2003. 3. S.A. Maksimenko, G.Ya. Slepyan, Nanoelectromagnetics of low-dimensional structure. / In “Handbook of nanotechnology. Nanometer structure: theory, modeling, and simulation”, Ed. by A. Lakhtakia, Bellingham: SPIE press, 2004. P. 145 – 206. 4. Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал, Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов, Москва: Физматлит, 2005. 5. Х. Гиббс, Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света, М.: Мир, 1988. 6. G.Ya. Slepyan, S.A. Maksimenko, V.P. Kalosha et al, Phys. Rev. A. 60, R777 (1999). 7. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред, М.: Наука. Физматлит, 1992. 8. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика, М.: Наука. Физматлит, 1979. 9. S.J. Tans, M.H. Devoret, H. Dai et al, Nature 386, 474 (1997). 10. С.В. Крючков, Полупроводниковые сверхрешетки в сильных полях, Волгоград: Перемена, ВГПУ, 1992. 11. Ф.Г. Басс, А.А. Булгаков, А.П. Тетервов, Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками, М.: Наука, 1989. 12. Э.М. Эпштейн, ФТТ 19, 3456 (1977). 13. Солитоны, Под ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри, Москва: Мир, 1983. 14. P.W. Kitchenside, P.J. Caudrey, R.K. Bullough, Phys. Scr. 20, 673, (1979). 15. В.Е. Захаров и др., Теория солитонов, М.: Наука, 1980. 16. Н.С. Бахвалов, Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Москва: Наука, 1975. 17. К.А. Горшков, Л.А. Островский, В.В. Папко, ЖЭТФ 71, 585 (1976).

43

ОБ АНТИФЕРРОМАГНИТНЫХ СОЛИТОНАХ В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ М.Б. Белоненко*), Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев Волгоградский государственный университет, пр-т Университетский, 100, г. Волгоград, 400062, Россия, E-mail: nikolay.lebedev@volsu.ru, *) Лаборатория Нанотехнологий ВПО НОУ ВИБ, ул. Южно-Украинская, 2, г. Волгоград, 400064, Россия

В рамках модели Хаббарда и подхода Андерсона в теории

косвенного взаимодействия предложен эффективный гамильтониан углеродных нанотрубок, описывающий в длинноволновом приближении взаимодействие спиновых степеней свободы и имеющий вид гамильтониана нелинейной сигма-модели. Получены солитонные решения уравнений движения, которые описывают неелевские доменные стенки, разделяющие в углеродных нанотрубках области с различной намагниченностью. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 07-03-96604).

Введение Исследования нанотубулярных форм углерода [1] обуславливает неограниченные возможности применения углеродных нанотрубок (УНТ), например, в микроэлектронике [2, 3]. Особенный интерес, как и следовало ожидать, вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы. В частности, нелинейные свойства углеродных нанотрубок, связанные с негармоничностью потенциала взаимодействия между соседними атомами углерода, исследовались в работах [4, 5] при помощи редукции к уравнению Кортевега-де-Фриза.

Большие изменения электронных и магнитных свойств УНТ ожидаются при допировании или интеркалировании углеродных нанотрубок различными атомами. В последнее время большое внимание исследователей сосредоточено на расчетах изменений электронных, магнитных, проводящих и других свойств нанотрубок, вызванных внедрением одиночного атома примеси [1]. В работе [6] методом Фрелиха проведено исследование эффектов,

44

связанных с взаимодействием d- или f-примесей с электронами нанотрубок. Показано, что температурная зависимость константы эффективного обмена демонстрирует возможность антиферромагнитного упорядочения спинов примесных атомов углеродных нанотрубок. Проведенное рассмотрение дает, в частности, возможность последовательного микроскопического построения теории магнитных свойств нанотрубок и их композитов. Таким образом, возникающее косвенное обменное взаимодействие между примесными спинами способно оказать весьма неожиданное влияние на магнитные свойства нанотрубок и стимулирует дальнейшее изучение этой новой отрасли физики низкоразмерных структур.

В рамках модели Хаббарда в приближении Хюккеля исследованы одночастичные состояния электронов углеродных нанотрубок при учете их подвижности, кулоновского отталкивания на одном узле решетки и электрон-фононного взаимодействия [7 - 11]. Построены одноэлектронные волновые функции, имеющие вид солитонных решеток. В данной работе предполагается сосредоточить внимание на нелинейных свойствах нанотрубок вызванных сильным взаимодействием электронов, описываемых гамильтонианом Хаббарда и приводящих к эффектам магнитного упорядочения. Интерес к модели Хаббарда так же обусловлен и тем, что в ее рамках проходит большая часть исследований по проблеме магнетизма коллективизированных электронов [12, 13]. Также модель Хаббарда интересна и тем, что в одномерном случае она допускает точное решение [14].

Модель и основные уравнения В качестве модели УНТ рассматривалась идеальная трубка «zig-zag» типа, структура которой характеризуется хиральными индексами (m, 0) [1]. Состояния электронов УНТ, локализованных на атомах углерода, описываются в π-электронном приближении с помощью расширенной модели Хаббарда, учитывающей энергию перескока частиц между соседними атомами углерода и сильное кулоновское отталкивание на одном узле. Гамильтониан описанной модели Хаббарда имеет традиционный вид [12]:

45

j jjjjjjj

jjjjj

aaaaUaa

aaaatH

)(, (1)

где jj aa , – операторы рождения и уничтожения электрона на

j-м узле (j={i, k}) со спином σ, t – интеграл перескока; – вектора, связывающие соседние атомы углерода; U – энергия кулоновского отталкивания электронов на одном узле; μ – химический потенциал. Индексы i и k нумеруют атомы углерода в нанотрубке согласно обозначениям на рисунке 1.

Для оценок в расчетах были выбраны следующие значения параметров гамильтониана, оцененные при помощи квантово-химического полуэмпирического метода MNDO [15]: t = 2 эВ, U = 10 эВ, длина С-С связи a = 1.42 Å. Химический потенциал в дальнейшем, без ограничения общности можно положить равным нулю. Как показал Андерсон [16], эффективный гамильтониан, который описывает возбуждения над основным состоянием гамильтониана (1) с энергией E0, при условии, что величина U

t

мала, будет иметь вид:

j

jjeff SSUtH

2

2 , (2)

где спиновые операторы связаны с операторами рождения и уничтожения:

jjj

jjj

zjjj

aaS

aaS

iSaa

))2/1(exp(2/1

.

Естественно, что оператор zjS описывает при этом магнитный

момент электронов, находящихся на j-м узле решетки.

46

Рис. 1. Геометрия рассматриваемой задачи. Гамильтониан (2) соответствует антиферромагнитному

обменному гамильтониану Гейзенберга. Но, поскольку углеродные нанотрубки не являются одномерной системой, квантово-механическая задача с таким гамильтонианом не может быть решена точно. Запишем действие для модели с гамильтонианом (2) в виде:

)(),,((cos2/ HdSSHidS kin

,

(3) где использовалась запись спина через обобщенное когерентное состояние. При этом компоненты спина есть компоненты классического вектора лежащего на сфере 2S , и точки сферы параметризуются углами jj , [17]:

jzj

jjj

S

iS

cos2/1

)exp(sin2/1

. (4)

Далее произведем преобразование Фурье для классических

47

спиновых переменных jS

. А именно, учитывая, что в гексагональной решетке образующей нанотрубку существуют два неэквивалентных положения (со связями, направленными вверх и вниз), разобьем решетку на две подрешетки, так что компоненты вектора спина одной подрешетки связаны лишь с компонентами вектора спина другой.

Переменные для классических спинов находящихся в узлах различных подрешеток обозначим, как S

и R

с

соответствующими индексами (рис. 1). Определим Фурье-компоненты:

k

ikjkj eSNS 2/1 ;

j

ikjjk eSNS 2/1 ;

k

ikjkj eRNR 2/1 ;

j

ikjjk eRNR 2/1 (5)

где k = (kx, ky) – волновой вектор. Если рассматривать для определенности нанотрубки «zig-zag» типа, или в обще принятых обозначениях (m, 0), то из требования периодичности граничных условий вдоль окружности нанотрубки получаем ky = s, s = 1, 2,…, m.

Второе слагаемое в действии (3) примет вид:

)/cos()2/cos(2)cos(),()(

)()()(2)(

)(2

mspapaspk

RSkUtH

HdSS

kkk

kin

, (6)

где явно указано, что k = (p, s); a - длина С-С связи. Для получения эффективного гамильтониана устремим шаг

решетки a к нулю, перейдем к длинноволновому пределу, когда рассматриваются возбуждения с длиной волны много большей постоянной решетки a. В гамильтониане (6) производится суммирование не по всем k, а лишь по малым к, таким что можно ограничится в разложении ),( sp членами второго порядка по р и

48

считать s = 0, .1pa В этом случае получаем вид второго слагаемого в действии (3):

)(HdSS kin

)4/)(1(3)(

)()()(2)(

2

2

pamp

RSpUtH

ppp

. (7)

Полученный гамильтониан в действии (3) можно сравнить с аналогичным гамильтонианом, полученным для одномерной антиферромагнитной модели Гейзенберга

j

jjheisenberg SSJH 1

,

после выполнения аналогичных преобразований и перехода к длинноволновому приближению [18]:

)( heisenbergkin HdSS ,

)2/)(1()(

)()()(2/)(

2pap

RSpJHp

ppheisenberg

. (8)

Сравнивая выражения (7) и (8) легко заметить, что эффективное действие для гамильтониана (2), описывающего свойства углеродных нанотрубок, связанные с магнитным упорядочением, эквивалентно действию для одномерной антиферромагнитной модели Гейзенберга, при условии, что

постоянная решетки в углеродной нанотрубке меньше в 2 раз

постоянной решетки в модели Гейзенберга и UmtJ /12 2 . Заметим, что для одномерной антиферромагнитной модели

Гейзенберга при замене [19, 20]:

)cos,sinsin,cos(sin2/)1( nnnnnn

nS

,

где )()1()();()1()( xxxax nn

nn ;

функции )(x и )(x считаются медленно меняющимся

49

функциями координат; a – постоянная решетки гейзенберговского магнетика; )(x и )(x – описывают малые флуктуации. После перехода к континуальному пределу для величины )cos,sinsin,cos(sin

с 1

выражение для плотности лагранжиана имеет вид:

xxtt cc

L 2

81

, (9)

где нижние индексы у

обозначают соответствующую частную производную, aJc .

Лагранжиан с плотностью (9) описывает Лоренц-инвариантную нелинейную сигма-модель, для которой известны решения солитонного типа. Отметим, что в качестве скорости света в представленной модели выступает величина

Uamtc

226 . Уравнения движения с лагранжианом (9):

)(sin)(sin

)1()(2sin21

222

222

22

2

2

xxc

tt

tcxxc

t

.

Окончательно, в длинноволновом приближении спиновые возбуждения в углеродных нанотрубках можно описать при помощи нелинейной сигма-модели с плотностью лагранжиана (9).

Солитоный газ в углеродных нанотрубках

Классические солитонные решения для одномерной нелинейной сигма-модели, описываемой (9), которые легко получаются посредством преобразования Лоренца из статических решений для , имеют вид [21]:

),/(exp(2/)/( 2

cvtxarctgcvxt

(10)

где v - скорость солитона, а 2/122 )/1( cv . Солитоны,

50

описываемые (10), является решениями для Неелевских доменных стенок, которые разделяет области с различными значениями намагниченности для одной подрешетки, и несут топологический заряд 2 . Схематично такие стенки проиллюстрированы на рис. 2. Энергия солитонов, описываемых выражением (10), есть:

3

E (11)

и получена с учетом лоренц-инвариантности модели из выражения для энергии статических солитонов.

Рис. 2. Схематическое изображение Неелевских доменных

стенок, которые разделяют области с различными значениями намагниченности для одной подрешетки.

Отметим, что поскольку обсуждаемая модель является интегрируемой, солитоны при столкновении не исчезают и не рождаются, а только меняют фазу.

Рассмотрим систему нанотрубок как ансамбль, в котором могут существовать возбуждения с энергией, описываемой формулой (11). Отметим три важных обстоятельства. Во-первых, солитоны не обязательно могут принадлежать одной нанотрубке. В предполагаемой модели, в силу того, что столкновительные свойства солитонов позволяют рассматривать их как идеальный газ, нет никаких ограничений как на плотность солитонов в нанотрубке, так и на характеристики одного солитона [21]. Во-

51

вторых, единственных параметром, от которого будут зависеть термодинамические свойства газа солитонов будет тип нанотрубки m , который явно входит в выражение для скорости

Uamtc /12 2 . В-третьих, следуя рассуждениям, например, из [22], можно получить, что солитоны будут подчиняться распределению Гиббса )/exp(~ kTEw . Исходя из этого можно определить среднюю квадратичную скорость солитона:

2v

c

cvkTwdwdv

0 0

22 4/)3exp(2 .

Независимость средней квадратичной скорости от температуры связана, на наш взгляд, как с выражением для энергии солитонов (11), так и с общей Лоренц-инвариантностью модели.

Помимо вычисления средней скорости, исходя из введенных предположений об идеальном газе солитонов, можно получить и выражение для свободной энергии F . А именно, следуя [22], получаем:

))23(ln( ckT

NeNTF . (12)

При выводе (12) предполагалось, что число солитонов, которые возбуждены в ансамбле нанотрубок N , достаточно велико, чтобы воспользоваться формулой Стирлинга

eNNN /ln!ln .

Заключение Обсудим некоторые выводы и перспективы, следующие из

проделанной выше работы. 1. Предложен эффективный лагранжиан, описывающий длинноволновые спиновые возбуждения в углеродных нанотрубках типа (m, 0) и имеющий вид лагранжиана одномерной,

)3(O инвариантной нелинейной сигма-модели. Приведена связь констант исходного гамильтониана Хаббарда и лагранжиана нелинейной сигма-модели. 2. Получены солитонные решения уравнений движения, вычислена

52

их энергия. Полученные решения описывают неелевские доменные стенки, разделяющие в углеродных нанотрубках области с различной намагниченностью для одной подрешетки. 3. Обсуждена термодинамика газа солитонов, описывающих неелевские доменные стенки в углеродных нанотрубках, и вычислена свободная энергия. Рассчитана средняя квадратичная скорость доменных стенок.

Литература

1. П. Харрис. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. Техносфера, Москва (2003). 2. И.П. Суздалев. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов. КомКнига, Москва (2005). 3. Нанотехнология в электронике. Под. Ред. Ю.А. Чаплыгина. Техносфера, Москва (2005). 4. T.Yu. Astakhova, O.D. Gurin, M. Menon, G.A. Vinogradov. Phys. Rev. B 64, 035418 (2001). 5. T.Yu. Astakhova, V.A. Dmitrieva, G.A. Vinogradov. Fullerenes, nanotubes and carbon nanostructures 12 (1&2), 133 (2004). 6. М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев, А.А. Майгуров. Украинский физический журнал 45(10), 1229 (2000). 7. М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев, Е.В. Демушкина. Известия вузов. Физика, 76 (2005). 8. М.Б. Белоненко, Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев. Химическая физика 25(6), 75 (2006). 9. M.B. Belonenko, E.V. Demushkina, N.G. Lebedev. Hydrogen materials science and chemistry of carbon nanomaterials. NATO Science Ser., II Mathematics, Physics and Chemistry 174, 471 (2006). 10. М.Б. Белоненко, Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев. Химическая физика 25(7), 83 (2006). 11. М.Б. Белоненко, Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев. Известия РАН, Серия физическая 70(12), 1817 (2006). 12. Ю.А. Изюмов, М.И. Кацнельсон, Ю.Н. Скрябин. Магнетизм коллективизированных электронов, Москва: Физматлит (1994). 13. Ю.А. Изюмов, Ю.Н. Скрябин. Статистическая механика магнитоупорядоченных систем, Москва: Физматлит (1987). 14. Ю.А. Изюмов. Модель Хаббарда в режиме сильных

53

корреляций, УФН 165(4), 403 (1995). 15. Н.Г. Лебедев. Диссертация … докт. физ.-мат. наук. Москва, ИБХФ РАН (2006). 16. P.W. Anderson. Phys. Rew. 115(1), 2 (1959). 17. А.М. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и их применения, Москва: Наука (1987). 18. Э.Л. Нагаев. Магнетики со сложным обменным взаимодействиями, Москва: Наука (1988). 19. А.М. Цвелик. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния, Москва: Физматлит (2002). 20 .F.D.M. Haldane. Phys. Rew. Lett. 50(15), 1153 (1983). 21. V.K. Fedyanin, V.G. Makhankov. Physica Scripta 28, 221 (1982). 22. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика. Т. V. М.: Наука (1976).

54

ФОТОГЕНЕРАЦИЯ СОЛИТОННЫХ РЕШЕТОК В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев, Н.Е. Мещерякова. Лаборатория нанотехнологий Волгоградского института бизнеса, Волгоград, 400075, ул. Южно-Украинская 2.

В рамках модели Хаббарда в приближении Хюккеля исследованы одночастичные состояния электронов углеродных нанотрубок при учете их подвижности и кулоновского отталкивания на одном узле. Построены одноэлектронные волновые функции, имеющие вид решеток солитонов и исследовано рождение решеток солитонов вследствие ионизации примесей мощной световой волной. Обсуждены модели различных примесей.

1. Введение Развитие современных технологий предъявляет все более

высокие требования к научным разработкам, в особенности в области явлений наномасштабных структур. Одну из ведущих ролей в качестве строительных блоков электроники XXI века начинают играть углеродные нанотрубки с их уникальными электронными и механическими свойствами. Известно, что нанотрубки обладают уникальными свойствами: очень высокой прочностью, проводимостью (полупроводниковой или металлической) и рядом других свойств, обуславливающих неограниченные возможности их применений, например в микроэлектронике [1, 2, 3, 4-6]. Относительная простота строения углеродных нанотрубок и их квазиодномерность сделали данные вещества весьма популярными как для теоретиков, так и для экспериментаторов. Особенный интерес, как и следовало, ожидать вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы. Так, например, при помощи редукции к уравнению КдФ были исследованы нелинейные свойства углеродных нанотрубок, связанные с негармоничностью

55

потенциала взаимодействия между соседними атомами углерода [7 – 9]. Однако остались вне рассмотрения нелинейные свойства нанотрубок вызванные сильным взаимодействием электронов, описываемых гамильтонианом Хаббарда, которая является одним из претендующих на описание эффектов высокотемпературной сверхпроводимости. Учет таких свойств приводит к появлению новых состояний электронной подсистемы – солитоноподобных решений для волновых функций электрона. Уникальные свойства углеродных нанотрубок привели к их широкому изучению и применению в рамках нелинейной оптики. Одним из основных и наиболее перспективных направлений в этой области является исследование распространения в углеродных нанотрубках ультракоротких импульсов света (оптических солитонов) [10]. Как известно, в качестве одной из основных целей современной оптики является создание полностью оптических приборов, в которых светом можно управлять с помощью света, а потому изучение различных свойств и состояний углеродных нанотрубок является актуальной задачей. Все вышеотмеченные обстоятельства и послужили стимулом для данной работы.

2. Основные уравнения Рассмотрим электроны, локализованные на атомах

углерода в нанотрубке, которые могут совершать прыжки с атома углерода на соседний атом углерода, причем, два электрона локализованные на одном атоме испытывают сильное кулоновское отталкивание. Гамильтониан задачи возьмем в традиционном виде, предложенном Хаббардом [11]:

int0 HHH , где:

pmpm

pmpm aaH 0

jkjkjkjk

jk aaaaUH int (1)

где jkjk aa , – операторы рождения, уничтожения электрона на

kj, – ом узле с спином , U – энергия кулоновского

56

отталкивания электронов на одном узле, 10U эВ; pmpm aa , -

операторы рождения, уничтожения электрона с импульсом mp, и спином . Закон дисперсии для электронов в (1) будем брать для определенности для углеродных нанотрубок типа zigzag [13]:

)/(cos4)/cos()cos(41 2 MmMmappm (2) Здесь рассматривается нанотрубка типа (M,0), 23 /ba ,

1420.b нм расстояние между соседними атомами углерода в графене, 72. эВ. В рассматриваемом нами случае индекс p характеризует импульс электрона вдоль оси нанотрубки, а m характеризует квантование квазиимпульса электрона, возникающее вследствие периодических граничных условий вдоль окружности нанотрубки 1...2,1,0 Mm . Операторы jkjk aa , и

pmpm aa , связаны между собой преобразованием Фурье:

ijpikm

pmpmjk eea

LMa 2/1)(

1;

ijpikm

pmpmjk eea

LMa 2/1)(

1(3)

ijpikm

jkikpm eea

LMa 2/1)(

1; ijpikm

jkjkpm eea

LMa 2/1)(

1

Здесь L число ячеек вдоль оси нанотрубки. Преобразование Фурье, как обычно удовлетворяет соотношениям ортогональности:

mkk

mkki Me )(

kmm

kmmi Me )(

ppp

pjji Le )(

jpp

mppi Le )(

Далее перейдем к длинноволновому пределу, считая, что характерный размер изменения волновой функции электрона вдоль оси нанотрубки много больше, чем расстояние между соседними гексагональными ячейками. Это подразумевает, что в гамильтониане 0H мы должны ограничиться рассмотрением

57

только случаем малых импульсов p. Фактически это соответствует рассмотрению выражения для pm в виде:

220 pammpm

)/(cos4)/cos(41 20 MmMmm

)/cos())/(cos4)/cos(41( 2/12 MmMmMmm (4) Необходимо отметить два важных для рассмотрения обстоятельства. Первое это то, что разложение (4) будет использоваться в дальнейшем только для «неметаллических» нанотрубок, т.е. предполагается, что M не делится на 3. Иначе существует такое m, что om =0, и разложение по степеням импульса p для моды с номером m надо вести начиная с первой степени p [13]. В случае же неметаллических углеродных нанотрубок разложение (4) всегда начинается со второй степени p.Второе обстоятельство это то, что переход к «длинноволновому» пределу совершается только вдоль оси нанотрубок. Это позволяет учитывать как проводящие свойства нанотрубок, так и наличие многих возбужденных мод, характеризуемых неоднородностью вдоль окружности нанотрубки. После подстановки (4) в (1) определим следующие операторы посредством Фурье преобразования по одному индексу:

ikm

kjkjm ea

Ma 2/1

1; ijp

pjkjm ea

La 2/1

1

ikm

kjkjm ea

Ma 2/1

1; ijp

pjkjm ea

La 2/1

1

ikm

mjmjk ea

Ma 2/1

1; ijp

jjmpm ea

La 2/1

1

ikm

mjmjk ea

Ma 2/1

1; ijp

jjkpm ea

La 2/1

1 (5)

Используя (5) и учитывая, что при переходе к континуальному пределу xiap , можно окончательно получить для нашего эффективного гамильтониана следующее выражение:

58

2121

21

int

2200

int0

)(2

mmmmmmmmm

mmmxmxm

mmmm

aaaadxMUH

aaaaaadxH

HHH

(6)

Запишем для данного гамильтониана уравнение движения Гейзенберга для операторов:

H,aai jj

(7) и используем метод изложенный в [12]. Так, волновую функцию выберем в виде:

.aN

,atatN

*tVt

nn

n nnnnn

010

0010 (8)

Полученные уравнения движения умножим на бра и кет вектора следующим образом:

0000 H,a)t(at

i ff ,

и произведем согласно [12] следующее расщепление: 00000000

000000

fkkf

fkkffkk

aaaa

aaaaaaa. (9)

Вспоминая теперь, что *ffff a,a 0000

(звездочка как обычно означает комплексное сопряжение), получаем искомые уравнения движения в замкнутой форме. Так для гамильтониана (6) изложенный метод приводит к следующей системе уравнений:

59

21

2121

*2

2

0mm

mmmmmm

mmmm

MU

xti

(10)

3. Солитонные решения для однородных по окружности нанотрубки мод.

Уравнения (10) представляют собой систему связанных нелинейных уравнений Шредингера, и их представляется затруднительным решить в самом общем виде. Вместе с тем система уравнений (10) допускает дальнейший анализ ели применить к ней концепцию Буш-мод. В общем случае, как отмечено в [14,15] такая редукция полученной системы уравнений связана с наличием абелевых подгрупп в группе трансляций вдоль соответствующего направления. Для детального анализа полученных уравнений рассмотрим колебания в нанотрубке с M =6 (нанотрубка типа (8, 0)). В этом случае система уравнений будет замкнута, если предположить, что возбуждены только моды с m=0, или моды с m=0, m=4, или только моды с m=0, m=2, m=4, m=6. Иными словами полученная система уравнений замыкается для мод в центре и для для мод в центре и в середине зоны Бриллюэна, или для мод в центре и равноотстоящих по зоне Бриллюэна. Так уравнения для мод в центре зоны Бриллюэна есть:

2

2

2

000

2

2

2

000

8

8

Uxt

i

Uxt

i (11)

А уравнения для мод в центре и в середине зоны Бриллюэна есть:

60

*

040*400

24

2042

42

44404

*040

*400

24

2042

42

44404

*044

*404

24

2002

02

00000

*044

*404

24

2002

02

00000

)(8

)(8

)(8

)(8

Uxt

i

Uxt

i

Uxt

i

Uxt

i

(12)

Далее сосредоточим наше внимание на системе уравнений (11), которая есть система уравнений для векторного нелинейного уравнения Шредингера. Уравнения (11-12) должны быть дополнены граничными условиями. В интересующем нас случае решеток солитонов очевидно, что граничные условия должны быть периодическими по х с некоторым периодом, который будет определен позднее и связан с амплитудой волновой функции. Поскольку мы не рассматриваем магнитное поле и спины с разной ориентацией равноправны, то можно положить . В этом случае, учитывая знаки величин входящих в уравнение (11) решение периодическое по х будет иметь вид:

);1(16

);exp(),)(64

()(16)/(

),(

2

023

20

2/10

kUw

iwtkxk

Usnk

Uktx

(13)

)(

0

222/

0

2 ),()(;)sin1(

)();()()(kK

dxkxdnkEdk

kKkEkKk

Заметим, что в (13) функция ),( tx , имеющая смысл волновой функции, уже нормирована. Получившуюся нелинейную решетку можно интерпретировать, как решетку солитонов. Это связано с тем, что эллиптическая функция Якоби sn в пределе при стремлении модуля Якоби к 1, переходят в аналоги солитонных решений. Также можно дать и другую интерпретацию полученного решения, сказав, что

61

образуется решетка доменов. При увеличении модуля функции Якоби k , для решения (13), как увеличивается величина области (период солитонной решетки) так и уменьшается размер переходного слоя (доменной стенки) между областями. С физической точки зрения подобное поведение можно объяснить тем для существования устойчивого решения нелинейного уравнения необходим баланс процесса дисперсии и нелинейного роста (затухания) амплитуды [16]. Так, в частности, увеличение амплитуды вследствие нелинейного роста приводит к изменению периода колебаний (т.е. приводит к динамическому сдвигу частоты общему для всех нелинейных систем, а значит, для волн меняется и длина волны), математически описываемому зависимостью от k . В свою очередь изменение частоты (длины волны) влечет за собой изменение дисперсии, что в общем случае отсутствия баланса приводит к изменению формы решетки. В свою очередь, для функции Якоби sn нелинейность характеризуется отклонением параметра k от единицы.

4. Модели примесей. Вероятность перехода под действием электромагнитной волны.

В качестве моделей примесей рассмотрим примеси двух типов: симметричные и асимметричные. В дальнейшем мы будем полагать, что электрическое поле электромагнитной волны направлено вдоль оси х совпадающей с осью нанотрубки. Выбрав точку нахождения примеси за начало координат по оси х, будем подразумевать, что электрон, локализованный на примеси, находится в поле некоего потенциала задаваемого примесью, и в зависимости от вида это потенциала (симметричен ли он относительно начала координат) будем и характеризовать примесь. Отметим, что поскольку очевидно, что электрон будет находиться до прихода электромагнитной волны в низшем энергетическом состоянии, у волновой функции электрона нет зависимости от угла вдоль окружности нанотрубки. Т.е., очевидно, что наиболее вероятен процесс перехода электрона с примеси в состояние, описываемое решением (13), которое соответствует модам однородно возбужденным по окружности нанотрубки и задается уравнениями (11). Таким образом, в качестве моделей примесей

62

будут рассматриваться примеси, на которых электрон будет находиться в состоянии, описываемом волновой функцией:

)exp( xaae (14а)

)exp( 222

xaae

(14б)

в случае, когда потенциал примеси симметричен относительно начала координат, и:

3

2

1

21

)1)(exp(

ab

aC

bxxCe

(15а)

6

2

21

2211

282

)1)(exp(

ab

aC

bxxaCe

(15б)

в случае несимметричного потенциала. Отметим, что в случаях (14б) и (15б) моделируется более короткодействующий потенциал. Возникновение слагаемого, пропорционального b в случаях (15а,15б) мы связываем с действием подложки, на которой была выражена углеродная нанотрубка. Поле подложки создает дополнительное поле, которое и приводит к появлению асимметричной части в волновой функции примеси.

Запишем выражение для вероятности перехода, т.е. вероятности рождения солитонной рождения вследствие перехода электрона с примеси под действием электромагнитной волны:

t

dttMW

t

t

2

011)(

lim , (16)

где матричный элемент перехода задается выражением:

eUtxdxtM ),()( , с оператором возмущения U, который в случае плоской электромагнитной волны, в рассматриваемой

63

геометрии имеет вид: )sin( 11 xktwEqxU ; q -заряд электрона,

1w и 1k - частота и модуль волнового вектора электромагнитной волны, E - амплитуда.

5. Результаты расчетов и выводы. При расчете вероятности рождения солитонной решетки

интеграл по времени легко берется и выражение (16) принимает вид:

)( 12 wwSEW (17)

где функция просто отражает закон сохранения энергии при переходе, а в выражении для S собраны все нормировочные множители и включен квадрат интеграла по пространственной переменной (зависимость от Е указана в (17) явно). Вычисляя этот интеграл, можно заметить, что в силу четности выражения для волновой функции солитонной решетки и выражения для электрического поля электромагнитной волны этот интеграл равен в точности нулю для случая симметричной примеси. В случае же несимметричной примеси вероятность рождения солитонной решетки определяется несимметричной частью. Так, в этом случае, в задаче возникают три характерных масштаба: характерное расстояние, на котором локализована волновая функция электрона на примеси а, длина электромагнитной волны 1/2 k и период солитонной решетки D, определяемый периодом sn-функции Якоби в (13). Учитывая, что интегрирование ведется в бесконечных пределах, интеграл по пространственным переменным будет зависеть только от двух параметров, за которые можно взять отношение длины электромагнитной волны к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси (далее будет обозначаться как F) и отношение периода солитонной решетки к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси (далее будет обозначаться как G). Заметим, что период солитонной решетки, в свою очередь, будет задаваться параметром k, который ответственен и за отклонение формы решетки от синусоидальной. Результаты численных расчетов показали, что выражение для S зависит от параметров F и G так как приведено на рис. 1. В случае

64

же более короткодействующего потенциала, результаты качественно не меняются, но выход на плато происходит при меньших значениях параметров F и G.

а) б) Рис. 1 Зависимость интеграла по пространственным переменным S от отношения длины электромагнитной волны к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси F и отношения периода солитонной решетки к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси G. Параметр нелинейности кноидальной волны k=0.1 для случая а), k=0.9 для случая б).

Из полученных результатов видно, что при значительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона, т.е. 10, GF , нет жесткого соотношения между величинами F и G и возможна генерация солитонной решетки с достаточно произвольным пространственным периодом. Наиболее ярко это отражено на рис. 1 а). Отметим, что данный случай соответствует случаю, когда k мало и форма солитонной решетки будет слабо отличаться от синусоидальной. При незначительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона, т.е. 1, GF , видно, что наиболее вероятно

65

будут генерироваться солитонные решетки с пространственным периодом, совпадающим с длиной электромагнитной волны. Это наиболее просто заметить из рис. 1 б), в котором максимум поверхности лежит на прямой F=G. На первый взгляд, этого достаточно трудно достичь, вследствие того, что длина волны и частота электромагнитной волны жестко связаны. На самом деле, можно достичь выполнения этого условия, в силу того, что это условие задает параметр нелинейности к, что видно из (13). Так при 1k пространственный период солитонной решетки может быть сколько угодно велик.

Также как видно из рис. 1 б) в случае же больших k возможна генерация солитонных решеток, у которых пространственных период в 3 раза больше периода электромагнитной волны. Отметим, что эта вероятность возрастает при росте параметров F и G. Такое поведение связано с тем, что при больших k решение (13) содержит много высших гармоник, которые и дают эффективное увеличение вероятности. Отметим, что в дальнейшем при росте параметров F и G становится вероятным и рождение солитонной решетки с пространственным периодом несоизмеримым с периодом электромагнитной волны. Сравнивая рис.1 а) и рис. 1 б) отметим, что более вероятно рождение кноидальной волны с большим параметром k.

Таким образом, из приведенного рассмотрения можно сделать вывод о возможности генерации солитонных решеток посредством ионизации несимметричных примесей мощным лазерным излучением. Также сформулируем в заключении основные выводы из данной работы:

1. Получен эффективный гамильтониан, описывающий электронные свойства углеродных нанотрубок в длинноволновом приближении.

2. Получены уравнения и произведены методом Буш мод редукции уравнений для одноэлектронной волновой функции электрона в углеродных нанотрубках. Получившаяся система уравнений имеет вид связанных нелинейных уравнений Шредингера.

66

3. Генерация солитонных решеток происходит только с примесей, для которых волновая функция электрона локализованного на них несимметрична.

4. При значительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона возможна генерация солитонной решетки с достаточно произвольным пространственным периодом.

5. При незначительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона наиболее вероятно будут генерироваться солитонные решетки с пространственным периодом близким к длине электромагнитной волны.

6. Литература 1. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C.. Science of

Fullerenes and Carbon Nanotubes. – Academic Press, Inc. – 1996. – 965 P.

2. Ивановский А.Л.. Квантовая химия в материаловедении. Нанотубулярные формы вещества. – Екатеринбург: УрОРАН. – 1999. – 176 С.

3. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. – Москва: Техносфера. – 2003. – 336 С.

4. Лозовик Ю.Е., Попов А.М. УФН 165, 752 (1997). 5. Елецкий А.В. УФН 170, 113 (2000). 6. Елецкий А.В. УФН 172, 401 (2002). 7. Vinogradov G.A., Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Ovchinnikov

A.A. // Abstracts of invited lectures and contributed papers “Fullerenes and Atomic Clusters”, St.Peterburg, Russia, 4–8 October 1999, p. 189.

8. Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Vinogradov G.A. // Abstracts of invited lectures and contributed papers “Fullerenes and Atomic Clusters”, St.Peterburg, Russia, 2–6 July 2001, p. 319.

67

9. Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Menon M., Vinogradov G.A. // Phys. Rev. B 64, 035418 (2001).

10. Belonenko M. B., Demushkina E.V., Lebedev N. G. Soliton lattices of Habbard’s electrons in carbon nanotubes. // Symposium and Summer School “Nano and Giga Challenges in Microelectronics. Research and Development Opportunities”, Cracow, Poland, 2004, p. 152.

11. Изюмов Ю.А., Кацнельсон М.И., Скрябин Ю.Н. Магнетизм коллективизированных электронов.— М.: Физматлит, 1994.—368 с.

12. Fedyanin V.K., Machankov V.G. Nonlinear effects in quasi–one–dimensional models of condensed matter theory// Phys. Rep., 1984, v. 54, p.1 – 68.

13. Slepyan G.Ya., Maksimenko S.A., Kalosha V.P. et al. // Phys. Rev. A. 1999. V. 60. №2. P. R777.

14. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Bushes of normal modes — new dynamical objects in nonlinear mechanical systems with discrete symmetry// ДАН, т. 330, 1993 г., с. 308.

15. Сахненко В. П., Чечин Г.М. New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites// ДАН, т. 330, 1993 г., с. 42.

16. Belonenko M. B., Demushkina E.V., Lebedev N. G. Electromagnetic soliton in carbone nanotubes// Journal of Russian Laser Research, Volume 27, Number 5, 2006,

68

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ПРОВОДИМОСТЬ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев Волгоградский государственный университет, 400062 Волгоград, Россия E-mail: genaivanchenko@yandex.ru, nikolay.lebedev@volsu.ru

Представлены результаты теоретического исследования проводимости однослойных углеродных нанотрубок с учетом электрон-фононного взаимодействия в длинноволновом приближении. В рамках модели Хаббарда применением метода функций Грина получена температурная зависимость продольной проводимости ряда однослойных нанотрубок. Показано, что учет взаимодействия электронов с фононным полем дает поправку к проводимости третьего порядка малости.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 07-03-96604). PACS: 61.46.Fg, 73.63.Fg

Введение

Как было теоретически предсказано более десяти лет назад, а затем и экспериментально подтверждено, углеродные нанотрубки (УНТ) [1] обладают уникальными проводящими свойствами. Однослойные УНТ (ОУНТ) принято классифицировать с помощью двух индексов хиральности (n, m), которые полностью определяют структуру нанотрубки [1]. На основе анализа зонной структуры в рамках метода Хюккеля [2] оказалось, что если разность индексов хиральности кратна 3, то такие трубки проявляют металлические проводящие свойства, в противном случае – полупроводниковые. Экспериментальные исследования ОУНТ различного диаметра показали, что проводимость прямолинейного участка нанотрубки, не испытывающей внешней нагрузки, составляет 100 мкСм. Эта величина сопоставима по порядку величины с квантом проводимости 4e2/h = 154 мкСм. Подобный результат был предсказан еще на заре исследований проводящих свойств УНТ [1], но теоретические исследования в этой области по-прежнему продолжаются (например, [3, 4]). Это связано, прежде всего, с необходимостью выяснения механизма проводимости УНТ.

69

Исследования проводимости однослойных и двухслойных УНТ в рамках модели Хаббарда [5] и их фононного спектра в одноэлектронном [2] и квазиодномерном приближении проведены в работах [6, 7]. Исследована температурная зависимость проводимости углеродных нанотрубок. Предсказано изменение характера проводимости двухслойных углеродных нанотрубок в области низких температур – эффект насыщения проводимости и образование плато. Можно сказать, что фактически предсказан фазовый переход типа «металл-диэлектрик» при соединении двух проводящих однослойных нанотрубок в одну двухслойную.

В данной работе на основе проведенных ранее исследованиях проводимости и фононного спектра углеродных нанотрубок изучено влияние электрон-фононного взаимодействия на их проводящие свойства.

Модель Хаббарда с учетом электрон-фононного

взаимодействия. Для моделирования электронной структуры однослойной

нанотрубки использована модель Хюккеля-Хаббарда в -электронном приближении в рамках метода вторичного квантования, которая учитывает энергию перескока электрона с одного узла кристаллической решетки на соседний, а также кулоновское отталкивание двух электронов с разными спинами, находящихся на одном узле решетки [5]. При этом соседние атомы кристаллической решетки изначально считаются идентичными. Модель соответствует представлению об электронах в проводниках как о Ферми-жидкости.

Запишем Гамильтониан модели Хаббарда с учетом общепринятых обозначений [5]:

intHHHH phel , (1) где

jjjjj

jjj

jjjjjel

aaaaUaa

aaaatH

21

- энергия электронной подсистемы;

70

kkkkph bbH

21

- энергия фононов;

ij

jjjjii

aaaartH

21

int -

энергия электрон-фононного взаимодействия,

kkk k

ii bbikr

mNexp

2 - оператор

смещения относительно положения равновесия. Для учета электрон-фононного взаимодействия в операторе

Гамильтона проведено разложение прыжкового интеграла в ряд по смещению атомов из положения равновесия до второго члена.

Операторы векторов поляризации и плотности тока с учетом гамильтониана (1) имеют вид:

10 PP

aaVeaar

Veaar

VeP

jjjj

jjjj

jjjjj

1int0int

110

,,

,,,,

PHPHPHPHPHiPHi

tPj phelel

.

В явном виде плотность тока:

qkkqkkq q

k

k

kkkkk

kk

kkkk

kkkkk

kk

kkkk

kkk

baabaaqvmN

baamN

baamN

aav

Viej

2

21

2

21

2

Применяя метод функций Грина [8, 9] для нахождения тензора проводимости по формуле Кубо [10]:

71

jj

TkVi

Б , (2)

получаем окончательное выражение для температурной зависимости статической продольной проводимости однослойных углеродных нанотрубок с учетом электрон-фононного взаимодействия:

1

1

221*

2211

22

Tkch

Tkch

Tkthq

NmAv

Tke

Б

q

Б

q

Б

q

q qckk

Б

, (3)

где введено обозначение: kk

1kv - скорость электрона; N – число атомов в системе;

mc – масса атома углерода; А11 – функция Грина, соответствующая проводимости ОУНТ без учета электрон-фононного взаимодействия [6].

Результаты расчета и обсуждение

Дисперсионные уравнения ε(к) ОУНТ выражаются хорошо известными формулами зонной структуры «arm-chair» типа (или (Ny, Ny)) [3, 4]:

21

200 cos4cos

23cos41

yy Nq

Nqka

; (4)

где а0 = 1.44 Å, qkaN y 23 0 , yNq ,...,1 ,

330

ka .

Фононный спектр ОУНТ был получен ранее [7] и находится по формуле:

72

ycxcyc kakaka

23cos

23cos4

23cos413 22

02 , (5)

где ω0 – энергия взаимодействия соседних атомов, а kx и ky – компоненты волнового вектора, удовлетворяющего граничному условию:

ycycx

Nnakak 2

233

23

,

aс – длинна связи соседних атомов, yNn ,...,1 . Исследование проводимости производилось для серии

ОУНТ «arm-chair» типа от (3,3)@(8,8) до (15,15)@(20,20), при этом использовались следующие значения параметров: μ=0.0 эВ, U=10 эВ, γ0=1.4 эВ.

Модуль поправки, связанной с влиянием электрон-фононного взаимодействия на проводимость, для различных ОУНТ показана на рисунке 1. Он оказывается порядка ~10-3, то есть электрон-фононное взаимодействие даем малый вклад в проводимость ОУНТ. Этот результат был предсказуем, так как исследование фононного спектра [7] показывают, что температура Дебая для ОУНТ составляет 1623 К. Однако, влияние электрон-фононного взаимодействия усиливается с ростом температуры, а при уменьшении температуры величина поправки стремится к ∆σ/σ = 0,0068.

Зависимость от размера трубки слабая и изменения составляют сотые доли от величины самой поправки.

73

Рис. 1. Относительная поправка проводимости ОУНТ,

связанная с электрон-фононным взаимодействием. Результаты исследования изотропной продольной

проводимости от температуры образца представлены на рисунке 2. Из графика видно, что зависимость σ(T) для всех рассмотренных ОУНТ имеет характерное поведение, присущее проводникам, другими словами их проводимость монотонно уменьшается с увеличением температуры. Влияние электрон-фононного взаимодействия существенного вклада в продольную проводимость ОУНТ не дает.

Рис. 2. Проводимость ОУНТ с учетом электрон-фононного

взаимодействия.

∆

σ,

74

Заключение Влияние электрон-фононного взаимодействия при

температурах до 300 К не вносит существенного вклада в продольную проводимость ОУНТ, что было предсказуемо, в связи с большим значением температуры Дебая (1623 К) для ОУНТ.

С увеличением температуры влияние электрон-фононного взаимодействия возрастает, что приводит к еще большему уменьшению проводимости, а при T→0 K оно дает не нулевой вклад, что соответствует нулевым колебаниям кристаллической решетки.

Зависимость от размера трубок является слабой, также как и в модели, в которой не учитывалось электрон-фононное взаимодействие.

ЛИТЕРАТУРА

1. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. Москва: Техносфера, 2003. 336 с.

2. Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия. Москва: Мир, 2001. 519 с.

3. Островский П.М., Письма в ЖЭТФ 72(8), 600 (2000). 4. Gonzalez J., Phys. Rev. B 88(7), 076403 (2002). 5. Изюмов Ю.А., Кацнельсон М.И., Скрябин Ю.Н. Магнетизм

коллективизированных электронов.- М.: физ.-мат. лит., 1994. 6. Иванченко Г.С., Лебедев Н.Г. // Физика твердого тела. 2007. т.

49. вып. 1. с. 183 - 189. 7. Иванченко Г.С., Лебедев Н.Г. // Физика твердого тела. 2006. т.

48. вып. 12. с. 2223 - 2227. 8. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма, М.,

«Наука», (1975). 528 с. 9. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы

квантовой теории поля в статистической физике. Добросвет, М. (1998), 514 с.

10. Имри Й. Введение в мезоскопическую физику. Москва: Физматлит, 2004. 304 с.

75

Изучение процессов внедрения водорода в однослойные углеродные нанотрубки капиллярным способом. Запороцкова И.В., Прокофьева Е. В. Волгоградский государственный университет

Исследование направлено на установление основных

закономерностей проникновения атомарного и молекулярного водорода в однослойные углеродные нанотрубки, как модифицированные функциональными группам, так и в открытые. Получены и интерпретированы основные энергетические характеристики процессов внедрения водорода в тубулены с использованием модели молекулярного кластера в рамках полуэмпирической квантово-химической расчетной схемы MNDO [1]. На основе выполненных теоретических исследований предсказаны новые, полезные с точки зрения практических приложений, физико-химические свойства изучаемых объектов.

Уже на первых этапах исследования нанотубулярных форм

углерода было отмечено образование однослойных или многослойных тубуленов, заполненных различными материалами. Эффекты заполнения нанотруб различными веществами стали предметом особого интереса при изучении капиллярных свойств тубуленов. Успешное решение этой проблемы могло бы не только устранить вредное с экологической точки зрения воздействие авто-мобильного транспорта на условия жизни на Земле, но также обеспечить естественный переход от углеводородных к ядерным способам получения энергии, при котором водородное топливо могло бы использоваться в качестве промежуточного агента, синтезируемого на атомных электростанциях.

Высокие сорбционные свойства углеродных нанотрубок и потенциальная возможность их производства в больших масштабах привлекают интерес исследователей к проблеме использования углеродных нанотруб для хранения водорода [2,3]. Этой же проблеме посвящена и данная работа.

В качестве исследуемого объекта выбраны

76

макромолекулярные системы – однослойные углеродные нанотрубки, открытая граница которых замкнута различными функциональными группами, а именно: атомами кислорода; гидроксильными группами ОН; аминогруппами NH2 (рис. 1), а также гранично-открытые тубулены (рис.2).

а) б) в) г) д) Рис. 1. Молекулярные кластеры полубесконечных

тубуленов типа (6, 0), замкнутые: а) тремя атомами кислорода; б) шестью атомами кислорода; в) шестью гидроксильными группами; г) шестью аминогруппами; д) тремя аминогруппами.

а) б) Рис. 2. Молекулярные кластеры полубесконечных

тубуленов типа ziz-zag (а) и arm-chair (б) с открытой границами.

77

1. Внедрение атомарного водорода. Рассмотрены молекулярные кластеры полубесконечных

нанотруб (n, n) и (n, 0) типов, содержащие 6 и 8 гексагонов по периметру и обладающие цилиндрической симметрией [4]. Открытый конец тубулена замыкался вышеназванными функциональными группами (рис.1).

Процесс заполнения выбранных тубуленов атомарным водородом моделировался путем пошагового приближения атома Н к нанотрубке вдоль ее главной продольной оси и проникновением в ее полость через насыщенный функциональными группами торец (рис.3). В результате расчетов были построены профили поверхности потенциальной энергии взаимодействия и определены потенциальные барьеры, которые преодолевает атом при внедрении в трубку.

Анализ профилей позволил определить влияние функциональных групп на процессы заполнения.

а) б) Рис. 3. Процесс внедрение атома Н в полости трубок: а) zig-

zag; б) arm-chair. Ахиральные трубки (6,0). В качестве расширенной элементарной ячейки (РЭЯ)

полубесконечной нанотрубки (6,0) выбраны кластеры, содержащие три слоя шестиатомных углеродных циклов по шесть гексагонов в каждом. По окружности трубки системы геометрически замкнуты.

В данных тубуленах все атомы системы расположены на одной и той же цилиндрической поверхности, а свободные

78

валентности открытой границы замыкаются: тремя мостиковыми атомами кислорода 3(О); шестью атомами кислорода 6∙(О), замещающими атомы углерода в граничных гексагонах; шестью гидроксильными группами 6(ОН); тремя 3(NH2) либо шестью 6(NH2) аминогруппами.

Анализ результатов расчетов показывает, что при внедрении внутрь тубулена, модифицированного 3(О), атом Н должен преодолеть барьер, отождествляемый с энергией активации, равный Еaкт = 2.23 эВ. При этом скачок потенциала приходится практически на основание цилиндра, где расположены ядра С-атомов (верхнюю «границу» трубки).

Преодоление атомом водорода потенциального барьера возможно классическим и туннельным путями (этот аспект подробно изложен в работе [5]). Расчет доли атомов Н, обладающих достаточной энергией для преодоления барьера Еа, и вероятности w прохождения частицой барьера [7], позволил получить следующие результаты: ~ 10-12 и w ~ 10-22 с-1, т.о. инвариантным является преодоление потенциального барьера классическим путем.

На рис. 4 представлен профиль поверхности взаимодействия трубки, замкнутой тремя атомами кислорода, с внедряющимся атомом Н. Очевидно, что получающее состояние системы является метастабильным.

Проникновение атома водорода в трубку, замкнутую 6(О), происходит так же, как и в систему с 3(О). Анализ результатов показывает, что для внедрения внутрь нанотрубки атому Н необходимо преодолеть потенциальный барьер, который для (6, 0) тубулена оказывается равным Еaкт = 0,93 эВ.

79

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4 4,3 4,6 4,9 5,2 5,5 5,8 6,1 6,4 6,7 7 7,3 7,6 r,А

Е,эВ

(6.0) с 3(О)

(6.0) с 6(О)

граница трубки (6.0) с 6(О) и функциональных групп

граница функциональных группграница трубки

Рис. 4. Профиль поверхности потенциальной энергии процесса внедрения атома Н в углеродную нанотрубку (6,0), модифицированную 3(О) и 6(О), нормированный на бесконечность.

Пик потенциального барьера находится практически на

границе трубки. Так же как и в случае 3(О), состояние системы метастабильно. Преодоление потенциального барьера является квазиклассическим, т.к. 10-5 и w ~ 10-13 с-1.

Процесс проникновения атома Н в трубки (6,0), замкнутые шестью аминогруппами или шестью гидроксильными группами, происходит безбарьерно (рис. 5). Образующийся комплекс стабилен. Таким образом, можно утверждать, что замыкающие группы (ОН) и (NH2) обеспечивают эффективное капиллярное заполнение тубуленов атомами водорода за счет возникающих сил электростатического взаимодействия.

Внедрение атома Н в трубку, замкнутую тремя аминогруппами 3(NH2), происходит безбарьерно, однако образующаяся при этом система метастабильна (значения нормированной энергии - положительны).

80

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4 4,3 4,6 4,9 5,2 5,5 5,8 6,1 6,4 6,7 7 7,3 7,6 7,9 8,2 8,5

r,А

Е,эВ

(6.0) с 6(NH2)

(6.0) с 6(OH)

гранницы трубк

граница функциональных групп

Рис. 5. Профили поверхностей потенциальных энергий

процессов внедрения атома Н в углеродные нанотрубки (6,0), модифицированные 6(ОН) и 6(NН2), нормированные на бесконечность.

Ахиральные трубки (6,6) и (8,0). В работах [5, 6] отмечается, что при внедрении атома

водорода внутрь тубулена через его открытый торец атом должен преодолеть барьер, равный Еaкт = 3.43 эВ для (6,6)-трубки и Еaкт = 0.87 эВ для (8,0)-трубки. Сравнивая результаты [5, 6] с результатами расчетов процесса внедрения Н в нанотрубки (6,6), граница которых замкнута вышеозначенными функциональными группами (рис. 6), можно сделать вывод, что модифицирование обеспечивает более эффективное заполнение тубуленов атомарным водородом (безбарьерный, стабильный процесс).

При исследовании трубок (8,0) разной длины (три и два слоя гексагонов (углеродов)), было установлено, что внедрение атома Н в трубку, модифицированную 8(О), не происходит, и, напротив, в тубулен, насыщенный 4(О), проникновение происходит безбарьерно, а получающийся комплекс стабилен (рис. 7).

Таким образом, можно утверждать, что чем меньше краевое насыщение тубулена (8,0) кислородом, тем активнее происходит проникновение атома Н в полость трубки.

81

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 1,4 1,8 2,2 2,6 3 3,4 3,8 4,2 4,6 5 5,4 5,8 6,2 6,6 7

r,А

Е,эВ

(6.6) с 6(О)

(6.6) с 6(ОН)

(6.6) с 6(NH2)

граница трубок граница функциональных групп

Рис.6. Профили поверхностей потенциальных энергий

процессов внедрения атома Н в углеродные нанотрубки (6,6), модифицированную 6(О); 6∙(OH); 6(NH2).

-2,5-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

1 1,4 1,8 2,2 2,6 3 3,4 4,2 4,6 5 5,4 5,8 6,2 6,6 7r,А

Е,эВ

(8.0) с 8(О) 3 слоя С

(8.0) с 8(О) 2 слоя С

(8.0) с 4(О) 2 слоя С

граница трубки и функциональных групп3 слоя гексагонов

граница трубки и функциональных групп; слоя гексагонов

Рис.7. Профили поверхностей потенциальных энергий

процессов внедрения атома Н в углеродные нанотрубки (8,0),

82

модифицированные 8(О) (2 и 3 слоя гексагонов) и 4(О), нормированные на бесконечность.

Результаты исследования процесса внедрения атомарного

водорода в углеродные нанотрубки (УНТ) приведены в таблице.

Таблица. Результаты теоретического исследования модифицированных УНТ.

Группы

Трубка

Число

групп

Длина трубки

Диаметр трубки

Итог Ранее

получ.

результат

ы

О

(6,0) 3

3 слоя (72С)

d = 4,8 Å

Барьер на границе: Еак = 2.2

эВ Еад = 0.26

эВ метастаб

ильно

_

О (8,0) 4 2 слоя (64С)

d = 6,4 Å безбарьерно

стабильно

Еaкт = 0.87 эВ

О

(6,0)

6

3 слоя (66С)

d = 4,8 Å

Барьер на границе: Еак = 0.93

эВ Еад = 0.076

эВ метастаб

ильно

_

О (8,0) 8 2 слоя (56С)

d = 6,4 Å Н в полость

Еaкт = 0.87

83

трубки не проходит

эВ

О (8,0) 8 3 слоя (88С)

d = 6,4 Å Н в полость

трубки не проходит

Еaкт = 0.87 эВ

ОН

(6,0)

6

3 слоя (72С)

d = 4,8 Å

безбарьерно

стабильно

_

ОН (8,0) 8 2 слоя (64С)

d = 6,4 Å безбарьерно

метастабильно

Еaкт = 0.87 эВ

ОН (8,0) 8 3 слоя (96С)

d = 6,4 Å безбарьерно

метастабильно

Еaкт = 0.87 эВ

NH

2

(6,0)

3

3 слоя (72С)

d = 4,8 Å

безбарьерно

метастабильно

_

NH

2

(8,0)

4

2 слоя (64С)

d = 6,4 Å

Барьер на границе:

Еак = 0.089 эВ

Еад = 0.013 эВ

метастабильно

Еaкт = 0.87 эВ

NH

2

(8,0)

4

3 слоя (96С)

d = 6,4 Å

Барьер на границе:

Еак = -0.26 эВ

Еaкт = 0.87 эВ

NH

2

(6,0)

6

3 слоя (72С)

d = 4,8 Å

безбарьерно

стабильно

_

84

NH

2

(8,0)

8

2 слоя (64С)

d = 6,4 Å

безбарьерно

метастабильно

Еaкт = 0.87 эВ

О

(6,6)

6

3 слоя (72С)

d = 8,2 Å

безбарьерно

стабильно

Еaкт = 3.43 эВ

ОН

(6,6)

6

3 слоя (72С)

d = 8,2 Å

безбарьерно

стабильно

Еaкт = 3.43 эВ

NH

2

(6,6)

6

3 слоя (72С)

d = 8,2 Å

безбарьерно

стабильно

Еaкт = 3.43 эВ

85

2. Внедрение молекулярного водорода. Для установления закономерности проникновения

молекулярного водорода в полость однослойных углеродных нанотруб были исследованы трубки (n,0) и (n,n), содержащие 6, 8 гексагонов по периметру и обладающие цилиндрической симметрией. Внутрь трубок внедрялась молекула водорода Н2, которая проходила через центр торцевого отверстия нанотрубки. Диаметры трубок варьируют от 4.8 до 13.8 Å.

Полуэмпирические исследования показали, что проникновения Н2 в тубулены (6,0) и (8,0) не происходит, т.е. можно предположить, что энергии молекулы недостаточно для того, чтобы преодолеть возникший на пути внедрения потенциальный барьер. По мере увеличения диаметра процесс вхождения молекулы водорода в полость трубки приобретает классический безбарьерный характер, причем образующийся при этом комплекс стабилен. При внедрении Н2 в открытые тубулены (6,6) и (8,8) происходит интенсивное капиллярное всасывание водорода (рис. 8), аналогичная картина наблюдается и при интеркалировании Н2 в нанотрубки (6,6) и (8,8) с краевой модификацией (функциональными группами) см. рис. 9.

Рис.8. Профили поверхностей потенциальных энергий

процессов внедрения молекулы Н2 в углеродные нанотрубки (6,0) и (6,6); (8,0) и (8,8) гранично-немодифицированные.

86

Рис.9. Профиль поверхности потенциальной энергии

процесса молекулы Н2 в углеродные нанотрубки (6,6) на примере краевой модификации 6(О).

Интересным является факт, что при модификации краевой

области трубки функциональными группами (атомами кислорода, гидроксильными и аминогруппами) молекула водорода становится способной внедриться в полость трубок малого диаметра (6,0) и (8,0), преодолев при этом потенциальный барьер высотой 2.5 эВ (рис. 10). Очевидно, это связано с возникновением дополнительных сил электростатического взаимодействия, вызванных наличием краевых функциональных групп.

На каждом шаге внедрения молекулы Н в полость трубки проверялись ее основные геометрические параметры: длина связи RН-Н; плоский и торсионный углы, для того, чтобы избежать разрыв молекулы при внедрении. На протяжении всего интеркалирования данные параметры были следующими: RН-Н = 0.7298; = 179.508 ; = 90.053 .

87

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4 4,3 4,6 4,9 5,2 5,5 5,8 6,1 6,4 6,7 7 7,3 7,6 7,9

r,А

Е,эВ

(6.0) с 6(ОН)

(6.0) с 6(О)

(6.0) с 3(О)

(6.0) с 6(NH2)

граница трубок

Рис.9. Профили поверхностей потенциальных энергий

процессов внедрения молекулы Н2 в углеродные нанотрубки (6,0) гранично-модифицированные: О, ОН, NH2.

3. Выводы. 1. Проникновение атома водорода в трубки (6,0), (6,6) и

(8,0), модифицированные краевыми функциональными группами, в большинстве рассмотренных случаев - метастабильный процесс.

2. Из всех рассмотренных функциональных групп: О, ОН и NH2 - положительное влияние на процесс внедрения Н в полость трубки оказывают гидроксильные группы и атомы кислорода в случаях неполного насыщения открытой границы тубулена.

3. Сравнение механизмов проникновения атомарного водорода в открытые и гранично-модифицированные углеродные тубулены установило положительное влияние функциональных групп на процессы заполнения нанотруб. Обнаружено исчезновение потенциальных барьеров на пути внедряющегося в модифицированные тубулены атома Н.

4. Установлено, что диаметр трубок в значительной мере влияет на проникновение атомарного Н в тубулены: чем больше диаметр, тем эффективнее процесс внедрения. Длина углеродных

88

нанотруб, модифицированных краевыми группами, практически не влияет на процессы их внутреннего заполнения.

5. Обнаружено, что внедрение молекулярного водорода напрямую зависит от диаметра трубок, однако при насыщении краевой области трубки функциональными группами молекула водорода становится способной проникнуть в полости трубок малого диаметра (6,0) и (8,0).

6. Установлен процесс активного капиллярного всасывание молекулярного водорода в трубки (6,6) и (8,8), при этом образующийся комплекс стабилен.

Литература:

1. Dewar M.J.S., Thiel W. Ground states of molecules. 38. The MNDO method. Approximations and Parameters//J. Amer. Chem. Soc.–1977.–V. 99.–P. 4899 – 4906.

2. Ивановский А.Л., Квантовая химия в материаловедении. Нанотубулярные формы вещества. – Екатеринбург: УрОРАН. – 1999. - 176 С.

3. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. - Москва: Техносфера. - 2003. - 336 С.

4. Zaporotskova I.V., Lebedev N.G., Zaporotskov P.A. Effects of boundary functional groups in single wall nanotubes: semi-empirical researches // Abs. «Fullerenes and Atomic clusters», June 27 - July 1, 2005, St.-Peterburg. – 2005. - P. 314.

5. Запороцкова И.В., Лебедев Н.Г., Чернозатонский Л.А. Полуэмпирические исследования механизмов внутреннего насыщения углеродных нанотрубок атомарным водородом // Сб. «Углерод: фундаментальные проблемы науки, материаловедение, технология», 13-15 октября 2004, Москва.– 2004. - C. 105.

6. Запороцкова И.В. Заполнение углеродных нанотруб водородом: вероятные механизмы // Нанотехника. – 2005. - № 4. - C. 34 – 37.

7. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. - М.: Высшая школа. - 1984. - 463 C.

89

ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ДВУМЕРНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СВЕРХСТРУКТУРАХ В ПРИСУТСТВИИ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

С.Ю. Глазов

Волгоградский государственный педагогический университет

400131, Волгоград, пр. Ленина,27, glazov@vspu.ru

В работе исследовано влияние гармонического электрического поля на плазменные колебания в двумерном (2D) электронном газе со сверхструктурой (СС). Показано, что частота плазмонов в сильном высокочастотном электрическом поле зависит от амплитуды напряженности поля осциллирующим образом. Численная оценка показывает, что осцилляции могут проявиться при значениях амплитуды напряженности электрического поля больших, чем 1104 В/см. Расчеты выполнены на основе квантовой теории плазменных колебаний в приближении случайных фаз с учетом процессов переброса.

В последнее время в физике полупроводников возросло внимание к 2D электронным структурам в системе с периодическим потенциалом, и, в частности, к процессам распространения в них плазменных волн. В [1] исследована возможность возникновения плазменных колебаний в 2D электронном газе со сверхструктурой (СС). В [2,3] исследовано влияние сильного постоянного электрического поля на плазменные колебания в 2D электронном газе со CC. В [4] показана возможность распространения в 2D СС уединенных электромагнитных волн. С другой стороны известно [5,6], что высокочастотное электрическое поле приводит к существенному изменению спектра плазменных колебаний в сверхрешетке. В этой связи представляется актуальным исследовать влияние гармонического электрического поля на продольные плазменные колебания в 2D электронном газе в системе с периодическим потенциалом.

90

Влияние дополнительного периодического потенциала (сверхструктуры) в таких объектах можно учесть, записав энергетический спектр носителей тока в приближении сильной связи

)cos()cos(2)( dypdxpp

,

(1)

где – полуширина минизоны проводимости; d – период СС; px,py – компоненты квазиимпульса электрона в плоскости СС, =1.

Ограничившись одноминизонным приближением, запишем волновую функцию электронов в минизоне

yN

mdyimpdxinp

xN

nyNxNyxP 1

)exp(1

11),(

)()( mdyndx , (2)

где – волновая функция состояния, соответствующего рассматриваемой разрешенной минизоне, в одной из потенциальных ям, образующих СС; Nx и Ny – число таких ям вдоль осей x и y соответственно.

Решение задачи рассмотрим в приближении заданного гармонического поля, которое будем описывать зависящим от

времени векторным потенциалом }0),sin({)( 0 tcE

tA

. Такое

приближение возможно для частот, значительно больших частот собственных плазменных колебаний СС или для плазмы малой плотности. Предполагаем частоту соударений электронов с решеткой бесконечно малой по сравнению с частотой переменного поля.

В приближении самосогласованного поля гамильтониан взаимодействующих электронов с учетом процессов имеет вид

91

kp mn pagkp

aykMxkMtkUyNxN

e

p pa

patA

cepH

, ,))()(,(1

))((

, (3)

где pp aa , – операторы рождения и уничтожения электрона с

импульсом p ; )2,2( dmdng ,

dxN

dxxxikxxxkM0

)exp()()(*)( ,

dyN

dyyyikyyykM0

)exp()()(*)( ,

(4) ),( tkU

– самосогласованный потенциал, определяемый

следующим соотношением

)()(,

2),( ykMxkMpagkp

ap mnk

etkU

,

(5) - диэлектрическая проницаемость кристаллической решетки, угловые скобки означают усреднение по матрице плотности, соответствующей гамильтониану (3).

Уравнение движения в приближении случайных фаз для

средних

pgkpaa имеет вид

pgkpaatA

ceptA

cekpi

t))(())((

)(),( pngkp

nygkMxgkMtgkUei

,

(6)

92

где ppp aan – числа заполнения электронных уровней

в 2D – электронном газе.

Подставляя решение последнего уравнения в (5), после некоторых преобразований получаем для Фурье - компоненты

),( tkU

следующее выражение

mn ykMxkM

kekU

,)(*)(*22),(~

),(~),()]([)]([ gkUkygkMxgkM ,

(7)

где

npkppnkpnkpФkП

p nxxn )(')('

)()(),(),(2

,

(8)

12

2

0

sin2

)2sin()(2

sin2exp2

),(s

xsx

xxn dpsstJ

dkidtkpФ

intdps

tsJ xs cos12

))12cos(()(12 , Jn(x) – функция Бесселя 1-

го рода вещественного аргумента, /0deE ,

)cos()cos(

2)(' )(0 dypdxpp J .

Из (7) получаем уравнение, определяющее дисперсионную зависимость )(k

1)(),(2 2

kSke

, (9)

где

93

mnyyxx

yx

gkgk

gkMgkMkS

, 22

22

)()(

)]([)]([)(

,

(10) Вычисление множителя )(kS

требует знания конкретного

вида потенциальных ям, образующих СС. Рассмотрим случай, так же как и в [1, 2], когда constx )( при 0 x d, и ( ) 0x при x < 0, x > d. В этом случае выражение (10) примет вид

mnyyxxyyxx

yx

gkgkgkgk

dkdk

dkS

, 22224 )()()()(

)]cos(1)][cos(1[4)(

. (11) При произвольных значениях k

сумма в (11) не выражается

через табулированные функции. Однако, при малых значениях k ( dkk yx /, ) )(kS

ведет себя как k

/1 . При этом в отсутствии

поля из (9) следует, что спектр плазмонов обладает дисперсией k~2 , характерной для 2D газа без СС. Рассмотрим далее невырожденный электронный газ, для

которого

Typxppn /),(exp)(

,

(12) где T – температура в энергетических единицах.

Вычисление поляризационного оператора значительно упрощается в случае высоких температур ( << 2T). При высокой частоте электрического поля ( 0, -собственная плазменная частота СС) в сумме (8) ограничившись членом с n=0, имеем

94

2

|2

sin||2

sin)(0|22

)(210),(dykdxk

J

zKT

Nk

2

22sin2

;22

2sin2)(20

;1,2;23,142

sin))(01(22

2

dуkdxkJ

Fdxk

J

,

(13) где N0 – поверхностная плотность 2D электронного газа, K(z) – полный эллиптический интеграл первого рода, F4(a,b;c,c’;e;f) – гипергеометрическая функция Аппеля двух переменных,

2/1

2|

2sin||

2sin22

|2

sin2

sin2

)(|

)(|

0

0

dykdxk

dykdxk

z

J

J

,

|

2sin||

2sin)(| 0

dykdxkJ . (14)

Из (10,11,13) следует, что частота плазменных колебаний зависит от волнового вектора периодически с периодом d/2 . Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением спектра колебаний в пределах первой зоны Бриллюэна

dxkd // , dykd // .

( 15)

95

Рассмотрим далее предельный случай ky=0, kx=k, для которого можно получить явную зависимость )(k . При этом получаем

2

2sin)(

02

1)(0

0),(kdJ

TJN

k

,

(16) и закон дисперсии плазменных колебаний имеет вид:

12)(

)(2

sin)(0

kf

kfkdJ ,

(17)

где )(

022

1)(|)(| 0

kSNeTkf

J

. При 1)(

022

|)(| 0 kSNe

T J

получим

T

kSNeJkd )(02)(02

sin

,

(18) Из (17) следует, что частота плазмонов в высокочастотном

поле зависит от амплитуды поля осциллирующим образом. Аналогичный результат получен в [6] для полупроводника с одномерной сверхрешеткой.

96

Рис.1. Зависимость )( при a) kxd=0.1; b) kxd=1. На рис.1 построен график зависимости )( полученный с

помощью численного анализа формулы (17) при концентрации N0 = 1011 см-2, d = 10-5 см, = 10-2 eV , Tе 102 K, 1410 и значениях E0 = 0 - 105 B/см.

Если значение параметра приближается к корням функции Бесселя нулевого порядка, то плазменная частота стремится к нулю. Эта область соответствует полной самоиндуцированной прозрачности.

При уменьшении частоты плазмонов уже на порядок от ее значения в отсутствии электрического поля (E0=0), существенную роль в изучаемых явлениях будут играть процессы взаимодействия электронов с решеткой.

Настоящая задача решалась в пренебрежении столкновениями электронов с решеткой. Такое возможно, когда период плазменных колебаний мал по сравнению со временем свободного пробега электрона ( >>1). Для наблюдения предсказанных выше осцилляций последнее условие может быть

97

выполнено при 10-12 c (что является довольно жестким условием на чистоту образца). Таким образом, эксперименты по обнаружению описанного эффекта следует проводить при низких температурах в образцах с высокой подвижностью электронного газа. Например, экспериментальное изучение шубниковских осцилляций в подобных сверхструктурах [7] проводилось при 1.3 – 4.3 К; подвижность двумерных электронов при этом достигала достаточно высоких значений (2 – 5) 105 см2/(Bc).

Сделаем численные оценки. Для проявления осцилляционной зависимости (kx), как следует из (17), необходимо чтобы аргумент функции Бесселя был бы по крайней мере больше xo (xo2.41 – наименьший корень функции Бесселя).

Литература 1. Глазов С.Ю., Крючков С.В. Плазменные колебания в

двумерных полупроводниковых сверхструктурах // ФТП -2000. - Т. 34. - В. 7. - С.835-837.

2. Глазов С.Ю., Крючков С.В. Плазменные колебания в двумерных полупроводниковых сверхструктурах в присутствии сильного электрического поля // ФТП -2001. - Т. 35. - В. 4. - С.456-459.

3. Глазов С.Ю. Коллективные и одночастичные возбуждения в двумерном электронном газе со сверхструктурой в условиях штарковского квантования // Вестник ВГТУ. – 2006. - Т.2. - № 8. С.102-103.

4. Крючков С.В., Шаповалов А.И. О возможности распространения электромагнитного солитона в двумерной сверхрешетке // ФТТ. – 1997.– Т.39. – №8. – C. 1470 – 1473.

5. Эпштейн Э.М. Нелинейные плазменные колебания в сверхрешетке в присутствии высокочастотного электрического поля // ФТП. - 1978. - Т.12. - №.5. - С.985-987.

6. Романов Ю.А. Плазменные колебания в сверхрешетке, находящейся в сильном высокочастотном электрическом поле // ФТТ. – 1979. – Т.21. –№3. – С. 877-882.

7. Гусев Г.М., Квен З.Д., Бесман В.Б. и др. Осцилляции Шубникова – де-Гааза двумерного электронного газа в двумерном периодическом потенциале // ФТП. – 1992. – Т.26. – N3. – С. 539–542.

98

ЭФФЕКТ УВЛЕЧЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКЕ, ИНДУЦИРОВАННЫЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНОЙ, ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИ

С.В. Крючков, Е.И. Кухарь, Е.С. Сивашова Волгоградский государственный педагогический университет 400131, Волгоград, пр. Ленина, 27, sed@fizmat.vspu.ru

Изучен радиоэлектрический эффект в полупроводниковой сверхрешетке в режиме эллиптически поляризованной электромагнитной волны, а так же влияние продольного электрического поля на эффект увлечения. Исследованы параллельная и перпендикулярная ориентации вектора Умова-Пойнтинга и оси сверхрешетки. Показано, что в случае параллельной ориентации возможна смена знака радиоэлектрического тока и в отсутствие внешнего постоянного электрического поля.

1. Введение Возможность использования радиоэлектрического эффекта

(РЭЭ) – эффекта увлечения носителей тока электромагнитными (ЭМ) волнами – для детектирования мощного ЭМ излучения [1,2], а так же для диагностики кинетических свойств полупроводников [3,4], вызывает повышенный интерес к изучению этого явления. В полупроводниковых сверхрешетках (СР), характеризующихся сильной непараболичностью энергетического спектра, РЭЭ обладает рядом специфических особенностей [5-14]. Основное отличие РЭЭ в полупроводниковых СР от РЭЭ в однородных полупроводниках заключается в нелинейной зависимости тока увлечения от интенсивности ЭМ волны. В последнее время [15,16] были отмечены новые особенности РЭЭ, которые должны наблюдаться в условиях воздействия на СР сильного электрического поля. В частности в [15,16] предсказан эффект смены знака РЭЭ при достаточно большой напряженности постоянного электрического поля.

В настоящей работе исследовано увлечение носителей заряда полупроводниковой СР эллиптически поляризованной ЭМ волной.

99

Будет показано, что смена знака РЭЭ в данной ситуации возможна и в отсутствии постоянного электрического поля.

Рассмотрим СР, периодичную вдоль оси Oz с периодом d . Будем считать движение электронов поперек оси СР почти свободным и описывать методом изотропной эффективной массы m , а движение электронов вдоль оси СР описывать методом сильной связи так, что зависимость энергии электрона от его квазиимпульса p имеет вид:

dpm

pp zyx cos12

22

p , (1)

где – полуширина минизоны. Считаем, что выполняются условия, позволяющие решать задачу квазиклассически в одноминизонном приближении: 2 , g , где g – ширина запрещенной минизоны, – частота ЭМ волны. В дальнейшем изучено два случая взаимной ориентации вектора Умова-Пойтинга и оси СР: параллельную и перпендикулярную ориентацию их направлений.

2. Вектор Умова-Пойтинга направлен вдоль оси СР 2.1. Увлечение эллиптически поляризованной волной в

отсутствие дополнительного постоянного электрического поля Поле эллиптически поляризованной ЭМ волны задается

следующими уравнениями: tEEx cos0 , tEE y cos0 , yx EH , xy EH ,

(2) где случай n соответствует линейно поляризованной волне, случай 212 n – волне, поляризованной по кругу,

...2,1,0 n . Пусть ЭМ волна распространяется в положительном направлении вдоль оси Oz . Скорость электрона определяется выражением: ppV . Плотность тока увлечения рассчитывается по следующей формуле:

tfVej zz ,ppp . (3)

100

где dpdV zz sin . Неравновесная функция распределения tf ,p учитывает воздействие электрических и магнитных полей на электронную подсистему и определяется уравнением Больцмана. Будем считать, что действие электрического поля и ЭМ волны не приводит к пространственной неоднородности функции распределения, т.е. 0 rf . Это приближение справедливо, когда длина волны много больше длины свободного пробега электрона в кристалле. В дальнейшем интеграл столкновений рассмотрим в простейшем модельном виде, соответствующем приближению постоянного времени релаксации:

0,1 fffc

etf

pHVE . (4)

Решением уравнения (4) является функция:

tttftttft

d,,exp1, 0 ppp

, (5)

где p0f – равновесная функция распределения, tt ,,pp – решение классического уравнения движения электрона:

ttcete

t

HVEp ,dd

(6)

с начальным условием ppp ttt ,, . Для электронов, движущихся в кристалле под действием

внешних полей, выполняется условие: 1cVz . Данное условие

эквивалентно неравенству 1 cd , поскольку dVz . Например, для 0.05 eV и d 10–6 cm, 10–3. Решая

уравнение (6) итерациями по cVz и считая электронный газ невырожденным с температурой , находим следующее выражение для плотности тока zj :

23

2

0

10

2sinexpd tt

mcdettt

IIdentj

t

z AA

101

2

24

22

2exp tt

mcde AA

, (7)

где tA – векторный потенциал ЭМ поля волны, 0n – концентрация свободных носителей заряда в минизоне, xIn – модифицированная функция Бесселя n -ого порядка. Введем обозначения: denj 00 , demcI 222

0 2 , 0IIu ,

u , 204 EcI – интенсивность ЭМ волны. Полагая

и 1 , получим следующее выражение для плотности тока:

tFjtjz Im0 , (8) где

lkmieiuJuJuJuJetF

tlmnilkmn

lkmnlkmn

ui

21

cos22coscos2

,,,

2 .

(9) Усредняя по периоду ЭМ волны, находим среднюю плотность тока:

uJuJuJuJjj kmnm

n m knz 2cos2coscos0

2221

22cos22sin

knm

kuknmku

. (10)

Отметим, что плотность тока (10) не зависит от знака cos и периодична по с периодом . В случае линейно поляризованной ЭМ волны ( n ) (10) переходит в известное выражение [8]. Можно показать, что плотность тока увлечения (8) волной, поляризованной по кругу ( 212 n ), не зависит от времени. В результате в случае ЭМ волны, поляризованной по кругу, получаем следующее выражение для плотности тока увлечения:

222

1000 1

22sin222sin2

kkuuJjuuJjj k

kz

.

(11)

102

В пределе высокочастотного поля и редких столкновений ( 1 ) плотность тока (11) принимает вид:

22sin2122sin21

2220

00

kuuJk

juuJjj kk

z

.

(12) В бесстолкновительном режиме ( ) плотность тока для круговой поляризации определяется следующим выражением:

uuJjjz 2sin200 . (13) Плотность тока является осциллирующей функцией интенсивности ЭМ волны. Для 212 n положительный ток достигает максимального значения.

Выражение (10) в линейном приближении по интенсивности волны ( 0II ) не зависит от параметра и переходит в следующую формулу:

Imcm

enjz 22

22

22//

30

14

, (14)

где 22// dm – продольная эффективная масса электрона у

дна минизоны. Таким образом, эффект смены знака радиоэлектрического тока – следствие непараболичности закона дисперсии (1) для кристаллов со СР.

2.2. Разогрев электронов, вызванный действием эллиптически поляризованной электромагнитной волны

Известно, что ЭМ волна в кристалле с параболическим законом дисперсии увлекает электроны в направлении вектора Умова-Пойтинга. Эффект смены знака тока увлечения в кристалле со СР связан с тем, что действие ЭМ волны приводит к перераспределению электронов по мини-зоне проводимости так, что их энергия продольного движения (усредненная по времени и по каноническому ансамблю) оказывается больше энергии, соответствующей середине мини-зоны. В этой области эффективная масса электрона отрицательна, поэтому его ускорение направлено против силы Лоренца. Действительно, средняя по ансамблю энергия продольного движения электронов равна:

103

pp tfdpt z ,cos1//

, (15)

где tf ,p – функция распределения, являющаяся решением уравнения Больцмана (4) и равная (5). Суммируя по квазиимпульсам p в (15) и предполагая, что выполняются условия

1 , 1 и , находим: tFt Re1// , (16)

где tF – функция (9). Средняя по времени энергия может быть преобразована к виду:

uJuJuJuJ kmnm

n m kn 2cos2coscos1//

222122sin22cos

knmkuknmku

. (17)

При определенных значениях интенсивности волны носители в среднем могут распределяться в области выше середины мини-зоны там, где эффективная масса отрицательна. Строго говоря, области с отрицательной эффективной массой и области положительного тока полностью не совпадают. Это связано с тем, что для положительности среднего тока недостаточно, чтобы масса носителей в среднем была отрицательной. Необходимо также, чтобы средняя скорость дрейфа электронов с отрицательной эффективной массой была больше средней скорости электронов с положительной эффективной массой.

Сделаем численные оценки. При концентрации носителей 0n 1014 cm–3, и типичных значениях параметров СР и ЭМ волны 0.05 eV, 0.001 eV, 1013 s–1, d 10–6 cm, m 10–28 g, 10–12 s, I 109 W/cm2, 2 , плотность электрического тока

направлена в положительном направлении оси Oz и равна по абсолютной величине zj 0.05 A/mm2. Отметим, что при выбранных численных значениях параметр по порядку величины составляет 10–5.

104

2.3. Влияние продольного постоянного поля на эффект

увлечения ЭМ волной, поляризованной по кругу Пусть к СР, вдоль оси которой распространяется ЭМ волна,

поляризованная по кругу, приложено постоянное электрическое поле напряженностью zE,0,0// E . В этих условиях плотность тока вдоль оси СР, вычисленная по формуле (3), будет иметь вид:

ttuutttttjtjt

z

cos22sinexpd st0 ,

(18) где zedEst . После интегрирования по переменной t в (18), получим, что результирующая плотность тока не зависит от времени и имеет вид:

22st

st00 1

2cos2sin2 uuuJjjz

22

st

st

10 1

22cos22sin2

kkukkuuJj

kk

22

st

st

122cos22sin

kkukku

,

(19) Отрицательные значения st соответствуют отрицательным значениям проекции напряженности постоянного поля на ось Oz . Зависимость плотности тока от напряженности постоянного электрического поля можно рассматривать как вольтамперную характеристику (ВАХ) СР в условиях воздействия интенсивной ЭМ волны, поляризованной по кругу. Из (19) видно, что ток испытывает резонансные всплески вблизи значений напряженности, удовлетворяющих условию:

ednE z

, (20)

105

где n – целое число. В бесстолкновительном режиме ( ) плотность тока вдоль оси СР (19) отлична от нуля тогда, когда выполняется условие (20). В этом случае (19) преобразуется к виду:

22sin20 nuuJjj nz . (21) Отметим, что так же как и в [16] в ВАХ СР, возможна такая ситуация, когда электрический ток индуцируется в направлении, противоположном направлению тока, индуцируемого ЭМ волной или постоянным полем по отдельности. Такая особенность имеет место и для слабых ЭМ волн ( 0II ). Плотность тока вдоль оси СР можно получить, раскладывая в ряд по интенсивности выражение (19) и ограничиваясь линейными по u слагаемыми. В результате получим следующую зависимость:

22st

22st

22st

st

0 1112

uuu

jjz .

(22) Этот же результат получается путем решения уравнения Больцмана (4) итерациями по интенсивности ЭМ волны.

3. Вектор Умова-Пойтинга перпендикулярен оси СР В этой ситуации полупроводник со СР рассмотрим как

оптически изотропную среду: диэлектрическая проницаемость одинакова во всех направлениях. Пусть СР по-прежнему периодична вдоль оси Oz и описывается законом дисперсии (1). Эллиптически поляризованная волна распространяется вдоль оси Oy и ее удобно задать не выражением (2), а следующими уравнениями:

2sin

2sin2 0

tEEx , zx EH ,

2cos

2cos2 0

tEEz , xz EH . (23)

Случай n 2 соответствует ЭМ волне, плоскость поляризации которой содержит ось СР; 12 n соответствует ЭМ волне, плоскость поляризации которой перпендикулярна оси СР;

106

212 n соответствует ЭМ волне, поляризованной по кругу. Радиоэлектрический ток рассчитывается по формуле:

tfpmej yy ,p

p . (24)

Неравновесная функция распределения tf ,p имеет вид (5). Подставляя поле ЭМ волны (31) в (6), решая уравнение (6) итерациями по cVy и учитывая, что , получим для среднего по периоду ЭМ волны тока увлечения следующее выражение:

2cos2

112

2cos21 02

1222

020

0

edEJk

edEJmcenj k

ky

2sin 2

22

20

30 cmEen

. (25)

В случае линейно поляризованной волны, плоскость поляризации которой содержит ось СР ( n 2 ), получаем выражение:

02

1222

020

0 21

122

1edEJ

kedEJ

mcenj k

ky ,

(26) которое совпадает с [15] в отсутствие постоянного поля. В случае слабой ЭМ волны ( 0edE ) (25) переходит в следующее выражение:

Immmc

enjy

2sin1

2cos

114 22

22

22

//22

30

(27)

При n 2 (27) совпадает с (14). В случае линейно поляризованной волны, плоскость поляризации которой перпендикулярна оси СР ( 12 n ), получаем следующую формулу для тока увлечения:

Icm

enjy 222

304

. (28)

107

Для ЭМ волны, поляризованной по кругу ( 212 n ), выражение (25) принимает вид:

02

1222

020

20//0

112

21 edEJ

kedEJedE

mm

mcenj k

ky

.

(29) В случае высокочастотного излучения и редких столкновений ( 1 ) (29) переходит в следующее выражение:

02

1222

020

20//0 12

21 edEJ

kedEJedE

mm

mcenj k

ky .

(30) В бесстолкновительном режиме :

02

0

20//0

21

edEJedEm

mmcenj y . (31)

Из формул (25–31) видно, что в случае, когда вектор Умова-Пойтинга перпендикулярен оси СР, знак радиоэлектрического тока сохраняется при любых значениях интенсивности ЭМ волны и параметра . Зависимость плотности радиоэлектрического тока от интенсивности ЭМ волны представлена на рисунке 4 для случая

2 . В заключение оценим отношение cVy . Из рисунка 4

видно, что 0jj y , поэтому cnjVy 00 , где mcenj 00 .

Таким образом, 2mccVy , что составляет по порядку величины 5∙10–7.

4. Заключение Как видно из анализа выражений (10–13) для интенсивной ЭМ

волны, поляризованной эллиптически и распространяющейся вдоль оси СР, возможна смена знака РЭЭ и в отсутствие внешнего постоянного поля (рисунок 1). Наиболее ярко этот эффект проявляется для ЭМ волны, поляризованной по кругу (рисунок 2). Он исчезает для линейно поляризованных волн. Связано это с тем, что проекция силы Лоренца на ось СР, действующая на электрон со

108

стороны линейно поляризованной волны, является осциллирующей функцией времени. Проекция этой силы, действующей со стороны волны, поляризованной по кругу, так же как вектор Умова-Пойтинга и плотность тока, от времени не зависит, что приводит к более интенсивному разогреву электронов и перераспределению их внутри минизоны в те области, где эффективная масса отрицательна (рисунок 3).

Отсутствие смены знака в случае перпендикулярности вектора Умова-Пойтинга и оси СР связано с тем, что ЭМ волна увлекает электроны вдоль слоев СР. В данном направлении электроны описываются энергетическим спектром в приближении постоянной эффективной массы. Эффект становится возможным только при включении дополнительного интенсивного электрического поля [15,16].

5. Литература

[1] H. Sigg, S. Graf, M.H. Kwakernaak, B. Margotte, D. Erni, P. Van Son, K. Kohler. Superlattice and Microstructures 19, 105 (1996) [2] M.F. Kimmitt, C.R. Pidgeon, D.A. Jaroszynski, R.J. Bakker, A.F.G. van der Meer, D. Oepts. International Journal of Infrared and Millimeter Waves 13, 1065 (1992) [3] A. Grinberg, S. Luryi. Phys. Rev. B 38(1), 87 (1988) [4] S.D. Ganichev, H. Ketterl, E.V. Beregulin, W. Prettl. Physica B 272, 464 (1999)

[5] А.А. Игнатов. ФТТ 22, 3319 (1980)

[6] Э.М. Эпштейн. Изв. вузов СССР. Радиофизика 24, 514 (1981)

[7] С.В. Крючков, А.И. Шаповалов. Оптика и спектроскопия 81, 336 (1996) [8] М.В. Вязовский, С.В. Крючков, Г.А. Сыродоев. ФТТ 35, 2829 (1993) [9] М.В. Вязовский, С.В. Крючков. ФТП 26, 184 (1992) [10] F.T. Vasko. Phys. Rev. B 53, 9576 (1996) [11] Xin Chen, O. Keller. Phys. Stat. Sol. B 212, 359 (1999)

109

[12] S. Graf, H. Sigg, K. Köhler and W. Bächtold. Physica E 7, 200 (2000)

[13] A. Vengurlekar, T. Ishihara. Appl. Phys. Lett. 87, 091118-1-3 (2005)

[14] V.A. Shalygin, H. Diehl, Ch. Hoffmann, S.N. Danilov, T. Herrle, S.A. Tarasenko, D. Schuh, Ch. Gerl, W. Wegscheider, W. Prettl, S.D. Ganichev. // Pis’ma v ZhETF 84(10), 666 (2006)

[15] Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Е.С. Сивашова. ПЖТФ 32(4), 11 (2006) [16] Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Е.И. Кухарь. ФТП 41, 726 (2007)

110

ПРОВОДИМОСТЬ КВАНТОВОЙ НИТИ С ПРИМЕСЯМИ В УСЛОВИЯХ СОВМЕСТНОГО ВЛИЯНИЯ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ. Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Э.В. Марчук Волгоградский государственный педагогический университет 400131, Волгоград, пр. Ленина, 27, sed@fizmat.vspu.ru

Рассчитан электрический ток, текущий вдоль оси цилиндрически симметричной квантовой нити со сверхрешеткой в условиях одновременного воздействия постоянного и переменного электрических полей. Считается, что нить содержит примесные центры, ионизация которых приводит к генерации в зоне проводимости неравновесных носителей заряда. Обнаружено, что зависимость постоянной составляющей тока от частоты электромагнитного поля имеет немонотонный (ступенчатый) характер. Показано, что расстояние между ступенями имеет фиксированное значение и не зависит от глубины залегания примеси, а зависит только от ширины минизоны проводимости и параметров поперечного конфайнмента. Данное обстоятельство дает возможность экспериментального определения ширины минизоны проводимости и параметров поперечного конфайнмента.

Прогресс микро- и наноэлектроники обусловлен, кроме всего прочего, созданием новых твердотельных структур с наперед заданными электронными спектрами. К таким структурам можно отнести, в частности, объекты с пониженной размерностью (квантовые нити, точки, кольца, сверхрешетки и т.д.). Особенно перспективными такие материалы представляются в связи с их оптическими и кинетическими свойствами. Именно поэтому исследованию таких свойств посвящено множество работ последнего времени (см. [1-4] и приведенную там литературу). Известно также, что на оптические эффекты и транспорт заряда существенное влияние оказывает наличие примесей в образце (см. например [5,6]). Энергетический спектр носителей тока в направлениях квазисвободного движения в [5,6] выбирался в приближении слабой связи. Однако современные технологии позволяют изготовить квантовые нити со спектром в направлении квазисвободного движения носителей, присущим сверхрешеткам

111

(СР). Электрические и оптические свойства квантовых СР весьма специфичны [7], поэтому актуальным представляется исследовать кинетические свойства квантовой нити со сверхструктурой.

Целью работы является расчет электрического тока, текущего вдоль оси цилиндрически симметричной квантовой нити со сверхрешеткой в условиях одновременного воздействия постоянного и переменного электрических полей. Считается, что нить содержит примесные центры, ионизация которых приводит к генерации в зоне проводимости неравновесных носителей заряда.

Для определенности, квантовая нить выбирается в модели жестких стенок. Энергетический спектр электронов такой нити в одноминизонном приближении имеет вид

d/p

mj

)( znm cos1

2 20

,2

p , (1)

где m - эффективная масса электрона в плоскости ZOY в материале нити, - полуширина минизоны проводимости, d - период СР. При этом считается, что СР периодична вдоль оси ОZ, pz - компонента квазиимпульса электрона вдоль оси OZ, nmj , - n-ый корень

функции Бесселя первого рода m-того порядка, 0 - радиус нити. Будем считать, что характерное расстояние, на котором

происходит заметное изменение поля волны, значительно больше длины свободного пробега электронов. Последнее условие позволяет считать поле волны однородным и в кинетическом уравнении Больцмана для электрона в поле волны пренебречь пространственной производной функции распределения. В силу того, что электрические свойства подобной СР в значительно большей степени определяются особенностями энергетического спектра носителей тока, нежели конкретным видом интеграла столкновений, мы будем использовать кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука (БКГ) [7]. Такой выбор обусловлен еще и тем, что интеграл столкновений в виде БКГ корректно учитывает сохранение числа носителей тока в минизоне проводимости, оставаясь при этом довольно простым по своей форме. Отметим, что он не может быть

112

получен из общего интеграла Больцмана путем каких-либо приближений и поэтому является модельным. Таким образом, имеем кинетическое уравнение

pppppEp GR

ttf,t)f(e

t,t)f(

ст

,

.

(2) Первое слагаемое в правой части (6) в соответствии с моделью БГК имеет вид

ppp0

0

,, fnntf

ttf

ст

,

(3) где n – линейная концентрация электронов в минизоне

проводимости, 0n – равновесная (в отсутствие каких либо внешних воздействий) линейная концентрация электронов в минизоне проводимости, ν – частота столкновений электронов с нерегулярностями решетки, p0f – равновесная функция

распределения. Выберем p0f в больцмановском виде

/exp0 Cf p , (4) где ε задается (1), – температура, выраженная в энергетических единицах.

Второе слагаемое в правой части (2) определяет уменьшение числа электронов в минизоне проводимости благодаря их рекомбинации и имеет вид

ppp 0, ftfR r , (5)

где r – частота рекомбинации электронов. Входящая в (2) функция pG – член генерации носителей тока – имеет смысл количества носителей, образующихся на единице длины вещества в единицу времени в результате ионизации, и находится по формуле

f

ifWnnNG )( 0p . (6)

113

Здесь Wif – вероятность перехода электрона в единицу времени с примесного уровня i на уровень f, соответствующий свободному движению в минизоне проводимости, N – линейная концентрация примесей. Будем полагать постоянное электрическое поле слабым, так что туннельным просачиванием электрона с примесного уровня в минизону проводимости под его действием пренебрежем. Вероятность Wif будет обусловлена только переходами под влиянием переменного поля и записывается так:

ififif M

hmEeW

2

220

20

22,

(7) где f – энергия электрона в минизоне проводимости, Vi –

энергия примесного уровня, 0, E – частота и амплитуда

электромагнитной волны соответственно, 0m – масса свободного электрона, ifM – матричный элемент перехода примесь - минизона проводимости задается соотношением

rdz

iM ifif3

,

(8) где f - волновая функция электрона в минизоне проводимости, i – волновая функция электрона, локализованного на примеси.

Будем полагать глубину залегания примесного уровня V большой по сравнению с изменением потенциала СР на длине d. Тогда волновая функция электрона, локализованного на примеси, будет иметь тот же вид, что и в однородном кристалле. Выберем волновую функцию в виде, соответствующем водородоподобной примеси

iVtri exp)exp(3

,

(9)

114

где – обратный радиус локализации примесного центра, причем предполагается, что V и ширина минизоны проводимости 2Δ – величины одного порядка. Волновую функцию электрона в минизоне проводимости запишем в виде [8]

zpiimjJ

jJL

z

nmm

nmm

zf expexp1

,1

10,

0

.

(10) Здесь zL – нормировочная длина нити вдоль оси OZ, –

радиальная координата, xJ n - функция Бесселя первого рода порядка n.

Таким образом, подставляя (9) и (10) в (8), и переходя к цилиндрическим координатам, получаем следующее выражение для ifM

,

)exp(exp

exp

22

2210,

0

2

2

2

0

3

0,1

0

ijJ

ddimdLjJ

iM

nmm

L

Lznmmif

z

z

(11) где 00 , 1 zp . Выполняя интегрирования в (11) получим:

20

2,0

3

0,01

84

nzn

if jLjJ

M .

(12) Таким образом, выражение для W приобретает вид

0,02

1

202

02,022

020

3

20

2

2sin81128

nn

n jJj

mdEeW

.

(13)

115

Здесь

242242arcsin 2

0

2,0

2

20

2,0

2 Vm

jVm

j nn

, x - функция Хевисайда.

Решая уравнение (2) методом характеристик, получим следующее выражение для постоянной составляющей электрического тока, текущего вдоль оси OX

2222

22222

00

sssaJ

nnII

ssx ,

(14)

где 10

deEa , 1 deEc , 120 4 edI p ,

)()/I(Idnep //4 0122

022 , xI n - модифицированная

функция Бесселя первого рода порядка n. Отношение 0/ nn вычисляется по формуле

rW

WnN

nn

001 , (15)

которая следует из суммирования обеих частей уравнения Больцмана (2) по квазиимпульсу. Отметим, что выражение (15) с точностью до множителя 0/ nn совпадает с результатами, полученными ранее в [9]. Однако именно наличие множителя 0/ nn , зависящего сложным образом от амплитуды и частоты поля электромагнитной волны, и обуславливает модификацию постоянной составляющей тока за счет процессов ионизации. По формуле (14) построены графики зависимости тока в нити в безразмерных единицах от отношения )2/( . На рисунке график №1 соответствует концентрации примесей 03nN , график №2 – квантовой нити без примесей (графики построены при

116

01.0 mm , эВV 01.0, , 11210 с , смd 610 ,

СГСедEc .10 , СГСедE .1000 см60 102 , 0m – масса

свободного электрона).

Рис. 1. Зависимость постоянной составляющей тока от частоты электромагнитной волны (в безразмерных единицах). Графики построены при 01.0 mm , эВV 01.0, , 11210 с ,

смd 610 , СГСедEc .10 , СГСедE .1000 см60 102 ,

( 0m – масса свободного электрона) Из рисунка видно, что, во-первых, в областях абсолютной отрицательной проводимости (там, где 0/ II меньше нуля) значение тока больше по модулю, чем в ситуации без примесей. Это связано с ростом эффективной концентрации носителей тока за счет ионизации примесей. Во-вторых, видно, что зависимость постоянной составляющей тока от частоты электромагнитного поля имеет немонотонный (ступенчатый) характер. На рисунке ступени в точке A соответствует переход с примесного уровня на первый (нижайший) уровень размерного квантования. Точка B соответствует включению процессов перехода с примеси на второй уровень размерного квантования, а точка C – выключению

117

переходов с примеси на первый уровень размерного квантования. При этом анализ показывает, что расстояние между ступенями имеет фиксированное значение и не зависит от глубины залегания примеси, а зависит только от ширины минизоны проводимости (расстояние между A и C) и параметров поперечного конфайнмента (расстояние между A и B). Последнее обстоятельство дает возможность экспериментального определения ширины минизоны проводимости и параметров поперечного конфайнмента. Кроме того, сами пороги четко выражены, что обусловлено особенностями ван Хова. Наконец, отметим, что при выбранных параметрах структуры

АI 90 10 .

Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации МК-3316.2007.2

Список литературы [1] А.А. Григорькин, С.М. Дунаевский. ФТТ, 22, 557 (2007) [2] Л.И. Магарилл, М.В. Энтин. Письма в ЖЭТФ, 74, 249 (2003) [3] И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис. ФТП, 36, 1449 (2002) [4] Н.Г. Галкин, В.А. Маргулис, А.В. Шорохов. ФТТ, 43, 511 (2001) [5] В.А. Маргулис, Н.Ф. Павлова, А.В. Шорохов. ФТТ, 48, 880 (2006) [6] В.Д. Кревчик, А.Б. Грунин. ФТТ, 45, 1272 (2003) [7] Ф.Г. Басс, А.А. Булгаков, А.П. Тетервов. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками (М., Наука, 1989). [8] В.Я. Демиховский, Г.А. Вугальтер. Физика квантовых низкоразмерных структур (М., Логос, 2000). [9] В.В. Павлович, Э.М. Эпштейн. ФТТ, 13, 1483 (1976)

118

Spontaneous transverse electromotive force in a lateral superlattice with parabolic miniband G M Shmelev1, I I Maglevanny1, T A Gorshenina1 and E M Epshtein2 1 Volgograd State Pedagogical University, 400131, Volgograd, Russia 2 Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino, 141190, Russia E-mail: shmelev@fizmat.vspu.ru Abstract. Distribution function and current density in a one-dimensional superlattice with parabolic miniband are calculated. The current dependence on the temperature coincides with experimental data. Generalization is carried out to quasi-two-dimensional superlattice with paraboloidal miniband. For a sample opened in Y direction with dc current in X direction, a novel nonequilibrium phase transition is found, namely, appearing a spontaneous transverse electric field Ey under temperature increasing. The synergetic potential whose minima correspond to the stationary states of the nonequilibrium electron gas and the methods of catastrophe theory are used. Near the transition temperature Tc* determined by the value of applied field Ex,

xoy ETTE ~ PACS numbers: 72.10, 72.60 1. Introduction In present work, we study spontaneous appearance of a transverse (with respect to the current jx in the sample) electric field Ey in a quasi-two-dimensional superlattice (2SL). In fact, a nonequilibrium second-order phase transition (NPT2) is considered, where Ey takes part of an order parameter, while driving field Ex is a controlling parameter. Such a phenomenon is similar to the multi-valued Sasaki effect in multivalley semiconductors, that was observed in experiments [1]. That effect, however,' has been not treated as a NPT2, meanwhile such an approach is fruitful enough. This approach allows to develop fluctuation theory of NPT and reveal noise-induced NPT, as well to invistigate stochastic and vibration resonances in 2SL and other systems [2]-[5]. Unlike the earlier published works [2]-[5], where the conventional cosine-type model was used for the conduction miniband, here a dispersion law is considered in form of a truncated parabola, i. e. the dispersion law is assumed to be parabolic up to the Brillouin zone edge. Such a problem statement is of

119

interest, because the modern technology allows to vary widely the form of the potential relief and the SL energy spectrum. In the low temperature limit (T → 0) the ISL conductivity with parabolic miniband was studied in [6]. Here we come out the scope of the approximation used in [6] and find the temperature dependence of the current density in the model mentioned. It appears, mat other NPT's, as compared to [2]-[5], are possible in 2SL with parabolic miniband. In that NPT's, the temperature is the controlling parameter, so that a transverse e.m.f. appears spontaneously under temperature increasing. 2. Distribution function and current density in ISL The electron energy in the ISL lowest miniband is [6]

,2

2

mppp x ,

dp

d x

(1)

where p is quasimomentum, d is SL period, x axis being directed along the SL axis, s(p±) is in-plane electron energy, 222 / md is double miniband width, m is effective electron mass.

In quasi-classical situation ( ,eED ,/ where is electron momentum relaxation time, e is electron charge), the current density in uniform dc electric field E is found by solving Boltzmann equation with collision integral within -approximation:

,, 0

pFpF

ppFeE

(2)

Wjiere F 0 (p) is equilibrium electron distribution function, F(p) is unknown distribution function perturbed due the electric field. Below we use dimensionless variables by changing

,//,/,/ 00 edETTEEEpdp T is temperature in efiergy units). With the field E is directed along the ISL axis, we have

,0 xpfpfpF ,000 xpfpfpF is equilibrium distribution function, normalized to the carrier density pfn 0 being normalized to unity). Thus, f(px) function satisfies the following equation:

120

,0 ffdpdfE

xx ).11( xp (3)

We consider nondegenerate electron gas, so that

Tp

TerfTnpf x

x 2exp

2122

21

0 (4)

where erf(z) is error function. In the low temperature limit (T 0) the relation reduces to the function used in [6]: .20 xx pnpg The exact solution of (3) takes the form

.

222exp

2/1/exp

2

C

ET

Tperf

ET

TerfEEppf

x

x

xx

xxx (5)

The second term is general solution of the homogeneous equation (3). The constant С is found from the function f(px) periodicity, f(—1) = f(1). Then we get

x

x

x

x

xxx E

TT

perfEp

ET

TerfEnpf

222exp

2/1 2

TETerf

E xx 21

212exp

1

,21

22exp1

1

TETerf

E xx

-1< xp <1.

(6) In limiting case E x 0 (6) reduces to (4). In another limiting case, T 0, we get the distribution function found in [6j:

1

1

2exp1

12exp

exp2 x

x

E

Ex

x

xx E

pE

npg 10

01

x

x

p

p (7)

121

The function )( xpf ; satisfies the same normalization condition as the equilibrium function f 0 (px)

ndppf xx

1

121

(8)

and, therefore, it makes the integral of right-hand side of formula (3) vanish. Besides, the integral of left-hand side of the Boltzmann equation (3) vanishes too, because of the periodicity condition mentioned. The condition (8) can be proved by direct calculation using formulae from [7]. The distribution function f(px) at several values of Ex and T is shown in figure 1. The current density j in the direction of 1SL axis can be found (in dimensional units) by a conventional way

.2

/

/xx

d

dx dppfp

medj

(9)

122

Figure 1. Distribution function f(px) at various values of the driving field and temperature. 1) Ex = 1, T = 0.1; 2) Ex = 0.1, T = 0.1; 3) Ex = 2> Г = 2; 4) Ex = 1, T = 0.005. The dashed curve 5 represents function g(px) at Ex =1. By substitution function (6) into (9) we get

2

1

2exp1sinh

212,

xxxx E

TET

erfETEj

TETerf

TETerf

xx 21

221

2(10)

Here j is expressed in units of /0 dnej , while all the quantities are written in djmensionless form. To warrant numerical stability we present formula (10) in the following form

123

xxx ETETEj ,, ,

)2/1(

),(/5.0exp21,Terf

TEATT

TE xx

(11)

wheree (Ex,T) is the conductivity and

.sinh2

exp)/1sinh(

),(/1

0

222

sdssTEs

ETETEA

xEx

x

xx

(12)

The value of A(E x ,T) can be estimated numerically with high accuracy. Expanding the exponent in a power series we get

nxn

n

n

x TEG

nTTEA )(

!)!2()1(1,

0

(13)

where functions Gn(Ex) are defined by recurrent formula

,1coth 20 x

xx E

EEG

.1122 12

0 nxn GnnEGG (14) As ))32/1,0[ nEG xn , series (13) converges quickly. As numerical experiments show, first four terms of series (13) give good approximation at T > 0.5. At |EX| 0 we have A(EX,T) 0, so in low fields (|EX| « 1) in linear approximation on Ex we have

0

2

)2/1()/5.0exp(21,

TpE

TerfT

TETEj x

xxx

(15)

where angle brackets mean averaging over the equilibrium distribution. Note that the conductivity temperature dependence in low fields (the expression within round brackets in (15)) is close to the analogous dependence for the miniband cosine model (I1(1/2T)/I0(1/2T), In(z) being the modified Bessel function).

In high fields (|EX| > 1) we have

124

n

n

n

n

x

x TD

nTTerfTETE

0

1

2 !)!2()1(

2/1

/2, ,

2

2

22

)!522()!2(!122n

k

kk

n knkBnD , (16)

where Bm are Bernoulli numbers. For low temperatures (T « 1), using (12), we get

TTET

EETerfTE

xxxx 2

1exp22

exp)/1sinh(

12/1

11, 2

(17) As numerical experiments show, formula (17) gives good approximation at T < 0.07. In limiting case T 0 we get the expression that was found in [6]

)/1sinh(1)(

xxx E

EEjj (18)

Equation (10) determines the current-voltage characteristic for the parabolic miniband 1SL with the current density temperature dependence taking into account. From (15,16) it follows that j ~ Ex at |EX| « 1 and j ~ 1/Ex at |Ex| » 1. Therefore at fixed temperature T = fix the function j(Ex,T) reaches its maximum at some value Ex = ExC(T) > 0 (see figure 5). Thus the parametric representation of dependence Exc(T) is defined by equation 0d , where xd Ej / is the differential conductivity. Using (11,12), we get

TTerfTTE

TE

EE

TE

x

xx

xd

21exp

2/1121,

1coth11),( 2

, (19)

Thus function Exc{T) is defined implicitly by equation

TEA

EETETA

TerfTE x

xxxx 2

1exp,1coth,21

22

(20)

125

and it is sufficient to solve this equation at Ex > 0. 1 The numerical solution of equation (20) at T versus Ex is

presented in figure 2. Note that dependence Ex = ExC(T) is monotone so the inverse function Tc F= TC(EX) exists.

Figure 2. The dependence T — Tc(Ex) (solid line). Regarding the SL2 model this curve represents local separatix on controlling parameters plane. The dashed lines 1 an 2 represent the approximations (21) and (24) respectively. The icons show the behaviour of synergetic potential Ф(ЕУ) at marked points in controlling parameters space. To investigate behaviour of function Tc(Ex), consider first the case of high temperatures T»1. Expanding all functions in a power series on 1/T and neglecting all terms o(l/T2), we get

3)/1tanh(6)/1(tanh495.19)/1tanh()336()/1(tanh)8.15.2245(

22

2224

xxxx

xxxxxxxc EEEE

EEEEEEET

(21) By that

)(lim 01 xcEEx ET (22) where Ei 0.29104955 is the root of equation

031tanh61tanh)49( 22

xx

xx E

EE

E (23)

126

Consider now the case of low temperatures T«1. Using (17), we ge,

1

2 1tanh2111sinh1tanh2

xx

xxxxc E

EEE

EET

(24) By that 0lim

02

xcEE

ETx

(25)

where E 2 0.373681745 is the root of equation

11sinh1tanh2

xxx EE

E (26)

Therefore function Exc(T) is defined for T (0, +oc) and 200

)(lim ETExCT

, 1T

)(lim ETExC

(27)

Note, that Exc{T) decreases with increasing temperature. Essentially, that Exc value does not depends on the temperature at all in the cosine model. Meanwhile, in experiment [8] a shift of Exc to lower fields has been found with increasing temperature. (In [8] the miniband transport in 1SL GaAs/AlAs was investigated in temperature range 10-300 К under fields ut to 1.5 kV/cm, and negative differential conductivity was found surely enough.) 3. Nonequilibrium phase transitions in 2SL The dispersion law of the square 2SL mentioned in Section 1 takes the form

mpp

p yx

2)(

22

0

,

dp

d yx

, , (28)

Where o — const is electron energy in the lowest size-quantized level, here is miniband width.

If the coordinate axes are directed along the SL principal ones, then the current density along X axis is given by (11), while that along Y axis is given by the same formula with x у change.

Now a situation is considered, where the coordinate axes are rotated by angle 45° with respect to principal axes of the square 2SL. In this case we have

127

),,(,,21),,(, TEEjTEEjTEEj yxyxyxyx , (29)

where the field is expressed in units of ed/2 ,, while the current in units of 2/dту , function j(Ex,T) is defined by (11). Note that

,0),0,( TEj xy ),(),0,( TEjTEj xxx (30) Let the sample be open in Y direction, so that the equation of

state of nonequilibrium electron gas is 0),,( TEEj yxy (31)

Consider the transverse field Ey as an order parameter and EXl T as controlling parameters. Then for given Ex and T condition (31) defines the stationary states Ey = Ey(Ex,T). As it follows from (30), the states Ey = 0 are stationary Ip addition to this trivial solution, which may be stable or unstable against small fluctuations, equation (31) has also nontrivial ones (Ey 0), which are solutions of equation j y /E y = 0. The stability of transverse field Ey is determined with the following inequality [9]:

02

2

yy

y

EEj

, y

E

yyx dEjTEEy

0

),,( , (32)

where Ф is a synergetic potential (the entropy production [10]). Thus the stable solutions of equation (31) by fixed EX,T correspond to minima of the synergetic potential Ф.

Using the synergetic.potential, we shall analyse the behaviour of nonequilibrium electron gas using the concepts and methods of catastrophe theory [11]. The degenerate pririca] points of potential Ф are defined by conditions

0

yE, 02

2

yE. (33)

Equations (33) determine implicitly the points in the controlling parameters space (EX,T > 0), which parametrize the bifurcation set (local separatrix). At Ey = 0 the solutions of system (33) determine the set of bifurcation points, consisting of two curves symmetrical with respect to the line Eх = 0:

128

:),( xET 0lim0

02

2

y

y

EEy E

jE y

y (34)

From (29) it follows, that condition (34) is equivalent to that of j/ Ex = 0, so each bifurcation point defines also the extremum of 1SL current density. Therefore the set of bifurcation points coinsides with that presented in figure 2.

Numerical experiments show that local separatrix consists only of bifurcation points. As a result the controlling parameters space is decomposed to two open subregions I and II, parametrizing the structurally stable potential functions of qualitatively different type. So it is sufficient to choose any point from each region I, II and to study behaviour of appropriate function Ф. In figure 2 the form of potentials, corresponding to come singly points on controlling parameters set is presented. Thus if the point (T, Ex) is located in region I, then synergetic potential has only one critical point Ey = 0, at which it reaches its minimum. So for such values of controlling parameters the only stable state Ey = 0 exists. If the point (T, Ex) is located in region II, then synergetic potential has three critical points and two local minima, corresponding to two nontrivial solutions of equation (31), located on the upper and lower sheets of critical manifold and corresponding to stable states Ey 0. In this case the state Ey = 0 is unstable. Along the local separatrix the states Ey = 0 become degenerate. Therefore when any path in the controling parameters space intersects the local separatrix, the slable states Ey 0 appear and NPT2 occurs. Thus the function TC(EX) defines the "Curie temperature" for Ex G (E 1 ,E2).

The numerical solutions of (31) are presented in figures 3 and 4, in which different situations are illustrated. Consider now the behaviour of nontrivial transverse field in tne vicinity of bifurcation point. Let |E y | « 1, then

223

3

0,31,2,, yyx

xx

xyx

y

y EETEE

jTEEjTEE

Ej

(35)

fixLetEx ,1 xc ETTand then

129

xc ETTxx

xx

TEETjTE

Ej

,,

2

xcxc ETTETT 0

Figure 3. The dependence of spontaneous transverse field Ey on the temperature T (normalized). At fixed applied field the path Ex = fix on the controlling parameters space intersects the local separatrix at point T = Tc(Ex) and NPT2 occurs. The curves correspond to the following values of Ex: 1) Ex = 0.31; 2) Ex = 0.33; 3) Ex = 0.36; 4) Ex = 0.374 > E 2 . The dotted lines represent approximation (37).

130

Figure 4. The dependence of spontaneous transverse field Ey on the applied field Ex {normalized). At fixed temperature the path T'= fix on the controlling parameters space intersects the local separatrix at point Ex = Exc(T) and NPT2 occurs. The curves correspond to the following values of T: 1) T = 0.05; 2) T = 0.1; S) T= 0.5. The dotted lines represent approximation (38). From (35) and (36) we get the approximate solution of equation jy/Ey = 0

,,,6),()(

1

3

322

xc

ETT

xx

xx

xy ETTEE

jTEETjTEE

xc

(37) so xcy ETTE ~ at xc ETT near the bifurcation point (see figure 3). Let T = fix and |EX — ExC(T)| «1, then in a similar way

131

TEETEE

jETEE

jTEE xCx

TEE

xx

xxx

xy

Cxx

22

1

3

3

2

22 ,,3,

(38)

so TEEE xCxy22~ at )(TEE xCx near the bifurcation point

(see figure 4). The spontaneous transverse field influences naturally the current-voltage characteristic jx = jx(Ex, T), which does not depend on the direction of the spontaneous field Ey. For the case of the existense of second order NPT's the function jx is presented in figure 5.

Figure 5. The cur rent-volt age characteristic at T = fix (normalized). The curves correspond to the following values of the temperature: 1) T = 0.05; 2) T = 0.5. The solid lines 1-la and l-2a correspond to stable

132

states of Ey, the dotted parts lb and 2b to unstable ones. The lines 1-lb and l-2b describe function Jx(E x ,O, T]. which in 2SL units for E and T coinsides with 1SL current density (10). The maxima of curves correspond to critical value of applied field Ex = Exc(T). 4. Conclusion In present paper, an exact distribution function has been found of the carriers in the lowest parabolic miniband of a 1SL. The novel formula for the current density in 1SL contains temperature dependence, which leads to the current maximum shift to the low field side with encreasing temperature, that agrees with available experimental data.

The considered SL model includes NPT's studied earlier. Besides, a novel type NPT has been found, in which the sample temperature plays role of a control parameter. It follows from the temperature dependence of ExC(T), that a novel type NPT2 is possible in the model considered. Indeed, in the field interval E 1 < |EX| < E2 the transition "Curie temperature" Tc{Ex) exists and near the transition point the nontrivial transverse field ЕУ(Т) 0 appears, which behaves as xcy ETTE ~ . The estimates of the effects predicted are reduced, in general, to estimate of electric utuu required. At d = 10"7 cm, = 10-12 s we have 10-2 eV and units for E and T are 2 • 103 and 100 К respectively. At Ex 600V/cm, the value Tc 70 К is obtained. References [1] Asche M, Kostial H and Sarbey О G 1980 J.Phys. C: Solid State Phys. 13 L645 [2] Shmelev G M and Epshtein E M 1992 Fiz. Tverd. Tela 34 2565 (Engl. Transl. 1992 Sov. Phys. Solid State 34 1375) |3] Shmelev G M , Epshtein E M, Chaikovskii I A and Matveev A S 2003 Izv. AN, ser. fiz. 67 lilO (in Russian) [4] Matveev A S 2004 Izv. VGPU (Estestv. г fiz.-mat. nauki) No. 4 18 (in Russian) [5] Shmelev G M , Epshtein E M and Gorshenina T A 2005 cond-mat/0503092 6] Romanov Yu A 2003 Phys. Solid State 45 559

133

[7] Khadzhi P I 1971 Probability Function (RIO AN MSSR, Kishinev) (in Russian). [8] Grahn H T , von Klitzing K, Ploog К and Dohler G H 1991 Phys. Rev. B, 43 12004 [9] Bonch-Bruevich V L, Zvyagin I P and Mironov A G 1975 Domain Electrical Instabilities in Semiconductors (New-York: Consultants Bureau) [10] Shmelev G M and Maglevanny 11 1998 J. Phys.: Condens. Matter 10 6995 [11] Gilmore R 1981 Catastrophe Theory for Scientists and Engineers (A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto)

134

Stability of Turing Patterns in a Reaction-Diffusion System with Boundary Control Eugene V. Kagan E. V. Kagan is with the Department of Industrial Engineering, Tel-Aviv University, Ramat-Aviv, Tel-Aviv 69978, Israel (e-mail: kaganevg@post.tau.ac.il ).

Abstract—We consider a two-component reaction-diffusion system. If the equilibrium state of this system is unstable, then there exist dissipative structures – Turing patterns – determined by the parameters of the system.

The paper considers stability of Turing patterns in the reaction-diffusion system with boundary control. The study is based on the Liapunov vector functions, and applies the Sirazetdinov method of stability in measure.

The study is stimulated by the example of reaction-diffusion system, which describes behavior of a two-layer semiconductor structure.

Index Terms—Reaction-diffusion system, Turing patterns, boundary control, stability in measure. INTRODUCTION

WIDE class of non-linear physical and chemical systems demonstrates a spatial formation of regular wave structures in initially homogeneous media. An accepted description of such phenomenon is provided by a non-linear parabolic system [12]

),( bufuDtu

,

where ),( 21 nuuuu is interpreted as a vector of concentrations,

nnijD

- as a diffusion matrix, and b stands for the bifurcation parameter. Such system is called Turing system. It is assumed that the system is defined on the certain domain of ,0nR , and that the initial and boundary conditions are determined, as well.

If f is nonlinear function of u, then there exists a value 0b of the parameter b such that if 0bb then the homogeneous state of the system is unstable, and the system behaves as follows [7]:

if 0bb then the short external influence on the system gives a rise to the static and pulse auto-waves;

A

135

if 0bb then the auto-waves and the wave structures appear without external influence.

In the paper, we consider a two-component ( 2n ) Turing system. Such systems are called reaction-diffusion systems. For reaction-diffusion system, 1u is interpreted as a concentration of activator and 2u - as a concentration of inhibitor.

In 1988, Balkarey, et al. [2] considered a semiconductor realization of the reaction-diffusion system and the possibilities of its application for the data storage. Balkarey, et al. showed that if 0ij , 2,1, ji , then in the semiconductor structure appear dissipative structures depending on the parameter b. In [4], [5], [6] this system with the boundary control and the methods of its realization were considered.

In 2003, Ishikawa, et al. [3] addressed a reaction-diffusion system, which is controlled by the bifurcation parameter 21 , bbb , where 1b and 2b are determined by mutually independent Wiener processes, and showed that the stable dissipative structures in the system are still existing.

The study of the reaction-diffusion system with stochastic boundary conditions is conducted in 1994 by Sowers [11] who considered the system with the white noise on the boundaries (in the Neumann form). The similar study of the system with the boundary conditions in the Dirichlet form was treated in 2002 by Alòs and Bonaccorsi [1].

In the paper, we consider reaction-diffusion system, which describes the two-layer semiconductor behavior with the boundary control. The goal of the paper, in opposite, to the previous works, is to study stability of dissipative structures on the characteristic of the control processes. Considered problem and methods

The considered reaction-diffusion system is presented in the following form:

211111 , uufu

tu

, 212222 , uufut

u

(1)

where 1u and 2u are interpreted as non-equilibrium concentrations of activator and inhibitor, correspondently. Thus, the initial conditions for the system (1) are: 00,,1 yxu , 00,,2 yxu . (2)

We suppose that boundary conditions are given as follows:

136

ttyu x11 ,,0 , ttyu x11 ,,1 , ttyu x 22 ,,0 , ttyu x 22 ,,1 , ttxu y11 ,0, , ttxu y11 ,1, , (3) ttxu y 22 ,0, , ttxu y 22 ,1, , 10 x , 10 y .

The auto-waves in the system (1) exist if 0 ii uf , and dissipative structures appear if 21 [12]. We suppose that these requirements hold true.

In the paper, we consider two problems: Given the processes 2121 ,,, yyxx and 2121 ,,, yyxx

find such functions 1f and 2f that there exist stable auto-wave solutions of the system. Given functions

,,

,,02

012122212

02

012111211

uuuuvuufuuuuvuuf

(4)

which correspond to the quadric recombination of the electrons and holes with stationary concentrations 0

1u and 02u , find parameters of the

processes and such that the solutions of the system are stable auto-waves.

For stability analysis of the system (1), we apply the generalization of the Liapunov methods, suggested by Sirazetdinov [10], and called stability in measure.

The idea of the method is following. Let 2: RTDu , 2RD , ,0T , be a process. We suppose that the domain D is bounded, and

the values on its bounds are determined by boundary conditions (3). To study stability of the process 0u relatively to permanent disturbances, e.g., processes and , consider real measures tu ,00 and

ttu ,, , which are defined on the set of processes u, and a real measure ttdd , of disturbance. Suppose that for these measures hold true that 00 u , 000 , 0, tu , 0,0 t ,

00,0 d , and for each process u the measure is continuous on t. The process 0u is called stable in measures , 0 and d [10], if

for every 0 there exist such 00 and 0 d that:

137

- for every solution of the system such that 00 for 00 tt , and

- for every disturbance such that dd , holds true that for 00 tt .

We consider the process 0,0, 21 uuu as an initial equilibrium state and require that it is unstable in measures for the boundaries (3). Then we consider the dissipative structures for the system, and consider their stability in measures. Approximate solution of the system

Suppose that the solution of the system (1) is given by the following formal series:

0

21, ,,,n

nnss tyxzffuu , 2,1s , (5)

such that the initial and the boundary conditions hold true. For certain approximate methods for solving system (1) in the form (5) see, e.g. [8].

Let us consider solution (5) of the system (1) with the functions 1f and 2f as given by (4). Let

ykxjtiz nnnn exp , where 1222 kji , jikij , kjijk and ikjki . Since

0Re ykxjti nnn , for complex conjugate nz of nz we have 1 nn zz .

Substituting series (5) into the system (1) with the functions 1f and 2f given by (4), for each n we obtain:

,22 ,2,2102

01

,1

,22

,,

nsns

nns

nns

nsnnsnsnnsnssns

Uy

uk

xu

jzuu

uizvuut

u

(6)

where 2,1s , and

ppnnn uuU ,2,1 is determined by formal

multiplication of the series (5) [13]. For each 2,1s , this equation is equivalent to the system of one equation for nzRe , and the equations for all possible rearrangements of i, j and k.

Suppose that space and time derivations of nsu , are equal to zero. This

138

supposition is equivalent to the one used in the method of slowly varying amplitudes [8]. Then from (6) we obtain:

ppnnnnnn uivuuzu ,21

2211

02

011,1 ,

ppnnnnnn uivuuzu ,12

2222

02

012,2 .

From these formulas, using the initial and boundary conditions (2) and (3), and a requirement of convergence of the series (5), the certain values of the amplitudes and phases can be obtained. Initial condition (2) in this case, has a form

0,0, tnstns uu , 0

00, tsu , 2,1s ,

and for the boundary conditions series (5) must converge to the corresponding functions and . Stability of the process in measures

Let us define the measures 0 , and d as follows:

0

1

0

1

02122110 ,, dxdyduufuuf ,

1

0

1

021 dxdyuu ,

,,sup 210

fft

d

,

where yuxuu sss , 2,1s . The meaning of the measures 0 , and d is following. The first

measure 0 characterizes an initial state of the system in respect to the functions 1f and 2f . Functions 1f and 2f do not depend on t and, because of the initial condition (2), at the time 0t both obtain constant values 101 cf

t

and 202 cf

t

. If 21 cc , then 00 , and 0

otherwise. Hence, for instability of an initial state in measure 0 it is sufficient that 21 cc .

For certain functions 1f and 2f (4), we have: 2121

02

01021 vvuuff

t

.

If e.g. we use recombination coefficients 1 and 2 , and concentrations 0

1u and 02u of, respectively, electrons and holes for

139

silicon (see, e.g. [9]): 81 1047.8 , 8

2 1041.1 , 1002

01 1002.1 uu ,

we obtain: 21

12

021 1035.7 vvfft

. Thus, to reach the value 0

021 t

ff , generation velocities 1v and

2v have to be so that 11221 1035.7 cmvv , what is impossible, and

an initial state of the system applied to silicon structure is instable. The similar reasons hold true for germanium, as well.

If functions 1u and 2u are (quasi-)periodic at t, then there exist functions 1f and 2f , not necessary linear, such that 0 for 0t . In fact, if the result 21 uu of multiplication of the series (5) correspond to a periodic function, then functions 1f and 2f (4) with constant velocities

1v and 2v are periodic, and 0 . Measure characterizes a current state of the system. If functions 1u

and 2u are such that either 1u and 2u , or such that

21 ~ uu , then , and otherwise. Finally, measure d characterizes disturbance of the system by the

processes and in respect to the functions 1f and 2f . If 21 ff , then 0d for every 0t .

Let us consider the defined measures for the functions 1f and 2f given by (4) and an approximate solution resented in sec. 0. If

021 ff , then according to the formulas for nsu , (see sec. 0) we have 0,2,1 nn uu and 0 for every 0t . Since in this case 00 and

0d , we may take d0 with arbitrary 0 . The process is stable, and the system stays in an initial state.

Let 021 ff . Then 00 and 0d , but in general, according to the formulas for nsu , (see sec. 0), 0 . Measures 0 and d do not determine a bound for the measure . Thus, the process is unstable in these measures.

Numerical simulations trialed for the system with constant boundaries and corresponding to silicon coefficients show that if 021 ff , then the process diverges exponentially, and during 100 time-steps the concentrations 1u and 2u grow from 1010~ to 10010~ . If, in opposite,

140

021 ff , then the system stays in its state at 00 tt with 02

0111 uuu and 0

20122 uuu .

For different non-zero functions 1f and 2f given by (4), the system with the silicon parameters demonstrates complex behavior (sec. 0, Fig. 1). The initial state is broken and the traveling waves appear. For the germanium parameters (sec. 0, Fig. 2), the system leaves an initial state and converges to the stable state. Stability of Turing patterns

Let us consider the measure . For stability of the system this measure has to be bounded, and the bound is determined by the measures 0 and d .

If the process is stable and if 0 , then the state of the system is non-homogeneous, and wave solutions exist. Nevertheless, as shown by simulations of the system with silicon parameters (sec. 0, Fig. 1), the states of the system periodically change.

For stability of Turing patterns, in addition to the stability of the process, we require that beginning from a time moment ct for the measure hold true the following conditions:

0 and 0dtd , ctt . The first condition means that the state of the system is non-

homogeneous, i.e. it corresponds to some, may be irregular, pattern on the surface, and the second condition requires from this state to be constant in time.

Let us apply measure to the series (5) and functions 1f and 2f given by (4). Using the formulas for nsu , and taking into account that for

every n, series

ppnu ,1 and

ppnu 2 are the series for the functions 1u

and 2u , respectively, we obtain:

n

nnn uiuuvuu 2

2122

102

0111121 ,

n

nnn uiuuvuu 2

1222

202

0122212 .

Denote nnnn iA 2211 and nnnn iA 22

22 . Then the measure can be written in two equivalent forms:

141

1

0

1

0

2122

02

01222111 dxdyuAuuvuu

nn ,

1

0

1

0

2111

02

01111222 dxdyuAuuvuu

nn .

Suppose that the expressions standing in modules are positive. Then,

, 1112

11122

02

01

11111

nyynxxn

yyxx

AAvuu

. 1221

12211

02

01

22222

nyynxxn

yyxx

AAvuu

If the expressions standing in modules are negative, then the signs in the obtained formulas have to be changed to opposite.

Requirement 021 gives the first restriction to the boundary control processes and .

Let us consider requirement 0dtd . Taking into account that

nsnA , 2,1s , we obtain:

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd sysysxsxs

.

A comparison of the expressions for s and dtd s shows that for used above suppositions, requirements 0s and 0dtd s hold true if and only if consts . However, this is the case constant boundaries, for which the process defined by the system is unstable.

Numerical simulations of the system with different non-constant boundary controls and shows that the system with silicon parameters either demonstrates the same behavior as with constant boundaries, or the process quickly diverges in time. In opposite, for system with germanium parameters converges, but the stable state depends on the boundary processes (see sec. 0, Fig. 3). Numerical simulations

The simulations of the system (1) behavior were processed using the environment MatLab v. 6.5, release 13. The scripts realize basic difference schemes both for time and space partial derivations, and the differences h in all directions for x and y are supposed been equal, i.e.

142

yx hh . In the simulations, functions 1f and 2f in the form (4) are used, and

the coefficients in the system (1) correspond to the silicon and germanium characteristics [9]:

silicon: 1002

01 1002.1 uu ,

11 1063.7 , 1

2 1029.1 , 8

1 1047.8 , 82 1041.1 ;

germanium: 1302

01 1033.2 uu ,

11 1083.9 , 1

2 1071.4 , 11

1 1069.1 , 132 1008.8 .

The simulations of the system (1) with constant bounds and silicon parameters show that the initial homogeneous state is broken for a singular running wave. The wave is distributed over the surface and gives a rise to local chaotic disturbance running over the surface. Then regular straights on the surface appear. At the time ~100 the system returns close (but not equal) to the initial homogeneous state, and the process repeats.

A fragment of dynamics of electrons concentration 1u is shown in Figures 1.a – 1.c.

Figure 1.a. Silicon, constant boundaries, t = 20

143

The same simulations for the system (1) with germanium parameters

show that the initial homogeneous state is broken, as well. Nevertheless, the waves do not appear and the system converges to the stable state at the time ~50.

Electrons concentration 1u at the stable state of the system (1) with germanium parameters is shown in Figure 2.

Figure 1.c. Silicon, constant boundaries, t = 80.

Figure 1.b. Silicon, constant boundaries, t = 60

144

The next series of simulations were trialed for the system with non-

constant boundaries. In this case, the system with silicon parameters behaves similar to the system with constant boundaries, or the process quickly diverges in time.

The same simulations of the system with germanium parameters show that, like for the constant boundaries, the system converges to its stable state. However, the form of the stable state depends on the processes and . An example of the stable state of the system (1) with germanium parameters and harmonic boundaries is shown in Figure 3.

Figure 2. Germanium, constant boundaries, stable state t > 50.

145

The simulated cases of the system with silicon and germanium

parameters show that the processes and on the boundaries determine the form of the stable state and do not influence on the wave behavior of the system. Conclusion

In the paper, stability in measures of Turing patterns in the reaction-diffusion system is considered. There were defined three suitable for the considered system measures 0 , and d , and an approximate solution of the system using these measures is studied.

It is shown that the initial state of the system is instable in the defined measures, and the system either demonstrates a wave behavior, or converges to its stable state.

A dependence of the system on the boundary controls is the following. If the system demonstrates the wave behavior, then boundary controls determine convergence of the process, but do not influence to its wave behavior.

If, in opposite, the system converges to its stable state, then the form of stable state depends on the boundary controls.

Numerical simulations of the system with silicon and germanium parameters present examples of the described behavior. The system with silicon parameters demonstrates a wave behavior, which does not depend on the boundaries. The system with germanium parameters

Figure 3. Germanium, harmonic boundaries, stable state t > 50.

146

quickly converges to the stable state, and the form of this state is determined by the boundary controls.

ACKNOWLEDGMENT I am grateful to Prof. V. P. Rijov (Taganrog Institute of Technology,

Russia), who introduced me into the field of non-linear dynamics, and to Dr. A. Novoselsky (Shiron Ltd., Israel) and Mr. S. G. Barkovsky (Eyal-Microwave Ltd., Israel) for fruitful discussions on the theme.

REFERENCES [1] E. Alòs, S. Bonaccorsi. Stochastic Partial Differential Equations

with Dirichlet White-Noise Boundary Conditions. Ann. Inst. H. Poincaré Prob. Stat., 2002, 38, 125-154.

[2] Y. I. Balkarey, et al. Auto-waves, Dissipative Structures and Information Storage in Multi-layers Active Medium with Diffusion. Microelectronics, 1988, 57 (2), 313-320. (Rus.).

[3] M. Ishikawa, K. Miyajima, T. Tasaka. Analysis of Turing Patterns by Stochastic Reaction-Diffusion Systems. Proc. Int. Conf. SICE’02. Aug. 5-7, 2003, Osaka, 2897-2901.

[4] E. V. Kagan. A Model of Concentration Structures on the Semiconductor Surface. Izvestija TRTU, 1995, 1, 43-45. (Rus.).

[5] E. V. Kagan. On the Realization of Controlled Patterns’ Formation on the Semiconductor Surface. Proc. Third Int. Arctic Seminar IAS’98. May 26-29 1998, Murmansk, 48-51.

[6] E. V. Kagan. Control of Concentration Waves on the Semiconductor Surface. Proc. Int. Conf. AS’04. Nov 10-12 2004, Taganrog, 4, 32-37.

[7] B. S. Kerner, V. V. Osipov. Autosolitons. Uspehi Fiz. Nauk, 1989, 157 (2), 201-206. (Rus.).

[8] P. S. Landa. Auto-Oscillations in Distributed Systems. Moscow: Nauka, 1983. (Rus.).

[9] S. D. Lazarev, E. Z. Meilikhov. Electrical and Physical Characteristics of Semiconductors. In: I. S. Grigiryev, E. Z. Meilikhov, Eds. Handbook on Physical Values. Moscow: Energoatomizdat, 1991. (Rus.).

[10] T. K. Sirazetdinov. Stability of Distributed Systems. Novosibirsk: Nauka, 1987. (Rus.).

147

[11] R. B. Sowers. Multidimensional Reaction-Diffusion Equations with White Noise Boundary Perturbations. Ann. Prob., 1994, 22, 2071-2121.

[12] V. A. Vasiliev, Yu. M. Romanovskii, D. S. Chernavskii, V. G. Yakhno. Auto-wave Processes in Kinetic Systems: Spatial and Temporal Self-organization in Physics, Chemistry, Biology, and Medicine. Netherlands, Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1987.

[13] A. Zigmund. Trigonometric Series. V. I. Cambridge: Cambridge University Press, 1959.

148

Сравнительный анализ результатов расчёта энергетического спектра одноэлектронных состояний сферическисимметричных моделей ковалентных кластеров кристаллов с локальными дефектами. Н.А. Растова, А.М. Стебеньков. Лаборатория нанотехнологий Волгоградского института бизнеса, Волгоград, 400075, ул. Южно-Украинская 2.

Электрофизические характеристики ковалентных кристаллов в значительной степени варьируются в зависимости от локального дефекта, например, образующегося в результате замещения атома основной структуры на атом другого элемента. При этом в спектре одноэлектронных состояний могут возникнуть состояния, энергии которых находятся в запрещенной энергетической щели (ЗЭЩ), отвечающей объемной структуре идеального кристалла [1-3]. Представляет интерес выяснить особенности энергетического спектра таких кристаллов в области ЗЭЩ, а также вблизи верхней границы валентной зоны и нижней границы зоны проводимости.

Рис. 1. Геометрия кластеров. При малой концентрации дефекта (когда взаимодействием

между соседними дефектами можно пренебречь) естественно исходить из «симметрично расширенного» (относительно «центрального» атома (ЦА)) молекулярного кластера (МК), симметрия которого совпадает с точечной симметрией (Td) моделируемого кристалла. Концевые атомы МК замыкались нами

149

атомами водорода. ТП с локальным дефектом строился из МК, моделирующего идеальную структуру, путём замещения ЦА на атом дефекта (АД). В качестве ТП нами рассмотрены кристаллы алмаза, кремния и германия. В качестве АД рассмотрены атомы Be и N. Были проанализированы спектры одноэлектронных состояний (СОС) моделей ковалентных кристаллов, содержащих 3 и 5 сфер. Для расчёта СОС (Рис.2) применена полуэмпирическая процедура MNDO-PM/3 [4]. Распределение зарядов ( )q A на атомах различных слоёв (табл.1) для моделей 3х и 5ти-сферных кристаллов свидетельствует о том, что в обоих случаях эти величины отличаются незначительно. Для атомов второго слоя ( )q A близки к нулю (соответствуют атомам объёмной структуры). Таблица 1 Распределение зарядов для 3х и 5ти-сферных моделей ковалентных кристаллов

Количество координационных сфер 3 5 Кристалл ЦА

q0 q1 q2 q3 q0 q1 q2 q3

C 0,02 -0,01 0,00 -

0,29 0,00 0,00 0,01 -0,01

Be 0,54 -0,16 0,02 -

0,29 0,53 -0,15 0,02 -

0,01 Алмаз

N 0,56 -0,15 0,00 -

0,29 0,63 -0,09

-0,01

-0,01

Si -0,14

-0,15

-0,09 0,09 0,00 -

0,02 -

0,05 -

0,10

Be 0,97 -0,29

-0,12 0,09 1,09 -

0,18 -

0,08 -

0,11 Кремний

N 0,22 -0,11

-0,12 0,10 0,41 -

0,01 -

0,09 -

0,10

Ge -0,24

-0,26

-0,19 0,07 0,03 -

0,01 -

0,08 -

0,15

Be 0,93 -0,36

-0,25 0,06 1,13 -

0,11 -

0,13 -

0,17 Германий

N 0,23 -0,21

-0,22 0,06 0,50 0,00 -

0,11 -

0,16

150

Таблица 2 Величина внедрения акцепторных и донорных состояний в ЗЭЩ

Кристалл Дефект Количество КС

Внедрение в ЗЭЩ (%)

3 8; 2 Be 5 2; 2 3 45 Алмаз

N 5 53 3 6; -1 Be 5 2; -2 3 30 Кремний

N 5 32 3 6; -2 Be 5 -1; -5 3 29 Германий

N 5 28

151

Рисунок 2 Энергетические спектры одноэлектронных состояний моделей ковалентных кристаллов как идеальных, так и с локальными дефектами

152

Анализ результатов расчёта СОС позволил сделать следующие выводы: 1. Замещение ЦА на атомы Be приводит к появлению в ЗЭЩ

глубоких вакантных состояний * , обусловленных орбиталями атомами IIой сферы, лежащих на 10% ниже середины ЗЭЩ1), а также занятых состояний , отвечающих связывающим орбиталям Ве-А (АII-А), расположенных на 10% выше верхней границы ЗС-зоны. Отметим, что при данных замещениях существенно изменяется заряд на ЦА и в значительно меньшей степени на атомах 1-ой и 2-ой сфер.

2. Замещение ЦА на атом Nобуславливает появление глубоких (в центре ЗЭЩ) одноэлектронно-занятых состояний (локальные парамагнитные центры, преимущественный вклад в которые вносят орбитали атома N). Степень их внедрения в ЗЭЩ находится в пределах ( ) 3657%. Образуются также вакантные состояния * , примыкающие к верхней границе ЗС-зоны, преимущественный вклад в которые вносят орбитали атомов дефекта N, для которых ( *) -537%.

Литература. 1. Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические

свойства твердых тел // Пер. с англ. М., Мир. 1978. Т.1.−387с.

2. Эварестов Р.А., Котомин Е.А., Ермошкин А.Н. Молекулярные модели точечных дефектов в широкощелевых твердых телах // Рига: Зинатие. 1983.−288с.

3. Петрашень М. И., Кристоффель Н.Н., Абаренков И.В. Об уравнениях Хартри-Фока для неметаллических кристаллов // Вестн. Ленингр. ун-та. 1963. №10. С.5-15.

4. Hehre W. J., Stewart R. F., Pople J. A. Self-Consistent Molecular-Orbital Methods. I. Use of Gaussian Expansions of Slater-Type Atomic Orbitals // J. Chem. Phys. 1969. V.51. Pp. 2657-2664.

1 ) Здесь и в дальнейшем сравнение проводится относительно верхней границы ЗС-зоны

(для величин ) или нижней границы ВС-зоны (для величин * ), отвечающих объемной структуре бездефектного кристалла

153

On the thermodynamics of the liquid-solid transition in a small cluster Alexander V. Zhukova,b,*, Anastasiya S. Kraynyukovaс, Jianshu Caoa a Department of Chemistry, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02 J39, USA b Department of Optics, Palacky University, 17. listopadu 50, 77200 Olomouc, Czech Republic c Stable Isotope Research Lab, Air Quality Research Branch, Environment, Canada Abstract Physics of phase transformations in finite systems has a long history, but there are many unresolved issues. Although there is a satisfactory qual-itative picture of the phase transformations within an isolated small cluster, the experimentally observed dependence of the melting temperature on the cluster size contradicts the prediction of classical results. No clear physical picture of such a transformation exists for a condensed cluster in contact with gaseous environment. We propose a thermodynamic theory, which generalize previous results to the case of cluster with fluctuating number of constituent particles (open cluster). In this case, phase transition occurs because of size change during the nucleation/evaporation process. This allows us to explain the underlying physics of recent simulations and experiments. Although we used the grand canonical approach, our main results can be applied to isolated clusters. Particularly, we give simple arguments to explain the deviations of the cluster melting temperature dependence on cluster size from classical results PACS: 36.40.Ei; 64.70.Dv; 82.70.Dd 1. Introduction Classical theory assumes that the nucleation process begins with small solid clusters, which eventually reach some critical size and subsequently grow into a bulk solid state [1,2]. In the simple version it is supposed to be a process of direct homogeneous solidification from a gas-like or liquid-like surrounding phase [3]. On the other hand, some systems with specific types of interaction have a liquid-liquid transition before solidification. This is particularly relevant to the system of colloids with short-range attraction [4-8].

154

Naturally we can imagine two scenarios for this two-step phase transition: (i) the bulk liquidi-liquid2 transition leads to a homogeneous state, and then a liquid2-solid transition described by classical nucleation theory occurs; (ii) the nucleation process in the bulk liquidi leads to the creation of solid clusters, but the evolution of each cluster contains two steps, creation of liquid2 nuclei, and then an order-disorder transition to become a solid cluster. The second type of solid phase growth is exotic, but can be realized in systems with specific types of inter-particle interactions. One example was recently reported for protein crystal growth [6]. Lomakin et al. carried out the numerical simulation of hard spheres with attractive square-well interaction to study the growth of small clusters in a system with a fixed number of particles N and a volume V. Their study showed that only liquid-like structures are stable for small clusters. To form the crystalline structure, cluster must reach some critical size. A two-stage nucleation process was also seen in simulations by the Frenkel group [9,10]. To the best of our knowledge, there is no general thermodynamic criterion to predict the appropriate nucleation scenario. The aim of the present Letter is to study the thermodynamics of a single cluster, assuming the second two-stage nucleation scenario to occur. A theoretical investigation of order-disorder transitions in finite systems has a long history [11]. The main concern in such systems is the character of the liquid-solid phase change. We call it "phase change" or "phase transformation" because it's not a phase transition in standard understanding for the bulk matter with a divergence in the heat capacity. In a finite system it would have some sharp but finite maximum. Nevertheless the difference between liquid and solid states can be well defined mechanistically. Previous theoretical investigations dealt mainly with a concept of dynamically coexisting phases in equilibrium isolated clusters [11-16]. To enrich our understanding, it is also interesting to study the open system, where the number of particles within a cluster can change. We address this problem in the present Letter. 2. Structure of the cluster While the phase state in a bulk matter can be well defined by a phase transition, determination of liquid or solid state within a small cluster is more ambiguous. The heat capacity of a cluster has a maximum at the transition point, but it's not easily measurable for small aggregates and

155

we need some simple mechanistic criterion before formulating it more strictly from thermodynamic arguments.

Additional difficulty of describing phase change in small ag-gregate consists in the inhomogeneity of the process. To explain that, it is more convenient to consider melting instead of solidification. During melting, the volume of the system (with fixed number of particles) increases, which leads to creation of vacancies, while interaction between particles does not change (i.e. pair interaction), or changes not much. Surface atoms have less nearest neighbors, so the melting process begins from the "outer shell" [11]. Such clusters have a shell structure, so that atoms in outer and inner shells are in different conditions. In this sense melting of small clusters with pair interaction is related to a problem of 2D melting [7,17]. Due to such a shell-by-shell mechanism the phase change in small aggregate is a continuous process, that cannot be treated by the conventional theory of phase transitions microscopically. To understand the phase change within a cluster during the nucleation process we need to build its thermodynamics and analyze the behavior of heat capacity to define liquid and solid state of small cluster more consistently.

Let us first describe a phase change within an open cluster during nucleation/evaporation process first by analyzing naively its microscopic characteristics. For definiteness, we consider a system of colloids with short range attraction, which is particularly relevant to a systems of globular proteins [6]. In the equilibrium closed packed structure the potential of interaction between two neighboring atom is u(a) = —e, where a is the equilibrium inter-atomic distance for crystalline structure, € is the square-well potential depth. The total bond energy of atoms within a cluster is then given by

ji

jiruE,

, .21

(1)

For a closed packed structure, when jir , = a, each atom has 12 nearest neighbors, and it is easy to obtain the bond energy per one atom being

6b Naive phenomenological method of distinguishing liquid and

solid states consists in estimation of number of nearest neighbors. It can be done as follows. Considering a closed packed system, let us choose

156

the volume V containing sn V atoms, where sn is the number density. As each atom has 12 nearest neighbors, the total number of bonds in the volume is 6 sn V. Let n be the average density of cluster at some intermediate state (not close packed). Then the number of vacancies within a volume V is approximately (ns — n) V. To remove one vacancy we need to create 12 bonds, or, in other words, we need to break 12 bonds to create a vacancy. This means the number of bonds within volume V in some intermediate state is 6(2n — sn ) V and the average number of nearest neighbors is q = 12(2- sn /n). This last quantity can be used to distinguish the liquid and solid state phenomenologically. This approach however is obviously ambiguous. It does not provide us with the well-defined phase change point.

There are also some more precise methods based on exam-ination of radial distribution functions (see e.g. [18]), which were successfully used in studies of various aspects of cluster physics [19-22]. Also these methods are very useful in molecular simulations, all of them do not connect directly microscopic characteristics with macroscopic measurable quantities.

To understand the physics of phase change in open clusters we need to define a phase change point. For this purpose let us first analyze thermodynamics of the cluster in vicinity of the transition curve. 3. Thermodynamics of L-S transition within an open cluster

We consider the thermodynamics of L-S transition within an open cluster using the concept of two-state approximation proposed by Berry and Smirnov for a melting of isolated cluster [16,23]. The main idea comes from the equilibrium state of the cluster as the coexistence of two locally stable and thermally equilibrated aggregate states, solid and liquid. This model can be generalized to include more cluster states, associated with the melting of different cluster shells [11,24]. To justify the two-state model we assume that there is large enough free energy barrier to ensure the relation

LSeq

where eq is the characteristic time of kinetic thermal equilibration within a cluster (no matter liquid or solid), and TLS is the characteristic time for the cluster to occupy particular (liquid or solid) state. Under

157

this strong inequality we are able to introduce two different temperatures, ST for the solid state, and LT for the liquid state. In general they are not equal. Say, in the simple Dulong-Petit limit we have

63

N

ET

where E is the free energy difference and N is the number of particles within a cluster.

In contrast with previous theories [16,23], we allow clusters to grow and evaporate due to a gaseous environment, so that

Fig. 1. Three subsequent MC steps close to the melting point. the system must be represented through the grand canonical ensemble instead of the canonical one. To illustrate this point we refer to the simulation [6]. The authors of Ref. [6] used a canonical ensemble of particles closed in the box. However the target of our investigation is not the whole system they consider, but the cluster itself. In Fig. 1 we show three subsequent MC steps when the cluster is close to the melting point. It can be seen that the number of particles in the cluster fluctuates.

158

This means that the system of interest (the cluster) is open to the environment, so we have to apply the grand canonical approach. However, our results can be applied to isolated clusters either, when we fix the number of particles. We will show that our approach is consistent with the canonical in this case.

The statistical weight of the liquid state is

S

TENNg exp (2)

where LSLSLS SSS ,,, and LSS , are the corresponding chemical potentials of the cluster and its entropies. The corresponding probabilities for the cluster to be found in the solid or liquid state are

,1

1g

pS .

1 ggpL

Following the idea of paper [23] we introduce also the conditional probabilities, LSjip j

i ,,)( which is the probability for the cluster to be in yth state, if it is first found in the /th state. The total entropy of a two-state system is given by

,)()()()(

CLLSsJ J

JLL

JLL

JSS

JSS SSpSpppInppppInppS

(3) where

J

JS

JSS InppS ,)()( )()( J

LL

JLL pInpS (4)

are the corresponding "partial" entropies, and Sc is the configurational entropy. The latter can be expressed through the statistical weight (2) as follows

ggInggInInPpInppS LLSSC

1

)1( (5)

Using the notation of partial entropies (4), we specify the meaning of the two temperatures Ts and LT , through the simple thermodynamic relations:

,1

,NV

S

S ES

T

.1

,NV

L

L ES

T

(6)

159

Following Landau's arguments [25], we express the thermodynamic temperature appearing in the statistical weight (2) through the derivative

NVEST ,//1 which can be rewritten as a sum

.)1()1()1(

112 dE

dgg

IngTg

gTgdE

dSTp

Tp

T LS

C

L

L

S

S

7

From Eq. (2) we derive

,2

CTNECT

gdEdg

8

where the specific heat С and chemical potential are given by

,,NVT

EC

.,VEN

ST

On the other hand, the thermodynamic chemical potential can be expressed through the "partial" chemical potentials

LLSS pp 9 Using the relations (3)-(9) we are able to obtain the general expression for the heat capacity of cluster. The final expression can be substantially simplified near the melting point, where we set 1g ,

,41

411 2

0

CZ

CZ

TT

CC

10

where we introduce the quantity

.1 NE

TZ

The physical solution to equation (10) is

022222 /16164

24

CZTZTTZT

TZTZTC

(11)

10 /2/8 TTCT

which represents the general expression of a specific heat through the well defined thermodynamic quantities within the framework of this semi-phenomenological model. In the case of bulk system, phase

160

transition point corresponds to divergence of the heat capacity, but for the finite system С still has a maximum, which we define as the phase transformation point. In the next section we analyze its behavior in more detail. 4. Critical size of the growing cluster

To obtain the general relation between the melting temperature and the critical melting number of atoms within a cluster, i.e. the number of particles necessary for L-S transition to occur for given temperature, we need to find an extremum of Eq. (11). However, С is a function of two independent parameters, the number of particles and the temperature. To approach the problem let us first fix N. In this case cluster is described by the canonical ensemble and Eq. (11) simplifies to the following:

.44

14

12 2

2

220

TTE

TTE

TTEСС 12

Maximum value of С at the melting point is therefore given by

,4 2

2

max,m

N TEC

13

which is consistent with the previous results obtained by the canonical approach [11,16,23].

Now we come back to the grand canonical relation (10) to look at the dependence of the critical melting number of particles on the melting temperature (we drop the subscripts to simplify the discussion). Eq. (10) represents heat capacity as a function of two independent variables, and N. However, physically it is obvious that if we fix the number of particles, then the heat capacity must reach the same maximum quantity, as is determined from canonical ensemble calculations. This allows us to use Eq. (13) in the grand canonical expression (10) to obtain explicit relation between the number of particles and the temperature at the melting point. Substituting Eq. (13) to Eq. (10) and using NE at the melting point, we obtain

,1442

TN

TN

TTT

14

161

where N must be understood as the average number of particles (the actual number can fluctuate). It is the cubic algebraic equation for the number of particles N. To obtain the explicit dependence N(T) we generally need a particular relation of T to and N. For example, in the Dulong-Petit limit we obtain

03216322

31 2

2

2

22

2

23

2

2

TNTNN

T 15

In general case this equation can be much more complicated and depend on the particular properties of the system.

However, in the zeroth order in TT / we obtain a very simple relation

.4

)(

ccI

m NT 16

We would emphasize that our approach deals with the chemical potential and the number of particles instead of the cluster radius, as it was done previously in phenomenological classical theory of melting in spherical finite systems [26-28]. In principle it allows the study of clusters of any shape, formed by complex particles with various interaction energies. The expression only requires the temperature and size dependence of the chemical potential. 5. Size dependence of the melting temperature Previously we concentrated on the phase transformation in an open cluster caused by the change of particles number. However, our results also determine the melting temperature once the number of particles in the cluster is given. This allows us to relate the melting temperature to the cluster size and explain the deviation from the simple classical result.

For the bulk case, i.e. when cN , we approach the true phase transition point when 0cN , so that

)()( lim cImN

bm TT

c

Although it is impossible to calculate this limit explicitly, we can use simple arguments to estimate the relation ./ )()( b

mcI

m TT . Let us write the chemical potentials of the solid and liquid cluster as a sum

162

)(,

)(,,

surLS

bLSLS of the bulk part )(

,bLS and surface part )(

,surLS .

When N , both surface parts tend to zero, but the bulk parts approach each other. This means that the bulk melting temperature can be represented by the same relation as Eq. (16), but without the surface contribution in the chemical potential. As a result the ratio )()( / b

mcI

m TT is given by

,21 2)(2)()()(

)(

)(

)(sursur

surb

b

bm

cIm BB

TT

17

where constant В depends only on the bulk properties of solid and liquid systems through the chemical potentials, and )()()( sur

Lsur

Ssur .

Note, the expression (17) is valid for any shape of cluster. On the other hand there is well-known classical result [26-28] for a spherical droplet

,1)(

)(

RC

TT

bm

cIm 18

where С is some positive constant and R is the cluster size. Even at this step it can be seen that the ratio )(cI

mT )(bmT approaches unity in a

different way in Eqs. (17) and (18), because of the pre-factor containing surface contribution to chemical potential.

Experimental observations of a size-dependent melting (see e.g. [29-31]) mainly concentrated on the identification of shell closing and the corresponding variation of the melting temperature. However even if we only consider the closed shells there is notable difference in behavior of the melting temperature with changing cluster size. Experiment [29] clearly indicated that the data cannot be fitted by the classical result (18), and the cluster melting cannot be extrapolated to the bulk value. To address this question we simplify Eq. (17) for the case of spherical cluster using the simple Tolman formula for the surface tension of a cluster [32-34]

R 210

where 0 is the tension of a plate surface and 8 is the Tolman length. After some algebra, Eq. (17) takes the form

163

,21 2

22**

)(

)(

RB

RB

TT

surb

b

bm

cIm

19

where B* again contains only the bulk quantities, LS , and we neglected terms proportional to 0/ . First notable feature as compared to the classical formula is the last term in the brackets, which can be quite essential for very small clusters. But what is more important, there is a non-unity pre-factor in Eq. (19), which is strongly dependent on the surface characteristics. On Fig. 2 we show the best fit of our result (19) to the experimental data [29], which could not be explained by the simple formula (18). The explicit expression for )(sur essentially depends on the particular type of atoms, their interaction and experimental conditions. Of course 0)( sur when N , but this term governs the deviation from the classical behavior for the intermediate size of clusters observed in experiment.

164

6. Conclusions It was suggested previously [6,8], that protein crystals should

nucleate to a stable disordered aggregate and crystalize when some certain critical size is reached. To understand the underlying physics of the simulation [6], we proposed a semi-phenomenological model for a phase transformation within a Unite system with changing number of particles. It is particularly related to the study of nucleation processes in colloidal systems, when the phase transformation within a cluster can occur [6,9,10]. In contrast with the bulk system, the liquid-solid transition within a cluster is not a true first order phase transition, but a continuous one, characterized by maximum of its specific heat. This phase transformation can be achieved in two different ways. First, we can keep the cluster size fixed and change temperature. The semi-phenomenological theory of this kind of transition is well developed [11,16,23]. Second possibility is the isothermal growth of a cluster, which is the object of present study.

Extending the two-state cluster model [16,23], we treat cluster as a grand canonical ensemble. This allows us to obtain the general thermodynamic relation between the melting temperature of the cluster and its size, which resolves deviations from the classical prediction of melting temperature behavior. Our results agree qualitatively with available experimental data [29].

Acknowledgements This work is supported by the NSF Career Award (Che-0093210) and the Camille Dreyfus Teacher-Scholar Award. The authors appreciate useful discussions with Dr. Aleksei Lo-makin. We would also thank Dr. Michal Kolar for careful reading of the manuscript. References [ 1] A.C. Zettlemoyer, Nucleation, Marcel Decker, New York, 1969. [21 A.C. Zettlemoyer, Adv. Colloid Interface Sci. 8 (1977) 89. [3] V.V. Slezov, J. Phys. Chem. Solids 59 (1998) 1507. [4] N. Asherie, A. Lomakin, G.B. Benedek, Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 4832. [5] A. Lomakin, N. Asherie, G.B. Benedek, J. Chem. Phys. 104 (1996) 1646. [61 A. Lomakin, N. Asherie, G.B. Benedek, Proc. Natl. Acad. Sci. 100 (2003) 10254.

165

[7] R. Zangi, S.A. Rice, Phys. Rev. E 68 (2003) 061508. [8] V. Talanquer, D.W. Oxtoby, J. Chem. Phys. 109 (1998) 223. [9] PR. ten Wolde, D. Frenkel, Science 277 (1997) 1975. [10] D. Frenkel, Physica A 313 (2002) 1. [11] B.M. Smirnov, Phys. Usp. 37 (1994) 1079. [12] R.S. Berry, J. Jellinek, G. Natanson, Phys. Rev. A 30 (1984) 919. [13] J. Jellinek, T.L. Beck, R.S. Berry, J. Chem. Phys. 84 (1986) 2783. [14] R.S. Berry, T.L. Beck, H.L. Davis, J. Jellinek, Adv. Chem. Phys. 90 (1988)75. [15] D.J. Wales, R.S. Berry, J. Chem. Phys. 92 (1990) 4283. [16] R.S. Berry, B.M. Smirnov, J. Chem. Phys. 114 (2001) 6816. [17] K.J. Stranburg, Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 161. [18] P.J. Steinhardt, D.R. Nelson, M. Ronchetti, Phys. Rev. В 28 (1983) 784. [19] S. Consta, R. Kapral, J. Chem. Phys. 111 (1999) 10183. [20] S. Consta, J. Mol. Struct. Teochem. 591 (2002) 131. [21] S. Consta, K.R. Mainer, W. Novak, J. Chem. Phys. 119 (2003) 10132. [22] PR. ten Wolde, Numerical study of pathways for homogeneous nucleation, PhD thesis, University of Amsterdam, 1998. [23] R.S. Berry, B.M. Smirnov, J. Exp. Theor. Phys. 98 (2004) 366. [24] R.E. Kunz, R.S. Berry, Phys. Rev. E 49 (1994) 1895. [25] L.D. Landau, J.B. Sykes, M.J. Kearsley, E.M. Lifshitz, L.R Pitaevskii, Statistical Physics, Course of Theoretical Physics, vol. 5, Butterworth- Heinemann, Stoneham, MA, 1980. [26] P. Pawlow, Z. Phys. Chem. 65 (1909) 545. [27] M. Takagi, J. Phys. Soc. Jpn. 9 (1954) 359. [28] K.J. Hanszen, Z. Phys. Chem. 157 (1960) 253. [29] T.R Martin, U. Naher, H. Schaber, U. Zimmermann, J. Chem. Phys. 100 (1994)2322. [30] M. Schmidt, R. Kusche, W. Kronmtiller, B. van Issendorff, H. Haberland, Phys. Rev. Lett. 79(1997)99. [31] M. Schmidt, R. Kusche, B. van Issendorff, H. Haberland, Nature 238 (1998)393. [32] TV. Bykov, X.C. Zeng, J. Chem. Phys. 111 (1999) 10602. [33] F. Bresme, J. Phys. Chem. В 106 (2002) 7852. [34] J.C. Barrett, J. Chem. Phys. 120 (2004) 7636.

166

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ОБОБЩЕННЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДИФФУЗИОННЫМИ ПРОЦЕССАМИ Григорьева О.Е. Волгоградский государственный технический университет

В работе рассматриваются управляемые случайные процессы в неоднородных средах. В связи с этим формулируется задача обобщенного оптимального управления диффузионными процессами. Доказаны топологические свойства множеств стохастических обобщенных управляющих функций и существование решения задачи обобщенного оптимального управления системой стохастических дифференциальных уравнений Ито.

Многочисленные характеристики анизотропных сред

определяются явлением диффузии, обусловленным многомерным процессом броуновского движения. Управление стохастическими системами имеет свои особенности. В частности, управление такими системами является случайным процессом.

Управление может вводиться в систему таким образом, чтобы изменять основные характеристики среды. Например, броуновское движение зависит от температурного поля, т.е. во многих задачах можно рассматривать в качестве управления температуру, и диффузию предполагать управляемой Управлении системой требует знания топологических свойств множества управляющих функций, на котором минимизируется соответствующий функционал g . Исследование задач оптимального управления показало, что во многих случаях минимум функционала g на множестве измеримых управляющих функций не достигается. Этим было вызвано введение множества обобщенных управляющих функций. Обобщенная управляющая функция – это функция со значениями в множестве некоторых вероятностных мер на множестве управления. Такие функции в детерминированном случае исследовались Дж Варгой [1]. Аналогичные конструкции

167

рассматривались в вариационном исчислении (“обобщенные кривые”), в теории управления дифференциальными уравнениями (“скользящие режимы”, “обобщенные управления”, “предельные управлении “). Обобщенное стохастическое управление стохастическими дифференциальными уравнениями Ито с непрерывными правыми частями и существование оптимального обобщенного управления исследовалось У.Флемингом. При некоторых предположениях множество измеримых управляющих функций T плотно в множестве обобщенных

управлений T , а T является компактным в смысле слабой топологии выпуклым подмножеством пространства измеримых функций со значениями в множестве мер Радона. Поэтому существует минимизирующее обобщенное решение при более общих предположениях, чем обычное. Кроме того, при почти столь же общих предположениях существует минимизирующая последовательность обычных решений, сходящаяся к минимизирующему обобщенному решению – минимизирующее приближенное решение. Далее, TT gmingmin , поэтому если выполняется строгое неравенство, то в некоторых случаем имеет смысл уменьшить значение функционала, построив минимизирующее приближенное решение. Обозначим Sfrm множество мер Радона,

Sfrm множество положительных мер Радона, Srpm –

множество вероятностных мер, SBΣ -борелевскую -алгебру на S.

Пусть Ω ,T , R ─ компактные метрические пространства, SfrmS

, rpmp , ),,( pΣΩ ΩT , ),,( T

BΣT ─

пространства с мерами, ),,( pΣΣT TB

ΩB - их

произведение. По теоремам 1.4.47. и 1.4.49. [1] TΩ

BTB

ΩB ΣΣΣ и TΩfrmp . Поэтому

определения и теоремы 1У. 2.5. [1] для множества Τ и меры сохраняются для произведений TΩ и p . Приведем с учетом этого основные обозначения.

168

Обозначим R пространство действительных чисел, SC ─ пространство непрерывных ограниченных функций RSc : с

нормой sccSs

supsup

, ,, 21 cc ─ всюду плотное

подмножество из SC . Обозначим также drrcc

Rfrm , и определим слабую норму на множестве

Rfrm :

1sup

12

j j

jj

cc

. Обозначим

1

1 ,,1 SSBΣS положительное конечное пространство с мерой, 2S

─ сепарабельное метрическое пространство, X ─ сепарабельное банахово пространство. Пусть X;S,μ,Σ,SX;S,S S

SB 2121 1

1ΒΒ пространство классов

эквивалентности функций XSS 21: таких, что выполняются условия: 1) X,Ss 2, C1 11 Ss ; 2) функция 21 sss ,1 ,

1S ─ измеримая функция; 3) существует такая

1S ─интегрируемая функция R1: S ; что выполняется

неравенство: 1ss ,1 11 Ss ; 4) два элемента

X;S,S 2121 , Β совпадают тогда и только тогда, когда

,, 121 ss 1 , 1S ─ почти всюду в 1S . Тогда функция

1sup 1

, dss s 1 является нормой в

X;S,S 21Β и X;S,S 21Β сепарабельное пространство [1].

Обозначим nR, R;T Β и ,...},{ 21 всюду плотное

подмножество ,...},{ 21 .

169

Пусть множество классов эквивалентности р -измеримых функций

)),((:w

RfrmT таких, что

)(),(sup Rtessp , и элементы 21 , ,

ptt ),(),( 21 почти всюду. По теореме Данфорда

Петтиса функции ,

, где

)(),(sup Rtessp ,

1 1

)(),(,,2j

Bj

j dtttE

являются

соответственно, сильной и слабой нормой в .

Обозначим }1/{ U . По теореме 4.1.11[1] если

,...)2,1(, jUj , то j

lim j в пространстве w

,

тогда и только тогда, когда )(),(,,)(),(,,lim dtttEdtttE jj

для

всех .(1) Пусть множество р измеримых функций

RTΩ : , })),(/{ Rrpmt .

Пусть ],[ 10 ttT , TttΣ ─ неубывающее семейство ─алгебр

из ΩBΣ .

Определим множества: }измерима),(/{ Ttt tT

},всюдупочти)),(/{ν μpRrpmtT

170

,}измерима),ν(/{ν TtΣt tT

(2)

RΤΩt tT

:некоторогодля

,/νν ),(

,

где r ─ мера Дирака в точке Rr

}1/{ν TTU .

Назовем элементы из и , соответственно, обычными и обобщенными стохастическими управлениями. Из определений (2) следует: Τ UUΤ , Τ . Кроме того, в теореме 1У.2.1. [1] показано, что U . Отсюда следует, что

U . Обратно, если U , то . Значит,

U . Пусть теперь . По теореме 1У.1.6 [1]

функция tt ,, p ─ измерима тогда и только

тогда, когда функция drtrctc ,, p ─

измерима для каждого Rc C . Фиксируя Tt , из этого утверждения получаем также, что функция ),( tс t ─

измерима t, t ─ измерима тогда и только тогда, когда

функция для каждого Rc C )( Tt . Отсюда следует, что

T тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) )(),(sup Rtessp ,2) функция

tсt ,, t ─измерима для каждого Rc C ,3)

функция ),( tс t ─ измерима для каждого Rc C

)( Tt . Поэтому если TR и

),(),ν( tt вcюдупочти μp , то функция

171

tсtсt ,,, p ─ измерима, и функция

tс , t -измерима для каждого Rc C )( Tt . Значит, в силу непрерывности функции с функция

RTΩ : p -измерима, и функция t, t -

измерима )( Tt . Следовательно, T . Верно и обратное

утверждение: если T , то функция ),(),( tt

принадлежит T . Таким образом, между множествами T и

T существует взаимно-однозначное соответствие. Отождествим

T с функцией ),(),( tt из T и таким образом,

вложим T в множество T . Имеет место следующая теорема. ТЕОРЕМА 1 . Множества TU и T компактны. Множество

T является замыканием множества T в пространстве

w

, .

Пусть pRssB

ppS ,μΣ,SLL 22 ─ пространство sμ ─

интегрируемых с квадратом функций pR: Sg . Для 1p

положим 22

Sp

S LL . Обозначим 2t0

L пространство

kR;00

2tt ,pΣΩ,L . Пусть ;X),Sμ,Σ,(S;X),S(S s

sB 21

221

2

1

1

пространство функций, удовлетворяющих условиям 1)4), для которых R,, ;

1

11

2s

sBΣSL

Пусть mRTΩ,...,w,www m :)( T21 ─ винеровский

процесс, где приращения )w(h,),hw(t не зависят от

- алгебры )( Ttt . Пусть nΩy R:0 ─ случайная

величина, не зависящая от процессов ).,...,2,1( nkwk Пусть

172

σΣ t ─алгебра, порожденная случайными величинами 0y

и ),(tw)(t,w kk 0 . Обозначим Y пространство p -

измеримых функций nTΩy R: , удовлетворяющих

условиям: 1) ty , t ─ измерима Tt ; 2)

2sup tyETt

, ; 3) два элемента Yyy 21 , совпадают

тогда и только тогда, когда tyty ,21 , п.н. )( Tt .

Тогда функция 21

2,sup

tyEyy

Tt является

нормой в Y и Y банахово пространство. Обозначим cY пространство функций Yy таких,

что )(),( Ty nC (п.в. ). Обозначим WXB , пространство непрерывных линейных операторов WXF : с нормой xFF

x 1sup

.

Пусть )f,...,f,(f n1

21

11

T1f , );,( nn1 RRf RT ,

nm2

2n2

1n2

m22

222

212

m12

122

112

,2

fff

ffffff

)(

jif2f

mjni ,,2,1;,,2,1 .

где nmBRT RRRf n2 ;;, , .

ТЕОРЕМА 2. Предположим, что 2fk TL 21,k . Тогда

1) для каждого TYy , существуют интегралы

173

dydttt

t

t

t

y 00

/ ,,,,,1 1ff ,

,,,,,,,00

, dwytdwtt

t

t

t

y 22 ff ,

2) если, кроме того, ,,lim yy jjj

, то

dydttt

t

t

t

y

j

jj

00

/ ,,,,,lim 1 1ff

tdwttdwtt

t

yt

t

y

j

jj ,,,,lim00

/ ,

22 ff .

Обозначим H множество TTYy , , удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению

,,,,,f

,,,,f,

0

0

2

10

dwy

dyyty

t

t

t

t

(3)

Пусть RR, n R;Th Β ТЕОРЕМА 3. Предположим, что выполнены условия теоремы 2 и для некоторого 0k имеет место неравенство 212121 ,,,,,,,, yykrytrytrytryt 2211 ffff

для всех nyyRTrt R 21 ,,, . Тогда множество H непусто и существует решение задачи

.,,,,min1

0

dtttythEt

t

H.

Доказательство основных результатов статьи.

174

Д о к а з а т е л ь с т в о ТЕОРЕМЫ 1.: 1. Компактность множеств TU и T

Так как UU T и U - компактное множество, то достаточно

показать, что TU замкнуто в U . Пусть ,...2,1 jUTj и

.lim jj

Тогда по условию (1)

)(),(,,)(),(,,lim dtttEdtttE jj

для всех , например, для rctrt T ,,, , где

Rc C . Отсюда следует, что

)(),()(),(lim dttcEdttcE jj

.

Таким образом, что существует подмножество NJ такое, что ),(,lim tctc jj

p почти всюду для в Ω для

почти всех Tt . Предположим, что последнее равенство имеет место для Tt , где 0\ TT . Значит функция

),( t t измерима Tt в силу непрерывности

функции c . Возьмем теперь любое Rfrm и положим:

TtTtt

),(приˆ),(при),(

Тогда функции и отличаются на множестве TT \ , для которого 0\ TTp . Кроме,

того, функция ),( t t измерима при каждом Tt .

Поэтому TU . Значит множество TU замкнуто в U . Далее по теореме 1У.2.1. [1] множество компактно.

175

Таким образом, TT U компактно как пересечение компактных множеств. 2. Множество T является замыканием множества T

в пространстве w

, .

Пусть . Разобьем множества R и Τ на непустые

борелевские подмножества ikR ikk ,,2,1 и i

jΤ

ijj ,,2,1 диаметра не более i

R ik

1diam ,

i

Τ ij

1diam . Положим ijΤ

ik

ijk dtRtΕ , , тогда

ik

kij

ijk Τ1 . Разобьем далее множество i

jΤ на

подмножества ijkΤ ikk ,,2,1 так, что i

jkijΤ .

Возьмем любую точку ik

ik Rr и положим

iki rt ,

ij

j

ijkΤt

1, . Тогда функция

tt i ,, p измерима, и функция ti ,

t измерима ,2,1, iTt . Покажем, что it

lim . Для

этого по лемме 1.У.2.4 [1] и теореме Фубини достаточно показать, что

dttctΕj

,,flim для любых ΤΩ Cf и

Rc C . Пусть ,f и c модули непрерывности

функций, соответственно ,f , c и ijt произвольная точка

из ij . Тогда получим следующие оценки:

176

ik

k

ij

ji

kik

kR

ik

ik

kR

ik

ik

kR

i

ijk

ik

ik

ik

dttrcΕdrtrcdttΕ

drtrcdttΕdrtrcdttΕ

dttctΕdtttΕ

1 11

11

,f,,f

,,f,,f

,,f,c,f

Имеем, далее: 01

iic , 0, 1

f ii . Так как,

кроме того, sup

1f f2, i , то 0, 1

f iiΕ . Поэтому

правая часть неравенства стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и его левая часть. ТЕОРЕМА 1 доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о ТЕОРЕМЫ 2. По теореме IV.1.6 [1] функция tt y ,f, ,

1 p ─интегрируема для каждого

Yy , . Отсюда

следует, что dttt

t

y ,f0

/

1 (п.н.).

177

По теореме IV.1.6 [1] функция tt y ,f, ,2 p ─

измерима, и функция ty ,f ,2 tΣ -измерима Tt для

каждого Yy , . Кроме того, имеем неравенство:

2

0

, ,2 2 2f , f , , , sup f , , ,

ty y y

t

t t r t dr t r t f

при каждом TYy , п.в. в T . Поэтому

2,

2f ,yE t dt , 2,

2f ,y t dt (п.н.).

Отсюда следует существование интеграла

tdwtt

t

y ,,f0

,2 .

Утверждение 2) следует из условия теоремы и сходимости интегралов (1). Обозначим 1 2( , )x xL расстояние по Прохорову между случайными величинами 1 2,x x . Д о к а з а т е л ь с т в о ТЕОРЕМЫ 3. 1) Пусть H,, jjу ,...2,1j . Тогда в силу компактности множества

T существуют такие T и NJ , что

Jjjj

,lim . Далее, по лемме Ито и Нисио множество

HYpr L вполне ограничено. Следовательно, по теореме

Скорохода [3] существует последовательность Njjy

ˆ и

случайная величина y на вероятностном

пространстве 1,0,, 1,0Bp такие, что

ˆ, 0,j jy y L ,ˆˆlim yy jj

п.н. в nRC ,T . По теореме 2

имеем:

178

dttdttt

t

yt

t

y

j

jj ,f,flim0

/

0

/ ˆ11

,(4)

tdwttdwtt

t

yt

t

y

j

jj ,,f,,flim0

/

0

/ ˆ22

.

Значит, ,y удовлетворяет уравнению (3), т.е. H,y . Следовательно, множество H компактно. Пусть ,,lim yy jjj

. Аналогично (4):

1 1

0 0

lim , , , , , ,t t

j jjt t

E h y t t dt E h y t t dt

.

Отсюда следует непрерывность функции

1

0

, , , ,t

t

y E h y t t dt . Значит, минимум этой

функции на множестве H существует. ТЕОРЕМА 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА [1] Дж. Варга Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977─ 623 с. [2] У. Флеминг, Р. Ришел Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами.─ М.: Наука, 1978. ─ 316 с.

179

СТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ЛЕПЕСТКОВЫХ СТРУКТУР В МУЛЬТИМОЛЕКУЛЯРНОЙ КИНЕТИКЕ .

Е.Н. Рыжов, М.Б. Белоненко Волгоградский институт бизнеса Волгоградский государственный технический университет

В статье исследуются алгебраические свойства формообразования двухлепестковых структур в химических гомогенных смесях. Выведены кинетические уравнения и получена конечномерная алгебра Ли формообразования двухлепестковых структур.

Введение. Нелинейные явления, в химических средах связаны с возникновением критических состояний вещества. Строение таких структур определяется нелинейными членами полиномиальных векторных полей, касательных к траекториям в их окрестности. Например, в случае разложения потенциальной функции, определяющей течение неньютоновских жидкостей такие точки являются неморсовскими. Для исследования сложных критических состояний, рядом авторов [1,2] предлагается введение подходящего возмущения для расщепления исходного сложного состояния равновесия на ряд изолированных состояний. Исследование расщепленной критической структуры в окрестности каждого из изолированных состояния уже доступно с помощью первого метода Ляпунова и позволяет визуализировать ее расщепленную геометрию, т.е. построить фазовый портрет. При этом получается однопараметрическое семейство фазовых портретов, геометрия которой гладко зависит от параметра расщепления на левой и правой полуокрестностях .кр . Гладкая зависимость от параметра в некоторой его окрестности, гарантирует корректность обратного хода предлагаемой процедуры исследования к фазовому портрету исходной структуры. При этом состояния расщепленной структуры сливаются с образованием фазового портрета исследуемой структуры. Корректность предельного перехода определяется наблюдаемостью со сколь угодной точностью формирования

180

структуры как с точки зрения численного эксперимента, так и физического. Данная статья развивает подход [3] в приложении к критическим структурам в химических средах. Этот подход, по своей сути, алгебраический. Он опирается на теорию конечномерных алгебр Ли и основан на построение расщепляющих потенциалов, определяющих корректное расщепление критической структуры. Ранее авторами данной статьи было дано теоретическое обоснование критических структуры петлевого характера при двухмодовой лазерной генерации [4] и исследован механизм образования многолепестковых структур в гомогенной кинетике [5, 6]. Искомое расщепление при этом является решением системы операторных уравнений [3] :

181

)3.0(0)()2.0(],[

)1.0(,,,, 21

grotg

yyxg

xyxgg

где ],[ g ─ скобка Ли векторных полей: векторного поля касательного к критической структуре, векторного поля расщепляющего потенциала. Двухлепестковая структура представляет собой образование, склеенное из двух ячеек эллиптического типа (см. Рис.1) . Из Pис. 1 видно, что такая геометрия описывается эволюционной системой нелинейных кинетических уравнений концентраций компонент реагирующей смеси. Рис.1 наглядно указывает на то, что производство одного из веществ при достижении некоторого порогового значения концентрации подавляется производством другого, что и приводит к образованию петель в фазовом пространстве концентраций. Прежде всего заметим, 1) конфигурация структуры на рис.1 указавает на то, что соответствующие полиномиальные компоненты векторных полей следует искать среди полиномов не ниже второго порядка. 2) в кинетические уравнения входят константы реакций и следовательно, коэффициенты полиномов правых частей системы кинетических уравнений должны удовлетворять основным положениям формальной химической кинетики [6]. Этих двух замечаний вполне достаточно, чтобы ставить задачу обнаружения подобных структур в в пространствах состояний химической кинетики. Таким образом, решение задачи геометрического формирования двухлепестковых структур в условиях гомогенной смеси распадается на решение двух подзадач: 1) задача геометрического моделирования формобразования петель, 2) задача согласования геометрического моделирования двухлепестковой структуры с постулатами химической кинетики.

182

1. Вывод полиномиальных кинетических уравнений формирования двухлепестковой структуры в условиях гомогенной смеси. Рассмотрим шестипараметрическое семейство полиномиальных векторных полей

22222121

2121

22122112

2111 ,

bxaxaxaxbxaxaxax

(1) где ba, нуль векторных полей семейства (1), относительно которого предполагаем , что он единственен в любой своей окрестности, конечного диаметра. Не теряя общности, параллельным переносом переместим данное семейство в начало координат, т.е. сделаем замену переменных

11 yax , 22 ybx . Перенесенное шестипараметрическое семейство векторных полей (1) перепишется в следующем виде:

22222121

2121

22122112

2111

0 , yyyyyyyy

Соответственно операторная запись векторного поля примет вид :

2

22222121

2121

1

22122112

2112 y

yyyyy

yyyy

(2) Тогда в терминах качественной теории динамических систем формулировка задачи двухлепестковой структуры принимает вид : Найти класс макроскопических кинетических уравнений многокомпонентной гомогенной смеси таких, что: 1) критическая структура системы кинетических уравнений является двухпетлевой в фазовом пространстве концентраций реагирующих веществ; 2) коэффициенты ij зависят от констант скоростей реакций линейным образом согласно законам химической кинетики [6]. Первая задача геометрическая по своему содержанию, вторая является задачей согласования существования двухлепестковой структуры с основными положениями феноменологической кинетики .

183

Решение этих двух взаимосвязанных задач дает конструктивное решение проблемы существования двухлепестковой динамики в гомогенных смесях. Вследствии полиномиальности компонент векторных полей, однозначно востанавливается шестипараметрическое семейство систем дифференциальных уравнений для интегральных линий векторного поля:

222221212

2121

2

221221112

2111

1

yyyydt

dy

yyyydtdy

(3)

Линеаризация семейства систем (3) в окрестности состояния равновесия дает шести параметрические матрицы линеаризации вырожденные в начале координат. Представим векторное поле в виде суммы двух 21

, где 21212212

21111 , yyyy

,

2121

222221122 , yyyy

или в операторном

представлении:

2

21211

2212

2111

1

yyy

yyy

,

(4)

2121

2222

12112

2 yyy

yy

2y

(5) Отметим, что в окрестности начала координат линеаризация каждого из элементов полученных трехпараметрических семейств вырожденна. Соответствующие семейства однозначно определяют трех параметрические системы следующих дифференциальных уравнений:

.,

б.,

,. 2

22221211

21121

21212

2212

21111

yyyyyy

yyyyyy

а

(6.а., 6.б.)

184

Вывод кинетических уравнений формообразования лепестков вдоль координатных осей 1OX , 2OX . Далее, определим параметры систем, при которых их фазовые портреты будут заполнены лепестковыми структурами, ориентированными вдоль

1OX , 2OX . Простейший механизм образования двух лепестковой динамики [5] приведен на Рис. 2 .

Из вида Рис.2 заключаем, что необходимо ввести в правые части систем расщепляющие возмущения. Причем в окрестности состояний равновесия фазовые портреты расщепленных уравнений должны быть локально устроены по типу узла. Тогда в пределе исчезающего источника возмущения индекс Пуанкаре сложного состояния равновесия будет равен 2 , что как раз и соответствует наличию двух склеенных элиптических ячеек. Векторное поле расщепляющего потенциала попытаемся найти в классе линейных векторных полей, т.е. ищем оператор :

2

2221211

2121113

yyy

yyy

.

Решение системы операторных уравнений (0.1─0.3) дает коэффициенты 11 , 22 , 0,0 1221 векторного поля линейного источника возмущения для систем (5.а.), (5.б.) соответственно, где ─ положительный параметр расщепления. Векторное поле источника расщепления является безвихревым rot u и искомый расщепляющий потенциал имеет вид :

22

2121 22

, yyyyU .

Уравнения расщепленной динамики соответственно для систем (6.а., 6.б.), тогда принимают вид :

185

22222

21212

121121

221212

12212

21111 б.

,,

а.yyyy

yyyyyyyy

yyyy

(7.а., 7.б.) На оси 1OX имеются два состояния равновесия системы (7.а.) :

0,011p ,

0,

11

21p ,

1221

1121

21

,

31,41p , .

Для того, чтобы обеспечить необходимые условия образования петель, состояния равновесия 31p , 41p должны быть исключены.

Это возможно при выполнении условий 011 , т.е. 111 ,

1121 , 21 . Учитывая введенные параметры получим матрицы линеаризации для уравнений расщепленной динамики (7.а.) в соответствующих состояний равновесия 1p1 , 1p2 :

10

0,

00

Из жорданового строения этих матриц следует, что окрестность начала является неустойчивым узлом. Для образования лепестка достаточно потребовать локальной диссипативности уравнений расщепления в окрестности состояния равновесия 21p , т.е.

01

. Из чего видно, что условие исключения состояний

равновесия 31p , 41p является достаточным для выполнения требуемого свойства. Параметр определяет расстояние между

186

состояниями равновесия расщепленной динамики 1p1 , 21p :

112d 21 p,p . Вследствие этого, область расщепления можно

сделать сколь угодно малой. При 0d012

211 p,p происходит

формирование петлевой структуры ортогональной оси 1OX и

вытянутой вдоль оси 2OX . Векторное поле полученных уравнений имеет вид:

22112212

211

1 , yyyyyy

. Проводя аналогичные построения в отношении системы (7.б.), получаем векторное поле двухлепестковой структуры:

1222

2121221

2 , yyyyyy

. Матрицы линеаризации ля состояний равновесия для состояний

12p , 22p :

0

01,0

02

Совершенно аналогичные рассуждения приводят к достаточным условиям формирования двух лепестковой структуры для коэффициентов второй системы. Таким образом, две двух лепестковые динамики систем (7.а.), (7.б.) формируются по двум взаимноортогональным направлениям. 2. Алгебра Ли и формирование двухлепестковых структур. Для обеспечения конечномерности алгебры Ли и выполнения принципа нелинейной суперпозиции [7] потребуем выполнение коммутационного условия 0, 21 . Операторная запись векторных полей (4), (5) является инфинитеземальными образующими сответствующих локальных групп преобразований фазового пространства систем (6.а.), (6.б.). Для того чтобы операторная запись суммы векторных полей 21 ,

была инфинитезимальной образующей достаточно выполнения принципа нелинейной суперпозиции слагаемых этой суммы,

187

введенного и доказанного в работе [7]. Подставляя компоненты 21 , векторных полей, в 0, 21 , группируя слагаемые

при одинаковых степенях и приравнивая выражения в скобках к нулю, получаем следующую систему уравнений на константы скоростей реакций: 02 2

12211 , 02 1 ,

02 2 , т.е.

2 , 21 , 21221 .

(8) В этих условиях при фиксированном получаем трехмерную алгебру Ли, натянутую на образующие (базис алгебры Ли) 21 , ,

3 над полем вещественных чисел (см. Табл. 1), где 0, 21 ,

131 , , 232 , . Полученная алгебра является

трехмерной 3dim L нильпотентной с индексом нильпотентности 2ind L , т.е. второй коммутант является тривиальным идеалом. Первый коммутант является двумерной и абелевой подалгеброй LL,L 1 ,

32121 ,,, LL1 . Таким образом, задача существования двухлепестковой структуры сводится к задаче существования оператора ее расщепленного векторного поля , лежащего в линейной

оболочке: 321 ,, L ,где i

ii

i y

3

1 ,

Ri . С учетом (8), уравнения для

определения кинетических кривых

расщепленной структуры принимает следующий вид

уравнений,

Табл.1. Коммутационная таблица алгебры 1 2 3

1 0 0 1 2 0 0 2 3 1 2 0

188

зависящих от трех параметров:

2222112212112

21212

12212212112

2121121

22

yyyyyyyyyyyy

,

где правые части являются компонентами векторного поля расщепленной структуры. Полученная система имеет два стационарных режима:

00,0M ,

122112211221

,

M

Линеаризация системы расщепленной структуры дает две матрицы линеаризации в точках 0M ,M :

0

0,

00

При 0 , 0MM и происходит формообразование лепестковой структуры. При этом 21

0

321 ,,,,

LL .

С точки зрения наложения фазовых портретов систем, происходит возмущение траекторий одной двухлепестковой структуры вдоль оси 2OX другой ─ вдоль оси 1OX . В результате возникает новая двухлепестковая структура, определяемая геометрической суммой этих двух векторных полей.

3. Механизм формообразования двухлепестковых структур. Выведенные кинетические уравнения гомогенной смеси позволяют определить возможные механизмы формообразования лепестковой структуры. Например, механизм, описываемый кинетическими уравнениями:

246135

2462222213

21112

1352222213

21111

yqckyqckqqyckyckyykyckyqyckyckyykycky

,

189

где ik , 654321 ,,,,,i ─ константы скоростей реакций, iС ,

4321 ,,,i ─ вещества, находящиеся в смеси в избытке, т.е. их

концентрации ic можно

считать постоянными [6]; qckq 35 при соотношении

констант скоростей реакций 6

5

4

3

kk

cc . Вещество Q расходуется

на образование веществ 12Y , 22Y . При 0

tq 0

формируется двухлепестковая структура. Алгебра Ли при t асимптотически стягивается к своему первому

коммутанту. На Рис.3. приведены результаты численного моделирования формообразования двухлепестковых структур. 4. Обратный ход процедуры расщепления и наблюдаемость двухлепестковых структур . В гомогенной смеси двухлепестковая структура будет наблюдаемой при определенных значениях констант скоростей

190

протекающих реакций стоящих при линейных членах кинетических уравнений. При этом существует область достаточно малого диаметра, которую траектории покидают и затем при достаточно больших временах возвращаются в нее. Область расщепления при этом может быть сделана сколь угодно малой ( в данном случае она является отрезком) с сохранение геометрических свойств фазового портрета в проколотой

окрестности 0. кр : 0,00

U . Литература. [1] А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, А.Г. Майер, И.И. Гордон Качественная теория динамических систем / М.: Наука , 1966.─ 665 с. [2] Р.Гилмор Прикладная теория катастроф: в 2─х книгах .Кн. 2Пер. с англ.─ М.: Мир,1984.─ 285 с., ил. [3] Рыжов Е.Н. Геометрическое интегрирование векторных полей расщепляющими возмущениями // Сер.: Автоматика и прикладные вопросы математики и физики. Вып. 3. Астрахань: АГТУ, 1997. С. 28─34. [4] М.Б. Белоненко , Рыжов Е.Н. Метод введения возмущения в качественном анализе динамических систем. // Известия вузов Физика №7 2006г. [5] М.Б. Белоненко, Рыжов Е.Н. Геометрические аспекты самоорганизации многолепестковых ячеек в химической кинетике. Материалы IV─ го межд. семинара по нелинейным процессам и самоорганизации в материалах Астрахань 3 ─5 октября 2003 . [6] Г.С. Яблонский, Быков В.И., А.Н. Горбань Кинетические модели каталитических реакций / - Новосибирск: Наука, 1983 - 496 с. [7] Журавлев В.Ф. О применении одночленных групп Ли к проблеме асимптотического интегрирования уравнений механики // ПММ -1986.- т.50, вып. 3. –С. 346 -352.

191

ДИЗАЙН СОЛИТОННЫХ РЕШЕТОК ЭЛЕКТРОНОВ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ О.Ю. Тузалина М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев*) Лаборатория нанотехнологий Волгоградского Института Бизнеса, ул. Южно-Украинская, 2, г. Волгоград, 400075, Россия *) Волгоградский Государственный Университет, ул. 2-я Продольная, 30, г. Волгоград, 400062, Россия, E-mail: mbelonenko@yandex.ru 1. Нанотрубки – это полые цилиндры микроскопического размера в длину и нескольких нанометров в диаметре, стенки которых состоят из одного или нескольких слоев атома углерода, образованных из шестичленных колец, стали в последнее время одним из основных объектов исследований. Отметим, что прогресс в исследованиях нанотубулярных форм углерода начинается с 1991 года с работы Ииджимы [1] и отечественных ученых [2]. Дальнейшие исследования при помощи различных методик показали, что нанотрубки обладают уникальными свойствами: проводимостью (полупроводниковой или металлической), очень высокой прочностью и рядом других свойств, обуславливающих буквально неограниченные возможности их применений, например в микроэлектронике [3-9]. Относительная простота строения углеродных нанотрубок и их квазиодномерность сделали данные вещества весьма популярными среди как теоретиков, так и экспериментаторов. Особенный интерес, как и следовало, ожидать вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы. В частности, нелинейные свойства углеродных нанотрубок, связанные с негармоничностью потенциала взаимодействия между соседними атомами углерода, исследовались при помощи редукции к уравнению КДФ в работах [10-12]. В отличие от указанных в данной работе предполагается сосредоточить внимание на нелинейных свойствах нанотрубок вызванных сильным взаимодействием

192

электронов, описываемых гамильтонианом Хаббарда и исследовать влияние на нелинейные свойства углеродных нанотрубок приложенного внешнего постоянного магнитного поля. Интерес к модели Хаббарда так же обусловлен и тем, что она является одним из кандидатов, претендующих на описание эффектов высокотемпературной сверхпроводимости. 2. Рассмотрим электроны, локализованные на атомах углерода в рассматриваемой нами нанотрубке, которые могут совершать прыжки с атома углерода на соседний атом углерода, причем, два электрона локализованные на одном атоме испытывают сильное кулоновское отталкивание. Гамильтониан задачи возьмем в традиционном виде, предложенном Хаббардом [13]:

jjj

j jjjjjjj

jjjjj

aah

aaaaUaa

aaaatH

2

)(0

, (1)

где jj aa , - операторы рождения, уничтожения электрона

на j-м узле (j={i, k}) со спином ( 2/1 ); t – интеграл перескока, 20 t эВ; U – энергия кулоновского отталкивания электронов на одном узле, 10U эВ; – химический потенциал, h -приложенное внешнее постоянное магнитное поле в направлении перпендикулярном оси нанотрубки. Заметим, что гамильтониан записан в нерелятивистском пределе малых скоростей, поскольку оценки показывают, что скорость электронов в углеродных нанотрубках меньше

410 м/с. Индексы i и k нумеруют атомы углерода в нанотрубке согласно обозначениям на рисунке 1.

193

Рис.1. Геометрия рассматриваемой задачи. Ось z вдоль оси нанотрубки.

Запишем для данного гамильтониана уравнение движения Гейзенберга для операторов:

H,aai jj (2)

и используем метод изложенный в [14]. Так, пробную волновую функцию нашей системы в момент времени t

)(t выберем в виде:

(3)

.0)0(

,0)(0)()0()()(

21

21

nn

nnnn

nn

aN

atatNtVt

194

и квадрат модуля функции )(tn определяет вероятность обнаружения электрона в момент времени t на узле n.

Полученные уравнения движения умножим на бра и кет вектора следующим образом:

)0(H,a0)0()t(a0t

i ff

,

и произведем согласно [14] следующее расщепление:

)0(0)0(0)0(0)0(0

)0(0)0(0)0(0

fkkf

fkkffkk

aaaa

aaaaaaa

(4)

Вспоминая теперь, что *ffff 0a)0(,)0(a0 , получаем искомые

уравнения движения в замкнутой форме. Данные уравнения можно получить и из условия минимума энергии для гамильтониана (1) с пробной функцией вида (2). Далее в работе будут рассматриваться углеродные нанотрубки предельно малого радиуса (геометрия задачи приведена на рис 1.). Предельно малый радиус здесь будет пониматься в том смысле, что в направлении вдоль окружности углеродной нанотрубки нельзя будет переходить к континуальному пределу. Также, согласно [15], в работе проведено разбиение решетки образуемой атомами углерода на две взаимодуальные подрешетки, так что электроны совершают лишь прыжки между подрешетками. Волновые функции для электронов находящихся в узлах различных подрешеток будем обозначать как и с соответствующими индексами (см.рис.1). Отметим, что подобное разбиение приводит к тому, что наши уравнения будут Лоренц инвариантными, где роль скорости света будет играть величина at 0 (a-постоянная решетки, 142,0a нм). В то же время особенность предлагаемого нами подхода в том, что считается, что вдоль оси нанотрубки характерные размеры, на которых существенно меняются величины j , j , много больше

195

расстояния между атомами углерода и, следовательно, можно сделать континуальное приближение:

......1

z

a ikikik

,

......1

z

a ikikik

Окончательно получившиеся уравнения будут иметь вид:

;

2)(

,

2)(

2

111

2

111

jjj

jjjjjj

jjj

jjjjjj

U

hz

az

ati

U

hz

az

ati

. (5)

Для анализа получившейся системы уравнений сделаем фурье-преобразование, используя периодические граничные условия вдоль окружности нанотрубки:

]1N,0[k,N2ikjexpN

N2ikjexpN

N2ikjexpN

N2ikjexpN

kj

21

k

kj

21

k

kk

21

j

kk

21

j

(6) где N – число атомов вдоль окружности нанотрубки.

196

Окончательно получаем, положив без ограничения общности 0 :

21

2121

21

2121

*

00

*

00

)(2cos22)2cos21(

,

)(2cos22)2cos21(

kkkkkkk

zkkkk

kkkkkkk

zkkkk

NU

Nkath

Nkti

NU

Nkath

Nkti

(7). 3. Полученная система уравнений остается еще

достаточно сложной для анализа. Рассмотрим сначала случай, когда возбуждена лишь одна мода колебаний с к=0. Этот случай, очевидно, соответствует колебаниям однородным вдоль окружности нанотрубки. Проведем дальнейшее упрощение системы уравнений и заметим, что используя свойство Лоренц инвариантности для бегущих возбуждений (т.е. амплитуды которых зависят лишь от величины z-vt), задача сводится к анализу системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

02

0000000

02

0000000

26

23

26

23

hUattiv

hUattiv

(8) где штрих обозначает дифференцирование по бегущей координате z-vt.

Следующим шагом рассмотрим более общий случай. Пусть N=6 (нанотрубка типа(6,0)). В этом случае система уравнений (7) будет замкнута, если предположить, что возбуждены только моды с k=0, k=3 или только моды с k=0, k=2, k=4. Иными словами полученная система уравнений замыкается для мод в центре и середине первой зоны

197

Бриллюэна, а также для мод в центре и лежащих на удалении в 1/3 от границ первой зоны Бриллюэна. В общем случае, такая редукция, полученной системы уравнений, связана с наличием абелевых подгрупп в группе трансляций вдоль соответствующего направления, и может быть связана с понятием буш-мод, рассматриваемых в [16, 17]. Так, в случае N=6, k=0, k=3 редуцируемая система уравнений имеет вид:

033002

32

03

330303

033002

32

03

330303

033032

32

00

000000

033032

32

00

000000

**6

2)(2

**6

2)(2

**6

2)(23

**6

2)(23

Uhatti

Uhatti

Uhatti

Uhatti

z

z

z

z

(9) Для изучения видов солитонных решеток и

возможности влияния на них постоянного электрического поля рассмотрим более подробно систему уравнений (7). Данная система дифференциальных уравнений решалась численно с использованием метода Рунге-Кутта восьмого порядка. Шаг схемы уменьшался в два раза до тех пор пока получившиеся с разными шагами результаты не отличались в 10 знаке после запятой. В расчетах были выбраны следующие значения параметров гамильтониана, оцененные при помощи MNDO метода [18] t=2 эВ, U=10 эВ, a= 0,142 нм. Как показали результаты численных расчетов, вид образующихся солитонных решеток определяется тем, больше ли их скорость v скорости «линейных возбуждений» в модели Хаббарда at02 .

198

В случае, когда скорость v больше at02 зависимость квадрата модуля волновой функции электрона m(t) от «бегущей координаты» z-vt , в случае отсутствия внешнего постоянного магнитного поля, имеет вид представленный на рис. 1, который типичен.

Рис.2. Зависимость модуля величины )( vtz от переменной z-vt в отсутствии магнитного поля. При включении магнитного поля начинает появляться дополнительная «модуляция» формы солитонной решетки, что представлено на рис. 3.

199

Рис. 3. Эволюция формы солитонной решетки при

приложении внешнего постоянного магнитного поля.Поле по сравнению с а) увеличено в б)-10раз; в)-20 раз; г)- 30 раз. Как показали результаты расчетов, и как представлено на рис. 3 глубина модуляции солитонной решетки периодически зависит от величины приложенного внешнего постоянного магнитного поля. Это позволяет, в частности, путем изменения внешнего постоянного поля создавать решетки плотности электронов углеродных нанотрубок, что является перспективным для применения в устройствах магнитооптики. В случае же когда скорость v меньше величины at02 зависимость квадрата модуля волновой функции электрона m(t) от «бегущей координаты» z-vt имеет вид представленный на рис. 4.

200

Рис.4. Зависимость модуля величины )( vtz от переменной z-vt в отсутствии магнитного поля.

Отметим, что в этом случае волновая функция электронов имеет более ярко выраженную «контрастность». При приложении постоянного магнитного поля солитонная решетка теряет устойчивость и начинает разрушаться (см. рис. 5).

Рис. 5. Распад солитонной решетки при приложении

внешнего постоянного магнитного поля. Поле по сравнению с а) увеличено для б) на 5%

201

Отметим, что при распаде солитонной решетки в случае малых скоростей в постоянном магнитном поле возникает аналог «ударной волны», т.е. область, где волновая функция электронов начинает сильно изменяться на малом расстоянии. Подробное рассмотрение данного случая требует выхода за рамки континуального приближения (т.е. необходимо учитывать и третьи производные по пространственным координатам) и выводит нас за цели настоящей работы. Подобное поведение низкоскоростных солитонных решеток делает их весьма перспективными в устройствах детектирования слабых магнитных полей. С физической точки зрения образование солитонных решеток можно объяснить тем что для существования устойчивого решения нелинейного уравнения необходим баланс процесса дисперсии и нелинейного роста (затухания) амплитуды [15]. Так, в частности, увеличение амплитуды вследствие нелинейного роста приводит к изменению периода колебаний (т.е. приводит к динамическому сдвигу частоты общему для всех нелинейных систем, а значит, для волн меняется и длина волны). В свою очередь, изменение частоты (длины волны) влечет за собой изменение дисперсии, что в общем случае отсутствия баланса приводит к изменению формы решетки. Включение же постоянного магнитного поля приводит к сдвигу собственных частот системы, что в свою очередь приводит к изменению эффективной нелинейности в системе. 4. Обсудим кратко, к каким физическим следствиям может привести существование солитонных решеток в углеродных нанотрубках.

Во-первых, подобные решетки достаточно легко можно будет обнаружить с помощью дифракционных методов. Исследование данными методами позволит определить параметры решеток и связать их с соответствующими величинами в микроскопическом гамильтониане. Приложение же постоянного магнитного поля дает дополнительную модуляцию солитонных решеток и приведет к дополнительным пикам в дифракционной картине, что делает

202

нанотрубки перспективными для использования в устройствах магнитооптики.

Во-вторых, данные решетки образуют регулярную структуру, которая фактически является доменной. Доменами здесь являются области с различной плотностью электронов. Наличие доменной структуры внесет свой вклад в восприимчивости нанотрубок и позволяет надеяться на обнаружение эффектов памяти в электронной подсистеме нанотрубок. Отметим также, что в случае солитонных решеток движущихся с малыми скоростями постоянное магнитное поле дает возможность эффективно разрушать доменную структуру.

В третьих, существование регулярной периодической структуры приводит при движении вдоль такой структуры дополнительного электрона к квантованию его энергии (в силу теоремы Флоке). Подобное квантование приводит к наличию дополнительных энергетических уровней в спектрах углеродных нанотрубок. Также подобное квантование может привести к подавлению электрон-фононного взаимодействия (если уровни энергии будут достаточно разделены с фононным спектром) и увеличению проводимости углеродных нанотрубок.

Работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 07-03-96604).

ЛИТЕРАТУРА

1. S. Iijima. Nature 354, 56 (1991). 2. З.Я. Косаковская, Л.А. Чернозатонский, Е.А. Федоров. Письма

в ЖЭТФ 56, 26 (1992). 3. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P.C. Eklund. Science of

Fullerenes and Carbon Nanotubes. Academic Press, Inc. (1996), 965 p.

4. Ивановский А.Л. Квантовая химия в материаловедении. Нанотубулярные формы вещества. Екатеринбург, УрОРАН (1999), 176 с.

5. Лозовик Ю.Е., Попов А.М. УФН 165, 752 (1997). 6. Елецкий А.В. УФН 170, 113 (2000). 7. Елецкий А.В. УФН 172, 401 (2002).

203

8. Запороцкова И.В. Дисс. … канд. физ. мат. наук. ВолГУ. Волгоград, 1997, 178 c.

9. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. Москва: Техносфера (2003), 336 с.

10. Vinogradov G.A., Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Ovchinnikov A.A. // Abstracts of invited lectures and contributed papers “Fullerenes and Atomic Clusters”, St.Peterburg, Russia, 4-8 October 1999, p. 189.

11. Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Vinogradov G.A. // Abstracts of invited lectures and contributed papers “Fullerenes and Atomic Clusters”, St.Peterburg, Russia, 2-6 July 2001, p. 319.

12. Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Menon M., Vinogradov G.A. // Phys. Rev. B 64, 035418 (2001).

13. Изюмов Ю.А., Кацнельсон М.И., Скрябин Ю.Н. Магнетизм коллективизированных электронов.— М.: Физматлит, 1994.—368 с.

14. Fedyanin V.K., Machankov V.G. Nonlinear effects in quasi-one-dimensional models of condensed matter theory// Phys. Rep., 1984, v. 54

15. Солитоны / Вадати М., Гиббс Х., и др.; Под ред. Буллаф Р., Буллаф Р., Кодри Ф.,: Пер. с англ. – М.: Мир, 1983., 408 с.

16. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Bushes of normal modes — new dynamical objects in nonlinear mechanical systems with discrete symmetry// ДАН, т. 330, 1993 г., с. 308.

17. Сахненко В. П., Чечин Г.М. New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites// ДАН, т. 330, 1993 г., с. 42.

18. М.Б. Белоненко, Демушкина Е.В. Лебедев Н.Г. Солитонные решетки электронов углеродных нанотрубок// Химическая Физика, 2006, т.25, N6, стр. 75-81

204

Содержание 1. Nanotechnology and Nanoscience: Science and Engineering in the 21st Century Jingyue Liu and Thomas F. George 3- 5 2. Coherent control of light via plasmon driven electromagnetic fields Maxim Sukharev and Tamar Seideman 6-15 3. Low-temperature crossover of the lattice thermal transport in nanowires Alexander V. Zhukov 16-27 4. Периодические токовые домены в пучках углеродных нанотрубок М.Б. Белоненко, Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев 28-42 5. Об антиферромагнитных солитонах в углеродных нанотрубках М.Б. Белоненко, Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев 43-53 6. Фотогенерация солитонных решеток в углеродных нанотрубках М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев, Н.Е. Мещерякова 54-67 7.Влияние электрон-фононного взаимодействия на проводимость углеродных нанотрубок Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев 68-74 8. Изучение процессов внедрения водорода в однослойные углеродные нанотрубки капиллярным способом. Запороцкова И.В., Прокофьева Е. В. 75-88

205

9. Плазменные колебания в двумерных полупроводниковых сверхструктрах в присутствии высокочастотного электрического поля С.Ю. Глазов 89-97 10. Эффект увлечения в полупроводниковой сверхрешетке, индуцированный электромагнитной волной, поляризованной эллиптически С.В. Крючков, Е.И. Кухарь, Е.С. Сивашова 98-109 11.Проводимость квантовой нити с примесями в условиях совместного влияния постоянного и переменного электрического полей Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Э.В. Марчук 110-117 12. Spontaneous transverse electromotive force in a lateral superlattice with parabolic miniband G M Shmelev, I I Maglevanny, T A Gorshenina and E M Epshtein 118-133 13. Stability of Turing Patterns in a Reaction-Diffusion System with Boundary Control Eugene V. Kagan 134-147 14. Сравнительный анализ результатов расчета энергетического спектра одноэлектронных состояний сферически симметричных моделей ковалентных кластеров кристаллов с локальными дефектами Н.А. Растова, А.М. Стебеньков. 148-152 15. On the thermodynamics of the liquid-solid transition in a small cluster Alexander V. Zhukov, Anastasiya S. Kraynyukova, Jianshu Cao 153-165

206

16. Топологические свойства множеств обобщенных управлений диффузионными процессами Григорьева О.Е. 166-178 17. Строение алгебры Ли формообразования лепестковых структур в мультимолекулярной кинетике Е.Н. Рыжов, М.Б. Белоненко 179-190 18. Дизайн солитонных решеток углеродных нанотрубок магнитным полем О.Ю. Тузалина М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев 191-203 Содержание 204